movimento retilineo

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F´ısica Geral I
Movimento Retil´ıneo
Jose´ Jacinto Cruz de Souza
Centro Universitario de Joa˜o Pessoa - Departamento de Engenharia Civil
Informac¸o˜es: www.jfisica.com.br
6 de Fevereiro de 2015
Jose´ Jacinto Cruz de Souza (Centro Universitario de Joa˜o Pessoa - Departamento de Engenharia Civil Informac¸o˜es: www.jfisica.com.br)Movimento Retil´ıneo 6 de Fevereiro de 2015 1 / 47
Suma´rio
Suma´rio
1 Introduc¸a˜o
2 Posic¸a˜o e deslocamento
3 Velocidade me´dia
4 Ana´lise gra´fica da velocidade me´dia
5 Velocidade Instantaˆnea
6 Acelerac¸a˜o
7 Queda Livre
8 Refereˆncias Bibliogra´ficas
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Suma´rio
Suma´rio
1 Introduc¸a˜o
2 Posic¸a˜o e deslocamento
3 Velocidade me´dia
4 Ana´lise gra´fica da velocidade me´dia
5 Velocidade Instantaˆnea
6 Acelerac¸a˜o
7 Queda Livre
8 Refereˆncias Bibliogra´ficas
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Suma´rio
Suma´rio
1 Introduc¸a˜o
2 Posic¸a˜o e deslocamento
3 Velocidade me´dia
4 Ana´lise gra´fica da velocidade me´dia
5 Velocidade Instantaˆnea
6 Acelerac¸a˜o
7 Queda Livre
8 Refereˆncias Bibliogra´ficas
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Suma´rio
Suma´rio
1 Introduc¸a˜o
2 Posic¸a˜o e deslocamento
3 Velocidade me´dia
4 Ana´lise gra´fica da velocidade me´dia
5 Velocidade Instantaˆnea
6 Acelerac¸a˜o
7 Queda Livre
8 Refereˆncias Bibliogra´ficas
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Suma´rio
Suma´rio
1 Introduc¸a˜o
2 Posic¸a˜o e deslocamento
3 Velocidade me´dia
4 Ana´lise gra´fica da velocidade me´dia
5 Velocidade Instantaˆnea
6 Acelerac¸a˜o
7 Queda Livre
8 Refereˆncias Bibliogra´ficas
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Suma´rio
Suma´rio
1 Introduc¸a˜o
2 Posic¸a˜o e deslocamento
3 Velocidade me´dia
4 Ana´lise gra´fica da velocidade me´dia
5 Velocidade Instantaˆnea
6 Acelerac¸a˜o
7 Queda Livre
8 Refereˆncias Bibliogra´ficas
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Suma´rio
Suma´rio
1 Introduc¸a˜o
2 Posic¸a˜o e deslocamento
3 Velocidade me´dia
4 Ana´lise gra´fica da velocidade me´dia
5 Velocidade Instantaˆnea
6 Acelerac¸a˜o
7 Queda Livre
8 Refereˆncias Bibliogra´ficas
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Suma´rio
Suma´rio
1 Introduc¸a˜o
2 Posic¸a˜o e deslocamento
3 Velocidade me´dia
4 Ana´lise gra´fica da velocidade me´dia
5 Velocidade Instantaˆnea
6 Acelerac¸a˜o
7 Queda Livre
8 Refereˆncias Bibliogra´ficas
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Introduc¸a˜o
Introduc¸a˜o
Conceitos
Cinema´tica e´ o ramo da f´ısica que se ocupa da descric¸a˜o dos movimentos
dos corpos, sem se preocupar com a ana´lise de suas causas (Dinaˆmica).
Conceitos
No estudo da cinema´tica iremos descrever o movimento determinando a
posic¸a˜o, a velocidade e a acelerac¸a˜o de um corpo em cada instante.
Conceitos
Os corpos em estudo, denominado mo´veis, sa˜o considerados pontos
materiais. Ponto material e´ um corpo cujas dimenso˜es na˜o interferem no
estudo de determinado fenoˆmeno.
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Introduc¸a˜o
Introduc¸a˜o
Conceitos
Cinema´tica e´ o ramo da f´ısica que se ocupa da descric¸a˜o dos movimentos
dos corpos, sem se preocupar com a ana´lise de suas causas (Dinaˆmica).
Conceitos
No estudo da cinema´tica iremos descrever o movimento determinando a
posic¸a˜o, a velocidade e a acelerac¸a˜o de um corpo em cada instante.
Conceitos
Os corpos em estudo, denominado mo´veis, sa˜o considerados pontos
materiais. Ponto material e´ um corpo cujas dimenso˜es na˜o interferem no
estudo de determinado fenoˆmeno.
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Introduc¸a˜o
Introduc¸a˜o
Conceitos
Cinema´tica e´ o ramo da f´ısica que se ocupa da descric¸a˜o dos movimentos
dos corpos, sem se preocupar com a ana´lise de suas causas (Dinaˆmica).
Conceitos
No estudo da cinema´tica iremos descrever o movimento determinando a
posic¸a˜o, a velocidade e a acelerac¸a˜o de um corpo em cada instante.
Conceitos
Os corpos em estudo, denominado mo´veis, sa˜o considerados pontos
materiais. Ponto material e´ um corpo cujas dimenso˜es na˜o interferem no
estudo de determinado fenoˆmeno.
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Introduc¸a˜o
Introduc¸a˜o
Conceitos
Cinema´tica e´ o ramo da f´ısica que se ocupa da descric¸a˜o dos movimentos
dos corpos, sem se preocupar com a ana´lise de suas causas (Dinaˆmica).
Conceitos
No estudo da cinema´tica iremos descrever o movimento determinando a
posic¸a˜o, a velocidade e a acelerac¸a˜o de um corpo em cada instante.
Conceitos
Os corpos em estudo, denominado mo´veis, sa˜o considerados pontos
materiais. Ponto material e´ um corpo cujas dimenso˜es na˜o interferem no
estudo de determinado fenoˆmeno.
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Posic¸a˜o de Deslocamento
Posic¸a˜o
Noc¸o˜es gerais
Localizar um objeto significa determinar a posic¸a˜o do objeto em relac¸a˜o a
um ponto de refereˆncia, frequentemente a origem (ou ponto zero) de um
eixo x .
Noc¸o˜es gerais
A posic¸a˜o e´ assinalada em um eixo marcado em unidade de comprimento
(metros) que se estende indefinidamente nos dois sentidos.
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Posic¸a˜o de Deslocamento
Posic¸a˜o
Noc¸o˜es gerais
Localizar um objeto significa determinar a posic¸a˜o do objeto em relac¸a˜o a
um ponto de refereˆncia, frequentemente a origem (ou ponto zero) de um
eixo x .
Noc¸o˜es gerais
A posic¸a˜o e´ assinalada em um eixo marcado em unidade de comprimento
(metros) que se estende indefinidamente nos dois sentidos.
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Posic¸a˜o de Deslocamento
Posic¸a˜o
Noc¸o˜es gerais
Localizar um objetosignifica determinar a posic¸a˜o do objeto em relac¸a˜o a
um ponto de refereˆncia, frequentemente a origem (ou ponto zero) de um
eixo x .
Noc¸o˜es gerais
A posic¸a˜o e´ assinalada em um eixo marcado em unidade de comprimento
(metros) que se estende indefinidamente nos dois sentidos.
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Posic¸a˜o de Deslocamento
Deslocamento
Definic¸a˜o
A mudanc¸a de posic¸a˜o inicial x0 para uma posic¸a˜o final x e´ associado um
deslocamento ∆x , dado por
∆x = x − x0 (1)
O deslocamento e´ uma grandeza vetorial, possui, mo´dulo, direc¸a˜o e
sentido.
Observac¸a˜o
Nu´meros de metros percorridos e´ irrelevante; o deslocamento envolve
apenas a posic¸a˜o inicial e final.
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Posic¸a˜o de Deslocamento
Deslocamento
Definic¸a˜o
A mudanc¸a de posic¸a˜o inicial x0 para uma posic¸a˜o final x e´ associado um
deslocamento ∆x , dado por
∆x = x − x0 (1)
O deslocamento e´ uma grandeza vetorial, possui, mo´dulo, direc¸a˜o e
sentido.
Observac¸a˜o
Nu´meros de metros percorridos e´ irrelevante; o deslocamento envolve
apenas a posic¸a˜o inicial e final.
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Posic¸a˜o de Deslocamento
Deslocamento
Definic¸a˜o
A mudanc¸a de posic¸a˜o inicial x0 para uma posic¸a˜o final x e´ associado um
deslocamento ∆x , dado por
∆x = x − x0 (1)
O deslocamento e´ uma grandeza vetorial, possui, mo´dulo, direc¸a˜o e
sentido.
Observac¸a˜o
Nu´meros de metros percorridos e´ irrelevante; o deslocamento envolve
apenas a posic¸a˜o inicial e final.
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Posic¸a˜o de Deslocamento
Deslocamento
Definic¸a˜o
A mudanc¸a de posic¸a˜o inicial x0 para uma posic¸a˜o final x e´ associado um
deslocamento ∆x , dado por
∆x = x − x0 (1)
O deslocamento e´ uma grandeza vetorial, possui, mo´dulo, direc¸a˜o e
sentido.
Observac¸a˜o
Nu´meros de metros percorridos e´ irrelevante; o deslocamento envolve
apenas a posic¸a˜o inicial e final.
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Posic¸a˜o de Deslocamento
Posic¸a˜o do corpo em ti : x(ti ) = −2m
Posic¸a˜o do corpo em tf : x(tf ) = 7m
Deslocamento do corpo (vetor):
∆x = xf − xi = 7− (−2)m = 9m
Distaˆncia total percorrida (d) 6= deslocamento
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Posic¸a˜o de Deslocamento
Posic¸a˜o do corpo em ti : x(ti ) = −2m
Posic¸a˜o do corpo em tf : x(tf ) = 7m
Deslocamento do corpo (vetor):
∆x = xf − xi = 7− (−2)m = 9m
Distaˆncia total percorrida (d) 6= deslocamento
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Posic¸a˜o de Deslocamento
Posic¸a˜o do corpo em ti : x(ti ) = −2m
Posic¸a˜o do corpo em tf : x(tf ) = 7m
Deslocamento do corpo (vetor):
∆x = xf − xi = 7− (−2)m = 9m
Distaˆncia total percorrida (d) 6= deslocamento
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Posic¸a˜o de Deslocamento
Posic¸a˜o do corpo em ti : x(ti ) = −2m
Posic¸a˜o do corpo em tf : x(tf ) = 7m
Deslocamento do corpo (vetor):
∆x = xf − xi = 7− (−2)m = 9m
Distaˆncia total percorrida (d) 6= deslocamento
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Posic¸a˜o de Deslocamento
Posic¸a˜o do corpo em ti : x(ti ) = −2m
Posic¸a˜o do corpo em tf : x(tf ) = 7m
Deslocamento do corpo (vetor):
∆x = xf − xi = 7− (−2)m = 9m
Distaˆncia total percorrida (d) 6= deslocamento
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Velocidade me´dia
Velocidade me´dia
Definic¸a˜o
Indica o qua˜o ra´pido um objeto se desloca em um intervalo de tempo
me´dio. A velocidade me´dia e´ a raza˜o entre o deslocamento e o intervalo
de tempo:
vm =
∆x
∆t
=
x − x0
t − t0 (2)
Unidade
A unidde de velocidade no SI e´ o metro por segundo (m/s).
A velocidade me´dia tem o mesmo sinal do deslocamento.
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Velocidade me´dia
Velocidade me´dia
Definic¸a˜o
Indica o qua˜o ra´pido um objeto se desloca em um intervalo de tempo
me´dio. A velocidade me´dia e´ a raza˜o entre o deslocamento e o intervalo
de tempo:
vm =
∆x
∆t
=
x − x0
t − t0 (2)
Unidade
A unidde de velocidade no SI e´ o metro por segundo (m/s).
A velocidade me´dia tem o mesmo sinal do deslocamento.
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Velocidade me´dia
Velocidade me´dia
Definic¸a˜o
Indica o qua˜o ra´pido um objeto se desloca em um intervalo de tempo
me´dio. A velocidade me´dia e´ a raza˜o entre o deslocamento e o intervalo
de tempo:
vm =
∆x
∆t
=
x − x0
t − t0 (2)
Unidade
A unidde de velocidade no SI e´ o metro por segundo (m/s).
A velocidade me´dia tem o mesmo sinal do deslocamento.
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Velocidade me´dia
Velocidade me´dia
Definic¸a˜o
Indica o qua˜o ra´pido um objeto se desloca em um intervalo de tempo
me´dio. A velocidade me´dia e´ a raza˜o entre o deslocamento e o intervalo
de tempo:
vm =
∆x
∆t
=
x − x0
t − t0 (2)
Unidade
A unidde de velocidade no SI e´ o metro por segundo (m/s).
A velocidade me´dia tem o mesmo sinal do deslocamento.
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Velocidade me´dia
Relac¸a˜o entre m/s e km/h
E´ importante saber efetuar a conversa˜o entre o km/h e o m/s, que e´ dada
pela seguinte relac¸a˜o:
Exemplo 1: (a) Transforme 72km/h em m/s. (b) Transforme 15m/s em
km/h. Soluc¸a˜o:
(a)20m/s e (b)54km/h
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Velocidade me´dia
Relac¸a˜o entre m/s e km/h
E´ importante saber efetuar a conversa˜o entre o km/h e o m/s, que e´ dada
pela seguinte relac¸a˜o:
Exemplo 1: (a) Transforme 72km/h em m/s. (b) Transforme 15m/s em
km/h. Soluc¸a˜o:
(a)20m/s e (b)54km/h
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Velocidade me´dia
Relac¸a˜o entre m/s e km/h
E´ importante saber efetuar a conversa˜o entre o km/h e o m/s, que e´ dada
pela seguinte relac¸a˜o:
Exemplo 1: (a) Transforme 72km/h em m/s. (b) Transforme 15m/s em
km/h.
Soluc¸a˜o:
(a)20m/s e (b)54km/h
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Velocidade me´dia
Relac¸a˜o entre m/s e km/h
E´ importante saber efetuar a conversa˜o entre o km/h e o m/s, que e´ dada
pela seguinte relac¸a˜o:
Exemplo 1: (a) Transforme 72km/h em m/s. (b) Transforme 15m/s em
km/h. Soluc¸a˜o:
(a)20m/s e (b)54km/h
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Velocidade me´dia
Velocidade escalar me´dia
A velocidade me´dia escalar e´ a raza˜o entre a distaˆncia total percorrida e o
tempo gasto no percurso. Assim
vem =
d
∆t
(3)
A velocidade escalar me´dia na˜o possui sinal algebrico, pois na˜o inclui
direc¸a˜o e sentido da velocidade - Grandeza escalar.
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Velocidade me´dia
Velocidade escalar me´dia
A velocidade me´dia escalar e´ a raza˜o entre a distaˆncia total percorrida e o
tempo gasto no percurso. Assim
vem =
d
∆t
(3)
A velocidade escalar me´dia na˜o possui sinal algebrico, pois na˜o inclui
direc¸a˜o e sentido da velocidade - Grandeza escalar.
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Velocidade me´dia
Velocidade escalar me´dia
A velocidade me´dia escalar e´ a raza˜o entre a distaˆncia total percorrida e o
tempo gasto no percurso. Assim
vem =
d
∆t
(3)
A velocidade escalar me´dia na˜o possui sinal algebrico, pois na˜o inclui
direc¸a˜o e sentido da velocidade - Grandeza escalar.
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Velocidade me´dia
Velocidade escalar me´dia
A velocidade me´dia escalar e´ a raza˜o entre a distaˆncia total percorrida e o
tempo gasto no percurso. Assim
vem =
d
∆t
(3)
A velocidade escalar me´dia na˜o possui sinal algebrico, pois na˜o inclui
direc¸a˜o e sentido da velocidade - Grandeza escalar.
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Velocidade me´dia
Exemplo 2: A figura abaixo mostra distaˆncia percorrida entre as cidade
de Guarapari e Vito´ria - ES , por um ve´ıculo caso viajasse em linha reta ou
pela BR 101, supondo que o tempo de viagem seja t = 1, 3h. Determine:
(a) A velocidade me´dia. vm ∼= 32km/h
(b) E a velocidade escalar me´dia. vem ∼= 42km/h. vem ≥ vm
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Velocidade me´dia
Exemplo 2: A figura abaixo mostra distaˆncia percorrida entre as cidade
de Guarapari e Vito´ria - ES , por um ve´ıculo caso viajasse em linha reta ou
pela BR 101, supondo que o tempo de viagem seja t = 1, 3h. Determine:
(a) A velocidade me´dia. vm ∼= 32km/h
(b) E a velocidade escalar me´dia. vem ∼= 42km/h. vem ≥ vm
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Velocidade me´dia
Exemplo 2: A figura abaixo mostra distaˆncia percorrida entre as cidade
de Guarapari e Vito´ria - ES , por um ve´ıculo caso viajasse em linha reta ou
pela BR 101, supondo que o tempo de viagem seja t = 1, 3h. Determine:
(a) A velocidade me´dia.
vm ∼= 32km/h
(b) E a velocidade escalar me´dia. vem ∼= 42km/h. vem ≥ vm
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Velocidade me´dia
Exemplo 2: A figura abaixo mostra distaˆncia percorrida entre as cidade
de Guarapari e Vito´ria - ES , por um ve´ıculo caso viajasse em linha reta ou
pela BR 101, supondo que o tempo de viagem seja t = 1, 3h. Determine:
(a) A velocidade me´dia. vm ∼= 32km/h
(b) E a velocidade escalar me´dia. vem ∼= 42km/h. vem ≥ vm
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Velocidade me´dia
Exemplo 2: A figura abaixo mostra distaˆncia percorrida entre as cidade
de Guarapari e Vito´ria - ES , por um ve´ıculo caso viajasse em linha reta ou
pela BR 101, supondo que o tempo de viagem seja t = 1, 3h. Determine:
(a) A velocidade me´dia. vm ∼= 32km/h
(b) E a velocidade escalar me´dia.
vem ∼= 42km/h. vem ≥ vm
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Velocidade me´dia
Exemplo 2: A figura abaixo mostra distaˆncia percorrida entre as cidade
de Guarapari e Vito´ria - ES , por um ve´ıculo caso viajasse em linha reta ou
pela BR 101, supondo que o tempo de viagem seja t = 1, 3h. Determine:
(a) A velocidade me´dia. vm ∼= 32km/h
(b) E a velocidade escalar me´dia. vem ∼= 42km/h.
vem ≥ vm
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Velocidade me´dia
Exemplo 2: A figura abaixo mostra distaˆncia percorrida entre as cidade
de Guarapari e Vito´ria - ES , por um ve´ıculo caso viajasse em linha reta ou
pela BR 101, supondo que o tempo de viagem seja t = 1, 3h. Determine:
(a) A velocidade me´dia. vm ∼= 32km/h
(b) E a velocidade escalar me´dia. vem ∼= 42km/h. vem ≥ vm
Jose´ Jacinto Cruz de Souza (Centro Universitario de Joa˜o Pessoa - Departamento de Engenharia Civil Informac¸o˜es: www.jfisica.com.br)Movimento Retil´ıneo 6 de Fevereiro de 2015 10 / 47
Velocidade me´dia
Exemplo 3: No grande preˆmio do Brasil de 2009 da F 1, realizado em
interlagos, a pole position foi conquistada pelo brasileira Rubens Barrichelo
com um tempo de 1min e 19,576 s. Sabendo que a pista de interlagos tem
extensa˜o de 4309m. Determine:
(a) A velocidade escalar me´dia em km/h. vem ∼= 194, 9km/h
(b) E a velocidade me´dia. vm = 0km/h.
Jose´ Jacinto Cruz de Souza (Centro Universitario de Joa˜o Pessoa - Departamento de Engenharia Civil Informac¸o˜es: www.jfisica.com.br)Movimento Retil´ıneo 6 de Fevereiro de 2015 11 / 47
Velocidade me´dia
Exemplo 3: No grande preˆmio do Brasil de 2009 da F 1, realizado em
interlagos, a pole position foi conquistada pelo brasileira Rubens Barrichelo
com um tempo de 1min e 19,576 s. Sabendo que a pista de interlagos tem
extensa˜o de 4309m. Determine:
(a) A velocidade escalar me´dia em km/h.
vem ∼= 194, 9km/h
(b) E a velocidade me´dia. vm = 0km/h.
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Velocidade me´dia
Exemplo 3: No grande preˆmio do Brasil de 2009 da F 1, realizado em
interlagos, a pole position foi conquistada pelo brasileira Rubens Barrichelo
com um tempo de 1min e 19,576 s. Sabendo que a pista de interlagos tem
extensa˜o de 4309m. Determine:
(a) A velocidade escalar me´dia em km/h. vem ∼= 194, 9km/h
(b) E a velocidade me´dia. vm = 0km/h.
Jose´ Jacinto Cruz de Souza (Centro Universitario de Joa˜o Pessoa - Departamento de Engenharia Civil Informac¸o˜es: www.jfisica.com.br)Movimento Retil´ıneo 6 de Fevereiro de 2015 11 / 47
Velocidade me´dia
Exemplo 3: No grande preˆmio do Brasil de 2009 da F 1, realizado em
interlagos, a pole position foi conquistada pelo brasileira Rubens Barrichelo
com um tempo de 1min e 19,576 s. Sabendo que a pista de interlagos tem
extensa˜o de 4309m. Determine:
(a) A velocidade escalar me´dia em km/h. vem ∼= 194, 9km/h
(b) E a velocidade me´dia.
vm = 0km/h.
Jose´ Jacinto Cruz de Souza (Centro Universitario de Joa˜o Pessoa - Departamento de Engenharia Civil Informac¸o˜es: www.jfisica.com.br)Movimento Retil´ıneo 6 de Fevereiro de 2015 11 / 47
Velocidade me´dia
Exemplo 3: No grande preˆmio do Brasil de 2009 da F 1, realizado em
interlagos, a pole position foi conquistada pelo brasileira Rubens Barrichelo
com um tempo de 1min e 19,576 s. Sabendo que a pista de interlagos tem
extensa˜o de 4309m. Determine:
(a) A velocidade escalar me´dia em km/h. vem ∼= 194, 9km/h
(b) E a velocidade me´dia. vm = 0km/h.
Jose´ Jacinto Cruz de Souza (Centro Universitario de Joa˜o Pessoa - Departamento de Engenharia Civil Informac¸o˜es: www.jfisica.com.br)Movimento Retil´ıneo 6 de Fevereiro de 2015 11 / 47
Velocidade me´dia
Como o deslocamento num circuito fechado e´ nulo ⇒ A velocidade me´dia
e´ nula.
Jose´ Jacinto Cruz de Souza (Centro Universitario de Joa˜o Pessoa - Departamento de Engenharia Civil Informac¸o˜es: www.jfisica.com.br)Movimento Retil´ıneo 6 de Fevereiro de 2015 12 / 47
Velocidade me´dia
Como o deslocamento num circuito fechado e´ nulo ⇒ A velocidade me´dia
e´ nula.
Jose´ Jacinto Cruz de Souza (Centro Universitario de Joa˜o Pessoa - Departamento de Engenharia Civil Informac¸o˜es: www.jfisica.com.br)Movimento Retil´ıneo 6 de Fevereiro de 2015 12 / 47
Velocidade me´dia
Como o deslocamento num circuito fechado e´ nulo ⇒ A velocidade me´dia
e´ nula.
Jose´ Jacinto Cruz de Souza (Centro Universitario de Joa˜o Pessoa - Departamento de Engenharia Civil Informac¸o˜es: www.jfisica.com.br)Movimento Retil´ıneo 6 de Fevereiro de 2015 12 / 47
Ana´lise gra´fica da velocidade me´dia
Ana´lise gra´fica da velocidade me´dia
Uma forma comum de descrever o movimento de um objeto, e´ mostrar o
gra´fico da posic¸a˜o do objeto em func¸a˜o do tempo.
Observac¸a˜o
O ca´lculo da velocidade me´dia de um corpo e´ independente da trajeto´ria,
depende apenas das posic¸o˜es inicial e final. O formato da linha no gra´fico
na˜o interfere no resultado.
Em um gra´fico de x em func¸a˜o de t, vm e´ a inclinac¸a˜o da reta que liga
dois pontos particulares da curva x(t): Um dos pontos corresponde a x2 e
t2 e o outro a x1 e t1.
Jose´ Jacinto Cruz de Souza (Centro Universitario de Joa˜o Pessoa - Departamento de Engenharia Civil Informac¸o˜es: www.jfisica.com.br)Movimento Retil´ıneo 6 de Fevereiro de 2015 13 / 47
Ana´lise gra´fica da velocidade me´dia
Ana´lise gra´fica da velocidade me´dia
Uma forma comum de descrever o movimento de um objeto, e´ mostrar o
gra´fico da posic¸a˜o do objeto em func¸a˜o do tempo.
Observac¸a˜o
O ca´lculo da velocidade me´dia de um corpo e´ independente da trajeto´ria,
depende apenas das posic¸o˜es inicial e final. O formato da linha no gra´fico
na˜o interfere no resultado.
Em um gra´fico de x em func¸a˜o de t, vm e´ a inclinac¸a˜o da reta que liga
dois pontos particulares da curva x(t): Um dos pontos corresponde a x2 e
t2 e o outro a x1 e t1.
Jose´ Jacinto Cruz de Souza (Centro Universitario de Joa˜o Pessoa - Departamento de Engenharia Civil Informac¸o˜es: www.jfisica.com.br)Movimento Retil´ıneo 6 de Fevereiro de 2015 13 / 47
Ana´lise gra´fica da velocidade me´dia
Ana´lise gra´fica da velocidade me´dia
Uma forma comum de descrever o movimento de um objeto, e´ mostrar o
gra´fico da posic¸a˜o do objeto em func¸a˜o do tempo.
Observac¸a˜o
O ca´lculo da velocidade me´dia de um corpo e´ independente da trajeto´ria,
depende apenas das posic¸o˜es inicial e final. O formato da linha no gra´fico
na˜o interfere no resultado.
Em um gra´fico de x em func¸a˜o de t, vm e´ a inclinac¸a˜o da reta que liga
dois pontos particulares da curva x(t): Um dos pontos corresponde a x2 e
t2 e o outro a x1 e t1.
Jose´ Jacinto Cruz de Souza (Centro Universitario de Joa˜o Pessoa - Departamento de Engenharia Civil Informac¸o˜es: www.jfisica.com.br)Movimento Retil´ıneo 6 de Fevereiro de 2015 13 / 47
Ana´lise gra´fica da velocidade me´dia
Ana´lise gra´fica da velocidade me´dia
Uma forma comum de descrever o movimento de um objeto, e´ mostrar o
gra´fico da posic¸a˜o do objeto em func¸a˜o do tempo.
Observac¸a˜o
O ca´lculo da velocidade me´dia de um corpo e´ independente da trajeto´ria,
depende apenas das posic¸o˜es inicial e final. O formato da linha no gra´fico
na˜o interfere no resultado.
Em um gra´fico de x em func¸a˜o de t, vm e´ a inclinac¸a˜o da reta que liga
dois pontos particulares da curva x(t): Um dos pontos corresponde a x2 e
t2 e o outro a x1 e t1.
Jose´ Jacinto Cruz de Souza (Centro Universitario de Joa˜o Pessoa - Departamento de Engenharia Civil Informac¸o˜es: www.jfisica.com.br)Movimento Retil´ıneo 6 de Fevereiro de 2015 13 / 47
Ana´lise gra´fica da velocidade me´dia
Considere um tatu em movimento retil´ıneo conforme o graf´ıco abaixo e
observe a mudanc¸a de posic¸a˜o a cada intervalo de tempo.
Jose´ Jacinto Cruz de Souza (Centro Universitario de Joa˜o Pessoa - Departamento de Engenharia Civil Informac¸o˜es: www.jfisica.com.br)Movimento Retil´ıneo 6 de Fevereiro de 2015 14 / 47
Ana´lise gra´fica da velocidade me´dia
Considere um tatu em movimento retil´ıneo conforme o graf´ıco abaixo e
observe a mudanc¸a de posic¸a˜o a cada intervalo de tempo.
Jose´ Jacinto Cruz de Souza (Centro Universitario de Joa˜o Pessoa - Departamento de Engenharia Civil Informac¸o˜es: www.jfisica.com.br)Movimento Retil´ıneo 6 de Fevereiro de 2015 14 / 47
Ana´lise gra´fica da velocidade me´dia
Considere um tatu em movimento retil´ıneo conforme o graf´ıco abaixo e
observe a mudanc¸a de posic¸a˜o a cada intervalo de tempo.
Jose´ Jacinto Cruz de Souza (Centro Universitario de Joa˜o Pessoa - Departamento de Engenharia Civil Informac¸o˜es: www.jfisica.com.br)Movimento Retil´ıneo 6 de Fevereiro de 2015 14 / 47
Ana´lise gra´fica da velocidade me´dia
A figura abaixo mostra como determinar vm, para um intervalo de tempo
de t = 1s a t = 4s.
Jose´ Jacinto Cruz de Souza (Centro Universitario de Joa˜o Pessoa - Departamento de Engenharia Civil Informac¸o˜es: www.jfisica.com.br)Movimento Retil´ıneo 6 de Fevereiro de 2015 15 / 47
Ana´lise gra´fica da velocidade me´dia
A figura abaixo mostra como determinar vm, para um intervalo de tempo
de t = 1s a t = 4s.
Jose´ Jacinto Cruz de Souza (Centro Universitario de Joa˜o Pessoa - Departamento de Engenharia Civil Informac¸o˜es: www.jfisica.com.br)Movimento Retil´ıneo 6 de Fevereiro de 2015 15 / 47
Ana´lise gra´fica da velocidade me´dia
A figura abaixo mostra como determinar vm, para um intervalo de tempo
de t = 1s a t = 4s.
Jose´ Jacinto Cruz de Souza (Centro Universitario de Joa˜o Pessoa - Departamento de Engenharia Civil Informac¸o˜es: www.jfisica.com.br)Movimento Retil´ıneo 6 de Fevereiro de 2015 15 / 47
Ana´lise gra´fica da velocidade me´dia
Conforme o gra´fico anterior, a velocidade me´dia e´ dada porvm =
∆x
∆t
=
6m
3s
= 2m/s.
Observac¸a˜o
Modificac¸o˜es dos valores de ∆x e ∆t, alteram o comprimento e/ou a
orientac¸a˜o (declinac¸a˜o ou declividade) do segmento de reta em relac¸a˜o a
direc¸a˜o horizontal.
Jose´ Jacinto Cruz de Souza (Centro Universitario de Joa˜o Pessoa - Departamento de Engenharia Civil Informac¸o˜es: www.jfisica.com.br)Movimento Retil´ıneo 6 de Fevereiro de 2015 16 / 47
Ana´lise gra´fica da velocidade me´dia
Conforme o gra´fico anterior, a velocidade me´dia e´ dada por
vm =
∆x
∆t
=
6m
3s
= 2m/s.
Observac¸a˜o
Modificac¸o˜es dos valores de ∆x e ∆t, alteram o comprimento e/ou a
orientac¸a˜o (declinac¸a˜o ou declividade) do segmento de reta em relac¸a˜o a
direc¸a˜o horizontal.
Jose´ Jacinto Cruz de Souza (Centro Universitario de Joa˜o Pessoa - Departamento de Engenharia Civil Informac¸o˜es: www.jfisica.com.br)Movimento Retil´ıneo 6 de Fevereiro de 2015 16 / 47
Ana´lise gra´fica da velocidade me´dia
Conforme o gra´fico anterior, a velocidade me´dia e´ dada por
vm =
∆x
∆t
=
6m
3s
= 2m/s.
Observac¸a˜o
Modificac¸o˜es dos valores de ∆x e ∆t, alteram o comprimento e/ou a
orientac¸a˜o (declinac¸a˜o ou declividade) do segmento de reta em relac¸a˜o a
direc¸a˜o horizontal.
Jose´ Jacinto Cruz de Souza (Centro Universitario de Joa˜o Pessoa - Departamento de Engenharia Civil Informac¸o˜es: www.jfisica.com.br)Movimento Retil´ıneo 6 de Fevereiro de 2015 16 / 47
Ana´lise gra´fica da velocidade me´dia
Func¸a˜o Hora´ria da Posic¸a˜o
Se considerarmos o tempo inicial t0 = 0s na equac¸a˜o (2), obtemos a
chamada func¸a˜o hora´ria da posic¸a˜o.
v =
x − x0
t − 0 ⇒ vt = x − x0
x(t) = x0 + vt (4)
A Eq.(4) corresponde a uma func¸a˜o de 1o Grau (linear).
Jose´ Jacinto Cruz de Souza (Centro Universitario de Joa˜o Pessoa - Departamento de Engenharia Civil Informac¸o˜es: www.jfisica.com.br)Movimento Retil´ıneo 6 de Fevereiro de 2015 17 / 47
Ana´lise gra´fica da velocidade me´dia
Func¸a˜o Hora´ria da Posic¸a˜o
Se considerarmos o tempo inicial t0 = 0s na equac¸a˜o (2), obtemos a
chamada func¸a˜o hora´ria da posic¸a˜o.
v =
x − x0
t − 0 ⇒ vt = x − x0
x(t) = x0 + vt (4)
A Eq.(4) corresponde a uma func¸a˜o de 1o Grau (linear).
Jose´ Jacinto Cruz de Souza (Centro Universitario de Joa˜o Pessoa - Departamento de Engenharia Civil Informac¸o˜es: www.jfisica.com.br)Movimento Retil´ıneo 6 de Fevereiro de 2015 17 / 47
Ana´lise gra´fica da velocidade me´dia
Diagrama velocidade em func¸a˜o do tempo: Em um movimento uniforme,
a velocidade se mante´m igual no decorrer do tempo. Portanto seu gra´fico
e´ expresso por uma reta:
Dado este diagrama, uma forma de determinar o deslocamento do mo´vel e´
calcular a a´rea sob a reta compreendida no intervalo de tempo considerado.
Jose´ Jacinto Cruz de Souza (Centro Universitario de Joa˜o Pessoa - Departamento de Engenharia Civil Informac¸o˜es: www.jfisica.com.br)Movimento Retil´ıneo 6 de Fevereiro de 2015 18 / 47
Ana´lise gra´fica da velocidade me´dia
Diagrama velocidade em func¸a˜o do tempo: Em um movimento uniforme,
a velocidade se mante´m igual no decorrer do tempo. Portanto seu gra´fico
e´ expresso por uma reta:
Dado este diagrama, uma forma de determinar o deslocamento do mo´vel e´
calcular a a´rea sob a reta compreendida no intervalo de tempo considerado.
Jose´ Jacinto Cruz de Souza (Centro Universitario de Joa˜o Pessoa - Departamento de Engenharia Civil Informac¸o˜es: www.jfisica.com.br)Movimento Retil´ıneo 6 de Fevereiro de 2015 18 / 47
Ana´lise gra´fica da velocidade me´dia
Exemplo 4: Depois de dirigir um carro em uma estrada retil´ınea por
8, 4km a 70km/h voceˆ para por falta de gasolina. Nos 30min seguintes,
voceˆ caminha por mais 2, 0km, ao longo da estrada ate´ chegar a um posto
de gasolina.
(a) Qual foi deslocamento total, do inicio da viagem ate´ chegar
ao posto de gasolina? ∆x = 10, 4km.
(b) Qual o intervalo de tempo ∆t entre o inicio da viagem e o
instante em que voceˆ chega no posto. ∆t = 0, 62h.
(c) Qual e´ a velocidade me´dia vm do inicio da viagem ate´ a
chegada ao posto de gasolina? Determine a soluc¸a˜o
numericamente e graficamente. vm = 16, 8km/h.
Jose´ Jacinto Cruz de Souza (Centro Universitario de Joa˜o Pessoa - Departamento de Engenharia Civil Informac¸o˜es: www.jfisica.com.br)Movimento Retil´ıneo 6 de Fevereiro de 2015 19 / 47
Ana´lise gra´fica da velocidade me´dia
Exemplo 4: Depois de dirigir um carro em uma estrada retil´ınea por
8, 4km a 70km/h voceˆ para por falta de gasolina. Nos 30min seguintes,
voceˆ caminha por mais 2, 0km, ao longo da estrada ate´ chegar a um posto
de gasolina.
(a) Qual foi deslocamento total, do inicio da viagem ate´ chegar
ao posto de gasolina? ∆x = 10, 4km.
(b) Qual o intervalo de tempo ∆t entre o inicio da viagem e o
instante em que voceˆ chega no posto. ∆t = 0, 62h.
(c) Qual e´ a velocidade me´dia vm do inicio da viagem ate´ a
chegada ao posto de gasolina? Determine a soluc¸a˜o
numericamente e graficamente. vm = 16, 8km/h.
Jose´ Jacinto Cruz de Souza (Centro Universitario de Joa˜o Pessoa - Departamento de Engenharia Civil Informac¸o˜es: www.jfisica.com.br)Movimento Retil´ıneo 6 de Fevereiro de 2015 19 / 47
Ana´lise gra´fica da velocidade me´dia
Exemplo 4: Depois de dirigir um carro em uma estrada retil´ınea por
8, 4km a 70km/h voceˆ para por falta de gasolina. Nos 30min seguintes,
voceˆ caminha por mais 2, 0km, ao longo da estrada ate´ chegar a um posto
de gasolina.
(a) Qual foi deslocamento total, do inicio da viagem ate´ chegar
ao posto de gasolina?
∆x = 10, 4km.
(b) Qual o intervalo de tempo ∆t entre o inicio da viagem e o
instante em que voceˆ chega no posto. ∆t = 0, 62h.
(c) Qual e´ a velocidade me´dia vm do inicio da viagem ate´ a
chegada ao posto de gasolina? Determine a soluc¸a˜o
numericamente e graficamente. vm = 16, 8km/h.
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Ana´lise gra´fica da velocidade me´dia
Exemplo 4: Depois de dirigir um carro em uma estrada retil´ınea por
8, 4km a 70km/h voceˆ para por falta de gasolina. Nos 30min seguintes,
voceˆ caminha por mais 2, 0km, ao longo da estrada ate´ chegar a um posto
de gasolina.
(a) Qual foi deslocamento total, do inicio da viagem ate´ chegar
ao posto de gasolina? ∆x = 10, 4km.
(b) Qual o intervalo de tempo ∆t entre o inicio da viagem e o
instante em que voceˆ chega no posto.
∆t = 0, 62h.
(c) Qual e´ a velocidade me´dia vm do inicio da viagem ate´ a
chegada ao posto de gasolina? Determine a soluc¸a˜o
numericamente e graficamente. vm = 16, 8km/h.
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Ana´lise gra´fica da velocidade me´dia
Exemplo 4: Depois de dirigir um carro em uma estrada retil´ınea por
8, 4km a 70km/h voceˆ para por falta de gasolina. Nos 30min seguintes,
voceˆ caminha por mais 2, 0km, ao longo da estrada ate´ chegar a um posto
de gasolina.
(a) Qual foi deslocamento total, do inicio da viagem ate´ chegar
ao posto de gasolina? ∆x = 10, 4km.
(b) Qual o intervalo de tempo ∆t entre o inicio da viagem e o
instante em que voceˆ chega no posto. ∆t = 0, 62h.
(c) Qual e´ a velocidade me´dia vm do inicio da viagem ate´ a
chegada ao posto de gasolina? Determine a soluc¸a˜o
numericamente e graficamente.
vm = 16, 8km/h.
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Ana´lise gra´fica da velocidade me´dia
Exemplo 4: Depois de dirigir um carro em uma estrada retil´ınea por
8, 4km a 70km/hvoceˆ para por falta de gasolina. Nos 30min seguintes,
voceˆ caminha por mais 2, 0km, ao longo da estrada ate´ chegar a um posto
de gasolina.
(a) Qual foi deslocamento total, do inicio da viagem ate´ chegar
ao posto de gasolina? ∆x = 10, 4km.
(b) Qual o intervalo de tempo ∆t entre o inicio da viagem e o
instante em que voceˆ chega no posto. ∆t = 0, 62h.
(c) Qual e´ a velocidade me´dia vm do inicio da viagem ate´ a
chegada ao posto de gasolina? Determine a soluc¸a˜o
numericamente e graficamente. vm = 16, 8km/h.
Jose´ Jacinto Cruz de Souza (Centro Universitario de Joa˜o Pessoa - Departamento de Engenharia Civil Informac¸o˜es: www.jfisica.com.br)Movimento Retil´ıneo 6 de Fevereiro de 2015 19 / 47
Ana´lise gra´fica da velocidade me´dia
Graficamente
Jose´ Jacinto Cruz de Souza (Centro Universitario de Joa˜o Pessoa - Departamento de Engenharia Civil Informac¸o˜es: www.jfisica.com.br)Movimento Retil´ıneo 6 de Fevereiro de 2015 20 / 47
Ana´lise gra´fica da velocidade me´dia
Graficamente
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Velocidade Instantaˆnea
Velocidade Instantaˆnea
Conceitos iniciais
A velocidade instantaˆnea e´ a velocidade que um corpo possui num
determinado instante de tempo (ou instante muito pequeno de tempo).
Um radar de velocidade e um veloc´ımetro informam a velocidade
instantaˆnea do automo´vel. Se a velocidade do corpo na˜o varia, a
velocidade instantaˆnea e´ igual a velocidade me´dia, da´ı o movimento
e´ chamado de uniforme.
Jose´ Jacinto Cruz de Souza (Centro Universitario de Joa˜o Pessoa - Departamento de Engenharia Civil Informac¸o˜es: www.jfisica.com.br)Movimento Retil´ıneo 6 de Fevereiro de 2015 21 / 47
Velocidade Instantaˆnea
Velocidade Instantaˆnea
Conceitos iniciais
A velocidade instantaˆnea e´ a velocidade que um corpo possui num
determinado instante de tempo (ou instante muito pequeno de tempo).
Um radar de velocidade e um veloc´ımetro informam a velocidade
instantaˆnea do automo´vel. Se a velocidade do corpo na˜o varia, a
velocidade instantaˆnea e´ igual a velocidade me´dia, da´ı o movimento
e´ chamado de uniforme.
Jose´ Jacinto Cruz de Souza (Centro Universitario de Joa˜o Pessoa - Departamento de Engenharia Civil Informac¸o˜es: www.jfisica.com.br)Movimento Retil´ıneo 6 de Fevereiro de 2015 21 / 47
Velocidade Instantaˆnea
Velocidade Instantaˆnea
Conceitos iniciais
A velocidade instantaˆnea e´ a velocidade que um corpo possui num
determinado instante de tempo (ou instante muito pequeno de tempo).
Um radar de velocidade e um veloc´ımetro informam a velocidade
instantaˆnea do automo´vel. Se a velocidade do corpo na˜o varia, a
velocidade instantaˆnea e´ igual a velocidade me´dia, da´ı o movimento
e´ chamado de uniforme.
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Velocidade Instantaˆnea
Velocidade Instantaˆnea
Definic¸a˜o
A velocidade instantaˆnea ou simplesmente velocidade e´ o limite da
velocidade me´dia quando o intervalo de tempo tende a zero.
Definic¸a˜o
Ela e´ igual a taxa de variac¸a˜o da posic¸a˜o x com o tempo em um dado
instante, ou seja, v e´ a derivada de x em relac¸a˜o a t.
v = lim
∆t→0
∆x
∆t
=
dx
dt
(5)
observac¸a˜o
A velocidade instaˆtanea e´ uma grandeza vetorial. Lembrando que, a
unidade de velocidade no SI e´ o m/s.
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Velocidade Instantaˆnea
Velocidade Instantaˆnea
Definic¸a˜o
A velocidade instantaˆnea ou simplesmente velocidade e´ o limite da
velocidade me´dia quando o intervalo de tempo tende a zero.
Definic¸a˜o
Ela e´ igual a taxa de variac¸a˜o da posic¸a˜o x com o tempo em um dado
instante, ou seja, v e´ a derivada de x em relac¸a˜o a t.
v = lim
∆t→0
∆x
∆t
=
dx
dt
(5)
observac¸a˜o
A velocidade instaˆtanea e´ uma grandeza vetorial. Lembrando que, a
unidade de velocidade no SI e´ o m/s.
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Velocidade Instantaˆnea
Velocidade Instantaˆnea
Definic¸a˜o
A velocidade instantaˆnea ou simplesmente velocidade e´ o limite da
velocidade me´dia quando o intervalo de tempo tende a zero.
Definic¸a˜o
Ela e´ igual a taxa de variac¸a˜o da posic¸a˜o x com o tempo em um dado
instante, ou seja, v e´ a derivada de x em relac¸a˜o a t.
v = lim
∆t→0
∆x
∆t
=
dx
dt
(5)
observac¸a˜o
A velocidade instaˆtanea e´ uma grandeza vetorial. Lembrando que, a
unidade de velocidade no SI e´ o m/s.
Jose´ Jacinto Cruz de Souza (Centro Universitario de Joa˜o Pessoa - Departamento de Engenharia Civil Informac¸o˜es: www.jfisica.com.br)Movimento Retil´ıneo 6 de Fevereiro de 2015 22 / 47
Velocidade Instantaˆnea
Velocidade Instantaˆnea
Definic¸a˜o
A velocidade instantaˆnea ou simplesmente velocidade e´ o limite da
velocidade me´dia quando o intervalo de tempo tende a zero.
Definic¸a˜o
Ela e´ igual a taxa de variac¸a˜o da posic¸a˜o x com o tempo em um dado
instante, ou seja, v e´ a derivada de x em relac¸a˜o a t.
v = lim
∆t→0
∆x
∆t
=
dx
dt
(5)
observac¸a˜o
A velocidade instaˆtanea e´ uma grandeza vetorial. Lembrando que, a
unidade de velocidade no SI e´ o m/s.
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Velocidade Instantaˆnea
Velocidade Instantaˆnea
Definic¸a˜o
A velocidade instantaˆnea ou simplesmente velocidade e´ o limite da
velocidade me´dia quando o intervalo de tempo tende a zero.
Definic¸a˜o
Ela e´ igual a taxa de variac¸a˜o da posic¸a˜o x com o tempo em um dado
instante, ou seja, v e´ a derivada de x em relac¸a˜o a t.
v = lim
∆t→0
∆x
∆t
=
dx
dt
(5)
observac¸a˜o
A velocidade instaˆtanea e´ uma grandeza vetorial. Lembrando que, a
unidade de velocidade no SI e´ o m/s.
Jose´ Jacinto Cruz de Souza (Centro Universitario de Joa˜o Pessoa - Departamento de Engenharia Civil Informac¸o˜es: www.jfisica.com.br)Movimento Retil´ıneo 6 de Fevereiro de 2015 22 / 47
Velocidade Instantaˆnea
Exemplo 5: As equac¸o˜es a seguir fornecem a posic¸a˜o x(t) de uma
part´ıcula em quatro casos. Onde x esta´ em metros e t em segundos
(t > 0): (I) x = 3t − 2. (II) x = −4t2 − 2. (III) x = 2/t2. (IV) x = −2.
(a) Em que caso(s) a velocidade v da part´ıcula e´ constante?
(b) Em que caso(s) a velocidade v e´ no sentido negativo?
Exemplo 6: A posic¸a˜o de um objeto em movimento retil´ıneo e´ dada pela
func¸a˜o x = 9, 75 + 1, 5t3, onde x esta´ em metros e t em segundos.
(a) Calcule a velocidade me´dia durante o intervalo de tempo de
t = 2s a t = 3s.
(b) Determine a velocidade instantaˆnea em t=2,5s.
Jose´ Jacinto Cruz de Souza (Centro Universitario de Joa˜o Pessoa - Departamento de Engenharia Civil Informac¸o˜es: www.jfisica.com.br)Movimento Retil´ıneo 6 de Fevereiro de 2015 23 / 47
Velocidade Instantaˆnea
Exemplo 5: As equac¸o˜es a seguir fornecem a posic¸a˜o x(t) de uma
part´ıcula em quatro casos. Onde x esta´ em metros e t em segundos
(t > 0): (I) x = 3t − 2. (II) x = −4t2 − 2. (III) x = 2/t2. (IV) x = −2.
(a) Em que caso(s) a velocidade v da part´ıcula e´ constante?
(b) Em que caso(s) a velocidade v e´ no sentido negativo?
Exemplo 6: A posic¸a˜o de um objeto em movimento retil´ıneo e´ dada pelafunc¸a˜o x = 9, 75 + 1, 5t3, onde x esta´ em metros e t em segundos.
(a) Calcule a velocidade me´dia durante o intervalo de tempo de
t = 2s a t = 3s.
(b) Determine a velocidade instantaˆnea em t=2,5s.
Jose´ Jacinto Cruz de Souza (Centro Universitario de Joa˜o Pessoa - Departamento de Engenharia Civil Informac¸o˜es: www.jfisica.com.br)Movimento Retil´ıneo 6 de Fevereiro de 2015 23 / 47
Velocidade Instantaˆnea
Exemplo 5: As equac¸o˜es a seguir fornecem a posic¸a˜o x(t) de uma
part´ıcula em quatro casos. Onde x esta´ em metros e t em segundos
(t > 0): (I) x = 3t − 2. (II) x = −4t2 − 2. (III) x = 2/t2. (IV) x = −2.
(a) Em que caso(s) a velocidade v da part´ıcula e´ constante?
(b) Em que caso(s) a velocidade v e´ no sentido negativo?
Exemplo 6: A posic¸a˜o de um objeto em movimento retil´ıneo e´ dada pela
func¸a˜o x = 9, 75 + 1, 5t3, onde x esta´ em metros e t em segundos.
(a) Calcule a velocidade me´dia durante o intervalo de tempo de
t = 2s a t = 3s.
(b) Determine a velocidade instantaˆnea em t=2,5s.
Jose´ Jacinto Cruz de Souza (Centro Universitario de Joa˜o Pessoa - Departamento de Engenharia Civil Informac¸o˜es: www.jfisica.com.br)Movimento Retil´ıneo 6 de Fevereiro de 2015 23 / 47
Velocidade Instantaˆnea
Exemplo 5: As equac¸o˜es a seguir fornecem a posic¸a˜o x(t) de uma
part´ıcula em quatro casos. Onde x esta´ em metros e t em segundos
(t > 0): (I) x = 3t − 2. (II) x = −4t2 − 2. (III) x = 2/t2. (IV) x = −2.
(a) Em que caso(s) a velocidade v da part´ıcula e´ constante?
(b) Em que caso(s) a velocidade v e´ no sentido negativo?
Exemplo 6: A posic¸a˜o de um objeto em movimento retil´ıneo e´ dada pela
func¸a˜o x = 9, 75 + 1, 5t3, onde x esta´ em metros e t em segundos.
(a) Calcule a velocidade me´dia durante o intervalo de tempo de
t = 2s a t = 3s.
(b) Determine a velocidade instantaˆnea em t=2,5s.
Jose´ Jacinto Cruz de Souza (Centro Universitario de Joa˜o Pessoa - Departamento de Engenharia Civil Informac¸o˜es: www.jfisica.com.br)Movimento Retil´ıneo 6 de Fevereiro de 2015 23 / 47
Velocidade Instantaˆnea
Exemplo 5: As equac¸o˜es a seguir fornecem a posic¸a˜o x(t) de uma
part´ıcula em quatro casos. Onde x esta´ em metros e t em segundos
(t > 0): (I) x = 3t − 2. (II) x = −4t2 − 2. (III) x = 2/t2. (IV) x = −2.
(a) Em que caso(s) a velocidade v da part´ıcula e´ constante?
(b) Em que caso(s) a velocidade v e´ no sentido negativo?
Exemplo 6: A posic¸a˜o de um objeto em movimento retil´ıneo e´ dada pela
func¸a˜o x = 9, 75 + 1, 5t3, onde x esta´ em metros e t em segundos.
(a) Calcule a velocidade me´dia durante o intervalo de tempo de
t = 2s a t = 3s.
(b) Determine a velocidade instantaˆnea em t=2,5s.
Jose´ Jacinto Cruz de Souza (Centro Universitario de Joa˜o Pessoa - Departamento de Engenharia Civil Informac¸o˜es: www.jfisica.com.br)Movimento Retil´ıneo 6 de Fevereiro de 2015 23 / 47
Acelerac¸a˜o
Acelerac¸a˜o Me´dia
Quando a velocidade de uma part´ıcula varia, diz-se que a part´ıcula sofreu
uma acelerac¸a˜o (ou foi acelerada).
Definic¸a˜o
A acelerac¸a˜o me´dia e´ a raza˜o entre a variac¸a˜o de velocidade e o intervalo
de tempo.
am =
∆v
∆t
=
v − v0
t − t0 (6)
Onde a velocidade e´ v0 no instante t0 e v no instante t. A unidade de
Acelerac¸a˜o no SI e´ o m/s2.
Jose´ Jacinto Cruz de Souza (Centro Universitario de Joa˜o Pessoa - Departamento de Engenharia Civil Informac¸o˜es: www.jfisica.com.br)Movimento Retil´ıneo 6 de Fevereiro de 2015 24 / 47
Acelerac¸a˜o
Acelerac¸a˜o Me´dia
Quando a velocidade de uma part´ıcula varia, diz-se que a part´ıcula sofreu
uma acelerac¸a˜o (ou foi acelerada).
Definic¸a˜o
A acelerac¸a˜o me´dia e´ a raza˜o entre a variac¸a˜o de velocidade e o intervalo
de tempo.
am =
∆v
∆t
=
v − v0
t − t0 (6)
Onde a velocidade e´ v0 no instante t0 e v no instante t. A unidade de
Acelerac¸a˜o no SI e´ o m/s2.
Jose´ Jacinto Cruz de Souza (Centro Universitario de Joa˜o Pessoa - Departamento de Engenharia Civil Informac¸o˜es: www.jfisica.com.br)Movimento Retil´ıneo 6 de Fevereiro de 2015 24 / 47
Acelerac¸a˜o
Acelerac¸a˜o Me´dia
Quando a velocidade de uma part´ıcula varia, diz-se que a part´ıcula sofreu
uma acelerac¸a˜o (ou foi acelerada).
Definic¸a˜o
A acelerac¸a˜o me´dia e´ a raza˜o entre a variac¸a˜o de velocidade e o intervalo
de tempo.
am =
∆v
∆t
=
v − v0
t − t0 (6)
Onde a velocidade e´ v0 no instante t0 e v no instante t. A unidade de
Acelerac¸a˜o no SI e´ o m/s2.
Jose´ Jacinto Cruz de Souza (Centro Universitario de Joa˜o Pessoa - Departamento de Engenharia Civil Informac¸o˜es: www.jfisica.com.br)Movimento Retil´ıneo 6 de Fevereiro de 2015 24 / 47
Acelerac¸a˜o
Acelerac¸a˜o Me´dia
Quando a velocidade de uma part´ıcula varia, diz-se que a part´ıcula sofreu
uma acelerac¸a˜o (ou foi acelerada).
Definic¸a˜o
A acelerac¸a˜o me´dia e´ a raza˜o entre a variac¸a˜o de velocidade e o intervalo
de tempo.
am =
∆v
∆t
=
v − v0
t − t0 (6)
Onde a velocidade e´ v0 no instante t0 e v no instante t. A unidade de
Acelerac¸a˜o no SI e´ o m/s2.
Jose´ Jacinto Cruz de Souza (Centro Universitario de Joa˜o Pessoa - Departamento de Engenharia Civil Informac¸o˜es: www.jfisica.com.br)Movimento Retil´ıneo 6 de Fevereiro de 2015 24 / 47
Acelerac¸a˜o
Acelerac¸a˜o Me´dia
Quando a velocidade de uma part´ıcula varia, diz-se que a part´ıcula sofreu
uma acelerac¸a˜o (ou foi acelerada).
Definic¸a˜o
A acelerac¸a˜o me´dia e´ a raza˜o entre a variac¸a˜o de velocidade e o intervalo
de tempo.
am =
∆v
∆t
=
v − v0
t − t0 (6)
Onde a velocidade e´ v0 no instante t0 e v no instante t. A unidade de
Acelerac¸a˜o no SI e´ o m/s2.
Jose´ Jacinto Cruz de Souza (Centro Universitario de Joa˜o Pessoa - Departamento de Engenharia Civil Informac¸o˜es: www.jfisica.com.br)Movimento Retil´ıneo 6 de Fevereiro de 2015 24 / 47
Acelerac¸a˜o
Acelerac¸a˜o Instantaˆnea
Definic¸a˜o
A acelerac¸a˜o instantaˆnea e´ a taxa com a qual a velocidade esta´ variando
num determinado instante de tempo.
a = lim
∆t→0
∆v
∆t
=
dv
dt
(7)
Em termos da posic¸a˜o, a acelerac¸a˜o pode ser definida como
a =
dv
dt
= a =
d
dt
(
dx
dt
)
=
d2x
dt2
(8)
A acelerac¸a˜o de uma part´ıcula em um dado instante e´ a derivada segunda
da posic¸a˜o x(t) em relac¸a˜o ao tempo nesse instante. A acelerac¸a˜o e´ uma
grandeza vetorial (possui, mo´dulo, direc¸a˜o e sentido).
Jose´ Jacinto Cruz de Souza (Centro Universitario de Joa˜o Pessoa - Departamento de Engenharia Civil Informac¸o˜es: www.jfisica.com.br)Movimento Retil´ıneo 6 de Fevereiro de 2015 25 / 47
Acelerac¸a˜o
Acelerac¸a˜o Instantaˆnea
Definic¸a˜o
A acelerac¸a˜o instantaˆnea e´ a taxa com a qual a velocidade esta´ variando
num determinado instante de tempo.
a = lim
∆t→0
∆v
∆t
=
dv
dt
(7)
Em termos da posic¸a˜o, a acelerac¸a˜o pode ser definida como
a =
dv
dt
= a =
d
dt
(
dx
dt
)
=
d2x
dt2
(8)
A acelerac¸a˜o de uma part´ıcula em um dado instante e´ a derivada segunda
da posic¸a˜o x(t) em relac¸a˜o ao tempo nesse instante. A acelerac¸a˜o e´ uma
grandeza vetorial (possui, mo´dulo, direc¸a˜o e sentido).
Jose´ Jacinto Cruz de Souza (Centro Universitario de Joa˜o Pessoa - Departamento de Engenharia Civil Informac¸o˜es: www.jfisica.com.br)Movimento Retil´ıneo 6 de Fevereiro de 2015 25 / 47
Acelerac¸a˜o
Acelerac¸a˜o Instantaˆnea
Definic¸a˜o
A acelerac¸a˜o instantaˆnea e´ a taxa com a qual a velocidade esta´ variando
num determinado instante de tempo.
a = lim
∆t→0
∆v
∆t
=
dv
dt
(7)
Em termos da posic¸a˜o, a acelerac¸a˜o pode ser definida como
a =
dv
dt
= a =
d
dt
(
dx
dt
)
=
d2x
dt2
(8)
A acelerac¸a˜o de uma part´ıcula em um dado instante e´ a derivada segunda
da posic¸a˜o x(t) em relac¸a˜o ao tempo nesse instante.A acelerac¸a˜o e´ uma
grandeza vetorial (possui, mo´dulo, direc¸a˜o e sentido).
Jose´ Jacinto Cruz de Souza (Centro Universitario de Joa˜o Pessoa - Departamento de Engenharia Civil Informac¸o˜es: www.jfisica.com.br)Movimento Retil´ıneo 6 de Fevereiro de 2015 25 / 47
Acelerac¸a˜o
Acelerac¸a˜o Instantaˆnea
Definic¸a˜o
A acelerac¸a˜o instantaˆnea e´ a taxa com a qual a velocidade esta´ variando
num determinado instante de tempo.
a = lim
∆t→0
∆v
∆t
=
dv
dt
(7)
Em termos da posic¸a˜o, a acelerac¸a˜o pode ser definida como
a =
dv
dt
= a =
d
dt
(
dx
dt
)
=
d2x
dt2
(8)
A acelerac¸a˜o de uma part´ıcula em um dado instante e´ a derivada segunda
da posic¸a˜o x(t) em relac¸a˜o ao tempo nesse instante. A acelerac¸a˜o e´ uma
grandeza vetorial (possui, mo´dulo, direc¸a˜o e sentido).
Jose´ Jacinto Cruz de Souza (Centro Universitario de Joa˜o Pessoa - Departamento de Engenharia Civil Informac¸o˜es: www.jfisica.com.br)Movimento Retil´ıneo 6 de Fevereiro de 2015 25 / 47
Acelerac¸a˜o
Acelerac¸a˜o Instantaˆnea
Definic¸a˜o
A acelerac¸a˜o instantaˆnea e´ a taxa com a qual a velocidade esta´ variando
num determinado instante de tempo.
a = lim
∆t→0
∆v
∆t
=
dv
dt
(7)
Em termos da posic¸a˜o, a acelerac¸a˜o pode ser definida como
a =
dv
dt
= a =
d
dt
(
dx
dt
)
=
d2x
dt2
(8)
A acelerac¸a˜o de uma part´ıcula em um dado instante e´ a derivada segunda
da posic¸a˜o x(t) em relac¸a˜o ao tempo nesse instante. A acelerac¸a˜o e´ uma
grandeza vetorial (possui, mo´dulo, direc¸a˜o e sentido).
Jose´ Jacinto Cruz de Souza (Centro Universitario de Joa˜o Pessoa - Departamento de Engenharia Civil Informac¸o˜es: www.jfisica.com.br)Movimento Retil´ıneo 6 de Fevereiro de 2015 25 / 47
Acelerac¸a˜o
Grandes acelerac¸o˜es sa˜o a`s vezes expressas em unidade de g , definidas da
seguinte forma:
1g = 9, 8m/s2
g e´ o mo´dulo da celerrac¸a˜o de um objeto em queda livre nas proximidades
da superf´ıcie da Terra.
Figura : O Coronel J.P.Stapp em um treno´ a jato que sofre variac¸o˜es bruscas de
velocidade.
Jose´ Jacinto Cruz de Souza (Centro Universitario de Joa˜o Pessoa - Departamento de Engenharia Civil Informac¸o˜es: www.jfisica.com.br)Movimento Retil´ıneo 6 de Fevereiro de 2015 26 / 47
Acelerac¸a˜o
Grandes acelerac¸o˜es sa˜o a`s vezes expressas em unidade de g , definidas da
seguinte forma:
1g = 9, 8m/s2
g e´ o mo´dulo da celerrac¸a˜o de um objeto em queda livre nas proximidades
da superf´ıcie da Terra.
Figura : O Coronel J.P.Stapp em um treno´ a jato que sofre variac¸o˜es bruscas de
velocidade.
Jose´ Jacinto Cruz de Souza (Centro Universitario de Joa˜o Pessoa - Departamento de Engenharia Civil Informac¸o˜es: www.jfisica.com.br)Movimento Retil´ıneo 6 de Fevereiro de 2015 26 / 47
Acelerac¸a˜o
Grandes acelerac¸o˜es sa˜o a`s vezes expressas em unidade de g , definidas da
seguinte forma:
1g = 9, 8m/s2
g e´ o mo´dulo da celerrac¸a˜o de um objeto em queda livre nas proximidades
da superf´ıcie da Terra.
Figura : O Coronel J.P.Stapp em um treno´ a jato que sofre variac¸o˜es bruscas de
velocidade.
Jose´ Jacinto Cruz de Souza (Centro Universitario de Joa˜o Pessoa - Departamento de Engenharia Civil Informac¸o˜es: www.jfisica.com.br)Movimento Retil´ıneo 6 de Fevereiro de 2015 26 / 47
Acelerac¸a˜o
Observac¸o˜es:
Se a velocidade e a acelerac¸a˜o de uma part´ıcula teˆm o mesmo sinal, a
velocidade da part´ıcula esta´ aumentanto.
Se a velocidade e a acelerac¸a˜o de uma part´ıcula teˆm sinais opostos, a
velocidade da part´ıcula esta´ diminuindo.
Exemplo 7: A posic¸a˜o de uma part´ıcula no eixo x e´ dada por:
x = 4− 27t + t3. Onde x esta´ em metros e t em segundos.
(a) Como a posic¸a˜o x varia com o temppo t, a part´ıcula esta´ em
movimento. Determine a func¸a˜o velocidade v(t) e a func¸a˜o
acelerac¸a˜o a(t) da part´ıcula
(b) Existe algum instante para o qual v = 0?
(c) Descreva o movimento da part´ıcula para t ≥ 0.
Jose´ Jacinto Cruz de Souza (Centro Universitario de Joa˜o Pessoa - Departamento de Engenharia Civil Informac¸o˜es: www.jfisica.com.br)Movimento Retil´ıneo 6 de Fevereiro de 2015 27 / 47
Acelerac¸a˜o
Observac¸o˜es:
Se a velocidade e a acelerac¸a˜o de uma part´ıcula teˆm o mesmo sinal, a
velocidade da part´ıcula esta´ aumentanto.
Se a velocidade e a acelerac¸a˜o de uma part´ıcula teˆm sinais opostos, a
velocidade da part´ıcula esta´ diminuindo.
Exemplo 7: A posic¸a˜o de uma part´ıcula no eixo x e´ dada por:
x = 4− 27t + t3. Onde x esta´ em metros e t em segundos.
(a) Como a posic¸a˜o x varia com o temppo t, a part´ıcula esta´ em
movimento. Determine a func¸a˜o velocidade v(t) e a func¸a˜o
acelerac¸a˜o a(t) da part´ıcula
(b) Existe algum instante para o qual v = 0?
(c) Descreva o movimento da part´ıcula para t ≥ 0.
Jose´ Jacinto Cruz de Souza (Centro Universitario de Joa˜o Pessoa - Departamento de Engenharia Civil Informac¸o˜es: www.jfisica.com.br)Movimento Retil´ıneo 6 de Fevereiro de 2015 27 / 47
Acelerac¸a˜o
Observac¸o˜es:
Se a velocidade e a acelerac¸a˜o de uma part´ıcula teˆm o mesmo sinal, a
velocidade da part´ıcula esta´ aumentanto.
Se a velocidade e a acelerac¸a˜o de uma part´ıcula teˆm sinais opostos, a
velocidade da part´ıcula esta´ diminuindo.
Exemplo 7: A posic¸a˜o de uma part´ıcula no eixo x e´ dada por:
x = 4− 27t + t3. Onde x esta´ em metros e t em segundos.
(a) Como a posic¸a˜o x varia com o temppo t, a part´ıcula esta´ em
movimento. Determine a func¸a˜o velocidade v(t) e a func¸a˜o
acelerac¸a˜o a(t) da part´ıcula
(b) Existe algum instante para o qual v = 0?
(c) Descreva o movimento da part´ıcula para t ≥ 0.
Jose´ Jacinto Cruz de Souza (Centro Universitario de Joa˜o Pessoa - Departamento de Engenharia Civil Informac¸o˜es: www.jfisica.com.br)Movimento Retil´ıneo 6 de Fevereiro de 2015 27 / 47
Acelerac¸a˜o
Observac¸o˜es:
Se a velocidade e a acelerac¸a˜o de uma part´ıcula teˆm o mesmo sinal, a
velocidade da part´ıcula esta´ aumentanto.
Se a velocidade e a acelerac¸a˜o de uma part´ıcula teˆm sinais opostos, a
velocidade da part´ıcula esta´ diminuindo.
Exemplo 7: A posic¸a˜o de uma part´ıcula no eixo x e´ dada por:
x = 4− 27t + t3. Onde x esta´ em metros e t em segundos.
(a) Como a posic¸a˜o x varia com o temppo t, a part´ıcula esta´ em
movimento. Determine a func¸a˜o velocidade v(t) e a func¸a˜o
acelerac¸a˜o a(t) da part´ıcula
(b) Existe algum instante para o qual v = 0?
(c) Descreva o movimento da part´ıcula para t ≥ 0.
Jose´ Jacinto Cruz de Souza (Centro Universitario de Joa˜o Pessoa - Departamento de Engenharia Civil Informac¸o˜es: www.jfisica.com.br)Movimento Retil´ıneo 6 de Fevereiro de 2015 27 / 47
Acelerac¸a˜o
Observac¸o˜es:
Se a velocidade e a acelerac¸a˜o de uma part´ıcula teˆm o mesmo sinal, a
velocidade da part´ıcula esta´ aumentanto.
Se a velocidade e a acelerac¸a˜o de uma part´ıcula teˆm sinais opostos, a
velocidade da part´ıcula esta´ diminuindo.
Exemplo 7: A posic¸a˜o de uma part´ıcula no eixo x e´ dada por:
x = 4− 27t + t3. Onde x esta´ em metros e t em segundos.
(a) Como a posic¸a˜o x varia com o temppo t, a part´ıcula esta´ em
movimento. Determine a func¸a˜o velocidade v(t) e a func¸a˜o
acelerac¸a˜o a(t) da part´ıcula
(b) Existe algum instante para o qual v = 0?
(c) Descreva o movimento da part´ıcula para t ≥ 0.
Jose´ Jacinto Cruz de Souza (Centro Universitario de Joa˜o Pessoa - Departamento de Engenharia Civil Informac¸o˜es: www.jfisica.com.br)Movimento Retil´ıneo 6 de Fevereiro de 2015 27 / 47
Acelerac¸a˜o
Acelerac¸a˜o Constante: Um Caso Especial
Quando a acelerac¸a˜o e´ constante, a acelerac¸a˜o instataˆnea e´ igual a
acelerac¸a˜o me´dia (a = am).
Nesse caso o gra´fico da acelerac¸a˜o em func¸a˜o do tempo e´ constante
(inclinac¸a˜o=0).
Figura : A acelerac¸a˜o e´ igual a inclinac¸a˜o.Jose´ Jacinto Cruz de Souza (Centro Universitario de Joa˜o Pessoa - Departamento de Engenharia Civil Informac¸o˜es: www.jfisica.com.br)Movimento Retil´ıneo 6 de Fevereiro de 2015 28 / 47
Acelerac¸a˜o
Acelerac¸a˜o Constante: Um Caso Especial
Quando a acelerac¸a˜o e´ constante, a acelerac¸a˜o instataˆnea e´ igual a
acelerac¸a˜o me´dia (a = am).
Nesse caso o gra´fico da acelerac¸a˜o em func¸a˜o do tempo e´ constante
(inclinac¸a˜o=0).
Figura : A acelerac¸a˜o e´ igual a inclinac¸a˜o.
Jose´ Jacinto Cruz de Souza (Centro Universitario de Joa˜o Pessoa - Departamento de Engenharia Civil Informac¸o˜es: www.jfisica.com.br)Movimento Retil´ıneo 6 de Fevereiro de 2015 28 / 47
Acelerac¸a˜o
Acelerac¸a˜o Constante: Um Caso Especial
Quando a acelerac¸a˜o e´ constante, a acelerac¸a˜o instataˆnea e´ igual a
acelerac¸a˜o me´dia (a = am).
Nesse caso o gra´fico da acelerac¸a˜o em func¸a˜o do tempo e´ constante
(inclinac¸a˜o=0).
Figura : A acelerac¸a˜o e´ igual a inclinac¸a˜o.
Jose´ Jacinto Cruz de Souza (Centro Universitario de Joa˜o Pessoa - Departamento de Engenharia Civil Informac¸o˜es: www.jfisica.com.br)Movimento Retil´ıneo 6 de Fevereiro de 2015 28 / 47
Acelerac¸a˜o
Acelerac¸a˜o Constante: Um Caso Especial
Quando a acelerac¸a˜o e´ constante, a acelerac¸a˜o instataˆnea e´ igual a
acelerac¸a˜o me´dia (a = am).
Nesse caso o gra´fico da acelerac¸a˜o em func¸a˜o do tempo e´ constante
(inclinac¸a˜o=0).
Figura : A acelerac¸a˜o e´ igual a inclinac¸a˜o.
Jose´ Jacinto Cruz de Souza (Centro Universitario de Joa˜o Pessoa - Departamento de Engenharia Civil Informac¸o˜es: www.jfisica.com.br)Movimento Retil´ıneo 6 de Fevereiro de 2015 28 / 47
Acelerac¸a˜o
Acelerac¸a˜o Constante: Um Caso Especial
Neste caso, considerando t0, podemos escrever a Eq.(6) com algumas
mudanc¸as de notac¸a˜o na forma
a = am =
v − v0
t − 0
Dai, obtemos a func¸a˜o velocidade, dada por
v = v0 + at (9)
A figura abaixo mostra o gra´fico da velocidade en func¸a˜o do tempo v(t); a
func¸a˜o e´ linear e portanto um linha reta.
Jose´ Jacinto Cruz de Souza (Centro Universitario de Joa˜o Pessoa - Departamento de Engenharia Civil Informac¸o˜es: www.jfisica.com.br)Movimento Retil´ıneo 6 de Fevereiro de 2015 29 / 47
Acelerac¸a˜o
Acelerac¸a˜o Constante: Um Caso Especial
Neste caso, considerando t0, podemos escrever a Eq.(6) com algumas
mudanc¸as de notac¸a˜o na forma
a = am =
v − v0
t − 0
Dai, obtemos a func¸a˜o velocidade, dada por
v = v0 + at (9)
A figura abaixo mostra o gra´fico da velocidade en func¸a˜o do tempo v(t); a
func¸a˜o e´ linear e portanto um linha reta.
Jose´ Jacinto Cruz de Souza (Centro Universitario de Joa˜o Pessoa - Departamento de Engenharia Civil Informac¸o˜es: www.jfisica.com.br)Movimento Retil´ıneo 6 de Fevereiro de 2015 29 / 47
Acelerac¸a˜o
Acelerac¸a˜o Constante: Um Caso Especial
Neste caso, considerando t0, podemos escrever a Eq.(6) com algumas
mudanc¸as de notac¸a˜o na forma
a = am =
v − v0
t − 0
Dai, obtemos a func¸a˜o velocidade, dada por
v = v0 + at (9)
A figura abaixo mostra o gra´fico da velocidade en func¸a˜o do tempo v(t); a
func¸a˜o e´ linear e portanto um linha reta.
Jose´ Jacinto Cruz de Souza (Centro Universitario de Joa˜o Pessoa - Departamento de Engenharia Civil Informac¸o˜es: www.jfisica.com.br)Movimento Retil´ıneo 6 de Fevereiro de 2015 29 / 47
Acelerac¸a˜o
Acelerac¸a˜o Constante: Um Caso Especial
Neste caso, considerando t0, podemos escrever a Eq.(6) com algumas
mudanc¸as de notac¸a˜o na forma
a = am =
v − v0
t − 0
Dai, obtemos a func¸a˜o velocidade, dada por
v = v0 + at (9)
A figura abaixo mostra o gra´fico da velocidade en func¸a˜o do tempo v(t); a
func¸a˜o e´ linear e portanto um linha reta.
Jose´ Jacinto Cruz de Souza (Centro Universitario de Joa˜o Pessoa - Departamento de Engenharia Civil Informac¸o˜es: www.jfisica.com.br)Movimento Retil´ıneo 6 de Fevereiro de 2015 29 / 47
Acelerac¸a˜o
Func¸a˜o hora´ria da posic¸a˜o - Movimento Variado
Para func¸a˜o linear da velocidade da Eq.(9), a velocidade me´dia em
qualquer intervalo de tempo e´ a me´dia aritme´tica da velocidade inicial (v0)
e final (v).
vm =
1
2
(v0 + v) (10)
Substituindo v pelo seu valor, dado pela Eq.(9), obtemos, agrupando os
termos,
vm = v0 +
1
2
at (11)
Finalmente, substituindo a Eq.(11) na Eq.(10), obtemos:
x − x0 = v0t + 1
2
at2 (12)
Jose´ Jacinto Cruz de Souza (Centro Universitario de Joa˜o Pessoa - Departamento de Engenharia Civil Informac¸o˜es: www.jfisica.com.br)Movimento Retil´ıneo 6 de Fevereiro de 2015 30 / 47
Acelerac¸a˜o
Func¸a˜o hora´ria da posic¸a˜o - Movimento Variado
Para func¸a˜o linear da velocidade da Eq.(9), a velocidade me´dia em
qualquer intervalo de tempo e´ a me´dia aritme´tica da velocidade inicial (v0)
e final (v).
vm =
1
2
(v0 + v) (10)
Substituindo v pelo seu valor, dado pela Eq.(9), obtemos, agrupando os
termos,
vm = v0 +
1
2
at (11)
Finalmente, substituindo a Eq.(11) na Eq.(10), obtemos:
x − x0 = v0t + 1
2
at2 (12)
Jose´ Jacinto Cruz de Souza (Centro Universitario de Joa˜o Pessoa - Departamento de Engenharia Civil Informac¸o˜es: www.jfisica.com.br)Movimento Retil´ıneo 6 de Fevereiro de 2015 30 / 47
Acelerac¸a˜o
Func¸a˜o hora´ria da posic¸a˜o - Movimento Variado
Para func¸a˜o linear da velocidade da Eq.(9), a velocidade me´dia em
qualquer intervalo de tempo e´ a me´dia aritme´tica da velocidade inicial (v0)
e final (v).
vm =
1
2
(v0 + v) (10)
Substituindo v pelo seu valor, dado pela Eq.(9), obtemos, agrupando os
termos,
vm = v0 +
1
2
at (11)
Finalmente, substituindo a Eq.(11) na Eq.(10), obtemos:
x − x0 = v0t + 1
2
at2 (12)
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Acelerac¸a˜o
Func¸a˜o hora´ria da posic¸a˜o - Movimento Variado
Para func¸a˜o linear da velocidade da Eq.(9), a velocidade me´dia em
qualquer intervalo de tempo e´ a me´dia aritme´tica da velocidade inicial (v0)
e final (v).
vm =
1
2
(v0 + v) (10)
Substituindo v pelo seu valor, dado pela Eq.(9), obtemos, agrupando os
termos,
vm = v0 +
1
2
at (11)
Finalmente, substituindo a Eq.(11) na Eq.(10), obtemos:
x − x0 = v0t + 1
2
at2 (12)
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Acelerac¸a˜o
Como a Eq.(12) e´ uma func¸a˜o do segundo grau, o gra´fico na˜o uma linha
reta.
As Eq.(9) e (12) sa˜o as equac¸o˜es ba´sicas do movimento com acelerac¸a˜o
constante. Podem ser usadas para resolver qualquer problema com
acelerac¸a˜o constante.
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Acelerac¸a˜o
Como a Eq.(12) e´ uma func¸a˜o do segundo grau, o gra´fico na˜o uma linha
reta.
As Eq.(9) e (12) sa˜o as equac¸o˜es ba´sicas do movimento com acelerac¸a˜o
constante. Podem ser usadas para resolver qualquer problema com
acelerac¸a˜o constante.
Jose´ Jacinto Cruz de Souza (Centro Universitario de Joa˜o Pessoa - Departamento de Engenharia Civil Informac¸o˜es: www.jfisica.com.br)Movimento Retil´ıneo 6 de Fevereiro de 2015 31 / 47
Acelerac¸a˜o
Velocidade em func¸a˜o do deslocamento - Movimento Variado
Torna-se pra´tico encontrar uma func¸a˜o na qual seja poss´ıvel conhecer a
velocidade de um mo´vel sem que o tempo seja conhecido.
Para isso, usaremos as duas func¸o˜es hora´rias que ja´ conhecemos:
v = v0 + at (i)
e
x − x0 = v0t + 1
2
at2 (ii)
Isolando-se t em (i):
t =
v − v0
a
Substituindot em (ii), teremos:
x − x0 = v0
(
v − v0
a
)
+
1
2
a
(
v − v0
a
)2
x − x0 = v0
(
v0v − v 20
a
)
+
a
2
(
v 2 − 2vv0 + v 20
2a
)
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Acelerac¸a˜o
Velocidade em func¸a˜o do deslocamento - Movimento Variado
Torna-se pra´tico encontrar uma func¸a˜o na qual seja poss´ıvel conhecer a
velocidade de um mo´vel sem que o tempo seja conhecido.
Para isso, usaremos as duas func¸o˜es hora´rias que ja´ conhecemos:
v = v0 + at (i)
e
x − x0 = v0t + 1
2
at2 (ii)
Isolando-se t em (i):
t =
v − v0
a
Substituindo t em (ii), teremos:
x − x0 = v0
(
v − v0
a
)
+
1
2
a
(
v − v0
a
)2
x − x0 = v0
(
v0v − v 20
a
)
+
a
2
(
v 2 − 2vv0 + v 20
2a
)
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Acelerac¸a˜o
Velocidade em func¸a˜o do deslocamento - Movimento Variado
Torna-se pra´tico encontrar uma func¸a˜o na qual seja poss´ıvel conhecer a
velocidade de um mo´vel sem que o tempo seja conhecido.
Para isso, usaremos as duas func¸o˜es hora´rias que ja´ conhecemos:
v = v0 + at (i)
e
x − x0 = v0t + 1
2
at2 (ii)
Isolando-se t em (i):
t =
v − v0
a
Substituindo t em (ii), teremos:
x − x0 = v0
(
v − v0
a
)
+
1
2
a
(
v − v0
a
)2
x − x0 = v0
(
v0v − v 20
a
)
+
a
2
(
v 2 − 2vv0 + v 20
2a
)
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Acelerac¸a˜o
Velocidade em func¸a˜o do deslocamento - Movimento Variado
Torna-se pra´tico encontrar uma func¸a˜o na qual seja poss´ıvel conhecer a
velocidade de um mo´vel sem que o tempo seja conhecido.
Para isso, usaremos as duas func¸o˜es hora´rias que ja´ conhecemos:
v = v0 + at (i)
e
x − x0 = v0t + 1
2
at2 (ii)
Isolando-se t em (i):
t =
v − v0
a
Substituindo t em (ii), teremos:
x − x0 = v0
(
v − v0
a
)
+
1
2
a
(
v − v0
a
)2
x − x0 = v0
(
v0v − v 20
a
)
+
a
2
(
v 2 − 2vv0 + v 20
2a
)
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Acelerac¸a˜o
Velocidade em func¸a˜o do deslocamento - Movimento Variado
Torna-se pra´tico encontrar uma func¸a˜o na qual seja poss´ıvel conhecer a
velocidade de um mo´vel sem que o tempo seja conhecido.
Para isso, usaremos as duas func¸o˜es hora´rias que ja´ conhecemos:
v = v0 + at (i)
e
x − x0 = v0t + 1
2
at2 (ii)
Isolando-se t em (i):
t =
v − v0
a
Substituindo t em (ii), teremos:
x − x0 = v0
(
v − v0
a
)
+
1
2
a
(
v − v0
a
)2
x − x0 = v0
(
v0v − v 20
a
)
+
a
2
(
v 2 − 2vv0 + v 20
2a
)
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Acelerac¸a˜o
Velocidade em func¸a˜o do deslocamento - Movimento Variado
Torna-se pra´tico encontrar uma func¸a˜o na qual seja poss´ıvel conhecer a
velocidade de um mo´vel sem que o tempo seja conhecido.
Para isso, usaremos as duas func¸o˜es hora´rias que ja´ conhecemos:
v = v0 + at (i)
e
x − x0 = v0t + 1
2
at2 (ii)
Isolando-se t em (i):
t =
v − v0
a
Substituindo t em (ii), teremos:
x − x0 = v0
(
v − v0
a
)
+
1
2
a
(
v − v0
a
)2
x − x0 = v0
(
v0v − v 20
a
)
+
a
2
(
v 2 − 2vv0 + v 20
2a
)
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Acelerac¸a˜o
Velocidade em func¸a˜o do deslocamento - Movimento Variado
Torna-se pra´tico encontrar uma func¸a˜o na qual seja poss´ıvel conhecer a
velocidade de um mo´vel sem que o tempo seja conhecido.
Para isso, usaremos as duas func¸o˜es hora´rias que ja´ conhecemos:
v = v0 + at (i)
e
x − x0 = v0t + 1
2
at2 (ii)
Isolando-se t em (i):
t =
v − v0
a
Substituindo t em (ii), teremos:
x − x0 = v0
(
v − v0
a
)
+
1
2
a
(
v − v0
a
)2
x − x0 = v0
(
v0v − v 20
a
)
+
a
2
(
v 2 − 2vv0 + v 20
2a
)
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Acelerac¸a˜o
Reduzindo-se a um denominador comum, temos:
2a(x − x0) = 2v0v − 2v 20 + v 2 − 2vv0 + v 20
2a(∆x) =
(−2v 20 + v 20 )+ v 2
Dai, obtemos
v 2 = v 20 + 2a∆x (13)
A equac¸a˜o (13) e´ conhecida como equac¸a˜o de Torricelli.
Exemplo 8: Uma bala que se move a uma velocidade escalar de 200m/s,
ao penetrar em um bloco de madeira fixo sobre um muro, e´ desacelerada
ate´ parar. Qual o tempo que a bala levou em movimento dentro do bloco,
se a distaˆncia total percorrida em seu interior foi igual a 10cm?
t = 0, 001s = 1ms.
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Acelerac¸a˜o
Reduzindo-se a um denominador comum, temos:
2a(x − x0) = 2v0v − 2v 20 + v 2 − 2vv0 + v 20
2a(∆x) =
(−2v 20 + v 20 )+ v 2
Dai, obtemos
v 2 = v 20 + 2a∆x (13)
A equac¸a˜o (13) e´ conhecida como equac¸a˜o de Torricelli.
Exemplo 8: Uma bala que se move a uma velocidade escalar de 200m/s,
ao penetrar em um bloco de madeira fixo sobre um muro, e´ desacelerada
ate´ parar. Qual o tempo que a bala levou em movimento dentro do bloco,
se a distaˆncia total percorrida em seu interior foi igual a 10cm?
t = 0, 001s = 1ms.
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Acelerac¸a˜o
Reduzindo-se a um denominador comum, temos:
2a(x − x0) = 2v0v − 2v 20 + v 2 − 2vv0 + v 20
2a(∆x) =
(−2v 20 + v 20 )+ v 2
Dai, obtemos
v 2 = v 20 + 2a∆x (13)
A equac¸a˜o (13) e´ conhecida como equac¸a˜o de Torricelli.
Exemplo 8: Uma bala que se move a uma velocidade escalar de 200m/s,
ao penetrar em um bloco de madeira fixo sobre um muro, e´ desacelerada
ate´ parar. Qual o tempo que a bala levou em movimento dentro do bloco,
se a distaˆncia total percorrida em seu interior foi igual a 10cm?
t = 0, 001s = 1ms.
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Acelerac¸a˜o
Reduzindo-se a um denominador comum, temos:
2a(x − x0) = 2v0v − 2v 20 + v 2 − 2vv0 + v 20
2a(∆x) =
(−2v 20 + v 20 )+ v 2
Dai, obtemos
v 2 = v 20 + 2a∆x (13)
A equac¸a˜o (13) e´ conhecida como equac¸a˜o de Torricelli.
Exemplo 8: Uma bala que se move a uma velocidade escalar de 200m/s,
ao penetrar em um bloco de madeira fixo sobre um muro, e´ desacelerada
ate´ parar. Qual o tempo que a bala levou em movimento dentro do bloco,
se a distaˆncia total percorrida em seu interior foi igual a 10cm?
t = 0, 001s = 1ms.
Jose´ Jacinto Cruz de Souza (Centro Universitario de Joa˜o Pessoa - Departamento de Engenharia Civil Informac¸o˜es: www.jfisica.com.br)Movimento Retil´ıneo 6 de Fevereiro