Metodologia Científica: Física Experimental, UVP

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Universidade do Vale do Paraíba 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Metodologia Científica: 
Física Experimental 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
São José dos Campos 
2012 
 Página 2 
 
ÍNDICE 
 
Tópico 1 Coerência de Dimensões e Unidades 
 Coerência Dimensional 
 Coerência de Unidades 
Tópico 2 Conversão de Unidades e Notação Científica 
 Fatores de Conversão de Comprimento 
 Fatores de Conversão de Tempo 
 Fatores de Conversão de Unidades Derivadas 
 Fatores de Conversão de Temperatura 
 Notação Científica 
 Algarismos Significativos 
 Critérios de Arredondamento 
 Operações com Algarismos Significativos 
Tópico 3 Estudo de Erros em Medidas 
 Erros de uma Medida 
 Propagação de Incertezas 
 Erro Propagado nas Operações Básicas 
Tópico 4 Como Elaborar um Relatório e Apresentar os Resultados 
Experimentais 
 Confecção de um Relatório 
 Apresentação dos Resultados Experimentais 
Tópico 5 Paquímetro e Micrômetro: Propagação de Incertezas - 
Determinação Experimental do Volume de um Objeto 
 O Paquímetro (Definição, Uso e Leitura) 
 O Micrômetro (Definição, Uso e Leitura) 
 Prática 
Tópico 6 Medida do Tempo de Reação Humano (Queda Livre) 
 Teoria - Queda Livre 
 Prática 
Tópico 7 Noções de Cinemática e Dinâmica 
 Prática e/ou Demonstrações 
Tópico 8 Pêndulo Simples 
 Teoria - Pêndulo Simples 
 Prática 
Tópico 9 Sistema Massa-Mola (Papel Milimetrado) 
 Teoria - Sistema Massa-Mola na vertical 
 Prática 
Tópico 10 Empuxo 
 Teoria - Empuxo 
 Prática 
Tópico 11 O Método dos Mínimos Quadrados e Linearização de Funções 
 Teoria e Exercícios 
 Prática 
 Página 3 
 
Tópico 1. Coerência Dimensional e de Unidades 
 
 É de extrema importância em engenharia e ciências físicas que saibamos 
obedecer a coerência de unidades e dimensões de uma equação qualquer. Uma equação 
deve sempre possuir coerência dimensional. Você não pode somar automóvel com 
maça, por exemplo; dois termos só podem ser somados caso eles possuam a mesma 
unidade. Por isso, faz-se necessário o aprendizado destes conceitos. 
 
1.1. Coerência Dimensional 
 
 Começando com a equação do movimento retilíneo uniforme: 
 
x = x0+v.t (1) 
 
onde x representa a posição de qualquer objeto no eixo x, x0 representa a posição inicial, 
v é a velocidade do móvel e t o tempo. 
 No lado esquerdo da equação 1 temos somente o termo referente a posição do 
móvel, ou seja, um comprimento qualquer que pode estar em metros, quilômetros, etc. 
Agora, no lado direito da equação temos a soma de dois termos, x0 e v.t. Para que ocorra 
a soma de ambos os termos, há a necessidade de que ambos possuam a mesma 
dimensão, ou seja, comprimento, caso contrário, a equação acima estaria errada. 
Portanto, somente é possível somar grandezas físicas que tenham as mesmas dimensões. 
 
Uma equação física não pode ser verdadeira se não for 
dimensionalmente homogênea! 
 
 Traduzindo a frase acima, notamos que as dimensões de um membro da equação 
devem ser iguais às dimensões do outro membro. Seria completamente errada a 
expressão: 
80 quilogramas = 30 metros + x metros 
 
 Para facilitar a análise das dimensões presentes em uma equação, adotaremos os 
seguintes símbolos: 
 
Comprimento [L] 
Massa [M] 
Tempo [T] 
 
 Aplicando a fórmula dimensional na equação (1) teremos: 
 
x posição = [ L ] 
t tempo = [ T ] 
v 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Página 4 
 
 Note que finalmente a equação (1) é uma equação que possui uma coerência de 
unidades. 
 
 Na mecânica, adotam-se a massa (M), o comprimento (L) e o tempo (T) como 
grandezas fundamentais. 
 
Grandeza física: é tudo aquilo que pode ser medido. 
São exemplos de grandezas físicas: comprimento, massa, temperatura, 
velocidade, aceleração, etc. 
 
 
 Esta análise dimensional nos permite obter a dimensão de certas constantes em 
equações, como por exemplo, a seguinte equação da lei de Hooke: 
 
F = −k . x (2) 
 
onde, no lado esquerdo da equação temos a força F, enquanto que no lado direito temos 
uma constante k (constante elástica da mola), que queremos determinar sua dimensão, 
multiplicada pela posição x (elongamento da mola). Então, realizando a análise 
dimensional: 
 
1. 
 
2. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 , logo 
 
3. 
 
 
 
 
Aplicando na equação (2) os resultados acima, teremos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Note que a constante k tem que ter dimensão de massa ([M]) por tempo ao 
quadrado, ou seja, g/ s
2
 ou kg/s
2
 . 
 
 Vejamos a seguir alguns exemplos de análise dimensional: 
 
1. Velocidade: 
 
 
 
se 
e 
 
 
 
 
 Página 5 
 
2. Aceleração: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3. Força: F = m.a 
 
 
 
 
 
 
4. Trabalho: 
 
 
 
 
 
 
5. Potência: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
6. Quantidade de Movimento: 
 
 
 
 
 
 
EXERCÍCIOS PROPOSTOS: 
 
1) Faça a análise dimensional das equações abaixo e verifique quais estão 
dimensionalmente incorretas, onde: 
 
v0 é a velocidade inicial do objeto; 
a é a aceleração do corpo; 
x0 é a posição inicial do objeto; 
Δx = x−x0 é o deslocamento; 
g é a aceleração da gravidade; 
r é o raio de uma circunferência; 
v é a velocidade; 
t é o tempo; 
W é o trabalho realizado. 
 
 Página 6 
 
a) x = x0+v0.t+1/2.a.t
2
 
b) v = v0+a.t
2
 
c) v = v0
2
 + 2.a.Δx 
d) t = (v0.sen θ) / g 
e) a = v / r 
f) W = F.Δx.cosθ 
 
 
2) Nas equações abaixo, determine as dimensões das constantes G, μ, c e d: 
 
a) F= G.(M.m)/r
2
 
b) fa = μ.N , onde f a é a força de atrito e N é a força normal. 
c) F = c.a
3
 
d) F = d.v , onde v é a velocidade. 
 
 
1.2. Coerência de Unidades 
 
O Sistema Internacional de Unidades – SI 
 
“Todo o conhecimento que não pode ser expresso por números é de qualidade pobre e 
insatisfatória". (Lorde Kelvin, grande cientista britânico) 
 
 As informações aqui apresentadas irão ajudar você a compreender melhor e a 
escrever corretamente as unidades de medida adotadas no Brasil. A necessidade de 
medir é muito antiga e remota à origem das civilizações. Por longo tempo cada país, 
cada região, teve o seu próprio sistema de medidas, baseado em unidades arbitrárias e 
imprecisas, como por exemplo, aquelas baseadas no corpo humano: palmo, pé, 
polegada, etc. Isso criava muitos problemas para o comércio, porque as pessoas de uma 
região não estavam familiarizadas com o sistema de medida das outras regiões. Imagine 
a dificuldade em comprar ou vender produtos cujas quantidades eram expressas em 
unidades de medida diferentes e que não tinham correspondência entre si. 
 Em 1789, numa tentativa de resolver o problema, o Governo Republicano 
Francês pediu à Academia de Ciências da França que criasse um sistema de medidas 
baseado numa "constante natural". Assim foi criado o Sistema Métrico Decimal. 
Posteriormente, muitos outrospaíses adotaram o sistema, inclusive o Brasil, aderindo à 
"Convenção do Metro". O Sistema Métrico Decimal adotou, inicialmente, três unidades 
básicas de medida: o metro, o litro e o quilograma. 
 Entretanto, o desenvolvimento científico e tecnológico passou a exigir medições 
cada vez mais precisas e diversificadas. Por isso, em 1960, o sistema métrico decimal 
foi substituído pelo Sistema Internacional de Unidades - SI, mais complexo e 
sofisticado, adotado também pelo Brasil em 1962 e ratificado pela Resolução nº 12 de 
1988 do Conselho Nacional de Metrologia, Normalização e Qualidade Industrial - 
Conmetro, tornando-se de uso obrigatório em todo o Território Nacional. 
 As unidades SI podem ser escritas por seus nomes ou representadas por meio de 
símbolos. 
 
 
 
 
 Página 7 
 
Exemplos: 
 
 
Unidade de comprimento Unidade de tempo Unidade de massa 
nome: metro nome: segundo nome: quilograma 
símbolo: m símbolo: s símbolo: kg 
 
 Os nomes das unidades SI são escritos sempre em letra minúscula. Exemplos: 
quilograma, newton, metro cúbico. As exceções ocorrem somente no início da frase e 
"grau Celsius". 
 
 O símbolo é um sinal convencional e invariável utilizado para facilitar e 
universalizar a escrita e a leitura das unidades SI. Por isso mesmo não é seguido de 
ponto. 
 
 Certo Errado 
segundo s s. ou seg. 
metro m m. ou mtr. 
kilograma kg kg. ou kgr. 
hora h h. ou hr. 
 
O símbolo não tem plural, invariavelmente não é seguido de "s". 
 Certo Errado 
cinco metros 5 m 5 ms 
dois kilogramas 2 kg 2 kgs 
oito horas 8 h 8 hs 
 
 Toda vez que você se refere a um valor ligado a uma unidade de medir, significa 
que, de algum modo, você realizou uma medição. O que você expressa é, portanto, o 
resultado da medição, que apresenta as seguintes características básicas: 
 
 Ao escrever uma unidade composta, não misture nome com símbolo. 
 
Certo Errado 
quilômetro por hora 
km/h 
quilômetro/h 
km/hora 
metro por segundo 
m/s 
metro/s 
m/segundo 
 
 O prefixo quilo (símbolo k) indica que a unidade está multiplicada por mil. 
Portanto, não pode ser usado sozinho. 
 
 
 
 Página 8 
 
Certo Errado 
quilograma; kg quilo; k 
 
 Use o prefixo quilo da maneira correta. 
 
Certo Errado 
quilômetro kilômetro 
quilograma kilograma 
quilolitro kilolitro 
 
 
 O SI é baseado em sete Unidades Padrões Fundamentais: 
 
Grandeza Nome Plural Símbolo 
comprimento metro metros m 
tempo segundo segundos s 
massa quilograma quilogramas kg 
corrente elétrica ampère ampères A 
temperatura termodinâmica kelvin kelvins K 
quantidade de substância mol mols mol 
Intensidade luminosa candela candelas cd 
 
 
 As unidades de outras grandezas como velocidade, força e energia são derivadas 
das setes grandezas acima. Na tabela abaixo estão listadas algumas destas grandezas: 
 
Grandeza Nome Plural Símbolo 
área metro quadrado metros quadrados m² 
volume metro cúbico metros cúbicos m³ 
ângulo plano radiano radianos rad 
velocidade metro por segundo metros por segundo m/s 
aceleração metro por segundo metros por segundo m/s² 
massa específica 
quilograma por 
metro cúbico 
quilogramas por 
metro cúbico 
kg/m³ 
vazão 
metro cúbico por 
segundo 
metros cúbicos por 
segundo 
m³/s 
força newton newtons N 
pressão pascal pascals Pa 
trabalho, energia, 
quantidade de calor 
joule joules J 
potência, fluxo de 
energia 
watt watts W 
 
 
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Tópico 2. Conversão de Unidades e Notação Científica 
 
 
Toda vez que você se refere a um valor ligado a uma unidade de medir, significa 
que, de algum modo, você realizou uma medição. O que você expressa é, portanto, o 
resultado da medição, que apresenta as seguintes características básicas: 
 
 
 
Nesta aula veremos como converter as unidades de uma dada grandeza física, 
representar o valor numérico medido na forma de notação científica, bem como utilizar 
métodos de arredondamento em número com mais de uma casa decimal após a vírgula. 
 
2.1. Fatores de Conversão de Comprimento 
 
Tabela 1. Fatores de conversão de unidades de comprimento. 
 
 
→ Exemplos de conversão de unidades. 
 
Converter as seguintes medidas de áreas para km
2
: 
 
a) 100 m
2
 1 m = 0,001 km, então 1 m
2
 = (0,001 km)
2
 
1 m
2
 = 0,000001 km
2
 
 
 Logo: 100 m
2
 = 100 x 0,000001 km
2
 
100 m
2
 = 0,0001 km
2
 
 
b) 150 hm
2
 1 hm = 0,1 km, então 1 hm
2
 = (0,1 km)
2
 
1 hm
2
 = 0,01 km
2
 
 
Logo: 150 hm
2
 = 150 x 0,01 km
2
 
150 hm
2
 = 1,5 km
2
 
 
 Página 10 
 
c) 100000 dm
2
 1 dm = 0,0001 km, então 1 dm
2
 = (0,0001 km)
2
 
 1 dm
2
 = 0,00000001 km
2
 
 
Logo: 100000 dm
2
 = 100000 x 0,00000001 km
2
 
100000 dm
2
 = 0,001 km
2
 
 
 
EXERCÍCIOS PROPOSTOS: 
 
1) Converta as seguintes medidas de comprimento para cm: 
a) 2,5 m b) 1,3 km 
c) 200 dam d) 10500 mm 
 
2) Converta as seguintes medidas de áreas para m
2
: 
a) 1 km
2
 b) 5 dam
2
 
c) 2,5 mm
2
 d) 3 cm
2
 
 
3) Converta as seguintes medidas de volume para m
3
 
a) 1,85 cm
3
 b) 11,5 mm
3
 
c) 3,2 dam
3 
 d) 0,1 km
3
 
 
 
2.2. Fatores de Conversão de Tempo 
 
Tabela 2. Fatores de conversão de unidades de tempo. 
 
 
EXERCÍCIOS PROPOSTOS: 
 
4) Converta as seguintes medidas de tempo em segundos: 
a) 1h 10min b) 1 semana 
c) 48h d) 2h 26min 
 
5) Converta: 
a) 300 dias em segundos 
b) 89000 segundos em dia, hora, minutos e segundos 
 
 
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2.3. Fatores de Conversão de Unidades Derivadas 
 
Tabela 3. Fatores de conversão de unidades de velocidade. 
Converter de Para Multiplicar por 
metros por segundo (m/s) pés por minuto (ft/min) 196,8 
metros por segundo (m/s) milhas por hora (mi/h) 2,2369 
metros por segundo (m/s) quilômetros por hora (km/h) 3,60 
quilômetros por hora (km/h) metros por segundo (m/s) 0,2778 
quilômetros por hora (km/h) milhas por hora (mi/h) 0,6214 
 
Embora a tabela seja útil, convém aprender a forma clássica de efetuar a 
conversão de unidades, conforme segue no exemplo: 
Converter de km/h para m/s: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Tabela 4. Alguns outros exemplos de conversão de unidades. 
 
 Página 12 
 
 
EXERCÍCIOS PROPOSTOS: 
 
6) Converta: 
a) 35 km/h em m/s 
b) 100 m/s em km/h 
c) 600W em HP 
d) 35 HP em cv 
e) 3,5 cv em J/s 
f) 500 mmHg em kgf/cm
2 
g) 1000 pol em km 
h) 3500 ml em galões 
 
 
2.4. Fatores de Conversão de Temperatura 
 
Tabela 5. Fatores/relações de conversão de unidades de temperatura. 
 
 
EXERCÍCIOS PROPOSTOS: 
 
7) Converta: 
a) 109ºF em K 
b) -50ºC em K 
c) 300 K em ºC 
 
2.5. Notação Científica 
 
Como visto anteriormente, o trabalho em laboratório exige que se trabalhe com 
números de diversas ordens de grandezas, ficando difícil o manuseio de números muito 
pequenos ou grandes. Para isso, a notação científica supre a necessidade do uso de 
números com tamanhos mais coerentes e fáceis de trabalhar. 
A notação científica possui algumas regras simples de serem utilizadas, são elas: 
1. Utilizar apenas um algarismo significativo antes da vírgula; 
2. Este número não pode ser menor do que 1 (um) e nem maior que 9 (nove). 
 Página 133. Escrever os algarismos após a vírgula seguido do número 10
n
 onde, a potência n é o 
número de casas em que se andou com a vírgula até ficar apenas um número a esquerda 
da vírgula. 
 
Exemplos: 
3563,2 m  3,5632×103m 
0,000001234 mm  1,234×10−6 mm 
0,02m × 0,13m = 2,0×10
−2
m × 1,3×10
−1
m = 2,0×1,3×10
−2−1
 = 2,6×10
−3
 m 
(6,31×10
−5
 m)
3 
= (6,31)
3
×(10
−5
)
3
 m
3
 = 251,2396×10
−15 
m
3
 = 2,512396×10
−13
 m
3 
 
A questão de poder arredondar os números acima faz a necessidade de algumas 
regras especiais que veremos no tópico seguinte. 
Devido ao uso da notação científica, o Bureau Internacional de Pesos e Medidas 
recomendou os seguintes prefixos: 
 
Tabela 6. Prefixos utilizados no SI. 
 
 
 
EXERCÍCIOS PROPOSTOS: 
 
8) Escreva em notação científica as seguintes medidas: 
a) 0,00005 
b) 300,2 
c) 0,00000000198 
d) 230120,2 
 
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2.6. Algarismos Significativos 
 
Suponha que estejamos realizando a medida de alguma peça como mostrado na 
figura 1. Pode-se observar que o comprimento da peça está entre 7 e 8 centímetros. Qual 
seria o algarismo que viria após o 7? Apesar da menor divisão da régua ser 1 cm, é 
razoável fazer uma subdivisão mental do intervalo compreendido entre 7 e 8 cm. Desta 
maneira, representa-se o comprimento da peça como sendo 7,3 cm. O algarismo 7 desta 
medida foi lido com certeza, porém o 3 não. Não se tem certeza do algarismo, por isso, 
ele é denominado como algarismo duvidoso. 
 
 
 
Figura 1. Desenho esquemático de medida de um objeto qualquer. Valores em cm. 
 
 
A regra geral, portanto, é que se deve apresentar a medida com apenas os 
algarismos de que se tem certeza mais um único algarismo duvidoso. Estes 
algarismos são denominados algarismos significativos da medida. 
 
É importante salientar que, em uma medida, os zeros à esquerda do número, isto 
é, que posicionam a vírgula, não são algarismos significativos. Exemplos: 
 
1. a medida 0,023 cm tem somente dois algarismos significativos, o 2 e o 3; 
2. a medida 0,348 cm tem três algarismos significativos; 
3. a medida 0,0040000 cm tem cinco algarismos significativos, o número 4 e os quatro 
zeros a sua direita. 
 
 
Observações: 
 
1. Os zeros que completam números múltiplos de potências de 10 são ambíguos: a 
notação não permite dizer se eles são ou não significativos. 
Exemplo: 800 pode ter um algarismo significativo (8), dois algarismos 
significativos (80) ou três algarismos significativos (800). Esta ambiguidade 
deve ser corrigida usando-se notação científica para representar estes números, 
8x10
2
 terá um algarismo significativo, 8,0x10
2
 terá dois algarismos 
significativos e 8,00x10
2
 terá três algarismos significativos. 
2. O número 100: é Não Determinado (ND), pois acaba com um zero à direita do 
último dígito que não seja zero, sem a pontuação decimal; (necessita de 
referência). 
Exemplo: 100 = 10
2
 não possui algarismos significativos, no entanto, 100,0 = 
1,0 × 10
2 
possui 2 algarismos significativos. 
 Página 15 
 
3. A posição da vírgula não influi no número de algarismos significativos, por 
exemplo, o comprimento de 0,0240 m possui três algarismos significativos e 
pode ter a posição da vírgula alterado de várias formas usando uma potência de 
dez adequada, e sem alterar o seu número de algarismos significativos. Veja 
abaixo: 
 
0,0240 m = 0,240x10
-1 
m = 0,240 dm 
0,0240 m = 2,40x10
-2 
m = 2,40 cm 
0,0240 m = 24,0x10
-3 
m = 24,0 mm 
 
Observe que o número de algarismos significativos é sempre três, 
independentemente da forma que o número foi escrito e da posição de sua 
vírgula. Outro ponto importante é que o valor da medida é sempre a mesma, 
visto que: 0,0240 m = 0,240 dm = 2,40 cm = 24,0 mm. 
 
 
2.7. Critérios de Arredondamento 
 
Quando se tem que trabalhar com várias medidas com diferentes números de 
algarismos significativos, é necessário exprimir estas medidas segundo a norma de que 
se deve ter apenas um algarismo duvidoso. Então, os critérios (Portaria 36 de 
06/07/1965 - INPM - Instituto Nacional de Pesos e Medidas) adotados são: 
 
1. Se o primeiro algarismo após aquele que formos arredondar for de 0 a 4, 
conservamos o algarismo a ser arredondado e desprezamos os seguintes. 
Ex.: 7,34856 → 7,3 
 
2. Se o primeiro algarismo após aquele que formos arredondar for de 6 a 9, acrescenta-
se uma unidade no algarismo a ser arredondado e desprezamos os seguintes. 
Ex.: 1,2734 → 1,3 
 
3. Se o primeiro algarismo após aquele que formos arredondar for 5, seguido apenas de 
zeros, conservamos o algarismo se ele for par ou aumentamos uma unidade se ele for 
ímpar desprezando os seguintes. 
Ex.: 6,2500 → 6,2 
 12,350 → 12,4 
 
4. Se o 5 for seguido de outros algarismos dos quais, pelo menos um é diferente de 
zero, aumentamos uma unidade no algarismo e desprezamos os seguintes. 
Ex.: 8,2502 → 8,3 
 8,4503 → 8,5 
 
 
2.8. Operações com Algarismos Significativos 
 
Este assunto é de grande importância devido ao fato de necessitar envolver em 
uma equação matemática, como a cálculo do volume, várias grandezas físicas medidas 
com diferentes algarismos diferentes, obtidas com aparelhos de classe de precisão 
diferentes. Por isso, iremos aprender as quatro operações básicas com as medidas. 
 
 Página 16 
 
Adição 
 
O resultado da adição de várias medidas é obtido arredondando-se a soma na 
casa decimal da parcela mais pobre em decimais, após efetuar a operação. 
Ex: 12,56 + 0,1236 = 12,6836 = 12,68 
 
Subtração 
 
A subtração é um caso particular da adição, adotando-se, dessa forma o mesmo 
critério da adição. 
Ex: 18,2476 – 16,72 = 1,5276 = 1,53 
 
Multiplicação 
 
O produto de duas ou mais medidas deve possuir, em geral, o mesmo número 
de algarismos significativos da medida mais pobre em algarismos significativos. 
Ex: 3,1415x180 = 5,65x10
2
 
 
Divisão 
 
A divisão é simplesmente um caso particular do produto, portanto aplica-se a 
regra anterior. 
Ex: 63,72/23,1 = 2,758441558 = 2,76 
 
Logaritmo 
 
Ao se trabalhar com logaritmos, observa-se o número de algarismos 
significativos do argumento (ou logaritmando) e o total de casas depois da vírgula do 
logaritmo é igual a esse número. 
Ex.: ln(5,0x10
3
) = 8,52  2 significativos no argumento  2 casas decimais no 
logarítmo. 
ln(45,0) = 3,807  3 significativos no argumento  3 casas decimais no 
logarítmo. 
 
 
EXERCÍCIOS PROPOSTOS: 
 
9) Efetue as operações abaixo e represente o resultado em notação científica: 
a) 3,45 m + 123,47 m – 0,0354 m 
b) 3,12×10
5
cm + 2,69cm 
c) 50,7 ̅ m + 7200, ̅ cm 
d) 5,24 mm × 0,73 m 
e) ln(1,20x10
2
) m + ln(45,0) m 
 
 Página 17 
 
Tópico 3. Estudo de Erros em Medidas 
 
A medida de uma grandeza é obtida, em geral, através de uma experiência, na 
qual o grau de complexidade do processo de medir está relacionado com a grandeza em 
questão e também com o processo de medição. Por isso, este tópico visa introduzir 
conceitos importantes sobre erros de medidas. 
 
3.1. Erros de uma Medida 
 
Algumas grandezas possuem seus valores reais conhecidos e outras não. Quando 
conhecemos o valor real de uma grandeza e experimentalmente encontramos um 
resultado diferente, dizemos que o valor obtido está afetado de um erro. 
ERRO é a diferença entre um valor obtido ao se medir uma 
grandeza e o valor real ou correto da mesma. 
 
Matematicamente: erro = valor medido  valor real 
 
A determinação do erro de medida não é simples, pois há na maioriados casos 
uma combinação de inúmeros fatores que influem, de forma decisiva, no resultado da 
medição. Portanto, o erro “verdadeiro” de uma medida é sempre impossível de ser 
conhecido, sendo possível apenas uma estimativa do erro máximo aceitável. Nesta 
seção irar-se-á dar uma pequena introdução sobre tipos de erros e o cálculo do erro 
aleatório provável, dado pelo cálculo do desvio padrão. 
Existem diversas classificações de erros na literatura especializada, entretanto, 
há três principais que são: 
1. Erro de escala: é o erro associado ao limite de resolução da escala do instrumento de 
medida. 
2. Erro sistemático: é o erro em que o medidor sofre, de maneira constante, em todo o 
processo de medição. No momento da descoberta da sua origem, o erro sistemático é 
possível de ser minimizado ou até mesmo sanado; 
3. Erro aleatório: é o erro que decorre de perturbações estatísticas impossíveis de 
serem previstas, sendo assim, difícil de evitá-los. 
O erro aleatório pode ser calculado utilizando-se os postulados de Gauss, que 
por motivo de brevidade não será citado aqui, entretanto, aos estudantes interessados 
neste assunto consulte o livro Introdução ao Laboratório de Física. 
 
3.1.1 Valor mais provável de uma grandeza 
 
Sejam x1, x2, x3,..., xn as n medidas realizadas de uma mesma grandeza física X. 
O valor médio desta grandeza denotado por ̅ é definido pela média aritmética dos 
valores medidos, ou seja, 
 
 ̅ 
 
 
 
 
 
∑ 
 
 (1) 
 
 Página 18 
 
Deste modo, ̅ representa o valor mais provável da grandeza medida. Ao se 
realizar várias medidas, os valores obtidos tendem a estarem mais próximos deste valor. 
O valor médio é o que melhor representa o “valor real” da grandeza. 
 
3.1.2 Desvio das medidas 
 
No entanto, não se pode afirmar que o valor mais provável seja o valor real da 
grandeza. Assim, representando-se uma medida qualquer da grandeza X por Xi, não se 
pode dizer que a diferença ( i - ̅ ) seja o erro da medida Xi. Neste caso quando 
se conhece o valor mais provável, não se fala em “erro”, mas sim em Desvio ou 
Discrepância da medida (ou Incerteza). 
 
Desvio de uma medida, , é a diferença entre um valor medido e o valor adotado 
que mais se aproxima do valor real (em geral o valor médio). 
 
É interessante saber de quanto as medidas individuais Xi se afastam do valor 
médio, ou seja, de que maneira as medidas Xi se distribuem em torno do valor médio. A 
esse fato denominamos “dispersão”. Para medir a dispersão são utilizadas algumas 
propriedades da série de medidas, tais como a Variância e o Desvio Padrão: 
 
Variância (s2): A variância é definida como a soma dos quadrados dos desvios de 
todos os valores da grandeza dividida pelo número de medidas menos uma. A variância 
é representada por s
2
, sendo calculada pela fórmula: 
 
 
 ̅ 
 ̅ 
 ̅ 
 
 
 
∑ ̅ 
 
 
 
 (2) 
 
O denominador “n – 1” da variância é determinado pelos graus de liberdade. O 
principio dos graus de liberdade é constantemente utilizado na estatística. Considerando 
um conjunto de “n” observações (dados) e fixando uma média para esse grupo, existe a 
liberdade de escolher os valores numéricos de n – 1 observações, o valor da última 
observação estará fixado para atender ao requisito de ser a soma dos desvios da média 
igual a zero. No caso especifico do cálculo da variância, diz-se que os “n” graus de 
liberdade originalmente disponíveis no conjunto sofreram a redução de uma unidade 
porque numa estatística, a média já foi calculada dos dados do grupo e aplicada na 
determinação da variância. 
 
Desvio padrão ( ): O desvio padrão é simplesmente a raiz quadrada da variância e, 
portanto, expresso na mesma unidade da grandeza medida (kg, cm, atm, etc.): 
 
 √
 ̅ ̅ ̅ 
 
 √
∑ ̅ 
 
 
 
 (3) 
 
Para um conjunto com n medições, o desvio padrão experimental representa uma 
estimativa da dispersão de Xi em torno do valor médio ̅ . Isso significa que se os 
resultados forem bastante próximos uns dos outros, então o desvio padrão será 
"pequeno", e se os resultados forem dispersos, o desvio padrão será "grande". 
 Página 19 
 
3.1.2 Desvio padrão final 
 
 Até agora, ainda não informamos como deve ser relatado o valor de uma 
grandeza submetida a medições. Já sabemos, a princípio, que a grandeza pode ser 
representada, de modo satisfatório pelo seu valor médio. Porém, quando efetuamos um 
conjunto de medições devemos ser capazes de informar com qual qualidade a média 
pode ser uma estimativa do valor verdadeiro. Ou seja, devemos sempre informar uma 
incerteza associada à média encontrada. 
 Poderíamos pensar, num primeiro nível, que a incerteza possa ser estimada pelo 
desvio padrão da média. Porém, devemos atentar que o cálculo do desvio padrão da 
média leva em conta somente as contribuições dos erros aleatórios, e não considera os 
erros sistemáticos. Existe, pois, uma incerteza residual que ainda não foi considerada. 
 Essa incerteza residual ( ), no caso de instrumentos de medida, costuma vir 
indicada pelo fabricante. Quando não é indicada, podemos adotar, pelo bom senso, que 
se trata da metade da menor divisão da escala. 
 Assim, o resultado de um conjunto de medições é: 
 
 
 
em que é o desvio (ou incerteza) padrão final e pode ser calculada por: 
 
 √ 
 
Como exemplo da teoria acima proposta, dada a seguinte tabela abaixo, com 
valores de medidas de comprimento de um corpo de prova qualquer, iremos calcular o 
seu valor mais provável (média) e o seu desvio padrão. 
 
Tabela 3.1. Valores de medidas de comprimento de um corpo de prova qualquer. Note 
que aqui não é necessário usar o desvio residual pois não foi fornecido. 
Medida Comprimento (m) 
1 1,42 
2 1,40 
3 1,38 
4 1,41 
5 1,43 
6 1,42 
7 1,39 
8 1,40 
 
Assim, o valor mais provável da medida, ̅, é dado por: 
 
 ̅ 
 
 
 
 
 
 ̅ 
 ̅ ̅ 
 
O desvio padrão será dado por 
 
 Página 20 
 
 √
 
 
 
 
 √
 
 
 
 
 ̅ 
 
Portanto, o modo correto de representar o valor mais provável do corpo de prova e o seu 
respectivo erro é o seguinte: 
 
 
Note que o número de casas após a vírgula para ambos os valores têm que ser 
compatíveis. 
 
 
3.2. Propagação de Incertezas 
 
Este assunto é de grande relevância em todas as áreas de atividade onde são 
realizadas medidas experimentais. O objetivo deste assunto é justamente estudar a 
propagação de incertezas associadas a cada medida em particular. 
Imagine que queiramos fazer a soma de duas grandezas x1 e x2, para obter uma 
grandeza y. Sabemos que para expressar corretamente o resultado de nossa operação 
devemos relatar um valor médio e uma incerteza associada a este valor. De maneira 
geral, um resultado y deve ser expresso como: 
 
 ̅ (4) 
 
Se y é uma função de outras variáveis f(x1, x2), então: 
 
 ̅ ̅ ̅ (5) 
 
No caso da soma, por exemplo, y = x1 + x2, então: 
 
 ̅ ̅ ̅ (6) 
 
Já o cálculo de é mais complicado. O processo rigoroso para o cálculo das 
incertezas envolve uma equação com derivadas parciais, também conhecidacomo “lei 
de propagação de incertezas” o qual é apresentada a seguir. 
 
 Lei de Propagação de Incertezas 
 
Suponha que um certo experimento necessite de vários instrumentos para ser 
realizado. E que cada um destes instrumentos têm uma variabilidade diferente em suas 
medições. Os resultados de cada instrumento são dados como: x1, x2, x3, ... . O resultado 
final desejado é y, de modo que y é dependente de x1, x2, x3, ... . Então, pode-se escrever 
que y é uma função dessas variáveis: 
 
 (7) 
 Página 21 
 
Uma vez que cada medida tem uma incerteza sobre sua média, pode-se escrever 
que a incerteza de dyi da i-ésima medição de x depende da incerteza das i-ésimas 
medições de x1, x2, x3, ... : 
 
 (8) 
 
O desvio total de y é então obtido da derivada parcial de y com respeito a cada 
uma das variáveis: 
 
 (
 
 
) (
 
 
) (
 
 
) (9) 
 
A relação entre os desvios padrão de y e x1, x2, x3, ... é dada em duas etapas: i) 
pela quadratura da equação 9, e ii), tomando a soma total de i = 1 para i = n, onde n é o 
número total de medições. Logo: 
 
∑ 
 (
 
 
)
 
∑ 
 (
 
 
)
 
∑ 
 (10) 
 
Dividindo ambos os lados por n-1: 
 
∑
 
 
 
 (
 
 
)
 
∑
 
 
 
 (
 
 
)
 
∑
 
 
 
 (11) 
 
Da equação 3 tem-se que: 
 ∑
( )
 
 
 =∑
 ̅ 
 
 
, logo a equação onde pode ser 
reescrita como: 
 
 
 ( 
 
)
 
 
 ( 
 
)
 
 
 (12) 
 
Assim, tendo a equação que expressa y em função de suas componentes x1, x2, ... 
, deve-se, primeiramente, obter as expressões das derivadas parciais da função y em 
relação a cada uma das componentes. Obtidas essas expressões, substituem-se os 
valores apropriados e calcula-se o valor de cada derivada parcial em questão. A seguir, 
deve-se multiplicar cada valor obtido pela incerteza da respectiva componente. Por fim, 
procede-se a soma de todas as parcelas, sendo cada parcela relativa a uma determinada 
componente da função. 
 
Exemplo: Calcule o volume de um cilindro de comprimento L = (4,0±0,1)mm e 
diâmetro D = (2,0±0,2)mm. 
 
Resolução: 
 
O volume do cilindro é dado por: 
 
 
 
 
 
 
 
 Página 22 
 
Agora iremos utilizar as incertezas das medidas de comprimento e diâmetro do cilindro, 
para calcular a incerteza propagada para V: 
 
 (
 
 
)
 
 
 (
 
 
)
 
 
 
 
 (
 
 
)
 
 
 (
 
 
)
 
 
 
 
 ( 
 
)
 
 ( 
 
 
)
 
 = 
6,3164 + 0,0314 = 6,3478 mm
6
 
 √ 
 
 O resultado final deve ser expresso da seguinte maneira: 
 
V = (12.6±2.5) mm
3 
 
3.3 Propagação de Incertezas nas Operações Básicas 
 
 Abaixo estão listadas as equações da incerteza propagada para as operações mais 
utilizadas. 
 
1. Adição ou Subtração: y = x1 + x2 ou y = x1 - x2 
 √ 
 
 
2. Multiplicação ou Divisão: y = x1.x2 ou y = x1/x2 
 
 
 ̅
 √(
 
 ̅̅̅
)
 
 (
 
 ̅̅ ̅
)
 
 
3. Potenciação: y = x1
a 
 
 
 ̅
 (
 
 ̅̅̅
) 
 
No caso da função do tipo y = x1
a
 . x2
b 
, tem-se: 
 
 
 ̅
 √ (
 
 ̅̅̅
)
 
 (
 
 ̅̅ ̅
)
 
 
 Página 23 
 
 
4. Logaritmo: y = log(x1) 
 
 (
 
 ̅̅̅
) 
 
 
EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
 
 
1) Mediram-se, experimentalmente, o período e o comprimento de um pêndulo simples, 
obtendo-se os seguintes resultados: L = (59,90 ± 0,05) cm e T = (1,555 ± 0,001) s . 
Utilizando a equação do pêndulo simples T = 2π√
 
 
 , calcule o valor da aceleração da 
gravidade (g). 
 
 
2) Em uma mola de constante elástica k = (2,256 ± 0,003).10
4
 dyn/cm colocou-se a 
oscilar uma massa m = (249,86 ± 0,01)g . Calcule o período do oscilador para os valores 
dados acima, sabendo que ele está relacionado com a massa e a constante elástica 
através da equação T = 2π √
 
 
 . 
 
 
 Página 24 
 
Tópico 4. Como Elaborar um Relatório e Apresentar 
os Resultados Experimentais 
 
4.1. Confecção de um Relatório 
 
4.1.1. Organização do relatório 
 
Um relatório é uma descrição detalhada, clara e objetiva de um trabalho 
realizado. Descrição detalhada significa que o relatório deve apresentar todos os 
detalhes que sejam relevantes. Clareza e objetividade reduzem o esforço de leitura do 
relatório sem prejuízo da perfeita compreensão. 
 
O relatório deve conter as seguintes partes: 
 
• Resumo 
• Introdução 
• Descrição experimental 
• Resultados das medições e cálculos 
• Conclusão 
• Referências bibliográficas 
 
4.1.2. Resumo 
 
O resumo poderá ter de 5 a 10 linhas e deve indicar sucintamente os objetivos da 
experiência, equipamento utilizado, principais resultados e conclusões. Isto é, o resumo 
deve dar ao leitor uma idéia preliminar sobre o conteúdo do relatório e, portanto, deve 
ser escrito depois de finalizado o trabalho. Gráficos e fórmulas não fazem parte do 
resumo. 
 
 
4.1.3. Introdução 
 
A introdução deve conter os objetivos da experiência, discussão do tema da 
experiência, apresentação das fórmulas teóricas, leis físicas utilizadas, deduções teóricas 
mais relevantes e outros comentários que parecerem importantes. 
 
 
4.1.4. Descrição Experimental 
 
Esta parte do relatório deve conter uma descrição completa e objetiva dos seguintes 
itens: 
 
 arranjo experimental; 
 procedimento experimental; 
 características de instrumentos, incertezas de leitura e de calibração; 
 cuidados particulares e detalhes relevantes. 
 
 Página 25 
 
A descrição do arranjo experimental deve incluir figuras mostrando características e 
dimensões relevantes. Em procedimento experimental, deve-se dar uma descrição resumida 
do procedimento utilizado e do método de medição de cada grandeza. Devem também ser 
apresentados nesta parte do relatório, características dos instrumentos utilizados, discussão 
de incertezas de leitura e cuidados particulares que tenham sido adotados na tomada de 
dados. 
 
 
4.1.5. Resultados das medições e análise de dados 
 
Os resultados das medições e cálculos devem ser apresentados nesta parte do 
relatório, sendo obrigatório o uso de tabelas no caso de serem feitas várias observações do 
mesmo mensurando. 
O texto deve explicar claramente os cálculos realizados. As fórmulas utilizadas 
devem ser apresentadas explicitamente. Resultados de cálculos que se repetem devem ser 
apresentados em tabelas. 
Os cálculos para a estimativa das incertezas também devem ser explicados 
claramente, inclusive com apresentação das expressões utilizadas, ou menção das mesmas 
se estas já foram apresentadas na introdução. 
Os gráficos devem ser apresentados nesta parte do relatório e seus resultados devem 
ser explicitamente apresentados no texto. 
Pensamos que é importante citar aqui o texto abaixo:... “quando se registra o 
resultado de uma medição e a sua incerteza, é preferível errar, por excesso, no 
fornecimento de informações a fornecê-las com escassez. Por exemplo, deve-se: 
 
a) descrever claramente os métodos utilizados para calcular o resultado da medição e 
sua incerteza, a partir de observações experimentais e dados de entrada; 
 
b) listar todos os componentesda incerteza e documentar amplamente como foram 
avaliados; 
 
c) apresentar a análise dos dados, de tal forma que cada um dos passos importantes 
possa ser prontamente seguido e que os cálculos do resultado relatado possam ser 
independentemente repetidos, se necessário; 
 
d) fornecer todas as correções e constantes utilizadas na análise e suas fontes. 
 
Um modo de se verificar a lista acima é perguntar-se a si próprio: “Terei eu 
fornecido suficiente informação de maneira suficientemente clara, de modo tal que meu 
resultado possa ser atualizado no futuro, se novas informações ou dados se tornarem 
disponíveis?”. 
 
4.1.6. Conclusões 
 
Os resultados devem ser discutidos e comentados na parte anterior do relatório. Mas 
geralmente existe esta parte final, na qual se deve discutir a experiência como um todo. As 
conclusões geralmente incluem a discussão dos seguintes pontos: 
 
 acordo entre resultados obtidos na experiência e valores teóricos ou valores 
experimentais obtidos de outras fontes; 
 crítica do método de medição e do equipamento utilizado; 
 Página 26 
 
 sugestões e comentários sobre a experiência. 
 
4.1.7. Referências bibliográficas 
Referências bibliográficas citadas no texto devem ser apresentadas no final, sob 
o título Referências Bibliográficas, seguem abaixo alguns exemplos de forma correta de 
citar as referências. 
 
a) Referência de livro: 
 
Hunter, J. C. O Monge e o Executivo: uma História sobre a Essência da Liderança, 
Sextante, Rio de Janeiro, 2004. 
Sendo Hunter, J. C. o autor do livro; O Monge e o Executivo: uma História sobre a 
Essência da Liderança; o título do livro; Sextante; a editora, Rio de Janeiro; a cidade 
onde o livro foi editado e 2004 o ano da edição. 
 
b) Referência de artigo de revista: 
 
Marinho, R. M.; Noether´s theorem in classical mechanics revisited. European 
Journal of Physics, London, v. 28, p. 37-43, 2007. 
 
Sendo Marinho, R. M o autor do artigo; Noether´s theorem in clasical mechanics 
revisited o titulo do artigo; European Journal of Physics a revista onde foi publicado; 
London a cidade da editora; v. 28, p. 37-43 o volume e as paginas correspondentes ao 
artigo e 2007 o ano da publicação. 
 
c) Referência de Internet: 
 
Autor, título http://www.univap.br. Acesso em 17 de julho de 2011 
 
Sendo http o protocolo de comunicação (hipertexto) e www.univap.br o endereço da 
página de acesso à Univap, www (World Wide Web). Segue a data do acesso à página. 
 
Cabe destacar aqui que as referencias devem ser fornecidas no padrão da 
Associação Brasileira de Normas Técnicas (ABNT) a qual para documentação é a NBR-
6023 de 29/09/2002, disponível na biblioteca da Univap ou pela internet no site 
www.habitus.ifcs.ufrj.br/pdf/abntnbr6023.pdf. 
 
Mais alguns detalhes que devem ser levados em conta durante a confecção do relatório: 
 Unidades para cada grandeza; 
 Avaliação de erros nas suas medidas (e, se for o caso, propagar os erros nos 
resultados finais); 
 Legendas das figuras; 
 Numerar as figuras e gráficos e se referir neles no texto; 
 Mencionar a data da realização da experiência; 
 Página 27 
 
 Se usar textos ou figuras de outras fontes (esta apostila, internet, livros, artigos, 
relatórios de colegas...), deixe isto claro, colocando entre “aspas", e dê a 
referência! 
 
4.2. Apresentação dos Resultados Experimentais 
 
4.2.1. Tabelas 
 
Para apresentar um conjunto de dados ou resultados de medições e de cálculos 
repetitivos se usam tabelas. Na tabela deverão incluir-se todas as informações 
necessárias para se entender o que significam as quantidades tabeladas, de maneira 
razoavelmente independente do texto do principal. Por exemplo, para medir o poder de 
aceleração de um carro, medimos como a sua velocidade se modifica em função do 
tempo, conforme pode ser observado na tabela 1 abaixo. 
 
Tabela 1. Variação da velocidade com o tempo em segundos. 
 
 
No exemplo apresentado (Tabela 1) o conteúdo da tabela é razoavelmente bem 
definido pela legenda, cabeçalhos, e unidades. Algumas regras gerais para se elaborar uma 
tabela são apresentadas a seguir. 
 
Identificação: As tabelas devem ser numeradas e identificadas por um título colocado 
acima da mesma. Além do título pode ser colocada uma legenda a qual terá informações 
adicionais que ajudem a entender o conteúdo da tabela. 
 
Cabeçalhos: O conteúdo de cada coluna (ou linha) deve ser identificado por meio do 
símbolo que representa as quantidades dessa coluna. As quantidades devem ser escritas 
incluindo somente os algarismos significativos, zeros à esquerda devem ser evitados por 
meio de mudanças de unidades ou fatores multiplicativos convenientes. 
 
Unidades: As unidades e eventuais fatores multiplicativos devem ser explicitamente 
indicados. Para expressar as unidades devem usar-se as convenções internacionais conforme 
relatado no capítulo 1. 
 
 Página 28 
 
Incertezas: A incerteza deve ser sempre explicitamente indicada, na mesma coluna que as 
quantidades, ou em coluna separada. As incertezas devem ser dadas com as mesmas 
unidades e fatores multiplicativos das quantidades. Quando a incerteza é a mesma para 
todos os dados de uma coluna, pode-se indicá-la no cabeçalho da tabela. 
 
4.2.1. Construção e Interpretação de Gráficos 
 
O gráfico dos dados apresentados na Tabela 1 (Figura 1) permite visualizar 
imediatamente o comportamento da velocidade em relação ao tempo. Uma imagem vale mil 
palavras, e um gráfico é uma maneira muito eficiente de resumir e apresentar os seus dados. 
É importante que o gráfico se conforme a certas convenções ou regras que todo mundo 
conhece. Assim outras pessoas podem interpretar os seus resultados imediatamente. Em 
seguida vamos apresentar as regras para produzir gráficos em um formato profissional. 
 
 
Figura 1. Velocidade de um automóvel acelerando em função do tempo dado em segundos. 
 
 
 Regras práticas para construção de gráficos 
 
Conforme o exemplo da Figura 1, um gráfico contém os seguintes elementos: 
 
1. Eixos com nome da variável representada, escala e unidade. 
2. Os dados e, se apropriado, as barras de erro. 
3. Legenda e título. 
 
Os eixos 
 
Cada um dos eixos deve conter o nome (ou símbolo) da variável representada, a 
escala de leitura e a unidade correspondente. Escolha uma escala conveniente para a qual o 
gráfico represente bem o intervalo medido para cada variável. A regra prática para esta 
definição é dividir a faixa de variação de cada variável pelo número de divisões principais 
disponíveis. Toma-se então um arredondamento a valor superior e de fácil leitura. Estes 
 Página 29 
 
valores de fácil leitura são: 1, 2 ou 5 unidades ou qualquer múltiplo ou submúltiplo de 10 
delas. Por exemplo, no papel milimetrado, se a faixa de variação dos dados for de 35 
unidades e o número de cm disponíveis for de 10 cm, chegamos ao valor ideal de 5 
unidades para cada divisão do gráfico 
No caso da Figura 1, a variável tempo varia 35s e temos mais ou menos 10 divisões 
principais, o que daria 3,5 s por divisão, o que não é conveniente. Portanto escolhemos 5s 
por divisão. Da mesma maneira foi escolhido 20km/h por divisão no eixo y. As escalas dos 
eixos não precisam começar na origem (zero, zero). Elas devem abranger a faixa de 
variação que você quer representar. É conveniente que os limites da escala correspondam 
a um número inteiro de divisões principais. Indique os valores correspondentes as divisões 
principais abaixo do eixo-x e a esquerda do eixo-y usando números grandes. 
As unidades devem ser escolhidas de maneira a minimizar o número de dígitosnos 
valores que indicam o valor da divisão principal. Uma regra prática é tentar usar no máximo 
três dígitos nestes valores, fazendo uso de potências de 10 na expressão das unidades para 
completar a informação. Ao traçar os eixos no papel milimetrado, não use a escala marcada 
no papel pelo fabricante. É você que define a sua escala, baseando-se nos seus dados. 
Também não use os eixos nas margens do papel. Desenhe os seus próprios, porque você 
precisará de espaço para a identificação das variáveis e para a legenda. Por fim, abaixo ou à 
esquerda dos números da escala, conforme o caso, escreva o nome (ou símbolo) da variável 
correspondente e a unidade para leitura entre parênteses (km, 105 N/cm2, etc.). 
 
Os dados 
 
 Assinale no gráfico a posição dos pontos experimentais: use marcas bem visíveis 
(em geral círculos pequenos). Nunca indique as coordenadas dos pontos graficados no eixo. 
Coloque barras de erros nos pontos se for o caso. Se os erros são menores que o tamanho 
dos pontos, indique isso na legenda. As vezes ajuda a visualização traçar a melhor curva 
média dos pontos, ignorando alguns pontos que fogem demasiadamente do comportamento 
médio. Em outras palavras, pode-se dizer que a curva média deve ser traçada de maneira a 
minimizar os deslocamentos da curva em relação aos pontos experimentais ao longo do 
traçado. Use o seu juízo. Não é correto simplesmente ligar os pontos experimentais. 
 
A legenda e o título 
 
 Todo gráfico deve ter um título, pelo qual é referido no texto (Figura 1, no nosso 
exemplo). Geralmente, o título do gráfico é colocado na legenda, abaixo do gráfico. A 
legenda deve conter também uma descrição sucinta do que é apresentado no gráfico. Note 
que uma legenda tipo “velocidade vs. tempo" é redundante pois esta informação já está 
contida nos rótulos dos eixos. 
 Na Figura 2, ilustramos os erros mais comuns, que devem ser evitados na 
construção de um gráfico. 
 
 Página 30 
 
 
 
Figura 2. Ilustração dos erros mais comuns que devem ser evitados na construção de 
gráficos. 
 
 
 
 
 Página 31 
 
Tópico 5. Aula Prática: 
Paquímetro e Micrômetro: Propagação de Incertezas - 
Determinação Experimental do Volume de um Objeto 
 
 
 
1. INTRODUÇÃO 
 
 Será calculado o volume de objetos como esferas, cilindros e cubos 
metálicos e as respectivas incertezas do valor resultante. Para tal fim, serão 
usados dois instrumentos para medir dimensões lineares: o paquímetro e o 
micrômetro. 
 
 
2. OBJETIVOS DA EXPERIÊNCIA 
 
 A finalidade desta experiência é familiarizar o aluno com algumas 
técnicas de medidas, cuidados experimentais no laboratório, algarismos 
significativos, desvios avaliados e propagação de erros, utilizando 
instrumentos de medida muito simples como o paquímetro e o micrômetro. 
 
 
3. TEORIA 
 
 A seguir, descreveremos o funcionamento dos instrumentos de 
medição usados neste experimento. 
 
3.1. PAQUÍMETRO 
 
 O paquímetro é um instrumento de medida de comprimento muito 
utilizado em laboratórios e em oficinas mecânicas onde também é 
conhecido como calibre. Entre seus principais usos podemos citar medidas 
de diâmetros de vergalhões, diâmetros internos, profundidades, etc. 
 O paquímetro (Fig. 1) consta usualmente de uma haste metálica com 
duas esperas fixas (1 e 7), um cursor móvel com esperas (2 e 10), nônio ou 
vernier (11) e uma haste (14). 
 Página 32 
 
 
Figura 1. Elementos do paquímetro. 1, 2, 7 e 10: esperas, 3: nônio ou 
vernier superior (polegada), 4: trava, 5: corpo móvel, 6: escala superior 
(graduada em polegadas), 8 e 9: esperas internas, 11: nônio ou vernier 
inferior (cm), 12: posicionador do corpo móvel, 13: escala inferior 
(graduada em centímetros), 14: haste de profundidade. 
 
 O corpo do paquímetro contém duas escalas principais graduadas 
uma em polegadas e outra em milímetros. O cursor possui duas escalas 
secundárias em correspondência às escalas principais. A escala secundária 
do cursor é parte muito importante do instrumento, pois permite que se 
façam leituras de frações da unidade da escala principal, aumentando deste 
modo a precisão da medida. As escalas auxiliares são conhecidas por nônio 
ou vernier. 
 O funcionamento do nônio baseia-se no fato de que o seu 
comprimento corresponde a um número inteiro de N divisões da escala 
principal. Seja n o número de divisões e u o comprimento de cada divisão 
do nônio. Então se U é o comprimento de cada divisão da escala principal, 
resulta: 
 
 (
 
 
) 
 
 
 
Figura 2. Escalas do paquímetro. 
 Página 33 
 
 Na figura 2, 10 divisões do nônio correspondem a 9 mm da escala 
principal. Assim, cada divisão do nônio corresponde a 9/10 da divisão da 
escala principal. Desta forma, ao fazermos medidas, o primeiro traço à 
esquerda do nônio serve de referência para se contar os milímetros e o 
próximo traço no nônio que coincidir com qualquer traço da escala 
principal determinará a fração de milímetro. 
 
 
Figura 3. Leitura de uma medição através do paquímetro. 
 
 Na figura 3 pode-se ver a correta leitura de uma medição com o uso 
do paquímetro. Define-se como aproximação do nônio a diferença entre o 
comprimento de uma divisão da escala principal e o comprimento de uma 
divisão do nônio: 
 
 ( 
 
 
) 
 
 Quando a escala auxiliar não é dividida em 10 partes costuma-se 
denominá-la vernier. No vernier n divisões da escala auxiliar correspondem 
a n – 1 divisões da escala principal. Cada divisão do vernier corresponde a 
 
 
 
 
 
 
 
 
da escala principal. Portanto a divisão do vernier é 1/n menor que a da 
escala principal. A quantidade 1/n é a menor leitura do vernier. 
 Aparelhos como o teodolito, aparelhos ópticos como os 
espectroscópios, apresentam escalas circulares, mas o princípio de seus 
nônios é o mesmo. 
 Página 34 
 
 
APLICAÇÕES 
 
• Medidas de comprimento em geral são feitas com o objeto entre as 
esperas 7 e 10 (Fig. 1). 
• As esperas 1 e 2 servem para medidas internas. 
• Medidas de profundidade se fazem entre o extremo do cursor 14 e a base 
da haste. 
• Conversor de polegadas em milímetros e vice-versa. 
 
CUIDADOS GERAIS 
 
• Não deixe o paquímetro cair e principalmente não force nem raspe as 
extremidades de medida 7 e 10, 1 e 2, e 14. 
• O objeto a ser medido deve ser tocado levemente pelas esperas, sob pena 
de prejudicar a medida, e possivelmente danificar o aparelho. 
 
3.2. MICRÔMETRO 
 
 O micrômetro (Fig. 4) ou Palmer é um instrumento para medir 
dimensões de objetos pequenos e tem aplicação na medida de diâmetros de 
fios, espessura de chapas, etc. 
 O micrômetro consta essencialmente de um parafuso micrométrico. 
Num dos extremos do parafuso temos a espera móvel e esta, obviamente, 
não deverá pressionar fortemente o objeto medido. Portanto, no outro 
extremo existe uma catraca que é um dispositivo protetor e que também 
permite reprodutibilidade nas pressões aplicadas. 
 Sobre o tambor temos a manga que possui uma escala circular 
normalmente gravada com traços correspondentes a 0,01 mm. Cada volta 
completa da manga corresponde ao avanço ou recuo de um passo do 
parafuso micrométrico. Observe que no micrômetro fornecido o passo é de 
0,5 mm. Se o passo da rosca é de 0,5 mm e o tambor tem 50 divisões, a 
resolução será 
 
 
 
 
 
Assim, girando o tambor, cada divisão provocará um deslocamento de 0,01 
mm no fuso (Fig. 5). 
 Em forma de arco temos uma peça com um dos extremos rosqueado 
ao tambor e com o outro extremo constituindo a espera fixa. 
 
 Página 35Figura 5. Elementos do micrômetro. 
 
 
 
Figura 6. Passo do micrômetro. 
 
CUIDADOS GERAIS 
 
• Não permita que o micrômetro caia sobre a mesa e muito menos no chão. 
• Gire o parafuso micrométrico usando sempre a catraca para proteger tanto 
o instrumento quanto o objeto medido. 
• Segure sempre o micrômetro pela peça que tem formato de arco. 
• Nunca guarde o micrômetro com as esperas em contato. 
 
LEITURAS 
 
 O objeto a ser medido deve ser encostado inicialmente na espera fixa 
e em seguida, girando a catraca, aproximando a espera móvel. 
 Página 36 
 
 Ao fazermos a leitura usamos como referência para a escala 
horizontal a borda da manga, e como referência para a escala circular 
usamos o risco horizontal que existe no tambor. 
 
 
4. PARTE EXPERIMENTAL 
 
MATERIAIS UTILIZADOS 
 
1. Esferas, cilindros e cubo metálicos; 
2. Paquímetro e Micrômetro. 
 
PROCEDIMENTO EXPERIMENTAL 
 
1. Realizar 10 medições, usando o paquímetro e micrômetro, para o 
diâmetro da esfera, a altura e o diâmetro do cilindro, e a aresta do cubo; 
2. Calcular o valor mais provável e o erro padrão da média, para cada uma 
das medidas (para ambos os instrumentos); 
3. Calcular o volume e o erro do volume para cada uma das peças, para 
ambos os instrumentos. 
 
CONCLUSÕES 
 
 Através das seguintes questões, monte suas conclusões: 
1. De quanto é a diferença entre os volumes obtidos através do paquímetro 
e micrômetro? 
2. Como você explicaria esta diferença encontrada? 
3. Qual dos instrumentos você utilizaria para outras medidas? 
 
 Página 37 
 
Tópico 6. Aula Prática: 
Tempo de Reação Humana (Queda Livre) 
 
 
 
1. INTRODUÇÃO 
 
 Será calculado o tempo de reação humana através da teoria de queda 
livre de um objeto. Para tal fim, será usado o instrumento para medir 
dimensões lineares: a régua milimetrada. 
 
 
2. OBJETIVOS DA EXPERIÊNCIA 
 
- Efetuar medidas estatísticas do tempo de reação humana; 
- Efetuar medidas indiretas de tempo; 
- Aprender a utilizar estatística com medidas repetidas; 
- Expressar corretamente estas medidas, erros e unidades. 
 
 
3. TEORIA 
 
 O que é o “tempo de reação humana”? Vamos defini-lo como o 
tempo necessário para que uma pessoa reaja a um determinado estímulo 
externo (visual, sonoro, etc.). O tempo de reação é muito importante para o 
sucesso em atividades que exigem respostas rápidas, principalmente 
atividades esportivas (goleiro de futebol, corredor, piloto de corrida, etc.). 
Um exemplo: quando o corredor Donovan Bailey bateu o recorde dos 
100m na Olimpíada de 1996, atrasou 0,17s (tempo de reação) na largada, e 
bateu o recorde por uma diferença de apenas 0,01s em relação ao recorde 
anterior. No caso das corridas automobilísticas, uma diferença de alguns 
centésimos de segundo no tempo de reação ao sinal de largada pode 
significar uma diferença de duas ou três posições na prova. 
 O tempo médio de reação de uma pessoa jovem em bom estado de 
saúde varia entre 0,15 e 0,45s. Este é praticamente o tempo que o cérebro 
necessita para processar as informações que está recebendo e definir uma 
ação. 
 A seguir será proposta uma experiência para medir o tempo de 
reação humana. Embora seja um experimento bastante simples, que não 
fornece um resultado muito preciso, ele permite uma avaliação aproximada 
do tempo de reação. 
 Página 38 
 
 A idéia é medir o tempo que uma pessoa leva para perceber que um 
objeto está caindo e reagir a isso fechando a mão para interromper a queda 
do objeto. O tempo de reação será determinado a partir do quanto o objeto 
andou, desde o momento em que foi largado pelo experimentador até o 
instante em que a pessoa fechou os dedos e o segurou. 
 Um experimentador deve segurar o objeto pela extremidade superior, 
deixando sua extremidade inferior exatamente entre os dedos (abertos) da 
pessoa que terá o tempo de reação medido. Em um determinado instante, 
sem avisar, o experimentador solta o objeto e a pessoa deve fechar os dedos 
para segurá-la. 
 Recomenda-se o uso de uma régua de 30 cm ou maior, pois assim 
pode-se medir quanto o objeto andou diretamente pela escala da régua. 
 A conversão desta distância em tempo, para saber o tempo de reação, 
pode ser feita partindo-se da equação horária da posição de um movimento 
uniformemente variado. (a queda de um objeto é um “movimento 
uniformemente variado”, certo? Por quê?) 
 Equação do movimento uniformemente variado: 
 
 
 
 
 
 
 No caso da queda livre de um objeto, y é a posição do corpo no 
tempo t e y0 é a posição inicial do corpo. A distância que o objeto percorreu 
na queda é exatamente y – y0, que chamaremos de Δy. 
 Em nosso caso, a velocidade inicial do corpo (v0) é zero porque o 
experimentador apenas soltou o objeto. O que faz o objeto cair é a ação da 
gravidade; assim, a aceleração a que o objeto tem durante a queda é igual a 
aceleração da gravidade (~ 9,807 m/s
2
). 
 Colocando estas informações na equação 1, chega-se a expressão que 
permite calcular o tempo de reação: 
 
 √
 
 
 
 
Exercício: obtenha a equação acima. 
 
4. PARTE EXPERIMENTAL 
 
MATERIAIS UTILIZADOS 
 
1. Régua milimetrada. 
 
 Página 39 
 
PROCEDIMENTO EXPERIMENTAL 
 
1) Caracterize a régua milimetrada utilizada, anotando na folha de dados: a) 
marca e modelo; b) unidade de medida; c) precisão de medida. 
2) Escolher um dos componentes do grupo para ter o tempo de reação 
medido. 
3) O escolhido deverá fazer um traço reto e fino, com caneta, no dedo 
indicador, da ponta para dentro, conforme a figura 1a. Ele usará este dedo e 
seu polegar como uma pinça (veja figura 1b): 
 
(a) (b) 
 
Figura 1. (a) Detalhe do traço de caneta feito no dedo indicador. (b) 
Posição dos dedos para realizar o experimento, estes não devem tocar a 
régua. 
 
4) Posicionar o traço de caneta na posição “zero” da régua, enquanto um 
segundo membro do grupo (experimentador) a segura pelo outro extremo. 
Estando tudo pronto, em um determinado instante, sem avisar, o 
experimentador solta o objeto e a pessoa deve fechar os dedos para segurá-
la. 
5) Repita o experimento 10 vezes com cada pessoa, para chegar a uma 
conclusão mais confiável, pois os valores obtidos através deste 
experimento apresentam uma imprecisão natural (dispersão). Tente mudar 
de experimentador (quem solta a régua) e verifique se isto também 
influencia o resultado. 
6) Esta forma de medir o tempo de reação mede na verdade o tempo de 
reação ao estimulo visual, pois a pessoa detecta visualmente que o objeto 
foi largado. Você também pode medir o tempo de reação ao estimulo 
sonoro com o mesmo experimento, bastando para isso falar “JÁ” no 
instante em que se solta o objeto. Neste caso, há diferença se a pessoa 
estiver de olhos abertos ou fechados? E se estiver olhando para outro lado? 
Por quê? Repita o experimento várias vezes. 
 
 
 Página 40 
 
CÁLCULOS 
 
1) Monte a seguinte tabela durante o experimento: 
 
Nome do experimentador: 
Nome do coletor da régua: 
Número da 
Medição, i 
 (m) 
 ̅ 
(m) 
 
 (m
2
) 
1 
2 
3 
4 
5 
6 
7 
8 
9 
10 
 
 ̅ ∑ 
 
 
 
 
 
2) Calcule o desvio padrão de : 
 
 √
∑ 
 
 
 
 
 
3) Escreva o resultado na forma ( ̅ ) , adequando se necessário 
na forma de notação científica. Onde √com 
(resolução da régua milimetrada). 
 
 Página 41 
 
4) Calcule o tempo de reação humana com o respectivo desvio padrão 
propagado. 
 
5) Responda as questões destacadas em vermelho ao longo do roteiro 
experimental no tópico de “conclusão” do relatório. 
 
REFERÊNCIAS 
 
1. Notas de aula, Tempo de Reação Humana: 
http://profgabrielhickel.webs.com/labfisica3.pdf, acessado em 11/09/2011. 
 
 Página 42 
 
Tópico 7. Aula Prática: 
Trilho de ar: MRU e MRUV 
 
A ser escrito... 
 
 Página 43 
 
 
Tópico 8. Aula Prática: 
Pêndulo Simples 
 
 
 
1. INTRODUÇÃO 
 
 Um pêndulo é um sistema composto por uma massa acoplada a um 
pivô que permite sua movimentação livremente. A massa fica sujeita à 
força restauradora causada pela gravidade. Existem inúmeros pêndulos 
estudados por físicos, já que estes o descrevem como um objeto de fácil 
previsão de movimentos e que possibilitou inúmeros avanços tecnológicos, 
alguns deles são os pêndulos físicos, de torção, cônicos, de Foucalt, duplos, 
espirais, de Karter e invertidos. Mas o modelo mais simples, e que tem 
maior utilização é o Pêndulo Simples. 
 
 
2. OBJETIVOS DA EXPERIÊNCIA 
 
 O objetivo deste experimento é obter a aceleração da gravidade 
fazendo-se uso de um pêndulo simples. Será visto que, basta realizar 
apenas as medidas do tempo de oscilação deste pêndulo para o cálculo da 
aceleração da gravidade. A seguir é apresentada a teoria correlata ao 
experimento do pêndulo simples. 
 
 
3. TEORIA 
 
Qualquer movimento que se repete em intervalos de tempo iguais 
constitui um movimento periódico. Como veremos, o movimento periódico 
de uma partícula pode sempre ser expresso em função de senos e cossenos, 
motivo pelo qual ele é também denominado movimento harmônico. Se a 
partícula em movimento periódico se move para diante e para trás na 
mesma trajetória, seu movimento é chamado oscilatório ou vibratório. A 
forma mais simples de oscilação, o movimento harmônico simples (MHS), 
é o movimento que ocorre quando numa trajetória retilínea, uma partícula 
oscila periodicamente em torno de uma posição de equilíbrio sob a ação de 
uma força restauradora, sempre orientada para a posição de equilíbrio e de 
intensidade proporcional à distância da partícula à posição de equilíbrio. 
Exemplos comuns deste tipo de movimento são o de um corpo preso a uma 
 Página 44 
 
mola ou o de um pêndulo simples (quando os deslocamentos em relação ao 
ponto de equilíbrio são pequenos), como mostram as Figuras 1 e 2. 
 
 
Figura 1 - A esfera suspensa à mola efetua um MHS (desprezando-se a 
ação do ar). São mostradas as 3 fases do movimento: em (a), (c) e (e) as 
máximas elongações, e em (b) e (d) o ponto de equilíbrio. 
 
Um exemplo de MHS é a oscilação de um corpo preso a uma mola 
quando o atrito no sistema é desprezível (Figura 1). Num MHS, a abscissa 
x que determina a posição do corpo oscilante, medida a partir do ponto de 
equilíbrio, denomina-se elongação. O valor máximo da elongação recebe o 
nome de amplitude (A). 
O MHS é um movimento periódico. Sendo f a frequência e T o 
período, temos: 
 Página 45 
 
 
 
 
 
 
 
 
onde a grandeza denomina-se pulsação. A aceleração no MHS é dada 
por: 
 
 
 
Logo, substituindo a eq. (1) em (2) tem-se: 
 
 (
 
 
)
 
 
 
 
3.2. PÊNDULO SIMPLES 
 
 
O pêndulo simples é um corpo ideal que consiste de uma massa (m) 
puntiforme suspensa por um fio leve e inextensível de comprimento L. 
Quando afastado de sua posição de equilíbrio ( = 0o, na Figura 2) e 
largado, o pêndulo oscilará em um plano vertical sob a ação da gravidade. 
O movimento é periódico e oscilatório. O tempo necessário para uma 
oscilação completa é chamado período (T). 
 
 
 Página 46 
 
Figura 2 – Análise das forças que atuam num pêndulo simples. Quando o 
ângulo  que o fio do pêndulo faz com a vertical não é muito grande, o 
movimento do pêndulo é harmônico simples. 
 Como mostra a Figura 2, as forças que atuam no pêndulo são seu 
peso ( ⃗ ) e a tração no fio ( ⃗ ). Considerando um sistema de 
referência onde um dos eixos seja tangente a trajetória circular percorrida 
pela massa m, e o outro tenha a direção do fio, ou seja, do raio do círculo, 
veremos que a resultante das forças radiais origina a força centrípeta 
necessária para manter m na trajetória circular. A componente tangencial 
do peso, igual a m.g.sen constitui a força restauradora que atua em m e 
que faz o corpo tender a voltar à posição de equilíbrio. Logo a força 
restauradora será: 
 
 
Note que esta força não é proporcional ao deslocamento angular , e sim a 
sen; o movimento resultante, portanto, não será harmônico simples. No 
entanto, se o ângulo  for muito pequeno (até  15o) sen será 
aproximadamente igual a  (medido em radianos), por exemplo: 
 = 0o = 0,0000 radiano, logo sen = 0,0000 
 = 2o = 0,0349 radiano, logo sen = 0,0349 
 = 5o = 0,0873 radiano, logo sen = 0,0873 
 = 10o = 0,1745 radiano, logo sen = 0,1736 
 = 15o = 0,2618 radiano, logo sen = 0,2588 
O deslocamento ao longo do arco é x = L., e para pequenos ângulos, 
o movimento será praticamente retilíneo. Portanto, supondo 
sen   = x/L, podemos escrever da equação (4) que: 
 
 
 
 
ou 
 
 
 
 
 
 
 Página 47 
 
ou seja, a aceleração é proporcional ao deslocamento. Comparando a 
equação (6) com a equação (3) podemos escrever: 
(
 
 
)
 
 
 
 
 √
 
 
 
 
Logo, observa-se que o período do pêndulo simples independe de sua 
massa e a aceleração da gravidade pode ser obtida da seguinte relação: 
 
 
 
 
 
 
 
 
4. PARTE EXPERIMENTAL 
 
 
4.1. MATERIAIS UTILIZADOS 
 
Para a realização deste experimento, serão utilizados os seguintes 
materiais: 
1. Uma esfera de plástico ou metálica; 
2. Uma haste com um barbante de comprimento a ser determinado, ligando 
a haste até a esfera; 
3. Um transferidor, para realizar a medida do ângulo durante o tempo de 
oscilação do pêndulo; 
4. Uma trena para medida do comprimento do barbante; 
5. Um cronômetro, para medidas do tempo de oscilação do pêndulo. 
 
 
 
4.2. PROCEDIMENTO EXPERIMENTAL 
 
 Medições 
1. Ajuste o comprimento L1 do pêndulo para 40 cm (Lembre-se de que o 
comprimento do pêndulo deve ser medido desde o início do fio até o centro 
da bolinha. Posicione o pêndulo para um ângulo  (valor menor que 15º) e 
solte-o. Meça o tempo, t, que o pêndulo leva para oscilar 10 vezes e anote-o 
na Tabela 1. Faça isso três vezes. 
 
 Página 48 
 
2. Repita o procedimento para L2 = 60 cm e L3 = 80 cm. Faça três vezes 
cada medida e anote na Tabela 1. 
 
 
Tabela 1 - Medidas do período T com variação do comprimento L. 
Comprimento 
do pêndulo 
L (m) 
Número 
da 
medida 
Número 
de 
oscilações 
 
Tempo 
t (s) 
 
 ̅ (s) 
 
 ̅ (s) (s) 
 
 ̅2 (s2) 
80 1 
40 2 10 
 3 
 1 
60 2 10 
 3 
 1 
80 2 10 
 3 
 
 Cálculos e gráficos 
Parte 1: 
 
1. Calcule a média,̅ , e para cada comprimento do pêndulo. 
 
2. Termine de completar a Tabela 1 calculando os valores de ̅ = ̅/10, do 
desvio padrão da média do período, , e de ̅
2
. 
 
3. Utilizando a equação (8), calcule a aceleração da gravidade local média, 
 ̅, em metros por segundo ao quadrado (m/s2) para cada comprimento do 
pêndulo. Determine o desvio padrão propagado do g experimental. 
Expresse o resultado final como g = ( ̅ ) m/s
2
. O comprimento do 
pêndulo influencia no valor da aceleração da gravidade? 
 
4. Compare a medida da aceleração gravitacional obtida experimentalmente 
em sala de aula (aceleração determinada pela equação do período 
utilizando os dados experimentais) com o valor existente na literatura 
científica e determine o “desvio percentual”. 
 
5. Discuta os desvios encontrados entre os valores de g (valor obtido em 
sala de aula com o da literatura). 
 
 
 Página 49 
 
Parte 2: 
 
1. Construa um gráfico de T
2
 em função de L e determine o valor de g, 
através do coeficiente angular do mesmo. 
 
Observação: Como foi visto anteriormente, da equação (8) tem-se: 
 
 
 
 
 
 
que se pode identificar com uma equação da reta (y = a.x + b), onde 
 
y = T
2
 (ordenadas - eixo vertical) 
b = 0 (coeficiente linear da reta) 
a = 42/g (coeficiente angular da reta) 
x = L (elongação - abscissas, eixo horizontal) 
 
Assim, obtendo o coeficiente angular da reta, graficamente, como 
 
 
 
 
 
e sabendo-se que 
 
 
 
 
 
 
então, encontrado o valor de a pode-se encontrar g. 
 
 Questões 
 
1. O que aconteceria com o período de um pêndulo simples se o mesmo 
fosse levado à Lua e lá colocado a oscilar? 
 
2. Por que ao cronometrar-se o período tomou-se o tempo de 10 oscilações? 
 
 
 Responda as questões destacadas em vermelho ao 
longo do roteiro experimental no tópico “conclusão” 
do relatório. 
 
 Página 50 
 
Tópico 9. Aula Prática: 
Sistema Massa-Mola (Papel Milimetrado) 
 
 
 
1. INTRODUÇÃO 
 
 No experimento anterior foi verificado teoricamente e 
experimentalmente que o período de oscilação de um pêndulo simples é 
determinado pelo seu comprimento. Aqui será verificado que em um 
sistema massa-mola, o período de oscilação depende da massa do corpo 
suspenso. 
 
 
2. OBJETIVOS DA EXPERIÊNCIA 
 
 Os objetivos deste experimento são: 
i) verificar se um corpo elástico (mola) obedece à Lei de Hooke; 
ii) calcular a constante elástica da mola, k, através de um 
experimento simples com um sistema massa-mola e com o 
auxílio de um papel milimetrado (ou gráfico linear construído 
usando o programa Excel). 
 
 
3. TEORIA 
 
O oscilador massa-mola é constituído por um corpo de massa m 
ligado a uma mola de constante elástica k, presa a uma parede 
(verticalmente ou horizontalmente). Cada mola tem a sua constante 
elástica, que depende do material de que é feita e da sua geometria. O 
corpo executa o MHS sobre uma superfície horizontal sem atrito. Veja a 
Figura 1. Quando a mola é comprimida (ou esticada) e liberada, o corpo 
passa a executar um movimento unidimensional de vai-e-vem. O 
movimento é regido pela Lei de Hooke, que relaciona a força restauradora 
com o deslocamento da massa: 
 
 
 
onde F é a força elástica em Newtons, x é o deslocamento em metros e k é 
a constante elástica da mola. 
 
 Página 51 
 
 
 
Figura 1 - A esfera suspensa à mola efetua um MHS (desprezando-se a 
ação do ar). São mostradas as 3 fases do movimento: em (a), (c) e (e) as 
máximas elongações, e em (b) e (d) o ponto de equilíbrio. 
 
Na aula anterior vimos que a aceleração no MHS é dada por: 
 
 (
 
 
)
 
 
 
Pelo princípio fundamental da dinâmica, a força elástica deve 
ser igual a: 
 
 
 
Assim: 
 Página 52 
 
 (
 
 
)
 
 
 
 
Eliminando x em ambos os lados e isolando T, 
 
 √
 
 
 
 
Portanto, em um sistema massa-mola, o período depende da massa 
presa à mola e da constante elástica da mola k. 
 
 
4. PARTE EXPERIMENTAL 
 
4.1. MATERIAIS UTILIZADOS 
 
Para a realização deste experimento, serão utilizados os seguintes 
materiais: 
1. Mola de metal com constante elástica desconhecida; 
2. Haste para fixação da mola; 
3. Suporte para massas; 
4. Pesos graduados, em gramas; 
5. Cronômetro; 
6. Régua milimetrada. 
 
 
4.2. PROCEDIMENTO EXPERIMENTAL 
 
Neste experimento trabalharemos com um sistema massa-mola na 
vertical, conforme ilustrado na Figura 2. Esta figura mostra três momentos 
durante o movimento oscilatório. Em todos esses momentos há sempre 2 
forças atuando sobre a massa: a força peso (P = m.g) e a força restauradora 
F. Vamos analisar brevemente o que acontece na fase (b): se o sistema não 
estivesse oscilando, seria essa a sua posição de repouso. Em oscilação, esse 
é o ponto médio em torno do qual o movimento acontece. Nesta posição, há 
um equilíbrio entre F e P, que significa que a força resultante tem que ser 
zero: FR = P + F = 0. Em (a) teremos F > P, ou seja, a força elástica ganha 
da força peso: a força resultante FR aponta para cima. Em (c) a situação é 
oposta: P > F, a força peso ganha da força elástica, e a resultante aponta 
para baixo. 
 
 Página 53 
 
 
 
Figura 2. Esquema do experimento massa-mola. A Figura mostra 3 fases do 
movimento: em (a) e (c) são mostradas as máximas elongações, e em (b) o 
ponto de equilíbrio. 
 
Parte 1 (Sistema Estático): 
 
1. Pendure uma mola flexível (que se alongue facilmente) num suporte 
vertical. Pendure nessa mola o suporte para massas (esta montagem é 
também conhecida como balança de Joly). Meça e anote o comprimento da 
mola L0 (cm). 
 
2. Escolha cinco cargas de pesos diferentes conforme sugerido na Tabela 1. 
Coloque as cargas uma seguida da outra. Para cada carga colocada, meça o 
comprimento da mola L e o correspondente alongamento x em cm. Com 
esses valores preencha a Tabela 1. 
 
3. Coloque esses valores num plano coordenado e construa o gráfico de F 
em função de x. Verifique se a mola obedece à Lei de Hooke (se a função F 
= k.x é de fato linear). Se sim, determine a constante elástica da mola. 
 
 
 Página 54 
 
 
Tabela 1. Valores da massa (g) e respectivo alongamento da mola: x = L – 
L0 (cm). 
Massa (g) Alongamento da mola: 
x = L – L0 (cm) 
Peso da massa total 
colocada: F (dyna) 
10 
20 
30 
40 
50 
 
1 dyna = 1 g.cm/s
2
 
 
Parte 2 (Sistema em Movimento): 
 
1. Coloque inicialmente uma ficha de 10 gramas no suporte para massas 
preso à mola. Anote a massa na primeira coluna da Tabela 2. Coloque a 
mola para oscilar e meça com um cronômetro o tempo para que se 
completem 10 oscilações. Faça o mesmo procedimento mais duas vezes, 
anotando os valores obtidos na coluna 4. Em resumo: você deverá medir o 
tempo de oscilação do sistema massa-mola em 3 séries de 10 oscilações. 
 
Tabela 2. Dados para a 2ª parte do experimento. 
Massa 
(g) 
Número 
da 
medida 
Número 
de 
oscilações 
 
Tempo 
t (s) 
 
 ̅ (s) (s) 
 
 ̅ (s) (s) 
 
 ̅2 (s2) 
80 1 
10 2 10 
 3 
 1 
20 2 10 
 3 
 1 
30 2 10 
 3