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Fundamentos de Sistemas de Controle Desenvolvida por Roberto Francisco Coelho 1. 11..11.. BBRREEVVEE RREEVVIISSÃÃOO HHIISSTTÓÓRRIICCAA A engenharia de controle baseia-se no princípio da realimentação (ou retroação), em que o sinal da saída do sistema é utilizado para modificar sua entrada, de forma que a operação ocorra da forma desejada. As primeiras aplicações do controle com retroação apareceram na Grécia, por volta de 300 a.C, em sistemas de regulação de bóias, mas somente com a revolução industrial, os sistemas de controle com realimentação tomaram caráter científico. Antes da Segunda Guerra Mundial, duas distintas vertentes distinguiram-se: a primeira, nos Estados Unidos e Leste da Europa (estudos no domínio da freqüência) e a segunda, na Rússia e Oeste da Europa (com análises no domínio do tempo, empregando equações diferenciais). A teoria e a prática de controle continuaram impulsionadas durante a Segunda Guerra Mundial, com o desenvolvimento de piloto automático para aviões, sistemas de posicionamento de canhões, antenas para radares, entre outros. Atualmente, a teoria de controle é bastante extensa, contudo, os vários aspectos relacionados foram bem compreendidos, técnicas no domínio da freqüência, para sistemas multivariáveis foram desenvolvidas e a relação entre as abordagens no domínio do tempo e freqüência foram estabelecidas. 11..22.. UUMM EEXXEEMMPPLLOO SSIIMMPPLLEESS Um processo industrial simples permite ilustrar o problema básico da engenharia de controle. O exemplo consiste em controlar a velocidade de um motor de corrente contínua em uma linha produção industrial. A idéia é manter a velocidade do motor constante, independentemente da carga aplicada ao seu eixo. Esta velocidade, que pode ser escolhida por um operador, é dita velocidade de referência. Ressalta-se novamente: a carga pode variar, mas o sistema de controle deve atuar para que a velocidade do motor se mantenha o mais próximo possível do valor de referência. Na Figura 1-1 é possível verificar o diagrama que representa este sistema. A velocidade de referência ref (ajustada pelo operador) é aplica a um controlador que irá gerar um sinal de tensão aV . Esta tensão, ao ser aplicada na máquina, faz seu eixo girar com velocidade . Figura 1-1: Processo com carga nominal: ref . Supondo-se agora que, por um motivo qualquer, a carga sob o eixo do motor aumente e a velocidade de referência ref não seja alterada para compensar tal variação, Módulo 1: Introdução aos Sistemas de Controle FUNDAMENTOS DE CONTROLE RFC 2 intuitivamente, nota-se que a rotação do eixo do motor irá diminuir, ficando abaixo do valor de referência ( ref ). Por outro lado, caso a carga sob o eixo diminua, a velocidade de giro do eixo irá elevar-se ( ref ). Percebe-se, mediante o exposto que, em ambos os casos, o sistema não responde corretamente, já que ref . As variações de carga sob o eixo do motor, não previstas para o ajuste de ref , são chamadas de perturbações de carga e serão estudadas mais aprofundadamente no decorrer do curso. A Figura 1-2 apresenta o sistema na presença de perturbação. Figura 1-2: Processo sob a atuação de perturbações: ref . Nos dois exemplos apresentados (com e sem perturbação) o Sistema de Controle é dito em Malha Aberta (SCMA), já que a saída do sistema não influencia sua entrada. Uma vez que a velocidade ref é ajustada, as variações de carga são sentidas diretamente na velocidade de giro , que passa a ter valor diferente daquele estimado quando as perturbações eram nulas. Observa-se que um sistema de controle deste tipo somente fornecerá a saída desejada (neste caso ref ) se não ocorrerem perturbações externas que alterem seu valor. Com base no exposto, pode-se enunciar: Uma solução para diminuir a influência das perturbações consiste em fechar a malha de controle, ou seja, utilizar a saída do sistema para modificar sua entrada. Sistemas deste tipo são chamados de sistemas realimentados ou Sistemas de Controle em Malha Fechada (SCMF). A Figura 1-3 retrata o processo a ser controlado após a malha estar fechada. Figura 1-3: Sistema de controle em malha fechada: (a) na ausência de perturbação; (b) na presença de perturbação. Um Sistema de Controle em Malha Aberta (SCMA) utiliza um controlador conectado em série com o processo a ser controlado, de modo que a entrada do processo deve ser ajustada para que sua saída se comporte conforme desejado. A característica importante refere-se ao fato de que a ação de controle independe da saída do processo. Para entender os princípios da realimentação, considera-se que o sistema está atuando em regime permanente, ou seja, não há perturbações e a velocidade angular do eixo do motor é exatamente o valor de referência, isto é: ref . Assim, o sinal de erro na saída do somador será nulo, isto é, referro 0 . Para erro nulo, o controlador atua de forma que a tensão aplicada ao motor seja aV , que equivale à velocidade na saída. Supõe-se, agora, que devido a uma perturbação positiva de carga (aumento da carga no eixo), a velocidade decaia, implicando em um sinal de erro positivo ( referro 0 ). Este sinal de erro ao entrar no controlador faz com que a tensão de armadura aumente, permitindo com que a velocidade do eixo retorne para o valor de referência. Mediante o exposto, enuncia-se: 11..33.. CCOOMMPPAARRAAÇÇÃÃOO EEMM SSCCMMAA EE SSCCMMFF A comparação quantitativa entre o sistema de controle de malha aberta e o sistema de controle de fechada será realizada considerando-se o mesmo exemplo anteriormente citado, ou seja, o controle de velocidade da máquina de corrente contínua. O primeiro passo consiste em determinar o modelo da referida máquina. Da teoria de máquinas, sabe-se a velocidade angular do eixo é diretamente proporcional a sua tensão de armadura e, desde que a perturbação seja nula, tem-se: ak V (1.1) Assim, pode-se representar: Figura 1-4: Modelo da máquina de corrente contínua. Para o exemplo a seguir, considerar-se-á que a aplicação de uma tensão de aV 1 V faz com que a máquina gire a 10 rpm , então: a 10 rpm k 10 V 1 V (1.2) Na representação adotada, a máquina é modelada como um ganho k , conforme mostra a Figura 1-4. Ressalta-se que essa representação é simplificada, já que a dinâmica da máquina foi desprezada. Além disso, foi verificado que as perturbações de carga se dão pelo acréscimo ou decréscimo de carga no eixo da máquina. Supondo-se que um aumento de carga de Um Sistema de Controle em Malha Fechada (SCMF) realiza o controle de uma determinada grandeza utilizando a realimentação, ou seja, a saída do sistema é adicionada a sua entrada para gerar o sinal de erro que será usado como variável de controle. FUNDAMENTOS DE CONTROLE RFC 4 P 1 N m produza uma redução de velocidade de 2 rpm , então, o modelo da máquina incluindo a perturbação de carga pode ser representado conforme a Figura 1-5. Figura 1-5: Processo a ser controlado. Uma vez conhecido o processo, pode-se controlá-lo em malha aberta ou em malha fechada. Para realizar o controle em malha aberta,basta introduzir o controlador, a partir de agora chamado de CK , em série com o processo, conforme mostra a Figura 1-6. Figura 1-6: Sistema em malha aberta. A partir do exposto, escreve-se a equação que relaciona a entrada e a saída do sistema, seguindo o fluxo de sinal, conforme C refω=10K ω -2P (1.3) A perturbação é assim chamada devido ao fato de normalmente não ser conhecida, sendo algum fator aleatório capaz de modificar o ponto de operação do sistema, uma vez que sua existência não estava prevista. Como por exemplo, citam-se, vento, presença de pássaros, etc. Portanto, a determinação do compensador CK é feita considerando a perturbação nula, isto é, P=0 N m , fato que permite reescrever (1.3) conforme (1.4). C refω=10K ω (1.4) Por fim, ao isola-se CK em (1.4) de modo a obter-se C ref ω K = 10ω (1.5) Fazendo-se ref , encontra-se: C 1 V K = 10 rpm (1.6) Então, a representação final do sistema em malha aberta é dada pela Figura 1-7. Figura 1-7: Sistema em malha aberta com definição do controlador. Perante o exposto, a equação geral que descreve o sistema em malha aberta é dada por: ref 1 10 2 P 10 ref 2 P (1.7) Inicialmente, considerando-se P 0 N m e que o operador da máquina ajustou a velocidade de referência em ref 1000 rpm , então a equação (1.7) conduz a: 1000 2 0 1000 rpm (1.8) Contudo, supondo que por um motivo qualquer uma perturbação de P 100 N m foi introduzida no sistema, então, a equação (1.7), conduz a: 1000 2 100 800 rpm (1.9) Percebe-se, deste modo, que a operação em malha aberta é sensível à perturbação, ou não rejeita perturbação. Para resolver este problema, o mesmo sistema será verificado em malha fechada, de acordo com diagrama apresentado na Figura 1-8. Figura 1-8: Sistema em malha fechada. Neste caso, a equação que descreve o sistema é expressa por: C ref10K ( ) 2 P (1.10) Isolando-se ω , encontra-se: FUNDAMENTOS DE CONTROLE RFC 6 C ref C C 10K 2P 1 10K 1 10K (1.11) Novamente, a escolha de CK é feita considerando-se a perturbação como sendo nula, o que permite reescrever (1.11) conforme (1.12). C ref C 10K 1 10K (1.12) Nota-se que neste caso a igualdade ref não pode ser alcançada, contudo, para valores elevados de CK , uma boa aproximação é obtida. Para exemplificar, considera-se CK 200 V/rpm . Se P 0 N m e ref 1000 rpm a equação (1.11) conduz ao seguinte resultado: ref 2000 2 2000 2 P 1000 0 999,5 rpm 2001 2001 2001 2001 (1.13) Verifica-se que o erro existente entre e ref é diferente de zero. Contudo, pode-se reduzir este erro (que já é muito pequeno) aumentando o ganho CK do controlador. Ressalta- se que, na a prática, CK não pode ser demasiadamente elevado, visto sua interferência na dinâmica do sistema, que será estudada em módulos posteriores. Analisando agora o caso onde há a perturbação, expressa por P 100 N m , tem-se: ref 2000 2 2000 2 P 1000 100 999,4 rpm 2001 2001 2001 2001 (1.14) Neste caso, verifica-se a grande vantagem de um sistema em malha fechada, uma vez que a ocorrência da perturbação praticamente não afetou a velocidade de giro do eixo da máquina, ou seja, em malha fechada o sistema torna-se pouco sensível às perturbações. Lembre-se que em malha aberta, na presença de perturbação, a velocidade da máquina passou para 800 rpm . Além das perturbações (causas externas), outros fatores que costumam alterar a grandeza de saída do sistema são as variações paramétricas (causas internas), que ocorrem por desgaste de componentes, variações de temperatura ou mesmo imprecisão de cálculo devido a parâmetros não modelados. Considerando, por exemplo, que o ganho que representa a máquina sofreu uma variação de 20% , então, se obtém: k 8 rpm/V . Em malha aberta, a velocidade da máquina para a mesma entrada de referência ref 1000 rpm e perturbação P 0 N m será: 1 1000 8 2 0 800 rpm 10 (1.15) Este simples cálculo mostra que, em malha aberta, além da sensibilidade à perturbação o sistema torna-se sensível às variações paramétricas, que são muito comuns em sistemas reais. Realizando o mesmo procedimento para o sistema em malha fechada, verifica-se que: ref( ) 200 8 2 P 1600 1000 2 0 999,37 rpm 1601 (1.16) Novamente, o sistema em malha fechada torna-se mais eficiente, já que sua sensibilidade às variações paramétricas é muito reduzida. Para que não fique a falsa impressão de que os sistemas em malha fechada são sempre vantajosos em relação aos em malha aberta, deve-se notar que, conforme será estudado adiante, os sistemas em malha fechada têm maior tendência à instabilidade: um sistema estável em malha aberta pode tornar-se instável em malha fechada. Com base em todos os conceitos expostos, pode-se generalizar um sistema em malha fechada, cujos principais componentes são tratados a seguir: 11..44.. CCOOMMPPOONNEENNTTEESS DDEE UUMM SSIISSTTEEMMAA DDEE CCOONNTTRROOLLEE Uma versão detalhada de um sistema de controle em malha fechada é apresentada na Figura 1-9. Figura 1-9: Diagrama de um sistema de controle em malha fechada. Os principais componentes do sistema são: Referência: Valor desejado da variável a ser controlada; Comparador: Dispositivo que constrói o sinal de erro entre o valor desejado e o obtido na saída do sistema; Controlador: Dispositivo que manipula o sinal de erro, gerando um sinal de controle que será aplicado ao processo, com o intuito de corrigir o valor da variável a ser controlada; Atuador: Dispositivo que recebe o sinal de controle e gera um sinal de potência suficiente para atuar sobre o sistema. Sistema: Dispositivo ou fenômeno que se deseja operar; Medidor (transdutor): Dispositivo que converte a saída do sistema em um sinal a ser comparado com a referência, a fim de gerar o sinal de erro. RFC 2. 22..11.. EEQQUUAAÇÇÕÕEESS DDIIFFEERREENNCCIIAAIISS As equações diferenciais que descrevem o desempenho dinâmico de um sistema físico são obtidas empregando as leis físicas do processo. Esta abordagem se aplica igualmente a sistema mecânicos, elétricos, fluidos e termodinâmicos, contudo, neste cursoo enfoque será dado às grandezas elétricas, por se tratar de um curso de Engenharia Elétrica. A Tabela 2-1 apresenta o resumo das equações diferenciais para os três componentes elétricos. Tabela 2-1: Resumo das equações diferenciais que descrevem alguns elementos físicos ideais. Elemento Físico Equação de descrição Energia (E) ou Potência (P) Símbolo Resistor R Rv R i 2R R R R v P v i R i R Indutor L L di v L dt 2 L 1 E L i 2 Capacitor C C dv i C dt 2 C 1 E C v 2 22..22.. SSIISSTTEEMMAASS DDEE PPRRIIMMEEIIRRAA OORRDDEEMM Para exemplificar a obtenção de equações diferenciais de primeira ordem, dois circuitos serão apresentados: RL e RC, respectivamente. O objetivo é escrever a equação da corrente no indutor, no primeiro caso, e da tensão aplicada ao capacitor, no segundo. Figura 2-1: Circuitos representados por equações diferenciais de primeira ordem: (a) circuito RL; (b) circuito RC. a) Circuito RL Módulo 2: Revisão de Sistemas Lineares São representados por uma equação diferencial de primeira ordem, portanto, podem conter apenas um elemento armazenador de energia, como por exemplo, circuitos RL e RC. FUNDAMENTOS DE CONTROLE RFC 9 Aplicando a segunda lei de Kirchhoff ao circuito, tem-se: R LE v v 0 (2.1) Usando as relações da Tabela 2-1, obtém-se: L R di E R i L 0 dt (2.2) Como o resistor e o indutor estão em série, então: R Li i , portanto, levando esta informação na equação (2.2), pode-se escrever: L L di E R i L 0 dt (2.3) Rearranjando a equação, tem-se: L L di R E i dt L L (2.4) b) Circuito RC Aplicando-se a lei das malhas no circuito da Figura 1-1(b), tem-se: R CE v v 0 (2.5) Como o intere-se é determinar a tensão aplicada ao capacitor, tem-se que expressar Rv também em termos de Cv . Sendo o circuito serial, sabe-se que: C R C dv i i C dt (2.6) Então, levando o resultado da equação (2.6) para a equação (2.5), é possível escrever: C C dv E R C v 0 dt (2.7) Rearranjando a equação, obtém-se: C C dv 1 E v dt R C R C (2.8) Conforme se pode verificar, as equações (2.4) e (2.8) são de primeira ordem, uma vez que são descritas por equações diferencias homogêneas de primeira ordem. A solução destas FUNDAMENTOS DE CONTROLE RFC 10 será revisada posteriormente, após a introdução da Transformada de Laplace. 22..33.. SSIISSTTEEMMAASS DDEE SSEEGGUUNNDDAA OORRDDEEMM Para exemplificar a obtenção de equações diferenciais de segunda ordem, será apresentado o circuito RLC série. O objetivo é escrever a equação que representa a tensão aplicada ao capacitor do circuito. Figura 2-2: Circuitos representados por equações diferenciais de segunda ordem - circuito RLC. Aplicando a segunda lei de Kirchhoff ao circuito da Figura 2-2, tem-se: R L CE v v v 0 (2.9) Como o propósito é obter a equação da tensão no capacitor, pode-se empregar a Tabela 2-1 para escrever: L R C di E R i L v 0 dt (2.10) Como o resistor, o indutor e o capacitor estão em série, então: R L Ci i i , portanto, levando esta informação na equação (2.2), pode-se escrever: C C C di E R i L v 0 dt (2.11) Ainda, da Tabela 2-1 é estabelecido que C C dv i C dt , logo: C C C dv dvd E R C L C v 0 dt dt dt (2.12) São representados por uma equação diferencial de segunda ordem, portanto, contêm dois elementos armazenadores de energia que não podem ser associados para obtenção de um equivalente, como por exemplo, circuito RLC série ou paralelo e RCRC. FUNDAMENTOS DE CONTROLE RFC 11 Expandindo a equação, determina-se: 2 C C C2 dv d v E R C L C v 0 dt dt (2.13) Rearranjando os termos tem-se: 2 C C C2 d v dvR 1 E v dt L dt L C L C (2.14) Os exemplos até o momento apresentados serviram para ilustrar a forma como as equações diferenciais que regem os sistemas físicos podem ser obtidas. Evidentemente, para obter a resposta das variáveis analisadas no tempo, é necessário resolver as equações diferenciais. Visando facilitar este procedimento, pode-se utilizar a transformada de Laplace, que transforma as equações diferenciais em equações algébricas, facilitando a solução. 22..44.. TTRRAANNSSFFOORRMMAADDAA DDEE LLAAPPLLAACCEE A transformada de Laplace unilateral de uma função f (t) expressa no domínio do tempo é dada por: st 0 F(s)= {f (t)} f (t) e dt L Para exemplificar, se determinará a transformada de Laplace do sinal atf (t) e , conforme segue: st at (s a)t (s a)t (s a) (s a) 0 0 0 0 1 1 1 F(s) e e dt e dt e e e s a s a s a 1 F(s) = s a A integral de transformação apresentada foi empregada para deduzir a transformada de Laplace de um conjunto de sinais que surgem freqüentemente em engenharia. A Tabela 2-2 apresenta os principais pares de transformada de Laplace. A transformada de Laplace é uma transformação integral de uma função f(t) do domínio do tempo para o domínio complexo F(s). FUNDAMENTOS DE CONTROLE RFC 12 Tabela 2-2: Principais pares de transformadas de Laplace. Par número x(t) X(s) 1 Função impulso, )(t 1 2 Função degrau, u(t)= 1 p/ t 0 u(t)= 0 p/ t 0 s 1 3 !n t n (for n = 1, 2, 3…) 1 1 ns 4 ate as 1 5 !n et atn 1)( 1 nas 6 )cos( t 22 s s 7 )sin( t 22 s 10 ate sin( t) 2 2s a 11 ate cos( t) 2 2 s a s a 12 at 1 1 e a 1 s(s a) 13 at bt 1 e e b a 1 (s a)(s b) Alternativamente, a variável s de Laplace, é equivalente ao operador diferencial, tal que: d s dt (2.15) t 0 1 dt s (2.16) Da mesma forma que o sinal f (t) pode ser levado para o domínio s , um sinal F(s) pode ser levado para o domínio t através da aplicação da transformada inversa de Laplace, expressa por: FUNDAMENTOS DE CONTROLE RFC 13 c j st c j 1 f(t)= {F(s)} F(s) e ds j 2 -1L Em virtude de a transformada inversa de Laplace ser de difícil solução analítica, o que se faz, normalmente, é modificar o sinal F(s) até torná-lo similar a um dos termos pertencentes à Tabela 2-2, de onde seu equivalente f (t) pode ser diretamente lido. Evidentemente, nem sempre a função F(s) enquadra-se em um dos termos da Tabela 2-2, neste caso, deve-se empregar a expansão por frações parciais. Uma revisão sobre frações parciais será apresentada posteriormente. Uma vez conhecidos os principais pares de transformada de Laplace, pode-se voltar à solução das equações diferenciais que modelaram os circuitos apresentados nas seções anteriores. 22..55.. SSOOLLUUÇÇÃÃOO DDEE EEQQUUAAÇÇÕÕEESS DDIIFFEERREENNCCIIAAIISS Retomemos o resultado da equação (2.4), que descreve o comportamento da corrente no indutor de um circuito RL, reapresentada a seguir por conveniência: L L di R E i dt L L (2.17) Para resolver a equação diferencial através da Transformada de Laplace, devem-se levar em conta as condições iniciais do sistema. Considerando-se que o sistema estava em repouso e foi ligado em 0 st , então a entrada E deve ser representada por Eu(t) , sendo u(t) o degrau unitário. Assim, tem-se: L L di R Eu(t) i dt L L (2.18) Reforça-se que u(t) indica que a tensão E é aplicada ao sistema a partir de t 0s , com o sistema partindo do repouso (condições iniciais nulas). Utilizando a relação (2.15), pode-se escrever: L L R E sI (s) I (s) L sL (2.19) Colocando-se LI (s) em evidência, tem-se: L R E I (s) s L sL (2.20) Então: FUNDAMENTOS DE CONTROLE RFC 14 L E E 1LI (s) R RL s s s s L L (2.21) Recorrendo-se à Tabela 2-2, verifica-se que LI (s) tem a forma do par de transformada número 12, logo, Li (t) é expressa por: R t L L E L i (t) 1 e L R R t L L E i (t) 1 e R (2.22) É possível, ainda, encontrar a equação que descreve o sistema no domínio do tempo sem escrever as equações diferenciais, ou seja, é possível obter diretamente a equação no domínio s. 22..66.. SSOOLLUUÇÇÃÃOO DDIIRREETTAA EEMM NNOO DDOOMMÍÍNNIIOO SS Para resolver um circuito elétrico diretamente no domínio da freqüência, a transformação domínio t para o domínio s deve ser feita diretamente nos componentes do circuito a ser analisado. No domínio s, a representação do resistor, indutor e capacitor é dada pela Tabela 2-3. Tabela 2-3: Principais componentes expressos em s. Element o Físico Equação de descrição Símbolo Resistor R Rv R i Indutor L Lv (s) s L i (s) Capacito r C C 1 v (s) i (s) s C Utilizando-se a Tabela 2-3, o circuito RL da Figura 2-1 (a) pode ser reapresentado por: Figura 2-3: Circuitos de primeira ordem expressos no domínio s. FUNDAMENTOS DE CONTROLE RFC 15 Para solucionar o circuito em termos de LI (s) , inicialmente, calcula-se a impedância equivalente do circuito, ou seja: Z R s L (2.23) Assim, facilmente obtém-se: L E E E 1s LI (s) R Rs L R L s s s s L L (2.24) Verifica-se que a equação (2.24) é idêntica à equação (2.21), portanto aplicando-se a transformada inversa de Laplace, o mesmo resultado será alcançado. Ressalta-se o fato de que a mesma técnica pode ser empregada para sistemas de segunda ordem, ou ainda ordem superior. 22..77.. DDIIAAGGRRAAMMAASS DDEE BBLLOOCCOO O método dos diagramas de bloco para representar um sistema procura combinar a descrição puramente matemática do sistema através de equações, com a visualização proporcionada por um diagrama. Um bloco pode representar um único componente ou um grupo de componentes, mas cada bloco é completamente caracterizado por uma função de transferência. A função de transferência é normalmente empregada na análise de circuitos eletrônicos analógicos de única entrada e única saída. É empregada principalmente em processamento de sinais, teoria da comunicação e teoria de controle. O termo é freqüentemente utilizado para se referir exclusivamente a sistemas lineares invariantes no tempo. A maior parte dos sistemas reais possuem características de entrada/saída não-lineares, mas diversos sistemas, quando operados dentro de parâmetros nominais, têm um comportamento que é tão próximo de um comportamento linear que a teoria de sistemas lineares invariantes no tempo é uma representação aceitável do comportamento de sua entrada e saída. O fluxo de variáveis do sistema de um bloco para outro é representado por uma linha. Um diagrama de Blocos (DB) consiste de blocos operacionais interligados que mostram a direção de fluxo e as operações sobre as variáveis do sistema de tal modo que se estabelece uma relação entre entrada e saída quando se percorre um caminho sobre o diagrama. Função de transferência é a representação matemática da relação entre a saída e a entrada de um sistema, representada sob a forma de um bloco. FUNDAMENTOS DE CONTROLE RFC 16 Como funções de transferência caracterizam os blocos, apenas equações algébricas e operações de soma e multiplicação estão envolvidas nos blocos. A seguir são apresentados os diagramas de blocos dos componentes estudados: resistor, capacitor e indutor. a) Diagrama de Blocos de um Resistor Conforme outrora mencionado, as equações que relacionam tensão e corrente em um resistor são: R RV (s) = R I (s) (2.25) R R 1 I (s) = V (s) R (2.26) Os respectivosdiagramas de blocos são apresentados a seguir: Figura 2-4: Diagramas de blocos de um resistor. Perceba que na Figura 2-4(a) RV (s) é a entrada, RI (s) é a saída, e a relação R R I (s) 1 = V (s) R é a função de transferência, enquanto na Figura 2-4(b), RI (s) é a entrada, RV (s) é a saída, e a relação R R V (s) = R I (s) é a função de transferência. b) Diagrama de Blocos de um Indutor As equações que relacionam tensão e corrente em um indutor são: L LV (s) = s L I (s) (2.27) L L 1 I (s) = V (s) s L (2.28) Os respectivos diagramas de blocos são apresentados a seguir: Figura 2-5: Diagramas de blocos de um indutor. Na Figura 2-5(a), LV (s) é a intrada, LI (s) é a saída, e a relação L L I (s) 1 = V (s) sL é a função FUNDAMENTOS DE CONTROLE RFC 17 de transferência, enquanto na Figura 2-5(b), LI (s) é a entrada, LV (s) é a saída, e a relação L L V (s) = sL I (s) é a função de transferência. c) Diagrama de Blocos de um Capacitor As equações que relacionam tensão e corrente em um capacitor são: C C 1 V (s) = I (s) s C (2.29) C CI (s) = s C V (s) (2.30) Os respectivos diagramas de blocos são apresentados a seguir: Figura 2-6: Diagramas de blocos de um capacitor. Na Figura 2-6(a), CV (s) é a entrada, CI (s) é a saída, e a relação C C I (s) = sC V (s) é a função de transferência, enquanto na Figura 2-6(b), CI (s) é a entrada, CV (s) é a saída, e a relação C C V (s) 1 = I (s) sC é a função de transferência. Basicamente, em um sistema linear, ao sair de um bloco, um sinal pode ser somado a outros, se ramificar ou ser aplicado a outro bloco. 22..88.. OOPPEERRAAÇÇÕÕEESS CCOOMM DDIIAAGGRRAAMMAASS DDEE BBLLOOCCOO a) Somadores ou Pontos de Soma Os somadores produzem como saída a soma algébrica dos sinais de entrada, como ilustrado a seguir: Figura 2-7: Exemplo de somador. b) Pontos de Ramificação Nos pontos de ramificação, o mesmo sinal se ramifica e é levado a pontos diferentes do diagrama, conforme ilustrado. FUNDAMENTOS DE CONTROLE RFC 18 Figura 2-8: Exemplo de ponto de ramificação. 22..99.. ÁÁLLGGEEBBRRAA DDEE DDIIAAGGRRAAMMAASS DDEE BBLLOOCCOOSS A transformação de diagramas de blocos permite a simplificação de diagramas complexos, podendo-se obter um diagrama que relaciona diretamente a variável de entrada e a de saída. Existem algumas regras que permitem a realização desta transformação, e que são apresentadas a seguir. a) Conexão de Blocos em Série ou Cascata Quando blocos estão em cascata, pode-se obter um bloco equivalente simplesmente multiplicando-se as funções de transferência dos blocos. A figura mostra o caso de dois blocos em cascata, mas o mesmo se aplica a um número qualquer de blocos. Figura 2-9: Associação de blocos em série. b) Movimentação de um Ponto de Soma para Frente de um Bloco No exemplo apresentado na figura abaixo, observa-se à esquerda, que os sinais 1U (s) e 2U (s) são multiplicados pela função de transferência G(s) . Para que após a movimentação a situação seja a mesma, é necessário multiplicar 2U (s) por G(s) , ou seja, deve-se acrescentar um bloco G(s) na entrada 2U (s) . Figura 2-10: Deslocamento de um ponto de soma. c) Movimentação de um Ponto de Soma para Trás de um Bloco Neste caso o sinal 2U (s) não multiplica G(s) , então, após a mudança do ponto de soma, ele ainda não deve multiplicar aquela função. Deve-se então adicionar um bloco 1 G(s) , na entrada 2U (s) , para não alterar o valor de Y(s) . FUNDAMENTOS DE CONTROLE RFC 19 Figura 2-11: Deslocamento de ponto de soma. d) Movimentação de uma Ramificação para Trás de um Bloco Para manter o valor Y(s) inalterado antes e depois da mudança do ponto de ramificação, U(s) deve-se ser multiplicado por um bloco com valor 1 G(s) . Figura 2-12: Deslocamento de um ponto de ramificação. e) Movimentação de uma Ramificação para Frente de um Bloco Para manter o valor Y(s) inalterado antes e depois da mudança do ponto de ramificação, U(s) deve-se ser multiplicado por um bloco com valor G(s) . Figura 2-13: Deslocamento de um ponto de ramificação. Observa-se que todas as regras anteriores podem ser obtidas pela simples observação do fato de que as variáveis não podem ter seus valores alterados, não havendo necessidade de decorá-las. 22..1100.. EELLIIMMIINNAAÇÇÃÃOO DDAA MMAALLHHAA FFEECCHHAADDAA O caso de eliminação de malha fechada pode ser obtido facilmente a partir da manipulação das equações algébricas que representam o diagrama de blocos. Para entender o procedimento, considera-se o sistema de controle em malha fechada a seguir: Figura 2-14: Eliminação da malha fechada. FUNDAMENTOS DE CONTROLE RFC 20 A análise do diagrama de blocos antes da redução permite escrever: ( )U s a (2.31) ( ) ( )Y s G s (2.32) ( ) ( )a Y s H s (2.33) Agora, substituindo-se (2.33) em (2.31) e levando o resultado em (2.32), obtém-se: ( ) ( ) ( ) 1 ( ) ( ) Y s G s U s H s G s (2.34) A equação (2.34) equivale à representação do diagrama de blocos apresentado na Figura 2-14, após a eliminação da malha fechada, validando o modelo simplificado apresentado. É importante ressaltar que a relação Y(s) U(s) é chamada de função de transferência de malha de malha fechada. Para verificar a importância da utilização de diagramas de blocos, considerar-se-á o mesmo exemplo que vem sendo utilizado até o momento, o equacionamento do circuito RL, reapresentado na Figura 2-15. Figura 2-15: Circuito RL. A seguir são apresentadas todas as etapas, uma a uma, para construção do diagrama de bloco do circuito apresentado. Figura 2-16: Representação do circuito por diagrama de blocos. FUNDAMENTOS DE CONTROLE RFC 21 Verifica-se total similaridade entre o diagrama de blocos da Figura 2-16 e o apresentado na Figura 2-14: Eliminação da malha fechada. Portanto, são consideradas as seguintes igualdades: E U(s) = s , R= V (s) , 1 G(s) = R , LY(s) = I (s) , H(s) = s L e La=V (s) Substituindo, por fim, todas estas igualdades em (2.34), pode-se escrever: L E 1 i (s) RL s s L (2.35) O resultado de (2.35) é o mesmo encontrado comos outros métodos de solução, logo, a álgebra de blocos conduzirá, também, à mesma resposta no domínio do tempo. 22..1111.. EEXXEERRCCÍÍCCIIOOSS 1) Obtenha as funções de transferência ( ) ( ) Y s D s e ( ) ( ) Y s R s do sistema apresentado abaixo: Obs.: Não esqueça que devido ao sistema ser linear e invariante no tempo, o método da superposição pode ser aplicado, assim, encontra-se ( ) ( ) Y s D s com ( ) 0R s e ( ) ( ) Y s R s com ( ) 0D s . Para o circuito RC apresentado a seguir, encontre: a) A equação diferencial que descreve a tensão no capacitor; b) A representação da tensão do capacitor no domínio da freqüência empregando a transformada de Laplace na equação diferencial encontrada; c) A representação da tensão do capacitor no domínio da freqüência sem escrever a equação diferencial (aplique a transformada diretamente nos elementos do FUNDAMENTOS DE CONTROLE RFC 22 circuito); d) Desenhe o diagrama de blocos equivalente ao circuito e o simplifique até encontrar um único bloco equivalente. e) A reposta temporal da tensão no capacitor (empregue a transformada de Laplace Inversa). RFC 3. 33..11.. TTEEOORREEMMAA DDOO VVAALLOORR FFIINNAALL EE IINNIICCIIAALL Antes de começar a analisar as respostas dos sistemas de controle propriamente ditas, serão estudados os teoremas do valor inicial e final, que permitem concluir a respeito de uma função no domínio do tempo analisando-a no domínio da freqüência. a) Teorema do Valor Final O teorema do valor final relaciona o comportamento em regime permanente de g(t) ao comportamento de sG(s) nas proximidades de s 0 . Entretanto, esse teorema é aplicável se e semente se existir t limg(t) , ou seja, se a função g(t) tender para um valor constante com o passar do tempo. Ressalva-se que se todos os pólos de sG(s) estiverem no semi-plano esquerdo do plano complexo, t limg(t) existirá, porém, caso exista um ou mais pólos sobre o eixo imaginário ou no semi-plano direito, a resposta temporal será oscilante ou crescente (instável) e, neste caso, o teorema do valor final não se aplica. Uma vez que todos os pólos se encontrem no semi-plano complexo esquerdo, o teorema do valor final diz que: s 0 g(t ) limsG(s) (3.1) Para exemplificar considere a função de transferência dada por: 1 G(s) s(s 1) (3.2) Como o pólo de sG(s) está localizado em s 1 , o t limg(t) existe e, assim: s 0 g(t ) limsG(s) s 0 1 g(t ) lim s s(s 1) g(t ) 1 (3.3) O resultado da equação (3.3) pode ser facilmente verificado, já que a transformada inversa de Laplace da função de transferência G(s) é dada por (3.4), cujo valor final tende para a unidade. tg(t) 1 e , para t 0 (3.4) b) Teorema do Valor Inicial O teorema do valor inicial permite determinar o valor de g(t) em t 0 , diretamente através da transformada de Laplace do sinal g(t) . Este teorema não fornece o valor da função em t 0 , mas em um instante mínimo maior que zero. Ainda, no caso do valor inicial, não há restrições quanto aos pólos de sG(s) , sendo válido para qualquer função em s . O teorema do Módulo 3: Revisão de Sistemas Lineares FUNDAMENTOS DE CONTROLE RFC 24 valor inicial enuncia que: s g(0 ) limsG(s) (3.5) 33..22.. AA IINNFFLLUUÊÊNNCCIIAA DDAA LLOOCCAALLIIZZAAÇÇÃÃOO DDOOSS PPÓÓLLOOSS Qualquer sistema pode ser modelado por uma equação diferencial ou por uma função que relaciona sua saída e entrada, chamada de função de transferência. Quando representado por uma função de transferência, um sistema é caracterizado sob a forma polinomial, tal que: R(s) B(s) G(s) K Y(s) A(s) (3.6) Em que G(s) representa a função de transferência, R(s) a entrada e Y(s) a saída do sistema, B(s) é o polinômio do numerador, A(s) é o polinômio do denominador e K é o ganho da função de transferência G(s) . Assumindo que os polinômios B(s) e A(s) não têm termos em comum (a simplificação polinomial prévia é necessária), então os valores de s para A(s) 0 são chamados de pólos da função de transferência G(s) . Por outro lado, os valores de s para B(s) 0 são chamados de zeros da função de transferência G(s) . Exceto pelo ganho K , os pólos e zeros de uma função de transferência a caracterizam completamente. Para exemplificar, considera-se a função de transferência de primeira ordem, dada por: 1 G(s) s (3.7) Analisando a função de transferência G(s) , verifica-se que a mesma não apresenta nenhum zero e apenas um pólo, localizado em s = - . Recorrendo-se à tabela que apresenta os pares de transformada de Laplace, nota-se que a função G(s) pode ser expressa no domínio do tempo por g(t) , tal que: tg(t) e , para t>0 (3.8) Quando 0 , o pólo fica localizado em s 0 (no domínio da freqüência), e o termo exponencial é decrescente (domínio do tempo), convergindo para um valor limitado. Neste caso, a resposta é assumida como sendo estável. Por outro lado, se 0 , o pólo fica localizado em s 0 (no domínio da freqüência), e o termo exponencial é crescente (domínio do tempo), não convergindo para um valor limitado. Neste caso, a resposta é assumida como sendo instável (tende ao infinito). As respostas do sistema no domínio do tempo para ambos os casos são apresentadas na Figura 3-1. FUNDAMENTOS DE CONTROLE RFC 25 Figura 3-1: Respostas de um sistema: (a) estável; (b) instável. No primeiro caso, quando 0 , a resposta tende assintoticamente para um valor limitado. A constante de tempo 1 é calculada como o tempo para que a resposta chegue a aproximadamente 37% de seu valor final. Graficamente, pode ser determinado pela linha tangente à curva em t 0 . No segundo caso, quando 0 , a resposta cresce exponencialmente, tendendo ao infinito com o passar do tempo. É importante perceber que o sinal do pólo da função de transferência determinará a estabilidade ou instabilidade do sistema. Para analisar um sistema através dos pólos e zeros da função de transferência, é comum utilizar-se um diagrama de pólos e zeros. Para entender esta ferramenta, considere a função de transferência apresentada a seguir: 2 2s 1 G(s) s 3s 2 (3.9) Para seguir a forma B(s) G(s) K A(s) , a função de transferência deve ser escritapor: 2 1 s 2G(s) 2 s 3s 2 (3.10) Assim, o zero da função é determinado por: Z 1 s 0 2 z 1 s 2 (3.11) E os pólos por: 2 p ps 3s 2 0 P1 p2 s 1 s 2 (3.12) Além disso, obviamente, o ganho K fica evidenciado, ou seja: K 2 . O diagrama de pólos e zeros é desenhado considerando a forma mais abrangente de s , FUNDAMENTOS DE CONTROLE RFC 26 ou seja, considera-se que s j , em que Re{s} (parte real de s ) e j Im{s} (parte imaginária de s). A Figura 3-2 ilustra o referido diagrama para o exemplo estudado. Figura 3-2: Diagrama de pólos e zeros para a função de transferência estudada. Note que como ambos os pólos da função de transferência apresentam-se no semi- plano esquerdo do plano complexo, a reposta do sistema será estável. Isso fica evidente também na resposta no domínio do tempo da equação (3.13), obtida pela aplicação a transformada inversa de Laplace à função de transferência da equação (3.9): t 2tg(t) e 3 e , para t 0 (3.13) Ressalta-se que o resultado apresentado em (3.13) não pode ser obtido diretamente da tabela de transformadas, já que a forma da função de transferência não se enquadra em nenhum dos pares. Neste caso, é necessário empregar a expansão por frações parciais, cuja teoria é apresentada brevemente a seguir. 33..33.. EEXXPPAANNSSÃÃOO PPOORR FFRRAAÇÇÕÕEESS PPAARRCCIIAAIISS A expansão por frações parciais permite exprimir um polinômio de ordem elevada pela soma de vários polinômios de primeira ordem, facilitando a obtenção da transformada inversa de Laplace pelo uso da tabela. Existem distintas técnicas de se expandir um polinômio, contudo, sempre se deve atentar para os pólos da função de transferência, pois eles irão ditar a forma como a expansão deve ser feita. Três casos diferenciam-se: Pólos distintos; Pólos repetidos; Pólos complexos e conjugados. Será apresentado, agora, um exemplo para cada caso: a) Expansão por Frações Parciais para Pólos Distintos Para este exemplo toma-se a função de transferência dada por: FUNDAMENTOS DE CONTROLE RFC 27 2 s 3 G(s) s 3s 2 (3.14) O primeiro passo consiste em determinar os pólos de G(s) , ou seja: 2 p ps 3s 2 0 p1 p2 s 1 s 2 (3.15) Assim, pode-se escrever G(s) conforme: s 3 G(s) (s 1)(s 2) (3.16) A idéia é escrever G(s) da forma: 1 2a aG(s) s 1 s 2 (3.17) Inicialmente, multiplica-se ambos os lados da expressão por s 1 , obtendo-se: 1 2 s 1 G(s) (s 1) a a s 2 (3.18) Portanto, se o termo 2 s 1 a s 2 for zerado, isto é, se s = -1 , é possível determinar 1a , assim: 1a (s 1) G(s) s 1 1a (s 1) s 3 (s 1) (s 2) s 1 1 s 3 a (s 2) s 1 1 1 3 a 1 2 1a 2 Analogamente, quando se multiplica ambos os lados de (3.17) por s 2 , encontra-se: 1 2 s 2 G(s) (s 2) a a s 1 (3.19) Neste caso, encontra-se 2a zerando o termo 1 s 2 a s 1 , ou seja, fazendo-se s = -2 , logo: 2a (s 2) G(s) s 2 2a (s 2) s 3 (s 1) (s 2) s 1 2 s 3 a (s 1) s 2 FUNDAMENTOS DE CONTROLE RFC 28 2 2 3 a 2 1 2a 1 Assim, de acordo com a equação (3.17), escreve-se: 2 1 G(s) s 1 s 2 (3.20) A representação da função de transferência no domínio do tempo é facilmente obtida pela tabela das transformadas de Laplace, sendo expressa por: t 2tg(t) 2 e e , para t 0 (3.21) Antes de realizar a expansão de uma função por frações parciais, sempre se deve verificar se o denominador da função tem grau maior que seu numerador. Caso isso não ocorra, deve-se dividir o numerador pelo denominador, obtendo-se uma parte inteira adicionada a um resto. Aplica-se então a expansão por frações parciais ao resto da função. Cuidado: expandir uma função cujo numerador tem maior grau que o denominador, implica resultados incorretos! b) Expansão por Frações Parciais para Pólos Repetidos A tentativa de expandir um polinômio com raízes múltiplas através da técnica apresentada anteriormente não funciona, já que a função torna-se indeterminada. Para analisar este caso, considera-se a função de transferência dada por: 2 2s 3 G(s) s 2s 1 (3.22) Neste caso, a expansão é feita considerando a igualdade apresentada através da equação (3.23). 1 2 2 a a2s 3 2s 3 G(s) (s 1)(s 1) (s 1)(s 1) s 1 s 1 (3.23) Inicialmente, multiplica-se ambos os lados de (3.23) por 2 s 1 , obtendo-se: 2 1 2G(s) s 1 a s 1 a (3.24) Anulando-se os termos 1a s 1 , ou seja, fazendo-se s 1 , é possível determinar 2a , de forma que: FUNDAMENTOS DE CONTROLE RFC 29 2 2a (s 1) G(s) s 1 2 2a (s 1) 2 2s 3 (s 1) s 1 2a 2 ( 1) 3 2a 1 Para obter o valor de 2a , outra equação linearmente independente deve ser encontrada. Para tanto, recorre-se à diferenciação. Derivando-se (3.24), tem-se: 2 1 d a G(s) s 1 ds s 1 2 1 (s 1)d a ds 2 2s 3 (s 1) s 1 1a 2 Então, pode-se escrever: 2 2 1 G(s) s 1 s 1 (3.25) A resposta no domínio do tempo da equação (3.25), obtida pela tabela das transformadas de Laplace, é expressa por: t tg(t) 2 e t e , para t 0(3.26) c) Expansão por Frações Parciais para Pólos Complexos e Conjugados Uma terceira possibilidade é a ocorrência de pólos complexos e conjugados. Neste caso, o procedimento é o mesmo realizado para pólos distintos, contudo, um exemplo também será apresentado. Considerando a função de transferência dada por: 2 2s 12 G(s) s 2s 5 (3.27) Expressando o polinômio característico (numerador) pelo produto de pólos, tem-se: 2s 12 G(s) s 1 j2 s 1 j2 (3.28) Logo, o objetivo é encontrar G(s) sob a forma: * 1 1a aG(s) s 1 j2 s 1 j2 (3.29) Em que * 1a equivale ao conjugado de 1a . FUNDAMENTOS DE CONTROLE RFC 30 Multiplicando-se ambos os lados da equação por s 1 j2 , tem-se: 1 1 s 1 j2 G(s) s 1 j2 a a s 1 j2 (3.30) Agora, zerando-se o termo * 1 s 1 j2 a s 1 j2 , ou seja, fazendo s 1 j2 , encontra-se 1a e * 1a , conforme segue: 1a G(s) s 1 j2 s 1 j2 1a 1 5 a 1 j2 * 1 5 a 1 j2 Portanto, retornando à equação (3.29), pode-se escrever: 5 1 5 1 G(s) 1 1 j2 s 1 j2 j2 s 1 j2 (3.31) Empregando a transformada inversa de Laplace, obtém-se: 1 j2 t 1 j2 t5 5 g(t) 1 e 1 e j2 j2 (3.32) Embora a equação (3.32) já descreva o comportamento da resposta no domínio do tempo, pode-se rearranjá-la para uma melhor visualização. Expandindo-se os termos entre parênteses, obtém-se: 1 j2 t 1 j2 t 1 j2 t 1 j2 t5 5 g(t) e e e e j2 j2 (3.33) Agrupando-se parte real e imaginária, determina-se: 1 j2 t 1 j2 t 1 j2 t 1 j2 t5 g(t) e e e e j2 (3.34) Ainda, pode-se abrir os termos exponenciais, e em seguida evidenciar o termo te : t j2t t j2t t j2t t j2t5g(t) e e e e e e e e j2 (3.35) j2t j2t j2t j2t t te e e eg(t) 2e 5 e 2 j2 (3.36) FUNDAMENTOS DE CONTROLE RFC 31 De acordo com as relações de Euler, é sabido que: jat jat jat jat e e cos(at) 2 e e sen(at) 2 j (3.37) Então, substituindo-se os termos entre colchetes em (3.36), pelas relações apresentadas em (3.37), finalmente, obtém-se: t tg(t) 2 e cos(2t) 5 e sen(2t) , para t 0 (3.38) Os exemplos de expansão por frações parciais apresentados cobrem todos os casos possíveis. Quando as funções têm pólos simples, múltiplos e complexos ao mesmo tempo, basta aplicar os três métodos simultaneamente e resultados adequados serão encontrados. RFC 44..11.. FFIIGGUURRAASS DDEE MMÉÉRRIITTOO DDEE SSIISSTTEEMMAASS DDEE CCOONNTTRROOLLEE a) Sistemas de Primeira Ordem – Análise Transitória Para um sistema de primeira ordem, além da estabilidade, garantida pela posição de todos os pólos da função de transferência no semi-plano complexo esquerdo, uma figura de mérito importante é o tempo de resposta ou tempo de acomodação, que define o período transitório da resposta, sempre que a mesma varia. Os valores usuais mais adotados em projeto são: 5%t Tempo de acomodação de 5% 2%t Tempo de acomodação de 2% 1%t Tempo de acomodação de 1% Considerando-se, para exemplificação, um sistema de primeira ordem, sem zero, expresso na forma padrão por: Y(s) K G(s) U(s) 1 s (4.1) Então, supondo-se que em t 0s seja aplicada a entrada y(t) E ao sistema, ou seja, E U(s) s , obtém-se: K E KE 1 Y(s) 11 s s s s (4.2) A transformada inversa de Laplace de Y(s) fornece o valor de y(t) , isto é: t y(t) KE 1 e , para t 0 (4.3) Quando t , y(t) KE (o mesmo resultado pode ser verificado pelo teorema do valor final), portanto, o tempo de acomodação de 5%, 2% e 1% são os tempos necessários para que y(t) chegue a 0,95 KE , 0,98 KE e 0,99 KE , respectivamente. Calculando esses Módulo 4: Caracterização de Sistemas O tempo de resposta ou tempo de acomodação a x% é o tempo para que a resposta do sistema entre e permaneça em uma faixa de x% em torno de seu valor final. FUNDAMENTOS DE CONTROLE RFC 33 valores encontram-se: 0,95 KE KE 5%t 1 e 5%t 3 (4.4) 0,98 KE KE 2%t 1 e 2%t 3,9 (4.5) 0,99 KE KE 1%t 1 e 1%t 4,6 (4.6) Evidentemente, como 1 s , a posição do pólo está diretamente ligada ao tempo de resposta do sistema. A Figura 4-1 ilustra o exposto. Figura 4-1: Resposta transitória de um sistema de primeira ordem. b) Sistemas de Segunda Ordem – Análise Transitória Ao contrário dos sistemas de primeira ordem, cuja constante de tempo (ou posição do pólo) determina completamente sua resposta transitória, um sistema de segunda ordem, por apresentar dois pólos, ou duas constantes de tempo, irá ter repostas distintas, dependendo da composição de tais constantes de tempo. Para exemplificar, considera-se a função de transferência de segunda ordem a seguir: 1 2 K G(s) 1 s 1 s (4.7) Os dois pólos, localizados em p1 1 1 s e p2 2 1 s mostram que o sistema é de segunda ordem e seus valores irão determinar a forma da resposta. Expandindo-se o denominador da função de transferência, tem-se: 2 1 2 1 2 K G(s) s s 1 (4.8) Multiplicando e dividindo a função de transferência por 1 2 , determina-se: FUNDAMENTOS DE CONTROLE RFC 34 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 G(s) K 1 s s (4.9) A partir da equação (4.9) pode-se expressar G(s) na forma padrão de sistemas de segunda ordem, dado por: 2 n 2 2 n n G(s) K s 2 s (4.10) O emprego da forma padrão torna-se muito útil, já que o comportamento dinâmico do sistema de segunda ordem passa a ser descrito literalmente por apenas dois parâmetros: n , que representa a freqüência natural de oscilação do sistema (a freqüência que existiria, caso não houvesse amortecimento) e , que representa o coeficiente de amortecimento, Note que quanto maior o valor mais amortecido será o sistema, portanto, menor será a oscilação. A partir do polinômio característico, é possível determinar os pólos da função de transferência, sendo que: 2 2 n n 2 2 n n 2 2 n n n s 2 s 0 (2 ) 4 2 (2 ) 4 s 2 2 n ns 1 (4.11) É interessante notar que o tipo de resposta vai depender exclusivamente do valor do termo 2 1 , de forma que quatro distintas respostas são possíveis: a) Resposta subamortecida Este tipo de resposta ocorre quando 0 1 , implicando na presença de dois pólos complexos e conjugados. Isso se dá porque nesta faixa, os valores de fazem com que o termo 2 1 seja menor que a unidade, implicando em uma raiz quadrada negativa no termo 2 1 da equação (4.11). De forma genérica, os pólos da função de transferência no caso subamortecido são dados por: p1 n d p2 n d s j s j (4.12) Em que d é a freqüência natural amortecida, cujo valor é função da freqüência FUNDAMENTOS DE CONTROLE RFC 35 natural não-amortecida n e do coeficiente de amortecimento , sendo expressa por: 2 d n 1 (4.13) b) Resposta Criticamente Amortecida A resposta criticamente amortecida ocorre quando 1 , neste caso, o termo 2 1 na equação (4.11) é nulo, de forma que os pólos da função de transferência são reais, iguais e negativos, conforme retratado a seguir: p1 p2 ns s (4.14) c) Resposta Não-Amortecida A resposta não-amortecida ocorre quando 0 , neste caso o termo 2 1 na equação (4.11) resulta em 1 j e o termo n , também na equação (4.11) torna-se nulo, de forma que os pólos passam a estar localizados em: p1 n p2 n s j s j (4.15) Torna-se fácil entender porque este tipo de resposta é dita não-amortecida, já que com coeficiente de amortecimento nulo, a resposta do sistema não decai, permanecendo oscilatória. Perceba também que, neste caso, os pólos da função de transferência localizam-se sobre o eixo imaginário, ou seja, têm parte real nula, o que torna este tipo de resposta marginalmente estável. d) Resposta Superamortecida A reposta superamortecida se dá quando 1 . Esta condição torna o termo 2 1 positivo, implicando em dois pólos reais, distintos e negativos, expressos por: 2 p1 n 2 p2 n s 1 s 1 (4.16) Os dois pólos reais, distintos e negativos, indicam que no domínio do tempo a resposta será composta por duas exponenciais decrescentes. Quando for, de modo considerável, maior que a unidade, uma das exponenciais decrescentes decai mais rápido que a outra, assim, o termo de decaimento mais rápido, (que corresponde à menor constante de tempo) pode ser desprezado, já que seu efeito na resposta desaparecerá muito rápido. O pólo, com a maior constante de tempo, dominará a resposta FUNDAMENTOS DE CONTROLE RFC 36 transitória e, por isso, é dito pólo dominante. Quando há um pólo dominante, a resposta de segunda ordem pode ser aproximada por uma resposta de primeira ordem, cuja constante de tempo é definida pelo pólo dominante. Os tipos de respostas estudadas são apresentados na Figura 4-2, para diferentes valores de com entrada em degrau unitário em t 0 . Figura 4-2: Respostas de um sistema de segunda ordem para diferentes amortecimentos. Analogamente aos sistemas de primeira ordem, as características de desempenho transitório de um sistema de segunda ordem são determinadas no domínio do tempo. Os sistemas com energia armazenada não podem responder instantaneamente, e vão fornecer respostas transitórios sempre que submetidos a variações na entrada ou distúrbios. Geralmente, as respostas transitórias são obtidas tendo como entrada o degrau unitário, já que se trata de um sinal suficientemente brusco e de fácil reprodução prática. As figuras de mérito de resposta transitória de segunda ordem, especificadas para o caso mais literal (subamortecido), são: x%t - tempo de acomodação; st – tempo de subida; pt - tempo de pico; pM - Máximo sobressinal. A Figura 4-3 representa uma típica resposta de segunda ordem. Figura 4-3: especificações transitórias em um sistema de segunda ordem. FUNDAMENTOS DE CONTROLE RFC 37 Para estimar cada uma das figuras de mérito citadas, a resposta temporal do sistema de segunda ordem deve ser conhecida. ta Resgatando-se a função de transferência de um sistema de segunda ordem, na equação (4.10), tem-se: 2 n 2 2 n n G(s) K s 2 s (4.17) No caso subamortecido, os pólos, de acordo com a equação (4.10), são expressos por: p1 n d p2 n d s j s j (4.18) Assim, expressando-se o numerador da função pelo produto de pólos, obtém-se: 2 n n d n d Y(s) G(s) K U(s) s j s j (4.19) Sendo Y(s) a saída do sistema e U(s) a entrada. Quando U(s) é um degrau, ou seja, E U(s) s , então, tem-se: 2 n n d n d Y(s) KE s s j s j (4.20) A resposta no tempo associada à equação (4.20) pode ser obtida por uma Tabela completa de Transformadas de Laplace, ou aplicando-se expansão por frações parciais, de modo a obter-se: n t d d 2 y(t) KE KE e cos t sen t 1 (4.21) a) Determinação do Tempo de Resposta ou de Acomodação O tempo de respostaou acomodação de um sistema de segunda ordem pode ser dado de forma aproximada pela envoltória do sinal, devido o coeficiente de atenuação. Desta forma, para fins do estudo do tempo de acomodação, estuda-se o termo apenas o termo: n nt ty(t) KE KE e KE 1 e (4.22) Aplicando-se o teorema do valor final em Y(s) , encontra-se y( ) , ou seja: s 0 y( ) limsY(s) KE (4.23) Obs.: não esqueça que 2 d n 1 ! FUNDAMENTOS DE CONTROLE RFC 38 Assim, torna-se evidente que: r5% r2% r1% t t y(t) 0,95KE t t y(t) 0,98KE t t y(t) 0,99KE (4.24) Então: 0,95 KE KE n r5%t1 e r5% n 3,0 t (4.25) 0,98 KE KE n r 2%t1 e r2% n 3,9 t (4.26) 0,99 KE KE n r1%t1 e r1% n 4,6 t (4.27) b) Tempo de Subida É definido como o tempo que a resposta leva para variar de 10% a 90% de seu valor final. Supondo-se um amortecimento médio, isto é 0,5 , este tempo fica aproximado por: s n 1,8 t (4.28) c) Tempo de Pico Refere-se ao tempo que a resposta de segunda ordem alcança seu valor máximo. É obtido derivando-se a função de y(t) em relação ao tempo, e igualando-se o resultado a zero. p d t (4.29) d) Máximo Sobressinal É a diferença entre o valor do primeiro pico e o valor final da resposta. É obtido fazendo p d π t = t = ω na equação (4.21), sendo expresso por: 2 ζ -π 1-ζ pM = e (4.30) Percentualmente, tem-se: FUNDAMENTOS DE CONTROLE RFC 39 2 ζ -π 1-ζ p % M =100 e (4.31) Isolando-se , encontra-se: 2 P% 2 2 P% M ln 100 M ln 100 (4.32) IMPORTANTE: As equações para a obtenção do tempo de subida, tempo de pico, máximo sobressinal e tempo de acomodação são válidas somente para o sistema padrão de segunda ordem, definido pela equação (4.17). Se o sistema de segunda ordem contiver um ou mais zeros, a curva de resposta ao degrau divergirá daquela apresentada na Figura 4-3, e as equações não serão mais válidas. 44..22.. RREELLAAÇÇÃÃOO EENNTTRREE AASS EESSPPEECCIIFFIICCAAÇÇÕÕEESS NNOO DDOOMMÍÍNNIIOO DDOO TTEEMMPPOO EE AA PPOOSSIIÇÇÃÃOO DDOOSS PPÓÓLLOOSS NNOO PPLLAANNOO CCOOMMPPLLEEXXOO Para entender como as especificações de projeto no domínio do tempo se relacionam com as posições dos pólos no plano complexo, deve-se analisar as raízes do polinômio característico, deduzidas na equação (4.18) e reapresentadas a seguir: p1 n d p2 n d s j s j (4.33) Verifica-se que as raízes, em sua forma genérica, são formadas por uma parte real, dada por n e por uma parte imaginária, localizadas em dj . Assim, pode-se representar as raízes graficamente, no plano complexo. Figura 4-4: Representação dos pólos de um sistema de segunda ordem. O ângulo pode ser facilmente determinado, conforme segue: n n cos( ) cos( ) arccos( ) (4.34) FUNDAMENTOS DE CONTROLE RFC 40 A equação (4.34) é a última relação necessária para se estabelecer a ligação entre as especificações no domínio do tempo com a posição dos pólos no domínio da freqüência. Para estabelecer estas ligações, considerar-se-á um exemplo numérico. Exemplo Numérico: Encontrar a região possível para os pólos no plano complexo, para um sistema cuja resposta ao degrau deve obedecer às seguintes especificações temporais: r1%t 3s (tempo de acomodação em 1% do regime), P(%)M 10% (máximo sobressinal) e st 0,6s (tempo de subida). A primeira restrição refere-se ao tempo de acomodação da resposta, portanto, partindo-se da equação (4.27), tem-se que r1% n 4,6 t e, dessa forma: n 4,6 3 n 1,53rad / s (4.35) O resultado de (4.35) apresenta apenas o valor absoluto de , contudo, sabe-se que para que a resposta seja estável, deve se situar no semi-plano complexo esquerdo. Assim, pode-se representar: Figura 4-5: Limitação do plano complexo em relação ao tempo de acomodação. A segunda restrição especifica o máximo sobressinal. Assim, tomando-se a equação (4.31), tem-se: 2 ζ -π 1-ζ p % M =100 e 2ζ-π 1-ζ100 e 10 2 ζ -π ln(0,1) 1-ζ 2 2 2 2 π ζ ln (0,1) 1-ζ 2 2 2 2 2π ζ ln (0,1) ln (0,1) ζ 2 2 2 ln (0,1) π ln (0,1) 0,59 (4.36) Uma vez conhecido o valor de é possível estabelecer o valor de empregando-se a relação apresentada na equação (4.34), isto é: cos( ) cos( ) 0,59 arcos(0,59) 53,86º (4.37) FUNDAMENTOS DE CONTROLE RFC 41 Sob a forma gráfica, tem-se: Figura 4-6: Limitação do plano complexo em relação ao coeficiente de amortecimento. A terceira restrição refere-se ao tempo de subida. Empregando-se a equação (4.28), obtém-se: s n 1,8 t n 1,8 0,6 n 3rad / s (4.38) Sob a forma gráfica, determina-se: Figura 4-7: Limitação do plano complexo em relação ao tempo de subida. É importante ressaltar que a equação (4.28) foi estimada para 0,5 . Portanto, deve- se ter em mente que um pequeno erro esta sendo cometido, e obviamente será tão maior quanto mais longe o valor de estiver de 0,5 . Ainda, é importante perceber que mesmo um erro estando associado, a visualização gráfica facilita o entendimento das relações entre as especificações no domínio do tempo e o plano complexo. Depois de estabelecidas as regiões permitidas em s devido a cada uma das especificações temporais, é possível compô-las para obter a região equivalente que atende às três especificações simultaneamente, conforme mostra a Figura 4-8. Figura 4-8: Região equivalente no plano complexo às restrições no domínio do tempo. FUNDAMENTOS DE CONTROLE RFC 42 44..33.. EEXXEERRCCÍÍCCIIOOSS
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