Exercícios de indução

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Lista de Exercı´cios
CEFET/RJ – campus petro´polis
Joa˜o Vinicius Correˆa Thompson
EXERCI´CIOS DE INDUC¸A˜O MATEMA´TICA
1) Prove:
a) P (n) : 20 + 21 + 22 + . . .+ 2n = 2n+1 − 1;
b) P (n) : 2 + 5 + 8 + . . .+ (3n− 1) = n(3n+1)
2
;
c) P (n) : 12 + 22 + 32 + . . .+ n2 = n(n+1)(n+2)
6
;
d) P (n) : 12 + 22 + 32 + . . .+ n2 =
(
n(n+1)
2
)2
; e
e) 22n − 1 e´ divisı´vel por 3.
2) Dada a sequeˆncia de Fibonacci, onde os dois primeiros termos sa˜o 1 e os termos subsequentes sa˜o
a soma dos dois termos anteriores (F (n) = F (n− 1) + F (n− 2)):
{1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, . . .}
Prove que:
F (1)2 + F (2)2 + . . .+ F (n)2 = F (n)× F (n+ 1)
3) Considerando a sequeˆncia de Fibonacci, prove que:
F (n) <
(7
4
)n