AULA 02 - ESTATISTICA - ICMS SP

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CURSO ON-LINE – ESTATÍSTICA PARA ICMS/SP 1 
PROFESSOR: VÍTOR MENEZES 
 
 
 
AULA 2 
 
 
 
IV MEDIDAS DE POSIÇÃO PARA DADOS AGRUPADOS POR VALOR ............................................. 3 
 
1 Dados agrupados por valor ...................................................................................................................... 3 
 
2 Freqüências............................................................................................................................................... 4 
 
3 Freqüências absolutas .............................................................................................................................. 4 
 
4 Freqüências relativas................................................................................................................................ 8 
 
5 Média para dados agrupados por valor.................................................................................................. 14 
 
6 Moda para dados agrupados por valor .................................................................................................. 17 
 
7 Mediana para dados agrupados por valor.............................................................................................. 20 
 
V FORMAS DE APRESENTAÇÃO DE DADOS AGRUPADOS POR VALOR ................................... 23 
 
 
VI MÉDIA E MODA PARA DADOS AGRUPADOS EM CLASSES ....................................................... 25 
 
1 Dados agrupados em classes .................................................................................................................. 25 
 
2 Média para dados agrupados em classes................................................................................................ 28 
 
3 Moda para dados agrupados em classes ................................................................................................ 50 
 
LISTA DAS QUESTÕES DE CONCURSOS ................................................................................................... 65 
 
 
GABARITO DAS QUESTÕES DE CONCURSOS ......................................................................................... 74 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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CURSO ON-LINE – ESTATÍSTICA PARA ICMS/SP 2 
PROFESSOR: VÍTOR MENEZES 
 
 
Antes de começar a aula de hoje, respondo a uma dúvida do fórum. A pergunta foi sobre 
a resolução do EP 7. Nós tínhamos duas equações: 
 
a + b = 100 (I) 
 
1000 × a + 900 × b = 960 × (a + b) 
 
Do lado direito da igualdade já temos um termo 
 
(a + b) . E nós sabemos que 
(a + b) = 100 . A minha idéia foi dar um jeito para que, do lado esquerdo, também 
aparecesse esse mesmo termo. 
 
Então, separei o termo 1.000 × a em duas partes. Ficou assim: 
 
1.000 × a = 100 × a + 900 × a 
 
Aí a equação II fica: 
 
100 × a + 900 × a + 900 × b = 960 × (a + b) 
 
E quando colocarmos o 900 em evidência, o termo (a + b) aparece do lado esquerdo. 
 
100 × a + 900 × (a + b) = 960 × (a + b) 
 
Lembrando que 
 
a + b = 100 
 
100 × a + 900 ×100 = 960 ×100 
 
E qual foi a vantagem disso? É que agora a equação só tem uma incógnita. Só tem ‘a’ na 
equação acima. 
 
 
Creio que a pessoa que mandou a pergunta tenha sentido falta de uma regra, uma 
maneira sistemática de resolução. 
 
Para quem não tiver gostado desta resolução aí de cima, há outras formas mais 
sistemáticas. Talvez a mais usual seja a que segue. 
 
Temos duas equações e duas incógnitas. 
 
a + b = 100 (I) 
 
1000 × a + 900 × b = 960 × (a + b) 
 
Para resolver este sistema de equações, nos dirigimos à primeira equação e ‘isolamos’ 
uma das variáveis. A título de exemplo, vamos ‘isolar’ o ‘b’. 
 
a + b = 100 � b = 100 − a 
 
Agora, pegamos este valor de ‘b’ e substituímos na segunda equação. 
 
1000 × a + 900 × b = 960 × (a + b) 
 
1000 × a + 900 × 
100( 
 
− a) = 960 × (a + 100 − a) 
 
E agora temos uma equação e uma variável. 
 
1000 × a + 90.000 − 900 × a = 96.000 
 
100 × a = 96.000 − 90.000 � a = 60 
 
Tendo o valor de ‘a’, podemos voltar e achar o valor de ‘b’. 
 
b = 100 − a � b = 40 
 
 
 
 
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CURSO ON-LINE – ESTATÍSTICA PARA ICMS/SP 3 
PROFESSOR: VÍTOR MENEZES 
 
 
Pronto. Esta segunda forma de resolução é mais sistemática. É sempre assim. Isolamos 
uma variável em uma das equações. Depois, fazemos a substituição na outra equação. 
 
 
Mudando de assunto, cometi um erro na aula passada. Foi no EP 13. Na letra C, o ROL do 
enunciado digitado foi: 1, 1, 1, 1, 2, 2 ,2, 2, 2, 3, 4, 4, 4, 5, 5, 6, 8, 9, 19, 40, 40. 
Mas o correto seria: 1, 1, 1, 1, 2, 2 ,2, 2, 2, 2, 3, 3, 4, 5, 5, 6, 8, 9, 19, 40, 40. 
Desculpem o erro. 
 
Vamos à matéria de hoje. 
 
 
 
IV MEDIDAS DE POSIÇÃO PARA DADOS AGRUPADOS POR VALOR 
 
Aula passada nós estudamos o ROL. E vimos como calcular a média, a mediana e a moda 
para seqüências de dados em ROL. 
 
Pois bem, agora nós veremos o que são dados agrupados. E veremos como calcular a 
média, a mediana e a moda para tais dados. 
 
 
 
1 Dados agrupados por valor 
 
Voltemos ao nosso rol lá da primeira aula, formado pelos salários das pessoas do Bairro 
Nova Vila. 
 
Rol: R$ 1.000,00; R$ 2.000,00; R$ 2.000,00; R$ 2.000,00; R$ 3.000,00; R$ 
4.000,00; R$ 4.000,00; R$ 5.000,00; R$ 6.000,00; R$ 7.000,00. 
Simplificando a escrita, temos: 
 
 
 
ROL (salários em R$ 1.000,00): 1, 2, 2, 3, 4, 4, 5, 6, 7. 
 
 
Como são apenas dez dados, até que não é tão difícil trabalhar com o ROL. Agora, 
imagine que tivessem sido entrevistadas cem mil pessoas. Já pensou ficar escrevendo: 
“1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, ....” uma quinhentas vezes. Depois “2, 2, 2, 2 ....” umas mil vezes e 
assim por diante. 
 
Isso sem levar em conta que ainda poderíamos ter valores como 1,1 (mil e cem reais) ou 
2,25 (dois mil duzentos e cinqüenta reais). 
 
Com um número muito grande de dados, trabalhar com o ROL pode não ser a melhor 
opção. 
 
Pois bem, uma outra maneira de se trabalhar com os dados é agrupar os valores iguais. 
Colocamos os dados em uma tabela, indicando a freqüência com que cada valor 
acontece. 
 
 
Salários (em R$ 1.000,00) Freqüência absoluta simples 
1 1 
2 3 
3 1 
4 2 
5 1 
6 1 
7 1 
 
 
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CURSO ON-LINE – ESTATÍSTICAPARA ICMS/SP 4 
PROFESSOR: VÍTOR MENEZES 
 
 
Daqui a pouco falamos sobre os vários tipos de freqüência. Por hora, basta saber que a 
freqüência absoluta simples nos indica quantas vezes um valor ocorre. 
 
A freqüência do valor 1 (=mil reais) é 1. Isto significa que temos uma pessoa com o 
salário de mil reais. 
 
A freqüência do valor 2 (= dois mil reais) é 3. Isto significa que temos três pessoas com 
salário de dois mil reais. Ou ainda, o salário de dois mil reais ocorre três vezes. 
 
Assim, em vez de escrever “2, 2, 2” (indicando que o valor dois ocorre três vezes), 
apenas colocamos sua freqüência absoluta simples. Agrupamos todos os salários de R$ 
2.000,00 em uma única linha. Dizemos que estamos agrupando os dados por valor. 
 
A freqüência do valor 3 (=três mil reais) é 1. Isto significa que temos uma pessoa com o 
salário de três mil reais. Ou ainda, o salário de três mil reais ocorre uma vez. E assim por 
diante. 
 
É comum chamar essa relação de valores e suas respectivas freqüências (que pode ser 
expressa tanto por meio de tabelas, quanto de gráficos) de distribuição de freqüências. 
Antes de passar ao cálculo da média, mediana e moda para os dados agrupados, 
vejamos os demais tipos de freqüência. 
 
 
 
2 Freqüências 
 
Um conceito recorrente em estatística é o conceito de freqüência. São de quatro tipos: 
 
· freqüência absoluta simples ( f ); 
 
· freqüência absoluta acumulada ( F ); 
 
· freqüência relativa simples ( fr ); 
 
· freqüência relativa acumulada ( Fr ). 
 
Todas as freqüências guardam relação com o número de ocorrências de um valor ou 
classe de valores. Em seguida, analisaremos cada tipo de freqüência. 
 
 
 
3 Freqüências absolutas 
 
A FREQÜÊNCIA ABSOLUTA SIMPLES indica o número de ocorrências de um valor ou 
classe de valores (obs: ainda nesta aula veremos o que é uma classe – ver fl. 25). 
 
Para exemplificar, voltemos aos nossos dados (1, 2, 2, 2, 3, 4, 4, 5, 6, 7). 
 
Quantos valores iguais a 2 nós temos? (ou ainda: quantas pessoas ganham R$ 
2.000,00?) 
 
Resposta: são três valores iguais a 2 (ou ainda: três pessoas ganham R$ 2.000,00). 
 
 
 
Dizemos que a freqüência absoluta simples do número 2 é 3. 
O número 4 ocorre 2 vezes. Assim, a freqüência absoluta simples do número 4 é 2. 
A tabela abaixo mostra as freqüências para cada valor de X. 
 
 
Salários (em R$ 1.000,00) Freqüência absoluta simples 
1 1 
2 3 
3 1 
4 2 
 
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CURSO ON-LINE – ESTATÍSTICA PARA ICMS/SP 5 
PROFESSOR: VÍTOR MENEZES 
 
 
Salários (em R$ 1.000,00) Freqüência absoluta simples 
5 1 
6 1 
7 1 
TOTAL 10 
 
Quando os dados estão agrupados por valor, é natural que a gente queira se referir a um 
específico valor e sua freqüência. Para tanto, usamos a notação X i (“xis” índice “i”) para 
 
nos referirmos a cada valor e f i (“efe” índice “i”) para nos referirmos a cada freqüência. 
 
Deste modo, o primeiro valor é 1. Dizemos que 
 
X 1 = 1. Sua freqüência também é igual a 
1. Dizemos que f1 = 1 . 
 
O segundo valor é 2. Ou seja, 
 
X 2 = 2 . E sua freqüência é igual a 3. Portanto, 
 
f 2 = 3 . 
 
Repare que o total das freqüências absolutas simples é 10. E 10 é justamente o número 
de pessoas pesquisadas. Isto não é coincidência. 
 
Na tabela acima, indicamos quantas pessoas ganham cada um dos salários. Se são 10 
pessoas, é natural esperar que, somando todas as freqüências, obtenhamos justamente 
10. 
 
Como regra geral, se tivermos ‘n’ elementos, podemos dizer que: 
 
n 
∑ f i = n 
i =1 
 
Para o caso acima, ‘n’ vale 10 (são dez salários pesquisados). Então, ficamos com: 
 
10 
∑ f i = ? 
i 1= 
 
O que significa mesmo a expressão acima? Significa que queremos somar valores (pois 
há um símbolo de somatório). Que valores? Valores de 
if (freqüência absoluta simples). 
 
Quais valores de f i ? Aqueles para os quais ‘i’ vai de 1 até 10. 
 
10 
∑ f i = 
i 1= 
 
 
f1 + f 2 + f 3 + f 4 + f 5 + f 6 + f 7 + f8 + f 9 + f10 
 
 
10 
∑ f i = 1 + 3 + 1 + 2 + 1 + 1 + 1 = 10 
i 1= 
 
 
Valor 
observado (X) 
 
 
Freqüência absoluta 
simples 
1 1 
2 3 
3 1 
4 2 
5 1 
6 1 
7 1 
TOTAL 10 
 
sempre igual a n 
 
 
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CURSO ON-LINE – ESTATÍSTICA PARA ICMS/SP 6 
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A FREQUENCIA ABSOLUTA ACUMULADA nos dá quantos valores são menores ou iguais 
ao valor observado. Para a nossa seqüência de dados, podemos construir a seguinte 
tabela: 
 
 
Salários (em R$ 1.000,00) Freqüência absoluta 
acumulada 
1 1 
2 4 
3 5 
4 7 
5 8 
6 9 
7 10 
 
 
 
Tomemos como exemplo o valor 4 (linha em vermelho). 
 
Quantos valores menores ou iguais a 4 nós temos? (ou ainda: quantas pessoas ganham 
de R$ 4.000,00 pra baixo?) 
 
Resposta: temos 7 valores menores ou iguais a 4 (são eles: 1, 2, 2, 2, 3, 4, 4). Ou 
ainda: sete pessoas ganham salários menores ou iguais a R$ 4.000,00. 
 
 
 
Portanto, a freqüência acumulada do valor 4 é 7. 
 
Note que a última freqüência acumulada é igual a 10 (exatamente o número de dados). 
Isto não é coincidência. Se o maior valor é 7, então todos os dados serão menores ou 
iguais a 7. Portanto, a freqüência absoluta acumulada do valor 7 é 10. 
 
Valor 
observado (X) 
 
Freqüência absoluta 
acumulada 
1 1 
2 4 
3 5 
4 7 
5 8 
6 9 
7 10 
 
 
sempre igual a n 
 
É importante saber como se faz para, a partir da freqüência absoluta simples, chegar à 
freqüência absoluta acumulada. 
 
 
Suponha que temos apenas os valores de freqüências simples e queremos obter as 
freqüências acumuladas. Como fazer? 
 
A primeira linha da coluna de freqüência acumulada coincide com a de freqüência 
simples. 
 
Assim, o primeiro valor de freqüência acumulada é igual a 1. 
 
 
 
 
 
 
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CURSO ON-LINE – ESTATÍSTICA PARA ICMS/SP 7 
PROFESSOR: VÍTOR MENEZES 
 
 
Valor 
observado (X) 
 
 
Freqüência absoluta 
simples 
 
 
Freqüência absoluta 
acumulada 
1 1 1 
2 3 4 
3 1 5 
4 2 7 
5 1 8 
6 1 9 
7 1 10 
 
A partir da segunda linha, os valores começam a se diferenciar. Tomamos o valor de 
freqüência acumulada da linha anterior (no caso ‘1’). Tomamos o valor da freqüência 
simples da linha atual (no caso ‘3’). Somamos os dois (1+3 = 4) e preenchemos a 
segunda linha da coluna de freqüência acumulada. Esta seqüência está expressa nas 
linhas de cor vermelha. 
 
Valor 
observado (X) 
 
Freqüência absoluta 
simples 
 
Freqüência absoluta 
acumulada1 1 1 
2 3 4 1+3=4 
3 1 5 
4 2 7 
5 1 8 
6 1 9 
7 1 10 
 
Para a linha seguinte, a mesma coisa. 
 
Valor 
observado (X) 
 
Freqüência absoluta 
simples 
 
Freqüência absoluta 
acumulada 
1 1 1 
2 3 4 
3 1 5 4+1=5 
4 2 7 
5 1 8 
6 1 9 
7 1 10 
 
E o mesmo raciocínio segue até a última linha. 
 
Valor 
observado (X) 
 
Freqüência absoluta 
simples 
 
Freqüência absoluta 
acumulada 
 
Memória 
de cálculo 
1 1 1 =1 
2 3 4 =1+3 
3 1 5 =4+1 
4 2 7 =5+2 
5 1 8 =7+1 
6 1 9 =8+1 
7 1 10 =9+1 
 
É também importante saber como se calcula, a partir da tabela de freqüências 
acumuladas, os valores de freqüências simples. Basta fazer o procedimento inverso do 
descrito acima. 
 
 
 
 
 
 
 
 
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CURSO ON-LINE – ESTATÍSTICA PARA ICMS/SP 8 
PROFESSOR: VÍTOR MENEZES 
 
 
Valor 
observado (X) 
 
 
Freqüência 
absoluta simples 
 
 
Freqüência 
absoluta acumulada 
1 1 1 
2 3 4 
3 1 5 
4 2 7 
5 1 8 
6 1 9 
7 1 10 
 
A primeira freqüência simples coincide com a primeira freqüência acumulada. 
 
A partir da segunda linha, os valores começam a diferenciar. Tomamos o valor de 
freqüência acumulada da linha atual (no caso, 4). Tomamos o valor de freqüência 
acumulada da linha anterior (no caso, 1). Subtraímos um do outro. E obtemos a 
freqüência simples da linha atual. Este procedimento está expresso nas linhas azuis. 
 
 
 
Para a linha seguinte, a mesma coisa. 
 
Valor 
observado (X) 
 
Freqüência 
absoluta simples 
 
Freqüência 
absoluta acumulada 
1 1 1 
2 3 4 
3 15-4=1 5 
4 2 7 
5 1 8 
6 1 9 
7 1 10 
 
E o procedimento segue até a última linha. 
 
Valor 
observado (X) 
 
Memória de 
Cálculo 
 
Freqüência 
absoluta simples 
 
Freqüência 
absoluta acumulada 
1 =1 1 1 
2 =4-1 3 4 
3 =5-4 1 5 
4 =7-5 2 7 
5 =8-7 1 8 
6 =9-8 1 9 
7 =10-9 1 10 
 
 
 
4 Freqüências relativas 
 
As freqüências relativas são muito parecidas com as absolutas. A única diferença é que, 
em vez de estarmos interessados em valores absolutos, queremos saber valores 
relativos. 
 
A palavra “relativo” tem a ver com relação. Relação é sinônimo de divisão. 
 
 
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CURSO ON-LINE – ESTATÍSTICA PARA ICMS/SP 9 
PROFESSOR: VÍTOR MENEZES 
 
 
Pois bem, as freqüências relativas serão obtidas a partir de uma divisão. Divisão esta em 
que o denominador é o número de dados. 
 
A FREQUENCIA RELATIVA SIMPLES é dada pela freqüência absoluta simples dividida pelo 
número de dados. 
 
Na nossa pesquisa de salários, temos 10 valores (n = 10). Vamos, a título de exemplo, 
calcular a freqüência relativa simples do número 2. 
 
O número 2 ocorre três vezes (a freqüência absoluta simples do número 2 é três; isto 
porque há três pessoas que ganham R$ 2.000,00). 
 
Para obter a freqüência relativa simples do número 2, basta dividir 3 por 10. A freqüência 
relativa simples do número 2 é: 
 
 
fr2 
 
 
= 3 10 
 
 
= 0 3, 
 
 
 
=
 %3
0 
 
 
 
 (lê-se “efe erre índice dois”, pois estamos nos referindo à 
 
freqüência relativa simples do segundo valor). 
 
O que isto significa? Significa que trinta por cento das pessoas pesquisadas ganham R$ 
2.000,00. 
 
A tabela abaixo nos mostra as freqüências relativas simples para os dados. 
 
 
Salário 
(em R$ 1.000,00) 
 
 
Freqüência absoluta 
simples ( f ) 
 
 
Freqüência relativa 
simples ( fr ) 
1 1 0,1 
2 3 0,3 
3 1 0,1 
4 2 0,2 
5 1 0,1 
6 1 0,1 
7 1 0,1 
TOTAL 10 1,0 
 
Observe que cada valor de freqüência relativa é igual à respectiva freqüência absoluta 
dividido por 10 (porque foram 10 pessoas pesquisadas). Note também que a soma de 
todos os valores da coluna de freqüência relativa simples é igual a 1. Isto sempre 
acontece. 
 
Valor 
observado (X) 
 
Freqüência 
relativa simples 
1 0,1 
2 0,3 
3 0,1 
4 0,2 
5 0,1 
6 0,1 
7 0,1 
TOTAL 1 
 
 
sempre igual a 1 
 
 
 
A FREQÜÊNCIA RELATIVA ACUMULADA é dada pela divisão da freqüência absoluta 
acumulada por n. Fornece-nos o percentual de valores que são iguais ou menores que o 
valor analisado. A tabela abaixo mostra os valores de freqüência relativa acumulada. 
 
 
 
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CURSO ON-LINE – ESTATÍSTICA PARA ICMS/SP 10 
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Salários 
 
 
Freqüência absoluta 
 
 
Freqüência relativa 
(em R$ 1.000,00) acumulada (F ) acumulada (Fr) 
1 1 0,1 
2 4 0,4 
3 5 0,5 
4 7 0,7 
5 8 0,8 
6 9 0,9 
7 10 1,0 
 
 
 
O que significa dizer que a freqüência relativa acumulada do valor 4 é 0,7? Significa que 
70% das pessoas entrevistadas ganham salários iguais ou inferiores a R$ 4.000,00. 
 
Note que a freqüência relativa acumulada do último valor é igual a 1. Isto sempre 
acontece. 
 
Valor 
observado (X) 
 
Freqüência 
relativa acumulada 
1 0,1 
2 0,4 
3 0,5 
4 0,7 
5 0,8 
6 0,9 
7 1 
 
sempre igual a 1 
 
Saber o que significa cada uma das freqüências é muito importante para qualquer prova 
de estatística. Contudo, não há questões que cobrem exclusivamente o seu conceito. Por 
isso, na seqüência, trago alguns exercícios propostos (não são de concursos) só para nos 
familiarizarmos com os conceitos vistos. 
 
Por fim um comentário. Vimos como, a partir da freqüência absoluta simples, obter a 
freqüência absoluta acumulada (e vice-versa). 
 
Para as freqüências relativas, o procedimento é exatamente o mesmo. Se tivéssemos 
apenas as freqüências relativas simples, para obter as freqüências relativas acumuladas 
faríamos: 
 
Valor 
observado (X) 
 
Freqüência relativa 
simples 
 
Freqüência relativa 
acumulada 
 
Memória 
de cálculo 
1 0,1 0,1 =0,1 
2 0,3 0,4 =0,1+0,3 
3 0,1 0,5 =0,4+0,1 
4 0,2 0,7 =0,5+0,2 
5 0,1 0,8 =0,7+0,1 
6 0,1 0,9 =0,8+0,1 
7 0,11 =0,9+0,1 
 
E se tivéssemos apenas as freqüências relativas acumuladas, para obter as freqüências 
relativas simples faríamos o seguinte: 
 
 
 
 
 
 
 
 
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CURSO ON-LINE – ESTATÍSTICA PARA ICMS/SP 11 
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Valor 
observado (X) 
 
 
Memória de 
Cálculo 
 
 
Freqüência 
relativa simples 
 
 
Freqüência 
relativa acumulada 
1 =0,1 0,1 0,1 
2 =0,4-0,1 0,3 0,4 
3 =0,5-0,4 0,1 0,5 
4 =0,7-0,5 0,2 0,7 
5 =0,8-0,7 0,1 0,8 
6 =0,9-0,8 0,1 0,9 
7 =1-0,9 0,1 1 
 
 
 
 
EP 1 
 
 
 
EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
 
 
Considere a seguinte seqüência de dados: 
2, 3, 1, 2, 4, 3, 9, 2, 10, 5, 12, 4, 4, 7, 2, 4, 1, 10, 3, 3. 
a) obtenha o ROL 
 
b) construa a tabela de freqüências absolutas simples 
c) construa a tabela de freqüências absolutas acumuladas 
d) construa a tabela de freqüências relativas simples 
 
e) construa a tabela de freqüências relativas acumuladas 
 
 
EP 2 
 
Considere a seguinte tabela: 
Valores Freqüência absoluta simples 
1 2 
3 5 
5 2 
7 1 
Obtenha os valores de freqüência relativa acumulada. 
 
 
 
EP 3 
 
Considere a seguinte tabela: 
Valores Freqüência relativa acumulada 
1 0,1 
4 0,5 
6 0,8 
15 1,0 
 
Sabendo que ao todo são 50 dados, obtenha os valores de freqüência absoluta simples. 
 
RESOLUÇÃO DOS EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
 
 
RESOLUÇÃO EP 1. 
a) Para achar o ROL, basta colocar os dados em ordem crescente. 
ROL: 1, 1, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 5, 7, 9, 10, 10, 12 
 
 
 
b) 
Valores Freqüência absoluta simples 
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1 2 
2 4 
3 4 
4 4 
5 1 
7 1 
9 1 
10 2 
12 1 
TOTAL 20 
 
Note que a soma de todas as freqüências simples é igual a 20, que é justamente o 
número de dados do nosso ROL. 
 
c) Podemos construir a coluna de freqüências acumuladas a partir da coluna de 
freqüência simples. 
Valores Freqüência absoluta 
simples 
Freqüência absoluta 
acumulada 
Memória de cálculo 
 
1 2 2 =2 
2 4 6 =2+4 
3 4 10 =6+4 
4 4 14 =10+4 
5 1 15 =14+1 
7 1 16 =15+1 
9 1 17 =16+1 
10 2 19 =17+2 
12 1 20 =19+1 
 
Note que a última freqüência acumulada simples é igual ao número de dados do nosso 
ROL (=20). 
 
 
d) Podemos obter as freqüências relativas simples a partir das freqüências absolutas 
simples. 
Valores Freqüência absoluta 
simples 
Freqüência relativa 
simples 
Memória de cálculo 
 
1 2 0,1 =2/20 
2 4 0,2 =4/20 
3 4 0,2 =4/20 
4 4 0,2 =4/20 
5 1 0,05 =1/20 
7 1 0,05 =1/20 
9 1 0,05 =1/20 
10 2 0,1 =2/20 
12 1 0,05 =1/20 
TOTAL 20 1 
 
Note que a soma de todas as freqüências relativas simples é igual a 1. 
 
 
e) Podemos obter as freqüências relativas acumuladas de duas formas. A partir da 
freqüência relativa simples ou a partir da freqüência absoluta acumulada (dividindo todos 
os valores por 20). 
 
Primeira forma: 
Valores Freqüência relativa 
simples 
Freqüência relativa 
acumulada 
Memória de cálculo 
 
1 0,1 0,1 =0,1 
 
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Valores Freqüência relativa 
simples 
 
 
Freqüência relativa 
acumulada 
 
 
Memória de cálculo 
 
2 0,2 0,3 =0,1+0,2 
3 0,2 0,5 =0,3+0,2 
4 0,2 0,7 =0,5+0,2 
5 0,05 0,75 =0,7+0,05 
7 0,05 0,8 =0,75+0,05 
9 0,05 0,85 =0,8+0,05 
10 0,1 0,95 =0,85+0,1 
12 0,05 1 =0,95+0,05 
 
Note que o último valor de freqüência relativa acumulada é igual a 1. 
 
 
 
Segunda forma: 
Valores Freqüência absoluta 
acumulada 
 
 
 
 
Freqüência relativa 
acumulada 
 
 
 
 
Memória de cálculo 
 
1 2 0,1 =2/20 
2 6 0,3 =6/20 
3 10 0,5 =10/2 
4 14 0,7 =14/20 
5 15 0,75 =15/20 
7 16 0,8 =16/20 
9 17 0,85 =17/20 
10 19 0,95 =19/20 
12 20 1 =20/20 
 
 
 
RESOLUÇÃO EP 2 
 
Podemos, a partir da freqüência absoluta simples, obter a freqüência absoluta acumulada 
e, a partir desta, obter a freqüência relativa acumulada. 
 
Obtendo as freqüências absolutas acumuladas: 
 
 
Valores Freqüência absoluta 
simples 
 
 
Freqüência absoluta 
acumulada 
 
 
Memória de cálculo 
 
1 2 2 =2 
3 5 7 =2+5 
5 2 9 =7+2 
7 1 10 =9+1 
 
Obtendo as freqüências relativas acumuladas: 
 
 
Valores Freqüência absoluta 
acumulada 
 
 
Freqüência relativa 
acumulada 
 
 
Memória de cálculo 
 
1 2 0,2 =2/10 
3 7 0,7 =7/10 
5 9 0,9 =9/10 
7 10 1 =10/10 
 
 
 
RESOLUÇÃO EP 3 
 
Vamos obter os valores de freqüência relativa simples. 
 
 
 
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Valores Memória de 
cálculo 
 
 
Freqüência 
Relativa simples 
 
 
Freqüência relativa acumulada 
 
1 =0,1 0,1 0,1 
4 =0,5-0,1 0,4 0,5 
6 =0,8-0,5 0,3 0,8 
15 =1,0-0,8 0,2 1,0 
 
 
 
Agora vamos obter os valores de freqüência absoluta simples. 
 
 
Valores Freqüência relativa 
simples 
 
 
Freqüência absoluta 
simples 
 
 
Memória de cálculo 
 
1 0,1 5 =0,1 x 50 
4 0,4 20 =0,4 x 50 
6 0,3 15 =0,3 x 50 
15 0,2 10 =02 x 50 
 
 
 
5 Média para dados agrupados por valor 
 
Aula passada vimos o ROL e como calcular a média para os dados em ROL. 
 
Nesta aula, vimos como apresentar os dados em tabelas, de maneira agrupada (por 
valor). Vimos os diversos tipos de freqüência. Vamos agora ver como fica a média para 
os dados agrupados. 
A idéia é a mesma de antes: somar todos os valores e dividir pelo número de dados. 
Quando os dados estiverem agrupados, uma forma de calcular a média é a seguinte. 
Primeiro passo: criamos uma terceira coluna, igual ao produto das duasanteriores. 
 
 
Salários Freqüência absoluta simples = Salário x freqüência 
1 1 1 
2 3 6 
3 1 3 
4 2 8 
5 1 5 
6 1 6 
7 1 7 
 
 
 
Segundo passo: calculamos os totais das duas últimas colunas. 
 
 
Salários Freqüência absoluta simples = Salário x freqüência 
1 1 1 
2 3 6 
3 1 3 
4 2 8 
5 1 5 
6 1 6 
7 1 7 
TOTAL 10 36 
 
 
 
Terceiro passo: a média será dada pela divisão do total da coluna (salário x freqüência) 
pelo total da coluna de freqüências. 
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X = 36 = 3 6, 
10 
 
Repare que a média foi de R$ 3.600,00. A mesma média obtida quando os dados 
estavam em ROL. O valor tinha que dar igual. Afinal de contas, são os mesmos dados, 
apenas dispostos de forma diferente. 
 
Outro aspecto interessante. O total da coluna de (salário x freqüência) é justamente a 
soma de todos os salários. 
 
Um comentário importante. Para fazer este procedimento, é importante que se trabalhe 
apenas com freqüências simples. Tanto faz ser absoluta ou relativa. Mas tem que ser 
simples. Se o exercício te der uma tabela de freqüências acumuladas, antes de resolver, 
tem que passar para a respectiva freqüência simples. 
 
 
 
Vamos ver como seria. Se o exercício trouxesse a seguinte tabela: 
 
 
Salários 
(em R$ 1.000,00) 
 
 
Freqüência relativa 
acumulada 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Como você calcularia a média? 
1 0,1 
2 0,4 
3 0,5 
4 0,7 
5 0,8 
6 0,9 
7 1,0 
 
 
 
Antes de começar a resolver, temos que achar a freqüência relativa simples, pois, para 
calcular a média, não serve a freqüência acumulada. 
 
 
Salários 
(em R$ 1.000,00) 
 
 
Memória 
de cálculo 
 
 
Freqüência 
relativa simples 
 
 
Freqüência 
relativa acumulada 
1 (=0,1) 0,1 0,1 
2 (=0,4 – 0,1) 0,3 0,4 
3 (=0,5-0,4) 0,1 0,5 
4 (=0,7-0,5) 0,2 0,7 
5 (=0,8 – 0,7) 0,1 0,8 
6 (=0,9 – 0,8) 0,1 0,9 
7 (= 1 – 0,9) 0,1 1,0 
 
 
Feito isto, podemos criar a coluna de (freqüência x salários), calcular os totais de cada 
coluna e achar a média. 
 
 
 
 
Salário 
(em R$ 1.000,00) 
 
 
 
 
Freqüência relativa 
simples ( fr ) 
 
 
 
 
= Salário x freqüência 
 
1 0,1 0,1 
2 0,3 0,6 
3 0,1 0,3 
4 0,2 0,8 
5 0,1 0,5 
 
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6 0,1 0,6 
7 0,1 0,7 
TOTAL 1 3,6 
 
 
 
E a média fica: 
 
X = 3 6, = 3 6, 
1 
 
Observe que a resposta é a mesma (tanto para freqüências absolutas quanto relativas). 
O que importa é que as freqüências sejam simples. Nunca acumuladas. 
 
 
Se fôssemos resumir todos os procedimentos para calcular a média, poderíamos 
expressá-los por meio das seguintes fórmulas: 
 
X = ∑ 
 
X i × 
 
 
f i 
 (quando trabalhamos com freqüências absolutas) 
n 
 
 
X = ∑ X (quando trabalhamos com freqüências relativas) 
i × ifr 
1 
 
Agora um detalhe. Quando os dados estão em ROL, vimos lá na aula 1 que a fórmula da 
n 
 ∑ X i 
média é: 
 
X = i =1 n 
 
E agora, quando temos dados agrupados, a fórmula mudou. Mas todas elas são formas 
ligeiramente diferentes de se escrever a mesma coisa. A título de exemplo, vamos 
n 
 
 
comparar 
∑ X i 
 i =1 com ∑ 
 
X i × 
 
 
f i 
. 
n n 
 
A primeira fórmula é para dados em ROL. A segunda, para dados agrupados. 
 
O denominador das duas fórmulas é o mesmo. No caso dos salários das pessoas do 
bairro Nova Vila, são 10 observações. Portanto, n=10. 
 
Quando os dados estão em ROL, temos: 1, 2, 2, 2, 3, 4, 4, 5, 6, 7. 
 
Quando escrevemos os dados em ROL, representamos cada termo por 
 
dez valores de Xi. 
 
X i . Assim, temos 
 
 
X1 = 1; X2 = 2; X3 = 2; X4 = 2; X5 = 3; X6 = 4; X7 = 4; X8 = 5; X9 = 6; X10 = 7. 
 
 
 
Deste modo, para somar todos os dez valores, fazemos: 
 
10 
∑ X i =36 
i =1 
 
 
 
 
E ‘36’ é o numerador da fórmula 
 
 
n 
∑ X i 
 i =1 . n 
 
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Já quando os dados estão agrupados, a notação muda um pouco. Ficamos com: 
 
 
Salários Freqüência absoluta simples 
1 1 
2 3 
3 1 
4 2 
5 1 
6 1 
7 1 
 
 
Continuamos tendo dez observações. Mas, para representá-las, não usamos mais dez 
valores de Xi. Usamos apenas sete. Um para cada valor diferente de salário. 
Assim, dizemos que X1 = 1. Isto porque o primeiro valor de salário observado é igual a 1. 
Dizemos também que X1 tem freqüência igual a 1 ( f1 = 1 ). 
 
Dizemos que X2 = 2. Isto porque o segundo valor observado é igual a 2. Dizemos 
também que sua freqüência é igual a 3 ( f 2 = 3 ). Ou seja, este segundo valor, na 
verdade, representa três termos. Três observações estão representadas por este X2 = 2. 
Por isso dizemos que os dados estão agrupados. Agrupamos três termos em uma única 
linha da tabela. 
 
Nesta representação, de dados agrupados, temos: 
 
X1 = 1; X2 = 2; X3 = 3; X4 = 4; X5 = 5; X6 = 6; X7 = 7. 
 
Mas, agora, se quisermos somar todas as observações, não podemos simplesmente 
fazer: 
 
7 
∑ X i = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 = 28 
i 1= 
 
Isto estaria errado. Porque, como já dissemos, cada valor de Xi pode representar mais de 
uma observação. Por isso temos que multiplicar cada valor de Xi pela sua respectiva 
freqüência. Deste modo, quando os dados estão agrupados, a soma de todos os valores 
fica ligeiramente diferente. Neste exemplo da pesquisa de salários, ficamos com: 
 
7 
∑ X i × f i = 1×1 + 2 × 3 + 3 ×1 + 4 × 2 + 5 ×1 + 6 ×1 + 7 ×1 = 36 
i 1= 
 
Resumindo: 
 
Quando os dados estão em ROL, para somar todos os dados fazemos: ∑ X i . 
Quando os dados estão agrupados, para somar todos os dados fazemos: ∑ X i × f i . 
Estas duas fórmulas fornecem exatamente o mesmo resultado. 
 
 
 
6 Moda para dados agrupados por valor 
 
Retomemos a tabela de freqüências absolutas simples para o nosso rol, vista no começo 
desta aula. 
 
 
 
 
 
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CURSO ON-LINE – ESTATÍSTICA PARA ICMS/SP 18 
PROFESSOR: VÍTOR MENEZES 
 
 
Salários (em R$ 1.000,00) Freqüência absoluta simples 
1 1 
2 3 
3 1 
4 2 
5 1 
6 1 
7 1 
 
A moda é o termo que mais se repete. Se é o termo que mais ocorre,portanto, é o 
termo que terá a maior freqüência simples (tanto faz ser absoluta ou relativa). 
 
Assim, nos dirigimos à coluna de freqüência absoluta simples. Qual a maior freqüência? A 
maior freqüência é 3 (ver linha em vermelho). 
Qual o termo que apresenta freqüência de 3? É o número 2. 
Portanto, a moda é 2 (R$ 2.000,00). 
 
 
 
Antes de passarmos aos exercícios, um lembrete: 
 
 
 
Lembrete de média e moda: 
Sempre utilize freqüências simples (absolutas ou relativas, tanto faz). 
Nunca utilize freqüências acumuladas! 
 
 
Vamos agora aos exercícios. Ainda não temos muitos exercícios de concursos sobre este 
tópico (é bem difícil encontrar questões de concursos especificamente sobre este 
assunto). Mas ele é muito importante para que possamos entender o cálculo de medidas 
de posição para dados agrupados em classes. Este assunto sim, cai bastante nas provas 
de concursos. 
 
 
 
 
EP 4 
 
Considere a seguinte tabela: 
 
 
 
EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
 
 
 
Valor observado Freqüência relativa acumulada 
10 0,1 
15 0,2 
18 0,5 
20 0,7 
21 1 
 
Calcule a média e a moda para os dados agrupados acima representados. 
 
 
 
RESOLUÇÃO EP 4 
 
Foram fornecidas freqüências acumuladas. Para calcular média e moda, sempre 
trabalhamos com freqüências simples (relativas ou absolutas, tanto faz). 
 
Encontremos então as freqüências relativas simples correspondentes. 
Valor 
observado 
Memória 
de cálculo 
Freqüência 
Relativa simples 
Freqüência 
relativa acumulada 
10 =0,1 0,1 0,1 
15 =0,2-0,1 0,1 0,2 
 
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CURSO ON-LINE – ESTATÍSTICA PARA ICMS/SP 19 
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Valor 
observado 
 
 
Memória 
de cálculo 
 
 
Freqüência 
Relativa simples 
 
 
Freqüência 
relativa acumulada 
18 =0,5-0,2 0,3 0,5 
20 =0,7-0,5 0,2 0,7 
21 =1-0,7 0,3 1 
 
 
 
Pronto, agora podemos criar a coluna de valor vezes freqüência. 
Valor 
observado 
Freqüência 
Relativa simples 
Valor vezes 
freqüência 
 
 
 
 
 
 
 
 
E a média fica: 
10 0,1 1 
15 0,1 1,5 
18 0,3 5,4 
20 0,2 4 
21 0,3 6,3 
TOTAL 1 18,2 
 
 
 
X = ,18 2 = ,18 2 
1 
 
Para encontrar a moda, basta tomarmos o valor que corresponde à maior freqüência 
simples. No caso, as maiores freqüências são iguais a 0,3. Há duas modas. O conjunto é 
bimodal. As modas são 18 e 21. 
 
 
 
 
EC 1 
 
 
 
EXERCÍCIOS DE CONCURSOS 
 
 
Analista Ministerial. MPE – PE/2006. Área: estatística. [FCC] 
 
Em uma linha de produção de montadoras de tratores, existem 5 verificações realizadas 
pela equipe de controle de qualidade. Foram sorteados alguns dias do mês e anotados os 
números de controle em que o trator produzido foi aprovado nestes dias. 
Aprovações N° de tratores 
3 250 
4 500 
5 1250 
Total 2000 
 
A tabela acima descreve estes dados coletados. Sabe-se que cada reprovação implica em 
custos adicionais para a montadora. Admitindo-se um valor básico de R$ 10,00 por cada 
item reprovado no trator produzido, a média da despesa adicional por trator será: 
a) R$ 1,00 
b) R$ 10,00 
c) R$ 6,00 
d) R$ 5,00 
e) R$ 7,00 
 
 
 
Questão da Fundação Carlos Chagas. 
 
Um trator com 3 aprovações teve 2 reprovações. Ou seja, representa uma despesa 
adicional de R$ 20,00. 
 
 
 
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CURSO ON-LINE – ESTATÍSTICA PARA ICMS/SP 20 
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Um trator com 4 aprovações teve 1 reprovação. Ou seja, representa uma despesa 
adicional de R$ 10,00. 
 
Um trator com 5 aprovações não teve reprovação. Não representa nenhuma despesa 
adicional. 
 
Podemos construir a seguinte tabela: 
Despesa 
adicional 
(=X) 
N° de tratores 
(=f) 
 
20,00 250 
10,00 500 
0,00 1250 
Total 2000 
 
Vamos calcular a média de despesa adicional. Vamos criar a coluna adicional de valor 
vezes freqüência. 
fX X × f 
 
 
 
 
 
 
A média fica: 
20,00 250 5.000 
10,00 500 5.000 
0,00 1250 0 
Total 2000 10.000 
 
 
 
X = 10 000. = 5 2 000. 
A média é de R$ 5,00 por trator. 
Resposta: D 
 
 
 
7 Mediana para dados agrupados por valor 
 
Lembram da mediana? É o termo que divide a série em duas partes com o mesmo 
número de termos. Ou ainda, é o valor que não é superado por 50% das observações. 
Retomemos a tabela de freqüências absolutas simples para o nosso rol, vista no começo 
desta aula. 
 
 
Salários (em R$ 1.000,00) Freqüência absoluta simples 
1 1 
2 3 
3 1 
4 2 
5 1 
6 1 
7 1 
 
Ao contrário da média e da moda, para encontrar a mediana não trabalhamos com 
freqüências simples. Trabalhamos sempre com freqüências acumuladas (tanto faz ser 
relativa ou absoluta). 
 
Então, o primeiro passo para encontrar a mediana é encontrar a coluna de freqüências 
absolutas acumuladas. 
Salários (em R$ 1.000,00) Freqüência 
absoluta simples 
Freqüência 
absoluta acumulada 
1 1 1 
2 3 4 
 
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Salários (em R$ 1.000,00) Freqüência 
absoluta simples 
 
 
Freqüência 
absoluta acumulada 
3 1 5 
4 2 7 
5 1 8 
6 1 9 
7 1 10 
 
Segundo passo: determinar qual o termo do meio (ou quais são). Neste caso, como são 
10 elementos (ou seja, o número total de dados é par), não temos um termo do meio. 
Temos dois termos centrais. 
 
Numa seqüência de 10 termos, os centrais são o quinto e o sexto elementos. 
 
Temos, portanto que determinar quem é o quinto elemento e quem é o sexto elemento. 
Para tanto, basta encontrar a quais valores de salários correspondem as freqüências 
acumuladas 5 e 6. 
 
Dirigindo-nos à coluna de freqüência acumulada, procuramos pelo número 5 (ver linha 
em vermelho). 
Qual valor de salário corresponde à freqüência acumulada 5? 
Resposta: 3 (R$ 3.000,00). 
 
Pronto, encontramos o quinto elemento. 
 
Agora, encontremos o sexto elemento. Dirigindo-nos à coluna de freqüência acumulada, 
procuramos pelo número 6. Só que não há nenhum valor de freqüência acumulada igual 
a 6. Adotamos o número imediatamente superior, no caso, 7 (ver linha em azul). 
Qual o valor de salário correspondente à freqüência acumulada 7? 
Resposta: 4 (R$ 4.000,00). 
 
Pronto, encontramos o sétimo elemento (que é igual ao sexto elemento). 
 
Num caso de número par de dados, a mediana é dada pela média entre os dois termos 
centrais. 
 
D = 3 + 4 = 3 5, 
2 
 
Talvez tenha ficado a dúvida de por que utilizamos a freqüência acumulada 7 em vez de 
6. Tentando explicar um pouco melhor, podemos pensar o seguinte. A freqüência 
acumulada do valor 3 é 5. O que significa isto? Significa que 5 pessoas ganham salários 
menores ou iguais a R$ 3.000,00. 
 
A freqüência acumulada do valor 4 é 7. O que significa isto? Significa que 7 pessoas 
ganham salários menores ou iguais a R$ 4.000,00. 
 
Ou seja, cinco pessoas ganham até R$ 3.000,00. Sete pessoas ganham até R$ 4.000,00. 
Eu estou procurando pela sexta pessoa. Eu sei que esta sexta pessoa ganha mais de R$ 
3.000,00, pois apenas as cinco primeiras ganham até R$ 3.000,00. Logo, a sexta e a 
sétima pessoas ganham salários de R$ 4.000,00.Ou seja, o sexto e o sétimo valores são 
iguais. 
 
 
Lembrete de mediana 
Sempre trabalhe com freqüências acumuladas. 
Nunca utilize freqüências simples. 
 
 
 
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EP 5 
 
Considere a seguinte tabela: 
 
 
 
 
EXERCÍCIO PROPOSTO 
 
 
 
Valor observado Freqüência relativa acumulada 
10 0,1 
15 0,2 
18 0,5 
20 0,7 
21 1 
 
Considerando que são 20 valores observados, calcule a mediana para os dados 
agrupados acima representados. 
 
 
 
RESOLUÇÃO EP 5 
 
Para encontrar a mediana, trabalhamos com freqüência acumulada. Pode ser simples ou 
relativa. 
 
Pois bem, quando temos dados agrupados por valor, embora possível, fica um pouco 
complicado trabalhar com freqüências relativas. 
 
Já para dados agrupados em classes, tópico que realmente cai nas provas, é possível 
trabalhar tranquilamente tanto com freqüências relativas quanto absolutas (bastando que 
sejam acumuladas). 
 
Assim, para resolver o exercício proposto, encontremos as freqüências absolutas 
acumuladas. 
Valor observado Freqüência 
relativa acumulada 
 
Freqüência 
Absoluta 
acumulada 
Memória 
De cálculo 
 
10 0,1 2 =0,1 x 20 
15 0,2 4 =0,2 x 20 
18 0,5 10 =0,5 x 20 
20 0,7 14 =0,7 x 20 
21 1 20 =1 x 20 
 
 
 
Numa seqüência com 20 termos, os do meio são o 10° e o 11°. 
 
Para encontrar o décimo elemento, verificamos qual valor corresponde à freqüência 
acumulada 10. 
 
Este valor é o 18. 
 
Valor 
observado 
 
Freqüência 
absoluta acumulada 
10 2 
15 4 
18 10 
20 14 
21 20 
 
Para encontrar o décimo primeiro elemento, verificamos qual valor corresponde à 
freqüência acumulada 11. Não tem nenhum valor com freqüência acumulada igual a 11. 
Adotamos o número imediatamente superior (no caso 14). 
 
 
 
 
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Valor 
observado 
 
 
Freqüência 
absoluta acumulada 
10 2 
15 4 
18 10 
20 14 
21 20 
Ou seja, os elementos 11°, 12°, 13° e 14° são todos iguais a 20. 
E a mediana fica: 
 
D = 18 + 20 = 19 2 
 
 
 
V FORMAS DE APRESENTAÇÃO DE DADOS AGRUPADOS POR VALOR 
 
Na aula passada vimos como apresentar os dados que não estão agrupados. Podemos 
fazer isso por meio de um ROL ou por meio de um diagrama de ramos e folhas. 
 
Nesta aula vimos que podemos agrupar os dados por valor. E apresentá-los por meio de 
uma tabela que indica cada valor observado e sua respectiva freqüência acumulada. 
Apenas para reforçar, vejamos mais um exercício sobre este assunto. 
 
 
 
EC 2 
 
Analista – Área documentação. Especialidade – Estatística – MPU/2007 [FCC] 
 
Uma empresa procurou estudar a ocorrência de acidentes com seus empregados e 
realizou um levantamento por um período de 36 meses. As informações apuradas estão 
na tabela a seguir: 
Número de empregados acidentados Número de meses 
1 1 
2 2 
3 4 
4 5 
5 7 
6 6 
7 5 
8 3 
9 2 
10 1 
 
A porcentagem de meses em que houve menos de 5 empregados acidentados é: 
a) 50% 
b) 45% 
c) 35% 
d) 33% 
e) 30% 
 
 
A variável em estudo é o “número de empregados acidentados em um mês”. Ela assume 
o valor 1 uma vez. Isto significa que, em uma única vez, tivemos 1 acidentado por mês. 
Por duas vezes, tivemos 2 acidentados por mês. Por quatro vezes tivemos 3 acidentados 
por mês. E assim por diante. 
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Poderíamos representar a nossa variável pelo seguinte ROL: 
 
 
 
Número de acidentados por mês: 1, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 6, 6, 
6, 6, 6, 6, 7, 7, 7, 7, 7, 8, 8, 8, 9, 9, 10 
 
 
Em vez de fazer desta forma, o exercício agrupou os valores iguais. Em vez de escrever o 
número 4 cinco vezes, a tabela nos informa que o número 4 tem freqüência 5. Dizemos 
que os dados estão agrupados por valor. 
 
Vamos ver em quantos meses houve menos que cinco empregados acidentados por mês. 
A tabela abaixo destaca os valores procurados: 
 
Número de empregados acidentados Número de meses 
1 1 
2 2 meses com menos 
3 4 de 5 empregados 
4 5 acidentados por 
5 7 
mês 
6 6 
7 5 
8 3 
9 2 
10 1 
 
Em 12 meses tivemos menos que cinco empregados acidentados por mês (=1+2+4+5). 
12 meses representa 33% de 36. 
Resposta: D. 
 
 
Além de representar os dados agrupados em uma tabela, podemos também representá- 
los em gráficos. 
 
Vamos pegar o mesmo rol trabalhado na primeira aula (aquela pesquisa com os salários 
dos moradores do bairro Nova Vila). 
 
Rol: R$ 1.000,00; R$ 2.000,00; R$ 2.000,00; R$ 2.000,00; R$ 3.000,00; R$ 4.000,00; 
R$ 4.000,00; R$ 5.000,00; R$ 6.000,00; R$ 7.000,00. 
 
Podemos representar estes dados em um gráfico de colunas. 
 
 
 
 
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Este tipo de gráfico é bem comum no nosso dia a dia. A altura de cada coluna está 
relacionada com a respectiva freqüência absoluta de cada salário. 
 
Agrupamos todos os salários de R$ 4.000,00 numa coluna de altura 2, o que indica que 
duas pessoas ganham R$ 4.000,00 por mês. Ou ainda, o valor 4.000,00 ocorre duas 
vezes. Da mesma forma, agrupamos todos os valores R$ 2.000,00 em uma coluna com 
altura 3, que indica que este valor ocorre 3 vezes. 
 
Igualmente usual é o gráfico em forma de pizza: 
 
 
A área de cada fatia da pizza é proporcional à freqüência absoluta do valor. 
E temos diversos outros tipos de gráficos. 
 
Gráficos para dados agrupados por valor pouco caem em prova (confesso que não 
encontrei nenhuma questão da ESAF ou da FCC sobre isso). Mas não custava nada 
comentar. Na próxima aula veremos um outro tipo de gráfico que se chama histograma. 
Este sim cai bastante em provas. 
 
 
 
VI MÉDIA E MODA PARA DADOS AGRUPADOS EM CLASSES 
 
 
Finalmente chegamos à matéria que realmente cai em provas de concursos. 
 
Vimos que podemos apresentar os dados de diversas formas. Podemos colocá-los 
segundo um ROL. A forma gráfica correspondente ao ROL é o diagrama de ramos e 
folhas. 
 
Também podemos agrupar os dados por valor. Com essa idéia, vimos como colocá-los 
em tabelas e em gráficos (forma de pizza e gráfico de colunas). 
 
E, agora, veremos que podemos agrupá-los de forma um pouco diferente: em classes. 
 
 
 
1 Dados agrupados em classes 
 
Na nossa pesquisa salarial no bairro Nova Vila, não são muitos valores envolvidos. Foram 
entrevistadas apenasdez pessoas. Colocar os dados obtidos em ROL ou em uma tabela, 
de forma agrupada, não é tão trabalhoso. 
 
Agora imagine que pesquisamos os salários de milhares de pessoas. Mesmo que 
colocássemos tais valores em uma tabela, de forma agrupada (por valor), ainda seriam 
necessárias muitas e muitas linhas. 
 
Um trechinho da tabela poderia ser: 
Valor observado (R$) Freqüência absoluta simples 
 
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R$ 500,00 12 
R$ 500,01 2 
R$ 500,02 3 
R$ 500,03 6 
... ... 
 
E a tabela continuaria com centenas de linhas. 
 
Nesses casos, é preciso agrupar os valores um pouco mais. Podemos agrupá-los em 
classes. 
 
A tabela poderia ficar assim: 
Classe de valor (R$) Freqüência absoluta simples 
500,00 até 999,99 661 
1.000 até 1.999,99 240 
2.000 até 2.999,99 120 
3.000 até 3.999,99 68 
... ... 
 
Cada “faixa salarial” é uma classe. Classe é apenas isto. É uma faixa de valores, ou 
ainda, um intervalo de valores. 
 
Na primeira classe, temos salários entre R$ 500,00 e R$ 999,99. A tabela nos informa 
que 661 pessoas entrevistadas ganham salários que estão nesta faixa de valores. 
 
Na segunda classe, temos salários entre R$ 1.000,00 e R$ 1.999,99. E a tabela informa 
que 240 pessoas ganham salários nesta faixa de valores. 
 
E assim por diante. 
 
Há uma simbologia específica para representar os dados em classes de valores. Vamos 
passar a estudá-la. Para tanto, voltemos ao nosso exemplo da pesquisa salarial dos 
moradores do bairro Nova Vila. 
 
Relembrando nosso Rol: R$ 1.000,00; R$ 2.000,00; R$ 2.000,00; R$ 2.000,00; R$ 
3.000,00; R$ 4.000,00; R$ 4.000,00; R$ 5.000,00; R$ 6.000,00; R$ 7.000,00. 
Suponhamos agora que, em vez de divulgarmos todos os dados obtidos na pesquisa, 
colocamos apenas a seguinte tabela, agrupando os valores em classes: 
 
 
Classes de valores Freqüência absoluta simples 
[1;4) 5 
[4;7) 4 
[7;10) 1 
 
Deste modo, há 5 pessoas que ganham entre R$ 1.000,00 e R$ 4.000,00 (incluindo R$ 
1.000,00 e excluindo R$ 4.000,00). Há quatro pessoas que ganham entre R$ 4.000,00 e 
R$ 7.000,00. E há apenas uma pessoa que ganha entre R$ 7.000,00 e R$ 10.000,00. 
 
Não custa nada repetir a utilidade dos dados em classes. No nosso exemplo, foram 
apenas dez pessoas entrevistadas. É um número pequeno. Poderíamos perfeitamente 
divulgar todos os dados da pesquisa. 
 
Já num caso em que o número de dados é muito grande, divulgar todos eles pode fazer 
com que fique difícil de fazer uma leitura adequada da pesquisa. Às vezes se quer 
publicar o resultado num jornal, numa revista, num mural. O espaço disponível para as 
tabelas é restrito. Imagine tentar colocar num mural o resultado de uma pesquisa que 
envolveu milhares de valores distintos. É inviável apresentar todos eles. Seriam páginas 
e páginas de tabelas. Nestes casos, é útil apresentar somente a quantidade de valores 
em cada classe. 
 
Assim procedendo, temos a vantagem de ganhar espaço. Só que, por outro lado, perde- 
se um pouco de informação. Por exemplo, analisando apenas a tabela com os valores em 
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classes, não sabemos qual o salário de cada uma das cinco pessoas que ganham entre 
R$ 1.000,00 e R$ 4.000,00. Pode ser que todas elas ganhem um salário de R$ 2.000,00. 
Pode ser que cada uma ganhe um salário diferente (por exemplo: R$ 1.500,00; R$ 
1.525,32; R$ 1.678,00; R$ 3.980,05; R$ 3.988,00). E poderíamos listar inúmeras outras 
possibilidades. Enfim, não temos como descobrir o salário de cada uma delas. Apenas 
sabemos que há cinco pessoas que ganham entre R$ 1.000,00 e R$ 4.000,00. Resumindo: 
com os dados em classes, ganhamos espaço, mas perdemos informação. Aqui também 
podemos usar a expressão “distribuição de freqüências”, a exemplo do que fizemos com 
os dados agrupados por valor. Lá tínhamos a relação entre freqüências e respectivos 
valores. Aqui temos a relação entre as freqüências e respectivas classes. Agora vamos 
detalhar um pouco mais a representação em classes de valores. 
 
Vejamos a classe [4; 7). O colchete ao lado do quatro indica que o número 4 faz parte da 
classe. O parêntesis ao lado do sete indica que o número 7 não faz parte da classe. 
 
Logo, na classe de 4 a 7, estamos contando todas as pessoas que ganham de quatro mil 
reais (inclusive as que ganham exatamente R$ 4.000,00) até sete mil reais (sem contar 
as que ganham exatamente R$ 7.000,00). Na verdade é como se nossa classe 
envolvesse as pessoas que ganham de R$ 4.000,00 até R$ 6.999,99. 
 
E se a nossa classe fosse assim: [4; 7]? 
 
Caso a nossa classe fosse [4;7], com dois colchetes, estaríamos levando em 
consideração as pessoas que ganham exatamente R$ 4.000,00 e também as que 
ganham exatamente R$ 7.000,00. 
 
E se nossa classe fosse (4; 7)? 
 
Aí estaríamos levando em conta as pessoas que ganham de R$ 4.000,01 até R$ 
6.999,99. 
 
Uma outra forma de representar a classe [4;7) seria assim: 
 
4 │− 7 
 
Ao lado do número quatro temos um traço vertical. Significa que estamos levando em 
conta as pessoas que ganham exatamente R$ 4.000,00. Ao lado do número sete não tem 
um traço vertical. Significa que não estamos levando em conta as pessoas que ganham 
exatamente R$ 7.000,00. 
 
E se a representação fosse assim: 4 − 7? 
 
Aí não levaríamos em conta nenhum dos extremos (pois não há nenhum traço vertical). 
Estaríamos nos referindo às pessoas que ganham de R$ 4.000,01 a R$ 6.999,99. 
 
Na classe [4; 7) dizemos que 4 é o limite inferior. Dizemos também que 7 é o limite 
superior. 
 
A tabela abaixo mostra o limite inferior e superior para cada classe. 
 
 
Classes de valores Limite inferior Limite superior 
[1;4) 1 4 
[4;7) 4 7 
[7;10) 7 10 
 
É muito nome pra saber não é? E vamos a mais alguns nomes... 
 
À diferença entre os limites superior e inferior, chamamos de amplitude de classe. No 
nosso exemplo, todas as classes têm a mesma amplitude de 3. 
 
 
Classes de 
valores 
 
 
Limite inferior Limite 
superior 
 
 
Amplitude de classe 
 
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Classes de 
valores 
 
 
Limite inferior Limite 
superior 
 
 
Amplitude de classe 
 
[1;4) 1 4 3 (=4-1) 
[4;7) 4 7 3 (=7–4) 
[7;10) 7 10 3 (=10-7) 
 
E, por fim, vamos ao ponto médio de classe. O ponto médio de classe é a média dos 
limites superior e inferior. 
 
 
Classes de valores Ponto médio 
[1;4) 2,5 
[4;7) 5,5 
[7;10) 8,5 
 
Na primeira classe os limites são 1 e 4. Então o ponto médio da primeira classe fica: 
 
1 + 4 = 2 5, 
2 
 
Para as demais classes, o cálculo é análogo. 
 
 
 
2 Média para dados agrupados em classes 
 
Para a nossa pesquisa de salários, a tabela de freqüências para dados em classes era: 
 
 
Classes de valores Freqüência absoluta simples 
[1;4) 5 
[4;7) 4 
[7;10) 1 
 
Vamos agora calcular a média. Novamente, a exemplo do que fizemos para os dados 
agrupados, temos que garantir que as freqüências sejam simples. Tanto faz serem 
absolutas ou relativas. Mas têm que ser simples. Se o exercício pedir cálculo de média e 
fornecer freqüências acumuladas você tem que acharas respectivas freqüências simples. 
Neste caso, já temos direto as freqüências absolutas simples. Já dá pra começar a 
calcular a média. 
 
Quando falamos sobre dados dispostos em classes, comentamos que se perdia 
informação. Olhemos para a primeira classe, com valores de R$ 1.000,00 a R$ 4.000,00. 
Sabemos que cinco pessoas estão nesta classe. Mas não temos como determinar o 
salário de cada uma delas. Sabemos apenas que ganham de R$ 1.000,00 até R$ 
3.999,99 (repare que nesta classe não levamos em conta as pessoas que ganham 
exatamente R$ 4.000,00). 
 
Para calcular a média, precisaríamos somar todos os dez salários e dividir por 10. Ora, se 
não sabemos mais, com exatidão, o salário de cada uma das dez pessoas, não temos 
mais como calcular a média. 
 
Assim, quando os dados estiverem em classes, não é possível saber qual a verdadeira 
média dos dados. O que fazemos é simplesmente “dar um chute”. É isso mesmo! Um 
“chute”. 
 
A média verdadeira, esta não dá pra achar. Mas dá pra estimar um valor para esta 
média. Como fazer? 
 
O primeiro passo é calcular o ponto médio de cada classe. 
 
 
Classes de valores Ponto médio Freqüência 
 
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absoluta simples 
[1;4) 2,5 5 
[4;7) 5,5 4 
[7;10) 8,5 1 
 
Pronto, agora vamos ao nosso “chute”. Vamos considerar que todas as pessoas de cada 
classe ganham exatamente o salário correspondente ao ponto médio da classe. Ou seja, 
as 5 pessoas da primeira classe ganham R$ 2.500,00. As 4 pessoas da segunda classe 
ganham R$ 5.500,00. E a pessoa da terceira classe ganha R$ 8.500,00. Novamente, isto é 
apenas um “chute”. 
 
Feito isso, agora a questão que temos é basicamente o cálculo de uma média para dados 
agrupados. O procedimento é o mesmo que vimos no começo da aula. Relembrando. 
Primeiro passo: criamos uma coluna adicional, contendo o produto dos valores por suas 
respectivas freqüências. 
Ponto médio Freqüência 
absoluta simples 
Ponto médio x 
freqüência 
2,5 5 12,5 
5,5 4 22 
8,5 1 8,5 
 
Segundo passo: somamos os valores das colunas. 
Ponto médio Freqüência 
absoluta simples 
Ponto médio x 
freqüência 
2,5 5 12,5 
5,5 4 22 
8,5 1 8,5 
Totais 10 43 
 
Terceiro passo: dividimos o total da coluna (valor x freqüência) pelo total da coluna de 
freqüências. 
 
X = 43 = 4 3, 
10 
 
Pronto, está calculada a média (ou melhor, “chutada”). Repare que este valor não é igual 
à média verdadeira (3,6). Quem tem acesso a todos os dados sabe que o salário médio 
das dez pessoas pesquisadas é de R$ 3.600,00. Contudo, sem acesso a todas as 
informações, estimamos a média em R$ 4.300,00. 
 
Um outro assunto envolvendo cálculo de média para dados em classes é a utilização de 
uma “variável transformada”. Este procedimento não é obrigatório. Veremos sua 
aplicação no exercício a seguir. Sua finalidade é apenas facilitar contas. 
 
 
 
EXERCÍCIOS DE CONCURSOS 
 
EC 3 
Fiscal ICMS/PA – 2002 [ESAF] 
A tabela de freqüências abaixo apresenta as freqüências acumuladas (F) correspondentes a 
uma amostra da distribuição dos salários anuais de economistas (Y) – em R$ 1.000,00, do 
departamento de fiscalização da Cia. X. Não existem realizações de Y coincidentes com 
as extremidades das classes salariais. 
 
 
 
 
Classes F 
29,5 – 39,5 2 
 
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39,5 – 49,5 6 
49,5 – 59,5 13 
59,5 – 69,5 23 
69,5 – 79,5 36 
79,5 – 89,5 45 
89,5 – 99,5 50 
 
Assinale a opção que corresponde ao salário anual médio estimado para o departamento 
de fiscalização da Cia. X. 
a) 70,0 
b) 69,5 
c) 68,0 
d) 74,4 
e) 60,0 
 
 
Primeiramente, repare que as freqüências fornecidas são acumuladas. Para calcular a 
média, sempre temos que utilizar freqüências simples. 
 
Façamos isto. 
 
 
Classes Freqüência simples Freqüência acumulada 
29,5 – 39,5 2 2 
39,5 – 49,5 4 6 
49,5 – 59,5 7 13 
59,5 – 69,5 10 23 
69,5 – 79,5 13 36 
79,5 – 89,5 9 45 
89,5 – 99,5 5 50 
Agora sim, podemos continuar com o cálculo. 
Vamos encontrar os pontos médios de cada classe. 
 
 
Classes Pontos médios Freqüência simples 
29,5 – 39,5 34,5 2 
39,5 – 49,5 44,5 4 
49,5 – 59,5 54,5 7 
59,5 – 69,5 64,5 10 
69,5 – 79,5 74,5 13 
79,5 – 89,5 84,5 9 
89,5 – 99,5 94,5 5 
 
Note que todas as amplitudes de classes são iguais a 10. Assim, podemos simplesmente 
encontrar o primeiro ponto médio (=34,5). Os demais são obtidos por soma. Basta 
somar 10 sempre. 
 
Como não temos acesso a todos os dados, vamos dar um chute. Vamos supor que todas 
as observações coincidem com os pontos médios de cada classe. 
 
O que temos agora é um cálculo de média para dados agrupados. São três passos a 
fazer. 
 
Primeiro passo: criamos uma coluna adicional, multiplicando cada valor por sua 
respectiva freqüência simples. 
 
 
Pontos médios Freqüência simples Valor x freqüência 
34,5 2 69 
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Pontos médios Freqüência simples Valor x freqüência 
44,5 4 178 
54,5 7 381,5 
64,5 10 645 
74,5 13 968,5 
84,5 9 760,5 
94,5 5 472,5 
 
Segundo passo: calculamos os totais das colunas. 
 
 
Pontos médios Freqüência simples Valor x freqüência 
34,5 2 69 
44,5 4 178 
54,5 7 381,5 
64,5 10 645 
74,5 13 968,5 
84,5 9 760,5 
94,5 5 472,5 
Totais 50 3475 
 
Terceiro passo: dividir o total da coluna (valor x freqüência) pelo total da coluna de 
freqüências. 
 
X = 3475 = 69 5, 
50 
 
Resposta: B. 
 
 
O grande problema desta resolução é o excesso de contas. Ainda mais porque aparecem 
números com casas depois da vírgula. 
 
Nestas situações, um procedimento opcional é criar uma variável auxiliar. Existem 
inúmeras formas de se fazer isto. A que eu costumo adotar é a seguinte. Vamos partir da 
tabela de pontos médios com suas respectivas freqüências simples. 
 
 
Classes Pontos médios Freqüência simples 
29,5 – 39,5 34,5 2 
39,5 – 49,5 44,5 4 
49,5 – 59,5 54,5 7 
59,5 – 69,5 64,5 10 
69,5 – 79,5 74,5 13 
79,5 – 89,5 84,5 9 
89,5 – 99,5 94,5 5 
 
Antes de criar a coluna adicional, contendo a multiplicação de valor e freqüência, vamos 
criar uma variável auxiliar. 
 
Vamos chamá-la de variável ‘d’. 
 
Vamos chamar os pontos médios de X. 
 
Para cada valor de X, encontramos um valor de d, da seguinte maneira: 
 
d = X − 34 5, 10 
 
Vamos verificar mais de perto esta equação. O valor 34,5 corresponde ao primeiro ponto 
médio. O valor 10 corresponde à amplitude de classe. 
 
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Então é sempre assim. Sempre que formos trabalhar com uma variável auxiliar, vamos 
fazer uma subtração e uma divisão. Subtraímos pelo primeiro ponto médio e dividimos 
pela amplitude de classe. 
Vamos ver como ficam as contas. 
O primeiro valor de X é 34,5. 
 
X 1 = 34 5, 
 
O primeiro valor da nossa variável auxiliar d será: 
 
1d = 
34 
5, 
 
 
− 34 5, = 0 10 
 
O segundo valor de X é 44,5. 
 
X 2 = 44 5, 
 
O segundo valor da nossa variável auxiliar d será: 
 
2d = 
44 
5, 
 
 
− 34 5, = 1 10 
 
E assim por diante. 
 
Podemos resumir todos os valores de ‘d’ com a tabela abaixo. 
 
 
Pontos médios (X) Variável auxiliar 
(d) 
 
 
Freqüência simples 
 
34,5 0 2 
44,5 1 4 
54,5 2 7 
64,5 3 10 
74,5 4 13 
84,5 5 9 
94,5 6 5 
 
Agora continuamos o exercício. Só que em vez de calculara média dos valores de X, 
vamos calcular a média dos valores de ‘d’. Por quê? Porque os valores da variável ‘d’ são 
menores e, além disso, não apresentam casas após a vírgula. As contas ficam mais fáceis 
de fazer. 
 
Primeiro passo: criamos uma coluna auxiliar de (valor x freqüência). 
 
 
Variável auxiliar 
(d ) 
 
 
Freqüência simples 
( f ) 
 
 
 
d × f 
 
0 2 0 
1 4 4 
2 7 14 
3 10 30 
4 13 52 
5 9 45 
6 5 30 
 
Segundo passo: calculamos os totais das colunas. 
 
 
 
 
 
 
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Variável auxiliar 
(d ) 
 
 
Freqüência simples 
( f ) 
 
 
 
d × f 
 
0 2 0 
1 4 4 
2 7 14 
3 10 30 
4 13 52 
5 9 45 
6 5 30 
Totais 50 175 
 
Terceiro passo: encontramos a média: 
 
d = 175 = 3 5, 
50 
 
Ou seja, a média dos “valores auxiliares” é de 3,5. 
 
Só que não queremos a média dos valores auxiliares. Queremos a média dos valores de 
X. 
 
Sabemos que: 
 
d = X − 34 5, 10 
 
Isolando X, temos: 
 
X = 10 × d + 34 5, 
 
Ou seja, para obter X, pegamos cada valor de ‘d’, multiplicamos por 10 e somamos 34,5. 
Só que nós vimos, lá em propriedades da média (matéria da aula anterior), que sempre 
que somamos, subtraímos, multiplicamos ou dividimos os valores por uma dada 
constante, a média sofre exatamente a mesma alteração. 
 
Ou seja, a média de X fica: 
 
X = 10 × d + 34 5, 
 
X = 10 × 3 5, 
 
+ 34 5, 
 
X = 69 5, 
 
Não custa nada reforçar: usar a variável auxiliar é opcional. É só uma maneira que pode 
ajudar a diminuir as contas. 
 
 
EC 4 
 
Auditor Fiscal ICMS/BA – 2004 [FCC] 
Considere a tabela abaixo, que mostra a distribuição de salários (em reais) de 160 
funcionários de determinada empresa, com suas respectivas freqüências relativas 
acumuladas. 
 
Classes em reais Freqüência relativa acumulada (%) 
[600,1000) 10 
[1000,1400) 30 
[1400,1800) 70 
[1800,2200) 95 
 
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[2200,2600) 100 
 
A média aritmética dos salários dessa empresa, em reais, é 
a) 1.460 
b) 1.520 
c)1.580 
d) 1.700 
e) 1.900 
 
 
Trata-se de cálculo de média. Para calcular a média, temos que usar freqüências simples. 
Como foi fornecida a coluna de freqüências acumuladas, vamos fazer a devida 
transformação. 
 
 
Classes em reais Freqüência relativa simples (%) 
 
 
Freqüência relativa 
acumulada (%) 
[600,1000) 10 10 
[1000,1400) 20 30 
[1400,1800) 40 70 
[1800,2200) 25 95 
[2200,2600) 5 100 
 
 
 
Encontremos os pontos médios de cada classe: 
 
 
Classes em reais Pontos médios (X) Freqüência relativa 
simples (%) 
[600,1000) 800 10 
[1000,1400) 1200 20 
[1400,1800) 1600 40 
[1800,2200) 2000 25 
[2200,2600) 2400 5 
 
Novamente as amplitudes de classes são todas iguais (todas valem 400). Podemos 
encontrar apenas o primeiro ponto médio. Os demais são obtidos por soma (basta 
sempre somar 400). 
 
Vamos criar uma variável auxiliar d. Para tanto, vamos subtrair 800 de cada valor de X 
(pois 800 é o valor do primeiro ponto médio, ou seja, o primeiro valor de X). Depois 
vamos dividir por 400 (pois este é o valor da amplitude de classe). 
 
d = X − 800 400 
 
O primeiro valor de X é 800. Assim, o primeiro valor de d fica: 
 
1d = 
800 − 800 = 0 400 
 
O segundo valor de X é 1200. Assim, o segundo valor de d fica: 
 
2d = 
1200 − 800 = 1 400 
 
E assim por diante. 
 
 
 
 
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Pontos médios 
( X ) 
 
 
Variável auxiliar 
(d ) 
 
 
 
Freqüência relativa simples 
(%) 
800 0 10 
1200 1 20 
1600 2 40 
2000 3 25 
2400 4 5 
 
 
 
Agora, calculemos a média de ‘d’. 
 
Primeiro passo: criando a coluna adicional: 
 
 
 
Variável auxiliar 
 
 
 
(d ) 
 
 
Freqüência relativa 
 
simples fr (%) d × fr 
 
 
0 10 0 
1 20 20 
2 40 80 
3 25 75 
4 5 20 
 
Segundo passo: calculando os totais. 
 
 
 
Variável auxiliar 
 
 
 
(d ) 
 
 
Freqüência relativa 
 
simples fr (%) d × fr 
 
0 10 0 
1 20 20 
2 40 80 
3 25 75 
4 5 20 
Totais 100 195 
 
Terceiro passo: encontrando a média de ‘d’. 
 
d = 195 = 1 95, 
100 
 
Só que não queremos a média de ‘d’. Queremos a de X. Sabemos que: 
 
d = X − 800 400 
 
Isolando X: 
 
X = 400 × d + 800 
 
E a média de X fica: 
 
X = 400 × d + 800 
 
X = 400 ×1 
95, 
 
+ 800 = 1580 
 
Resposta: C. 
 
 
 
EC 5 
AFRF/2001 [ESAF] 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Freqüências Acumuladas de Salários Anuais, em Milhares de Reais, da Cia. Alfa 
 
Classes de Salário Freqüências Acumuladas 
( 3 ; 6] 12 
( 6 ; 9] 30 
( 9 ; 12] 50 
(12 ; 15] 60 
(15 ; 18] 65 
(18 ; 21] 68 
Quer-se estimar o salário médio anual para os empregados da Cia. Alfa. Assinale a opção 
que representa a aproximação desta estatística calculada com base na distribuição de 
freqüências. 
a) 10,00 
b) 9,93 
c) 13,50 
d) 15,00 
e) 12,50 
 
 
Foram dadas freqüências acumuladas. Só que para calcular a média sempre trabalhamos 
com freqüências simples. Tanto faz serem absolutas ou relativas. Vamos encontrar as 
freqüências absolutas simples correspondentes. 
 
Classes 
De Salário 
 
Memória 
De cálculo 
 
Freqüências 
Simples 
 
Freqüências 
Acumuladas 
( 3 ; 6] =12 12 12 
( 6 ; 9] =30-12 18 30 
( 9 ; 12] =50-30 20 50 
(12 ; 15] =60-50 10 60 
(15 ; 18] =65-60 5 65 
(18 ; 21] =68-65 3 68 
 
Agora podemos começar a trabalhar, pois já temos as freqüências simples. 
Precisamos encontrar os pontos médios das classes. 
Classes 
de Salário 
Ponto 
médio 
Freqüências 
Simples 
Freqüências 
Acumuladas 
(3 ; 6] 4,5 12 12 
(6 ; 9] 7,5 18 30 
(9 ; 12] 10,5 20 50 
(12 ; 15] 13,5 10 60 
(15 ; 18] 16,5 5 65 
(18 ; 21] 19,5 3 68 
 
Mais uma vez, todas as amplitudes de classes são iguais (todas valem 3). Podemos 
encontrar apenas o primeiro ponto médio. Os demais são obtidos por soma (basta somar 
3). 
 
Para facilitar as contas, criamos a variável auxiliar d. Vamos pegar cada valor de X e 
subtrair 4,5 (pois 4,5 é igual ao primeiro ponto médio). Em seguida dividimos por 3 (pois 
3 é a amplitude de classe). 
 
d = X − 4 5, 3 
Ponto médio d Freqüências Simples 
4,5 0 12 
7,5 1 18 
 
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Ponto médio d Freqüências Simples 
10,5 2 20 
13,5 3 10 
16,5 4 5 
19,5 5 3 
 
Vamos calcular a média dos valores de ‘d’. 
 
Primeiro passo: criamos a coluna de valor vezes freqüência. 
 
 
d Freqüências 
Simples ( f ) 
 
 
d × f 
 
0 12 0 
1 18 18 
2 20 40 
3 10 30 
4 5 20 
5 3 15 
 
Segundo passo: Calculando os totais 
d Freqüências 
Simples ( f ) 
d × f 
 
 
0 12 0 
1 18 18 
2 20 40 
3 10 30 
4 5 20 
5 3 15 
TOTAL 68 123 
 
Terceiro passo: encontrando a média de ‘d’: 
 
d = 123 68 
 
Só que não queremos a média de ‘d’. Queremos a média de X. Sabemos que: 
 
d = X − 4 5, 3 
 
Isolando o X: 
 
X = 3d + 4 5, 
 
E a média de