Introdução às Funções Matemáticas

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ECA - Luzerna
Ca´lculo I
Prof. Katielle de M. Bilhan
Resumo: Func¸o˜es
Func¸o˜es
Func¸a˜o: Sejam A e B subconjuntos de R. Uma func¸a˜o f : A −→ B e´ uma lei ou regra que a CADA elemento de
A associa um U´NICO elemento de B. Escrevemos,
f: A −→ B
x 7−→ f(x)
O conjunto A e´ chamado de domı´nio de f e escrevemos Dom(f) ou D(f). O conjunto B e´ chamado de contra-
domı´nio de f e escrevemos Cd(f).
Exemplos:
1. Identifique quais das relac¸o˜es representam uma func¸a˜o.
2. Dados A = {−2,−1, 0, 1, 2} e B = {−1, 0, 1, 3, 4} e a correspondeˆncia entre A e B dada por y = x2 com x ∈ A
e y ∈ B. Fac¸a um diagrama e diga se f e´ uma func¸a˜o de A em B.
3. Dados A = {0, 1, 2, 3} e B = {12 , 1, 2, 4, 6, 8} e a correspondeˆncia entre A e B dada por y = 2x com x ∈ A e
y ∈ B. Fac¸a um diagrama e diga se f e´ uma func¸a˜o de A em B.
4. Um fabricante produz pec¸as para computadores pelo prec¸o de R$ 2,00 cada uma. Calcula-se que, se cada pec¸a
for vendida a x reais , os consumidores, comprara˜o, por meˆs, 600 − x unidades. Expresse o lucro mensal do
fabricante como func¸a˜o do prec¸o.
Observac¸a˜o: Quando nos e´ dada apenas a lei de formac¸a˜o da func¸a˜o, entendemos como domı´nio o maior sub-
conjunto de R no qual a lei de formac¸a˜o pode ser definida.
Exemplo: Determine o domı´nio de cada uma das func¸o˜es a seguir.
1. f(x) = x
2−2
x
2. f(x) = |x− 5|
3. f(x) =
√
x− 5
4. f(x) = 1
x2−x
Gra´fico da func¸a˜o: E´ o subconjunto de R×R de todos os pontos (x, f(x)) tais que x ∈ Dom(f).
Para construir o gra´fico de uma func¸a˜o, determinamos seu domı´nio e fazemos uma tabela de valores (x, f(x)).
1
Imagem: E´ o conjunto de todos os valores y = f(x) tal que x ∈ Dom(f).
Exemplo: Fac¸a um esboc¸o do gra´fico das seguintes func¸o˜es. Determine o domı´nio e conjunto imagem de cada
uma delas observando o gra´fico.
1. f(x) = 2x+ 1
2. f(x) =

2x+ 3, x > 1
7, x = 1
−x+ 2, x < 1
3. f(x) = 2−x + 2
4. f(x) = 2 + log2(x+ 1)
5. f(x) = cos(x)
6. f(x) =

−x, x < −1
x2, −1 ≤ x ≥ 1
x+ 2, x > 1
7. f(x) = 1 + log2(x− 1)
8. f(x) =

−x+ 1, x < −2
1, −2 < x < 2
x+ 1, x > 2
Operac¸o˜es com func¸o˜es: Dadas duas func¸o˜es f e g, sua soma f + g, sua diferenc¸a f − g, seu produto f · g e
seu quociente fg sa˜o novas func¸o˜es definidas por:
1. (f + g)(x) = f(x) + g(x)
2. (f − g)(x) = f(x)− g(x)
3. (f · g)(x) = f(x) · g(x)
4.
(
f
g
)
(x) =
f(x)
g(x)
O domı´nio das func¸o˜es f + g, f − g e f · g e´ a intersecc¸a˜o dos domı´nios de f e g. O domı´nio de fg e´ a intersecc¸a˜o
dos domı´nios de f e g excluindo os pontos onde g(x) = 0.
Exemplo: Sejam f(x) =
√
5− x e g(x) = x− 3. Determine as func¸o˜es e domı´nios das func¸o˜es:
1. (f + g)(x) =
2. (f − g)(x) =
3. (f · g)(x) =
4.
(
f
g
)
(x) =
Func¸a˜o composta: Dadas duas func¸o˜es f : A −→ B e g : B −→ C, a func¸a˜o composta de g com f , denotada
por (g ◦ f) e´ definida por: (g ◦ f)(x) = g(f(x))
2
O domı´nio da func¸a˜o composta (g ◦ f) e´: Dom(f ◦ g) = {x ∈ Dom(f)|f(x) ∈ Dom(g)}.
Exemplo: Para cada func¸a˜o h, determine func¸o˜es f e g tais que h = g ◦ f . Determine o domı´nio de h.
1. h(x) = ln(1 + sen2(x))
2. h(x) =
√
x3 − 2x2 − 5x+ 6
3. h(x) = ex+cos(x)
Func¸o˜es especiais
1. Func¸a˜o constante
E´ toda func¸a˜o do tipo f(x) = k, que associa a qualquer nu´mero real x um mesmo nu´mero k.
2. Func¸a˜o identidade
E´ uma func¸a˜o f : R→ R definida por f(x) = x.
3. Func¸a˜o do 1o grau
E´ uma func¸a˜o que associa cada nu´mero real x a um nu´mero real ax+b, a 6= 0. O gra´fico da func¸a˜o f(x) = ax+b
e´ uma reta na˜o paralela aos eixos coordenados.
4. Func¸a˜o mo´dulo
Definida por f(x) = |x|.
5. Func¸a˜o quadra´tica
Definida por f(x) = ax2 + bx+ c, a 6= 0.
O gra´fico de uma func¸a˜o quadra´tica e´ uma para´bola com eixo de simetria paralelo ao eixo dos y. Se o coeficiente
de x2 for positivo (a > 0) , a para´bola tem a concavidade voltada para cima. Se a < 0, a para´bola tem a
concavidade voltada para baixo.
A intersec¸a˜o do eixo de simetria com a para´bola e´ um ponto chamado ve´rtice.
A intersec¸a˜o da para´bola com o eixo dos x define os zeros da func¸a˜o.
6. Func¸a˜o polinomial
E´ a func¸a˜o f : R→ R definida por f(x) = aoxn + a1xn−1 + a2xn−2 + · · ·+ an−1x+ an, onde a0, a1, · · · , an com
ao 6= 0 sa˜o nu´meros reais chamados de coeficientes e n, inteiro na˜o negativo, determina o grau da func¸a˜o.
Lista 2: Func¸o˜es
3
1. Se f(x) = 3x−1x−7 , determine:
a) 5f(−1)−2f(0)+3f(5)7 b) [f(−1/2)]2
c) f(3x− 2) d) f(t) + f(4/t)
e) f(h)−f(0)h f) f [f(5)]
2. Dada a func¸a˜o f(x) = |x| − 2x, calcular f(−1), f(1/2) e f(−2/3). Mostrar que f(|a|) = −|a|.
3. Se f(x) = ax+bcx+d e d = −a, mostre que f(f(x)) = x.
4. Seja f(x) = (x− 2)(8− x) para 2 ≤ x ≤ 8.
a) Determinar f(5), f(−1/2) e f(1/2).
b) Qual o domı´nio da func¸a˜o f?
c) Determinar f(1− 2t) e indicar o domı´nio.
d) Determinar f(f(3)) e f(f(5)).
e) Trac¸ar o gra´fico de f(x).
5. Determinar o domı´nio das seguintes func¸o˜es:
a) y = x2 b)y =
√
4− x2 c) y = 1x−4
d) y =
√
x− 2 e) y = √x2 − 4x+ 3 f) y = √3 + x+ 4√7− x
g) y = 3
√
x+ 7− 5√x+ 8 h) y = x+ax−a i) y = |x+ 2|+ 4, −5 ≤ x ≤ 2
j) y =
√
x
x+1 k) y = x− 1x l) y = 11+√x
m) f(x) = 2x+4 −
√
x
x−1 n) f(x) =
3√x+3
x2−2x o) f(x) = sen(x) + 2
x +
√
x− 19
6. Construir o gra´fico, determinar o domı´nio e o conjunto imagem das seguintes func¸o˜es:
a) f(x) =
{
−x, −2 ≤ x ≤ 0
x, 0 < x < 2
b) f(x) =

0, x < 0
1/2, x = 0
1, x > 0
c) f(x) =

x3, x ≤ 0
1, 0 < x < 2
x2, x ≥ 2
7. Para cada item calcule f ◦ g e g ◦ f .
a) f(x) =
√
x+ 1 g(x) = x− 2
b) f(x) = x3 g(x) = 13√x
c) f(x) = x2 − 9 g(x) = √x
d) f(x) = 1x g(x) = x
2 + 2x− 15
e) f(x) = ln(x) g(x) = x3 − 1
8. Sejam as func¸o˜es f(x) = x2 − 2x+ 1 e g(x) = 2x+ 1. Calcule:
(a) g(f(1))
(b) f(g(2))
(c) f(f(1))
9. Se f e g sa˜o func¸o˜es tal que f(x) = 3x− 1 e f(g(x)) = x, determine g(x).
10. Sejam f e g sa˜o func¸o˜es de R em R. Calcule g(−3√2) sabendo que f(x) = x− 2 e f(g(x)) = x2 − 1.
11. Dadas as func¸o˜es f(x) =
√
x3 + x2 − 2x e g(x) = √x2 − x− 2, determine as func¸o˜es f+g, f−g, f e fg . Determine
tambe´m seus domı´nios.
4
12. Para cada func¸a˜o h, determine func¸o˜es f e g tais que h = g ◦ f . Determine o domı´nio de h.
a) h(x) = ln(1 + sen2(x))
b) h(x) =
√
x3 − 2x2 − 5x+ 6
c) h(x) = 4
√−x3 + 3x2 − 4
d) h(x) = ex+cos(x)
13. Determinar quais das func¸o˜es sa˜o pares ou ı´mpares.
a) f(x) = |x| b) f(x) = x3−x
x2+1
c) f(x) = x−1x+1 d) f(x) =
1
2(a
x − a−x)
e) f(x) = ln(1+x1−x ) f) f(x) = ln(x+
√
1 + x2)
14. Mostre que tg(x) e cotg(x) sa˜o uma func¸o˜es perio´dicas de per´ıodo pi.
15. Verifique se cada func¸a˜o abaixo e´ bijetiva (isto e´, injetiva e sobrejetiva). Em caso afirmativo, determine a inversa.
caso f na˜o seja bijetiva, fac¸a restric¸o˜es no domı´nio e/ou contradomı´nio para que f se torne bijetiva e determine
a inversa nesta situac¸a˜o.
a)
f: < −→ <
x 7−→ 4x-5
b)
f: < −→ <
x 7−→ x3 − 3
c)
f: < −→ [-5,+∞)
x 7−→ x2 − 5
d)
f: [0,+∞) −→ <
x 7−→ x4 + 1
e)
f: (-∞, 1] −→ <
x 7−→ (x-1)3
f)
f: < −→ <
x 7−→ x2 + 4
16. Um fabricante produz pec¸as para computadores pelo prec¸o de R$ 2,00 cada uma. Calcula-se que, se cada pec¸a
for vendida a x reais , os consumidores, comprara˜o, por meˆs, 600 − x unidades. Expresse o lucro mensal do
fabricante como func¸a˜o do prec¸o. Construir o gra´fico para estimar o prec¸o o´timo de venda.
17. Um grupo de amigos trabalham no per´ıodo de fe´rias vendendo salgadinhos na praia. O aluguel do trailler e
todos os equipamentos necessa´rios e´ de R$2000,00 por meˆs. O custo do material de cada salgadinho e´ de R$0,10.
Expresse o custo total em func¸a˜o do prec¸o do salgadinho.
18. Em um laborato´rio, um determinado ser vivo apresenta um cicloprodutivo de 1 hora, e a cada hora um par
pronto para a reproduc¸a˜o gera outro par reprodutor. Como representar essa experieˆncia populacional em func¸a˜o
do nu´mero de horas, supondo que a populac¸a˜o inicial e´ de 5 pares?
19. A despesa total de um condomı´nio e´ de R$ 3600,00. No entanto, 10 condoˆminos deixaram de pagar, ocasionando
um acre´scimo de R$ 60,00 para cada condoˆmino. Quantos sa˜o os condoˆminos no total e quanto cada um dos
pagantes pagou?
20. Um oˆnibus de 40 lugares foi fretado para uma excursa˜o. A empresa exigiu de cada passageiro R$ 20,00 mais R$
2,00 por lugar vago. Qual o nu´mero de passageiros para que a rentabilidade da empresa seja ma´xima?
GABARITO
1.
a) −263
98
b) 1
9
c) 9x−7
3x−9 d)
−22t2+38t−88
−t2+53t−28 e)
20
7(h−7) f)
11
7
2. 3, −1/2, 2.
5
4. a) 9; ; na˜o existe; na˜o existe.
b) [2, 8]
c) −4t2 − 16t− 7; [-7/2,-1/2].
d) 9; na˜o existe
5.
a) < b) [-2,2] c) <− {4}
d) [2,+∞) e) (−∞, 1]
⋃
[3,+∞) f) [−3, 7]
g) < h) <− {a} i) [-5,2]
j) (−∞,−1)
⋃
[0,+∞) k) < = {0} l) [0,+∞)
6. a) [−2, 2), [0, 2]; b) <, {0, 1/2, 1}; c) <, (−∞, 0]
⋃
{1}
⋃
[4,+∞).
7. a)
√
x− 1; √x + 1− 2.
b) 1
x
; 1
x
.
8.
9.
10.
11. Dom(f + g) = [−2,−1]
⋃
[2,+∞); Dom(f/g) = [−2,−1)
⋃
(2,+∞).
12. a) f(x) = 1 + sen2(x); g(x) = ln(x); Dom(h) = <.
b) f(x) = x3 − 2x2 − 5x + 6; g(x) = √x; Dom(h) = [−2, 1]
⋃
[3,+∞)
c) f(x) = −x3 + 3x2 − 4; g(x) = 4√x; Dom(h) = (−∞,−1]
⋃
{2}
d) f(x) = x + cos(x); g(x) = ex; Dom(h) = <.
13. a) par; b) ı´mpar; c) na˜o e´ par nem ı´mpar; d) par, e) ı´mpar; f) ı´mpar.
14. a) f1(x) = x+5
4
;
b) f−1(x) = 3
√
x + 2
c)
f−1 : [-5,+∞) −→ [0,+∞)
x 7−→ √x + 5
ou
f−1 : [-5,+∞) −→ (-∞, 0]
x 7−→ -√x + 5
d)
f−1 : [1,+∞) −→ [0,+∞)
x 7−→ 4√x− 1
e)
f−1 : (-∞, 0] −→ (=∞, 1]
x 7−→ 1+ 3√x
f)
f−1 : [4,+∞) −→ [0,+∞)
x 7−→ √x− 4
ou
f−1 : [4,+∞) −→ (-∞, 0]
x 7−→ -√x− 4
15. L = −x2 + 602x− 1200
g
16. C = 2000 + o, 1x
17. P (n) = 5 · 2n
18. 30, cada um pagou R$ 180,00.
19. R(x) = (40− x)(20 + 2x)
6