derivadas parciais

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3 DERIVADAS PARCIAIS 
 
 As aplicações de funções de duas variáveis procuram determinar como variações em 
uma das variáveis afetam os valores das funções. 
 Adotamos o processo análogo para determinar a taxa de variação de uma função 
f
 
em relação a uma das variáveis independentes, mantendo constantes as outras variáveis. Este 
processo é chamado diferenciação parcial, e cada derivada é uma derivada parcial. Uma 
função de várias variáveis tem tantas derivadas parciais quantas são suas variáveis 
independentes. 
 
3.1 Derivadas parciais de uma função de duas variáveis 
 
 Se 
( , )z f x y
, então as derivadas parciais de primeira ordem de 
f
 em relação a 
x
e a 
y
 são as funções 
z
x


 e 
z
y


assim definidas: 
 
 
0
( , ) ( , )
lim
x
z f x x y f x y
x x 
   

 
 
0
( , ) ( , )
lim
0y
z f x y y f x y
y y 
   

  
 
 
 
As derivadas parciais de primeira ordem da função 
( , )z f x y
 são denotadas por: 
( , ) [ ( , )]x x
z
f x y z f x y
x x
 
  
 
 
( , ) [ ( , )]y y
z
f x y z f x y
y y
 
  
 
 
 
Os valores das derivadas parciais de primeira ordem no ponto 
( , )a b
 denotam-se por: 
( , )
( , )x
a b
z
f a b
x



 
( , )
( , )y
a b
z
f a b
y



 
 
12 
 
Exemplos: 
1. Calcule 
z
x


 e 
z
y


 para a função 
2 2 33 2z x x y x y  
 
 
 
 
 
 
 
 
2. Se 
3 2 3 2( , ) 2f x y x x y y  
, determine 
(2,1)xf
 e 
(2,1)yf
. 
 
 
 
 
 
 
 
3. Se 
2 2( , ) 4 2f x y x y  
, ache 
(1,1)xf
 e 
(1,1)yf
. 
 
 
 
 
 
13 
 
 
EXERCÍCIOS 
 
1. Encontre as derivadas parciais de primeira ordem das seguintes funções: 
a) 
( , ) 2 3 5f x y x y  
 
b) 
2 2( , ) 3 7f x y x y  
 
c) 
( , )f x y x y
 
d) 
2( , ) 2f x y y x
 
e) 
2 2( , ) 5 3f x y x xy y  
 
f) 
3 2( , ) 4 1f x y x xy  
 
g) 
2 2( , ) yf x y x e
 
h) 
( , )
x
yf x y xe
 
i) 
2 2( , ) ln( )f x y x y 
 
j) 
( , ) lnf x y xy
 
k) 
( , ) ln
x y
f x y
x y



 
l) 
2 2( , )f x y x y 
 
m) 
( , ) (3 )cos(3 )f x y sen x y
 
 
2. Determine 
(3,4)xf
para a função 
2 2( , )f x y x y 
.3. Achar 
),();,( yxfyxf yx
. 
a) 
22 2),( yxyxyxf 
 
b) 
yxyxf  3),(
 
 
 
4. Calcule 
xf
 e 
yf
 no ponto indicado para as seguintes funções: 
a) 
2 2( , ) 3f x y x xy y  
 no ponto (2,1) 
b) 
3( , ) xyf x y e
 no ponto (0,4) 
 
 
5. A lei dos gases para uma massa m de um gás ideal à temperatura absoluta T, pressão P e 
volume V é PV=mRT, onde R é a constante do gás. Mostre que 
1.. 






P
T
T
V
V
P
 
14 
 
6. A energia cinética de um corpo com massa m e velocidade v é 
2
2
1
mvK 
. Mostre que 
K
v
K
m
K





2
2
.
. 
 
7. A temperatura em um ponto (x,y) de uma placa de metal é dada por 
)1/(60),( 22 yxyxT 
, onde T é medido em °C e x, y em metros. Determine a taxa de 
variação da temperatura com relação à distância no ponto (2,1) em 
a. a direção do eixo x; 
b. a direção do eixo y. 
 
8. Uma companhia fabrica dois tipos de bicicletas x e y. A função custo para a produção dos 
tipos x e y é 
10 149 189 675C xy x y   
. Ache os custos marginais 
C C
e
x y
  
 
  
 quando x 
= 120 e y = 160. 
 
 
Respostas: 
 
1. 
a) 
 
b) 
 
 
c) 
 
 
 
 
15 
 
d) 
 
e) 
 
f) 
 
 
g) 
 
h) 
 
i) 
 
 
16 
 
 
j) 
 
k) 
 
 
l) 
 
m)