Sessões Cônicas - Aula

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UNIVERSIDADE FEDERAL DE PERNAMBUCO - UFPE 
Centro Acadêmico do Agreste - CAA 
Cálculo Diferencial e Integral II 
 
 
Sessões Cônicas 
 
Definição: Um cone circular 𝐶 é a superfície obtida pela rotação de uma reta 𝑟, chamada 
geratriz, em torno de uma reta fixa 𝑠, chamada eixo de rotação, que se cortam em um ponto 𝑉 
chamado vértice do cone. 
 
 Ao interceptar um cone 𝐶 com um plano 𝜋 que contenha o vértice obtemos uma das 
seguintes figuras. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 (I) (II) (III) 
 
 Se o plano não toca as folhas do cone, como vemos em (I), a interseção é apenas o 
vértice. No caso em que o plano toca as duas folhas formando com o eixo um ângulo igual ao 
formado com entre ele e a geratriz, temos uma reta como resultado da interseção. A imagem 
(III) apresenta o caso em que o plano toca as duas folhas formando um ângulo menor que aquele 
entre oeixo e a geratriz. Duas retas são determinadas por essa interseção. 
Suponha que o plano 𝜋 corta o cone 𝐶 sem passar pelo vértice. 
 
 (IV) (V) (VI) 
 
(IV) Se o plano passa apenas por uma folha do cone e é inclinado em relação ao eixo de rotação 
e à geratriz, obtemos uma elipse. Se o plano passa perpendicular ao eixo de rotação a curva 
gerada é uma circunferência. 
(V) Se o plano passa apenas por uma folha e é paralela à geratriz a curva gerada é uma 
parábola. 
(VI) Se o plano corta as duas folhas e é paralelo ao eixo de rotação a curva interseção é uma 
hipérbole. 
 
 As interseções (IV), (V) e (VI) são chamadas de cônicas. São chamadas de cônicas 
degeneradas as interseções em (I), (II) e (III). 
 
Elipses 
 
Definição: Chama-se elipse ao conjunto de pontos 𝑃 de um 
plano tal que a soma das distâncias de 𝑃 a dois pontos fixos 
𝐹1 e 𝐹2 do mesmo plano é constante. Os pontos fixos 
recebem o nome de focos. 
 
 
 Uma elipse apresenta os seguintes elementos: 
 Eixo focal ou eixo maior: segmento interno à elipse e que contém os focos 
 𝐶 – Centro: ponto médio entre 𝐹1 e 𝐹2 
 Eixo transverso ou eixo menor: segmento interno à elipse passando pelo centro e 
perpendicular ao eixo focal 
 𝑃𝐹1, 𝑃𝐹2 – Raios focais: segmentos formados por um ponto 𝑃 qualquer da elipse a um 
dos focos. 
 Vértices: Pontos de interseção dos eixos com a elipse. Denotaremos por 𝐴1, 𝐴2 os 
pontos de interseção com o eixo focal e por 𝐵1, 𝐵2 os pontos de interseção com o eixo 
transverso. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 A distância entre os focos é chamada de distância focal e será denotada por 2𝑐. A soma 
dos raios focais será denotada por 2𝑎. 
Tomando 𝑃 = 𝐴1 os raios focais serão 𝐴1𝐹1 e 𝐴1𝐹2. 
Observando que 𝐴1𝐹1 tem o mesmo comprimento de 𝐴2𝐹2 
podemos concluir que a soma dos raios focais é igual ao 
comprimento do eixo maior. Assim, uma vez que a soma é 
2𝑎, a metade do eixo focal mede 𝑎. Veja a figura ao lado. 
Note que 
 𝑐 ≤ 𝑎. No caso em que 𝑎 = 𝑐 a elipse reduz-se a um segmento de reta. 
 Se 𝐹1 = 𝐹2 a elipse é uma circunferência. 
 
Lembremos da definição de elipse. Segundo ela, nas figuras abaixo temos que 
‖𝑃1𝐹1⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ‖ + ‖𝑃1𝐹2⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ‖ = ‖𝑃2𝐹1⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ‖ + ‖𝑃2𝐹2⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ ⃗‖ = ‖𝑃3𝐹1⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ‖ + ‖𝑃3𝐹2⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ ⃗‖ = 2𝑎. 
 
 
 
 
 
 
 
A equação geral da elipse de focos 𝐹1 e 𝐹2 cuja soma dos raios focais é igual a 2𝑎 é 
‖𝑃𝐹1⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗‖ + ‖𝑃𝐹2⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗‖ = 2𝑎. 
 
Veremos a seguir a equação da elipse para posições particulares dos focos e do centro. 
 
 Focos sobre o eixo 𝑥 e centro na origem 
𝐹1 = (−𝑐, 0) 
𝐹2 = (𝑐, 0) 
 𝐶 = (0,0) 
 
 
 Focos sobre o eixo 𝑦 e centro na origem 
𝐹1 = (0,−𝑐) 
𝐹2 = (0, 𝑐) 
 𝐶 = (0,0) 
 
 
 Focos sobre uma reta paralela ao eixo 𝑥 e centro (𝑝, 𝑞) 
𝐹1 = (𝑝 − 𝑐, 𝑞) 
𝐹2 = (𝑝 + 𝑐, 𝑞) 
 𝐶 = (𝑝, 𝑞) 
 
 
 
 
 Focos sobre uma reta paralela ao eixo 𝑦 e centro (𝑝, 𝑞) 
𝐹1 = (𝑝, 𝑞 − 𝑐) 
𝐹2 = (𝑝, 𝑞 + 𝑐) 
 𝐶 = (𝑝, 𝑞) 
 
 
 
Em todas as equações 𝑏2 = 𝑎2 − 𝑐2. Geometricamente, 𝑏 é o comprimento da metade 
do eixo menor. 
 
𝑥2
𝑎2
+
𝑦2
𝑏2
= 1 
 
𝑥2
𝑏2
+
𝑦2
𝑎2
= 1 
 
 
(𝑥 − 𝑝)2
𝑎2
+
(𝑦 − 𝑞)2
𝑏2
= 1
= 1 
 
 
(𝑥 − 𝑝)2
𝑏2
+
(𝑦 − 𝑞)2
𝑎2
= 1
= 1 
 
 
Exemplo 1: Vamos escrever a equação da elipse 
com vértices (−5, 0), (5, 0), (0, −4) e (0, 4). Para 
nos auxiliar começamos esboçando a curva. 
Podemos deduzir que os focos estão sobre o eixo 
𝑥 e que o centro é a origem. Sabendo que o eixo 
maior mede 10 e o eixo menor mede 8 segue que 
𝑎 = 5 e 𝑏 = 4. Portanto, a equação procurada é 
𝑥2
25
+
𝑦2
16
= 1. 
∎ 
 
Exemplo 2. Mostremos que a equação 𝑥2 + 𝑦2 − 2𝑥 + 6𝑦 + 1 = 0 representa uma elipse. De 
acordo com as equações que vimos, essa elipse não tem o centro na origem, pois nesse caso não 
apresentaria termos de primeiro grau em 𝑥 e em 𝑦. Sendo assim, devemos procurar completar 
quadrados para que façamos aparecer (𝑥 − 𝑝)2 e (𝑦 − 𝑞)2. Começaremos reorganizando a 
equação de forma a agrupar as parcelas em 𝑥 e as parcelas em 𝑦. 
(𝑥2 − 2𝑥) + (𝑦2 + 6𝑦) + 1 = 0 
Lembre-se que 
(𝑥 − 𝑝)2 = 𝑥2 − 2𝑥𝑝 + 𝑝2. 
Comparando 𝑥2 − 2𝑥𝑝 + 𝑝2 com 𝑥2 − 2𝑥 observamos que 2𝑝 = 2 e que falta 𝑝2. De 2𝑝 = 2 
podemos concluir que 𝑝 = 1. Disso, 𝑝2 = 1. Voltando à equação 
(𝑥2 − 2𝑥) + (𝑦2 + 6𝑦) + 1 = 0 ⇔ (𝑥2 − 2𝑥 + 1) + (𝑦2 + 6𝑦) = 0 
 ⇔ (𝑥 − 1)2 + (𝑦2 + 6𝑦) = 0. 
De forma semelhante, comparando 𝑦2 − 2𝑦𝑞 + 𝑞2 com 𝑦2 + 6𝑦, chegamos que −2𝑞 = 6 ⟺
𝑞 = −3 e 𝑞2 = 9. A equação que temos não apresenta o 9. Para contornar este problema sem 
alterá-la somaremos zero à equação, mas escrito de uma forma conveniente à nossas 
necessidades. 
(𝑥 − 1)2 + (𝑦2 + 6𝑦) + 0 = 0 ⇔ (𝑥 − 1)2 + (𝑦2 + 6𝑦) + 9 − 9 = 0 
 ⟺ (𝑥 − 1)2 + (𝑦2 + 6𝑦 + 9) − 9 = 0 
 ⇔ (𝑥 − 1)2 + (𝑦 + 3)2 = 9. 
Dividindo a equação por 9 obtemos 
(𝑥 − 1)2
9
+
(𝑦 + 3)2
9
= 1, 
provando que a mesma representa uma elipse. 
∎ 
 
 
Hipérboles 
 
Definição: Hipérbole é o conjunto de todos os pontos de 
um plano cujo módulo da diferença entre as distâncias a 
dois pontos fixos 𝐹1 e 𝐹2 é constante. Esses pontos fixos 
são chamados de focos. 
 
 
 
Uma hipérbole apresenta os seguintes elementos: 
 Eixo focal: reta que contém os focos 
 𝐶 – Centro: ponto médio entre 𝐹1 e 𝐹2 
 Eixo transverso ou eixo imaginário: reta perpendicular ao eixo focal e que contém o 
centro 
 𝑃𝐹1, 𝑃𝐹2 – Raios focais: segmentos formados por um ponto 𝑃 qualquer da hipérbole a 
um dos focos. 
 Vértices: Pontos de interseção dos eixo focal com a hipérbole. Denotaremos por 𝐴1 e 
𝐴2. 
 
 
 
 
 
 
 
 
A distância entre os focos é chamada de distância focal e será denotada por 2𝑐. O 
módulo da diferença entre os raios focais será denotada por 2𝑎. 
Tomando 𝑃 = 𝐴1 os raios focais serão 𝐴1𝐹1 e 𝐴1𝐹2. Observe que a diferença entre os 
raios focais é igual ao comprimento do segmento 𝐴1𝐴2. Assim, ‖𝐴1𝐴2‖ = 2𝑎.Veja a figura 
abaixo. Note que 𝑎 ≤ 𝑐.Lembremos da definição de hipérbole. Segundo ela, nas figuras abaixo temos que 
|‖𝑃1𝐹1⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ‖ − ‖𝑃1𝐹2⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ‖| = |‖𝑃2𝐹1⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ‖ − ‖𝑃2𝐹2⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ ⃗‖| = |‖𝑃3𝐹1⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ‖ − ‖𝑃3𝐹2⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ ⃗‖| = 2𝑎. 
 
 
A equação geral da hipérbole de focos 𝐹1 e 𝐹2 cuja soma dos focais é igual a 2𝑎 é 
|‖𝑃𝐹1⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗‖ − ‖𝑃𝐹2⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗‖| = 2𝑎. 
 
A seguir temos a equação da hipérbole para posições particulares dos focos e do centro. 
 
 Focos sobre o eixo 𝑥 e centro na origem 
𝐹1 = (−𝑐, 0) 
𝐹2 = (𝑐, 0) 
 𝐶 = (0,0) 
 
 
 
 Focos sobre o eixo 𝑦 e centro na origem 
𝐹1 = (0,−𝑐) 
𝐹2 = (0, 𝑐) 
 𝐶 = (0,0) 
 
 
 
 Focos sobre uma reta paralela ao eixo 𝑥 e centro (𝑝, 𝑞) 
𝐹1 = (𝑝 − 𝑐, 𝑞) 
𝐹2 = (𝑝 + 𝑐, 𝑞) 
 𝐶 = (𝑝, 𝑞) 
𝑥2
𝑎2
−
𝑦2
𝑏2
= 1 
 
𝑦2
𝑎2
−
𝑥2
𝑏2
= 1 
 
 
(𝑥 − 𝑝)2
𝑎2
−
(𝑦 − 𝑞)2
𝑏2
= 1
= 1 
 
 
 Focos sobre uma reta paralela ao eixo 𝑦 e centro (𝑝, 𝑞) 
𝐹1 = (𝑝, 𝑞 − 𝑐) 
𝐹2 = (𝑝, 𝑞 + 𝑐) 
 𝐶 = (𝑝, 𝑞) 
 
 
 
Em todas as equações 𝑏2 = 𝑐2 − 𝑎2. 
 
Exemplo 3: Encontremos a equação da hipérbole cujos focos são 𝐹1 = (0, 4) e 𝐹2 = (0,−4) e a 
diferença dos raios focais é 6. Fazendo um esboço com as informações sobre os focos podemos 
identificar que a equação deve ter a forma 
𝑦2
𝑎2
−
𝑥2
𝑏2
= 1 
e que 𝑐 = 4. Além disso, como 2𝑎 = 6, encontramos 
𝑏2 = 42 − 32 = 16 − 9 = 7. 
Portanto, a hipérbole tem equação 
𝑦2
9
−
𝑥2
7
= 1 
 
 
∎ 
 
Exemplo 4: Mostremos que 5𝑦2 − 𝑥2 + 20 = 0 é a equação de uma hipérbole. Note que 
5𝑦2 − 𝑥2 + 20 = 0 ⇔ 𝑥2 − 5𝑦2 = 20 ⇔
𝑥2
20
−
5𝑦2
20
= 1 ⇔
𝑥2
20
−
𝑦2
4
= 1. 
Logo, a equação representa uma hipérbole com vértice na origem e focos sobre o eixo das 
abscissas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
∎ 
(𝑦 − 𝑞)2
𝑎2
−
(𝑥 − 𝑝)2
𝑏2
= 1
= 1 
 
 
Parábola 
 
Definição: Uma parábola é o conjunto dos pontos em um plano 
cujas distâncias a um ponto fixo 𝐹 e uma reta fixa 𝑟 são iguais. 
Chamamos 𝐹 de foco e 𝑟 de diretriz. 
 
 
 
São elementos da parábola: 
 Eixo focal: reta perpendicular à diretriz e que passa pelo foco. 
 𝑉 – Vértice: interseção entre a parábola e o eixo focal. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Tomando 𝑃 = 𝑉 a definição de parábola nos diz que a distância do vértice ao foco é 
igual à distância do vértice à diretriz. Assim, 𝑉 é o ponto médio entre o foco e a interseção do 
eixo focal com a diretriz. 
A equação geral de uma parábola com foco 𝐹 e diretriz 𝑟 é 
‖𝑃𝐹⃗⃗⃗⃗ ⃗‖ = 𝑑(𝑃, 𝑟). 
 
 
A parábola apresenta equações simples para posições particulares do foco e da diretriz. 
 
 Foco sobre o eixo 𝑥 e vértice na origem 
𝐹 = (𝑐, 0) 
𝑉 = (0, 0) 
 
 
 
 
 Foco sobre o eixo 𝑦 e vértice na origem 
𝐹 = (0, 𝑐) 
 𝑉 = (0,0) 
 
 
 
 Foco sobre uma reta paralela ao eixo 𝑥 e vértice (𝑝, 𝑞) 
𝐹 = (𝑚, 𝑞) 
 𝑉 = (𝑝, 𝑞) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Foco sobre uma reta paralela ao eixo 𝑦 e vértice (𝑝, 𝑞) 
 𝐹 = (𝑝,𝑚) 
 𝑉 = (𝑝, 𝑞) 
 
 
 
 
 
 
 
𝑦2 = 4𝑐𝑥 
 
𝑥2 = 4𝑐𝑦 
 
 
(𝑦 − 𝑞)2 = 4(𝑚 − 𝑝)(𝑥 − 𝑝) 
 
 
(𝑥 − 𝑝)2 = 4(𝑚 − 𝑞)(𝑦 − 𝑞) 
 
 
Exemplo 5: Mostremos que 𝑥2 + 4𝑥 + 8 = 𝑦 é uma parábola. Precisamos completar o 
quadrado referente aos termos em 𝑥. Para isso vamos comparar 𝑥2 + 4𝑥 com 𝑥2 − 2𝑥𝑝. Segue 
que 
−2𝑥𝑝 = 4𝑥 ⇔ −2𝑝 = 4 ⇔ 𝑝 = −2. 
Nossa necessidade, portanto, é fazer com que apareça 
𝑥2 − 2𝑥𝑝 + 𝑝2 = 𝑥2 + 4𝑥 + 4 
na equação dada. Note que 
𝑥2 + 4𝑥 + 8 = 𝑦 ⇔ 𝑥2 + 4𝑥 + 4 + 4 = 𝑦 ⇔ 𝑥2 + 4𝑥 + 4 = 𝑦 − 4 ⇔ (𝑥 + 2)2 = 𝑦 − 4. 
 Colocando na forma padrão de uma parábola com vértice 
(𝑝, 𝑞) obtemos 
(𝑥 + 2)2 = 4 ∙
1
4
(𝑦 − 4). 
 Lembre-se que 
1
4
= 𝑚 − 𝑞 
donde 
𝑚 − 4 =
1
4
⇔ 𝑚 =
1
4
+ 4 =
17
4
. 
Dessa forma, a parábola tem vértice (−2,4) e foco (−2,
17
4
). 
∎ 
 
Exemplo 6: Vamos encontrar a equação da parábola com foco (3, 0) e diretriz 𝑟: 𝑥 + 3 = 0. 
Seu foco está sobre o eixo 𝑥 e a reta diretriz tem equação 
𝑥 = −3, portanto, paralela ao eixo 𝑦. Concluímos que a 
equação procurada é 
𝑦2 = 12𝑥. 
 
 
 
∎ 
 
 
 
 
Texto baseado em 
 STEWART, J., Cálculo, V.2. Ed. Thomson Pioneira, 2010. 
 DUARTE FILHO, J. C.; FAVARETTO, M. S., Cálculo Vetorial e Geometria Analítica. Departamento de Matemática- 
UFPB. (Apostila)