AULA 04 - ESTATISTICA - ICMS SP

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CURSO ON-LINE – ESTATÍSTICA PARA ICMS/SP 1 
PROFESSOR: VÍTOR MENEZES 
 
 
AULA 04 
 
 
 
X MEDIDAS DE DISPERSÃO ....................................................................................................................... 2 
 
1 Amplitude (A) .............................................................................................................................................. 2 
 
2 Desvio em relação à média aritmética ........................................................................................................ 3 
 
3 Desvio médio (DM) ..................................................................................................................................... 5 
 
4 Variância..................................................................................................................................................... 8 
 
5 Desvio padrão ........................................................................................................................................... 11 
 
6 Propriedades das medidas de dispersão ................................................................................................... 11 
 
7 Coeficiente de variação (CV) .................................................................................................................... 12 
 
8 Medidas de dispersão para dados em classes. .......................................................................................... 13 
 
9 Outra forma de cálculo da variância ........................................................................................................ 41 
 
ANEXO ................................................................................................................................................................ 60 
 
 
LISTA DAS QUESTÕES DE CONCURSOS................................................................................................... 67 
 
 
GABARITO DAS QUESTÕES DE CONCURSOS ......................................................................................... 76 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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CURSO ON-LINE – ESTATÍSTICA PARA ICMS/SP 2 
PROFESSOR: VÍTOR MENEZES 
 
 
X MEDIDAS DE DISPERSÃO 
 
 
Considere três empresas (A, B e C). Em cada uma destas três empresas, entrevistamos 
cinco funcionários, perguntando o salário de cada um deles. 
 
O resultado está abaixo (valores em R$ 1.000,00): 
 
Empresa A: 3, 3, 3, 3, 3 
 
Empresa B: 1, 3, 3, 3, 5 
 
Empresa C: 1, 2, 3, 4, 5 
 
Na empresa A todos os cinco funcionários entrevistados ganham R$ 3.000,00. Na 
empresa B temos uma pessoa que ganha R$ 1.000,00, três que ganham R$ 3.000,00 e 
uma que ganha R$ 5.000,00. E na empresa C cada funcionário ganha um salário 
diferente. 
 
Note que o salário médio nas três empresas é o mesmo. A média é de R$ 3.000,00, 
tanto na empresa A, quanto nas empresas B e C. 
 
O que significa dizer que a média nas três empresas é a mesma. Significa que os 
salários, em cada uma delas, giram em torno de R$ 3.000,00. 
 
Sabemos que na empresa ‘A’ a média descreve muitíssimo bem o conjunto de dados. Por 
quê? Porque todos os funcionários ganham exatamente o salário médio. Todos eles 
ganham R$ 3.000,00. 
 
Já na empresa ‘C’ a média não descreve o conjunto de dados tão bem quanto o faz na 
empresa ‘A’. Na empresa ‘C’ apenas uma pessoa ganha o salário médio. 
 
Analisando apenas a média não conseguimos diferenciar as três empresas. Contudo, 
tendo acesso a todos os valores da pesquisa, temos condições de afirmar que os salários 
em cada uma delas são diferentes. 
 
O que estou querendo dizer é que a média, isoladamente, não é suficiente para 
descrever adequadamente um conjunto de dados. E o intuito da estatística descritiva é 
justamente descrever um conjunto de dados. 
 
Na empresa A, os dados não estão nada dispersos. Eles estão bem concentrados. Todos 
eles são iguais à média aritmética. 
 
Na empresa C, já há certa dispersão. O salário médio também é de R$ 3.000,00. Só que 
nesta terceira empresa os dados estão mais dispersos, assumem valores diferentes. 
 
Para melhor descrever nossos dados (lembrem-se: estamos estudando estatística 
descritiva, que visa descrever um conjunto de dados), vamos utilizar as medidas de 
dispersão. Sua finalidade é indicar o quanto os dados estão dispersos. 
 
 
 
1 Amplitude (A) 
 
A primeira medida de dispersão é a amplitude. Nós até já vimos o conceito de amplitude 
anteriormente. 
 
Quando estudamos dados em classes, vimos que a diferença entre o limite superior e o 
limite inferior é igual à amplitude de classe. 
 
A idéia de amplitude é essa mesmo. É a diferença entre o maior e o menor valor. Dentro 
de uma classe, o maior valor é o limite superior e o menor valor é o limite inferior. 
 
Vamos calcular a amplitude para cada uma das três empresas do nosso exemplo. Na 
empresa A, todos os valores são iguais a 3. A amplitude fica: 
 
 
 
 
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CURSO ON-LINE – ESTATÍSTICA PARA ICMS/SP 3 
PROFESSOR: VÍTOR MENEZES 
 
 
Empresa A: 
 
 
A = 3 − 3 = 0 
 
 
 
Na empresa B, o maior valor é 5. O menor valor é 1. A amplitude fica: 
 
Empresa B: 
 
A = 5 − 1 = 4 
 
 
 
Na empresa C, o maior valor é 5. O menor valor é 1. A amplitude fica: 
 
Empresa C: 5 − 1 = 4 
 
A amplitude é uma medida de dispersão. Quanto maior a amplitude, mais dispersos 
estão os dados. A amplitude foi capaz de me indicar que, na empresa A, os salários estão 
bem concentrados. Foi capaz de demonstrar também que, nas empresas B e C, os 
salários são mais dispersos que na empresa A. 
 
Contudo, levando em conta apenas a amplitude, não conseguimos descobrir, dentre as 
empresas B e C, qual tem os dados mais dispersos. Ou seja, a amplitude não foi capaz 
de diferenciar a dispersão dos dados nas empresas B e C. 
 
Dizemos que a amplitude é uma medida de dispersão “pobre”. Seu cálculo leva em conta 
apenas dois valores. Apenas o maior valor e o menor valor. 
 
 
 
Lembrete de amplitude: 
 
Amplitude é igual ao maior valor menos o menor valor. 
 
É uma medida de dispersão “pobre” por levar em conta apenas dois valores 
 
 
 
2 Desvio em relação à média aritmética 
 
O desvio em relação à média aritmética não é uma medida de dispersão. É apenas uma 
ferramenta que nós usaremos daqui em diante. 
 
A exceção da amplitude, todas as outras medidas de dispersão que nós estudaremos 
levam em conta o desvio em relação à média aritmética. Mas o que é desvio em relação 
à média aritmética? 
 
Desvio em relação à média aritméticaé a diferença entre o valor considerado e a média 
aritmética da seqüência numérica analisada. 
 
Tomemos a empresa C. Os salários dos funcionários desta empresa são: 
 
Empresa C: 1, 2, 3, 4, 5 
Vamos calcular os desvios destes valores em relação à média. 
A média aritmética dessa seqüência de valores é 3. 
 
O primeiro valor é 1 ( X 1 = 1). O desvio deste primeiro valor, em relação à 3 (=média 
aritmética) é: 
 
e1 = X 1 − X 
 
e1 = 1 − 3 = 2− 
 
Utilizamos a letra ‘e’ para indicar o desvio. É que é muito comum, em vez de falarmos 
em “desvios em relação à média”, utilizarmos a expressão “erros em relação à média”. 
Aí, a letra “e” lembraria a inicial de “erro”. Mas o significado é o mesmo. Como já estou 
 
 
 
 
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CURSO ON-LINE – ESTATÍSTICA PARA ICMS/SP 4 
PROFESSOR: VÍTOR MENEZES 
 
 
utilizando a letra “d” (inicial de desvio) para indicar a variável transformada que facilita o 
cálculo da média para dados em classes (lembram? assunto da aula 2), optei pelo 
símbolo “e”. 
 
Então o primeiro desvio é -2. Para obtê-lo, tomamos o primeiro valor (1), tomamos a 
média dos dados (3), e fazemos a diferença entre eles. 
 
O segundo desvio ficaria assim: 
 
e2 = X 2 − X 
 
e2 = 2 − 3 = 1− 
 
Tomamos o segundo valor (2). Tomamos a média aritmética (3). E fazemos a diferença 
entre eles. 
 
A tabela abaixo contém todos os desvios para a empresa C. 
Desvios para os salários na empresa C 
Valor observado (X) Desvio em relação à média 
(e) 
Freqüência simples (f) 
 
1 -2 1 
2 -1 1 
3 0 1 
4 1 1 
5 2 1 
 
 
Com esse conceito de desvio em relação à média aritmética, uma idéia geralmente vem à 
cabeça. 
 
E se calcularmos a média desses desvios? Se a média dos desvios em relação à média 
aritmética for alta, então os dados são muito dispersos. Se a média dos desvios for 
baixa, os dados estão pouco dispersos. 
 
Com esta idéia, podemos calcular a média dos desvios dos salários na empresa C. 
Desvio em relação à média 
(e) 
Freqüência simples (f) 
 
e × f 
 
-2 1 -2 
-1 1 -1 
0 1 0 
1 1 1 
2 1 2 
Totais 5 0 
 
 
 
A média dos desvios fica: 
 
e = 0 = 0 
5 
 
Por que a média é zero? A média deu zero porque a soma dos desvios é zero (total da 
coluna e × f ). 
 
Lá em propriedades da média (assunto da aula 01) eu disse que a soma de todos os 
desvios em relação à média aritmética é igual a zero. Na hora eu não expliquei. Apenas 
deixei a informação. Pois bem, chegou a hora de olhar esta propriedade com mais calma. 
 
 
 
 
 
 
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CURSO ON-LINE – ESTATÍSTICA PARA ICMS/SP 5 
PROFESSOR: VÍTOR MENEZES 
 
 
Nós vimos que, para a empresa C, a soma de todos os desvios foi zero. Só que isso não 
acontece só para os salários dos funcionários da empresa C. Para qualquer seqüência 
numérica que você montar, a soma dos desvios em relação à média aritmética será zero. 
É uma propriedade da média. 
 
Por mais que os dados estejam dispersos, a média dos desvios será sempre nula. Isto 
porque, havendo dispersão, teremos valores menores que a média (desvios negativos) e 
teremos valores maiores que a média (desvios positivos). Os valores positivos cancelam 
os negativos e a soma dá sempre zero. 
 
Portanto, a média dos desvios não pode ser utilizada para comparar a dispersão de duas 
seqüências numéricas. 
 
 
 
3 Desvio médio (DM) 
 
A idéia do desvio médio é muito parecida com a que trouxemos acima. Calcular os 
desvios em relação à média aritmética. Só que utilizamos uma ferramenta para 
evitarmos o problema de termos números negativos e positivos, de tal modo que os 
desvios negativos cancelem os desvios positivos e a soma dê zero. 
 
Esta ferramenta é o módulo. 
O módulo tem a propriedade de transformar um número negativo em positivo. 
Vamos a alguns exemplos. 
 
 
 
Qual o módulo de -2? 
 
 
 
O número -2 é negativo. O módulo transforma números negativos em positivos. 
 
− 2 = 2 
 
Representamos o módulo por duas barras verticais. Assim, o módulo de -2 é 2. 
 
 
 
Seguindo o mesmo raciocínio, o módulo de -25 é 25. 
 
− 25 = 25 
 
 
 
Quando o número for positivo, o módulo não faz nada. Deixa o número como está. Logo, 
o módulo de 8 é o próprio 8. 
 
8 = 8 
 
 
 
Pois bem, e se em vez de trabalharmos com os desvios utilizarmos seus respectivos 
módulos? 
 
Aí acabamos com o problema de termos números negativos. Não tendo mais números 
negativos, não há cancelamento de números negativos com positivos e a soma não dá 
zero. 
 
Vamos ver como ficaria. 
 
 
 
 
 
 
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PROFESSOR: VÍTOR MENEZES 
 
 
Desvios para os salários na empresa C 
Valor observado (X) Desvio em relação à média 
(e) 
Módulo do desvio (|e|) 
 
1 -2 2 
2 -1 1 
3 0 0 
4 1 1 
5 2 2 
 
 
Pronto. Na coluna de módulos dos desvios não temos nenhum número negativo. Se 
fizermos a média desses valores, ficamos com: 
 
 
Módulo do desvio em 
relação à média (|e|) 
 
 
Freqüência simples (f) 
 
 
 
e × f 
 
2 1 2 
1 1 1 
0 1 0 
1 1 1 
2 1 2 
Totais 5 6 
 
 
 
A média dos módulos dos desvios fica: 
 
DM = 6 = ,1 2 
5 
Este é o valor do Desvio Médio. 
Conclusão: 
 
Desvio médio é a média dos módulos dos desvios (desvios calculados em relação à média 
aritmética). 
 
 
Se fôssemos escrever a fórmula que representa os cálculos feitos na tabela acima, 
poderíamos dizer que o desvio médio é dado por: 
 
n 
∑ X i − X 
DM = i =1 n 
 
Ou seja: 
 
· Calculamos cada desvio em relação à média aritmética ( X i − X ) 
 
· Tiramos o módulo de cada desvio ( X i − X ) 
 
· Somamos todos os desvios ( ∑ 
 
 
X i − X ) 
 
· Dividimos pelo número de dados, obtendo: 
 
 
 
 
 
 
 
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CURSO ON-LINE – ESTATÍSTICA PARA ICMS/SP 7 
PROFESSOR: VÍTOR MENEZES 
 
 
n 
∑ X i − X 
DM = i =1 n 
 
Para treinar um pouco, vamos calcular o desvio médio para os salários dos funcionários 
da empresa B. 
 
 
Desvios para os salários na empresa B 
Valor observado (X) Desvio em relação à média 
(e) 
Módulo do desvio (|e|) 
 
1 -2 2 
30 0 
5 2 2 
 
 
Módulo do desvio em 
relação à média (|e|) 
 
 
Freqüência simples (f) 
 
 
 
e × f 
 
2 1 2 
0 3 0 
2 1 2 
Totais 5 4 
 
 
 
E o desvio médio da empresa B fica: 
 
DM = 4 = 0 8, 
5 
 
Note que o desvio médio foi capaz de me dizer que os salários da empresa C são mais 
dispersos que os salários da empresa B. 
 
O desvio médio em C (=1,2) foi maior que em B (=0,8). Portanto, em C os dados são 
mais dispersos. 
 
O desvio médio já é uma medida de dispersão mais “rica” que a amplitude. O desvio 
médio leva em conta todos os dados, não apenas o maior e o menor. 
 
 
 
Lembrete de desvio médio 
 
Calculamos cada desvio em relação à média aritmética ( X i − X ) 
 
Tiramos o módulo de cada desvio ( X i − X ) 
 
Somamos todos os módulos dos desvios ( ∑ 
 
 
X i − X ) 
 
Dividimos pelo número de dados, obtendo: 
 
n 
∑ X i − X 
DM = i =1 n 
 
 
 
 
 
 
 
 
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4 Variância 
 
A idéia da variância é bem parecida com a idéia do desvio médio. Continuamos 
desejando eliminar os números negativos. 
 
No desvio médio isto foi feito aplicando o módulo. Só que muitas vezes é difícil trabalhar 
com a função módulo. Ela apresenta algumas características “indesejadas”. 
 
Uma outra forma mais utilizada é, em vez de aplicar o módulo, elevar ao quadrado. 
Quando elevamos um número negativo ao quadrado, ele vira positivo. Assim, eliminamos 
os números negativos e acabamos com o problema de a soma dos desvios dar zero. 
Vamos ver como fica para a empresa C 
 
 
Desvios para os salários na empresa C 
Valor observado (X) Desvio em relação à média 
(e) 
Desvio ao quadrado (e2) 
 
1 -2 4 
2 -1 1 
3 0 0 
4 1 1 
5 2 4 
 
 
Pronto: na coluna de desvios ao quadrado só temos valores não negativos. 
Podemos fazer a média desses valores que ela não será igual a zero. 
 
 
Desvio ao quadrado (e2) Freqüência simples (f) 
 
 
e × f 
4 1 4 
1 1 1 
0 1 0 
1 1 1 
4 1 4 
Totais 5 10 
 
 
 
O símbolo de variância é: σ2. 
 
A variância dos salários na empresa C fica: 
 
σ 2 = 10 = 2 
5 
 
A variância tem unidade igual ao quadrado da unidade dos dados. Como os dados estão 
expressos em R$ 1.000,00, a variância acima está expressa em (1.000.000 R$2) – um 
milhão de reais ao quadrado. 
 
Se fôssemos escrever uma fórmula para a variância, representando todos os cálculos 
feitos nas tabelas acima, ficaríamos com: 
 
n 2
∑ ( )X 
 
i − X 
σ 2 = i =1 n 
 
 
 
 
 
 
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Um comentário importante. Em concurso, é comum se fazer referência à variância 
populacional e à variância amostral. 
 
Na variância populacional, consideramos que nós tivemos acesso a todos os dados. 
Levamos em conta toda a população, todo o universo de dados. Quando for assim, o 
procedimento é exatamente aquele visto acima e a fórmula da variância é: 
 
n 2
∑ ( )X 
 
i − X 
σ 2 = i =1 n 
 
Quando aplicamos esta fórmula, é como se estivéssemos considerando que na empresa C 
há apenas 5 funcionários. Como nós conseguimos entrevistar todos eles, levamos em 
conta toda a população. Calculamos a variância populacional. 
 
Contudo, há casos em que nós não temos acesso a todos os dados. Se a empresa C tiver 
mais funcionários e nós só tivermos entrevistado cinco deles, então nós trabalhamos na 
verdade com uma amostra. 
 
Quando temos uma amostra, a fórmula da variância fica um pouco diferente. O símbolo 
de variância passa a ser: s2. E a fórmula fica: 
 
n 2
∑ ( )X 
 
i − X 
s 2 = i 1= n − 1 
 
A única coisa que muda é o denominador. Em vez de “n”, fica “n-1”. 
 
Vamos supor que na empresa C tinha mais pessoas e aquelas 5 eram apenas uma 
amostra. Neste caso, a variância ficaria assim: 
 
s 2 = 10 = 10 = 2 5, 
5 − 1 4 
 
Quando o número de dados for grande (ou seja, quando “n” for grande), praticamente 
não há diferença entre as duas fórmulas. 
 
Por que subtrair 1 no denominador? 
 
Quando entrarmos em estatística inferencial, a gente faz mais alguns comentários. Por 
hora apenas gravem: 
 
 
 
Em concursos: 
 
Variância amostral → utilizar “n-1” no denominador 
 
Variância populacional → utilizar “n” no denominador 
 
 
Um último comentário sobre os desvios. No numerador da fórmula da variância temos a 
soma de todos os quadrados dos desvios. Desvios estes calculados em relação à média 
aritmética. Para a empresa C a soma dos quadrados dos desvios foi 10. 
 
 
Vamos fazer um teste. Vamos calcular os quadrados dos desvios novamente. Só que, 
agora, em vez de considerar desvios em relação à média aritmética, vamos fazer os 
desvios em relação a um outro valor qualquer. A título de exemplo, vamos fazer desvios 
em relação a X 1 . 
 
 
 
 
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Para não confundir, esses “desvios modificados” eu vou chamar de 
 
 
e' . 
 
 
 
O primeiro desvio em relação à 
 
e'1 = X 1 − X 1 = 0 
 
 
 
X 1 é: 
 
 
 
Tomamos o primeiro valor ( X 1 ). Tomamos 
 
X 1 . Subtraímos um do outro. 
 
 
 
O segundo desvio em relação à 
 
 
 
X 1 é: 
 
e 1' 
 
= X 2 − X 1 
 
e'1 = 2 − 1 = 1 
 
Tomamos o segundo valor (2). Tomamos 
 
 
 
X 1 (1). Subtraímos um do outro. 
 
A tabela abaixo contém todos os desvios em relação à 
 
X 1 , para a empresa C: 
Desvios para os salários na empresa C 
Valor observado (X) Desvio em relação à 
X 1 (e') 
Desvio ao quadrado (e'2 ) 
 
1 0 0 
2 1 1 
3 2 4 
4 3 9 
5 4 16 
Total 30 
 
Note que a soma dos quadrados dos desvios foi de 30. 
 
Quando os desvios foram calculados em relação à média aritmética, a soma dos 
quadrados dos desvios foi 10. 
 
Quando os desvios foram calculados em relação a um outro valor, a soma dos quadrados 
dos desvios foi maior que 10. 
 
Daí vem a últimapropriedade da média (matéria lá da primeira aula) que tinha ficado 
sem explicação. Eu disse que a média aritmética é o valor em relação ao qual é mínima a 
soma dos quadrados dos desvios. Só que a informação ficou apenas registrada e eu não 
fiz nenhum comentário. 
 
Esta soma dos quadrados dos desvios será mínima quando os desvios forem em relação à 
média aritmética. Se outro valor for utilizado como referência para cálculo dos desvios, a 
soma ficará maior. 
 
Mas isto tudo foi só para entendermos melhor esta propriedade da média. 
 
No cálculo de variância: sempre utilize desvios em relação à média aritmética. 
 
 
 
Lembrete de variância 
 
n 2 
∑ ( )X 
i − X 
σ 2 = i =1 (para uma população) 
n 
 
 
 
 
 
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CURSO ON-LINE – ESTATÍSTICA PARA ICMS/SP 11 
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n 2 
∑ ( )X 
i − X 
s 2 = i 1= (para uma amostra) 
n − 1 
 
 
 
5 Desvio padrão 
 
O desvio padrão nada mais é que a raiz quadrada da variância. Se trabalharmos com 
uma população, seu símbolo é σ. Se trabalharmos com uma amostra, seu símbolo é s. 
Na empresa C, o desvio padrão populacional é: 
 
=σ 2 
 
Caso os cinco valores de salários desta empresa sejam uma amostra, o desvio padrão 
amostral fica: 
 
=s 2 5, 
 
Lembram que a variância tinha unidade igual ao quadrado da unidade dos dados? 
 
Como o desvio padrão é igual à raiz quadrada da variância, então o desvio padrão tem a 
mesma unidade dos dados. 
 
Como os dados estão em R$ 1.000,00, o desvio padrão está também expresso em R$ 
1.000,00. 
 
 
 
6 Propriedades das medidas de dispersão 
 
Vamos considerar mais duas empresas (D e E). 
 
Os salários nestas duas empresas estão abaixo (valores em R$ 1.000,00): 
Empresa D: 6, 7, 8, 9, 10. 
Empresa E: 2, 4, 6, 8, 10. 
 
 
 
Para a empresa D, os valores de amplitude, desvio médio, desvio padrão e variância são: 
 
A = 4 
 
DM = ,1 2 
 
=σ 2 
 
σ 2 = 2 
 
São exatamente os mesmos valores obtidos para a empresa C. 
 
Interessante notar que cada valor da empresa D é igual a um valor da empresa C 
somado com 5. 
 
 
 
Relembrando, na empresa C os valores eram: 1, 2, 3, 4, 5. 
 
 
 
Na empresa D, temos: 6 (=1+5), 7 (=2+5), 8 (=3+5), 9(=4+5), 10 (=5+5). 
 
 
 
 
 
 
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Conclusão: se em cada valor da seqüência de dados nós somarmos ou subtraímos uma 
constante, as medidas de dispersão não se alteram. 
 
Ou ainda: somas e subtrações não interferem na dispersão. 
 
 
 
Para a empresa E, os valores de amplitude, desvio médio, desvio padrão e variância são: 
 
A = 8 
 
DM = ,2 4 
 
σ = 2 2 
 
σ 2 = 8 
 
Interessante notar que cada valor na empresa E é igual a um valor da empresa C 
multiplicado por 2. 
 
Na empresa E, temos: 2 (= 2 ×1 ),4 ( = 2 × 2 ),6 (= 2 × 3 ), 8 (= 2 × 4 ), 10 (= 2 × 5 ) 
Conclusão: se multiplicarmos ou dividirmos cada valor da seqüência de dados por uma 
constante, a amplitude, o desvio padrão e o desvio médio sofrem a mesma variação. 
 
No exemplo acima, dobramos cada valor. A amplitude, o desvio padrão e o desvio médio 
também foram dobrados. 
 
Para a variância é um pouquinho diferente. A variância sofre quase a mesma alteração, 
só que ao quadrado. 
 
Como dobramos cada valor da seqüência de dados, a variância foi quadruplicada. 
 
Para a variância fica: se multiplicarmos ou dividirmos cada valor da seqüência de dados 
por uma constante “c”, a variância fica multiplicada ou dividida por “c2”. 
 
 
Lembrete de propriedades das medidas de dispersão. 
Somas e subtrações não interferem nas medidas de dispersão. 
 
Se multiplicarmos ou dividirmos cada valor da seqüência de dados por uma 
constante, a amplitude, o desvio padrão e o desvio médio sofrem a mesma 
alteração. A variância sofre a alteração ao quadrado. 
 
 
 
7 Coeficiente de variação (CV) 
A última medida de dispersão que veremos é o coeficiente de variação. 
O coeficiente de variação é igual ao desvio padrão dividido pela média. 
No caso da empresa C, visto acima, temos: 
 
X = 3 
 
=σ 2 
 
E o coeficiente de variação fica: 
 
CV = 2 
3 
 
O coeficiente de variação é adimensional. Não tem unidade de medida. Isto porque tanto o 
numerador quanto o denominador têm a mesma unidade, que acabam se cancelando. 
 
 
 
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8 Medidas de dispersão para dados em classes. 
 
Se os dados estiverem em classes, não temos acesso a todos os valores observados. 
Para calcular as medidas de dispersão, precisamos fazer algumas considerações. 
 
No caso da amplitude, não há maiores problemas. Tomamos o maior limite superior. 
Tomamos o menor limite inferior. E subtraímos um do outro. 
 
Nós até já fizemos isto na aula passada. Foi quando estudamos o histograma (ver EC 28 
da aula 3). Na alternativa ‘e’ daquele exercício, calculamos a amplitude para dados em 
classes. 
 
Relembrando. Tínhamos a seguinte tabela: 
Classe Freqüência absoluta simples 
0,5 ≤ x < 1,0 100 
1,0 ≤ x < 1,5 100 
1,5 ≤ x < 2,0 200 
2,0 ≤ x < 2,5 400 
2,5 ≤ x < 3 300 
3 ≤ x < 3,5 300 
3,5 ≤ x < 4 200 
Total 1600 
 
O maior limite superior é 4. O menor limite inferior é 0,5. Fazendo a subtração temos: 
 
A = 4 − 0 5, 
 
= 3 5, 
 
Como os dados estavam em R$ 1.000,00, a amplitude é igual a R$ 3.500,00. 
 
 
Para as demais medidas de dispersão (variância, desvio padrão, desvio médio e 
coeficiente de variação), a consideração que se faz é a mesma do cálculo da média para 
dados em classes. Consideramos que todos os valores de freqüência se referem ao ponto 
médio de cada classe. 
 
Na seqüência, trago alguns exercícios propostos para vermos como fica. 
 
 
 
MEDIDAS DE DISPERSÃO – EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
 
 
 
EP 1 
 
Considere a seguinte seqüência de dados: 
1, 4, 5, 5, 10. 
Calcule: 
 
a) a amplitude 
b) o desvio médio 
c) a variância 
 
d) o desvio padrão 
 
e) o coeficiente de variação 
 
 
 
 
 
 
 
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EP 2 
 
Considere a seguinte seqüência de dados: 
3, 9, 11, 11, 21. 
Calcule: 
 
a) a amplitude 
b) o desvio médio 
c) a variância 
 
d) o desvio padrão 
 
e) o coeficiente de variação. 
 
 
 
EP 3 
 
Considere a seguinte tabela, referente às idades das crianças de uma turma (não 
existem observações coincidentes com os extremos das classes): 
Idades Freqüência absoluta simples 
6 – 8 25 
8 – 10 50 
10 – 12 25 
 
Calcule: 
 
a) a amplitude 
b) o desvio médio 
c) a variância 
 
d) o desvio padrão 
 
e) o coeficiente de variação. 
 
 
 
RESOLUÇÃO DO EP 1 
 
Letra A 
 
A amplitude é dada pela diferença entre o maior e o menor valor. 
 
A = 10 −1 = 9 
 
 
 
Letra B 
 
Antes de calcular o desvio médio, vamos calcular a média. 
 
X = 1 + 4 + 5 + 5 + 10 = 5 5 
 
Agora podemos calcular os desvios: 
X e = X − 5 e f e × f 
 
1 -4 4 1 4 
4 -1 1 1 1 
 
 
 
 
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5 0 0 2 0 
10 5 5 1 5 
TOTAL 5 10 
 
 
 
O desvio médio fica: 
 
DM = 10 = 2 
5 
 
 
 
Letra C. 
 
 
 
 
 
 
X e = X − 5 e 2f e 2 × f 
 
 
 
 
 
 
 
E a variância fica: 
 
σ 2 = 42 = ,8 4 
5 
 
1 -4 16 1 16 
4 -1 1 1 1 
5 0 0 2 0 
10 5 25 1 25 
TOTAL 5 42 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Letra D 
 
O desvio padrão é igual à raiz quadrada da variância. 
 
=σ ,8 4 
 
 
 
Letra E 
 
CV = σ 
X 
 
 
 
 
 
= ,8 4 5 
 
 
 
RESOLUÇÃO DO EP 2 
Vamos chamar esta seqüência de dados de Y. 
ROL (Y): 3, 9, 11, 11, 21. 
Vamos chamar a seqüência de dados do exercício anterior de X. 
ROL (X): 1, 4, 5, 5, 10. 
 
 
Repare que cada valor de Y pode ser calculado a partir do correspondente valor de X da 
seguinte maneira. 
 
Y = 2 × X + 1 
 
A título de exemplo, tomemos o primeiro valor de Y. 
 
Y1 = 3 
 
 
 
 
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Tomemos o primeiro valor de X. 
 
X 1 = 1 
 
Note que 1Y 
 
= X 1 × 2 + 1 
 
O mesmo se aplica aos demais valores de Y e X. 
 
Deste modo, podemos usar os resultados do exercício anterior para responder a este 
exercício. 
 
Temos que: 
 
Y = 2 × X + 1 
 
Sabemos que somas e subtrações não interferem nas medidas de dispersão. Já a 
multiplicação sim. Quando multiplicamos os dados por uma constante, a amplitude 
também é multiplicada pela mesma constante. 
 
Assim, podemos achar a amplitude de Y ( YA ) a partir da amplitude de X ( AX ): 
 
=Y 2 × X + 1 
 
 
=Y 2 × X + 1 
 
 
Não interfere na amplitude 
 
 
 
 
YA = 2 × A X 
 
 
A amplitude de Y é o dobro da amplitude de X. 
 
AY = 2 × 9 = 18 
 
 
Letra B. 
Sabemos que: 
 
Y = 2 × X + 1 
 
Portanto, podemos usar o desvio médio de X ( DM X ) para calcular o desvio médio de Y 
( DM Y ). 
 
=Y 2 × X + 1 
 
 
=Y 2 × X + 1 
 
 
 
Não interfere no desvio 
médio 
 
 
 
DM Y 
 
 
 
= 2 × DM X 
 
O desvio médio de Y é o dobro do desvio médio de X. 
 
DM Y 
 
= 2 × 2 = 4 
 
 
 
 
 
 
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Letra C. 
Sabemos que: 
 
Y = 2 × X + 1 
 
Portanto, podemos usar a variância de X ( 2 2 
σ X ) para calcular a variância de Y (σ Y ). Para 
tanto, sabemos que somas e subtrações não interferem na variância. Já a multiplicação 
sim. Quando multiplicamos os dados por uma constante, a variância é multiplicada pelo 
quadrado desta constante. 
 
=Y 2 × X + 1 
 
 
=Y 2 × X + 1 
 
 
Não interfere na variância 
 
 
 
 
 
2 2 2 2 σ× X Yσ = 
A variância de Y é quatro vezes a variância de X. 
 
2 = 4 × ,8 4 = 33 6,σ Y 
 
 
 
Letra D. 
 
O desvio padrão é igual à raiz quadrada da variância. 
 
Yσ = 
 
,33 6 
 
Note que, pelas propriedades do desvio padrão, o desvio padrão de Y é igual ao dobro do 
desvio padrão de X. 
 
 
 
Letra E. 
O coeficiente de variação é igual ao desvio padrão dividio pela média. 
A média de Y fica: 
 
Y = 2 × X + 1 
 
Y = 2 × X + 1 = 11 
 
Portanto: 
 
= 33 6, YCV 11 
 
 
RESOLUÇÃO DO EP 3. 
Letra A. 
 
Para calcular a amplitude, precisamos pegar o maior valor de idade, o menor valor, e 
subtrair um do outro. 
 
 
 
 
 
 
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Só que não temos acesso a todos os valores. Por exemplo, não sabemos qual a idade de 
cada uma das 25 crianças da primeira classe. Só sabemos que elas têm idades entre 6 e 
8 anos. O mesmo ocorre para as demais classes. 
 
Nestes casos, para calcular a amplitude fazemos o seguinte: 
 
· Tomamos o maior limite superior (=12) 
 
· Tomamos o menor limite inferior (=6) 
 
· Subtraímos um do outro. Esta é a amplitude. 
 
A = 12 − 6 = 6 
 
 
 
Letra B 
 
Para calcular o desvio médio, precisamos pegar cada valor observado, encontrar o desvio 
em relação à média aritmética. Feito isto, tiramos os módulos dos desvios. Por fim, o 
desvio médio é igual à média dos módulos dos desvios. 
 
Só que não sabemos quais os valores observados. Só sabemos as freqüências das 
classes. Assim, não temos nem como calcular a média aritmética nem os desvios. Por 
conseqüência, não temos como calcular o desvio médio. 
 
O que faremos? 
 
Vamos ‘chutar’. Vamos supor que todas as observações correspondem ao ponto médio 
das classes. É exatamente a mesma consideração que fizemos para calcular a média 
aritmética para dados em classes (matéria da aula 2). 
 
Com esta idéia, primeiro calculemos a média aritmética. 
 
 
Idades Pontos médios 
das classes 
( X ) 
 
 
Freqüência 
absoluta 
Simples ( f ) 
 
 
X × f 
 
 
 
6 – 8 7 25 175 
8 – 10 9 50 450 
10 – 12 11 25 275 
TOTAL 100 900 
 
X = 900 = 9 
100 
 
 
Na verdade, nem precisava dessas contas. O conjunto acima é simétrico. A média, 
portanto, é igual ao ponto médio da classe central. 
 
Tendo a média aritmética, vamos considerar que todas as observações ocorrem 
justamente nos pontos médios das classes. Assim, vamos calcular os desvios em relação a 
X . 
Pontos médios 
das classes 
( X ) 
Desvios em relação 
à média aritmética 
( e ) 
Memória de cálculo 
 
 
 
7 -2 =7-9 
9 0 =9-9 
11 2 =11-9 
 
 
 
 
 
 
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Agora basta encontrar os módulos dos desvios e fazer a média destes valores. 
Ptos médios 
das classes ( X ) 
 
Desvios em relação à 
média aritmética 
( e ) 
Módulo dos 
Desvios 
e 
Freqüência absoluta 
Simples ( f ) 
 
e × f 
 
 
 
7 -2 2 25 50 
9 0 0 50 0 
11 2 2 25 50 
TOTAL 100 100 
 
 
 
DM = 100 = 1 
100 
 
O desvio médio é igual a 1. 
 
 
 
Letra C. 
 
Para o cálculo da variância, também consideramos que as observações correspondem ao 
ponto médio de cada classe. A variância nada mais é que a média dos quadrados dos 
desvios. 
 
 
Ptos médios 
das classes ( X ) 
 
 
 
Desvios em relação à 
média aritmética 
( e ) 
 
 
Desvios ao 
quadrado 
e 2 
 
 
Freqüência absoluta 
Simples ( f ) 
 
 
 
e 2 × f 
 
 
7 -2 4 25 100 
9 0 0 50 0 
11 2 4 25 100 
TOTAL 100 200 
 
 
 
σ 2 = 200 = 2 
100 
 
 
 
Letra D 
 
O desvio padrão é igual à raiz quadrada da variância. 
 
=σ 2 
 
 
 
Letra E. 
 
O coeficiente de variação é igual ao desvio padrão dividido pela média. 
 
CV = σ 
X 
 
= 2 9 
 
 
 
 
EXERCÍCIOS DE CONCURSOS – MEDIDAS DE DISPERSÃO 
 
 
 
 
 
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EC 1 
 
Analista IRB 2006 [ESAF] 
 
O grau ao qual os dados numéricos tendem a dispersar-se em torno de um valor médio 
chama-se 
 
a) média. 
b) variação ou dispersão dos dados. 
c) mediana. 
d) correlação ou dispersão. 
e) moda. 
 
Resposta: B 
 
As medidas de dispersão que têm esta finalidade: ver o quanto os dados estão dispersos 
em torno de um valor médio. 
 
 
 
EC 2 
 
Auditor Fiscal ICMS/BA – 2004 [FCC] 
 
Sabe-se que o valor de uma determinadavariável Q é obtida pela expressão definida por 
 
Q = 2i + 3 2 
 
sendo i um número inteiro positivo. Se i assumir os valores 1, 2, 3, 4 e 5, então, o desvio 
médio dessa variável é: 
a) 1,8 
b) 1,2 
c) 0,9 
d) 0,75 
e) 0,5 
 
 
 
 
Vamos ver quais os valores assumidos por Q. 
i Q 
1 2,5 
2 3,5 
3 4,5 
4 5,5 
5 6,5 
 
A média de Q é: 
 
Q = 2 5, 
 
+ 3 5, 
 
 
 
+ 4 5, 
5 
 
+ 5 5, 
 
 
 
+ 6 5, = 4 5, 
 
Vamos calcular o desvio médio de Q: 
 
 
 
 
 
 
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2 5, 
 
 
− 4 5, 
 
 
+ 3 5, 
 
 
− 4 5, 
 
 
+ 4 5, 
 
 
− 4 5, 
 
 
+ 5 5, 
 
 
− 4 5, 
 
 
+ 6 5, 
 
 
− 4 5, 
DM = 
5 
 
− 2 + − 1 + 0 + 1 + 2 
DM = 
5 
 
DM = 2 + 1 + 0 + 1 + 2 = ,1 2 5 
 
Resposta: B. 
 
Um detalhe interessante. 
Note que a seqüência de valores de Q foi obtida a partir de uma seqüência de dados i. 
Foi dito que: 
 
Q = 2i + 3 2 
 
Ou seja: 
 
Q = 2i + 3 = i + 1 5, 
2 
 
Para obter cada valor de Q, basta pegar cada valor de ‘i’ e somar 1,5. 
 
A seqüência de dados ‘i’ (1, 2, 3, 4, 5) nós já tínhamos estudado. É exatamente a 
mesma seqüência da empresa C, que utilizamos como exemplo lá no começo da aula. 
Calculamos o desvio médio para este conjunto de dados e chegamos ao valor de 1,2. 
 
Ora, se a seqüência de valores de Q foi obtida a partir desta seqüência, podemos utilizar 
as propriedades do desvio médio. 
 
Como a operação feita foi uma adição, concluímos que o desvio médio de Q é igual ao 
desvio médio de i (pois somas e subtrações não interferem nas medidas de dispersão). 
Portanto, o desvio médio de Q é igual a 1,2. 
 
 
 
EC 3 
 
Fiscal ICMS/PA – 2002 [ESAF] 
 
Um certo atributo W, medido em unidades apropriadas, tem média amostral 5 e desvio 
padrão unitário. Assinale a opção que corresponde ao coeficiente de variação, para a 
mesma amostra, do atributo Y=5+5W. 
a) 16,7% 
b) 20,0% 
c) 55,0% 
d) 50,8% 
e) 70,2% 
 
 
 
Questão da ESAF, sobre propriedades do desvio padrão. 
 
Para obter cada valor de Y, pegamos um valor de W, multiplicamos por 5 e somamos 5. 
 
 
 
 
 
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Em propriedades da média, vimos que a média sofre as mesmas alterações sofridas pelos 
dados. Assim, a média de Y fica: 
 
Y = 5W + 5 � Y = 5W + 5 
 
Y = 5 × 5 + 5 = 30 
 
 
O desvio padrão não é influenciado por somas e subtrações, apenas por multiplicações e 
divisões. 
 
Assim, o desvio padrão de Y fica: 
 
Yσ = 5 × σ W 
 
= 5 ×1 = 5 
 
 
 
Agora podemos calcular o coeficiente de variação de Y: 
 
CV = 5 = 0 1667, 
30 
 
Resposta: alternativa A. 
 
 
 
EC 4 
 
AFRF/2001 [ESAF] 
 
Numa amostra de tamanho 20 de uma população de contas a receber, representadas 
genericamente por X, foram determinadas a média amostral M = 100 e o desvio-padrão 
S =13 da variável transformada (X-200)/5. Assinale a opção que dá o coeficiente de 
variação amostral de X. 
a) 3,0 % 
b) 10,0 % 
c) 9,3 % 
d) 17,3 % 
e) 17,0 % 
 
 
 
Vamos chamar a variável transformada de Z. 
 
Z = X − 200 5 
Sabemos que a média de Z é 100 e o desvio padrão de Z é 13. 
Podemos obter X a partir de Z. 
 
=Z X − 200 � 5 × Z + 200 = X 
5 
 
Ou seja, se pegarmos cada valor de Z, multiplicarmos por 5 e somarmos 200, chegamos 
em X. 
 
 
 
Por exemplo. 
 
 
 
 
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CURSO ON-LINE – ESTATÍSTICA PARA ICMS/SP 23 
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Se a seqüência de dados a que chamamos de Z for: 
 
80, 90, 100, 110, ... 
 
 
 
Sabemos que: 
 
Z1 = 80 ; 
 
Z 2 = 90 ; e assim por diante. 
 
Pois bem, para obter a seqüência X, multiplicamos todos os valores de Z por 5 e 
somamos 200. 
 
Neste exemplo, X1 ficaria: 
 
X 1 = 80 × 5 + 200 = 600 
 
E X2 ficaria: 
 
X 2 = 90 × 5 + 200 = 650 
 
E assim por diante. 
 
Quando multiplicamos uma seqüência de dados por uma constante, a média sofre a 
mesma variação. E quando somamos uma constante a todos os valores de uma 
seqüência de dados, a média também sofre a mesma variação. 
 
Portanto, a média de X ficará: 
 
X = 5 × Z + 200 
 
X = 5 × Z + 200 
 
X = 5 ×100 + 200 = 700 
 
 
Já o desvio padrão não é afetado por somas e subtrações. Somar 200 a todos os valores 
de Z não altera em nada no desvio padrão de X. 
 
Já as multiplicações sim interferem no desvio padrão. Quando multiplicamos todos os 
valores por uma constante, o desvio padrão sofre a mesma alteração. 
 
X = 5 × Z + 200 
 
S x = 5 × S z 
 
S x = 5 ×13 = 65 
 
O desvio padrão de X é igual a 65. 
 
O exercício pediu o coeficiente de variação de X. Coeficiente de variação é igual ao desvio 
padrão dividido pela média. 
 
CV = S x = 65 � 0 093, 
X 700 
 
Resposta: C. 
 
 
EC 5 
 
AFRF/2002-1 [ESAF] 
 
 
 
 
 
 
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Um atributo W tem média amostral a ≠ 0 e desvio padrão positivo b ≠ 1. Considere a 
transformação Z = (W-a)/b. Assinale a opção correta: 
 
a) A média amostral de Z coincide com a de W. 
 
b) O coeficiente de variação amostral de Z é unitário. 
c) O coeficiente de variação amostral de Z não está definido. 
d) A média de Z é a/b 
 
e) O coeficiente de variação amostral de W e o de Z coincidem. 
 
 
 
Vamos encontrar a média de Z. 
 
Cada valor de Z é obtido a partir de W. Pegamos cada valor de W, subtraímos ‘a’, e 
dividimos por ‘b’. 
 
Quando somamos, subtraímos, multiplicamos ou dividimos uma seqüência de valores por 
determinadas constantes, a média sofre a mesma alteração. Assim, a média de Z fica: 
 
Z = W − a b 
 
Z = W − a b 
 
Mas o exercício disse que a média de W é igual a ‘a’. 
 
W = a 
 
Portanto: 
 
Z = a − a = 0 
b 
 
Logo, Z tem média nula. Se Z tem média nula, seu desvio padrão fica: 
 
 
CV = S = S 
Z 0 
 
Temos zero no denominador. 
Dizemos que o CV de variação não está definido, pois não é possível dividir por zero. 
Resposta: C. 
 
 
 
 
EC 6 
 
Analista CGU 2008. Área: estatística e cálculos atuariais [ESAF] 
 
Calcule o valor mais próximo do desvio-padrão da amostra representada pela distribuição 
de freqüências abaixo representada pelos pontos médios das classes x e respectivas 
freqüências f. 
x F 
5 5 
15 10 
25 31 
35 10 
 
 
 
 
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CURSO ON-LINE – ESTATÍSTICA PARA ICMS/SP 25 
PROFESSOR: VÍTOR MENEZES 
 
 
45 5 
 
 
a) 1. 
b) 2,44. 
c) 5,57. 
d) 7,056. 
e) 10. 
 
 
Para calcular o desvio-padrão, precisamos dos desvios em relação à média aritmética. 
Portanto, o primeiro passo é encontrar a média aritmética. 
 
Para tanto, criamos a coluna adicional: 
fx x × f 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A média fica: 
5 5 25 
15 10 150 
25 31 775 
35 10 350 
45 5 225 
TOTAL 61 1525 
 
 
 
X = 1525 = 25 
61 
 
Um detalhe. Para esta série de dados, especificamente, não era necessário fazer o 
cálculo para chegar na média. Temos uma seqüência simétrica. A média é simplesmente o 
termo do meio. 
 
Agora podemos calcular os desvios em relação à média: 
x e Memória de cálculo5 -20 =5-25 
15 -10 =15-25 
25 0 =25-25 
35 10 =35-25 
45 20 =45-25 
 
Podemos agora calcular a média os desvios ao quadrado: 
x e 2 f e 
2 × f 
5 400 5 2000 
15 100 10 1000 
25 0 31 0 
35 100 10 1000 
45 400 5 2000 
TOTAL 61 6000 
 
 
 
A média dos desvios ao quadrado é a variância: 
 
σ 2 = 6000 61 
 
 
 
 
 
 
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PROFESSOR: VÍTOR MENEZES 
 
 
Agora um detalhe. Estamos trabalhando com uma amostra. Então, a variância calculada é 
a variância amostral. Nesses casos, temos que trocar o denominador ‘n’ por ‘n-1’. 
 
s 2 = 6000 = 100 
60 
 
 
 
E o desvio padrão é igual à raiz quadrada da variância: 
 
=s 100 = 10 
 
Resposta: E 
 
 
 
EC 7 
 
AFRF/2002-2 [ESAF] 
 
O atributo do tipo contínuo X, observado como um inteiro, numa amostra de tamanho 
100 obtida de uma população de 1000 indivíduos, produziu a tabela de freqüências 
seguinte: 
 
Classes Freqüência 
29,5-39,5 4 
39,5-49,5 8 
49,5-59,5 14 
59,5-69,5 20 
69,5-79,5 26 
79,5-89,5 18 
89,5-99,5 10 
 
Assinale a opção que corresponde ao desvio absoluto médio do atributo X. 
 
a) 16,0 
b) 17,0 
c) 16,6 
d) 18,1 
e) 13,0 
 
A questão pede o desvio médio. 
 
O desvio médio é igual à média aritmética dos módulos dos desvios. 
 
O primeiro passo é calcular a média aritmética. Para tanto, supomos que os valores 
observados são justamente os pontos médios das classes. 
 
Vamos utilizar a variável transformada ‘d’, vista na aula 02. 
Classes Ponto médio 
 d = X − 34 5, Freqüência 
d × f 
 
( X ) 10 
( f ) 
 
29,5-39,5 34,5 0 4 0 
39,5-49,5 44,5 1 8 8 
49,5-59,5 54,5 2 14 28 
59,5-69,5 64,5 3 20 60 
69,5-79,5 74,5 4 26 104 
 
 
 
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Classes Ponto médio 
 
 
 
d = X − 34 5, Freqüência 
 
 
d × f 
 
( X ) 10 
( f ) 
 
79,5-89,5 84,5 5 18 90 
89,5-99,5 94,5 6 10 60 
TOTAL 100 350 
 
A média dos valores ‘d’ fica: 
 
d = 350 = 3 5, 
100 
 
Agora vamos calcular o desvio médio da variável ‘d’. 
 
 
 
 
( d ) 
 
 
 
Desvio 
( e = d − ,3 
)5 
 
 
 
e Freqüência 
( f ) 
 
 
 
e × f 
 
0 -3,5 3,5 4 14 
1 -2,5 2,5 8 20 
2 -1,5 1,5 14 21 
3 -0,5 0,5 20 10 
4 0,5 0,5 26 13 
5 1,5 1,5 18 27 
6 2,5 2,5 10 25 
TOTAL 100 130 
 
E o desvio médio de d fica: 
 
= 130 = 1 3, DM d 100 
 
Só que o exercício não pediu o desvio médio da variável transformada. O exercício pediu 
o desvio médio de X. 
 
Sabemos que: 
 
d = X − 34 5, 10 
 
Portanto: 
 
X = 10d + 34 5, 
 
Para obter os valores de X, pegamos os valores de ‘d’, multiplicamos por 10 e somamos 
34,5. 
 
Nós vimos que somas e subtrações não interferem no desvio médio. Já a multiplicação 
sim interfere no desvio médio. Quando multiplicamos os dados por uma constante, o 
desvio médio sofre a mesma alteração. 
 
O desvio médio de X fica: 
 
DM X 
 
DM X 
 
= 10 × DM d 
 
= 13 
 
Resposta: E. 
 
 
 
 
 
 
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EC 8 
 
Estatístico MPOG 2006 [ESAF] 
Considere os seguintes conjuntos de observações referentes a cinco diferentes variáveis: 
A { 1; 1; 1; 1; 1; 50}, 
 
B {1, 1, 1, 1; 50; 50}, 
C {1, 1, 1, 50, 50, 50 }, 
D {1, 1, 50, 50, 50, 50 }, 
 
E {1, 50, 50, 50, 50, 50}. 
 
O conjunto de observações que apresenta a maior variabilidade, medida pelo desvio- 
padrão, é o referente à variável: 
a) A. 
b) B. 
c) E. 
d) D. 
e) C 
 
 
 
 
O ideal é que o candidato resolva esta questão sem fazer contas. 
 
Observe o primeiro ROL. Quase todos os dados são iguais entre si. Apenas o último é 
diferente. Parece razoável, portanto, admitir que neste primeiro ROL os dados estão 
bastante concentrados. 
 
O mesmo raciocínio vale para o último ROL. 
 
O segundo ROL tem apenas dois termos diferentes dos demais. O mesmo se aplica ao 
quarto ROL. Ambos não estão tão concentrados assim, mas também não são tão 
dispersos. 
 
Já o terceiro Rol tem metade dos dados iguais a 1 e a outra metade igual a 50. É o ROL 
com maior dispersão. 
Resposta: E. 
 
 
Caso vocês queiram fazer as contas, a variância do terceiro ROL é de 600,25. Todas as 
demais são inferiores. 
 
 
 
EC 9 
 
Analista MPU. Área Pericial – especialidade: estatística. 2004 [ESAF] 
 
 
A norma euclidiana 
 
n 
∑ ( )X 
i − A 
2 
 
 
 
 é mínima quando A é igual: 
i =1 
 
a) à média dos valores de X i 
 
b) à mediana dos valores de X i 
 
 
 
 
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c) à moda dos valores de X i 
 
d) ao primeiro quartil dos valores de X i 
 
e) ao desvio padrão dos valores de X i 
 
 
 
Norma euclidiana é um nome meio complicado. Mas não precisamos dele. 
 
 
Observe o valor que se pretende calcular: 
 
n 
∑ ( )X i − A . 
2 
 
i =1 
 
Dentro da raiz quadrada temos uma soma de desvios ao quadrado. Desvios estes 
calculados em relação a “A”. Nós vimos que esta soma é mínima quando “A” é igual à 
média aritmética dos valores. 
 
Resposta: A. 
 
 
 
EC 10 
 
AFRF/2003 [ESAF] 
 
O atributo Z= (X-2)/3 tem média amostral 20 e variância amostral 2,56. Assinale a 
opção que corresponde ao coeficiente de variação amostral de X. 
a) 12,9% 
b) 50,1% 
c) 7,7% 
d) 31,2% 
e) 10,0% 
 
 
Vamos achar a média e a variância de X. 
Sabemos que: 
 
Z = X − 2 3 
 
Portanto: 
 
X = 3Z + 2 
 
 
 
Logo, a média de X fica: 
 
X = 3Z + 2 
 
X = 3 × 20 + 2 = 62 
 
 
Sabemos que somas e subtrações não interferem na variância. Já a multiplicação sim. 
Quando multiplicamos os dados por uma determinada constante, a variância é 
multiplicada pela constante ao quadrado. 
 
 
 
 
 
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PROFESSOR: VÍTOR MENEZES 
 
 
2
XS = 32 2 × S Z 
S 2 = 9 × 2 56, X 
 
Portanto, o desvio padrão amostral de X fica: 
 
XS = 
 
9 × 2 
56, 
 
= 3 × ,1 6 = 4 8, 
 
E o coeficiente de variância de X é dado pela divisão entre o desvio padrão e a média de 
X. 
 
CV = 4 8, � 0 077, 
62 
 
Resposta: C. 
 
 
EC 11 
 
Auditor Fiscal ICMS/BA – 2004 [FCC] 
 
Com relação às medidas de tendência central e de dispersão, é correto afirmar que: 
 
a) multiplicando-se todos os valores de uma determinada seqüência de números 
positivos por um mesmo número, maior que um, o seu respectivo coeficiente de variação 
aumenta de valor. 
 
b) a diferença entre a média aritmética e a mediana de uma seqüência de números 
positivos é sempre maior que a diferença entre a média aritmética e a moda dessa 
mesma seqüência. 
 
c) a média harmônica de uma seqüência de números positivos é igual à média aritmética 
dos respectivos inversos destes números. 
 
d) em uma seqüênciade números positivos, o produto da média aritmética pelo 
respectivo coeficiente de variação é igual ao valor do desvio padrão correspondente. 
 
e) a média geométrica de uma seqüência de números positivos é sempre maior ou igual 
à média aritmética destes números. 
 
 
 
Vamos à alternativa A. 
 
A alternativa seria sobre as propriedades do coeficiente de variação. Só que nós não 
estudamos nenhuma propriedade do coeficiente de variação. Como o coeficiente de 
variação é resultado da divisão do desvio padrão pela média, podemos utilizar as 
propriedades dessas duas grandezas para concluirmos o que acontece com o coeficiente 
de variação. 
 
Vamos a um exemplo para ficar mais fácil. 
Considere o seguinte conjunto de dados: 1, 2, 3, 4, 5. 
Sabemos que sua média e seu desvio padrão são: 
 
X = 3 
 
=σ 2 
 
E o coeficiente de variação é: 
 
 
 
 
 
 
 
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CURSO ON-LINE – ESTATÍSTICA PARA ICMS/SP 31 
PROFESSOR: VÍTOR MENEZES 
 
 
CV = 2 
3 
 
Agora multiplicamos todos esses valores por uma constante maior que 1. Vamos 
multiplicar por 3. 
 
Os dados ficam assim: 3, 6, 9, 12, 15. 
 
Vimos propriedades da média. Sempre que multiplicamos uma seqüência de valores por 
uma constante, a média sofre a mesma variação. 
 
A nova média fica: 
 
X ' = 3 × 3 = 9 
 
Vimos propriedades do desvio padrão. Sempre que multiplicamos uma seqüência de 
valores por uma constante, o desvio padrão sofre a mesma variação. 
 
O novo desvio padrão fica: 
 
σ ' = 3 × 2 
 
Logo, o novo coeficiente de variação fica: 
 
CV ' = 3 × 
 
2 2= 3 × 3 3 
 
Conclusão: o coeficiente de variação não é alterado por uma multiplicação dos dados. 
Isto porque tanto a média quanto o desvio padrão são multiplicados pela mesma 
constante. Assim, na hora de dividir um pelo outro, essa constante é “cortada”. 
 
A alternativa está errada. 
 
 
A alternativa B diz que a diferença entre a média e a mediana é sempre maior que a 
diferença entre a média e a moda. 
 
Isto é incorreto. Basta pensar na seguinte seqüência de dados: 1, 2, 2, 2, 3. 
 
A média, a mediana e a moda são todas iguais a 2 (é uma seqüência simétrica). 
 
Ou seja, a diferença entre a média e a mediana é zero. A diferença entre a média e a 
moda é zero. As duas diferenças são iguais. A alternativa está errada. 
 
 
A alternativa C diz que a média harmônica de uma seqüência de números positivos é 
igual à média aritmética dos respectivos inversos desses números. 
 
A questão está errada. Nós vimos (lá na aula 1) que a média harmônica é o inverso da 
média aritmética dos inversos dos números considerados. 
 
 
Na alternativa D, afirma-se que o produto da média pelo coeficiente de variação é igual 
ao desvio padrão. 
 
Esta alternativa está correta. 
 
X × CV = X × σ = σ 
X 
 
 
 
 
 
 
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CURSO ON-LINE – ESTATÍSTICA PARA ICMS/SP 32 
PROFESSOR: VÍTOR MENEZES 
 
 
A alternativa E diz que a média geométrica é sempre maior ou igual à média aritmética. 
Nós vimos (lá na aula 1) que é justamente o contrário. A média aritmética é sempre 
maior ou igual à média geométrica. 
 
 
 
Resposta: D. 
 
 
EC 12 
 
Analista BACEN/2006 – Área 5 [FCC] 
 
Com relação às medidas de posição e de dispersão, é correto afirmar: 
 
a) dobrando todos os valores dos funcionários de uma empresa, tem-se que o salário 
médio destes funcionários e a respectiva variância também ficam dobrados. 
 
b) a diferença entre a variância e o desvio padrão de uma seqüência de números é nula 
somente no caso em que a variância e o desvio padrão são iguais a zero. 
 
c) em qualquer distribuição de valores, a diferença entre a média e a moda é sempre 
maior ou igual a zero. 
 
d) multiplicando todos os valores de uma seqüência de números positivos por um 
número positivo, tem-se que o respectivo coeficiente de variação não se altera 
 
e) o coeficiente de variação correspondente a uma série de números positivos é igual à 
divisão do quadrado da respectiva média aritmética pela variância. 
 
 
 
Letra A. 
 
Quando dobramos todos os salários, o salário médio, de fato, também dobra. Isso 
porque nós vimos lá na aula 1, em propriedades da média, que a média sofre 
exatamente a mesma alteração dos dados. Como todos eles foram dobrados, o mesmo 
acontece com a média. 
 
Já com a variância as coisas mudam um pouco. Somas e subtrações não interferem na 
variância. Multiplicações e divisões sim. Quando dobramos todos os valores, a variância 
sofre a variação ao quadrado. Ou seja, a variância fica multiplicada por 4 (pois 4 é igual a 
2 ao quadrado). Item errado. 
 
 
 
Letra B. 
 
Imagine o caso em que o desvio padrão é igual a 1. A variância é igual ao quadrado do 
desvio padrão. Portanto, a variância também será igual a 1. E a diferença entre ambos 
será igual a zero. Portanto, o item está errado. 
 
 
 
Letra C. 
 
A alternativa está errada. Nas distribuições assimétricas à esquerda, a média é menor 
que a moda. A citada diferença será menor que zero. 
 
Observe o seguinte exemplo: 
 
1, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4. 
 
A moda é 4. A média é 3. A diferença entre a média e a moda é de -1, portanto, menor 
que zero. 
 
 
 
 
 
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CURSO ON-LINE – ESTATÍSTICA PARA ICMS/SP 33 
PROFESSOR: VÍTOR MENEZES 
 
 
Letra D. 
 
Como vimos no EC 11, multiplicações não alteram o coeficiente de variação. Alternativa 
correta. 
 
 
 
Letra E. 
 
Esta não é a fórmula do coeficiente de variação. O coeficiente de variação é dado pela 
divisão do desvio padrão pela média aritmética. Alternativa errada. 
 
 
 
Resposta: D. 
 
 
EC 13 
 
Fiscal ICMS/SP – 2006 [FCC] 
 
Considerando as respectivas definições e propriedades relacionadas às medidas de 
posição e de variabilidade, é correto afirmar: 
 
a) concedendo um reajuste de 10% em todos os salários dos empregados de uma 
empresa, tem-se que a respectiva variância fica multiplicada por 1,10. 
 
b) definindo o coeficiente de variação (CV) como sendo o quociente da divisão do desvio 
padrão pela respectiva média aritmética (diferente de zero) de uma seqüência de 
valores, tem-se então que CV também poderá ser obtido dividindo a correspondente 
variância pelo quadrado da média aritmética. 
 
c) subtraindo um valor fixo de cada salário dos funcionários de uma empresa, tem-se 
que o respectivo desvio padrão dos novos valores e igual ao valor do desvio padrão dos 
valores anteriores. 
 
d) dividindo todos os valores de uma seqüência de números estritamente positivos por 4, 
tem-se que o respectivo desvio padrão fica dividido por 2. 
 
e) em qualquer distribuição de valores em estudo, a diferença entre a mediana e a moda 
é sempre diferente de zero. 
 
 
 
Letra A. 
 
Dar um reajuste de 10% é o mesmo que multiplicar todos os salários por 1,1. 
 
Se todos os salários são multiplicados por 1,1, a variância fica multiplicada por 1,12. 
Alternativa errada. 
 
 
 
Letra B. 
O coeficiente de variação é igual ao desvio padrão dividido pela média. 
Alternativa errada. 
 
 
 
Letra C. 
 
Somar ou subtrair uma constante em cada um dos dados não interfere nas medidas de 
dispersão. Alternativa correta. 
 
 
 
Letra D. 
 
 
 
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CURSO ON-LINE – ESTATÍSTICA PARA ICMS/SP 34 
PROFESSOR: VÍTOR MENEZES 
 
 
Se dividirmos todos os dados por 4, o desvio padrão também será dividido por 4. 
Alternativa errada. 
 
 
 
Letra E. 
Alternativa errada. Basta pensar numa seqüênciasimétrica. 
Exemplo: 1, 2, 2, 3. 
 
A mediana, a média e a moda são iguais a 2. A diferença entre a mediana e a moda é 
igual a zero. 
 
Resposta: C 
 
 
EC 14 
 
Auditor Fiscal ICMS BA/2004 [FCC] 
 
Na tabela abaixo tem-se um estudo dos salários de empregados de três empresas X, Y, 
Z. 
Empresa Número de empregados Média salarial (R$) Coeficiente 
de variação (%) 
X 80 1.800 4,50 
Y 100 2.000 3,20 
Z 120 2.500 1,96 
 
Com base nesses dados, é correto concluir que a 
 
a) maior variância dos salários entre as três empresas corresponde à empresa Y 
b) variância dos salários da empresa X é inferior à variância dos salários da empresa Y. 
c) média geométrica dos desvios padrão dos salários das três empresas é 504 reais. 
 
d) menor variância dos salários entre as três empresas corresponde à empresa Z e o seu 
valor é maior que 2.400 (R$)2 
 
e) diferença entre a variância dos salários da empresa X e a variância dos salários da 
empresa Z é igual a 1.024 (R$)2. 
 
 
Como foi fornecido o coeficiente de variação e a média, vamos fazer o seguinte. Vamos 
multiplicar esses dois valores para obter os respectivos valores de desvio padrão. 
Empresa Número de 
empregados 
Média salarial Coeficiente de 
variação (%) 
Desvio padrão 
 
X 80 1.800 4,50 81 
Y 100 2.000 3,20 64 
Z 120 2.500 1,96 49 
 
 
 
Obtidos os valores de desvio padrão, vamos às alternativas. 
 
Notamos que o maior desvio padrão é o da empresa X. Consequentemente, a maior 
variância também é a da empresa X (pois a variância é o desvio padrão ao quadrado). 
Portanto, as alternativas A e B estão erradas. 
 
Na letra C, pede-se a média geométrica dos valores de desvio padrão. Fica assim: 
 
G = 3 81× 64 × 49 
 
 
 
 
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CURSO ON-LINE – ESTATÍSTICA PARA ICMS/SP 35 
PROFESSOR: VÍTOR MENEZES 
 
 
Para calcular a raiz, decompomos cada número em fatores primos. 
 
G = 3 234 × 26 × 7 
 
Note que temos dois expoentes que não são múltiplos de 3. Portanto, o resultado da raiz 
acima não é um número inteiro. Logo, não pode ser igual a 504 reais. 
 
Se na hora da prova o candidato não conseguisse ver isto, bastaria calcular quanto é 504 
ao cubo. Depois, bastaria comparar este valor com 81× 64 × 49 e ver se ambos são iguais 
ou não. 
 
81× 64 × 49 = 254.016 
 
Calcular 504 ao cubo é meio demorado. Calcular 500 ao cubo é mais fácil. 
 
5003 = 125 
000. 
 
000. 
 
Ou seja, 504 ao cubo é muito maior que 254.016. Novamente, a alternativa está 
incorreta. 
 
Creio que essa questão tenha pretendido levar o candidato a confundir a fórmula de 
média geométrica. 
 
Temos que lembrar que média geométrica é sempre a raiz enésima. Se são três 
elementos, a raiz será cúbica. Caso o candidato se esquecesse deste detalhe e calculasse a 
raiz quadrada, ele acharia o seguinte: 
 
G = 2 34 × 26 × 7 2 
 
= 32 × 23 × 7 = 504 
 
 
 
E acabaria marcando, INCORRETAMENTE, a alternativa C. 
 
 
Na alternativa D, afirma-se que a menor variância é a da empresa Z. Como ela tem o 
menor desvio padrão, de fato, sua variância será a menor. 
Na mesma alternativa, afirma-se que o valor de sua variância é superior a 2.400 R$2. 
Para achar a variância, basta elevar o desvio padrão ao quadrado. 
 
σ 2 = 49 × 49 = 2 401. 
 
Alternativa correta. 
 
 
Vamos à alternativa E. Afirma-se que a diferença entre a variância da empresa X e da 
empresa Z é igual a 1.024 R$2. 
 
A variância de X é 812. A variância de Z é 492. Fazendo a diferença temos: 
 
812 − 49 2 = ? 
 
O candidato pode perfeitamente fazer a conta e verificar que a alternativa está errada. 
Só uma sugestão para facilitar as contas: podemos fatorar essa subtração. 
 
812 − 49 2 = 
81( 
 
−
 )4
9 
 
× 
81( 
 
+ )49 
 
812 − 49 2 = 
81( 
 
− 49) × ( )130 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
CURSO ON-LINE – ESTATÍSTICA PARA ICMS/SP 36 
PROFESSOR: VÍTOR MENEZES 
 
 
Na expressão acima, temos uma multiplicação por 130 (que é múltiplo de 10). Portanto, 
o resultado da conta será um múltiplo de 10. Se é múltiplo de 10, termina em zero. Se o 
algarismo das unidades é zero, o número procurado não pode ser 1.024. 
 
Resposta: D. 
 
 
EC 15 
 
Auditor Fiscal ICMS/BA – 2004 [FCC] 
 
Sabe-se que a altura média dos 5.000 habitantes de uma cidade X é igual à altura média 
de uma outra cidade Y com 10.000 habitantes, ou seja, igual a 1,70m. O desvio-padrão 
correspondente encontrado para a população da cidade X é 2 cm e para a população da 
cidade Y é 5 cm. Então, a variância das alturas da população das duas cidades reunidas 
é: 
a) 12,25 cm2 
b) 16,00 cm2 
c) 18,00 cm2 
d) 24,50 cm2 
e) 29,00 cm2 
 
 
O exercício deu o desvio padrão da cidade X. Para achar a variância, basta elevar ao 
quadrado. A variância da cidade X é igual a 4 cm2 (=2 ao quadrado). E como se chega na 
variância? Basta fazer a média dos desvios ao quadrado (média esta calculada em 
relação a 1,70, que é a altura média da cidade). 
 
Ou seja: 
 
Xσ 
2 = 1 × ∑ ( )X − 1 70, 
2 
5 000. 
 
4 = 1 × ∑ ( )X − 1 70, 
2 
5 000. 
 
Multiplicando cruzado: 
 
∑ ( 
)X − 1 70, 
 
2 = 4 × 5 000. 
 
 
 
A variância das alturas na cidade Y é igual a 25 cm2. Basta elevar o desvio padrão 
fornecido ao quadrado. Como é obtida esta variância? Esta variância é igual à média dos 
desvios ao quadrado (desvios esses calculados em relação a 1,70m, que é a altura média 
na cidade). 
 
Yσ 
2 = 1 × ∑ ( )Y − 1 70, 
2 
10 000. 
 
25 = 1 × ∑ ( )X − 1 70, 
2 
10 000. 
 
Multiplicando cruzado: 
 
∑ ( )X − 1 70, 
 2 = 25 ×10 000. 
 
 
 
 
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CURSO ON-LINE – ESTATÍSTICA PARA ICMS/SP 37 
PROFESSOR: VÍTOR MENEZES 
 
 
 
Pois bem. Agora juntamos as pessoas das duas cidades. A altura média continua sendo 
de 1,70 (já que as duas cidades tinham médias iguais). E a variância? Fica em quanto? 
Para achar a variância, vamos somar todos os quadrados dos desvios (desvios estes 
calculados em relação a 1,70). 
 
Depois disso, dividimos o resultado por 15.000 (pois essa nova população tem 15.000 
habitantes, resultado da soma dos habitantes de X e Y). Com esse procedimento, 
obtemos justamente a variância da nova população. 
 
σ 2 = 1 × ( )∑ ( X − ,1 )70 
2 + ∑ (Y − ,1
 )7
0 2 
15 000. 
 
Substituindo os valores dos somatórios: 
 
σ 2 = 1 × ( 
)4 × 5 000. 
 
15 000. 
 
σ 2 = 1 × 270 000. 
15 000. 
 
 
+ 25 ×10 000. 
 
 
= 18 
 
A nova variância é de 18 cm2. Resposta: C 
Um detalhe. 
 
Note bem na fórmula a que chegamos: 
 
σ 2 = 1 × ( 
)4 × 5 000. 
 + 25 ×10 000. 
15 000. 
 
 
 
 
Na fórmula acima temos as variâncias das duas cidades, multiplicadas pelos números de 
habitantes. 
 
 
peso da variância da 
cidade X: número de 
habitantes da cidade 
 
 
 
peso da variância da 
cidade Y: número de 
habitantes da cidade 
 
 
 
 
2σ = 1 × ( )4 × 5.000 + 25 × 10 .000 
15 .000 
 
 
variância da cidade X variância da cidade Y 
 
 
A variância das duas cidades reunidas é uma média ponderada das variâncias de cada 
cidade. E os pesos de ponderação são os números de habitantes (ou número de 
elementos de cada conjunto). 
 
 
Não são raras as questões que pedem a variância da populaçãoresultante da união de 
dois conjuntos. 
 
Nesse caso específico, em que as médias das cidades X e Y são iguais, até que não deu 
tanto trabalho. 
 
 
 
 
 
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CURSO ON-LINE – ESTATÍSTICA PARA ICMS/SP 38 
PROFESSOR: VÍTOR MENEZES 
 
 
Quando as médias são diferentes, encontrar a variância da união dos dois conjuntos já 
fica um pouco mais trabalhoso. Por ser um assunto que não é muito cobrado, e para não 
deixar a leitura da aula “pesada”, vou colocar o procedimento em anexo. Vou deixar duas 
opções. Uma sem usar fórmulas (o que exige um pouco de prática com somatório) e 
outra com a fórmula. Quem tiver mais facilidade com exatas, recomendo gravar como é 
o método, sem precisar decorar a fórmula (afinal, já temos tanta coisa para decorar para 
um concurso, não é mesmo?). Quem tem a memória privilegiada (ou seja, decora 
qualquer coisa), aí vale a pena dar uma conferida na fórmula lá do anexo. E para quem 
não tem tanta familiaridade com exatas, acho que entender este caso em que as médias 
são iguais já está mais que ótimo. 
 
Vejamos outro exemplo: 
 
 
EC 16 
 
Analista de Regulação – Economista – ARCE/2006 [FCC] 
 
Uma administradora de imóveis realizou um estudo sobre todos os imóveis alugados em 
duas regiões, A e B, levantando o seguinte quadro: 
Região Qdade de 
imóveis alugados 
Valor médio 
dos aluguéis 
Coeficiente de variação 
 
A 1.000 R$ 500,00 20% 
B 4.000 R$ 500,00 30% 
 
(Observação: no enunciado original, é dada a definição de coeficiente de variação.) 
 
A variância conjunta de A e B, isto é, a variância dos valores dos aluguéis das regiões A e 
B reunidas é, em R$2, igual a: 
a) 20.000 
b) 25.000 
c) 32.500 
d) 40.000 
e) 62.500 
 
 
Como as duas médias são iguais a 500,00, a média das duas regiões reunidas também 
será igual a 500,00. Portanto, a variância conjunta (ou seja, das duas regiões tomadas 
conjuntamente) será a média ponderada das variâncias individuais. Os pesos de 
ponderação são os números de elementos de cada conjunto. 
 
Precisamos achar as variâncias das duas regiões. 
 
Multiplicando o coeficiente de variação pela média, temos justamente o valor do desvio 
padrão. 
 
Aσ = 
 
×A CVA 
 
= 500 × ,0 2 = 100 
� 
 
Aσ 
2 = 10 000. 
 
Bσ = 
 
×B CVB 
 
= 500 × 0 3, 
 
= 150 � 
 
Bσ 
2 = 22 500. 
 
E agora podemos calcular a variância conjunta: 
 
σ 2 = 1 × ( 
)10 000. 
 ×1 
000. 
 + 22 
500. 
 × 4 000. 
5 000. 
 
Simplificando: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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PROFESSOR: VÍTOR MENEZES 
 
σ 2 = ( 
)2 × .1 000 + 22 500. 
 × 0 8, 
 
 
 
σ 2 = ( 
)2 000. 
 
+ 18 
000. 
 
= 20 000. 
 
 
 
Resposta: A. 
 
 
EC 17 
 
Analista BACEN/2006 – Área 5. [FCC] 
 
Em um colégio, a média aritmética das alturas dos 120 rapazes é de m centímetros com 
uma variância de d2 centímetros quadrados (d>0). A média aritmética das alturas das 80 
moças é de (m-8) centímetros com desvio padrão igual a 20d/21 centímetros. Se o 
correspondente coeficiente de variação encontrado para o grupo de rapazes é igual ao 
coeficiente de variação encontrado para o grupo de moças, tem-se que a média 
aritmética dos dois grupos reunidos é de: 
a) 162,00 cm 
b) 164,6 cm 
c) 164,8 cm 
d) 166,4 cm 
e) 168,2 cm 
 
 
 
O coeficiente de variação para as alturas dos homens é: 
 
d 
m 
 
O coeficiente de variação para as alturas das mulheres é: 
 
20d 
 21 = 20d m − 8 21× (m − )8 
 
Os dois coeficientes de variação são iguais. Logo: 
 
d = 20d �m 21× (m − )8 
 
 
1 = 20 m 21× (m − )8 
 
Multiplicando cruzado: 
 
m21 
 
− 21× 8 = 20m 
 
m = 21× 8 = 168 
 
Portanto, a média das alturas dos homens é de 168 centímetros. E a média das alturas 
das mulheres é de 160 cm. 
 
A média geral, considerando homens e mulheres, é a média ponderada entre a média 
dos homens e a média das mulheres. Os pesos são, respectivamente, o número de 
homens e o número de mulheres. 
 
X = 168 ×120 + 160 × 80 200 
 
 
 
 
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Apenas tentando diminuir um pouco as contas, podemos considerar que: 
 
168 ×120 = 8 ×120 + 160 ×120 
 
Logo: 
 
X = 8 ×120 + 160 ×120 + 160 × 80 200 
 
Colocando o 160 em evidência: 
 
X = 8 ×120 + 160 × 
120( 
200 
 
X = 960 + 160 = 4 8, 
200 
 
+ )80 = 8 ×120 + 160 200 
 
 
+ 160 = 164 8, 
 
 
Resposta: C. 
 
 
 
EC 18 
 
Analista – Área documentação. Especialidade – Estatística – MPU/2007 [FCC] 
 
Uma empresa tem duas filiais Z e W. Um levantamento sobre os salários dos 
empregados dessas filiais revelou para a média e o desvio padrão dos salários das duas 
filiais os seguinte valores (em R$): 
 
Filial Z: 
 
 
Filial W: 
 
ZX = 400 00, 
 
WX = 500 
00, 
 
 e S Z 
 
 e SW 
 
= ,20 00 
 
= 25 00, 
 
Com base nesses resultados, é verdade que: 
a) as dispersões absolutas dos salários das filiais Z e W são iguais. b) 
o coeficiente de variação dos salários das duas filiais não diferem. 
 
c) o coeficiente de variação dos salários de Z é menor que o coeficiente de variação dos 
salários da filial W. 
 
d) o salário médio dos funcionários dessa empresa é de 450 reais. 
 
e) o salário médio dos funcionários dessa empresa é superior a 450 reais. 
 
 
 
Letra A. 
 
O termo dispersão absoluta pode se referir a várias grandezas (como variância, desvio 
padrão, desvio médio). É usado para diferenciar essas medidas daquelas fruto de uma 
divisão (como o coeficiente de variação). O coeficiente de variação, por sua vez, é 
chamado de medida de dispersão relativa (lembrem-se de que relação é sinônimo de 
divisão; esse coeficiente é a divisão entre duas outras medidas – o desvio padrão e a 
média aritmética). 
 
A medida de dispersão fornecida foi o desvio padrão. Ele não é igual para as duas 
empresas. Alternativa errada. 
 
 
 
Letra B. 
 
 
 
 
 
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Vamos calcular os coeficientes de variação. 
 
 
CVZ 
 
= S Z = 20 1 = 
ZX 400 20 
 
 
CVW 
 
= SW = 25 1 = 
WX 500 20 
 
Realmente os coeficientes de variação são iguais. Alternativa correta. 
 
 
 
Letra C. 
 
Alternativa errada. Os coeficientes de variação são iguais, conforme cálculos do item 
anterior. 
 
 
 
Letra D. 
 
Não temos como calcular a média geral, considerando as duas filiais. A média geral é 
uma média ponderada entre as médias de cada filial. Os pesos são os números de 
empregados em cada filial. Como não foi informado quantos empregados há em cada 
filial, não podemos determinar o valor da média geral. Apenas sabemos que é um valor 
entre R$ 400,00 e R$ 500,00. 
 
Se o número de empregados for o mesmo nas duas filiais, a média geral estará bem no 
meio entre 400 e 500 (será de 450). 
 
Se a filial Z tiver mais funcionários, a média geral estará mais próxima de 400. Se a filial 
W tiver mais funcionários, a média geral estará mais próxima de 500. 
Alternativa errada. 
 
 
 
Letra E. 
 
Alternativa errada, pelo mesmo motivo da letra D. 
 
 
 
Resposta: B 
 
 
 
9 Outra forma de cálculo da variância 
 
Há uma outra forma de cálculo