Apostila Controle

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Fundamentos de Sistemas de Controle 
Desenvolvida por Roberto Francisco Coelho 
 
 
 
 
 
1. 
11..11.. BBRREEVVEE RREEVVIISSÃÃOO HHIISSTTÓÓRRIICCAA 
A engenharia de controle baseia-se no princípio da realimentação (ou retroação), em 
que o sinal da saída do sistema é utilizado para modificar sua entrada, de forma que a 
operação ocorra da forma desejada. 
As primeiras aplicações do controle com retroação apareceram na Grécia, por volta de 
300 a.C, em sistemas de regulação de bóias, mas somente com a revolução industrial, os 
sistemas de controle com realimentação tomaram caráter científico. 
Antes da Segunda Guerra Mundial, duas distintas vertentes distinguiram-se: a 
primeira, nos Estados Unidos e Leste da Europa (estudos no domínio da freqüência) e a 
segunda, na Rússia e Oeste da Europa (com análises no domínio do tempo, empregando 
equações diferenciais). 
A teoria e a prática de controle continuaram impulsionadas durante a Segunda Guerra 
Mundial, com o desenvolvimento de piloto automático para aviões, sistemas de 
posicionamento de canhões, antenas para radares, entre outros. 
Atualmente, a teoria de controle é bastante extensa, contudo, os vários aspectos 
relacionados foram bem compreendidos, técnicas no domínio da freqüência, para sistemas 
multivariáveis foram desenvolvidas e a relação entre as abordagens no domínio do tempo e 
freqüência foram estabelecidas. 
11..22.. UUMM EEXXEEMMPPLLOO SSIIMMPPLLEESS 
Um processo industrial simples permite ilustrar o problema básico da engenharia de 
controle. O exemplo consiste em controlar a velocidade de um motor de corrente contínua em 
uma linha produção industrial. A idéia é manter a velocidade do motor constante, 
independentemente da carga aplicada ao seu eixo. Esta velocidade, que pode ser escolhida por 
um operador, é dita velocidade de referência. Ressalta-se novamente: a carga pode variar, mas 
o sistema de controle deve atuar para que a velocidade do motor se mantenha o mais próximo 
possível do valor de referência. 
Na Figura 1-1 é possível verificar o diagrama que representa este sistema. A 
velocidade de referência 
ref
(ajustada pelo operador) é aplica a um controlador que irá gerar 
um sinal de tensão 
aV
. Esta tensão, ao ser aplicada na máquina, faz seu eixo girar com 
velocidade 

. 
 
Figura 1-1: Processo com carga nominal: 
ref 
. 
Supondo-se agora que, por um motivo qualquer, a carga sob o eixo do motor aumente 
e a velocidade de referência 
ref
 não seja alterada para compensar tal variação, 
Módulo 1: Introdução aos Sistemas de Controle 
FUNDAMENTOS DE CONTROLE 
 
 
 
RFC 
 
2 
intuitivamente, nota-se que a rotação do eixo do motor irá diminuir, ficando abaixo do valor 
de referência (
ref 
). Por outro lado, caso a carga sob o eixo diminua, a velocidade de giro 
do eixo irá elevar-se (
ref 
). Percebe-se, mediante o exposto que, em ambos os casos, o 
sistema não responde corretamente, já que 
ref 
. As variações de carga sob o eixo do 
motor, não previstas para o ajuste de 
ref
, são chamadas de perturbações de carga e serão 
estudadas mais aprofundadamente no decorrer do curso. A Figura 1-2 apresenta o sistema na 
presença de perturbação. 
 
 
Figura 1-2: Processo sob a atuação de perturbações: 
ref 
. 
Nos dois exemplos apresentados (com e sem perturbação) o Sistema de Controle é 
dito em Malha Aberta (SCMA), já que a saída do sistema não influencia sua entrada. Uma 
vez que a velocidade 
ref
 é ajustada, as variações de carga são sentidas diretamente na 
velocidade de giro 

, que passa a ter valor diferente daquele estimado quando as 
perturbações eram nulas. Observa-se que um sistema de controle deste tipo somente fornecerá 
a saída desejada (neste caso 
ref 
) se não ocorrerem perturbações externas que alterem seu 
valor. Com base no exposto, pode-se enunciar: 
 
 
 
Uma solução para diminuir a influência das perturbações consiste em fechar a malha 
de controle, ou seja, utilizar a saída do sistema para modificar sua entrada. Sistemas deste tipo 
são chamados de sistemas realimentados ou Sistemas de Controle em Malha Fechada 
(SCMF). 
A Figura 1-3 retrata o processo a ser controlado após a malha estar fechada. 
 
 
Figura 1-3: Sistema de controle em malha fechada: (a) na ausência de perturbação; (b) na 
presença de perturbação. 
Um Sistema de Controle em Malha Aberta (SCMA) utiliza um controlador 
conectado em série com o processo a ser controlado, de modo que a entrada do 
processo deve ser ajustada para que sua saída se comporte conforme desejado. A 
característica importante refere-se ao fato de que a ação de controle independe da 
saída do processo. 
 
 
 
Para entender os princípios da realimentação, considera-se que o sistema está atuando 
em regime permanente, ou seja, não há perturbações e a velocidade angular do eixo do motor 
é exatamente o valor de referência, isto é: 
ref 
. Assim, o sinal de erro na saída do 
somador será nulo, isto é, 
referro 0 
. Para erro nulo, o controlador atua de forma que 
a tensão aplicada ao motor seja 
aV
, que equivale à velocidade 

 na saída. 
Supõe-se, agora, que devido a uma perturbação positiva de carga (aumento da carga 
no eixo), a velocidade 

 decaia, implicando em um sinal de erro positivo 
(
referro 0 
). Este sinal de erro ao entrar no controlador faz com que a tensão de 
armadura aumente, permitindo com que a velocidade do eixo retorne para o valor de 
referência. Mediante o exposto, enuncia-se: 
 
 
 
11..33.. CCOOMMPPAARRAAÇÇÃÃOO EEMM SSCCMMAA EE SSCCMMFF 
A comparação quantitativa entre o sistema de controle de malha aberta e o sistema de 
controle de fechada será realizada considerando-se o mesmo exemplo anteriormente citado, 
ou seja, o controle de velocidade da máquina de corrente contínua. 
O primeiro passo consiste em determinar o modelo da referida máquina. Da teoria de 
máquinas, sabe-se a velocidade angular do eixo é diretamente proporcional a sua tensão de 
armadura e, desde que a perturbação seja nula, tem-se: 
 
ak V 
 (1.1) 
 
Assim, pode-se representar: 
 
 
Figura 1-4: Modelo da máquina de corrente contínua. 
Para o exemplo a seguir, considerar-se-á que a aplicação de uma tensão de 
aV 1 V
 
faz com que a máquina gire a 
10 rpm
, então: 
 
a
10 rpm
k 10 
V 1 V

  
 (1.2) 
 
Na representação adotada, a máquina é modelada como um ganho 
k
, conforme 
mostra a Figura 1-4. Ressalta-se que essa representação é simplificada, já que a dinâmica da 
máquina foi desprezada. 
Além disso, foi verificado que as perturbações de carga se dão pelo acréscimo ou 
decréscimo de carga no eixo da máquina. Supondo-se que um aumento de carga de 
Um Sistema de Controle em Malha Fechada (SCMF) realiza o controle de 
uma determinada grandeza utilizando a realimentação, ou seja, a saída do 
sistema é adicionada a sua entrada para gerar o sinal de erro que será 
usado como variável de controle. 
 
FUNDAMENTOS DE CONTROLE 
 
 
 
RFC 
 
4 
P 1 N m 
 produza uma redução de velocidade de 
2 rpm
, então, o modelo da máquina 
incluindo a perturbação de carga pode ser representado conforme a Figura 1-5. 
 
 
Figura 1-5: Processo a ser controlado. 
Uma vez conhecido o processo, pode-se controlá-lo em malha aberta ou em malha 
fechada. Para realizar o controle em malha aberta,basta introduzir o controlador, a partir de 
agora chamado de 
CK
, em série com o processo, conforme mostra a Figura 1-6. 
 
 
Figura 1-6: Sistema em malha aberta. 
A partir do exposto, escreve-se a equação que relaciona a entrada e a saída do sistema, 
seguindo o fluxo de sinal, conforme 
 
C refω=10K ω -2P
 (1.3) 
 
A perturbação é assim chamada devido ao fato de normalmente não ser conhecida, 
sendo algum fator aleatório capaz de modificar o ponto de operação do sistema, uma vez que 
sua existência não estava prevista. Como por exemplo, citam-se, vento, presença de pássaros, 
etc. Portanto, a determinação do compensador 
CK
 é feita considerando a perturbação nula, 
isto é, 
P=0 N m
, fato que permite reescrever (1.3) conforme (1.4). 
 
C refω=10K ω
 (1.4) 
 
Por fim, ao isola-se 
CK
 em (1.4) de modo a obter-se 
C
ref
ω
K =
10ω
 (1.5) 
 
Fazendo-se 
ref 
, encontra-se: 
C
1 V
K = 
10 rpm
 (1.6) 
 
 
 
 
Então, a representação final do sistema em malha aberta é dada pela Figura 1-7. 
 
 
Figura 1-7: Sistema em malha aberta com definição do controlador. 
Perante o exposto, a equação geral que descreve o sistema em malha aberta é dada 
por: 
 
ref
1
10 2 P
10
     
  
ref 2 P  
 (1.7) 
 
Inicialmente, considerando-se 
P 0 N m 
 e que o operador da máquina ajustou a 
velocidade de referência em 
ref 1000 rpm 
, então a equação (1.7) conduz a: 
 
1000 2 0 1000 rpm   
 (1.8) 
 
Contudo, supondo que por um motivo qualquer uma perturbação de 
P 100 N m 
 foi 
introduzida no sistema, então, a equação (1.7), conduz a: 
 
1000 2 100 800 rpm   
 (1.9) 
 
Percebe-se, deste modo, que a operação em malha aberta é sensível à perturbação, ou 
não rejeita perturbação. Para resolver este problema, o mesmo sistema será verificado em 
malha fechada, de acordo com diagrama apresentado na Figura 1-8. 
 
 
Figura 1-8: Sistema em malha fechada. 
Neste caso, a equação que descreve o sistema é expressa por: 
 
C ref10K ( ) 2 P    
 (1.10) 
 
Isolando-se 
ω
, encontra-se: 
 
FUNDAMENTOS DE CONTROLE 
 
 
 
RFC 
 
6 
C
ref
C C
10K 2P
1 10K 1 10K
  
 
 (1.11) 
Novamente, a escolha de 
CK
 é feita considerando-se a perturbação como sendo nula, 
o que permite reescrever (1.11) conforme (1.12). 
 
C
ref
C
10K
1 10K
 

 (1.12) 
 
Nota-se que neste caso a igualdade 
ref 
 não pode ser alcançada, contudo, para 
valores elevados de 
CK
, uma boa aproximação é obtida. Para exemplificar, considera-se 
CK 200 V/rpm
. Se 
P 0 N m 
 e 
ref 1000 rpm 
 a equação (1.11) conduz ao seguinte 
resultado: 
 
ref
2000 2 2000 2
P 1000 0 999,5 rpm
2001 2001 2001 2001
        
 (1.13) 
 
Verifica-se que o erro existente entre 

 e 
ref
 é diferente de zero. Contudo, pode-se 
reduzir este erro (que já é muito pequeno) aumentando o ganho 
CK
 do controlador. Ressalta-
se que, na a prática, 
CK
 não pode ser demasiadamente elevado, visto sua interferência na 
dinâmica do sistema, que será estudada em módulos posteriores. 
Analisando agora o caso onde há a perturbação, expressa por 
P 100 N m 
, tem-se: 
 
ref
2000 2 2000 2
P 1000 100 999,4 rpm
2001 2001 2001 2001
        
 (1.14) 
 
Neste caso, verifica-se a grande vantagem de um sistema em malha fechada, uma vez 
que a ocorrência da perturbação praticamente não afetou a velocidade de giro do eixo da 
máquina, ou seja, em malha fechada o sistema torna-se pouco sensível às perturbações. 
Lembre-se que em malha aberta, na presença de perturbação, a velocidade da máquina passou 
para 
800 rpm
. 
Além das perturbações (causas externas), outros fatores que costumam alterar a 
grandeza de saída do sistema são as variações paramétricas (causas internas), que ocorrem por 
desgaste de componentes, variações de temperatura ou mesmo imprecisão de cálculo devido a 
parâmetros não modelados. 
Considerando, por exemplo, que o ganho que representa a máquina sofreu uma 
variação de 
20%
, então, se obtém: 
k 8 rpm/V
. Em malha aberta, a velocidade da máquina 
para a mesma entrada de referência 
ref 1000 rpm 
e perturbação 
P 0 N m 
será: 
 
1
1000 8 2 0 800 rpm
10
     
 (1.15) 
 
Este simples cálculo mostra que, em malha aberta, além da sensibilidade à perturbação 
o sistema torna-se sensível às variações paramétricas, que são muito comuns em sistemas 
 
 
reais. 
Realizando o mesmo procedimento para o sistema em malha fechada, verifica-se que: 
 
ref( ) 200 8 2 P      
  
1600
1000 2 0 999,37 rpm
1601
    
 (1.16) 
 
Novamente, o sistema em malha fechada torna-se mais eficiente, já que sua 
sensibilidade às variações paramétricas é muito reduzida. 
Para que não fique a falsa impressão de que os sistemas em malha fechada são sempre 
vantajosos em relação aos em malha aberta, deve-se notar que, conforme será estudado 
adiante, os sistemas em malha fechada têm maior tendência à instabilidade: um sistema 
estável em malha aberta pode tornar-se instável em malha fechada. 
Com base em todos os conceitos expostos, pode-se generalizar um sistema em malha 
fechada, cujos principais componentes são tratados a seguir: 
 
11..44.. CCOOMMPPOONNEENNTTEESS DDEE UUMM SSIISSTTEEMMAA DDEE CCOONNTTRROOLLEE 
Uma versão detalhada de um sistema de controle em malha fechada é apresentada na 
Figura 1-9. 
 
 
Figura 1-9: Diagrama de um sistema de controle em malha fechada. 
Os principais componentes do sistema são: 
 
 Referência: Valor desejado da variável a ser controlada; 
 Comparador: Dispositivo que constrói o sinal de erro entre o valor desejado e o 
obtido na saída do sistema; 
 Controlador: Dispositivo que manipula o sinal de erro, gerando um sinal de controle 
que será aplicado ao processo, com o intuito de corrigir o valor da variável a ser 
controlada; 
 Atuador: Dispositivo que recebe o sinal de controle e gera um sinal de potência 
suficiente para atuar sobre o sistema. 
 Sistema: Dispositivo ou fenômeno que se deseja operar; 
 Medidor (transdutor): Dispositivo que converte a saída do sistema em um sinal a ser 
comparado com a referência, a fim de gerar o sinal de erro. 
 
 
 
RFC 
 
2. 
22..11.. EEQQUUAAÇÇÕÕEESS DDIIFFEERREENNCCIIAAIISS 
As equações diferenciais que descrevem o desempenho dinâmico de um sistema físico 
são obtidas empregando as leis físicas do processo. Esta abordagem se aplica igualmente a 
sistema mecânicos, elétricos, fluidos e termodinâmicos, contudo, neste cursoo enfoque será 
dado às grandezas elétricas, por se tratar de um curso de Engenharia Elétrica. A Tabela 2-1 
apresenta o resumo das equações diferenciais para os três componentes elétricos. 
 
Tabela 2-1: Resumo das equações diferenciais que descrevem alguns elementos físicos ideais. 
Elemento 
Físico 
Equação de 
descrição 
Energia (E) ou Potência (P) Símbolo 
Resistor 
R Rv R i 
 
2R
R R R
v
P v i R i
R
    
 
 
Indutor 
L
L
di
v L
dt
 
 
2
L
1
E L i
2
  
 
 
Capacitor 
C
C
dv
i C
dt
 
 
2
C
1
E C v
2
  
 
 
22..22.. SSIISSTTEEMMAASS DDEE PPRRIIMMEEIIRRAA OORRDDEEMM 
 
 
Para exemplificar a obtenção de equações diferenciais de primeira ordem, dois 
circuitos serão apresentados: RL e RC, respectivamente. O objetivo é escrever a equação da 
corrente no indutor, no primeiro caso, e da tensão aplicada ao capacitor, no segundo. 
 
 
Figura 2-1: Circuitos representados por equações diferenciais de primeira ordem: (a) 
circuito RL; (b) circuito RC. 
a) Circuito RL 
 
Módulo 2: Revisão de Sistemas Lineares 
São representados por uma equação diferencial de primeira ordem, portanto, 
podem conter apenas um elemento armazenador de energia, como por 
exemplo, circuitos RL e RC. 
 
FUNDAMENTOS DE CONTROLE 
 
 
RFC 
 
9 
Aplicando a segunda lei de Kirchhoff ao circuito, tem-se: 
 
R LE v v 0   
 (2.1) 
 
Usando as relações da Tabela 2-1, obtém-se: 
 
L
R
di
E R i L 0
dt
     
 (2.2) 
 
Como o resistor e o indutor estão em série, então: 
R Li i
, portanto, levando esta 
informação na equação (2.2), pode-se escrever: 
 
L
L
di
E R i L 0
dt
     
 (2.3) 
 
Rearranjando a equação, tem-se: 
 
L
L
di R E
i
dt L L
  
 (2.4) 
 
 
b) Circuito RC 
 
Aplicando-se a lei das malhas no circuito da Figura 1-1(b), tem-se: 
 
R CE v v 0   
 (2.5) 
 
Como o intere-se é determinar a tensão aplicada ao capacitor, tem-se que expressar 
Rv
 também em termos de 
Cv
. Sendo o circuito serial, sabe-se que: 
 
C
R C
dv
i i C
dt
  
 (2.6) 
 
Então, levando o resultado da equação (2.6) para a equação (2.5), é possível escrever: 
 
C
C
dv
E R C v 0
dt
     
 (2.7) 
 
Rearranjando a equação, obtém-se: 
 
C
C
dv 1 E
v
dt R C R C
  
 
 (2.8) 
 
Conforme se pode verificar, as equações (2.4) e (2.8) são de primeira ordem, uma vez 
que são descritas por equações diferencias homogêneas de primeira ordem. A solução destas 
FUNDAMENTOS DE CONTROLE 
 
 
RFC 
 
10 
será revisada posteriormente, após a introdução da Transformada de Laplace. 
 
22..33.. SSIISSTTEEMMAASS DDEE SSEEGGUUNNDDAA OORRDDEEMM 
 
 
Para exemplificar a obtenção de equações diferenciais de segunda ordem, será 
apresentado o circuito RLC série. O objetivo é escrever a equação que representa a tensão 
aplicada ao capacitor do circuito. 
 
 
Figura 2-2: Circuitos representados por equações diferenciais de segunda ordem - circuito 
RLC. 
Aplicando a segunda lei de Kirchhoff ao circuito da Figura 2-2, tem-se: 
 
R L CE v v v 0    
 (2.9) 
 
Como o propósito é obter a equação da tensão no capacitor, pode-se empregar a 
Tabela 2-1 para escrever: 
 
L
R C
di
E R i L v 0
dt
      
 (2.10) 
 
Como o resistor, o indutor e o capacitor estão em série, então: 
R L Ci i i 
, portanto, 
levando esta informação na equação (2.2), pode-se escrever: 
 
C
C C
di
E R i L v 0
dt
      
 (2.11) 
Ainda, da Tabela 2-1 é estabelecido que 
C
C
dv
i C
dt

, logo: 
 
C C
C
dv dvd
E R C L C v 0
dt dt dt
 
         
 
 (2.12) 
São representados por uma equação diferencial de segunda ordem, portanto, 
contêm dois elementos armazenadores de energia que não podem ser 
associados para obtenção de um equivalente, como por exemplo, circuito RLC 
série ou paralelo e RCRC. 
 
FUNDAMENTOS DE CONTROLE 
 
 
RFC 
 
11 
 
Expandindo a equação, determina-se: 
 
2
C C
C2
dv d v
E R C L C v 0
dt dt
        
 (2.13) 
 
Rearranjando os termos tem-se: 
 
2
C C
C2
d v dvR 1 E
v
dt L dt L C L C
    
 
 (2.14) 
 
Os exemplos até o momento apresentados serviram para ilustrar a forma como as 
equações diferenciais que regem os sistemas físicos podem ser obtidas. Evidentemente, para 
obter a resposta das variáveis analisadas no tempo, é necessário resolver as equações 
diferenciais. Visando facilitar este procedimento, pode-se utilizar a transformada de Laplace, 
que transforma as equações diferenciais em equações algébricas, facilitando a solução. 
 
22..44.. TTRRAANNSSFFOORRMMAADDAA DDEE LLAAPPLLAACCEE 
 
 
A transformada de Laplace unilateral de uma função 
f (t)
 expressa no domínio do 
tempo é dada por: 
st
0
F(s)= {f (t)} f (t) e dt

 L
 
 
Para exemplificar, se determinará a transformada de Laplace do sinal 
atf (t) e
, 
conforme segue: 
st at (s a)t (s a)t (s a) (s a) 0
0 0 0
1 1 1
F(s) e e dt e dt e e e
s a s a s a
 
                          
 
 
 
1
F(s) =
s a
 
 
 
A integral de transformação apresentada foi empregada para deduzir a transformada de 
Laplace de um conjunto de sinais que surgem freqüentemente em engenharia. A 
Tabela 2-2 apresenta os principais pares de transformada de Laplace. 
 
A transformada de Laplace é uma transformação integral de uma função f(t) 
do domínio do tempo para o domínio complexo F(s). 
 
FUNDAMENTOS DE CONTROLE 
 
 
RFC 
 
12 
 
Tabela 2-2: Principais pares de transformadas de Laplace. 
Par número x(t) 
 
X(s) 
 
1 Função impulso, 
)(t
 
1 
 
2 
Função degrau, 
u(t)= 1
 p/ 
t 0
 
u(t)= 0
 p/ 
t 0
 
 
s
1
 
3 
!n
t n
 (for n = 1, 2, 3…) 
1
1
ns
 
4 
ate
 
as 
1
 
5 
!n
et atn 
 
1)(
1
 nas
 
6 
)cos( t
 
22 s
s
 
7 
)sin( t
 
22 

s
 
10 
ate sin( t)  
 
 
2 2s a

 
 
11 
ate cos( t)  
 
 
2 2
s a
s a


 
12 
 at
1
1 e
a
 
 
1
s(s a)
 
13 
 at bt
1
e e
b a
  

 
1
(s a)(s b) 
 
 
Alternativamente, a variável 
s
 de Laplace, é equivalente ao operador diferencial, tal 
que: 
 
d
s
dt

 (2.15) 
 
t
0
1
dt
s
 
 (2.16) 
 
Da mesma forma que o sinal 
f (t)
pode ser levado para o domínio 
s
, um sinal 
F(s)
 
pode ser levado para o domínio 
t
 através da aplicação da transformada inversa de Laplace, 
expressa por: 
FUNDAMENTOS DE CONTROLE 
 
 
RFC 
 
13 
c j
st
c j
1
f(t)= {F(s)} F(s) e ds
j 2
 
 
  
  
-1L
 
 
Em virtude de a transformada inversa de Laplace ser de difícil solução analítica, o que se faz, 
normalmente, é modificar o sinal 
F(s)
 até torná-lo similar a um dos termos pertencentes à 
Tabela 2-2, de onde seu equivalente 
f (t)
 pode ser diretamente lido. 
Evidentemente, nem sempre a função 
F(s)
enquadra-se em um dos termos da 
Tabela 2-2, neste caso, deve-se empregar a expansão por frações parciais. Uma revisão 
sobre frações parciais será apresentada posteriormente. 
Uma vez conhecidos os principais pares de transformada de Laplace, pode-se voltar à 
solução das equações diferenciais que modelaram os circuitos apresentados nas seções 
anteriores. 
22..55.. SSOOLLUUÇÇÃÃOO DDEE EEQQUUAAÇÇÕÕEESS DDIIFFEERREENNCCIIAAIISS 
Retomemos o resultado da equação (2.4), que descreve o comportamento da corrente 
no indutor de um circuito RL, reapresentada a seguir por conveniência: 
 
L
L
di R E
i
dt L L
  
 (2.17) 
 
 Para resolver a equação diferencial através da Transformada de Laplace, devem-se 
levar em conta as condições iniciais do sistema. Considerando-se que o sistema estava em 
repouso e foi ligado em 
0 st 
, então a entrada 
E
deve ser representada por 
Eu(t)
, sendo 
u(t)
o degrau unitário. Assim, tem-se: 
 
L
L
di R Eu(t)
i
dt L L
 
 (2.18) 
 
Reforça-se que 
u(t)
 indica que a tensão 
E
 é aplicada ao sistema a partir de 
t 0s
, 
com o sistema partindo do repouso (condições iniciais nulas). Utilizando a relação (2.15), 
pode-se escrever: 
 
L L
R E
sI (s) I (s)
L sL
 
 (2.19) 
 
Colocando-se 
LI (s)
 em evidência, tem-se: 
 
L
R E
I (s) s
L sL
 
  
 
 (2.20) 
 
Então: 
FUNDAMENTOS DE CONTROLE 
 
 
RFC 
 
14 
L
E
E 1LI (s)
R RL
s s s s
L L
 
   
    
   
 (2.21) 
 
Recorrendo-se à 
Tabela 2-2, verifica-se que 
LI (s)
 tem a forma do par de transformada número 12, logo, 
Li (t)
 é expressa por: 
 
R
t
L
L
E L
i (t) 1 e
L R
  
    
 
  R
t
L
L
E
i (t) 1 e
R
  
   
 
 (2.22) 
 
É possível, ainda, encontrar a equação que descreve o sistema no domínio do tempo 
sem escrever as equações diferenciais, ou seja, é possível obter diretamente a equação no 
domínio s. 
22..66.. SSOOLLUUÇÇÃÃOO DDIIRREETTAA EEMM NNOO DDOOMMÍÍNNIIOO SS 
Para resolver um circuito elétrico diretamente no domínio da freqüência, a 
transformação domínio t para o domínio s deve ser feita diretamente nos componentes do 
circuito a ser analisado. No domínio s, a representação do resistor, indutor e capacitor é dada 
pela Tabela 2-3. 
 
Tabela 2-3: Principais componentes expressos em s. 
Element
o Físico 
Equação de 
descrição 
Símbolo 
Resistor 
R Rv R i 
 
 
Indutor L Lv (s) s L i (s)  
 
Capacito
r 
C C
1
v (s) i (s)
s C
 

 
 
Utilizando-se a Tabela 2-3, o circuito RL da Figura 2-1 (a) pode ser reapresentado por: 
 
 
Figura 2-3: Circuitos de primeira ordem expressos no domínio s. 
FUNDAMENTOS DE CONTROLE 
 
 
RFC 
 
15 
Para solucionar o circuito em termos de 
LI (s)
, inicialmente, calcula-se a impedância 
equivalente do circuito, ou seja: 
 
Z R s L  
 (2.23) 
 
Assim, facilmente obtém-se: 
 
L
E E
E 1s LI (s)
R Rs L R L
s s s s
L L
   
     
     
   
 (2.24) 
 
Verifica-se que a equação (2.24) é idêntica à equação (2.21), portanto aplicando-se a 
transformada inversa de Laplace, o mesmo resultado será alcançado. Ressalta-se o fato de que 
a mesma técnica pode ser empregada para sistemas de segunda ordem, ou ainda ordem 
superior. 
 
22..77.. DDIIAAGGRRAAMMAASS DDEE BBLLOOCCOO 
O método dos diagramas de bloco para representar um sistema procura combinar a 
descrição puramente matemática do sistema através de equações, com a visualização 
proporcionada por um diagrama. 
Um bloco pode representar um único componente ou um grupo de componentes, mas 
cada bloco é completamente caracterizado por uma função de transferência. 
 
 
 
A função de transferência é normalmente empregada na análise de circuitos 
eletrônicos analógicos de única entrada e única saída. É empregada principalmente em 
processamento de sinais, teoria da comunicação e teoria de controle. O termo é 
freqüentemente utilizado para se referir exclusivamente a sistemas lineares invariantes no 
tempo. A maior parte dos sistemas reais possuem características de entrada/saída não-lineares, 
mas diversos sistemas, quando operados dentro de parâmetros nominais, têm um 
comportamento que é tão próximo de um comportamento linear que a teoria de sistemas 
lineares invariantes no tempo é uma representação aceitável do comportamento de sua entrada 
e saída. 
 
 
 
O fluxo de variáveis do sistema de um bloco para outro é representado por uma linha. 
Um diagrama de Blocos (DB) consiste de blocos operacionais 
interligados que mostram a direção de fluxo e as operações sobre as variáveis 
do sistema de tal modo que se estabelece uma relação entre entrada e saída 
quando se percorre um caminho sobre o diagrama. 
 
Função de transferência é a representação matemática da relação entre a saída e a 
entrada de um sistema, representada sob a forma de um bloco. 
 
FUNDAMENTOS DE CONTROLE 
 
 
RFC 
 
16 
Como funções de transferência caracterizam os blocos, apenas equações algébricas e 
operações de soma e multiplicação estão envolvidas nos blocos. 
A seguir são apresentados os diagramas de blocos dos componentes estudados: 
resistor, capacitor e indutor. 
 
a) Diagrama de Blocos de um Resistor 
 
Conforme outrora mencionado, as equações que relacionam tensão e corrente em um 
resistor são: 
R RV (s) = R I (s)
 (2.25) 
 
R R
1
I (s) = V (s)
R

 (2.26) 
 
Os respectivosdiagramas de blocos são apresentados a seguir: 
 
 
Figura 2-4: Diagramas de blocos de um resistor. 
Perceba que na Figura 2-4(a) 
RV (s)
 é a entrada, 
RI (s)
é a saída, e a relação 
R
R
I (s) 1
=
V (s) R
 
é a função de transferência, enquanto na Figura 2-4(b), 
RI (s)
é a entrada, 
RV (s)
é a saída, e a 
relação 
R
R
V (s)
= R
I (s)
é a função de transferência. 
 
 
b) Diagrama de Blocos de um Indutor 
 
As equações que relacionam tensão e corrente em um indutor são: 
 
L LV (s) = s L I (s) 
 (2.27) 
 
L L
1
I (s) = V (s)
s L


 (2.28) 
 
Os respectivos diagramas de blocos são apresentados a seguir: 
 
 
Figura 2-5: Diagramas de blocos de um indutor. 
Na Figura 2-5(a), 
LV (s)
 é a intrada, 
LI (s)
 é a saída, e a relação 
L
L
I (s) 1
=
V (s) sL
 é a função 
FUNDAMENTOS DE CONTROLE 
 
 
RFC 
 
17 
de transferência, enquanto na Figura 2-5(b), 
LI (s)
 é a entrada, 
LV (s)
 é a saída, e a relação 
L
L
V (s)
= sL
I (s)
é a função de transferência. 
 
c) Diagrama de Blocos de um Capacitor 
 
As equações que relacionam tensão e corrente em um capacitor são: 
 
C C
1
V (s) = I (s)
s C


 (2.29) 
 
C CI (s) = s C V (s) 
 (2.30) 
 
Os respectivos diagramas de blocos são apresentados a seguir: 
 
 
Figura 2-6: Diagramas de blocos de um capacitor. 
Na Figura 2-6(a), 
CV (s)
 é a entrada, 
CI (s)
 é a saída, e a relação 
C
C
I (s)
= sC
V (s)
 é a função 
de transferência, enquanto na Figura 2-6(b), 
CI (s)
 é a entrada, 
CV (s)
 é a saída, e a relação 
C
C
V (s) 1
=
I (s) sC
 é a função de transferência. 
 
Basicamente, em um sistema linear, ao sair de um bloco, um sinal pode ser somado a 
outros, se ramificar ou ser aplicado a outro bloco. 
 
22..88.. OOPPEERRAAÇÇÕÕEESS CCOOMM DDIIAAGGRRAAMMAASS DDEE BBLLOOCCOO 
a) Somadores ou Pontos de Soma 
Os somadores produzem como saída a soma algébrica dos sinais de entrada, como ilustrado a 
seguir: 
 
Figura 2-7: Exemplo de somador. 
b) Pontos de Ramificação 
Nos pontos de ramificação, o mesmo sinal se ramifica e é levado a pontos diferentes 
do diagrama, conforme ilustrado. 
FUNDAMENTOS DE CONTROLE 
 
 
RFC 
 
18 
 
Figura 2-8: Exemplo de ponto de ramificação. 
22..99.. ÁÁLLGGEEBBRRAA DDEE DDIIAAGGRRAAMMAASS DDEE BBLLOOCCOOSS 
A transformação de diagramas de blocos permite a simplificação de diagramas 
complexos, podendo-se obter um diagrama que relaciona diretamente a variável de entrada e a 
de saída. 
Existem algumas regras que permitem a realização desta transformação, e que são 
apresentadas a seguir. 
a) Conexão de Blocos em Série ou Cascata 
Quando blocos estão em cascata, pode-se obter um bloco equivalente simplesmente 
multiplicando-se as funções de transferência dos blocos. A figura mostra o caso de dois 
blocos em cascata, mas o mesmo se aplica a um número qualquer de blocos. 
 
 
Figura 2-9: Associação de blocos em série. 
b) Movimentação de um Ponto de Soma para Frente de um Bloco 
No exemplo apresentado na figura abaixo, observa-se à esquerda, que os sinais 
1U (s)
 e 
2U (s)
 são multiplicados pela função de transferência 
G(s)
. Para que após a movimentação a 
situação seja a mesma, é necessário multiplicar 
2U (s)
 por 
G(s)
, ou seja, deve-se acrescentar 
um bloco 
G(s)
 na entrada 
2U (s)
. 
 
 
Figura 2-10: Deslocamento de um ponto de soma. 
c) Movimentação de um Ponto de Soma para Trás de um Bloco 
Neste caso o sinal 
2U (s)
 não multiplica 
G(s)
, então, após a mudança do ponto de 
soma, ele ainda não deve multiplicar aquela função. Deve-se então adicionar um bloco 
1
G(s)
, 
na entrada 
2U (s)
, para não alterar o valor de 
Y(s)
. 
 
FUNDAMENTOS DE CONTROLE 
 
 
RFC 
 
19 
 
Figura 2-11: Deslocamento de ponto de soma. 
d) Movimentação de uma Ramificação para Trás de um Bloco 
Para manter o valor 
Y(s)
 inalterado antes e depois da mudança do ponto de ramificação, 
U(s)
 deve-se ser multiplicado por um bloco com valor 
1
G(s)
. 
 
 
Figura 2-12: Deslocamento de um ponto de ramificação. 
e) Movimentação de uma Ramificação para Frente de um Bloco 
Para manter o valor 
Y(s)
 inalterado antes e depois da mudança do ponto de ramificação, 
U(s)
 deve-se ser multiplicado por um bloco com valor 
G(s)
. 
 
 
Figura 2-13: Deslocamento de um ponto de ramificação. 
Observa-se que todas as regras anteriores podem ser obtidas pela simples observação 
do fato de que as variáveis não podem ter seus valores alterados, não havendo necessidade de 
decorá-las. 
 
22..1100.. EELLIIMMIINNAAÇÇÃÃOO DDAA MMAALLHHAA FFEECCHHAADDAA 
O caso de eliminação de malha fechada pode ser obtido facilmente a partir da 
manipulação das equações algébricas que representam o diagrama de blocos. Para entender o 
procedimento, considera-se o sistema de controle em malha fechada a seguir: 
 
 
Figura 2-14: Eliminação da malha fechada. 
FUNDAMENTOS DE CONTROLE 
 
 
RFC 
 
20 
A análise do diagrama de blocos antes da redução permite escrever: 
 
( )U s a  
 (2.31) 
 
( ) ( )Y s G s 
 (2.32) 
 
( ) ( )a Y s H s 
 (2.33) 
 
Agora, substituindo-se (2.33) em (2.31) e levando o resultado em (2.32), obtém-se: 
 
( ) ( )
( ) 1 ( ) ( )
Y s G s
U s H s G s


 (2.34) 
 
A equação (2.34) equivale à representação do diagrama de blocos apresentado na 
Figura 2-14, após a eliminação da malha fechada, validando o modelo simplificado 
apresentado. 
É importante ressaltar que a relação 
Y(s)
U(s)
 é chamada de função de transferência de 
malha de malha fechada. 
Para verificar a importância da utilização de diagramas de blocos, considerar-se-á o 
mesmo exemplo que vem sendo utilizado até o momento, o equacionamento do circuito RL, 
reapresentado na Figura 2-15. 
 
 
Figura 2-15: Circuito RL. 
A seguir são apresentadas todas as etapas, uma a uma, para construção do diagrama de 
bloco do circuito apresentado. 
 
 
Figura 2-16: Representação do circuito por diagrama de blocos. 
FUNDAMENTOS DE CONTROLE 
 
 
RFC 
 
21 
Verifica-se total similaridade entre o diagrama de blocos da Figura 2-16 e o 
apresentado na Figura 2-14: Eliminação da malha fechada. Portanto, são consideradas as 
seguintes igualdades: 
E
U(s) =
s
, 
R= V (s)
, 
1
G(s) =
R
,
LY(s) = I (s)
, 
H(s) = s L
 e 
La=V (s)
 
 
Substituindo, por fim, todas estas igualdades em (2.34), pode-se escrever: 
 
L
E 1
i (s)
RL
s s
L
 
 
 
 
 (2.35) 
 
O resultado de (2.35) é o mesmo encontrado comos outros métodos de solução, logo, 
a álgebra de blocos conduzirá, também, à mesma resposta no domínio do tempo. 
 
22..1111.. EEXXEERRCCÍÍCCIIOOSS 
1) Obtenha as funções de transferência 
( )
( )
Y s
D s
 e 
( )
( )
Y s
R s
 do sistema apresentado abaixo: 
 
 
 
Obs.: Não esqueça que devido ao sistema ser linear e invariante no tempo, o método 
da superposição pode ser aplicado, assim, encontra-se 
( )
( )
Y s
D s
 com 
( ) 0R s 
 e 
( )
( )
Y s
R s
 com 
( ) 0D s 
. 
Para o circuito RC apresentado a seguir, encontre: 
 
 
a) A equação diferencial que descreve a tensão no capacitor; 
b) A representação da tensão do capacitor no domínio da freqüência empregando a 
transformada de Laplace na equação diferencial encontrada; 
c) A representação da tensão do capacitor no domínio da freqüência sem escrever a 
equação diferencial (aplique a transformada diretamente nos elementos do 
FUNDAMENTOS DE CONTROLE 
 
 
RFC 
 
22 
circuito); 
d) Desenhe o diagrama de blocos equivalente ao circuito e o simplifique até 
encontrar um único bloco equivalente. 
e) A reposta temporal da tensão no capacitor (empregue a transformada de Laplace 
Inversa). 
 
 
 
 
RFC 
 
3. 
33..11.. TTEEOORREEMMAA DDOO VVAALLOORR FFIINNAALL EE IINNIICCIIAALL 
Antes de começar a analisar as respostas dos sistemas de controle propriamente ditas, 
serão estudados os teoremas do valor inicial e final, que permitem concluir a respeito de uma 
função no domínio do tempo analisando-a no domínio da freqüência. 
a) Teorema do Valor Final 
O teorema do valor final relaciona o comportamento em regime permanente de 
g(t)
 
ao comportamento de 
sG(s)
 nas proximidades de 
s 0
. Entretanto, esse teorema é aplicável 
se e semente se existir 
t
limg(t)

, ou seja, se a função 
g(t)
 tender para um valor constante com 
o passar do tempo. Ressalva-se que se todos os pólos de 
sG(s)
 estiverem no semi-plano 
esquerdo do plano complexo, 
t
limg(t)

existirá, porém, caso exista um ou mais pólos sobre o 
eixo imaginário ou no semi-plano direito, a resposta temporal será oscilante ou crescente 
(instável) e, neste caso, o teorema do valor final não se aplica. 
Uma vez que todos os pólos se encontrem no semi-plano complexo esquerdo, o 
teorema do valor final diz que: 
 
s 0
g(t ) limsG(s)

 
 (3.1) 
 
Para exemplificar considere a função de transferência dada por: 
 
1
G(s)
s(s 1)


 (3.2) 
 
Como o pólo de 
sG(s)
 está localizado em 
s 1 
, o 
t
limg(t)

 existe e, assim: 
s 0
g(t ) limsG(s)

 
  
s 0
1
g(t ) lim s
s(s 1)
 
   
 
  
g(t ) 1 
 (3.3) 
O resultado da equação (3.3) pode ser facilmente verificado, já que a transformada 
inversa de Laplace da função de transferência 
G(s)
 é dada por (3.4), cujo valor final tende 
para a unidade. 
 
tg(t) 1 e 
, para 
t 0
 (3.4) 
b) Teorema do Valor Inicial 
O teorema do valor inicial permite determinar o valor de 
g(t)
 em 
t 0
, diretamente 
através da transformada de Laplace do sinal 
g(t)
. Este teorema não fornece o valor da função 
em 
t 0
, mas em um instante mínimo maior que zero. Ainda, no caso do valor inicial, não há 
restrições quanto aos pólos de 
sG(s)
, sendo válido para qualquer função em 
s
. O teorema do 
Módulo 3: Revisão de Sistemas Lineares 
FUNDAMENTOS DE CONTROLE 
 
 
 
RFC 
 
24 
valor inicial enuncia que: 
 
s
g(0 ) limsG(s)


 (3.5) 
33..22.. AA IINNFFLLUUÊÊNNCCIIAA DDAA LLOOCCAALLIIZZAAÇÇÃÃOO DDOOSS PPÓÓLLOOSS 
Qualquer sistema pode ser modelado por uma equação diferencial ou por uma função 
que relaciona sua saída e entrada, chamada de função de transferência. 
Quando representado por uma função de transferência, um sistema é caracterizado sob 
a forma polinomial, tal que: 
 
R(s) B(s)
G(s) K
Y(s) A(s)
 
 (3.6) 
 
Em que 
G(s)
representa a função de transferência, 
R(s)
 a entrada e 
Y(s)
 a saída do 
sistema, 
B(s)
 é o polinômio do numerador, 
A(s)
 é o polinômio do denominador e 
K
é o 
ganho da função de transferência 
G(s)
. Assumindo que os polinômios 
B(s)
 e 
A(s)
 não têm 
termos em comum (a simplificação polinomial prévia é necessária), então os valores de 
s
 
para 
A(s) 0
 são chamados de pólos da função de transferência 
G(s)
. Por outro lado, os 
valores de 
s
 para 
B(s) 0
 são chamados de zeros da função de transferência 
G(s)
. Exceto 
pelo ganho 
K
, os pólos e zeros de uma função de transferência a caracterizam 
completamente. Para exemplificar, considera-se a função de transferência de primeira ordem, 
dada por: 
 
1
G(s)
s

 
 (3.7) 
 
Analisando a função de transferência 
G(s)
, verifica-se que a mesma não apresenta 
nenhum zero e apenas um pólo, localizado em 
s = -
. 
Recorrendo-se à tabela que apresenta os pares de transformada de Laplace, nota-se que 
a função 
G(s)
pode ser expressa no domínio do tempo por 
g(t)
, tal que: 
 
tg(t) e
, para 
t>0
 (3.8) 
 
Quando 
0
, o pólo fica localizado em 
s 0
 (no domínio da freqüência), e o termo 
exponencial é decrescente (domínio do tempo), convergindo para um valor limitado. Neste 
caso, a resposta é assumida como sendo estável. 
Por outro lado, se 
0 
, o pólo fica localizado em 
s 0
 (no domínio da freqüência), 
e o termo exponencial é crescente (domínio do tempo), não convergindo para um valor 
limitado. Neste caso, a resposta é assumida como sendo instável (tende ao infinito). 
As respostas do sistema no domínio do tempo para ambos os casos são apresentadas 
na Figura 3-1. 
FUNDAMENTOS DE CONTROLE 
 
 
RFC 
 
25 
 
Figura 3-1: Respostas de um sistema: (a) estável; (b) instável. 
No primeiro caso, quando 
0
, a resposta tende assintoticamente para um valor 
limitado. A constante de tempo 
1
 

 é calculada como o tempo para que a resposta chegue a 
aproximadamente 37% de seu valor final. Graficamente, 

 pode ser determinado pela linha 
tangente à curva em 
t 0
. 
No segundo caso, quando 
0 
, a resposta cresce exponencialmente, tendendo ao 
infinito com o passar do tempo. 
É importante perceber que o sinal do pólo da função de transferência determinará a 
estabilidade ou instabilidade do sistema. 
Para analisar um sistema através dos pólos e zeros da função de transferência, é 
comum utilizar-se um diagrama de pólos e zeros. Para entender esta ferramenta, considere a 
função de transferência apresentada a seguir: 
 
2
2s 1
G(s)
s 3s 2


 
 (3.9) 
Para seguir a forma 
B(s)
G(s) K
A(s)

, a função de transferência deve ser escritapor: 
2
1
s
2G(s) 2
s 3s 2

 
 
 (3.10) 
Assim, o zero da função é determinado por: 
 
Z
1
s 0
2
 
  
z
1
s
2
 
 (3.11) 
 
E os pólos por: 
 
2
p ps 3s 2 0  
  
P1
p2
s 1
s 2
 
 
 (3.12) 
 
Além disso, obviamente, o ganho 
K
 fica evidenciado, ou seja: 
K 2
. 
O diagrama de pólos e zeros é desenhado considerando a forma mais abrangente de 
s
, 
FUNDAMENTOS DE CONTROLE 
 
 
 
RFC 
 
26 
ou seja, considera-se que 
s j  
, em que 
Re{s} 
 (parte real de 
s
) e 
j Im{s}
 (parte 
imaginária de s). 
A Figura 3-2 ilustra o referido diagrama para o exemplo estudado. 
 
 
Figura 3-2: Diagrama de pólos e zeros para a função de transferência estudada. 
Note que como ambos os pólos da função de transferência apresentam-se no semi-
plano esquerdo do plano complexo, a reposta do sistema será estável. Isso fica evidente 
também na resposta no domínio do tempo da equação (3.13), obtida pela aplicação a 
transformada inversa de Laplace à função de transferência da equação (3.9): 
 
t 2tg(t) e 3 e    
, para 
t 0
 (3.13) 
 
Ressalta-se que o resultado apresentado em (3.13) não pode ser obtido diretamente da 
tabela de transformadas, já que a forma da função de transferência não se enquadra em 
nenhum dos pares. Neste caso, é necessário empregar a expansão por frações parciais, cuja 
teoria é apresentada brevemente a seguir. 
33..33.. EEXXPPAANNSSÃÃOO PPOORR FFRRAAÇÇÕÕEESS PPAARRCCIIAAIISS 
A expansão por frações parciais permite exprimir um polinômio de ordem elevada 
pela soma de vários polinômios de primeira ordem, facilitando a obtenção da transformada 
inversa de Laplace pelo uso da tabela. 
Existem distintas técnicas de se expandir um polinômio, contudo, sempre se deve 
atentar para os pólos da função de transferência, pois eles irão ditar a forma como a expansão 
deve ser feita. Três casos diferenciam-se: 
Pólos distintos; 
Pólos repetidos; 
Pólos complexos e conjugados. 
Será apresentado, agora, um exemplo para cada caso: 
a) Expansão por Frações Parciais para Pólos Distintos 
Para este exemplo toma-se a função de transferência dada por: 
 
FUNDAMENTOS DE CONTROLE 
 
 
RFC 
 
27 
2
s 3
G(s)
s 3s 2


 
 (3.14) 
 
O primeiro passo consiste em determinar os pólos de 
G(s)
, ou seja: 
 
2
p ps 3s 2 0  
  
p1
p2
s 1
s 2
 
 
 (3.15) 
 
Assim, pode-se escrever 
G(s)
 conforme: 
 
s 3
G(s)
(s 1)(s 2)


 
 (3.16) 
 
A idéia é escrever G(s) da forma: 
 
1 2a aG(s)
s 1 s 2
 
 
 (3.17) 
 
Inicialmente, multiplica-se ambos os lados da expressão por 
s 1
, obtendo-se: 
 
1 2
s 1
G(s) (s 1) a a
s 2

    

 (3.18) 
 
Portanto, se o termo 
2
s 1
a
s 2



 for zerado, isto é, se 
s = -1
, é possível determinar 
1a
, 
assim: 
 
1a (s 1) G(s)
s 1
  
 
  
1a (s 1) 
s 3
(s 1)


 (s 2) s 1  
  
1
s 3
a
(s 2) s 1


  
 
 
1
1 3
a
1 2
 

 
  
1a 2
 
 
Analogamente, quando se multiplica ambos os lados de (3.17) por 
s 2
, encontra-se: 
 
1 2
s 2
G(s) (s 2) a a
s 1

    

 (3.19) 
Neste caso, encontra-se 
2a
 zerando o termo 
1
s 2
a
s 1



, ou seja, fazendo-se 
s = -2
, logo: 
 
2a (s 2) G(s)
s 2
  
 
  
2a (s 2) 
s 3
(s 1) (s 2)


  s 1 
  
2
s 3
a
(s 1) s 2


  
 
 
FUNDAMENTOS DE CONTROLE 
 
 
 
RFC 
 
28 
2
2 3
a
2 1
 

 
  
2a 1 
 
 
Assim, de acordo com a equação (3.17), escreve-se: 
 
2 1
G(s)
s 1 s 2
 
 
 (3.20) 
 
A representação da função de transferência no domínio do tempo é facilmente obtida 
pela tabela das transformadas de Laplace, sendo expressa por: 
 
t 2tg(t) 2 e e   
, para 
t 0
 (3.21) 
 
Antes de realizar a expansão de uma função por frações parciais, sempre se deve 
verificar se o denominador da função tem grau maior que seu numerador. Caso isso não 
ocorra, deve-se dividir o numerador pelo denominador, obtendo-se uma parte inteira 
adicionada a um resto. Aplica-se então a expansão por frações parciais ao resto da função. 
 
Cuidado: expandir uma função cujo numerador tem maior grau que o denominador, 
implica resultados incorretos! 
 
b) Expansão por Frações Parciais para Pólos Repetidos 
A tentativa de expandir um polinômio com raízes múltiplas através da técnica 
apresentada anteriormente não funciona, já que a função torna-se indeterminada. 
Para analisar este caso, considera-se a função de transferência dada por: 
 
2
2s 3
G(s)
s 2s 1


 
 (3.22) 
 
Neste caso, a expansão é feita considerando a igualdade apresentada através da 
equação (3.23). 
 
 
1 2
2
a a2s 3 2s 3
G(s)
(s 1)(s 1) (s 1)(s 1) s 1 s 1
 
   
     
 (3.23) 
 
Inicialmente, multiplica-se ambos os lados de (3.23) por 
 
2
s 1
, obtendo-se: 
 
   
2
1 2G(s) s 1 a s 1 a    
 (3.24) 
 
Anulando-se os termos 
 1a s 1
, ou seja, fazendo-se 
s 1 
, é possível determinar 
2a
, 
de forma que: 
 
FUNDAMENTOS DE CONTROLE 
 
 
RFC 
 
29 
2
2a (s 1) G(s)
s 1
  
 
  
2
2a (s 1) 
 
2
2s 3
(s 1)


 s 1 
  
2a 2 ( 1) 3   
 
 
2a 1
 
 
Para obter o valor de 
2a
, outra equação linearmente independente deve ser encontrada. 
Para tanto, recorre-se à diferenciação. Derivando-se (3.24), tem-se: 
 
 
2
1
d
a G(s) s 1
ds s 1
   
   
  2
1
(s 1)d
a
ds


 
2
2s 3
(s 1)

 s 1
 
 
    
  
1a 2
 
 
Então, pode-se escrever: 
 
 
2
2 1
G(s)
s 1 s 1
 
 
 (3.25) 
 
A resposta no domínio do tempo da equação (3.25), obtida pela tabela das 
transformadas de Laplace, é expressa por: 
 
t tg(t) 2 e t e    
, para 
t 0(3.26) 
c) Expansão por Frações Parciais para Pólos Complexos e 
Conjugados 
 
Uma terceira possibilidade é a ocorrência de pólos complexos e conjugados. Neste 
caso, o procedimento é o mesmo realizado para pólos distintos, contudo, um exemplo também 
será apresentado. 
Considerando a função de transferência dada por: 
 
2
2s 12
G(s)
s 2s 5


 
 (3.27) 
 
Expressando o polinômio característico (numerador) pelo produto de pólos, tem-se: 
 
   
2s 12
G(s)
s 1 j2 s 1 j2


         
 (3.28) 
 
Logo, o objetivo é encontrar 
G(s)
sob a forma: 
 
   
*
1 1a aG(s)
s 1 j2 s 1 j2
 
   
 (3.29) 
 
Em que 
*
1a
 equivale ao conjugado de 
1a
. 
FUNDAMENTOS DE CONTROLE 
 
 
 
RFC 
 
30 
 
Multiplicando-se ambos os lados da equação por 
 s 1 j2 
, tem-se: 
 
 
 
 1 1
s 1 j2
G(s) s 1 j2 a a
s 1 j2
 
        
 (3.30) 
 
Agora, zerando-se o termo 
 
 
*
1
s 1 j2
a
s 1 j2
 

 
, ou seja, fazendo 
 s 1 j2  
, encontra-se 
1a
 e 
*
1a
, conforme segue: 
 
 1a G(s) s 1 j2
s 1 j2
    
  
  
1a 
1
5
a 1
j2
 
 
*
1
5
a 1
j2
 
 
 
Portanto, retornando à equação (3.29), pode-se escrever: 
 
   
5 1 5 1
G(s) 1 1
j2 s 1 j2 j2 s 1 j2
   
        
      
 (3.31) 
 
Empregando a transformada inversa de Laplace, obtém-se: 
 
   1 j2 t 1 j2 t5 5
g(t) 1 e 1 e
j2 j2
      
        
   
 (3.32) 
 
Embora a equação (3.32) já descreva o comportamento da resposta no domínio do 
tempo, pode-se rearranjá-la para uma melhor visualização. Expandindo-se os termos entre 
parênteses, obtém-se: 
 
       1 j2 t 1 j2 t 1 j2 t 1 j2 t5 5
g(t) e e e e
j2 j2
       
     
 (3.33) 
 
Agrupando-se parte real e imaginária, determina-se: 
       1 j2 t 1 j2 t 1 j2 t 1 j2 t5
g(t) e e e e
j2
              
   
 (3.34) 
 
Ainda, pode-se abrir os termos exponenciais, e em seguida evidenciar o termo 
te
: 
 
t j2t t j2t t j2t t j2t5g(t) e e e e e e e e
j2
                  
 (3.35) 
 
j2t j2t j2t j2t
t te e e eg(t) 2e 5 e
2 j2
 
          
   
 (3.36) 
 
FUNDAMENTOS DE CONTROLE 
 
 
RFC 
 
31 
De acordo com as relações de Euler, é sabido que: 
 
jat jat
jat jat
e e
cos(at)
2
e e
sen(at)
2 j






 (3.37) 
 
Então, substituindo-se os termos entre colchetes em (3.36), pelas relações apresentadas 
em (3.37), finalmente, obtém-se: 
 
t tg(t) 2 e cos(2t) 5 e sen(2t)      
, para 
t 0
 (3.38) 
 
Os exemplos de expansão por frações parciais apresentados cobrem todos os casos 
possíveis. Quando as funções têm pólos simples, múltiplos e complexos ao mesmo tempo, 
basta aplicar os três métodos simultaneamente e resultados adequados serão encontrados.
 
RFC 
 
 
 
44..11.. FFIIGGUURRAASS DDEE MMÉÉRRIITTOO DDEE SSIISSTTEEMMAASS DDEE CCOONNTTRROOLLEE 
a) Sistemas de Primeira Ordem – Análise Transitória 
Para um sistema de primeira ordem, além da estabilidade, garantida pela posição de 
todos os pólos da função de transferência no semi-plano complexo esquerdo, uma figura de 
mérito importante é o tempo de resposta ou tempo de acomodação, que define o período 
transitório da resposta, sempre que a mesma varia. 
 
 
 
Os valores usuais mais adotados em projeto são: 
 
5%t
  Tempo de acomodação de 5% 
2%t
  Tempo de acomodação de 2% 
1%t
  Tempo de acomodação de 1% 
 
Considerando-se, para exemplificação, um sistema de primeira ordem, sem zero, 
expresso na forma padrão por: 
 
Y(s) K
G(s)
U(s) 1 s
 
 
 (4.1) 
Então, supondo-se que em 
t 0s
 seja aplicada a entrada 
y(t) E
 ao sistema, ou seja, 
E
U(s)
s

, obtém-se: 
 
K E KE 1
Y(s)
11 s s
s s
   
    
 
 
 (4.2) 
 
A transformada inversa de Laplace de 
Y(s)
 fornece o valor de 
y(t)
, isto é: 
 
t
y(t) KE 1 e


 
   
 
, para 
t 0
 (4.3) 
 
Quando 
t 
, 
y(t) KE
(o mesmo resultado pode ser verificado pelo teorema do 
valor final), portanto, o tempo de acomodação de 5%, 2% e 1% são os tempos necessários 
para que 
y(t)
 chegue a 
0,95 KE
, 
0,98 KE
 e 
0,99 KE
, respectivamente. Calculando esses 
Módulo 4: Caracterização de Sistemas 
O tempo de resposta ou tempo de acomodação a x% é o tempo para que a 
resposta do sistema entre e permaneça em uma faixa de x% em torno de seu 
valor final. 
 
FUNDAMENTOS DE CONTROLE 
 
 
RFC 
 
33 
valores encontram-se: 
 
0,95 KE KE
5%t
1 e


 
   
 
  
5%t 3 
 (4.4) 
0,98 KE KE
2%t
1 e


 
   
 
  
2%t 3,9 
 (4.5) 
0,99 KE KE
1%t
1 e


 
   
 
  
1%t 4,6 
 (4.6) 
 
Evidentemente, como 
1
s  

, a posição do pólo está diretamente ligada ao tempo de 
resposta do sistema. A Figura 4-1 ilustra o exposto. 
 
 
Figura 4-1: Resposta transitória de um sistema de primeira ordem. 
b) Sistemas de Segunda Ordem – Análise Transitória 
Ao contrário dos sistemas de primeira ordem, cuja constante de tempo (ou posição do 
pólo) determina completamente sua resposta transitória, um sistema de segunda ordem, por 
apresentar dois pólos, ou duas constantes de tempo, irá ter repostas distintas, dependendo da 
composição de tais constantes de tempo. 
Para exemplificar, considera-se a função de transferência de segunda ordem a seguir: 
 
  1 2
K
G(s)
1 s 1 s

   
 (4.7) 
Os dois pólos, localizados em 
p1
1
1
s  

 e 
p2
2
1
s  

 mostram que o sistema é de 
segunda ordem e seus valores irão determinar a forma da resposta. 
Expandindo-se o denominador da função de transferência, tem-se: 
 
 2 1 2 1 2
K
G(s)
s s 1

      
 (4.8) 
 
Multiplicando e dividindo a função de transferência por 
1 2 , determina-se: 
FUNDAMENTOS DE CONTROLE 
 
 
 
RFC 
 
34 
1 2
2 1 2
1 2 1 2
1
G(s) K
1
s s
 
 
   
  
    
 (4.9) 
 
A partir da equação (4.9) pode-se expressar 
G(s)
 na forma padrão de sistemas de 
segunda ordem, dado por: 
 
2
n
2 2
n n
G(s) K
s 2 s

 
  
 (4.10) 
 
O emprego da forma padrão torna-se muito útil, já que o comportamento dinâmico do 
sistema de segunda ordem passa a ser descrito literalmente por apenas dois parâmetros: 
n
, 
que representa a freqüência natural de oscilação do sistema (a freqüência que existiria, caso 
não houvesse amortecimento) e 

, que representa o coeficiente de amortecimento, Note que 
quanto maior o valor 

 mais amortecido será o sistema, portanto, menor será a oscilação. 
A partir do polinômio característico, é possível determinar os pólos da função de 
transferência, sendo que: 2 2
n n
2 2
n n
2 2
n n n
s 2 s 0
(2 ) 4
2 (2 ) 4
s
2
   
    
     

 
2
n ns 1    
 (4.11) 
 
É interessante notar que o tipo de resposta vai depender exclusivamente do valor do 
termo 
2 1 
, de forma que quatro distintas respostas são possíveis: 
a) Resposta subamortecida 
Este tipo de resposta ocorre quando 
0 1  
, implicando na presença de dois pólos 
complexos e conjugados. Isso se dá porque nesta faixa, os valores de 

 fazem com que o 
termo 
2 1 
 seja menor que a unidade, implicando em uma raiz quadrada negativa no termo 
2 1 
 da equação (4.11). 
De forma genérica, os pólos da função de transferência no caso subamortecido são 
dados por: 
 
p1 n d
p2 n d
s j
s j
   
   
 (4.12) 
 
Em que 
d
 é a freqüência natural amortecida, cujo valor é função da freqüência 
FUNDAMENTOS DE CONTROLE 
 
 
RFC 
 
35 
natural não-amortecida 
n
 e do coeficiente de amortecimento 

, sendo expressa por: 
 
2
d n 1  
 (4.13) 
b) Resposta Criticamente Amortecida 
 A resposta criticamente amortecida ocorre quando 
1 
, neste caso, o termo 
2 1 
 
na equação (4.11) é nulo, de forma que os pólos da função de transferência são reais, iguais e 
negativos, conforme retratado a seguir: 
 
p1 p2 ns s  
 (4.14) 
c) Resposta Não-Amortecida 
A resposta não-amortecida ocorre quando 
0 
, neste caso o termo 
2 1 
 na 
equação (4.11) resulta em 
1 j 
 e o termo 
n
, também na equação (4.11) torna-se nulo, 
de forma que os pólos passam a estar localizados em: 
 
p1 n
p2 n
s j
s j
 
  
 (4.15) 
 
Torna-se fácil entender porque este tipo de resposta é dita não-amortecida, já que com 
coeficiente de amortecimento nulo, a resposta do sistema não decai, permanecendo 
oscilatória. Perceba também que, neste caso, os pólos da função de transferência localizam-se 
sobre o eixo imaginário, ou seja, têm parte real nula, o que torna este tipo de resposta 
marginalmente estável. 
d) Resposta Superamortecida 
A reposta superamortecida se dá quando 
1 
. Esta condição torna o termo 
2 1 
 
positivo, implicando em dois pólos reais, distintos e negativos, expressos por: 
 
 
 
2
p1 n
2
p2 n
s 1
s 1
     
     
 (4.16) 
 
Os dois pólos reais, distintos e negativos, indicam que no domínio do tempo a resposta 
será composta por duas exponenciais decrescentes. 
Quando 

 for, de modo considerável, maior que a unidade, uma das exponenciais 
decrescentes decai mais rápido que a outra, assim, o termo de decaimento mais rápido, (que 
corresponde à menor constante de tempo) pode ser desprezado, já que seu efeito na resposta 
desaparecerá muito rápido. O pólo, com a maior constante de tempo, dominará a resposta 
FUNDAMENTOS DE CONTROLE 
 
 
 
RFC 
 
36 
transitória e, por isso, é dito pólo dominante. 
Quando há um pólo dominante, a resposta de segunda ordem pode ser aproximada por 
uma resposta de primeira ordem, cuja constante de tempo é definida pelo pólo dominante. 
Os tipos de respostas estudadas são apresentados na Figura 4-2, para diferentes valores 
de 

 com entrada em degrau unitário em 
t 0
. 
 
 
Figura 4-2: Respostas de um sistema de segunda ordem para diferentes amortecimentos. 
Analogamente aos sistemas de primeira ordem, as características de desempenho 
transitório de um sistema de segunda ordem são determinadas no domínio do tempo. Os 
sistemas com energia armazenada não podem responder instantaneamente, e vão fornecer 
respostas transitórios sempre que submetidos a variações na entrada ou distúrbios. 
Geralmente, as respostas transitórias são obtidas tendo como entrada o degrau unitário, já que 
se trata de um sinal suficientemente brusco e de fácil reprodução prática. As figuras de mérito 
de resposta transitória de segunda ordem, especificadas para o caso mais literal 
(subamortecido), são: 
 
x%t
- tempo de acomodação; 
st
– tempo de subida; 
pt
 - tempo de pico; 
pM
 - Máximo sobressinal. 
 
A Figura 4-3 representa uma típica resposta de segunda ordem. 
 
 
Figura 4-3: especificações transitórias em um sistema de segunda ordem. 
FUNDAMENTOS DE CONTROLE 
 
 
RFC 
 
37 
Para estimar cada uma das figuras de mérito citadas, a resposta temporal do sistema de 
segunda ordem deve ser conhecida. ta 
Resgatando-se a função de transferência de um sistema de segunda ordem, na 
equação (4.10), tem-se: 
2
n
2 2
n n
G(s) K
s 2 s

 
  
 (4.17) 
 
No caso subamortecido, os pólos, de acordo com a equação (4.10), são expressos por: 
 
p1 n d
p2 n d
s j
s j
   
   
 (4.18) 
 
Assim, expressando-se o numerador da função pelo produto de pólos, obtém-se: 
 
  
2
n
n d n d
Y(s)
G(s) K
U(s) s j s j

  
       
 (4.19) 
 
Sendo 
Y(s)
 a saída do sistema e 
U(s)
 a entrada. Quando 
U(s)
 é um degrau, ou seja, 
E
U(s)
s

, então, tem-se: 
  
2
n
n d n d
Y(s) KE
s s j s j

 
       
 (4.20) 
 
A resposta no tempo associada à equação (4.20) pode ser obtida por uma Tabela 
completa de Transformadas de Laplace, ou aplicando-se expansão por frações parciais, de 
modo a obter-se: 
 
   n t d d
2
y(t) KE KE e cos t sen t
1

 
      
   
 (4.21) 
a) Determinação do Tempo de Resposta ou de Acomodação 
O tempo de respostaou acomodação de um sistema de segunda ordem pode ser dado 
de forma aproximada pela envoltória do sinal, devido o coeficiente de atenuação. Desta 
forma, para fins do estudo do tempo de acomodação, estuda-se o termo apenas o termo: 
 
 
 n nt ty(t) KE KE e KE 1 e     
 (4.22) 
 
Aplicando-se o teorema do valor final em 
Y(s)
, encontra-se 
y( )
, ou seja: 
 
s 0
y( ) limsY(s) KE

  
 (4.23) 
Obs.: não esqueça que 
2
d n 1  
! 
 
FUNDAMENTOS DE CONTROLE 
 
 
 
RFC 
 
38 
Assim, torna-se evidente que: 
 
r5%
r2%
r1%
t t y(t) 0,95KE
t t y(t) 0,98KE
t t y(t) 0,99KE
  
  
  
 (4.24) 
 
 Então: 
 
0,95 KE KE  n r5%t1 e 
  
r5%
n
3,0
t 

 (4.25) 
 
0,98 KE KE  n r 2%t1 e 
  
r2%
n
3,9
t 

 (4.26) 
 
0,99 KE KE  n r1%t1 e 
  
r1%
n
4,6
t 

 (4.27) 
b) Tempo de Subida 
É definido como o tempo que a resposta leva para variar de 10% a 90% de seu valor 
final. Supondo-se um amortecimento médio, isto é 
0,5 
, este tempo fica aproximado por: 
s
n
1,8
t 

 (4.28) 
c) Tempo de Pico 
Refere-se ao tempo que a resposta de segunda ordem alcança seu valor máximo. É 
obtido derivando-se a função de 
y(t)
 em relação ao tempo, e igualando-se o resultado a zero. 
p
d
t



 (4.29) 
d) Máximo Sobressinal 
É a diferença entre o valor do primeiro pico e o valor final da resposta. É obtido 
fazendo 
p
d
π
t = t =
ω
 na equação (4.21), sendo expresso por: 
 
2
ζ
-π
1-ζ
pM = e
 (4.30) 
 
Percentualmente, tem-se: 
 
FUNDAMENTOS DE CONTROLE 
 
 
RFC 
 
39 
 
2
ζ
-π
1-ζ
p %
M =100 e
 (4.31) 
Isolando-se 

, encontra-se: 
 
2 P%
2 2 P%
M
ln
100
M
ln
100
 
 
  
 
   
 
 (4.32) 
 
IMPORTANTE: As equações para a obtenção do tempo de subida, tempo de 
pico, máximo sobressinal e tempo de acomodação são válidas somente para o sistema 
padrão de segunda ordem, definido pela equação (4.17). Se o sistema de segunda ordem 
contiver um ou mais zeros, a curva de resposta ao degrau divergirá daquela apresentada 
na Figura 4-3, e as equações não serão mais válidas. 
44..22.. RREELLAAÇÇÃÃOO EENNTTRREE AASS EESSPPEECCIIFFIICCAAÇÇÕÕEESS NNOO DDOOMMÍÍNNIIOO DDOO 
TTEEMMPPOO EE AA PPOOSSIIÇÇÃÃOO DDOOSS PPÓÓLLOOSS NNOO PPLLAANNOO CCOOMMPPLLEEXXOO 
 
Para entender como as especificações de projeto no domínio do tempo se relacionam 
com as posições dos pólos no plano complexo, deve-se analisar as raízes do polinômio 
característico, deduzidas na equação (4.18) e reapresentadas a seguir: 
 
p1 n d
p2 n d
s j
s j
   
   
 (4.33) 
 
Verifica-se que as raízes, em sua forma genérica, são formadas por uma parte real, 
dada por 
n  
 e por uma parte imaginária, localizadas em 
dj 
. Assim, pode-se 
representar as raízes graficamente, no plano complexo. 
 
Figura 4-4: Representação dos pólos de um sistema de segunda ordem. 
O ângulo 

 pode ser facilmente determinado, conforme segue: 
 
n
n
cos( )

 

  
cos( )  
  
arccos( )  
 (4.34) 
FUNDAMENTOS DE CONTROLE 
 
 
 
RFC 
 
40 
A equação (4.34) é a última relação necessária para se estabelecer a ligação entre as 
especificações no domínio do tempo com a posição dos pólos no domínio da freqüência. Para 
estabelecer estas ligações, considerar-se-á um exemplo numérico. 
 
Exemplo Numérico: 
 
Encontrar a região possível para os pólos no plano complexo, para um sistema cuja 
resposta ao degrau deve obedecer às seguintes especificações temporais: 
r1%t 3s
 (tempo de 
acomodação em 1% do regime), 
P(%)M 10%
 (máximo sobressinal) e 
st 0,6s
 (tempo de 
subida). 
 
A primeira restrição refere-se ao tempo de acomodação da resposta, portanto, 
partindo-se da equação (4.27), tem-se que 
r1%
n
4,6
t 

 e, dessa forma: 
n
4,6
3

  
n 1,53rad / s 
 (4.35) 
 
O resultado de (4.35) apresenta apenas o valor absoluto de 

, contudo, sabe-se que 
para que a resposta seja estável, deve se situar no semi-plano complexo esquerdo. Assim, 
pode-se representar: 
 
 
Figura 4-5: Limitação do plano complexo em relação ao tempo de acomodação. 
A segunda restrição especifica o máximo sobressinal. Assim, tomando-se a equação 
(4.31), tem-se: 
 
 
2
ζ
-π
1-ζ
p %
M =100 e
  2ζ-π 1-ζ100 e 10   
2
ζ
-π ln(0,1)
1-ζ

  
2 2
2
2
π ζ
ln (0,1)
1-ζ

 
 
2 2 2 2 2π ζ ln (0,1) ln (0,1) ζ  
  2
2 2
ln (0,1)
π ln (0,1)



  
0,59
 (4.36) 
 
Uma vez conhecido o valor de 

 é possível estabelecer o valor de 

 empregando-se a 
relação apresentada na equação (4.34), isto é: 
 
cos( )  
  
cos( ) 0,59 
  
arcos(0,59)
  
53,86º
 (4.37) 
FUNDAMENTOS DE CONTROLE 
 
 
RFC 
 
41 
Sob a forma gráfica, tem-se: 
 
 
Figura 4-6: Limitação do plano complexo em relação ao coeficiente de amortecimento. 
A terceira restrição refere-se ao tempo de subida. Empregando-se a equação (4.28), 
obtém-se: 
 
s
n
1,8
t 

  
n
1,8
0,6

  
n 3rad / s 
 (4.38) 
 
Sob a forma gráfica, determina-se: 
 
 
Figura 4-7: Limitação do plano complexo em relação ao tempo de subida. 
É importante ressaltar que a equação (4.28) foi estimada para 
0,5 
. Portanto, deve-
se ter em mente que um pequeno erro esta sendo cometido, e obviamente será tão maior 
quanto mais longe o valor de 

 estiver de 
0,5
. Ainda, é importante perceber que mesmo um 
erro estando associado, a visualização gráfica facilita o entendimento das relações entre as 
especificações no domínio do tempo e o plano complexo. 
Depois de estabelecidas as regiões permitidas em s devido a cada uma das 
especificações temporais, é possível compô-las para obter a região equivalente que atende às 
três especificações simultaneamente, conforme mostra a Figura 4-8. 
 
 
Figura 4-8: Região equivalente no plano complexo às restrições no domínio do tempo. 
FUNDAMENTOS DE CONTROLE 
 
 
 
RFC 
 
42 
44..33.. EEXXEERRCCÍÍCCIIOOSS