cálculo unaerp Integrais Definidas (aréa)

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Cálculo 2 
2ª Lista de Exercícios – Integral Definida 
Prof. Alexandre Mello 
 
Integral Definida 
O matemático grego Arquimedes (287 – 212 A.C.) utilizou o denominado método de exaustão para determinar a 
quadratura da parábola. O método, cujo desenvolvimento foi creditado a Eudoxo (cerca de 370 A.C.), consiste em 
exaurir ou esgotar a região, cuja área se quer determinar, por meio de outras áreas já conhecidas. 
 Vejamos agora como definir e calcular a área de uma região limitada por uma função f, contínua em um intervalo 
[a,b]. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 A B A B 
Se dividirmos o intervlo [a,b] em n partes e construirmos retângulos. Quanto maior for o número n, mais próxima 
da área da figura será a soma das áreas dos retângulos. 
O limite da soma das áreas desses retângulos, quando n tende a infinito, é, por definição, a área da figura dada. 
Na figura abaixo, dividimos o intervalo [a, b] em n partes iguais a x e construímos os retângulos com base igual 
a x e altura igual a f (x): 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A área da figura é definida como limite da soma das áreas desses retângulos, quando n tende a 
infinito, isto é: 







n
k
xkxf
n
Aouxnxfxxfxxfxxf
n
A
1
)(
lim
])(...)3()2()1([lim
 
 A figura acima dá o significado geométrico desta soma se f(x)  0 e também mostra que esta soma é 
uma boa aproximação da área determinada pelo gráfico de f, pelo eixo x e pelas ordenadas x = a e x = b. 
 Sendo f (xn)x a área do retângulo de base x (ou dx) e altura f (xn), cabe destacar que quanto mais 
retângulos tivermos menor será x e quanto melhor for a posição de xn, melhor será a aproximação entre a 
área sob a curva e suas outras delimitações. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo: 
x = (b-a) / n 
 a x x1 x x2 x x3 b X 
y 
 
 
 f(x3) 
 
 
 
f(x2) 
 
 
 
f(x1) 
 
 
 
f(x) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
n = 2 n = 4 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
n = 8 n = 40 
 
Definição: A integral definida de f, desde a até b é o 




n
k
xkxf
n 1
)(
lim
 , 
 Símbolo : 
 
x
n
k
kfx
n
b
a dxxf 


1
)(lim)(
 
 
 Teorema Fundamental do Cálculo 
 
 Consideremos f(x) uma função definida num intervalo [a, b]. Suponhamos que exista uma função F(x), 
definida e derivável nesse intervalo, tal que F’(x) = f(x), para todo x  [a, b]. Então, temos: 
  )a(F)b(F)x(Fdx)x(f
b
a
b
a

, onde F é uma integral indefinida de f. 
Exercício–Exemplo : Calcular 

1
0
2dxx
 
Uma primitiva de f(x) = x2 é, como vimos, F(x) = 
3
x 3
. Assim: 
3
1
3
0
3
1
3
x
dxx
1
0
3
1
0
2 












 
 
 CÁLCULO DE ÁREAS 
 
Com a integral definida podemos calcular áreas. Isso ficou mostrado pelas considerações feitas 
anteriormente. Podemos então considerar 4 casos do uso da integral definida para calcular áreas : 
                 





















x
y
 
                 





















x
y
 
            















x
y
 
        










x
y
 
1.º caso 
2.º caso 
3.º caso 
4.º caso 
 
A área está toda acima do eixo x ou seja f(x)  0 para todo x  [a, b] , então 

b
a
dx)x(fA
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A área está toda abaixo do eixo x ou seja f(x)  0 para todo x  [a, b] , então 

b
a
dx)x(fA
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Neste caso, a área assinalada será calculada por: 
 
a
b
b
a
b
a
dx)x(foudx)x(foudx)x(f
 
 
A área está abaixo e acima do eixo x, ou seja f(x)  0 e f(x)  0 para todo x  [a, b]. Então se calcula a(s) 
raiz(es) de f(x) e se estas estão no interior do intervalo de integração teremos: 
 
b
x
x
a
dxxfdxxf
1
1
)()(
 . 
 X1 é a raiz da f(x) neste exemplo. 
 
 
 
 
 
A região cuja área queremos calcular, está situada entre duas curvas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
dxxgxfA
b
a  ))()((
 
 
 
Exercícios: 
 
1) Calcule as integrais definidas abaixo: 
a) 

2
1
4dxx6
 R : 
5
198
 
F : [a, b]  R , e f(x)  0  x  [a, b]. 
F : [a, b]  R, e f(x)  0  x  [a, b]. 
F : [a, b]  R, e f(x) assume valores positivos, 
negativos e nulos para todo x  [a, b]. 
Como se vê, f(x)  g(x),  x  [a, b], logo f(x) – g(x)  0. 
Portanto, a função F(x) = f(x) – g(x) encaixa–se no 1.º caso: 
 
 X 
a b 
y 
a b X 
y 
 X 
 a b 
 f(x) 
 
 
 g(x) 
y 
 
 a X 
 x1 b 
 
y 
b) 

 
2
1
34 dx)x8x5(
 R : 
24
37
 
c) 

2
0
dx)x2sen(
 R : 0 
d) 
 





2
2
2
3
dx1x7x2
3
x
 R : - 6,667 
e) 
 
4
0
dx)1x2(
 R : 8,667 
f) 
 
2
1
dx)1x6(
 R : 8 
g) 
 
2
1
3 dx)x1(x
 R : 
10
81
 
2) Calcular a área determinada pelas curvas de equações y = x2 – 3x – 4 ; y = 0 ; x = 0 e x = 5. 
 R: 
.a.u
6
73
 
3) Calcular a área compreendida entre a curva y = x2, o eixo x, e as ordenadas correspondentes às abcissas 
x = 0 e x = 2. 
R: 
.a.u
3
8
 
4) Calcule a área compreendida entre os gráficos das funções
xy 
 ; y = 0 e a reta x = 4 
R: 
.a.u
3
16
 
5) Calcule a área compreendida entre a curva y = 5x + 1, o eixo x e as retas x = – 3 e x = 1. 
R: 23,2 u. a. 
6) Calcular a área entre as curvas y = – x2 + 4 e y = 1 no intervalo [–1, 1]. 
R: 
.a.u
3
16
 
7) Calcular a área entre as curvas y = x2 – 4 e y = x – 3 . 
R: 1,86 u.a. 
 
 
Integral Definida: http://wwwp.fc.unesp.br/~arbalbo/arquivos/integraldefinida.pdf 
 
EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
 
Calcule a integral definida usando Geometria Elementar: 
 
1. 2. 3. 4. 1. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Use o TFC para calcular a integral definida 
 
5. 6. 
 
7. dx 8. dx 
 
 9. dx 10. dx 
 
11. dx 12. dx 
 
13. dx 14. dx 
 
15. dx 16. dx 
 
 
Calcule a área sob o gráfico de f . 
 
17. y = -x2 + 10x - 24, 4 ≤ x ≤ 618. y = x2 - 3, 0 ≤ x ≤ 3 
 
19. y = -x2, 0 ≤ x ≤ 2 20. y = x4, - 2 ≤ x ≤ 1 
 
21. y = 2x2 – 11x + 5, 0 ≤ x ≤ 5 22. y = x, - 2 ≤ x ≤ 2