Oficina de Vetores- 2015-1 GABARITO

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IF/UFRJ Introdução às Ciências Físicas I 
1o Semestre de 2015 Oficina de Vetores 
Profs Ana Maria Senra Breitschaft e André Saraiva 
 
1
 
Figura 3 
0,1
 0,1
 0,1
 
0,1
 
0,4
 
Gabarito da Questão da Oficina de Vetores 
 
Um carro parte da cidade A que está a uma distância de 60 km da origem do sistema de eixos 
coordenados O na direção 7-8 (que forma um ângulo de 45o com a direção 3-4, conforme a 
figura). Ele segue primeiro para a cidade B, que dista 80 km de A, na direção 1-2, no sentido 
de 2 para 1. Depois ele segue para a cidade C, que dista 90 km de B, na direção 5-6 (que 
forma um ângulo de 30o com a direção 3-4), no sentido de 5 para 6. As direções estão 
representadas na figura 3, assim como a posição da cidade A, a origem do sistema de eixos O 
e a direção dos unitários 
! 
ˆ i e 
! 
ˆ j . 
 
 
 
NO SEU GRÁFICO 1,0 cm DEVE CORRESPONDER A 10 km. 
 
a) Desenhe na figura 1 o vetor deslocamento do carro que vai de A até B. 
 
b) Desenhe na figura 1 o vetor deslocamento do carro que vai de B até C. 
 
c) Desenhe na figura 1 o vetor deslocamento do carro que vai de A até C. 
d) Trace na figura 1 um sistema de eixos coordenados com a origem em O, o eixo OX com a 
direção e o sentido do vetor unitário e o eixo OY com a direção e o sentido do vetor 
unitário . Os vetores unitários e estão representados na figura 1. 
e) Projete os vetores deslocamentos e nas direções dos vetores unitários e . 
Desenhe na figura 1 os vetores projetados , , e . 
O vetor projetado 
! 
! 
d 1x está representado pelo ponto em vermelho, uma vez que a 
projeção do vetor 
! 
! 
d 1 é nula no eixo OX e o vetor projetado 
! 
! 
d 1y está desenhado na 
cor vermelha. Os vetores projetados 
!
d2 x e 
!
d2 y estão desenhados na cor verde. 
 
 
! 
! 
d 1
 
! 
! 
d 2
 
! 
! 
d 3
! 
ˆ i 
! 
ˆ j 
! 
ˆ i 
! 
ˆ j 
 
! 
! 
d 1 
! 
! 
d 2
! 
ˆ i 
! 
ˆ j 
 
! 
! 
d 1x 
! 
! 
d 1y 
! 
! 
d 2x 
! 
! 
d 2y
3 
1 5 
2 
 6 4 
 O 
A 
! 
ˆ i 
! 
ˆ j 
 
8 
7 
30° 45°
! 
x
! 
y
B 
C 
 
 
 
 
! 
"3
 
! 
! r A
 
! 
! r B
 
! 
! r C
!
d1
!
d2
!
d3
!
d1x =
!
0
!
d2x
!
d1y =
!
d1
!
d2y
Figura 1 
IF/UFRJ Introdução às Ciências Físicas I 
1o Semestre de 2015 Oficina de Vetores 
Profs Ana Maria Senra Breitschaft e André Saraiva 
 
2
 
0,4
 
0,4
 
f) Calcule as componentes dos vetores e . Não é para medir no desenho. 
d1x = d1 cos(90°) = 0km d1y = d1 sen(90°) = 80km
d2x = d2 cos(30°) ! 77,9km d2 y = "d2 sen(30°) = "45km
 
g) Calcule as componentes d3x e d3y do deslocamento total . Calcule o módulo de e o 
ângulo que ele faz com o eixo OX. Não é para medir no desenho. 
d3x = d1x + d2x = (0+ 77, 9)km = 77, 9km 
d3y = d1y + d2y = (80! 45)km = 35km
d3 = d3x( )
2
+ d3y( )
2
" 85, 5km
!3 = arctan
d3y
d3x
#
$
%%
&
'
(( " 24, 2°
 
h) Desenhe na figura 1 os vetores posição dos pontos A, B e C. Represente esses vetores em 
termos dos vetores unitários e . Não é para medir no desenho. 
Os vetores posição , e estão desenhados em azul. 
 
xA = !rA cos(45°) " !42, 4km; yA = rA sen(45°) " !42, 4km;
!rA = !42, 4 iˆ ! 42, 4 jˆ( )km
!rB =
!rA +
!
d1 # xB = xA + d1x = (!42, 4+ 0)km = !42, 4km; yB = yA + d1y = !42, 4+80( )km = 37,6km
!rB = !42, 4 iˆ +37,6 jˆ( )km
!rC =
!rA +
!
d3 # xC = xA + d3x " (!42, 4+ 77,9)km = 35,5km; yC = yA + d3y " (!42, 4+35)km = !7, 4km
!rC = 35,5 iˆ ! 7, 4 jˆ( )km
 
 
i) Sabendo que o carro levou 1 hora para se deslocar de A até B e 1 hora e meia para ir de B 
até C, calcule o vetor velocidade média (em km/h) associada ao percurso total do carro. 
Escreva esse vetor em termos dos unitários
! 
ˆ i e 
! 
ˆ j . Determine o módulo do vetor velocidade 
média. 
 
!vm 0, tAC( ) =
!
d3
tAC
=
77,9 iˆ +35 jˆ( )
2,5 km/h ! 31,2 iˆ +14 jˆ( )km/h
vm 0, tAC( ) = vm 0, tAC( )x( )
2
+ vm 0, tAC( )y( )
2
=
!
d3
tAC
! 34,2km/h
 
 
 
 
! 
! 
d 1 
! 
! 
d 2
 
! 
! 
d 3 
! 
! 
d 3
! 
ˆ i 
! 
ˆ j 
 
! 
! r A 
! 
! r B 
! 
! r C
0,4
 
0,4
 
0,6