Mecânica dos Fluidos - Cap 2. Conceitos Fundamentais

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CAT118 - Mecânica dos Fluidos 
2. Conceitos Fundamentais. 
 
 
2. Conceitos Fundamentais. 
 
2.1. O Fluido Como Meio Contínuo. 
 
Estrutura Molecular da Matéria 
 A estrutura molecular da matéria, no caso, um fluido, é descontínua; 
 Onde há descontinuidade de massa ocorrem ‘vazios’; 
 Problemas para definir a velocidade U nas posições onde ocorrem os ‘vazios’. 
 
 
 
Hipótese do Meio Contínuo 
 
 Um ‘ponto’ é um volume elementar V ; 
 Hipótese do meio contínuo: V (3)  ‘vazios’; 
 As propriedades variam ponto a ponto, de forma suave. 
 
A hipótese do meio contínuo é válida se o No – adimensional – de Knudsen (Kn), definido pela 
relação entre o livre caminho médio das moléculas  (distância média percorrida por uma 
molécula entre duas colisões) e a menor dimensão característica do problema  (menor dimensão 
observável), assume valores pequenos, i.e., se Kn:= 1  1. 
 
Massa Específica em um Ponto 
A idéia de meio contínuo pode ser melhor entendida considerando-se a definição de massa 
específica em um ponto 0 0 0( , , , )x y z t  , i.e., em um volume elementar V , de dimensão 
proporcional a 3 (e.g., uma esfera ou um cubo) de massa m (Fig. 2.1a). 
 
 0 0 0( , , , )
m
x y z t
V



 (2.1) 
 
 
 
A questão crucial na definição (2.1) é a seleção adequada do volume elementar V que deve 
utilizado para computar m/V . O volume V a ser escolhido (um valor crítico V  ) é 
selecionado reduzindo-se progressivamente V e avaliando-se o comportamento das variações 
de m/V com V em um gráfico (m/V )  V . 
 
De acordo com a ordem de grandeza de Kn:= 1, tem-se que: 
 
2. Conceitos Fundamentais. 
 
a. Kn:= 1  1: a hipótese do contínuo é válida. A escala selecionada para V implica em 
variações suaves de m/V ponto a ponto, não há variações apreciáveis de , e a condição 
de não deslizamento entre o fluido e a superfície sólida é observada. Análises nestas escalas 
são chamadas de ‘Dinâmica dos Gases’ (Descrição Determinística e Eqs. de Navier-Stokes). 
 
b. Kn:= 1  1: a hipótese do contínuo não é válida: 
A partir deste valor de Kn a condição de não deslizamento não é mais observada. 
 
c. Kn:= 1  1: a hipótese do contínuo não é válida.A escala selecionada para V implica 
em variações abruptas de m/V ponto a ponto, há variações apreciáveis de . Análises 
nestas escalas são chamadas de ‘Dinâmica dos Gases Rarefeitos’ (Descrição Estatística e 
Eqs. de Boltzmann). 
 
Portanto, V  deve ser ‘grande’ o suficiente para satisfazer Kn:= 1  1 e ‘pequeno’ o 
suficiente para ser chamado de ‘ponto’. Assim a definição corrigida para a massa específica em 
um ponto é dada por: 
 0 0 0( , , , )
V V
m
x y z t lim
V 



 (2.2) 
 
Propriedades do Fluido 
É o efeito (nível microscópico) das interações moleculares do fluido que pode ser expresso 
através de propriedades macroscópicas tais como: 
 
Massa Específica (): 
m
V
  3 3 3 3kg m , g cm , lbm ft , slug ft , etc.( )       
Volume Específico ( v ): 
1 V
v
m
  3 1 3 1 3 1 3 1m kg , cm g , ft lbm , ft slug , etc.( )       
Densidade (d) ou Gravidade Específica (SG): 
2H O
1( )d SG      (adimensional) 
 
Peso Específico (): 
2H O
( )g d g       3 3 3N m , kgf cm , lbf ft , etc.( )     
 
Viscosidade Dinâmica ou Absoluta (): 1 1kg m s , Pa s , lbf ft s , etc.( )        
 
Viscosidade Cinemática (): 2 1 2 1m s , ft s , etc.( )   
 
Propriedades do Escoamento 
São variáveis de campo e características do escoamento observadas devido às ações 
termomecânicas sobre o meio (a descrição talvez deva ser melhor definida - não foi encontrada 
uma definição na literatura). 
 
Velocidade ( ou U

U ): 1 1 1m s , cm s , ft s , etc.( )     
 
Pressão (p): 2 2 2N m Pa, lbf ft , lbf in psi, etc.( )       
 
Vorticidade ( = rot U ou 

= U 
 
): s , etc.( ) 
 
Temperatura (T): o o oK, R, F, C, etc.( ) 
 
Incompressibilidade: div U = 0 ou U 
 
= 0 
2. Conceitos Fundamentais. 
 
Propriedades Intensivas e Extensivas 
 
Propriedade intensiva (P.I.) 
São propriedades que independem da massa do sistema. 
Ex.: temperatura, pressão, massa específica, volume específico, viscosidade, condutividade 
térmica. 
 
Propriedade extensiva (P.E.) 
São propriedades que dependem da massa do sistema. 
Ex.: massa, volume, energia, momento linear, momento angular, entropia, entalpia. 
 
 
P.E.
P.I
P.E.
 . Ex.: 
..
1
momento linear ( )
vol )
.
ume.(
.
.
.
P m v
v
V m


  

. 
 
 Aplicação: div + .b.v T f 
  
 (Eq. de movimento de Cauchy). 
 
2.2. Campo de Velocidades 
Uma partícula fluida é definida como uma massa elementar m de identidade fixa (um 
agregado de moléculas) e de volume V  no entorno de um ponto arbitrário p.(x,
 y, z) [1]. Nestas 
condições, na descrição espacial ou ‘Euleriana’, o vetor velocidade U em um ponto p é definida 
como a velocidade instantânea da partícula fluida P que em um dado instante t ocupa a posição 
do ponto p [1]: 
 
 
 ( , ) ( , , , )t x y z t  U U x U (2.3) 
 
Admitindo-se que u= u i = u1
 = u1 e1, v=
 v j = u2
 = u2 e2 e w=
 w k = u3
 = u3 e3 são as componentes 
de U segundo as direções x=x1, y=x2, z=x3 (projeções do vetor velocidade U sobre os eixos 
coordenados), respectivamente, pode-se escrever para o campo de velocidades: 
 
 
1 1 2 3 2 1 2 3 3 1 2 3
1 1 2 3 2 1 2 3 2 1 2 3 31 3
: ( , , , ) ( , , , ) ( , , , ) =
( , , , ) ( , , , ) ( , , , ) =
 = ( , , , ) ( , , , ) ( , , , )
= ( , , , ) ( , , , ) ( , , , )
x y z t x y z t x y z t
u x y z t v x y z t w x y z t
x x x t x x x t x x x t
u x x x t u x x x t u x x x t
  
  
  
 
U u v w
i j k
u u u
e e e
 (2.4) 
 
com as variáveis i = e1, j
 = e2, k
 = e3 definindo os versores da base cartesiana (conjunto de 
vetores unitários mutuamente ortogonais). Nas Eqs. (2.3-2.4) enfatiza-se que, em geral, os 
vetores u, v e w são funções dos argumentos escalares x, y, z e t [1]. A notação U= U(x, y ,z ,t) 
é usada para definir a magnitude (módulo) do vetor velocidade instantânea U. 
 
2. Conceitos Fundamentais. 
 
2.3. Regimes de Escoamento 
 
Escoamentos Permanente e Transiente (Não-Permanente) 
Quando um parâmetro do escoamento, em cada ponto do domínio de análise, não varia com o 
tempo, o escoamento ocorre em regime permanente (R.P.) e escreve-se: 
 
( )
( ) 0t
t

  

 (em cada ponto x fixo) (2.5) 
Quando (em cada ponto x do domínio), o escoamento ocorre em regime transiente ou 
ainda em regime não-permanente. 
 
para um campo de velocidade (i.e., para as velocidades em cada ponto) constante no tempo 
em módulo, mas com variações no tempo quanto à direção e/ou sentido, o escoamento é 
transiente. 
 
Escoamentos Uniforme e Não-Uniforme 
Quando o vetor velocidade U é idêntico (em módulo, direção e sentido) em todos os pontos de 
um escoamento, em qualquer instante dado, o escoamento ocorre no regime uniforme, e escreve-
se: 
 s
s

 

0
U
U (em qualquer instante t fixo) (2.6) 
 
onde s é um deslocamento infinitesimal arbitrário em qualquer direção. 
Quando s  0U (em qualquer instante t), o escoamento ocorre no regime não-uniforme. 
 
Exemplos. 
 
Escoamento Permanente (campo de velocidade): 
Escoamento laminar completamente desenvolvido, com vazão constante, em um tubo de seção 
constante: 2 .[1 / ) ] ; 0max tU u u r R U     (com ( 0)maxu u r  e R:=D/2). 
 
 
 
Escoamento Uniforme (campo de velocidade): 
Escoamento invíscido (não-viscoso) ao longo de uma placa plana e escoamento invíscido em 
um tubo com vazão cte. (para ambos os casos, cteU U

  .) 
 
 
 
 
 
( ) 0t 
2. Conceitos Fundamentais. 
 
2.4. Escoamentos 1D, 2D, 3D 
A dimensão de um campo é definida segundo o número de coordenadas espaciais, i.e., as 
coordenadas x, y, z, necessárias para descrever o escoamento (campo). 
 
Ex.: escoamento em um canal de seção variável: 
Ao longo do tubo de raio R = D/2: o campo de velocidade é 1D (U = u (r)); ao longo do 
comprimento de seção divergente: o campo de velocidade 2D (U = u (r, x)). 
 
 
 
 
2.5. Trajetória, Linha de Emissão, Linha de Corrente, Linha de Tempo 
São linhas utilizadas como suporte para técnicas de visualização e de determinação do padrão 
de escoamentos (existem outras técnicas associadas que não estão relacionadas aqui). 
 
Trajetória (pathline) 
É o lugar geométrico dos pontos pelos quais uma determinada partícula (ponto material) passou 
ao longo de um percurso. 
 
Ex.: Uma filmagem de uma aeronave em vôo (um ‘ponto’ p) liberando fumaça em uma 
atmosfera ‘estática’ movimento mostra as posições sucessivas ocupadas pela aeronave. 
 
 
 
Linha de Emissão (streakline): 
É a linha que em um dado instante t0 liga todas as partículas que passaram por um determinado 
ponto (ponto de emissão m) do escoamento. 
 
Ex.: Uma fotografia em um determinado instante t de um fluxo intermitente (uma sucessão de 
‘pontos’) de pontos de fumaça liberados por uma chaminé na atmosfera em movimento. 
 
 
2. Conceitos Fundamentais. 
 
Linha de Corrente (streamline): 
É uma linha que em um determinado instante tem como tangente o vetor velocidade de todas 
as partículas que a definem. 
 
 
 
Matematicamente, a linha de corrente é definida pela Eq. das linhas de corrente: 
 
1 2 3
1 2 3
1 2 3
1 2 3
1 2 3
0
x x x
d u u u
u u u
dx dx dx
  
     

e e e
U s (2.7) 
 
Duas linhas de corrente jamais se cruzam (senão em um mesmo ponto, no cruzamento das 
linhas, haveria duas velocidades). 
 
Em escoamentos 2D a distância entre duas linhas de corrente é inversamente proporcional à 
velocidade local do fluido (quanto maior a densidade de linhas de corrente, menor é a distancia 
entre elas e maior é a velocidade fluido). 
 
 
 linhas de corrente (escoamento interno) 
 
 
 linhas de corrente (escoamento externo) 
 
Em regime permanente (R.P.), trajetórias, linhas de emissão e linhas de corrente são 
coincidentes: 
(i) as velocidades das partículas sobre uma linha de corrente não variam com o tempo, em 
módulo, direção e sentido, então a linha de corrente não varia com o tempo; (ii) uma partícula 
sobre a linha de corrente irá, obrigatoriamente, descrever uma trajetória sobre a linha de 
corrente, de outro modo ocorreriam duas velocidades em um mesmo ponto; (iii) para um ponto 
qualquer sobre a linha de corrente, caracterizado simultaneamente, também, como um ponto 
de uma linha de emissão, a mesma idéia elaborada para a trajetória de uma partícula e a 
obrigatoriedade de uma única velocidade sobre a linha de corrente é válida para este ponto 
integrante da linha de emissão e por extensão, para todas as partículas que definem a linha de 
emissão, portanto, a linha de emissão situa-se sobre a linha de corrente; (iv) tendo vista (i), 
(ii), e (iii), as três linhas coincidem. 
2. Conceitos Fundamentais. 
 
Linha de Tempo (timeline): 
É uma linha que conecta todas as partículas que em um mesmo instante passaram por uma 
linha arbitrária no espaço, preferencialmente em uma direção transversal ao escoamento. 
Observações da configuração assumida por este tipo de linha, em instantes diferentes, fornecem 
informações sobre o escoamento. 
 
Ex.: A deformação de um elemento fluido submetido a uma tensão tangencial pode ser 
observada com auxílio de linhas de tempo em instantes diferentes ( t0
 , t1
 , t2
 ). 
 
 
 
 
2.6. O Tensor de Tensões 
 
Forças Atuantes Sobre Partículas Fluidas 
 Forças de campo ou de corpo bf : 
Ex.: campos gravitacionais, campos elétricos e campos magnéticos. 
 
 Forças de superfície ou de contato sf : 
Ex.: contatos entre camadas fluidas ou de camada fluidas com um substrato: sf  tensões. 
 
Tensão em um Ponto 
 
0A
F
lim
A



 


 (2.8) 
 
 A An 
 
 (2.9) 
 
 n

 é um vetor unitário, normal a A, em um ponto (|n

|=1, n

  A, em um ponto); 
 Componente de F

 normal a A

 ( nF

)  tensão normal ( n

); 
 Componente de F

 tangente a A

 ( tF

)  tensão tangencial ( t

). 
 
 
 
Força F

e tensão 

atuando sobre superfícies. 
 
 
 
2. Conceitos Fundamentais. 
 
Componentes do Tensor de Tensões 
De modo similar à expressão utilizada para definir um vetor (e.g., um vetor a

) através da 
soma de suas três componentes: 
1 1 2 2 3 3a a e a e a e  
   
, 
tem-se a seguinte expressão para definir um tensor (e.g., um tensor 

) através da soma de suas 
nove componentes: 
12 1 2 13 1 3 21 2 1 22 2 2 23 2 3 31 3 1 32 3 2 33 3 311 1 1e e e e e e e e e e e e e e e e e e                 
                  
. 
 
Os índices 1, 2, 3 estão associados às direções x, y, z, respectivamente, e os versores de base 
1 1 2 2 3 3, ,e e e  
  
e e e associados aos versores , ,i j k  
 
i j k , respectivamente. Dado 
que i jij 

e e , outra forma de representar os tensores é através das suas componentes ij , 
omitindo os vetores de base, de modo similar à representação das matrizes estudadas em álgebra 
linear: 
 
xx xy xz
yx yy yz
zx zy zz
  
   
  
 
 
   
 
  
 (2.10) 
 
 O 1º índice (índice i) define a orientação do plano – i  ao plano; 
 O 2º índice (índice j) define a orientação de atuação da tensão; 
 Como consequência do transporte do momento da quantidade de movimento, o tensor de 
tensões é simétrico, i.e., ij ji 
†. 
 
†
mais detalhes em: [2] Kundu, P.K., Cohen, I.M., “Fluid Mechanics”, 2 ed, 2002, Chapter 4, Sec. 6: Stress at a Point, p.84 ; 
[3] Aris, R., “Vectors, Tensors and the Basic Equations of Fluid Mechanics”, 1 ed, 1962, Chapter 5, Sec. 5.13: The Symmetry 
of Stress Tensor, p.84. 
 
Tensões Positivas e Negativas 
Para uma superfície fechada, o vetor 

n (vetor unitário, normal à superfície em um ponto) é, 
por definição, orientado da superfície para o exterior. 
 
tensões normais ( n ) 
Para nF

 e 

n no mesmo sentido, 0n  ; para nF

 e 

n em sentidos opostos, 0n  . 
 
tensões tangenciais ( t )Para F

 orientada no sentido positivo de um eixo coordenado 0t  ; Para F

 orientada no 
sentido negativo de um eixo coordenado, a 0t  . Todas as componentes de tensão assinaladas 
sobre a última figura são positivas. 
 
As Eqs. de Navier-Stokes são obtidas a partir da 2a lei de Newton através de um balanço de 
forças sobre um elemento de volume diferencial. Para fluidos em repouso, a aceleração e as 
tensões tangenciais são nulas, e as Eqs. de Navier-Stokes se reduzem à Eq. fundamental da 
estática dos fluidos (Capitulo 3), definidas em termos de tensões normais (relacionados a 
gradientes de pressão) e forças de corpo (gravidade). 
 
2. Conceitos Fundamentais. 
 
2.7. Eq. Constitutiva do Tensor de Tensões. 
 
 
 
 
. 0 .y
yx
A y
xFlim
A



 (2.11) 
onde .yA A y   . 
 
Durante o intervalo t, em virtude da tensão yx (devido à xF ), uma deformação angular  
é produzida no elemento fluido inicialmente definido por MNOP que assume a configuração 
definida por M N O P  . 
 
A taxa de deformação angular é definida por: 
 
0.t
d
lim
t dt
 

 (2.12) 
 
Para relacionar causas e efeitos, i.e., relacionar a tensão aplicada yx à taxa de deformação 
angular produzida d/dt será introduzida a seguir a noção de Eq. constitutiva. 
 
A quantidade d/dt não é fácil de ser avaliada. Deseja-se, portanto, expressar a quantidade 
d/dt em função de quantidades mais fáceis de serem avaliadas. Isto é feito da seguinte maneira: 
Avaliando-se o deslocamento linear do ponto M durante o intervalo t: 
 l u t   (2.13) 
Avaliando-se o deslocamento angular da linha de tempo MN durante o intervalo t: 
 tan tan
l
l y
y

   

   (2.14) 
Para pequenos deslocamentos angulares , tan   , e pode-se reescrever (2.14) como: 
 tanl y y      (2.15) 
Igualando-se as Eqs. (2.13) e (2.15) chega-se à seguinte relação: 
 
u
t y
 
 
 (2.16) 
Tomando-se os limites de ambos os lados de (2.16) quando t0, i.e., 
 
0 0
lim lim
t t
u
t y 
 
  
 (2.17) 
obtêm-se a seguinte igualdade: 
 
d du
dt dy

 (2.18) 
2. Conceitos Fundamentais. 
 
Portanto, a Eq. constitutiva definida pela relação de proporcionalidade yx  d/dt, em virtude 
da Eq. (2.19), é escrita como: 
 yx
du
dy
  (2.19) 
 
2.8. Fluidos Newtonianos. 
A constante de proporcionalidade a ser inserida na Eq. (2.19) é a viscosidade dinâmica , de 
modo que pode-se finalmente escrever, para a maioria dos fluidos comuns (e.g., água, ar, etc.) 
a Eq. constitutiva da tensão tangencial para fluidos Newtonianos: 
 yx
du
dy
  (2.20) 
A Eq. (2.21) expressa a tensão tangencial variando linearmente com a taxa de deformação e é 
chamada de lei de Newton da viscosidade. 
 
 Para fluidos Newtonianos, a variação da tensão tangencial com a taxa de deformação é linear. 
 
As dimensões da viscosidade dinâmica  são [F t L2 ] e [M L1 t1 ], com as respectivas unidades 
definidas em (Pa  s ; lbf  s/ft2) e (kg  m1  s1) sendo de uso comum. 
 
Uma viscosidade comumente utilizada em mecânica dos fluidos, em vez da viscosidade dinâmica 
, é a viscosidade cinemática : 
 



 (2.21) 
 
A dimensão da viscosidade cinemática  é [L 2 t 1 ], com a unidade m2  s1 sendo de uso comum. 
 
A rigor, observa-se que a viscosidade não é constante, variando com a temperatura e com a 
pressão, i.e., ( , )T P  . Para líquidos, a viscosidade diminui com o aumento da temperatura; 
para gases, a viscosidade aumenta com o aumento da temperatura. 
 
 
 
2. Conceitos Fundamentais. 
 
2.9. Fluidos Não-Newtonianos 
São fluidos onde se observa uma variação não-linear da tensão tangencial com a taxa de 
deformação. O estudo de fluidos não-Newtonianos está intimamente associado à reologia, que 
pode ser definida como a ciência que estuda o comportamento da fluidez. 
para fluidos não-Newtonianos, a tensão tangencial não varia linearmente com a taxa de . 
 
Classificação de Fluidos Não-Newtonianos 
 
Fluidos com Comportamento Independente do Tempo 
 
i) Fluido Pseudoplástico 
Fluido onde a viscosidade decresce com o aumento da taxa de cisalhamento. 
Ex.: soluções poliméricas, tintas, emulsões. 
 
ii) Fluido Dilatante 
Fluido onde a viscosidade aumenta com o aumento da taxa de cisalhamento. 
Ex.: argilas, lama, suspensões aquosas de amido de milho. 
 
iii) Fluido Viscoplástico 
Este tipo de fluido comporta-se como sólido em condições estáticas ou de repouso e somente 
após a aplicação de uma tensão limite começa a comporta-se como fluido. Após começar a fluir 
o comportamento do fluido pode ser Newtoniano (Fluido de Bingham), pseudoplástico ou 
dilatante (Fluido de Herschel-Bulkley). 
Ex.: lamas de perfuração de poços de petróleo, creme dental. 
Para fluidos independentes do tempo, uma Eq. constitutiva geral, redutível à Eq. (2.20) é 
definida por: 
 0 [ ]
n
yx
du
dy
    (2.22) 
 
0 0  e n
 = 1  fluido Newtoniano; 
0 0  e n
 < 1  fluido pseudoplástico; 
0 0  e n
 > 1  fluido dilatante; 
0 0  e n
 = 1  fluido de Bingham; 
0 0  e n
 < 1 (ou n > 1)  fluido de Herschel-Bulkley (não ilustrado). 
 
Existem outros fluidos independentes do tempo além dos que foram relacionados aqui. 
 
 
 
2. Conceitos Fundamentais. 
 
Fluidos com Comportamento Dependente do Tempo 
 
i) Fluido Tixotrópico 
Esta classe de fluidos tem a viscosidade reduzida com o tempo de aplicação da tensão de 
cisalhamento; a viscosidade aumenta progressivamente quando a tensão é retirada. A tixotropia 
invariavelmente ocorre nas circunstâncias em que o fluido também exibe comportamento 
pseudoplástico [4]. 
Ex.: suspensões concentradas, petróleo cru, tintas, ketchup. 
 
ii) Fluido Reopético 
Esta classe de fluidos tem a viscosidade aumentada com o tempo de aplicação da tensão de 
cisalhamento, a viscosidade diminui progressivamente quando a tensão é retirada. A reopexia 
invariavelmente ocorre nas circunstâncias em que o fluido também exibe comportamento 
dilatante [4] 
 
Os fluidos tixotrópicos e reopéticos apresentam comportamentos inversos, i.e., um decréscimo 
(tixotropia) ou acréscimo (reopexia) - reversível no tempo - da força tangencial necessária para 
manter uma taxa de deformação constante (a uma temperatura constante). 
 
iii) Fluido Viscoelástico 
São fluidos que possuem características de líquidos viscosos com propriedades elásticas (e.g., 
modelo de Maxwell) e de sólidos com propriedades viscosas (e.g., modelo de Kelvin-Voigt), i.e., 
possuem propriedadeselásticas e viscosas acopladas. Estas substâncias quando submetidas a 
tensões tangenciais sofrem uma deformação (de caráter viscoso) e quando estas solicitações 
cessam, ocorre uma certa recuperação da deformação (de caráter elástico) sofrida. 
 
2.8. Tensão Superficial. 
A tensão superficial é um efeito que ocorre na camada superficial de um líquido que leva a sua 
superfície a se comportar como uma membrana elástica. As moléculas situadas no interior de 
um líquido são atraídas em todas as direções pelas moléculas vizinhas e, por isso, a resultante 
das forças que atuam sobre cada molécula é praticamente nula. As moléculas da superfície do 
líquido, entretanto, sofrem apenas atração lateral e inferior. Estas forças, para os lados e para 
baixo, criam a tensão na superfície, que faz a mesma comportar-se como uma película elástica. 
 
Um dos efeitos da tensão superficial é o aumento da pressão interna de uma gota imersa em 
um gás ou de uma bolha imersa em um líquido – em consequência da tendência de redução da 
superfície interfacial – i.e, a pressão do gás (líquido) é menor que a pressão da gota (bolha) 
imersa. Outros efeitos importantes estão relacionados às forças de adesão (sólido-líquido) e de 
coesão (líquido-líquido) e à formação de superfícies livres curvas de líquidos no interior de tubos 
capilares. 
 
 
 
 
 
2. Conceitos Fundamentais. 
 
2.9. Descrição e Classificação dos Escoamentos. 
 
 
 
Fluidos Viscosos e Não-viscosos 
No escoamento (idealizado) de um fluido não-viscoso sobre uma esfera sólida, o padrão das 
linhas de corrente é simétrico a montante e a jusante da esfera. Nas regiões de menor densidade 
de linhas de corrente, as velocidades são menores e as pressões são maiores (cf. Seção 2.5). Isto 
é observado nos pontos A e C sobre a esfera. 
 
Em um escoamento invíscido (ou não-viscoso), o padrão simétrico das linhas de corrente implica 
em uma distribuição de pressão simétrica sobre a esfera, e a resistência ao escoamento devido 
à pressão, o arrasto de pressão ou de forma, devido à geometria do corpo, é nulo. Este fenômeno 
é conhecido como paradoxo de d’Alembert (1752). Diversas investigações sobre este tipo de 
escoamento foram realizadas por d’Alembert, que sempre obtinha como resultado de suas 
análises um arrasto nulo, contrariando as evidências experimentais. 
 
O que d’Alembert não considerou em suas análises sobre o arrasto, foi o fato de que os fluidos 
reais são viscosos. A viscosidade do fluido implica em um outro tipo de arrasto que deve ser 
considerado na análise, o arrasto viscoso, que está associado à condição de não-deslizamento 
(inexistente na teoria dos escoamentos não-viscosos), junto à superfície sólida. Somente em 
1904 (152 anos depois) o paradoxo foi esclarecido, através do advento do conceito de camada 
limite, uma região delgada do escoamento junto à superfície do corpo, onde os efeitos do atrito 
(i.e., do arrasto viscoso) são observados e a condição de não-deslizamento deve ser considerada. 
Esta é a essência da teoria da camada limite de Prandtl. 
 
Em um escoamento viscoso, à condição de não-deslizamento implica em um padrão de linhas 
de corrente que não é simétrico a montante e a jusante da esfera, o que implica, portanto, além 
dos efeitos do arrasto viscoso, os efeitos do arrasto de forma, em conseqüência do descolamento 
da camada limite. 
 
Antes do ponto B, o gradiente de pressões é favorável ao escoamento (p/x < 0). A pressão 
diminui enquanto a velocidade aumenta ao longo da direção x. A energia de pressão de pressão 
diminui enquanto o a energia cinética aumenta ao longo da direção x. 
 
Após o ponto B, o gradiente de pressões é adverso (p/x > 0). A pressão aumenta enquanto a 
velocidade diminui ao longo da direção x. Após o ponto B, existirá assim, um ponto crítico 
(imediatamente após o ponto D), onde a energia cinética do escoamento é menor que a energia 
de pressão, promovendo o aparecimento de um escoamento reverso. 
 
2. Conceitos Fundamentais. 
 
 
 
Escoamento Laminar e Escoamento Turbulento 
Em um escoamento laminar as partículas fluidas se movem em camadas ou lâminas que 
deslizam umas em relação às outras, de forma ordenada, sem a ocorrência de misturas 
macroscópicas. As trajetórias das partículas são regulares. 
 
Em um escoamento turbulento as partículas fluidas se movem de forma desordenada, com a 
ocorrência de misturas macroscópicas devido à presença de turbilhões no escoamento. As 
trajetórias das partículas são irregulares. 
 
 
 
Algumas Características dos Escoamentos Turbulentos: 
 
 ocorrem em elevados números de Reynolds (Re= LV/ = LV/); 
 são 3D, rotacionais, com múltiplas escalas de movimento; 
 produzem o (falso) efeito de aumentar os processos difusivos (aumento de mistura); 
 demandam discretização refinada para descrição adequada do escoamento por soluções 
numéricas; 
 intermitência - magnitude de campos (de velocidade, vorticidade, etc) com regiões de 
maior ‘atividade’ em meio a regiões de ‘quiescência’. 
 
Escoamentos Compressíveis e Incompressíveis – O Número de Mach (Ma) 
Quando as variações de  são desprezíveis têm-se escoamentos incompressíveis; se as variações 
de  não são desprezíveis, têm-se escoamentos compressíveis [1]. 
 
O grau de compressibilidade de um escoamento é avaliado de acordo com a ordem de grandeza 
do No de Mach (Ma= u/c), onde u é a velocidade do escoamento, e c é a velocidade do som 
no meio (car
.= 340 ms–1cágua
.= 1500 ms–1). 
 Ma  1  escoamento incompressível (gases e líquidos); 
 Ma < 0,3  escoamento incompressível (gás ideal); 
 Ma < 1,0  escoamento subsônico; 
 Ma  1,0  escoamento transônico; 
 Ma > 1,0  escoamento supersônico; 
 Ma > 5,0  escoamento hipersônico. 
 
2. Conceitos Fundamentais. 
 
Matematicamente, é possível existir um escoamento de fluido na fase líquida no regime 
compressível, enquanto que fisicamente, esta é uma realidade difícil de ser obtida, (e.g., para a 
água, é difícil obter uma velocidade do escoamento maior que a velocidade do som na água). 
 
Para a descrição do movimento em escoamentos incompressíveis é necessário obter: 
 sol. da Eq. de transporte de massa + sol. das Eqs. de transporte de momento linear; 
 
Para a descrição do movimento em escoamentos compressíveis é necessário obter: 
 sol. da Eq. de transporte de massa + sol. das Eqs. de transporte de momento linear + 
 + sol. da Eq. de transporte de energia + sol. da(s) Eq(’s). de estado 
 
Algumas Características dos Escoamentos Compressíveis 
 diferenças significativas de comportamento em relação a escoamentos incompressíveis 
(e.g., em escoamentos através de seções convergentes/divergentes - bocais); 
 presença de ondas de choque; 
 ocorrência do fenômeno ‘golpe de aríete’ em escoamentos confinados; 
 relações com o fenômeno da cavitação; 
 descrição intimamente relacionada com o formalismo da termodinâmica. 
 
Escoamentos Internos e Externos 
 
Escoamentos Internos 
São escoamentos de fluidos confinados por superfícies sólidas. 
 linhas hidráulicas – distribuição de água, redes de esgoto, irrigação agrícola; 
 canais; 
 máquinas de fluxo; 
 linhas de distribuição de ar comprimido e de vapor. 
 
Escoamentos Externos 
São escoamentos de fluidos em torno de corpos sólidos imersos, escoamentos sobre superfícies 
sólidas e escoamentos livres (sem a presença de corpos e superfícies sólidas). 
 automóveis; 
 embarcações; 
 aeronaves; 
 tornados, furacões e escoamentos geofísicos em geral. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2. Conceitos Fundamentais. 
 
Referências. 
 
[1] Fox, W.R., McDonald, A.T, Introdução à Mecânicados Fluidos, LTC, 2006. 
 
[2] Kundu, P.K., Cohen, I.M., Fluid Mechanics, 2 ed, Elsevier, 2002. 
 
[3] Aris, R., Vectors, Tensors and the Basic Equations of Fluid Mechanics, 1 ed, Dover, 1962. 
 
[4] Barnes, H.A., Hutton, J.F., Walters, K., An Introduction to Rheology, Elsevier, 1989.