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2014 PROJETO SUPERANDO ENEM MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS enem EXAME NACIONAL DO ENSINO MEDIO UM ENSAIO PARA A VIDA Professor Rafael Izidoro RodriguesPROJETO SUPERANDO ENEM MATEMÁTICA - PROFESSOR RAFAEL IZIDORO RODRIGUES MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS "A matemática, vista corretamente, possui não apenas verdade, mas também suprema beleza uma beleza fria e austera, como a da Bertrand Russel. Apresentação e orientações: Este material foi elaborado objetivando otimizar 0 treinamento do candidato ao Exame Nacional do Ensino Médio (ENEM), abordando como tarefa proposta as questões aplicadas nos últimos quatro anos. Este material é um caderno de atividades e todas as questões estão divididas por temas. Embora as questões estejam divididas por temas, é importante destacar que a avaliação do Enem trabalha com interdisciplinaridade, logo, poucas são as questões que abordam um único tema. Durante seus estudos, você pode optar por outros métodos (distintos dos temas citados) para as resoluções. Algumas questões se repetem em mais de um tema. Ao iniciar seus estudos, aconselha-se que as atividades sejam realizadas mais de uma vez, o quanto você puder, pois assim sua habilidade será otimizada e a avaliação do ENEM será apenas um pequeno obstáculo em sua carreira acadêmica. Segue um exemplo de como pode ser utilizado: Suponhamos que você tenha assistido uma aula sobre Geometria plana, e agora precisa aplicar seus conhecimentos e provar que sabe. Basta então, procurar tópico Geometria plana no e então divertir-se com questões que abordam o tema citado. Simples não é? Agora, se você é do tipo que gosta não só de treinar o que está aprendendo, mas também que já aprendeu, pode seguir o roteiro deste material através das etapas (recomendado). Aproveito este parágrafo para dizer que, mesmo que você já tenha domínio em determinado tópico, ao seguir o roteiro por etapas, não pule nenhuma delas, pois quanto mais você estudar mais na frente você estará. Desejo a você bons estudos, determinação e coragem, pois não existem alunos ou alunas incapazes, mas sim, alunos e alunas DEDICADOS (AS). Você pode muito mais do que imagina. E mesmo que no início as coisas estejam não desista, pois tudo aquilo que 0 homem hoje sabe, é porque um dia TENTOU, ERROU, TENTOU DE NOVO, E DE NOVO, E DE NOVO... E então, APRENDEU! Que de alguma forma, este material seja útil à Dedicado a todos aqueles (as) que acreditam que o conhecimento adquirido ontem e hoje, espelham o nosso Que nossas crianças possam nos ver como HERÓIS! Professor Rafael Izidoro Rodrigues Este material contém: Todas as questões de Matemática (180 questões) do Exame Nacional do Ensino Médio (ENEM) dos anos de 2010, 2012 e 2013. Gabarito. Este material não contém resoluções das questões. Todas as questões foram retiradas das avaliações originais do ENEM, estas obtidas por download através do site inep.gov.br. Algumas imagens foram copiadas do site veja.abril.com.br (melhor resolução da imagem).PROJETO SUPERANDO ENEM - MATEMÁTICA - PROFESSOR RAFAEL IZIDORO RODRIGUES ÍNDICE Etapa 1 - Aritmética elementar - Pg. 1. Etapa 11 - Trigonometria - - Pg. 32. Etapa 2 - Gráficos - - Pg. 3. Etapa 12 - Geometria espacial - Pg. 33. Etapa 3 - Escalas e unidades de medidas - Pg. 8. Etapa 13 - Geometria analítica - Pg. 38. Etapa 4 - Razão - Pg. 10. Etapa 14 - Estatística - Pg. 39. Etapa 5 - Proporção - Pg. 11. Etapa 15 Análise combinatória - Pg. 42. Etapa 6 - Equações - Pg. 15. Etapa 16 - Probabilidade - Pg. 43. Etapa 7 - Funções - Pg. 19. Etapa 17 Outros tópicos Pg. 47. Etapa 8 - Sequências e progressões - Pg. 22. Gabarito - Pg. 51. Etapa 9 - Porcentagem - Pg. 23. Créditos Pg. 52. Etapa 10 - Geometria plana - - Pg. 28. NOS ÚLTIMOS QUATRO ANOS, QUE ENEM COBROU DOS CANDIDATOS? Levantamento percentual: 2010 à 2013 14,00% 12,00% 10,00% 8,00% 6,00% 4,00% 2,00% 0,00% unidades / ///// que você está esperando? Vamos nessa, temos muito o que estudar!PROJETO SUPERANDO ENEM MATEMÁTICA - PROFESSOR RAFAEL IZIDORO RODRIGUES 3 (2012) Adição e subtração. Etapa 1 Aritmética elementar Jogar baralho é uma atividade que o Um jogo tradicional é a que utiliza 1 (2013) Multiplicação e 52 cartas. Inicialmente são formadas sete colunas com as A primeira coluna tem uma carta, a segunda tem o de eficiência utilizado por um produtor de leite duas cartas, a terceira tem très cartas, a quarta tem quatro para qualificar suas vacas é dado pelo produto do tempo cartas, e assim sucessivamente até a sétima coluna, a de lactação (em dias) pela produção media diária de leite qual tem sete cartas, e o que sobra forma o monte, que (em dividido pelo intervalo entre partos (em meses). são as cartas não utilizadas nas colunas. Para esse produtor, a vaca é qualificada como eficiente quando esse Indice no 281 quilogramas por A quantidade de cartas que forma o monte é mês, mantendo sempre as mesmas condições de manejo (alimentação, vacinação e outros). Na comparação de duas 21. D 28. ou mais vacas, a mais eficiente a que tem maior A tabela apresenta os dados coletados de cinco vacas: 24. E 31. 26. Dados relativos a produção das vacas Tempo de Produção média Intervalo 4 (2012) - Multiplicação e adição Tabelas. Vaca lactação diária de leite entre partos (em dias) (em kg) (em meses) Uma pesquisa realizada por estudantes da Faculdade Malhada 360 12,0 15 de Estatística mostra, em horas por dia, como os jovens Mamona 310 11.0 12 entre 12 e 18 anos gastam seu tempo, tanto durante a Maravilha 260 14,0 12 semana (de segunda-feira a como no fim de Mateira 310 13,0 13 semana (sábado e domingo). A seguinte tabela ilustra os Mimosa 270 12,0 11 resultados da pesquisa. Após a análise dos dados, produtor avaliou que a vaca mais eficiente é a Durante a No fim de Rotina Juvenil Após a análise dos dados, o produtor avaliou que a vaca semana semana mais eficiente é a D Mateira. Assistir à televisão 3 3 Maravilha. E Mimosa. Atividades domésticas 1 1 2 (2013) Divisão. Atividades escolares 5 1 Para o reflorestamento de uma área, deve-se cercar totalmente, com tela, os lados de um exceto 0 lado margeado pelo rio, conforme a figura. Cada rolo de Atividades de lazer 2 4 tela que será comprado para confecção da cerca contém 48 metros de comprimento. Descanso, higiene e 10 12 190 m alimentação Outras atividades 3 3 81 81 m De acordo com esta pesquisa, quantas horas de seu tempo gasta um jovem entre 12 18 anos, na semana inteira Rio A quantidade mínima de rolos que deve ser comprada (de segunda-feira a domingo), nas atividades escolares? para cercar esse terreno 20 25 6. 11. 7. E 12. 21 E 27 8. 24 1PROJETO SUPERANDO o ENEM MATEMÁTICA - PROFESSOR RAFAEL IZIDORO RODRIGUES 5 (2012) Divisão. Escala de Indice de Massa Corporal Um maquinista de trem ganha R$ 100,00 por CATEGORIAS viagem e pode viajar a cada 4 Ele ganha IMC somente se fizer a viagem e sabe que estará de férias de a 10 de junho, quando não poderá viajar. Sua Desnutrição Abaixo de 14,5 primeira viagem ocorreu no dia primeiro de janeiro. Considere que o ano tem 365 Peso abaixo do normal 14,5 a 20 Se o maquinista quiser ganhar o máximo Peso normal quantas viagens precisará fazer? Sobrepeso 37 51 Obesidade 39,9 88 D 89 Obesidade ou acima de 40 E 91 6 (2011) Divisão. A partir dos dados biométricos de e Sandra e da Escala de IMC, o valor IMC e a categoria em que cada uma das pessoas se posiciona na Escala são Cerca de 20 milhões de brasileiros vivem na região coberta pela caatinga, em quase 800 mil de área. tem o IMC 26,7 e Sandra tem o IMC Quando não o homem do sertão e sua familia estando ambos na categoria de sobrepeso. precisam caminhar quilômetros em busca da água dos tem IMC 27,3 e Sandra tem IMC açudes. A irregularidade climática é um dos fatores que estando ambos na categoria de sobrepeso. mais interferem na vida do sertanejo. © Duilio tem o IMC 27,3 e Sandra tem o IMC 26,6, Acesso 23 estando ambos na categoria de sobrepeso. Duilio tem IMC 25,6, estando na categoria de Segundo este levantamento, a densidade demográfica da região coberta pela caatinga, em habitantes por sobrepeso, e Sandra tem o IMC estando na de categoria de peso normal. E tem IMC estando na categoria de 250. sobrepeso, e Sandra tem IMC 22,6, estando na 25. de peso normal. 2,5. 0,25. 8 (2010) Adição Tabela. D E 0,025. A classificação de um no quadro de medalhas nos Jogos Olimpicos depende do número de medalhas de 7 (2011) Divisão com decimais. ouro que obteve na competição, tendo como critérios de desempate o número de medalhas de prata seguido A figura apresenta informações biométricas de um do número de medalhas de bronze conquistados. Nas homem e de uma mulher (Sandra) que estão Olimpiadas de o Brasil foi o décimo sexto colocado buscando alcançar seu peso ideal a partir das atividades no quadro de medalhas, tendo obtido 5 medalhas de (corrida). Para se verificar a escala de obesidade, ouro, 2 de prata e 3 de bronze. Parte desse quadro de foi desenvolvida a fórmula que permite verificar o Indice medalhas é reproduzida a seguir. de Massa Corporal (IMC). Esta fórmula é apresentada como IMC = onde m a massa em quilogramas e é altura em metros. Classificação Medalhas Medalhas Medalhas Total de de ouro de prata de bronze medalhas 10 11 11 32 Coreia do & 9 12 9 30 Sul Duilio Saba Sandra Tescari 9 9 12 30 Cuba 9 7 11 27 Idade: 50 anos Idade: 42 anos Ucrânia 9 5 9 23 Altura: 1,88 Altura: 1,70 Hungria 8 6 3 17 Peso: Kg Peso: 84 Kg com be Acesso abr. 2010 Peso ideal: 94,5 Kg Peso ideal: 77 Kg Se o Brasil tivesse obtido mais 4 medalhas de ouro, 4 de prata e 10 de bronze, sem alteração no número de No quadro é apresentada a Escala de de Massa medalhas dos demais mostrados no quadro, qual teria sido a classificação brasileira no quadro de medalhas Corporal com as respectivas categorias relacionadas das Olimpiadas de 2004? aos pesos. 2PROJETO SUPERANDO 0 ENEM MATEMÁTICA - PROFESSOR RAFAEL IZIDORO RODRIGUES 9 (2010) Situação problema. Etapa 2 - Gráficos Uma escola recebeu do governo uma verba de 1000,00 para enviar dois tipos de folhetos pelo correio. o diretor da escola pesquisou que tipos de selos deveriam ser utilizados. Concluiu que, para o primeiro tipo de folheto, bastava um selo de R$ 0,65 enquanto para folhetos 1 (2013) Gráfico de barras verticais. do segundo tipo seriam necessários três selos, um de R$ 0,65, um de R$ 0,60 e um de 0,20. diretor A cidade de Guarulhos (SP) tem PIB municipal solicitou que se comprassem selos de modo que fossem do Brasil, além do maior aeroporto da América do Sul. postados exatamente 500 folhetos do segundo tipo e Em proporção, possui a economia que mais cresce em uma quantidade restante de selos que permitisse o envio do máximo de folhetos do primeiro indústrias, conforme mostra o gráfico. Quantos selos de 0,65 foram comprados? Crescimento Indústria 476 675 923 965 60,52% (Estado) (Capital) Guarulhos Analisando os dados percentuais do gráfico, qual a diferença entre o maior e menor centro em crescimento no polo das A 75,28 64,09 D 45,76 56,95 E 2 (2013) Gráfico constante Envolve cálculo de razões. A Lei da Gravitação Universal, de Isaac Newton, estabelece a intensidade da força de atração entre duas massas. Ela representada pela expressão: onde e correspondem as massas dos corpos, a entre constante universal da gravitação e Fa força que um corpo exerce sobre outro. esquema representa as trajetórias circulares de cinco satélites, de mesma massa, orbitando a Terra. Qual gráfico expressa as intensidades das forças que a Terra exerce sobre cada satélite em função do tempo? 3PROJETO SUPERANDO 0 ENEM MATEMÁTICA - PROFESSOR RAFAEL IZIDORO RODRIGUES 4 (2013) Plano cartesiano. Uma falsa relação cruzamento da quantidade de horas estudadas com o desempenho no Programa Internacional de Avaliação de Estudantes (Pisa) mostra que mais tempo na escola não garantia de nota acima da NOTAS NO PISA E CARGA HORÁRIA Tempo NOTAS NO Sul HORAS DE ESTUDO 14 anos) E Mexico 350 Considerando as médias país no exame de São 2010 3 (2013) - Gráfico constante Cálculo básico. Dos países com notas abaixo da média nesse exame, aquele que apresenta maior quantidade de horas de Deseja-se postar cartas não comerciais, sendo duas estudo é de 100 g. três de 200 e uma de 350 g. gráfico mostra o Holanda. D custo para enviar uma carta não comercial pelos Correios: Israel. E Rússia. Custo (R$) 4,45 5 (2012) Gráfico de linhas. 4,00 3,55 dono de uma farmácia resolveu colocar a vista 3,10 do público o gráfico mostrado a seguir, que apresenta a evolução do total de vendas (em Reais) de certo 2,65 medicamento ao longo do ano de 2011. AN 1,70 1,25 0,80 50 100 150 200 250 300 350 400 le M Massa (g) 2 2012 valor total gasto, em reais, para postar essas cartas de De acordo com o gráfico, os meses em que ocorreram, respectivamente, a maior e a menor venda absolutas em A 2011 foram 12,50. 14,40. A março e abril. D junho e setembro. D 15,35. março e agosto. E junho e agosto. E 18,05. agosto e setembro. 4PROJETO SUPERANDO ENEM MATEMÁTICA - PROFESSOR RAFAEL IZIDORO RODRIGUES 6 (2012) Gráfico de Com relação ao capital adquirido na compra e venda das ações, qual investidor fez o melhor gráfico mostra a variação da extensão média de A 1 2 3 4 5 gelo em milhões de quadrados, comparando dados dos anos 1995, 1998, 2000, 2005 e 2007. 8 (2012) Gráfico de linhas. Os dados correspondem aos meses de junho a setembro: começa a recobrar o gelo quando termina A figura a seguir apresenta dois gráficos com verão, em meados de setembro. o gelo do mar atua informações sobre as reclamações diarias recebidas e como o sistema de resfriamento da Terra, refletindo quase resolvidas pelo Setor de Atendimento ao Cliente (SAC) de toda a luz solar de volta ao espaço. Aguas de oceanos uma empresa, em uma dada semana. gráfico de linha escuros, por sua vez, absorvem a luz solar e reforçam tracejada informa número de reclamações recebidas no dia, o aquecimento do Ártico, ocasionando derretimento o de continua é o número de reclamações resolvidas no As reclamações podem ser resolvidas no mesmo dia ou crescente do gelo. demorarem mais de um dia para serem resolvidas. 15 30 12 Extensão de gelo 20 1995 9 2000 10 2005 2007 Sex Sab Dom Seg Ter 2012 o gerente de atendimento deseja identificar os Com base no gráfico e nas informações do texto, é dias da semana em que o nivel de pode ser possivel que houve maior global em considerado muito bom, ou seja, os dias em que o 1995. 1998. D 2005. número de reclamações resolvidas excede o número de 2000. 2007. reclamações recebidas. Acesso - 21 2012 7 (2012) Gráfico de linhas Cálculo básico. gerente de atendimento pôde concluir, baseado gráfico fornece os valores das ações da empresa no conceito de eficiência utilizado na empresa e nas XPN, no período das 10 as 17 horas, num dia em que elas informações do gráfico, que o de foi muito oscilaram acentuadamente em curtos intervalos de tempo. bom na Valor da Ação segunda e na 460 terça e na quarta-feira. terça e na quinta-feira. 380 D quinta-feira, no sábado e no domingo. 330 280 segunda, na quinta e na 200 150 9 (2012) Gráfico exponencial Envolve 100 equação. Tempo (em horas) 10 11 12 13 14 15 16 17 Existem no mercado chuveiros elétricos de diferentes Neste dia, cinco investidores compraram e venderam o poténcias, que representam consumos e custos diversos. mesmo volume de ações, porem em horários diferentes, A potência (P) de um chuveiro é dada pelo produto de acordo com a seguinte tabela. entre sua resistência elétrica (R) e o quadrado da corrente elétrica (i) que por ele circula. 0 consumo de energia Investidor Hora da Compra Hora da Venda elétrica (E), por sua vez, e diretamente proporcional a poténcia do aparelho. 1 10:00 15:00 Considerando as apresentadas, qual dos 2 10:00 gráficos a seguir representa a relação entre a energia 3 13:00 15:00 consumida (E) por um chuveiro elétrico e a corrente elétrica (i) que circula por ele? 4 15:00 16:00 5 16:00 17:00 5PROJETO SUPERANDO ENEM MATEMÁTICA - PROFESSOR RAFAEL IZIDORO RODRIGUES 11 (2011) Tabela Cálculo E E Acor de uma estrela tem relação com a temperatura em sua superficie. Estrelas não muito quentes (cerca de 3 000 K) nos parecem avermelhadas. Já as estrelas amarelas, como Sol, possuem temperatura em torno dos 6 000 K; as mais quentes são brancas ou azuis porque sua temperatura fica acima dos K. A tabela apresenta uma classificação espectral e outros dados para as estrelas dessas classes. E E Estrelas da Principal Classe Temperatura Luminosidade Massa Raio Espectral 05 40 18 E 2 16 7 AO no 3 2.5 G2 1 1 1 o MO 0,06 0,5 0,6 Temperatura em E massa e raio, tomando o Sol como em 2010 (adaptado) Se tomarmos uma estrela que tenha temperatura 5 vezes maior que a temperatura do qual será a C ordem de grandeza de sua vezes a luminosidade do Sol. vezes a luminosidade do Sol. © 850 vezes a luminosidade do Sol. vezes a luminosidade do Sol. E vezes a luminosidade do Sol. 10 (2011) Gráfico de linhas. 12 (2010) Gráfico de função do grau. termo agronegócio não se refere apenas à agricultura e à pecuária, pois as atividades ligadas a essa produção Acompanhando crescimento do filho, um casal incluem fornecedores de equipamentos, serviços para a constatou que, de a 10 anos, a variação da sua altura zona rural, industrialização e comercialização dos produtos. se dava de forma mais rápida do que dos 10 aos 17 anos gráfico seguinte mostra a participação percentual e, a partir de 17 anos, essa variação passava a ser cada do agronegócio no PIB brasileiro: vez menor, até se tornar imperceptivel. Para ilustrar 30 essa situação, esse casal fez um gráfico relacionando as alturas do filho nas idades consideradas. Que gráfico melhor representa a altura do filho desse casal em função da idade? A) 2001 I - 180 de Estudos Economia Aplicada (CEPEA) 2010 São ano Esse gráfico foi usado em uma palestra na qual o orador ressaltou uma queda da participação do agronegócio no PIB brasileiro e a posterior recuperação dessa participação, em termos percentuais. 17 Segundo o gráfico, o de queda ocorreu entre os anos de e 1998 e 2001. 2003 e 2007. 2001 e 2003. 2003 e 2008. 2003 e 2006. 17 Made 6PROJETO SUPERANDO ENEM MATEMÁTICA PROFESSOR RAFAEL IZIDORO RODRIGUES 500m D) 148 200m X 10 21.0 Um pequeno helicóptero usado para reconhecimento sobrevoa a região a partir do ponto X = 60). helicóptero segue o percurso: 0,8° N S L. 17 Ao final, desce verticalmente até pousar no solo. 13 (2010) Gráfico de linhas. De acordo com as orientações, helicóptero pousou em um local cuja altitude é gráfico a seguir apresenta o gasto militar dos Estados Unidos, no periodo de 1988 a 2006. menor ou igual a 200 m. maior que 200 m e menor ou igual a 400 m. maior que 400 m e menor ou igual a 600 m. o GASTO MILITAR ESTADOS UNIDOS SUPERA o DO maior que 600 m e menor ou igual a 800 m. maior que 800 m. 15 (2010) Gráfico de linhas Cálculo básico. Para conseguir chegar a um número recorde de - produção de ovos de Páscoa, as empresas brasileiras começam a se planejar para esse com um ano de antecedência. o gráfico a seguir mostra o número Fonte: Instituto Internacional de Pesquisa da Paz de Estocolmo (Sipri) de ovos de Páscoa produzidos no Brasil no periodo de 2005 a 2009. Almanaque Com base no gráfico, o gasto militar no da guerra no Iraque foi de US 107 US US 14 (2010) Coordenadas cartesianas. A figura a seguir é a representação de uma região por meio de curvas de nivel, que são curvas fechadas De acordo com gráfico, biênio que apresentou maior representando a altitude da região, com relação ao nivel produção acumulada foi do mar. As coordenadas estão expressas em graus de acordo com a longitude, no eixo horizontal, e a latitude, no eixo vertical. A escala em tons de cinza desenhada à direita está associada à altitude da região. 2008-2009. 7PROJETO SUPERANDO ENEM MATEMÁTICA - PROFESSOR RAFAEL IZIDORO RODRIGUES 3 (2013) Área. Etapa 3 Escalas e unidades de medidas A figura apresenta dois mapas, em que o estado do Rio de Janeiro visto em diferentes escalas. 1 (2013) Distância. A de Saude de um avalia um programa que disponibiliza, para cada aluno de uma escola municipal, uma bicicleta, que deve ser usada no trajeto de ida e volta, entre sua casa e a escola. Na fase de implantação do programa, o aluno que morava mais distante da escola realizou sempre o mesmo trajeto, representado na figura, na escala 1 por um período de cinco dias. Há interesse em estimar número de vezes que ampliada a área correspondente a esse estado no mapa do Brasil. Esse número é menor que 10. maior que 10 e menor que 20. que 20 e menor que 30. maior que 30 e menor que 40. maior que 40. Quantos esse aluno percorreu na fase de 4 (2012) Distância. implantação do programa? 4 20 o esporte de alta competição da atualidade produziu uma questão ainda sem resposta: Qual o limite do corpo 40 humano? maratonista original, o grego da lenda, morreu 16 de fadiga por ter corrido 42 americano Dean Karnazes, cruzando sozinho as planicies da 2 (2013) - Conversão de unidades Volume. conseguiu correr dez vezes mais em 75 horas. Um professor de Educação Física, ao discutir com Nos Estados Unidos a unidade de medida de a turma o texto sobre a capacidade do maratonista americano, desenhou na lousa uma pista reta de volume mais utilizada em latas de refrigerante é a 60 que representaria o percurso referido. onça fluida (fl que equivale a aproximadamente 2,95 centilitros (cL). Acesso 25 2011 Sabe-se que o centilitro é a centésima parte do litro e que a lata de refrigerante usualmente comercializada no Brasil tem capacidade de 355 mL. Se o percurso de Dean Karnazes fosse também em uma Assim, a medida do volume da lata de refrigerante de pista reta, qual seria a escala entre a pista feita pelo 355 mL, em onça fluida oz), é mais próxima de professor e a percorrida pelo atleta? A 0,83. 104,73. 1:700 1:700 000 1,20. E 120,34. 12,03. 1:70 000 8PROJETO SUPERANDO ENEM MATEMÁTICA - PROFESSOR RAFAEL IZIDORO RODRIGUES 5 (2012) Identificação. 7 (2011) Conversão de unidades Distância. Um mediu a altura de cinco árvores distintas e representou-as em uma mesma malha quadriculada, Um mecânico de uma equipe de corrida necessita utilizando escalas conforme indicações na que as seguintes medidas realizadas em um carro sejam figura a seguir. obtidas em metros: a) distância a entre os eixos dianteiro e traseiro; b) altura b entre o solo e o encosto do IV Qual é a árvore que apresenta a maior altura real? 160 D IV E V III Ao optar pelas medidas a e b em metros, obtêm-se, 6 (2012) - Volume. respectivamente, 0,23 e 230 e 160. Os são marcadores de consumo de água em e estabelecimentos comerciais. 2,3 e 1,6. Existem vários modelos de mostradores de hidrômetros, 23 e 16. sendo que alguns deles possuem uma combinação de um mostrador e dois relógios de ponteiro. o número formado 8 (2011) Distância. pelos quatro primeiros algarismos do mostrador fornece o consumo em e os dois últimos algarismos Para uma atividade realizada no laboratório de representam, respectivamente, as centenas e dezenas Matemática, um aluno precisa construir uma maquete de litros de consumidos. Um dos relógios de da quadra de esportes da escola que tem 28 m de ponteiros indica a quantidade em litros, e o outro em comprimento por 12 m de largura. A maquete deverá ser décimos de litros, conforme ilustrados na figura a seguir. construida na escala de 1 250. 1 000 de Que medidas de comprimento e largura, em cm, o aluno de utilizará na construção da maquete? metros cúbicos de 4,8 e 28,0 e 12,0 consumidos unidade de e 3,0 E 30,0 70,0 medida e 4,8 Mostrador 353485 9 (2011) Distância. V-A Sabe-se que a distância real, em linha reta, de uma cidade A, localizada no estado de São Paulo, a uma cidade B, localizada no estado de é igual a km. Um estudante, ao analisar um mapa, verificou com sua régua que a distância entre essas do INMETRO duas cidades, Ae B, era 8 cm. Décimos de Os dados nos indicam que o mapa observado pelo estudante está na escala de Considerando as informações indicadas na figura, consumo total de água registrado nesse em litros, e igual a 1 E 1 : E 9PROJETO SUPERANDO ENEM MATEMÁTICA - PROFESSOR RAFAEL IZIDORO RODRIGUES 3 (2011) Cálculo simples. Etapa 4 Razão Café no Brasil 0 consumo atingiu maior nivel da história no ano passado: os brasileiros beberam o equivalente a 331 1 (2013) Envolve porcentagem. bilhões de xicaras. Ed. 31 Um comerciante visita um centro de vendas para fazer Considere que a xicara citada na seja equivalente cotação de preços dos produtos que deseja comprar. a. aproximadamente, 120 mL de café. Suponha que em Verifica que se aproveita 100% da quantidade adquirida 2010 os brasileiros bebam ainda mais café, aumentando de produtos do tipo mas apenas 90% de produtos do tipo B. Esse comerciante deseja comprar uma quantidade o consumo em 1 do que foi consumido no ano anterior. de produtos, obtendo o menor em cada 5 um deles. 0 quadro mostra o preço por quilograma, em De acordo com essas informações, qual a previsão mais reais, de cada produto comercializado. aproximada para 0 consumo de café em 2010? Produto Tipo A Tipo 8 bilhões de Arroz 2,00 1,70 8 16 bilhões de litros. Feijão 4,50 4,10 Soja 3,80 3,50 © 32 bilhões de litros. Milho 6,00 5,30 40 bilhões de litros. Os tipos de arroz, feijão, soja e milho que devem ser E 48 bilhões de litros. escolhidos pelo comerciante respectivamente, A.A.A.A. 4 (2010) Envolve porcentagem. A.B.A.B. E Um professor dividiu a lousa da sala de aula em quatro partes iguais. Em seguida, preencheu 75% dela com conceitos e explicações, conforme a figura seguinte. 2 (2013) - Identificação. Em um certo teatro, as poltronas são divididas em setores. A figura apresenta a vista do setor 3 desse teatro, no qual as cadeiras escuras estão reservadas e as claras não foram vendidas. Algum tempo depois, o professor apagou a lousa por completo e, adotando um procedimento semelhante ao anterior, voltou a mas, dessa vez, utilizando 40% do espaço dela. Uma representação possivel para essa segunda situação é S T R E 3 A razão que representa a quantidade de cadeiras reservadas do setor 3 em relação ao total de cadeiras desse mesmo setor 17 53 A 70 D 17 17 70 53 E 17 53 70 10PROJETO SUPERANDO ENEM MATEMÁTICA - PROFESSOR RAFAEL IZIDORO RODRIGUES 5 (2010) Conversão de unidades Distância. Etapa 5 - Proporção No monte de Cerro Armazones, no deserto de Atacama, no Chile, ficará o maior telescópio da superficie terrestre, o Telescópio Europeu Extremamente Grande E-ELT terá um espelho primário de 42 m de "o 1 (2013) Regra de três Conversão de maior olho do mundo voltado para unidades Tempo e volume. Dispon com Acesso em 27 2010 Ao ler esse texto em uma sala de aula, uma professora Uma torneira não foi fechada corretamente e ficou fez uma suposição de que o do olho humano pingando, da meia-noite seis horas da com a mede aproximadamente cm. frequência de uma gota a cada segundos. Sabe-se Qual a razão entre 0 diâmetro aproximado do olho que cada gota d'agua tem volume de 0,2 mL. humano, suposto pela professora, e diâmetro do Qual foi o valor mais aproximado do total de água espelho primário do telescópio citado? desperdiçada nesse período, em litros? 1 20 0,2 1 100 1,2 1 200 1,4 1 1 D E E 64,8 2 (2013) Regra de Um dos grandes problemas enfrentados nas rodovias brasileiras é o excesso de carga transportada pelos caminhões. Dimensionado para dentro dos limites legais de carga, o piso das estradas se deteriora com o peso excessivo dos disso, excesso de carga interfere na capacidade de frenagem e no funcionamento da suspensão do causas frequentes de acidentes. Ciente dessa responsabilidade e com base na adquirida com pesagens, um caminhoneiro sabe que seu caminhão pode carregar, no máximo, telhas ou 1 200 tijolos. Considerando esse caminhão carregado com 900 telhas. quantos tijolos, no máximo, podem ser acrescentados a carga de modo a não ultrapassar a carga máxima do caminhão? 300 tijolos D 480 tijolos 360 tijolos E 600 tijolos 400 tijolos 3 (2013) Regra de três composta Grandezas inversamente proporcionais. Uma indústria tem um reservatório de água com capacidade para 900 Quando ha necessidade de limpeza do reservatório, toda a água precisa ser escoada. escoamento da água é feito por seis ralos, e dura 6 horas quando o reservatório está cheio. Esta construirá um novo com capacidade de 500 cujo escoamento da deverá ser realizado em 4 horas, quando o reservatório estiver cheio. Os ralos utilizados no novo reservatório deverão ser aos do existente. 11PROJETO SUPERANDO ENEM MATEMÁTICA - PROFESSOR RAFAEL IZIDORO RODRIGUES A quantidade de ralos do novo deverá ser Sabendo-se que um deles levou 50 laranjas a mais no igual a segundo trajeto, qual a quantidade de laranjas que 2. D 8. Carlos e Paulo, nessa ordem, transportaram na segunda 4. E 9. parte do trajeto? 5. E 4 (2013) Envolve volume. Para se construir um contrapiso, e comum, na 7 (2012) Envolve área. constituição do concreto, se utilizar cimento, areia e brita, na seguinte proporção: 1 parte de cimento, 4 partes de A capacidade em de um aparelho de areia e 2 partes de brita. Para construir o contrapiso ar-condicionado, para ambientes sem exposição ao de uma garagem, uma construtora encomendou um pode ser determinada da seguinte forma: caminhão betoneira com 14 de concreto. 600 por considerando-se até duas Qual o volume de cimento, em na carga de concreto pessoas no trazido pela betoneira? para cada pessoa adicional nesse ambiente, 1,75 4,00 acrescentar 600 2,00 8,00 acrescentar mais 600 BTU/h para cada equipamento em funcionamento no ambiente. 5 (2013) Regra de três. Será instalado um aparelho de ar-condicionado em uma Cinco empresas de géneros alimentícios sala, sem exposição ao sol, de dimensões 4 m 5 em encontram-se venda. Um empresário, almejando que permaneçam quatro pessoas e possua um aparelho ampliar os seus deseja comprar de televisão em uma dessas empresas. Para escolher qual delas irá comprar, analisa o lucro (em milhões de reais) A capacidade minima, em desse aparelho de ar- de cada uma delas, em função de seus tempos (em condicionado deve ser anos) de decidindo comprar a empresa A D que apresente maior lucro médio anual. E quadro apresenta o lucro (em milhões de reais) acumulado ao longo do tempo (em anos) de existência de cada empresa. 8 (2012) Proporção direta e inversa Lucro Tempo Empresa Envolve elaboração de equação. (em milhões de reais) (em anos) A resistência mecânica S de uma viga de madeira, F 24 3,0 em forma de um paralelepipedo diretamente G 24 proporcional a sua largura (b) e ao quadrado de sua altura H 25 2.5 (d) e inversamente proporcional ao quadrado da distância entre suportes da viga, que coincide com o seu M 15 1,5 comprimento (x), conforme ilustra a figura. A constante de P 9 1,5 proporcionalidade k chamada de resistência da viga. empresário decidiu comprar a empresa F. M. G. E P. H. 6 (2012) Envolve equação do grau. Carlos e Paulo devem transportar em suas bicicletas uma certa quantidade de laranjas. Decidiram A expressão que traduz a resistência S dessa viga de dividir o trajeto a ser percorrido em duas partes, sendo que madeira é ao final da primeira parte eles redistribuiriam a quantidade de laranjas que cada um carregava dependendo do k.b.d² S D S cansaço de cada um. Na primeira parte do trajeto José, Carlos e Paulo dividiram as laranjas na k.b.2d proporção 6 5 4, respectivamente. Na segunda S S 2x parte do trajeto José, Carlos Paulo dividiram as laranjas na proporção 4 : 2. respectivamente. k.b.d² S X 12PROJETO SUPERANDO ENEM MATEMÁTICA - PROFESSOR RAFAEL IZIDORO RODRIGUES 9 (2012) Regra de 12 (2012) Regra de Uma mãe recorreu à bula para verificar a dosagem Ha, em virtude da demanda crescente de economia de um remédio que precisava dar a seu filho. Na bula, de água, equipamentos e como, por recomendava-se a seguinte dosagem: 5 gotas para cada as bacias ecológicas, que utilizam 6 litros de 2 kg de massa corporal a cada 8 horas. água por descarga em vez dos 15 litros utilizados por Se a mãe ministrou corretamente 30 gotas do a bacias sanitárias não ecológicas, conforme dados da seu filho a cada 8 horas, então a massa corporal dele de Associação Brasileira de Normas Técnicas (ABNT). 12 kg. 36 kg. Qual será a economia diária de obtida por meio da 16 kg. 75 kg. substituição de uma bacia sanitária não ecológica, que 24 kg. gasta cerca de 60 litros por dia com a descarga, por uma bacia sanitária ecológica? 10 (2012) Regra de três. 24 litros 42 litros Nos shopping centers costumam existir parques com 36 litros E 50 litros vários brinquedos e jogos. Os usuários colocam créditos 40 litros em um cartão, que são descontados por cada de tempo de dos jogos. Dependendo da pontuação da 13 (2011) Regra de criança no jogo, ela recebe um certo número de para trocar por produtos nas lojas dos parques. Você pode adaptar as atividades do seu dia a dia de Suponha que o de uso de um brinquedo em uma forma que possa queimar mais calorias do que as gastas normalmente, conforme a relação seguinte: certo shopping custa R$ 3,00 e que uma bicicleta custa 9 200 Enquanto você fala ao telefone, faça agachamentos: 100 calorias gastas em 20 minutos. Para uma criança que recebe 20 tiquetes por periodo Meia hora de supermercado: 100 calorias. de tempo que joga, o valor, em reais, gasto com Cuidar do jardim por 30 minutos: 200 calorias. para obter a quantidade de para Passear com o cachorro: 200 calorias em 30 minutos. Tirar pó dos móveis: 150 calorias em 30 minutos. trocar pela bicicleta Lavar roupas por 30 minutos: 200 calorias. A 153. Acesso 27 abr. 2010 460. Uma pessoa deseja executar essas atividades, porém, ajustando o tempo para que, em cada uma, gaste igualmente 200 calorias. A partir dos ajustes, quanto tempo a mais será necessário 11 (2012) Regra de três Envolve para realizar todas as atividades? conversão de unidades (tempo e volume). 50 minutos. D 120 minutos. 60 minutos. 170 minutos. Em 20 de fevereiro de 2011 ocorreu a grande erupção 80 minutos. do vulcão Bulusan nas Filipinas. A sua localização geográfica no globo terrestre é dada pelo GPS (sigla em para Sistema de Posicionamento Global) com 14 (2011) Regra de três. longitude de a leste do Meridiano de Dado: equivale a e equivale a Em 2010, um caos aéreo afetou o continente europeu, devido à quantidade de expelida por um na G. 2012 Islândia, o que levou ao cancelamento de inúmeros A representação angular da localização do vulcão com Cinco dias após o inicio desse caos, todo o relação a sua longitude na forma decimal espaço aéreo europeu acima de metros estava liberado, com exceção do espaço aéreo da Lá, apenas voos internacionais acima de 31 mil pés E estavam liberados. com be Acesso 21 2010 Considere que 1 metro equivale a aproximadamente 3,3 pés. Qual a diferença, em pés, entre as altitudes liberadas na Finlândia e no restante do continente europeu cinco dias após do caos? 13PROJETO SUPERANDO ENEM MATEMÁTICA - PROFESSOR RAFAEL IZIDORO RODRIGUES pés. Considere dois consumidores: um que de baixa renda pés. E pés. e gastou 100 kWh e outro do tipo residencial que gastou 185 kWh. Adiferença entre gasto desses consumidores pés. com 1 kWh, depois da redução da tarifa de energia, mais aproximada, é de 15 (2011) Regra de R$ R$ 0,29. E R$ 0,61. Observe as dicas para calcular a quantidade certa R$ 0,32. de alimentos e bebidas para as festas de fim de ano: Para o prato principal, estime 250 gramas de carne para cada pessoa. 17 (2011) Regra de três Envolve Um copo americano cheio de arroz rende o suficiente conversão de unidades (tempo). para quatro pessoas. Para a farofa, calcule quatro colheres de sopa por Muitas medidas podem ser tomadas em nossas casas visando utilização racional de energia elétrica. Uma garrafa de vinho serve seis pessoas. Isso deve ser uma atitude diária de cidadania. Uma delas Uma garrafa de cerveja serve duas. Uma garrafa de espumante serve três convidados. pode ser a redução do tempo no Um chuveiro com potência de 800 W consome 4,8 kW por hora. Quem organiza festas faz esses cálculos em cima do total de convidados, independente do gosto de cada um. Uma pessoa que toma dois banhos diariamente, de 10 Quantidade certa de admentos bebidas evita minutos cada, consumirá, em sete dias, quantos kW? Jornal 17 2010 (adaptado) e 0,8 11,2 Um anfitrião decidiu seguir essas dicas ao se preparar para 1,6 33,6 receber 30 convidados para a ceia de Natal. Para seguir essas orientações à risca, o anfitrião deverá dispor de 5,6 120 kg de carne, 7 copos americanos e meio de arroz, 120 colheres de sopa de farofa, 5 garrafas de 18 (2011) Regra de três. vinho, 15 de cerveja e 10 de espumante. 120 kg de carne, 7 copos americanos e meio de Nos últimos cinco anos, 32 mil mulheres de 20 a 24 arroz, 120 colheres de sopa de farofa, 5 garrafas de anos foram internadas nos hospitais do SUS por causa vinho, 30 de cerveja e 10 de espumante. de AVC. Entre os homens da mesma faixa etária, houve 75 kg de came, 7 copos americanos e meio de arroz, 28 mil internações pelo mesmo motivo. 120 colheres de sopa de farofa, 5 garrafas de vinho, 26 2010 (adaptado) 15 de cerveja e 10 de espumante. Suponha que, nos próximos cinco anos, haja um 7,5 kg de carne, 7 copos americanos, 120 colheres acréscimo de 8 mil internações de mulheres e que o de sopa de farofa, 5 garrafas de vinho, 30 de cerveja acréscimo de internações de homens por AVC ocorra na e 10 de espumante. mesma proporção. E 7,5 kg de carne, 7 copos americanos e meio de arroz, 120 colheres de sopa de farofa, 5 garrafas de De acordo com as informações dadas, número de vinho, 15 de cerveja e 10 de espumante. homens que seriam internados por nos próximos cinco anos, corresponderia a 16 (2011) Regra de três. 4 mil. D 35 mil. 9 39 mil. A tabela compara o consumo mensal, em kWh, dos 21 consumidores residenciais e dos de baixa renda, antes e depois da redução da tarifa de energia no estado de 19 (2010) Proporção direta e inversa. A resistência elétrica e as dimensões do condutor Como tarifa Residencial A relação da resistência elétrica com as dimensões Consumo Mensal (kWh) Antes Depois 140 do condutor foi estudada por um grupo de cientistas 185 por meio de vários experimentos de eletricidade. Eles verificaram que existe proporcionalidade entre: 500 Baixa renda resistência (R) e comprimento dada a mesma Consumo Mensal (kwh) Antes transversal 30 resistência (R) e área da transversal (A), dado 65 mesmo comprimento e comprimento e área da transversal (A), 100 R$ 16,73 dada a mesma resistência (R), 140 Considerando os resistores como fios, pode-se de exemplificar estudo das grandezas que influem na resistência elétrica utilizando as figuras seguintes. 14PROJETO SUPERANDO ENEM MATEMÁTICA - PROFESSOR RAFAEL IZIDORO RODRIGUES condutor resistência Etapa 6 Equações de mesmo material de material de material A A 1 (2013) Elaboração da equação. A resistência resistência Uma fábrica de fórmicas produz placas quadradas de lados de medida igual a y Essas placas são vendidas em caixas com N unidades e, na caixa, Disponível em: http://www.efeitojoule.com especificada a área máxima S que pode ser coberta pelas Acesso em: abr. 2010 (adaptado). N placas. Devido a uma demanda do mercado por placas As figuras mostram que as proporcionalidades existentes maiores, a fábrica triplicou a medida dos lados de suas entre resistência (R) e comprimento resistência (R) e placas e conseguiu reuni-las em uma nova caixa, de tal área da transversal (A), e entre comprimento e área da secção transversal (A) são, respectivamente, forma que a área coberta S não fosse A quantidade de placas do novo modelo, em cada nova direta, direta e direta. D inversa, direta e direta. caixa será igual a: direta, direta e inversa. E inversa, direta e inversa. direta, inversa e direta. N A 3N 9 20 (2010) Regra de três Envolve N 8 E 9N 6 potenciação. N Um dos grandes problemas da poluição dos mananciais 3 (rios, córregos e outros) ocorre pelo hábito de jogar óleo utilizado em frituras nos encanamentos que estão 2 (2013) Equação interligados com o sistema de esgoto. Se isso ocorrer, cada 10 litros de óleo poderão contaminar 10 milhões Em setembro de 1987, foi palco do maior de litros de água potável. acidente radioativo ocorrido no Brasil, quando uma amostra Manual de de removida de um aparelho de radioterapia National 93) foi manipulada inadvertidamente por parte Suponha que todas as de uma cidade descartem da população. A meia-vida de um material radioativo é o os óleos de frituras através dos encanamentos e tempo necessário para que a massa desse material se consomem litros de óleo em frituras por semana. reduza a metade. A meia-vida do e 30 anos e a Qual seria, em litros, a quantidade de água potável quantidade restante de massa de um material radioativo, contaminada por semana nessa cidade? anos, é calculada pela expressão A 10² onde A a massa inicial e uma constante negativa. Considere 0,3 como aproximação para Qual tempo necessário, em anos, para que uma quantidade de massa do se reduza a 10% da quantidade inicial? A 27 D 54 36 E 100 50 3 (2013) Elaboração da equação. Na aferição de um novo os tempos são ajustados de modo que, em cada ciclo completo (verde- amarelo-vermelho), a luz amarela permaneça acesa por 5 segundos, e tempo em que a luz verde permaneça acesa seja igual a 2 do tempo em que a luz vermelha fique acesa. A luz verde fica acesa, em cada ciclo, durante X segundos e cada ciclo dura Y Qual é a expressão que representa a relação entre X e Y? A 5X 3Y 15 3X 2Y 5X 2Y E 15PROJETO SUPERANDO ENEM MATEMÁTICA - PROFESSOR RAFAEL IZIDORO RODRIGUES 4 (2013) Equação do grau Envolve 6 (2012) Equação do grau Envolve escala e área. proporção. A figura apresenta dois mapas, em que o estado do A resistência mecânica S de uma viga de madeira, Rio de Janeiro é visto em diferentes em forma de um paralelepipedo retângulo, diretamente proporcional à sua largura (b) e ao quadrado de sua altura (d) e inversamente proporcional ao quadrado da distância entre os suportes da viga, que coincide com o seu comprimento conforme ilustra a figura. A constante de proporcionalidade k chamada de da viga. interesse em estimar o número de vezes que foi ampliada a área correspondente a esse estado no A expressão que traduz a resistência S dessa viga de madeira mapa do Brasil. Esse número e S D S menor que 10. k.b.d k.b.2d S E S maior que 10 e menor que 20. 2x maior que 20 e menor que 30. k.b.d² © S D maior que 30 e menor que 40. E maior que 40. 7 (2012) Equação do grau. 5 (2012) Equação do grau Envolve As curvas de oferta e de demanda de um produto proporção. representam, as quantidades que vendedores e consumidores estão dispostos a José, Carlos e Paulo devem transportar em suas comercializar em função do preço do produto. Em alguns bicicletas uma certa quantidade de laranjas. Decidiram essas curvas podem ser representadas por retas. dividir o trajeto a ser percorrido em duas partes, sendo que Suponha que as quantidades de oferta e de demanda ao final da primeira parte eles redistribuiriam a quantidade de um produto sejam, respectivamente, representadas de laranjas que cada um carregava dependendo do pelas equações: cansaço de cada um. Na primeira parte do trajeto José, Carlos e Paulo dividiram as laranjas na proporção 6 5 4. respectivamente. Na segunda parte do trajeto Carlos e Paulo dividiram as laranjas na proporção 4 4 2. respectivamente. em que é quantidade de oferta, é a quantidade de Sabendo-se que um deles levou 50 laranjas a mais no segundo trajeto, qual a quantidade de laranjas que José, demanda e P é o preço do produto. Carlos e Paulo, nessa ordem, transportaram na segunda A partir dessas equações, de oferta e de os parte do trajeto? economistas encontram preço de equilibrio de mercado, 600,550,350 D 200, 200, 100 ou seja, quando e se igualam. E Para a situação descrita, qual o valor do preço de 5 23 11 E 33 13 16PROJETO SUPERANDO ENEM MATEMÁTICA - PROFESSOR RAFAEL IZIDORO RODRIGUES 8 (2012) Equação do primeiro grau. 10 (2011) Equação logaritmica. Dentre outros objetos de pesquisa, a Alometria A Escala de Magnitude de Momento (abreviada estuda a relação entre medidas de diferentes partes do como MMS e denotada como M_), introduzida em 1979 corpo Por exemplo, segundo a Alometria, a área A da corporal de uma pessoa relaciona-se com por Thomas Haks e Hiroo Kanamori, substituiu a Escala a sua massa m pela A em que k é uma de Richter para medir a magnitude dos terremotos em constante positiva. termos de energia liberada. Menos conhecida pelo Se no periodo que da até a de um público, a MMS é, no entanto, a escala usada para sua massa é multiplicada por 8, por quanto será estimar as magnitudes de todos os grandes terremotos da multiplicada a área da corporal? atualidade. Assim como a escala Richter, a MMS é uma D 8 escala Mw se relacionam pela fórmula: E 4 64 Mw 2 3 Onde é o momento (usualmente estimado 9 (2012) Equação exponencial Envolve a partir dos registros de movimento da superficie, através gráfico. dos sismogramas), cuja unidade é o terremoto de Kobe, acontecido no dia 17 de Existem no mercado chuveiros elétricos de diferentes janeiro de 1995, foi um dos terremotos que causaram que representam consumos e custos diversos. maior impacto no Japão e na comunidade cientifica A potencia (P) de um chuveiro elétrico dada pelo produto internacional. Teve magnitude Mw 7,3. entre sua resistência elétrica (R) e o quadrado da corrente U.S. GEOLOGICAL SURVEY elétrica (i) que por ele circula. consumo de energia gov Acesso maio 2010 elétrica por sua vez. diretamente proporcional U.S. GEOLOGICAL SURVEY Earthquake Magnitude Policy maio 2010 do aparelho. Mostrando que é determinar a medida por meio Considerando as características apresentadas, qual dos de conhecimentos matemáticos, qual foi o momento gráficos a seguir representa a relação entre a energia do terremoto de Kobe (em dina-cm)? consumida (E) por um chuveiro elétrico e a corrente e elétrica (i) que circula por ele? E E 11 (2011) Equação do grau Envolve porcentagem. A o Indice de Massa Corporal (IMC) é largamente utilizado há cerca de 200 anos, mas esse cálculo representa muito mais a corpulência que a adiposidade, uma vez que individuos musculosos e obesos podem E E apresentar mesmo IMC. Uma nova pesquisa aponta Indice de Adiposidade Corporal (IAC) como uma alternativa mais fidedigna para quantificar a gordura E corporal, utilizando a medida do quadril e a altura. A figura mostra como calcular essas medidas, sabendo- se que, em mulheres, a adiposidade normal está entre 19% e 26%. E o IMC o de o % X 17PROJETO SUPERANDO ENEM MATEMÁTICA - PROFESSOR RAFAEL IZIDORO RODRIGUES Uma jovem com IMC 100 cm de circunferência 14 (2011) Inequação do grau. dos quadris e 60 kg de massa corpórea resolveu averiguar seu IAC. Para se enquadrar aos níveis de Uma indústria fabrica um único tipo de produto e sempre vende tudo o que produz. o custo total para normalidade de gordura corporal, a atitude adequada fabricar uma quantidade de produtos é dado por uma que essa jovem deve ter diante da nova medida é função, simbolizada por CT, enquanto o faturamento que a empresa obtém com a venda da quantidade também é uma função, simbolizada por FT. lucro total (LT) obtido pela venda da quantidade a de produtos é dado pela expressão LT(q) FT(q) CT(q). reduzir seu excesso de gordura em cerca de 1%. reduzir seu excesso de gordura em cerca de 27%. Considerando-se as funções FT(q) 5q e CT(q) como faturamento e custo, qual a quantidade mínima de manter seus niveis atuais de gordura. produtos que a indústria terá de fabricar para não ter D aumentar seu nivel de gordura em cerca de prejuizo? E aumentar seu nivel de gordura em cerca de 27%. A 0 D 4 1 E 5 12 (2011) Elaboração da equação. 3 prefeito de uma cidade deseja construir uma 15 (2010) Substituição da incógnita por para dar acesso a outro Para isso, foi valores numéricos. aberta uma licitação na qual concorreram duas empresas. A primeira cobrou R$ 100 000,00 por km construido (n), acrescidos de um valor fixo de enquanto Embora o Indice de Massa Corporal (IMC) seja a segunda cobrou por km construido (n), amplamente utilizado, existem ainda inúmeras restrições acrescidos de um valor fixo de R$ As duas teóricas ao uso e faixas de normalidade preconizadas. empresas apresentam o mesmo padrão de qualidade o do Ponderal de acordo com o dos serviços prestados, mas apenas uma delas poderá modelo alométrico, possui uma melhor fundamentação ser contratada. matemática, já que a massa é uma variável de dimensões cúbicas e a altura, uma variável de dimensões lineares. Do ponto de vista econômico, qual equação possibilitaria As fórmulas que determinam esses indices são: encontrar a extensão da rodovia que indiferente para a prefeitura escolher qualquer uma das propostas apresentadas? massa(kg) altura (cm) IMC RIP e 100n + 350 120n + 150 100(n + 350) 150) 100(n 120(n + R de Questionamento E 350(n + 150(n volume 2002 13 (2011) Elaboração da equação. Se uma menina, com 64 kg de massa, apresenta IMC igual a 25 então ela possui RIP igual a A resistência das vigas de dado comprimento é 0,4 diretamente proporcional à largura (b) e ao quadrado 20 da altura conforme a figura. A constante de 2,5 40 proporcionalidade varia de acordo com o material 8 utilizado na sua construção. 16 (2010) Resolução da equação. o gráfico mostra o número de favelas no municipio do Rio de Janeiro entre 1980 e 2004, considerando que a variação nesse número entre os anos considerados é 750 573 Considerando-se S como a resistência, a representação algébrica que exprime essa relação é 372 S d² E S b 1992 2004 621, 12 2010 18PROJETO SUPERANDO ENEM MATEMÁTICA - PROFESSOR RAFAEL IZIDORO RODRIGUES Se o padrão na variação do periodo 2004/2010 se mantiver nos próximos 6 anos, e sabendo que o número de favelas em 2010 é 968, então o número de favelas Etapa 7 Funções em 2016 será A menor que 150. 218 unidades maior que em 2004. 1 (2013) Função do 2° grau Vértice da maior que 150 e menor que 177 unidades maior que em 2010. parábola Determinação do termo maior que independente. 17 (2010) Resolução da equação. A parte interior de uma taça foi gerada pela rotação de uma parábola em de um eixo conforme mostra Salto Triplo é uma modalidade do atletismo em que a figura. o atleta dá um salto em um só pé, uma passada e um Eiso de rotação salto, nessa ordem. Sendo que salto com impulsão em (cm) um só pé será feito de modo que o atleta caia primeiro sobre o mesmo pé que deu a na passada ele cairá com o outro pé, do qual o salto é - be Um atleta da modalidade Salto Triplo, depois de estudar seus movimentos, percebeu que, do segundo para (cm) o primeiro salto, alcance em 1,2 e, do terceiro para o segundo salto, o alcance 1,5 m. Querendo atingir a meta de 17,4 m nessa prova e considerando os seus estudos, a alcançada no primeiro salto teria de estar entre 4,0 m e 5,0 m. 7,0 e m. A função real que expressa a no plano 5,0 m e 6,0 m. 6,0 m e 7,0 m. cartesiano da figura, dada pela lei f(x) 3 2 onde Ce a medida da altura do líquido contido na taça, em 18 (2010) Resolução da equação. centimetros. Sabe-se que o ponto V, na figura, representa Adisparidade de volume entre os planetas é tão grande o vértice da localizado sobre o eixo X. que seria colocá-los uns dentro dos outros. planeta Mercúrio é o menor de todos. Marte é o segundo Nessas condições, a altura do líquido contido na taça, em menor: dentro dele cabem três Mercúrios. Terra é único centimetros, com vida: dentro dela cabem sete Martes. Netuno o 1. D 5. quarto maior: dentro dele cabem 58 Terras. Júpiter é o 2. E 6. maior dos planetas: dentro dele cabem 23 4. Revista 25 2008 Seguindo o raciocinio proposto, quantas Terras cabem 2 (2013) Determinação da lei da função. dentro de Júpiter? 406 Muitos processos fisiológicos e tais como batimentos e taxa de respiração, apresentam escalas a partir da relação entre superfície e massa (ou volume) do animal. Uma dessas escalas, por exemplo, considera que "o cubo da area S da superfície de um e proporcional ao quadrado de sua massa Isso equivalente a dizer que, para uma constante k > a área S pode ser escrita em função de M por da expressão: A E 19PROJETO SUPERANDO o ENEM MATEMÁTICA - PROFESSOR RAFAEL IZIDORO RODRIGUES 3 (2013) Resolução da equação do 2° grau. A temperatura T de um forno (em graus centigrados) 1750 reduzida por um sistema a partir do instante de seu desligamento = 0) e varia de acordo com a expressão D com em minutos. Por motivos + 4 de a trava do forno so liberada para abertura quando o forno atinge a temperatura de P 150 Qual o tempo mínimo de espera, em minutos, após se desligar o forno, para que a porta possa ser aberta? e 19,0 D 38,0 19,8 E 39,0 20,0 E 4 (2012) - Função do grau Elaboração do gráfico. Certo vendedor tem seu salário mensal calculado da seguinte maneira: ele ganha um valor fixo de R$ 750,00, mais uma comissão de R$ 3,00 para cada 5 (2011) Função do 1° grau Elaboração do produto vendido. Caso ele venda mais de 100 produtos, gráfico. sua comissão passa a ser de para cada produto As frutas que antes se compravam por dúzias, vendido, a partir do 101° produto vendido. hoje em dia, podem ser compradas por quilogramas, existindo também a variação dos preços de acordo com Com essas informações, o gráfico que melhor representa a época de produção. Considere que, independente da a relação entre salário e o numero de produtos vendidos época ou variação de preço, certa fruta custa R$ 1,75 o quilograma. Dos gráficos a seguir, o que representa o preço m pago em reais pela compra de n quilogramas desse produto é 750 A in 2000 E - 500 250 E 20PROJETO SUPERANDO ENEM MATEMÁTICA PROFESSOR RAFAEL IZIDORO RODRIGUES 6 (2011) Função do 1° grau Determinação 8 (2010) Função do grau Elaboração da do coeficiente linear Determinação da lei da lei da função. função. Uma professora realizou uma atividade com seus alunos utilizando canudos de refrigerante para montar figuras, onde saldo de contratações no mercado formal no cada lado foi representado por um A quantidade setor varejista da região metropolitana de São Paulo de canudos (C) de cada figura depende da quantidade registrou alta. Comparando as contratações deste setor de quadrados (Q) que formam cada figura. A estrutura de no mês de fevereiro com as de janeiro deste ano, houve formação das figuras está representada a seguir. incremento de 300 vagas no setor, totalizando trabalhadores com carteira assinada. http com en 2010 Figura Figura Suponha que o incremento de trabalhadores no setor varejista seja sempre o mesmo nos seis primeiros Que expressão fornece a quantidade de canudos em meses do ano. função da quantidade de quadrados de cada figura? 4Q Considerando-se que y e representam, respectivamen- C=4Q-2 te, as quantidades de trabalhadores no setor varejista e os meses, janeiro sendo o primeiro, fevereiro, o segundo, e assim por diante, a expressão algébrica que relaciona essas quantidades nesses meses 9 (2010) Função do grau e grau y 876 + Resolução da equação. E y + 300x y 005 300x Nos processos industriais, como na indústria de é necessário uso de fornos capazes de produzir elevadas 7 (2011) Função do 1° grau Função temperaturas e, em muitas situações, o tempo de elevação constante Elaboração do gráfico. dessa temperatura deve ser controlado, para garantir a qualidade do produto final e a economia no processo. Uma empresa de telefonia fixa oferece dois planos Em uma indústria de cerâmica, o forno é programado aos seus clientes: no plano K. o cliente paga R$ 29,90 para elevar a temperatura ao longo do tempo de acordo por 200 minutos mensais e R$ 0,20 por cada minuto com a função no plano paga R$ 49,90 por 300 minutos mensais e R$ 0,10 por cada minuto excedente. 7 para 0 5 gráfico que representa o valor pago, em reais, nos T(t)= dois planos em função dos minutos utilizados é 125 2 16 5 para 100 em que Té o valor da temperatura atingida pelo forno, em graus Celsius, e tempo, em minutos, decorrido desde o instante em que o forno é ligado. A Uma peça deve ser colocada nesse quando a D temperatura for 48 e retirada quando a temperatura for o tempo de permanência dessa peça no forno é, em - - - minutos, igual a - - 100. 130. 108. 150. 128. E - - - - - - 21PROJETO SUPERANDO ENEM MATEMÁTICA - PROFESSOR RAFAEL IZIDORO RODRIGUES Se o maquinista quiser ganhar o máximo Etapa 8 Sequências e progressões quantas viagens fazer? 37 89 51 E 91 88 1 (2013) Progressão aritmética Determinação do último termo Soma dos 4 (2011) Progressão aritmética termos. Determinação do último termo. As projeções para a produção de arroz no o número mensal de passagens de uma determinada de 2012 2021, em uma determinada região produtora, empresa aumentou no ano passado nas seguintes apontam para uma perspectiva de crescimento constante condições: em janeiro foram vendidas passagens; em fevereiro, em março, Esse padrão de da produção 0 quadro apresenta a quantidade de crescimento se mantém para os meses subsequentes. em toneladas, que será produzida nos primeiros Quantas passagens foram vendidas por essa empresa anos desse de acordo com essa projeção. em julho do ano passado? Ano Projeção da produção (t) E 2012 50,25 2013 51,50 2014 52,75 5 (2010) Progressão aritmética Soma dos 2015 54,00 termos. A quantidade total de em toneladas, que deverá ser Ronaldo é um garoto que adora brincar com números. produzida no período de 2012 a 2021 será de Numa dessas brincadeiras, empilhou caixas numeradas de acordo com a sequência conforme mostrada no e 497,25. 558,75. esquema a 500,85. E 563,25. 1 1 2 1 1 2 3 2 1 2 (2013) Progressão aritmética - 1 2 3 4 3 2 1 Determinação da quantidade de termos. Ele percebeu que a soma dos números em cada o ciclo de atividade magnética do Sol tem um período linha tinha uma propriedade e que, por meio dessa de 11 anos. 0 início do primeiro ciclo registrado se deu propriedade, era possivel prever a soma de qualquer no começo de 1755 e se estendeu até final de 1765. linha posterior às já Desde então, todos os ciclos de atividade magnética do A partir dessa propriedade, qual será a soma da linha Sol sido registrados. da sequência de caixas empilhadas por Ronaldo? 9 81 - globo 27 45 285 No ano de o Sol estará no ciclo de atividade 64 magnética de número 32. 35. 34. 31. 33. 3 - (2012) Progressão aritmética - Determinação da quantidade de termos. Um maquinista de trem ganha R$ por viagem e pode viajar a cada 4 dias. Ele ganha somente se fizer a viagem e sabe que estará de de a 10 de junho, quando não poderá viajar. Sua primeira viagem ocorreu no dia primeiro de janeiro. Considere que o ano tem 365 dias. 22PROJETO SUPERANDO ENEM MATEMÁTICA - PROFESSOR RAFAEL IZIDORO RODRIGUES 4 (2013) Aumentos e reduções. Etapa 9 Porcentagem A cerâmica constitui-se em um artefato bastante presente na história da Uma de suas várias propriedades é a retração (contração), que consiste 1 (2013) Envolve razão. na evaporação da água existente em um conjunto ou bloco quando submetido a uma determinada Um comerciante visita um centro de vendas para fazer temperatura elevada. Essa elevação de cotação de preços dos produtos que deseja comprar. que ocorre durante o processo de cozimento, causa uma Verifica que se aproveita 100% da quantidade adquirida redução de até 20% nas dimensões lineares de uma peça. de produtos do tipo A, mas apenas 90% de produtos do tipo B. Esse comerciante deseja comprar uma quantidade em 2012. de produtos, obtendo o menor em cada Suponha que uma peça, quando moldada em argila, um deles. quadro mostra o preço por quilograma, em reais, de cada produto comercializado. possula uma base retangular cujos lados mediam 30 cm e 15 cm. Após cozimento, esses lados foram reduzidos Produto Tipo A Tipo B em 20%. 2,00 1,70 Feijão 4,50 Em relação área original, a área da base dessa peça, Soja 3,80 3,50 após o cozimento, ficou reduzida em 5,30 4%. 20%. E Os tipos de arroz, feijão, soja e milho que devem ser escolhidos pelo comerciante B.A.A.B. 5 (2012) Aumentos e reduções Envolve E B.B.B.B. geometria plana (circunferência). losango representado na Figura 1 foi formado pela 2 (2013) Faturamento e lucro. união dos centros das quatro tangentes, de de mesma medida. contribuinte que vende mais de R$ 20 mil de ações em Bolsa de Valores em um mês deverá pagar Imposto de Renda. pagamento para a Receita Federal consistirá em 15% do lucro obtido com a venda das ações. - 2010 Um contribuinte que vende por R$ 34 mil um lote de ações que custou R$ 26 mil terá de pagar de Imposto de Renda Receita Federal o valor de R$ Figura 1 R$ R$ 5 100,00. Dobrando-se raio de duas das centradas em vértices opostos do losango e ainda mantendo-se a configuração das tangências, obtém-se uma situação conforme ilustrada pela Figura 2. 3 (2013) Aumentos e reduções. Para aumentar as vendas no início do ano, uma loja de departamentos remarcou os preços de seus produtos 20% abaixo do preço original. Quando chegam ao caixa, os clientes que possuem cartão fidelidade da loja têm direito a um desconto adicional de 10% sobre valor total de suas compras. Figura 2 Um cliente deseja comprar um produto que custava R$ 50,00 antes da remarcação de preços. Ele não possui perimetro do losango da Figura quando comparado o cartão fidelidade da loja. ao do losango da Figura 1, teve um aumento de Caso esse cliente possuisse o cartão fidelidade da loja, a 300%. economia adicional que obteria ao efetuar a compra, em 200%. E 50%. reais, seria de 150%. E 10,00. 23PROJETO SUPERANDO ENEM MATEMÁTICA - PROFESSOR RAFAEL IZIDORO RODRIGUES 6 (2012) Juros compostos. 8 (2012) Reduções Envolve geometria espacial (cubo). Arthur deseja comprar um terreno de Cléber, que lhe oferece as seguintes possibilidades de pagamento: A possui a propriedade da contração, Opção 1: Pagar a por que consiste na evaporação da água existente em um conjunto ou bloco submetido a uma determinada Opção 2: Pagar a prazo, dando uma entrada de temperatura elevada: em seu lugar aparecendo "espaços e mais uma prestação de vazios" quetendem a se aproximar. No lugar antes ocupado para dali a 6 meses. pela água vão ficando lacunas e, consequentemente, o Opção 3: Pagar a prazo, dando uma entrada de conjunto tende a retrair-se. Considere que no processo de mais uma prestação de cozimento a cerámica de argila sofra uma em para dali a 6 meses e outra de para dali dimensões lineares, de 20%. a 12 meses da data da compra. Acesso 30 2012 Opção 4: Pagar a prazo dando uma entrada de e restante em 1 ano da data da Levando em consideração o processo de cozimento e a pagando contração sofrida, volume de uma travessa de argila, Opção 5: pagar a prazo, dali a um ano, valor de de forma cúbica de aresta diminui para um valor que e 20% menor que uma vez que o volume do cubo Arthur tem o dinheiro para pagar a vista, mas avalia se diretamente proporcional ao comprimento de seu lado. não seria melhor aplicar o dinheiro do valor vista (ou até 36% menor que V. porque a área da base diminui de um valor menor) em um investimento, com rentabilidade a² para ((1 de 10% ao semestre, resgatando os valores medida que 48,8% menor que V. porque o volume diminui de as prestações da opção escolhida fossem vencendo. para Após avaliar a situação do ponto de vista financeiro e das D menor que porque cada lado diminui para condições apresentadas, Arthur concluiu que era mais 80% do comprimento original. vantajoso financeiramente escolher a opção E 60% menor que porque cada lado diminui 1. D 4. 9 (2011) Reduções Envolve equação. 2. E 5. 3. Indice de Massa Corporal (IMC) é largamente utilizado há cerca de 200 anos, mas esse cálculo 7 (2012) Reduções consecutivas. representa muito mais a corpulência que a adiposidade, Um laboratório realiza exames em que possível uma vez que individuos musculosos e obesos podem observar a taxa de glicose de uma pessoa. Os resultados apresentar o mesmo IMC. Uma nova pesquisa aponta são analisados de acordo com o quadro a seguir. o Indice de Adiposidade Corporal (IAC) como uma Hipoglicemia taxa de glicose menor ou igual a 70 mg/dL alternativa mais fidedigna para quantificar a gordura Normal taxa de glicose maior que 70 mg/dL e menor corporal, utilizando a medida do quadril e a altura. A ou igual a 100 figura mostra como calcular essas medidas, sabendo- taxa de glicose maior que 100 e menor se que, em mulheres, a adiposidade normal está entre ou igual a 125 19% e 26%. Diabetes Melito taxa de glicose maior que 125 mg/dL e menor velho IMC o novo IAC ou igual a 250 (Indice de Massa Corporal) (Indice de Adiposidade Corporal) Hiperglicemia taxa de glicose maior que 250 Um paciente fez um exame de glicose nesse laboratorio e comprovou que estava com hiperglicemia. Sua taxa de glicose era de 300 mg/dL. Seu médico prescreveu um tratamento em duas etapas. Na primeira etapa ele conseguiu reduzir sua taxa em 30% e na segunda etapa em 10%. Ao calcular sua taxa de glicose após as duas reduções, Circunferência paciente verificou que estava na categoria de Índice de massa (kg) % de do quadril (cm) Massa = Gordura = 18 Corporal altura X altura (m) Corporal diabetes melito. Altura X D Valtura (m) normal. hiperglicemia. combr 24 2011 pré-diabetes. 24PROJETO SUPERANDO ENEM MATEMÁTICA - PROFESSOR RAFAEL IZIDORO RODRIGUES Uma jovem com IMC 100 cm de circunferência dos quadris e 60 kg de massa corpórea resolveu 60% averiguar seu IAC. Para se enquadrar aos níveis de 40% normalidade de gordura corporal, a atitude adequada 25% que essa jovem deve ter diante da nova medida é 20% 0% NÃO NÃO AVALIAR 29 2010 reduzir seu excesso de gordura em cerca de 1%. Analisando os dados do gráfico, quantos internautas responderam "NÃO" à enquete? reduzir seu excesso de gordura em cerca de 27%. Menos de 23. © manter seus níveis atuais de gordura. Mais de 23 e menos de 25. D aumentar seu nivel de gordura em cerca de 1%. Mais de 50 e menos de 75. E aumentar seu nivel de gordura em cerca de 27%. Mais de 100 e menos de 190. Mais de 200. 10 (2011) Aumentos e reduções Juros simples. 13 (2011) Juros compostos. Um jovem investidor precisa escolher qual Considere que uma pessoa decida investir uma investimento lhe trará maior retorno financeiro em uma determinada quantia e que sejam apresentadas três aplicação de Para isso, pesquisa rendimento possibilidades de investimento, com rentabilidades liquidas e o imposto a ser pago em dois investimentos: poupança garantidas pelo período de um ano, conforme descritas: e CDB (certificado de depósito bancário). As informações Investimento A: 3% ao mês obtidas estão resumidas no quadro: Investimento B: 36% ao ano Investimento C: 18% ao semestre Rendimento IR (imposto de As rentabilidades, para esses investimentos, incidem mensal (%) renda) sobre o valor do período anterior. quadro fornece POUPANÇA 0,560 ISENTO algumas aproximações para a análise das rentabilidades: CDB 0,876 4% (sobre o ganho) n Para o jovem investidor, ao final de um mês, a aplicação 3 1,093 mais vantajosa é 6 1,194 9 1,305 a poupança, pois totalizará um montante de 12 1,426 a poupança, pois totalizará um montante de o pois totalizará um montante de Para escolher o investimento com a maior rentabilidade D CDB, pois totalizará um montante de anual, essa pessoa deverá E o CDB, pois totalizará um montante de 500,87. e escolher qualquer um dos investimentos B ou pois as suas rentabilidades anuais são iguais a 36%. 11 (2011) Aumentos e reduções. escolher os investimentos A ou pois suas rentabilidades anuais são iguais a 39%. Uma pessoa aplicou certa quantia em ações. No escolher o investimento A, pois a sua rentabilidade primeiro mês, ela perdeu 30% do total do investimento e, anual maior que as rentabilidades anuais dos no segundo mês, recuperou 20% do que havia perdido. investimentos B e C. Depois desses dois meses, resolveu tirar o montante de D escolher o investimento pois sua rentabilidade gerado pela aplicação. de 36% maior que as rentabilidades de 3% do investimento A e de 18% do investimento C. A quantia inicial que essa pessoa aplicou em ações E escolher o investimento C, pois sua rentabilidade de corresponde ao valor de 39% ao ano é maior que a rentabilidade de 36% ao R$ ano dos investimentos A e B. R$ 14 (2010) Envolve razão. D R$ E Um professor dividiu a lousa da sala de aula em quatro partes Em seguida, preencheu 75% dela com 12 (2011) Cálculo simples. conceitos e explicações, conforme a figura seguinte. Uma enquete, realizada em março de 2010, perguntava aos internautas se eles acreditavam que as atividades humanas provocam o aquecimento Eram três as alternativas e 279 internautas responderam à enquete, como mostra o gráfico. 25PROJETO SUPERANDO ENEM MATEMÁTICA - PROFESSOR RAFAEL IZIDORO RODRIGUES Algum tempo depois, o professor apagou a lousa por 16 (2010) Aumentos Envolve estatística completo e, adotando um procedimento semelhante ao (média aritmética). anterior, voltou a mas, dessa vez, utilizando 40% do espaço dela. Em sete de abril de 2004, um jornal publicou o ranking de desmatamento, conforme gráfico, da chamada Uma representação possivel para essa segunda situação é Amazônia Legal, integrada por nove estados. Ranking do Desmatamento em 326 Maranhão Amazonas 797 3463 29 7293 Mato em com Acesso em 30 2010 D Considerando-se que até 2009 o desmatamento cresceu 10,5% em relação aos dados de 2004, o desmatamento médio por estado em 2009 está entre 100 e 900 e 700 e e 15 (2010) Cálculo simples. 4 100 e Os dados do gráfico foram coletados por meio da 17 (2010) Cálculo simples. Pesquisa Nacional por Amostra de Domicilios. Os dados do gráfico seguinte foram gerados a partir de Estudantes que telefone móvel celular com idade dados colhidos no conjunto de seis regiões metropolitanas de 10 mais pelo Departamento Intersindical de Estatística e Estudos (Dieese). 44 56 50 42 Taxas de desemprego nas regiões metropolitanas março/2010 30 20 o Paulo 13,1 Não Salvador 19,9 Recife 19,3 Alegre 9,8 em 2010 Belo Horizonte 10,2 Distrito Federal Supondo-se que, no estudantes foram 14,7 entrevistados nessa pesquisa, quantos deles 5 10 15 20 25 telefone móvel celular? em com Acesso 28 2010 Supondo que o total de pessoas pesquisadas na região metropolitana de Porto Alegre equivale a 250 o número de desempregados em março de nessa região, foi de 26PROJETO SUPERANDO 0 ENEM MATEMÁTICA - PROFESSOR RAFAEL IZIDORO RODRIGUES 18 (2010) Aumentos. 20 (2010) Cálculo simples. Uma empresa possui um sistema de controle de Um grupo de pacientes com Hepatite C foi submetido a qualidade que classifica o seu desempenho financeiro um tratamento tradicional em que 40% desses pacientes anual, tendo como base o do ano anterior. Os conceitos foram completamente curados. Os pacientes que não são: insuficiente, quando o crescimento é menor que obtiveram cura foram distribuidos em dois grupos de mesma quantidade e submetidos a dois tratamentos 1%; regular, quando o crescimento é maior ou igual a 1% inovadores. No primeiro tratamento inovador, 35% dos e menor que bom, quando o crescimento é maior ou pacientes foram curados e, no segundo, 45%. igual a 5% e menor que ótimo, quando é maior ou Em relação aos pacientes submetidos inicialmente, os igual a 10% e menor que e excelente, quando é tratamentos inovadores proporcionaram cura de maior ou igual a Essa empresa apresentou lucro de em 2008 e de em 2009. De acordo com esse sistema de controle de qualidade, o desempenho financeiro dessa empresa no ano de 2009 deve ser considerado 21 (2010) Aumentos. insuficiente. Em 2006, a produção mundial de etanol foi de 40 regular. excelente. bilhões de litros e a de biodiesel, de 6,5 bom. Neste mesmo ano, a produção brasileira de etanol correspondeu a 43% da produção mundial, ao passo 19 (2010) Envolve geometria plana (área do que a produção dos Estados Unidos da América, retângulo). usando milho, foi de 45%. em com be Acesso 02 maio 2009 jornal de certa cidade publicou em uma página inteira a seguinte divulgação de seu caderno de classificados. Considerando que, em 2009, a produção mundial de 26 - etanol seja a mesma de 2006 e que os Estados Unidos produzirão somente a metade de sua produção de 2006, 4% para que o total produzido pelo Brasil e pelos Estados Unidos continue correspondendo a 88% da produção mundial, 0 Brasil deve aumentar sua produção em, aproximadamente, 400 22,5%. que consultam Para que a propaganda seja fidedigna à porcentagem da área que aparece na divulgação, a medida do lado do retângulo que representa os deve ser de aproximadamente 1 mm. 160 mm. 10 mm. G 167 mm. 17 mm. 27PROJETO SUPERANDO ENEM MATEMÁTICA - PROFESSOR RAFAEL IZIDORO RODRIGUES (65 35). D (50 20). Etapa 10 Geometria plana (53 30). (50 30). (45 35). 3 (2013) Circunferência (raio) Quadrado. 1 (2013) Circunferência (raio) equilátero (apótema). Um restaurante utiliza, para servir bebidas, bandejas com bases quadradas. Todos os copos desse restaurante Em um sistema de dutos, três canos iguais, de têm o formato representado na figura: externo 30 são soldados entre si e colocados dentro de um cano de raio maior, de medida R. Para posteriormente ter facil manutenção, necessário haver uma de 10 cm entre os canos soldados e cano de raio maior. Essa garantida por um espaçador de metal, conforme a figura: 30 Utilize 1,7 como aproximação para Considere que AC 5 7 BD e que / é a medida de um valor de R. em centimetros, igual a A D dos lados da base da bandeja. 65,5. E 91,0. Qual deve ser o menor valor da razão para que uma BD bandeja tenha capacidade de portar exatamente quatro 2 (2013) Triângulos (ângulos, bissetriz, copos de uma vez? mediatriz, altura, circuncentro) - Teorema de Pitágoras. 2 24 D 5 Nos anos, a televisão tem passado por 14 uma verdadeira revolução, em termos de qualidade de 5 28 E imagem, som e interatividade com telespectador. Essa 5 transformação se deve a conversão do sinal analógico 4 para sinal digital. Entretanto, muitas cidades ainda não contam com essa nova tecnologia. Buscando levar esses 4 (2013) Teorema de Tales Triângulo benefícios a tres cidades, uma emissora de televisão pretende construir uma nova torre de transmissão, que retângulo Sistemas de equações do grau. envie sinal as antenas B e C. existentes nessas As localizações das antenas estão representadas o dono de um pretende colocar uma haste no plano cartesiano: de sustentação para melhor firmar dois postes de comprimentos iguais a 6 e 4 m. A figura representa a situação real na qual os postes são descritos pelos segmentos AC e BD e a haste representada pelo segmento EF. todos perpendiculares ao solo, que e indicado pelo segmento de reta AB. Os segmentos AD e 50 BC representam cabos de aço que serão instalados. 8 20 10 to 20 30 40 60 8 A Qual deve ser valor do comprimento da haste EF? A torre deve estar situada em um local equidistante das antenas. D local adequado para a construção dessa torre 2m E m corresponde ao ponto de coordenadas m 28PROJETO SUPERANDO ENEM MATEMÁTICA - PROFESSOR RAFAEL IZIDORO RODRIGUES 5 (2012) Circunferência (raio Envolve Qual relação entre R e L 0 auxiliar técnico deverá porcentagem. apresentar de modo que a de segurança losango representado na Figura 1 foi formado pela seja cumprida? união dos centros das quatro circunferências tangentes, de raios de mesma medida. E 8 (2012) Trapézio e retângulo (área). Jorge quer instalar aquecedores no seu salão de beleza para melhorar conforto dos seus clientes no inverno. Ele estuda a compra de unidades de dois Figura 1 tipos de aquecedores: modelo A, que consome 600 g/h Dobrando-se o raio de duas das circunferências centradas (gramas por hora) de gás propano e cobre 35 m² de área, em vértices opostos do losango e ainda mantendo-se ou modelo B, que consome 750 g/h de propano e a configuração das tangências, obtém-se uma situação conforme ilustrada pela Figura 2. cobre 45 de área. o fabricante indica que o aquecedor deve ser instalado em um ambiente com área menor do 100%. que a da sua cobertura. Jorge vai instalar uma unidade E 50%. por ambiente e quer gastar mínimo possível com gás. A área do salão que deve ser climatizada encontra-se na planta seguinte (ambientes representados por tres 6 (2012) Retângulo (área) Envolve retângulos e um trapezio). polinômios. 9 m Um forro retangular de tecido traz em sua etiqueta a informação de que encolherá apos a primeira lavagem III IV mantendo, entretanto, seu formato. A figura a seguir mostra as medidas originais do forro e tamanho do 14 m encolhimento (x) no comprimento e (y) na largura. A expressão que representa a área do forro após ser lavado (5 x) y). 8m 3 y 5 m 5 Nestas condições, a área perdida do a primeira Avaliando-se todas as informações, serão necessários lavagem, expressa por e quatro unidades do tipo A e nenhuma unidade do tipo B. A 2xy -5y 3x unidades do tipo A e uma unidade do tipo B. 15 3x E 5y xy duas unidades do tipo A duas unidades do tipo B. 15 5y D uma unidade do tipo A e unidades do tipo B. nenhuma unidade do tipo Ae quatro unidades do tipo B. 7 (2012) - Quadrado Circunferência (raio) Teorema de Pitágoras. Em exposições de artes plásticas, é usual que estátuas sejam expostas sobre plataformas giratórias. Uma medida de segurança que a base da escultura esteja integralmente apoiada sobre a plataforma. Para que se providencie o equipamento adequado, no caso de uma base quadrada que será fixada sobre uma plataforma circular, auxiliar tecnico do evento deve estimar a medida R do raio adequado para a plataforma em termos da medida L do lado da base da 29PROJETO SUPERANDO ENEM MATEMÁTICA - PROFESSOR RAFAEL IZIDORO RODRIGUES 9 (2012) Quadrado e triângulo (área). 11 (2011) retângulo Teorema de Tales Teorema de Pitágoras Geometria Para decorar a fachada de um um arquiteto projetou a colocação de vitrais compostos de quadrados analítica (outra opção). de lado medindo 1 conforme a figura a seguir. Um bairro de uma cidade foi planejado em uma região plana, com ruas paralelas e perpendiculares, delimitando quadras de mesmo tamanho. No plano de coordenadas cartesianas seguinte, esse bairro localiza-se no segundo quadrante, e as distâncias nos eixos são dadas em Nesta figura, os pontos A, C e D são pontos médios dos lados do quadrado os segmentos AP e QC medem 1/4 da medida do lado do quadrado. Para confeccionar um vitral, são usados dois tipos de um para a parte sombreada da figura, que custa 30,00 o e outro para a parte mais clara (regiões ABPDA e que custa R$ 50,00 o De acordo com esses dados, qual e o custo dos materiais A reta de equação y = + 4 representa o usados na fabricação de um vitral? planejamento do percurso da linha do subterrâneo que atravessará o bairro e outras regiões da cidade. A D R$ 42,50 No ponto P (-5, localiza-se um hospital público. A R$ 35,00 E R$ 45,00 comunidade solicitou ao de planejamento que R$ 40,00 fosse prevista uma estação do metrô de modo que sua distância ao hospital, medida em linha reta, não fosse maior que 5 km. 10 (2011) Retângulo (área e perimetro). Atendendo ao pedido da comunidade, o Em uma certa cidade, os moradores de um bairro argumentou corretamente que isso seria carente de espaços de lazer reivindicam à prefeitura automaticamente satisfeito, pois já estava prevista a municipal a construção de uma praça. A prefeitura construção de uma estação no ponto concorda com a solicitação e afirma que irá construi-la em formato retangular devido às técnicas (-5,0). D do terreno. Restrições de natureza orçamentária impõem E (2,6). que sejam gastos, no máximo, 180 de tela para (-2,1). cercar a praça. A prefeitura apresenta aos moradores desse bairro as medidas dos terrenos disponíveis para a construção da praça: 12 (2011) (ângulos internos) Terreno 1: 55 m por 45 m Circunferência (graus). Terreno 2: 55 m por 55 m Terreno 3:60 m por 30 m Terreno 4:70 m por 20 m Terreno 5:95 m por 85 m Para optar pelo terreno de maior área, que atenda às restrições impostas pela prefeitura, os moradores deverão escolher o terreno 1. 4. R 2. E 5. 3. Acesso em o que dá forma a essa calçada é invariante por rotações, em tomo de seu centro, de E 30PROJETO SUPERANDO ENEM MATEMÁTICA - PROFESSOR RAFAEL IZIDORO RODRIGUES 13 (2011) Circunferência (perimetro). 15 (2010) retângulo (mediatriz e área). o atletismo è um dos esportes que mais se identificam com o espirito olimpico. A figura ilustra uma Em canteiros de obras de construção civil é comum pista de atletismo. A pista é composta por oito raias perceber trabalhadores realizando medidas de e tem largura de 9,76 m. As raias são numeradas do comprimento e de ângulos e fazendo demarcações por centro da pista para a extremidade e são construídas de onde a obra deve começar ou se erguer. Em um desses segmentos de retas paralelas e arcos de canteiros foram feitas algumas marcas no chão plano. Os dois semicirculos da pista são iguais. Foi possivel perceber que, das seis estacas colocadas, três eram vértices de um retângulo e as outras três eram os pontos médios dos lados desse triângulo, conforme pode ser visto na figura, em que as estacas foram indicadas por B P M A N C A região demarcada pelas estacas A, B, M e N deveria Modelação como de ser calçada com concreto. de em curses de Dissertação de Mestrado Rio 1990 A região demarcada pelas estacas A, B, M e N deveria ser calçada com concreto. Nessas condições, a área a ser calçada corresponde à mesma área do AMC. Se os atletas partissem do mesmo ponto, dando uma à mesma área do BNC. volta completa, em qual das o corredor estaria à metade da área formada pelo ABC. sendo beneficiado? ao dobro da área do MNC. 1 D 7 ao triplo da área do triângulo 4 E 8 5 16 (2010) Retângulo (área) Envolve porcentagem. 14 (2010) Retângulo (área e Envolve conversão de unidades. jornal de certa cidade publicou em uma página inteira a seguinte divulgação de seu caderno de classificados. A loja Telas & Molduras cobra 20 reais por metro quadrado de tela, 15 reais por metro linear de moldura, mais uma taxa fixa de entrega de 10 reais. Uma artista plástica precisa encomendar telas e molduras a essa loja, suficientes para 8 quadros retangulares (25 cm 50 cm). Em seguida, fez uma segunda encomenda, mas agora para 8 quadros retangulares (50 cm 100 cm). valor da segunda encomenda será 400 mm o dobro do valor da primeira encomenda, porque a - altura e a largura dos quadros dobraram. maior do que o valor da primeira encomenda, mas não o dobro. a metade do valor da primeira encomenda, porque a altura e a largura dos quadros dobraram. menor do que o valor da primeira encomenda, mas não a metade. igual ao valor da primeira encomenda, porque o custo de entrega será o mesmo. Para que a propaganda seja fidedigna à porcentagem da área que aparece na divulgação, a medida do lado do retângulo que representa os 4%, deve ser de aproximadamente 1 mm. 160 mm. 10 mm. 167 mm. 17 mm. 31PROJETO SUPERANDO ENEM MATEMÁTICA - PROFESSOR RAFAEL IZIDORO RODRIGUES 17 (2010) Circunferência (perimetro). Etapa 11 Trigonometria A de usar rolos circulares para deslocar objetos pesados provavelmente surgiu com os ao construirem as 1 (2013) Triângulo retângulo (tangente) Envolve geometria espacial. As torres Puerta de Europa são duas torres inclinadas uma contra a outra, numa avenida de Madri, na Espanha. A inclinação das torres de com a vertical e elas cada uma, uma altura de 114 m (a altura indicada na figura como segmento AB). Estas torres são um bom exemplo de um prisma obliquo de base quadrada e uma delas pode ser observada na imagem. Atividades Ed Gradiva A Representando por R o da base dos rolos cilindricos, em metros, a expressão do deslocamento horizontal y do bloco de pedra em função de após o rolo ter dado uma volta completa sem deslizar, é y 2R. 18 (2010) retângulo (incentro) Circunferência (raio). com Acesso 27 Uma metalúrgica recebeu uma encomenda para fabricar, em grande quantidade, uma peça com o formato de um Utilizando 0,26 como valor aproximado para a prisma reto com base triangular, cujas dimensões da tangente de 15° e duas casas decimais nas descobre-se que a da base desse prédio ocupa base são 6 cm, 8 cm e 10 cm e cuja altura 10 cm. Tal na avenida um espaço peça deve ser vazada de tal maneira que a perfuração menor que 100 entre 500 m² e 700 na forma de um cilindro circular reto seja tangente às entre 100 e 300 E maior que 700 suas faces laterais, conforme mostra a figura. entre 300 e 500 2 (2011) Triângulo retângulo (seno). Para determinar a distância de um barco até a praia, um navegante utilizou o seguinte procedimento: a partir de um ponto A, mediu o ângulo visual a fazendo mira em um ponto fixo P da praia. Mantendo barco no mesmo sentido, ele seguiu até um ponto de modo que fosse possivel ver mesmo ponto P da praia, no entanto sob um ângulo visual 2a. A figura ilustra essa situação: 10 P raio da perfuração da peça é igual a 2a Trajetória do barco 1 cm. A 2 cm. 3 cm. Suponha que o navegante tenha medido o ângulo 4 cm. 30° e, ao chegar ao ponto verificou que barco E 5 cm. havia percorrido a distância AB = m. Com base nesses dados e mantendo a mesma trajetória, a menor distância do barco até o ponto fixo P será m. m. m. E m. m. 32PROJETO SUPERANDO ENEM MATEMÁTICA - PROFESSOR RAFAEL IZIDORO RODRIGUES 3 (2010) Valor máximo e para cosseno - Envolve equação. Etapa 12 Geometria espacial Um satélite de telecomunicações, minutos após ter atingido sua órbita, está a quilômetros de distância do centro da Terra. Quando assume seus valores máximo e minimo, diz-se que o satélite atingiu 0 apogeu 1 (2013) Prisma (área da base) Envolve e o perigeu, respectivamente. Suponha que, para esse trigonometria. satélite, o valor de em função de seja dado por As torres Puerta de Europa são duas torres inclinadas uma contra a outra, construídas numa avenida de Madri, 5865 na Espanha. A inclinação das torres é de com a vertical e elas cada uma, uma altura de 114 m (a altura e indicada na figura como o segmento AB). Estas torres são um bom exemplo de um prisma de base quadrada Um cientista monitora o movimento desse satélite para e uma delas pode ser observada na imagem. controlar o seu afastamento do centro da Terra. Para A isso, ele precisa calcular a soma dos valores de Γ. no apogeu e no perigeu, representada por S. cientista deveria concluir que, periodicamente, S atinge o valor de km. km. km. km. km. 4 (2010) retângulo (tangente). em com em 27 mar 2012 Um balão lançado em Bauru (343 quilômetros a Noroeste de São na noite do último domingo, Utilizando 0,26 como valor aproximado para a caiu nesta segunda-feira em Cuiabá Paulista, na região tangente de e duas casas decimais nas operações, de Presidente Prudente, assustando agricultores da descobre-se que a área da base desse ocupa região. artefato faz parte do programa Projeto Hibiscus, na avenida um espaço entre 500 m² e 700 desenvolvido por Brasil, França, Argentina, Inglaterra e e menor que 100 Itália, para a medição do comportamento da camada de entre 100 e 300 E maior que 700 ozônio, e sua descida se deu após o cumprimento do entre 300 m² e 500 tempo previsto de medição. Acesso 02 2 (2013) Cilindro (raio e volume). Num parque aquático existe uma piscina infantil na forma de um cilindro circular reto, de 1 m de profundidade e volume igual a 12 cuja base tem R e centro Deseja-se construir uma ilha de lazer seca no interior dessa piscina, tambem na forma de um cilindro circular 30 reto, cuja base estará no fundo da piscina e com centro 1,8 km 3,7 km da base coincidindo com o centro do fundo da piscina, Na data do acontecido, duas pessoas avistaram o balão. conforme a figura. raio da ilha de lazer será Γ. Deseja-se Uma estava a 1,8 km da posição vertical do balão e o que após a construção dessa ilha, o espaço destinado a avistou sob um ângulo de a outra estava a 5,5 km água na piscina tenha um volume no minimo, 4 da posição vertical do balão, alinhada com a primeira, e no mesmo sentido, conforme se na figura, e o avistou sob um ângulo de Qual a altura aproximada em que se encontrava o balão? 1,8 km 3,7 km de 1,9 km 5,5 km o R 3,1 km 33PROJETO SUPERANDO 0 ENEM MATEMÁTICA - PROFESSOR RAFAEL IZIDORO RODRIGUES Considere 3 como valor aproximado para 5 (2012) Cubo (volume). Para satisfazer as condições dadas, o raio máximo da ilha de Γ. em estará mais proximo de Alguns objetos, durante a sua fabricação, necessitam passar por um processo de resfriamento. Para que isso 1,6. ocorra, uma fábrica utiliza um tanque de resfriamento, 1,7. E como mostrado na figura. 2,0. 3 (2013) Reconhecimento de sólidos geométricos. 5 cm I 25 cm Uma cozinheira, especialista em fazer bolos, utiliza uma forma no formato representado na figura: 30 cm 40 cm que aconteceria com o nivel da água se no tanque um objeto cujo volume fosse de nivel subiria 0,2 cm, fazendo a água ficar com 20,2 cm de altura. Nela identifica-se a representação de duas figuras geometricas tridimensionais. 0 nivel subiria 1 cm, fazendo a água ficar com 21 cm de altura. Essas figuras são © 0 nivel subiria 2 cm, fazendo a água ficar com um tronco de cone e um cilindro. 22 cm de altura. um cone e um cilindro. nivel subiria 8 cm, fazendo a água transbordar. um tronco de e um 0 nivel subiria 20 cm, fazendo a água transbordar. dois troncos de cone. E dois cilindros. 6 (2012) Cubo (volume e aresta) Envolve porcentagem. 4 (2012) Planificação Reconhecimento de sólidos geométricos. A cerámica possui a propriedade da contração, que consiste na evaporação da água existente em um Maria quer inovar em sua loja de embalagens e decidiu conjunto ou bloco submetido a uma determinada vender caixas com diferentes Nas imagens temperatura elevada: em seu lugar aparecendo apresentadas estão as planificações dessas vazios" se aproximar. No lugar antes ocupado pela água vão ficando lacunas o conjunto tende a retrair-se. Considere que no processo de cozimento a de argila sofra uma contração, em dimensões lineares, de 20%. be Acesso 30 2012 Levando em consideração o processo de cozimento e a contração sofrida, 0 volume V de uma travessa de argila, de forma cúbica de aresta a, diminui para um valor que e Quais serão os sólidos que Maria obterá a partir dessas planificações? 20% menor que uma vez que o volume do cubo e Cilindro, prisma de base pentagonal e diretamente proporcional ao comprimento de seu lado. Cone, prisma de base pentagonal e 36% menor que porque a área da base diminui de tronco de e a² para ((1 Cilindro, tronco de e prisma. © 48,8% menor que V. porque o volume diminui de para E Cilindro, prisma e tronco de cone. 51,2% menor que porque cada lado diminui para 80% do comprimento original. E 60% menor que V. porque cada lado diminui 20%. 34PROJETO SUPERANDO ENEM MATEMÁTICA - PROFESSOR RAFAEL IZIDORO RODRIGUES 7 (2011) Reconhecimento de sólidos 9 (2011) Cilindro (volume). geométricos. É possivel usar água ou comida para atrair as aves Uma indústria fabrica brindes promocionais em e observá-las. Muitas pessoas costumam usar água forma de A pirâmide é obtida a partir de quatro com açúcar, por exemplo, para atrair beija-flores. Mas cortes em um sólido que tem a forma de um No é importante saber que, na hora de fazer a mistura, esquema, estão indicados o sólido original (cubo) e a você deve sempre usar uma parte de açúcar para cinco pirâmide obtida a partir dele. partes de água. Além disso, em dias quentes, precisa trocar a água de duas a três vezes, pois com o calor ela pode fermentar e, se for ingerida pela ave, pode deixá- la o excesso de açúcar, ao cristalizar, também pode manter o bico da ave fechado, impedindo-a de se D D alimentar. Isso pode até A B das Instituto n. 1996 Os pontos A, C. D e o do cubo e da pirâmide são os Pretende-se encher completamente um copo com mesmos. ponto é central na face superior do cubo. a mistura para atrair 0 copo tem formato Os quatro cortes saem de em direção às arestas cilindrico, e suas medidas são 10 cm de altura e 4 cm de diâmetro. A quantidade de água que deve ser utilizada AB e nessa ordem. Após os cortes, são na mistura é cerca de (utilize 3) descartados quatro sólidos. 20 mL. 120 mL. 24 mL. 600 mL. Os formatos dos sólidos descartados são 100 mL. todos iguais. todos diferentes. 10 (2010) Cilindro (planificação). três iguais e um diferente. apenas dois iguais. Alguns testes de preferência por bebedouros de água iguais dois a dois. foram realizados com bovinos, envolvendo três tipos de bebedouros, de formatos e tamanhos diferentes, Os bebedouros 1 e 2 têm a forma de um tronco de cone 8 (2011) Reconhecimento de sólidos circular reto, de altura igual a 60 cm, e diâmetro da base geométricos. superior igual a 120 cm e 60 cm, respectivamente. bebedouro 3 é um semicilindro, com 30 cm de altura, A figura seguinte mostra um modelo de sombrinha 100 cm de comprimento e 60 cm de largura. Os três muito usado em paises orientais. recipientes estão ilustrados na figura. 120 cm 50 cm cm Bebedouro 1 Bebedouro 2 cm 100 30 Bebedouro 3 A do in 4. 2009 Disponível Acesso em Esta figura é uma representação de uma superficie de revolução chamada de Considerando que nenhum dos recipientes tenha tampa, pirâmide. tronco de cone. qual das figuras a seguir representa uma planificação semiesfera. para o bebedouro 3? cone. cilindro. 35PROJETO SUPERANDO ENEM MATEMÁTICA - PROFESSOR RAFAEL IZIDORO RODRIGUES A) 100 cm D) 60 cm 13 (2010) Cilindro (volume). Dona Maria, diarista na casa da familia Teixeira, precisa 60 cm fazer café para servir as vinte pessoas que se encontram 100 cm numa reunião na sala. Para fazer o café, Dona Maria dispõe de uma leiteira cilindrica e copinhos plásticos, cm também cilindricos. 8 cm 60 cm B) 100 cm E) 4 cm 60 20 cm 14 cm 100 cm C) Com o objetivo de não desperdiçar café, a diarista 100 cm cm deseja colocar a quantidade minima de água na leiteira para encher os vinte copinhos pela metade. Para que 60 cm isso ocorra, Dona Maria deverá encher a leiteira até a metade, pois ela tem um volume 20 vezes maior que o volume do copo. 11 (2010) Prisma (volume). encher a leiteira toda de água, pois ela tem um Uma fábrica produz barras de chocolates no formato volume 20 vezes maior que o volume do copo. de paralelepipedos e de cubos, com o mesmo encher a leiteira toda de água, pois ela tem um volume. As arestas da barra de chocolate no formato volume 10 vezes maior que o volume do copo. de paralelepipedo medem 3 cm de largura, 18 cm de encher duas leiteiras de água, pois ela tem um comprimento e 4 cm de espessura. volume 10 vezes maior que o volume do copo. Analisando as caracteristicas das figuras geométricas encher cinco leiteiras de água, pois ela tem um descritas, a medida das arestas dos chocolates que têm volume 10 vezes maior que o volume do copo. o formato de cubo é igual a 5 cm. 24 cm. 14 (2010) Cilindro (volume e área lateral). 6 cm. 25 cm. 12 cm. Uma empresa vende tanques de combustiveis de formato cilindrico, em três tamanhos, com medidas 12 (2010) Prisma (volume). indicadas nas figuras. o preço do tanque é diretamente proporcional à medida da área da superficie lateral do A "Metal produz diversos objetos maciços utilizando o ferro. Um tipo especial de peça feita tanque. dono de um posto de combustivel deseja nessa companhia tem o formato de um paralelepipedo encomendar um tanque com menor custo por metro retangular, de acordo com as dimensões indicadas na cúbico de capacidade de figura que segue. 4m 6m 8m 8 Metal Nobre Qual dos tanques deverá ser escolhido pelo dono do posto? (Considere 3) 0,5 2,5 m pela relação área/capacidade de armazenamento produto das três dimensões indicadas na peça resultaria na medida da grandeza de 1 3 massa. D capacidade. I, pela relação área/capacidade de armazenamento volume. comprimento. de 4 superficie. 3 36PROJETO SUPERANDO ENEM MATEMÁTICA - PROFESSOR RAFAEL IZIDORO RODRIGUES II, pela relação área/capacidade de armazenamento Após realizar seus cálculos, o técnico solicitou que enviassem caminhões para transportar uma carga de, de 3 aproximadamente, 4 III, pela relação área/capacidade de armazenamento 29,9 35,3 toneladas. de 2 31,1 toneladas. 41,8 toneladas. 3 32,4 toneladas. III, pela relação área/capacidade de armazenamento de 7 17 (2010) Esfera e cone (volume). 12 Em um casamento, os donos da festa serviam champanhe 15 (2010) Cilindro (volume). aos seus convidados em taças com formato de um hemisfério (Figura 1), um acidente na cozinha Para construir uma manilha de esgoto, um cilindro culminou na quebra de grande parte desses recipientes. com 2 m de diâmetro e 4 m de altura (de espessura Para substituir as taças quebradas, utilizou-se um outro tipo com formato de cone (Figura 2). No entanto, os foi envolvido homogeneamente por uma noivos solicitaram que o volume de champanhe nos dois camada de concreto, contendo 20 cm de espessura. tipos de taças fosse igual. Supondo que cada metro cúbico de concreto custe R$ 10,00 e tomando 3,1 como valor aproximado de então o preço dessa manilha é igual a 230,40. 54,56. 124,00. 49,60. 104,16. Figura Figura 16 (2010) Cilindro (volume). Considere: 4 Vestera e No manejo sustentável de florestas, é preciso muitas 3 3 vezes obter o volume da tora que pode ser obtida a partir de uma árvore. Para isso, existe um método prático, em Sabendo que a taça com o formato de hemisfério é que se mede a circunferência da árvore à altura do peito servida completamente a altura do volume de de um homem (1,30 m), conforme indicado na figura. A champanhe que deve ser colocado na outra taça, em essa medida denomina-se "rodo" da árvore. quadro a centimetros, é de seguir a fórmula para se cubar, ou seja, obter o 56,52. volume da tora em a partir da medida do rodo e da 6,00. altura da 12,00. volume da tora em 18 (2010) Cubo (volume). é dado por V = rodo² altura 0,06 Um porta-lápis de madeira foi construido no formato Tem cúbico, seguindo o modelo ilustrado a seguir. o cubo de metros o rodo e a altura da dentro é A aresta do cubo maior mede 12 cm e a de rodo árvore devem ser do cubo menor, que é interno, mede 8 cm. medidos em metros. o coeficiente 0,06 foi obtido experimentalmente. Um técnico em manejo florestal recebeu a missão de cubar, abater e transportar cinco toras de madeira, de duas espécies diferentes, sendo o volume de madeira utilizado na confecção desse 3 toras da espécie com 3 m de rodo, 12 m de objeto foi de comprimento e densidade 0,77 12 2 toras da espécie com 4 m de rodo, 10 m de 64 cm³. comprimento e densidade 0,78 96 37PROJETO SUPERANDO ENEM MATEMÁTICA - PROFESSOR RAFAEL IZIDORO RODRIGUES 2 (2011) Equação da reta. Etapa 13 Geometria analítica Um bairro de uma cidade foi planejado em uma região plana, com ruas paralelas e perpendiculares, delimitando quadras de mesmo tamanho. No plano 1 - (2013) - Equação da circunferência - de coordenadas cartesianas seguinte, esse bairro Envolve gráficos do grau e coordenadas localiza-se no segundo quadrante, e as distâncias nos eixos são dadas em cartesianas. Durante uma aula de Matemática, o professor sugere aos alunos que seja fixado um sistema de coordenadas cartesianas (x, y) e representa na lousa a descrição de cinco conjuntos algébricos, I, II, III, IV e como se segue: a circunferência de equação + 9; é a parábola de equação y = 1, com variando de -1 a III é o quadrado formado pelos vértices (-2, 1), (-1, 1). 2) e (-2. 2); IV é o quadrado formado pelos vértices 1), (2, A reta de equação y = X + 4 representa o planejamento do percurso da linha do metrô subterrâneo (2,2) e que atravessará bairro e outras regiões da cidade. V é o ponto 0). No ponto P = localiza-se um hospital público. A comunidade solicitou ao comité de planejamento que A seguir, o professor representa corretamente os cinco fosse prevista uma estação do de modo que sua conjuntos sobre uma mesma malha quadriculada, distância ao hospital, medida em linha reta, não fosse composta de quadrados com lados medindo uma maior que 5 km. unidade de comprimento, cada, obtendo uma figura. Atendendo ao pedido da comunidade, o Qual destas figuras foi desenhada pelo professor? argumentou corretamente que isso seria automaticamente satisfeito, pois já estava prevista a construção de uma estação no ponto A (-3, E (2,6). (-2, 1). 38PROJETO SUPERANDO ENEM MATEMÁTICA - PROFESSOR RAFAEL IZIDORO RODRIGUES 300,00. D 375,00. Etapa 14 Estatística 345,00. E 400,00. 350,00. 3 (2012) Média aritmética. 1 (2013) Média aritmética. A tabela a seguir mostra a evolução da receita bruta As notas de um professor que participou de um anual nos três ultimos anos de cinco microempresas (ME) processo seletivo, em que a banca avaliadora era que se encontram a venda. composta por cinco membros, são apresentadas no gráfico. Sabe-se que cada membro da banca atribuiu 2009 2010 2011 duas notas ao professor, uma relativa aos conhecimentos ME (em milhares (em milhares (em milhares da área de atuação e outra, aos conhecimentos de reais) de reais) de reais) pedagógicos, e que a média final do professor foi dada pela média aritmética de todas as notas atribuídas pela Alfinetes 200 220 240 banca avaliadora. Balas W 200 230 200 Chocolates X 250 210 215 Notas (em pontos) Pizzaria Y 230 230 230 17 Tecelagem Z 160 210 245 14 Um investidor deseja comprar duas das empresas listadas 12 na tabela. Para tal, ele calcula a média da receita bruta anual dos três anos (de 2009 até 2011) e escolhe as duas empresas de maior media Balas W e Pizzaria Y. Chocolates X e Tecelagem Z. Pizzaria Y e Alfinetes V. Utilizando um novo critério, essa banca avaliadora Pizzaria Y e Chocolates X resolveu descartar a maior e a menor notas atribuidas E Tecelagem Z e Alfinetes V. ao professor. A nova média, em relação a anterior, e 4 (2012) Variância Desvio padrão. 0,25 ponto maior. 1,25 ponto maior. Um produtor de cafe irrigado em Minas Gerais recebeu 1,00 ponto maior. 2,00 pontos menor. um relatório de consultoria constando, entre 1,00 ponto menor. outras informações, 0 desvio padrão das produções de uma safra dos talhões de sua propriedade. Os talhões 2 (2013) Rol Mediana Envolve a mesma de e o valor obtido para o desvio porcentagem. padrão foi de 90 kg/talhão. o produtor deve apresentar as informações sobre a produção e a dessas Foi realizado um levantamento nos 200 hotéis de uma produções em sacas de 60 kg por hectare cidade, no qual foram anotados os valores, em reais, das A das produções dos talhões expressa em diárias para um quarto padrão de casal e a quantidade de hoteis para cada valor da diária. Os valores das diárias foram: A = R$ = R$ C R$ 400,00 20,25. 0,50. e D 600,00. No gráfico, as áreas representam as 4,50. E 0,25. quantidades de pesquisados, em porcentagem, para cada valor da 25% 40% A C D 10% B 25% valor mediano da diária, em reais, para o quarto padrão de casal nessa cidade, é 39PROJETO SUPERANDO ENEM MATEMÁTICA - PROFESSOR RAFAEL IZIDORO RODRIGUES 5 (2012) Rol Mediana. 7 (2011) Média aritmética. gráfico apresenta o comportamento de emprego A participação dos estudantes na Olimpiada formal surgido, segundo o no de janeiro Brasileira de Matemática das Escolas Públicas (OBMEP) de 2010 a outubro de 2010. aumenta a cada quadro indica o percentual de medalhistas de ouro, por região, nas edições da OBMEP BRASIL Comportamento do Emprego Formal no de 2005 a 2009: periodo de janeiro a outubro de 2010 CAGED Região 2005 2006 2007 2008 2009 Norte 2% 2% 1% 2% 1% Nordeste 18% 19% 21% 15% 19% Centro-Oeste 5% 6% 7% 8% 9% Sudeste 55% 61% 58% 66% 60% MAR ABR MAIO JUN JUL AGO SET 2010 2010 Sul 21% 12% 13% 9% 11% gov 2012 em Acesso 2010 Com base no gráfico, o valor da parte inteira da mediana Em relação às edições de 2005 a 2009 da qual dos empregos formais surgidos no o percentual médio de medalhistas de ouro da região Nordeste? D A 14,6% 19,0% E 18,2% E 21,0% 18,4% 6 (2011) Média aritmética Mediana Moda. 8 (2010) Média aritmética Envolve Uma equipe de especialistas do centro meteorológico porcentagem. de uma cidade mediu a temperatura do ambiente, sempre no mesmo horário, durante 15 dias intercalados, a partir Em sete de abril de um jornal publicou o ranking do primeiro dia de um mês. Esse tipo de procedimento de desmatamento, conforme gráfico, da chamada frequente, uma vez que os dados coletados servem Amazônia Legal, integrada por nove de referência para estudos e verificação de tendências climáticas ao longo dos meses e anos. Ranking do Desmatamento em As medições ocorridas nesse estão indicadas no quadro: Dia do mês Temperatura (em °C) 136 326 1 15,5 549 3 14 Maranhão 766 Amazonas 797 5 13,5 7 18 9 19,5 11 20 Acesso 30 2010 13 13,5 15 13,5 Considerando-se que até 2009 o desmatamento cresceu 10,5% em relação aos dados de 2004, o desmatamento 17 18 médio por estado em 2009 está entre 19 20 100 e 900 21 18,5 e 700 23 e 13,5 D e 25 21,5 E 4 100 e 27 20 29 16 17 18 e 18 13,5 °C e 13,5 e 18 40PROJETO SUPERANDO 0 ENEM MATEMÁTICA - PROFESSOR RAFAEL IZIDORO RODRIGUES 9 (2010) Mediana. 11 (2010) Média aritmética Mediana Moda. gráfico apresenta a quantidade de gols marcados pelos artilheiros das Copas do Mundo desde a Copa de o quadro seguinte mostra o desempenho de um time de 1930 até a de 2006. futebol no último campeonato. A coluna da esquerda mostra o número de gols marcados e a coluna da direita informa em quantos jogos o time marcou aquele número de gols. Quantidades de Gols dos Artilheiros Gols marcados Quantidade de partidas das Copas do Mundo 0 5 1 3 14 2 4 12 3 3 4 2 5 2 7 1 Se X, Y e Z são, respectivamente, a média, a mediana e a moda desta distribuição, então Ano 0 Disponível com em 23 2010 A partir dos dados apresentados, qual a mediana das quantidades de gols marcados pelos artilheiros das Copas do Mundo? 6 gols 7,3 gols 6,5 gols 8,5 gols 7 gols 10 (2010) Desvio padrão. Marco e Paulo foram classificados em um concurso. Para classificação no concurso o candidato deveria obter média aritmética na pontuação igual ou superior a 14. Em caso de empate na média, o desempate seria em favor da pontuação mais regular. No quadro a seguir são apresentados os pontos obtidos nas provas de Matemática, e Conhecimentos Gerais, a média, a mediana e o desvio padrão dos dois candidatos. Dados dos candidatos no concurso Maternática Conhecimentos Média Mediana Desvio Gerais Padrão Marco 14 15 16 15 15 0,32 Paulo 8 19 18 15 18 4,97 candidato com pontuação mais regular, portanto mais bem classificado no concurso, é Marco, pois a média e a mediana são iguais. Marco, pois obteve menor desvio padrão. Paulo, pois obteve a maior pontuação da tabela, 19 em Paulo, pois obteve maior Paulo, pois obteve maior desvio padrão. 41PROJETO SUPERANDO 0 ENEM MATEMÁTICA - PROFESSOR RAFAEL IZIDORO RODRIGUES 3 (2012) PFC. Etapa 15 Análise combinatória 0 diretor de uma escola convidou os 280 alunos de terceiro ano a participarem de uma brincadeira. Suponha que existem 5 objetos e 6 personagens numa casa de 9 um dos personagens 1 (2013) Permutação simples PFC. esconde um dos objetos em um dos cômodos da objetivo da brincadeira adivinhar qual objeto foi Um banco solicitou aos seus clientes a criação de escondido por qual personagem e em qual cômodo da uma senha pessoal de seis formada somente casa objeto foi escondido. por algarismos de a para acesso à conta corrente Todos os alunos decidiram participar. A cada vez um pela internet. aluno e sorteado e a sua resposta. As respostas devem ser sempre distintas das anteriores, e um mesmo aluno Entretanto, um especialista em sistemas de não pode ser sorteado mais de uma vez. Se a resposta segurança recomendou a direção do banco do aluno estiver correta, ele e declarado vencedor e a recadastrar seus usuários, solicitando, para cada um brincadeira encerrada. deles, a criação de uma nova senha com seis digitos, diretor sabe que algum aluno acertará a resposta permitindo agora o das 26 letras do alfabeto, além porque dos algarismos de 0 a 9. Nesse novo sistema, cada letra maiúscula era considerada distinta de sua versão minúscula. Alem disso, era proibido o uso de outros 10 alunos a mais do que possíveis respostas distintas. tipos de caracteres. 20 alunos a mais do que respostas distintas. Uma forma de avaliar uma alteração no sistema de 119 alunos a mais do que possiveis respostas distintas. senhas é a verificação do coeficiente de melhora, que 260 alunos a mais do que respostas distintas. a razão do novo número de possibilidades de senhas em 270 alunos a mais do que possiveis respostas distintas. relação ao antigo. coeficiente de melhora da alteração recomendada é 4 (2012) Combinação. o designer Miguel Neiva criou um sistema de A 62! 10! símbolos que permite que pessoas daltônicas identifiquem cores. 0 sistema consiste na utilização de simbolos que 62! E identificam as cores primárias (azul, amarelo e vermelho). Alem disso, a justaposição de dois desses simbolos permite identificar cores secundárias (como o verde, que é 0 amarelo combinado com o azul). preto e o branco são 62! 4! identificados por pequenos quadrados: o que simboliza o preto cheio, enquanto que simboliza o branco vazio. Os simbolos que representam preto e branco também 2 (2013) PFC. podem estar associados aos que identificam cores, significando se estas são claras ou escuras. Um artesão de joias tem a sua disposição pedras de São Paulo 2012 brasileiras de cores: vermelhas, azuis e verdes. De acordo com texto, quantas cores podem ser Ele pretende produzir joias constituidas por uma liga representadas pelo sistema proposto? metálica, a partir de um molde no formato de um losango 14 D 21 não quadrado com pedras nos seus de modo 18 E 23 que dois consecutivos tenham sempre pedras de 20 cores diferentes. A figura ilustra uma joia, produzida por esse artesão, 5 (2011) Permutação simples. cujos vértices e D correspondem as posições ocupadas pelas pedras. setor de recursos humanos de uma empresa vai realizar uma entrevista com 120 candidatos a uma vaga de contador. Por sorteio, eles pretendem atribuir a cada candidato um colocar a lista de números em ordem numérica crescente e usá-la para convocar os interessados. Acontece que, por um defeito do computador, foram gerados com 5 algarismos distintos e, em nenhum deles, apareceram digitos pares. Em razão disso, a ordem de chamada do candidato que Com base nas informações fornecidas, quantas joias tiver recebido o número é diferentes, nesse formato, o artesão poderá obter? 24. 88. 8 31. 89. 6 24 32. 12 E 36 18 42PROJETO SUPERANDO ENEM MATEMÁTICA - PROFESSOR RAFAEL IZIDORO RODRIGUES 6 (2010) PFC. Etapa 16 Probabilidade João mora na cidade A e precisa visitar cinco clientes, localizados em cidades diferentes da sua. Cada trajeto possivel pode ser representado por uma sequência de 7 letras. Por exemplo, o trajeto informa que ele da cidade A, visitando as cidades B, D. E e 1 (2013) Multiplicação de probabilidades. F nesta ordem, voltando para a cidade A. Além disso, o número indicado entre as letras informa o custo do Uma loja acompanhou o número de compradores deslocamento entre as cidades. A figura mostra o custo de dois produtos, A e B, durante os meses de janeiro, de deslocamento entre cada uma das fevereiro e março de 2012. Com isso, obteve este gráfico: 80 80 70 60 Número de 60 50 A 40 30 30 20 20 20 10 10 Como João quer economizar, ele precisa determinar qual Fevereiro Março o trajeto de menor custo para visitar os cinco clientes. Examinando a figura, percebe que precisa considerar somente parte das sequências, pois os trajetos A loja sorteara um brinde entre os compradores do ABCDEFA e AFEDCBA têm o mesmo custo. Ele gasta produto Ae outro brinde entre os compradores do produto B. 1min30s para examinar uma sequência e descartar sua Qual a probabilidade de que os dois sorteados tenham simétrica, conforme apresentado. feito suas compras em fevereiro de 2012? tempo minimo necessário para João verificar todas as 1 6 sequências no problema de 20 25 60 min. D 180 min. 90 min. 360 3 7 B 242 E 120 15 5 22 2 (2013) Envolve diagrama de Eüler Venn. Numa escola com 1 200 alunos foi realizada uma pesquisa sobre o conhecimento desses em duas linguas estrangeiras, e espanhol. Nessa pesquisa constatou-se que 600 alunos falam 500 falam espanhol e 300 não falam qualquer um desses idiomas. Escolhendo-se um aluno dessa escola ao acaso e sabendo-se que ele não fala qual a probabilidade de que esse aluno fale espanhol? 1 5 2 6 5 5 8 E 14 1 4 43PROJETO SUPERANDO ENEM MATEMÁTICA - PROFESSOR RAFAEL IZIDORO RODRIGUES 3 (2013) Multiplicação e adição de Cinco apostadores, cada um com R$ 500,00 para probabilidades. apostar, fizeram as seguintes opções: Arthur: 250 cartelas com 6 números escolhidos; Uma fábrica de parafusos possui duas máquinas, e para a produção de certo tipo de parafuso. Bruno: 41 cartelas com 7 números escolhidos e 4 cartelas com 6 números escolhidos; Em setembro, a máquina produziu 54 do total 100 Caio: 12 cartelas com 8 números escolhidos e de parafusos produzidos pela Dos 10 cartelas com 6 números produzidos por essa máquina, 25 eram Douglas: 4 cartelas com 9 números escolhidos; Por sua vez, 38 dos parafusos produzidos no mesmo Eduardo: 2 cartelas com 10 números escolhidos. mês pela máquina eram defeituosos. Os dois apostadores com maiores probabilidades de serem premiados são desempenho conjunto das duas máquinas classificado conforme o quadro, em que P indica a e D Arthur e probabilidade de um parafuso escolhido ao acaso ser Arthur e defeituoso. Douglas e Bruno e 2 100 Excelente 5 (2012) Envolve porcentagem. 2 4 100 Bom Em um blog de variedades, músicas, mantras 100 e informações diversas, foram postados "Contos de 4 6 100 100 Regular Apos a leitura, os visitantes poderiam opinar, assinalando suas reações em: "Divertido", "Assustador" 6 8 Ruim ou "Chato". Ao final de uma semana, o blog registrou que 100 100 500 visitantes distintos acessaram esta postagem. 8 100 gráfico a seguir apresenta o resultado da enquete. desempenho conjunto dessas máquinas, em setembro, CONTOS DE HALLOWEEN pode ser classificado como opinião dos visitantes excelente. D ruim. bom. DIVERTIDO 52% regular. ASSUSTADOR 15% 4 (2013) - Envolve combinação. CHATO 12% Considere o seguinte jogo de apostas: Numa cartela com 60 números um NÃO OPINARAM 21% apostador escolhe de 6 a 10 números. Dentre os números sorteados apenas 6. apostador será 6 10% 20% 30% 40% 50% 60% premiado caso os 6 números sorteados estejam entre os números escolhidos por ele numa mesma cartela. administrador do blog irá sortear um livro entre os visitantes que opinaram na postagem "Contos de quadro apresenta o preço de cada cartela, de acordo com a quantidade de números escolhidos. Sabendo que nenhum visitante votou mais de uma vez, a probabilidade de uma pessoa escolhida ao acaso entre Quantidade de números as que opinaram ter assinalado que o conto "Contos de escolhidos em uma cartela Preço da cartela (R$) Halloween" "Chato" mais aproximada por A 0,09. 0,15. 6 2,00 7 12,00 0,12. E 0,18. 8 40,00 9 125,00 10 250,00 44PROJETO SUPERANDO ENEM MATEMÁTICA - PROFESSOR RAFAEL IZIDORO RODRIGUES 6 (2012) Multiplicação de probabilidades. 8 (2011) Probabilidades simples. Em um jogo duas umas com 10 bolas de mesmo Rafael mora no Centro de uma cidade e decidiu tamanho em cada A tabela a seguir indica as se mudar, por recomendações médicas, para uma quantidades de bolas de cada em cada das regiões: Rural, Comercial, Residencial ou Residencial Suburbano. A principal recomendação médica foi com as temperaturas das "ilhas de calor" Cor Urna 1 Uma 2 da região, que deveriam ser inferiores a Tais Amarela 4 0 temperaturas são apresentadas no gráfico: Azul 3 1 PERFIL DA ILHA DE CALOR URBANA Branca 2 2 Verde 1 3 92 91 Vermelha 4 32 89 31 Uma jogada consiste em: 30 85 jogador apresenta um palpite sobre a cor da bola que retirada por ele da urna 2: Rural Comercial CENTRO Residencial Residencial Urbano Suburbano ele retira, aleatoriamente, uma bola da 1 e a coloca na uma 2. misturando-a com as que la estão; EPA em seguida ele retira, também aleatoriamente, uma Escolhendo, aleatoriamente, uma das outras regiões bola da uma 2: para morar, a probabilidade de ele escolher uma região se a da ultima bola retirada for a mesma do palpite que seja adequada às recomendações médicas inicial, ele ganha o jogo. A 1 3 5 5 Qual deve ser escolhida pelo jogador para que ele 8 1 E 3 tenha a maior probabilidade de ganhar? 4 4 2 Azul. Verde. 5 Amarela. E Vermelha. Branca. 9 (2011) Envolve combinação. 7 (2012) Envolve análise Em um jogo disputado em uma mesa de sinuca, há 16 bolas: 1 branca e 15 coloridas, as quais, de acordo José, Paulo e estão jogando dados não viciados, com a coloração, valem de 1 a 15 pontos (um valor nos quais, em cada uma das seis ha um número de 1 a6. para cada bola colorida). Cada um deles jogará dois dados jogador acerta o taco na bola branca de forma que acredita que, após jogar seus dados, os números das faces voltadas para cima lhe darão uma soma igual a 7. Já Paulo esta acerte as outras, com objetivo de acertar duas das acredita que sua soma será igual a 4 e acredita quinze bolas em quaisquer caçapas. Os valores dessas que sua soma será igual a 8. duas bolas são somados e devem resultar em um valor escolhido pelo jogador antes do da jogada. Com essa escolha, quem tem a maior probabilidade de acertar sua respectiva soma e Arthur, Bemardo e Caio escolhem os números 17 e 22 como sendo resultados de suas respectivas já que sua soma é a maior de todas as Com essa escolha, quem tem a maior probabilidade de José e Antônio, já que há 6 possibilidades tanto para a ganhar o jogo é escolha de José quanto para a escolha de e há apenas 4 possibilidades para a escolha de Paulo. José e Antônio, já que há 3 possibilidades tanto para a Arthur, pois a soma que escolheu a menor. escolha de José quanto para a escolha de e Bernardo, pois há 7 possibilidades de compor a ha apenas 2 possibilidades para a escolha de soma escolhida por ele, contra 4 possibilidades ja que ha 6 possibilidades para formar sua soma, para a escolha de Arthur e 4 possibilidades para a 5 possibilidades para formar a soma de e escolha de Caio. apenas 3 possibilidades para formar a soma de Bernardo, pois há 7 possibilidades de compor a E Paulo, já que sua soma é a menor de todas. soma escolhida por ele, contra 5 possibilidades para a escolha de Arthur e 4 possibilidades para a escolha de Caio. Caio, pois há 10 possibilidades de compor a soma escolhida por ele, contra 5 possibilidades para a escolha de Arthur e 8 possibilidades para a escolha de Caio, pois a soma que escolheu a maior. 45PROJETO SUPERANDO ENEM MATEMÁTICA - PROFESSOR RAFAEL IZIDORO RODRIGUES 10 (2011) Envolve porcentagem. 12 (2010) Multiplicação de probabilidades. Todo o país passa pela primeira fase de campanha A figura I abaixo mostra um esquema das principais vias de vacinação contra a gripe suina (H1N1). Segundo um médico infectologista do Instituto Emilio Ribas, de São que interligam a cidade A com a cidade B. Cada número Paulo, a imunização "deve no país, a história indicado na figura representa a probabilidade de pegar um da Com a vacina, de acordo com ele, Brasil engarrafamento quando se passa na via indicada. Assim, tem a chance de barrar uma tendência do crescimento há uma probabilidade de 30% de se pegar engarrafamento da doença, que já matou 17 mil no mundo. A tabela apresenta dados especificos de um único posto de no deslocamento do ponto C ao o ponto B, passando pela estrada E4, e de 50%, quando se passa por E3. Essas probabilidades são independentes umas das outras. Campanha de vacinação contra a gripe suina Datas da Público-alvo Quantidade de vacinação pessoas vacinadas 8 a 19 de Trabalhadores da saúde 42 março e indigenas E3 0,5 E1 22 de março a Portadores de doenças 22 2 de abril E4 crônicas Adultos entre B DA DA 5 a 23 de abril 56 20 e 29 anos E6 24 de abril a População com mais de 30 E2 7 de maio 60 anos E5 10 a 21 de Adultos entre 50 maio 30 e 39 anos D D em abr. 2010 (adaptado) Figura Figura Paula deseja se deslocar da cidade A para a cidade Escolhendo-se aleatoriamente uma pessoa atendida usando exatamente duas das vias indicadas, nesse posto de vacinação, a probabilidade de ela ser portadora de doença crônica é percorrendo um trajeto com a menor probabilidade de 8%. engarrafamento possivel. 9%. 22%. 11%. o melhor trajeto para Paula é 11 (2011) Questão adaptada - Probabilidade E1E3. E2E5. simples. E2E6. gráfico mostra a velocidade de conexão à internet utilizada em domicilios no Brasil. Esses dados são resultado da mais recente pesquisa, de 2009, realizada 13 (2010) Probabilidade simples. pelo Gestor da Internet (CGI). diretor de um colégio leu numa revista que os pés % domicilios segundo velocidade de conexão da internet das mulheres estavam aumentando. Há alguns anos, a média do tamanho dos calçados das mulheres era 40 de 35,5 e, hoje, é de Embora não fosse uma 30 25 24 informação ele ficou curioso e fez uma 20 20 pesquisa com as funcionárias do seu colégio, obtendo 15 o quadro a seguir: 10 5 1 TAMANHO DOS CALÇADOS NÚMERO DE FUNCIONÁRIAS Até Entre Entre Acima Não 256 256 1 4 de Não 39,0 1 4 responde 38,0 10 Acesso abr. 2010 37,0 3 Escolhendo-se, aleatoriamente, um pesquisado, 36,0 5 qual a probabilidade (P) de haver banda larga de conexão de 35,0 6 pelo menos 1 Mbps neste Escolhendo uma funcionária ao acaso e sabendo que a) P d) P ela tem calçado maior que a probabilidade de ela calçar b) e) P c) P 5 3 7 1 5 5 14 2 5 46PROJETO SUPERANDO 0 ENEM MATEMÁTICA - PROFESSOR RAFAEL IZIDORO RODRIGUES Etapa 17 Outros tópicos e A 0 A 1 (2013) Simetria. Um programa de edição de imagens possibilita transformar figuras em outras mais complexas. Deseja-se construir uma nova figura a partir da original. Anova figura deve apresentar simetria em relação ao ponto O. A A Figura original A imagem que representa a nova figura é: A 3 (2012) Projeção ortogonal. globo da morte é uma atração muito usada em circos. Ele consiste em uma de jaula em forma de uma superficie esférica feita de aço, onde motoqueiros andam com suas motos por dentro. A seguir, tem-se, na Figura 1. uma foto de um globo da morte e, na Figura uma esfera que ilustra um globo da morte. B © A 2 (2013) Projeção ortogonal. Figura 1 Figura 2 Gangorra um brinquedo que consiste de uma tábua longa e estreita equilibrada e fixada no seu ponto central Na Figura o ponto A no plano do chão onde (pivo). Nesse brinquedo, duas pessoas sentam-se nas está colocado 0 globo da morte e o segmento AB passa extremidades e, alternadamente, impulsionam-se para cima, fazendo descer a extremidade oposta, realizando, pelo centro da esfera e é perpendicular ao plano do assim, o movimento da gangorra. Suponha que há um foco de luz direcionado para o chão Considere a gangorra representada na figura, em que colocado no ponto e que um motoqueiro faça um trajeto os pontos A e são equidistantes do pivo: dentro da esfera, percorrendo uma circunferência que passa pelos pontos A e B. Pivo A imagem do trajeto feito pelo motoqueiro no plano do chão melhor representada por A 47