Apostila Mat Financeira 1Sem2016

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Value in “n”
 DISCOUNT ( - ) CAPITALIZATION ( + )
 
 PV FV
- Interest 				+Interest
 n – p					n					 n + p
	 
	
Sumário
INTRODUÇÃO	4
REVISÃO GERAL DE MATEMÁTICA	8
Número Racional	8
Número Irracional	11
Potenciação	11
Radiciação	13
Logaritmos	15
Utilização da Calculadora Financeira HP 12C	19
Ligar e Desligar a calculadora	19
Visor	20
Limpeza dos Registradores	21
A lógica RPN	21
Separadores de dígitos (milhares e decimal)	22
Alterar o número de casas decimais exibidas na calculadora	22
Notação científica	23
Tecla de comutação, troca ou “swap”	23
[PREFIX]	24
[RND]	24
[FRAC]	24
[INTG]	24
Troca de Sinal [CHS] – Change Sign	24
Inverso de um número [1/x]	25
Raiz Quadrada de um número - []	25
Potenciação - [yx]	25
Cálculo de raízes - [1/x] [yx]	25
Logaritmo Natural de um número - [LN]	26
Logaritmos em geral - [LN] [LN]	26
Antilogaritimo de um logaritmo natural - [ex]	26
Variação Percentual	26
Conversão de Unidades de Tempo	28
EXERCÍCIOS PROPOSTOS	32
Respostas dos Exercícios Propostos	44
MATEMÁTICA FINANCEIRA	53
Introdução	55
Conceitos Fundamentais	59
Taxa de Juros	60
Representação das Variáveis	62
Calculadoras Financeiras e Cálculos Financeiros	62
As teclas de Função Financeira	63
Taxas de Juros	64
VALOR DO DINHEIRO NO TEMPO	70
CAPITALIZAÇÃO SIMPLES	72
CAPITALIZAÇÃO COMPOSTA	78
UTILIZAÇÃO DE CALCULADORAS FINANCEIRAS	83
TAXA NOMINAL	91
TAXA EFETIVA	92
EXERCÍCIOS	93
CAPITALIZAÇÃO SIMPLES	93
CAPITALIZAÇÃO COMPOSTA	98
INTRODUÇÃO
A Matemática Financeira compreende, fundamentalmente, o estudo do Valor do Dinheiro no Tempo.
Este estudo é realizado utilizando-se os inúmeros recursos existentes nesta fantástica ciência que é a Matemática.
Matemática, em grego, significa “saber pensar”
Desta forma, o estudo da Matemática Financeira não é um estudo focado na matemática propriamente dita. A matemática, neste caso, é uma valiosa ferramenta para a solução dos problemas financeiros do dia a dia.
Portanto, a Matemática Financeira está focada na análise das variáveis envolvidas e na interpretação das respostas obtidas. Este fato pode ser observado pela utilização das Calculadoras Financeiras, que através de funções financeiras específicas realizam automaticamente os inúmeros cálculos envolvidos em problemas de ordem financeira. 
De fato, uma calculadora financeira simplifica muito os cálculos financeiros, entretanto a correta solução dos problemas financeiros depende da correta análise e interpretação das informações de um problema financeiro. A calculadora somente irá realizar os cálculos corretamente se as informações fornecidas estiverem corretas.
Para tanto, é necessário o conhecimento de alguns procedimentos matemáticos simples, para a correta solução dos problemas que irão surgir no estudo da Matemática Financeira.
Para a correta solução dos problemas financeiros e das expressões algébricas associadas é necessário o domínio das operações matemáticas básicas assim como a sequência de resolução das mesmas em uma expressão:
Logaritmos ou Potenciação ou Radiciação;
Divisão ou Multiplicação;
Adição ou Subtração:
Também existem os sinais de associação – Parênteses ( ), Colchetes [ ] e Chaves { }, que definem as prioridades das operações a serem realizadas em uma expressão.
Por convenção devem ser executadas as operações matemáticas na seguinte sequência:
- Primeiro PARÊNTESES – ( );
- Segundo COLCHETES – [ ];
- Terceiro CHAVES { }.
Nas páginas seguintes serão propostos diversos exercícios com os seguintes objetivos:
Recordar alguns conceitos matemáticos;
Conhecer e praticar a solução de expressões matemáticas com uso de calculadoras;
Demonstrar que o raciocínio e compreensão matemática não é algo impossível de ser alcançado. O aprendizado de matemática é muito mais uma questão de esforço pessoal;
Mostrar que a Matemática Financeira é mais fácil do que falaram para você !!!!
Assim, desejo a você um ótimo estudo e conte comigo sempre que precisar.
Você sabia que pode fazer uma declaração de amor matemática?
A matemática também é engraçada!!!
O Kalvin é ótimo sempre!
 
 
REVISÃO GERAL DE MATEMÁTICA
Número Racional
Qualquer número que é a razão de dois números inteiros é chamado de racional. 
Um número racional é expresso através de uma razão ou fração => . Nesta fração o número a é chamado de numerador e o número b é chamado de denominador.
Por exemplo: , , , ...
Para os números racionais adotam-se as seguintes definições:
1ª. Igualdade (equivalência): = ad = bc. Também dizemos que são proporcionais.
2ª. Adição: + = 
3ª. Multiplicação: . = 
Representação Decimal:
Todo número racional pode ser representado por um número decimal. Para tanto basta dividir o número inteiro a pelo número inteiro b. Ao realizar este cálculo podem ocorrer duas situações:
1ª) O número decimal apresenta uma quantidade finita de algarismos diferentes de zero. Neste caso é uma decimal exata.
Por exemplo:
 = 4	 = 2		 = 40		 = 0,65
2ª) O número decimal possui uma quantidade infinita de algarismos que ocorrem periodicamente. Neste caso possui uma dízima periódica.
 = 0,66666... = 0,6 - dízima periódica com período 6
 = 1,571428571428571428... = 1,571428 - dízima periódica com período 0,571428
 = 1,83333... = 1,83 - dízima periódica com período 3
Deve-se ao matemático John Napier a notação decimal para frações e pela criação de um dispositivo conhecido como "bastões de Néper", que realizava operações aritméticas de maneira prática e foi o precursor das réguas de cálculo surgidas logo em seguida. Foi nestes “bastões” que Napier utilizou o ponto e a vírgula como separatriz decimal. Ele Nasceu em uma família importante de Edimburgo, Escócia, em 1550. Há várias ortografias diferentes para seu sobrenome, Napeir, Naper, Néper, etc, além da forma usada atualmente. Faleceu em 4 de abril de 1617.
Em algumas situações é mais fácil trabalhar com os números em forma decimal ao invés da forma fracionária. Por exemplo:
 0,25 + 1,6 = 1,85
Observe que realizar a adição de dois números decimais é mais simples que efetuar a soma das frações.
Ao realizar cálculos com números decimais, é necessário um cuidado adicional com relação à quantidade de casas decimais que serão utilizadas para a realização do cálculo, pois diversas vezes poderá não ocorrer um decimal exato como visto acima.
Por exemplo:
1/5 = 0,2 (decimal exato)
7/4 = 1,75 (decimal exato)
1/3 = 0,33333333333333333...............ou seja uma dízima periódica de período 3.
Neste caso, qual será a resposta, ou o número a ser utilizado: 0,3, 0,33, 0,333, 0,3333 ???
Para evitar este tipo de problema, devemos utilizar em nossos cálculos uma calculadora e além disto, deveremos efetuar os cálculos de forma direta, sem apagar os resultados intermediários para digitá-los novamente.
Para diminuirmos os erros de arredondamento em nossos cálculos, estes deverão ser realizados com no mínimo 4 (quatro) casas decimais (ou mais se forem necessárias para uma maior precisão). 
Ao executar um cálculo, poderão ocorrer arredondamentos dos valores envolvidos, e estes arredondamentos poderão ser ou não significativos.
Para determinar a relevância do arredondamento é necessário estabelecer um relativo, ou seja, a diferença do arredondamento em relação ao valor a ser arredondado.
Será que uma diferença de R$ 0,10 (dez centavos) em um cálculo será relevante?
Com base apenas no valor absoluto da diferença não teremos condições de estabelecer sua relevância, cabendo sempre a colocação “depende”.
Supondo que a diferença de preço de um determinado produto seja de R$ 0,10 entre duas lojas – Preço A – Preço B = R$ 0,10, esta diferença será significativa em função dos preços A e B.
Por exemplo, seja a Preço A = R$ 1,20 e o Preço B R$ 1,10, temos que a diferença entre estespreços é de R$ 0,10 - R$ 1,20 – R$ 1,10 = R$ 0,10.
Ao estabelecer uma razão entre A e B teremos:
 
Desta forma a diferença de R$ 0,10 representa uma variação de preços de 9,09% o que é bastante significativo.
Entretanto, em outra situação podemos ter Preço A = R$ 25.623,64 e o Preço B R$ 25.623,54, temos que a diferença entre estes preços é de R$ 0,10 - R$ 25.623,64 – R$ 25.623,54 = R$ 0,10.
Ao estabelecer uma razão entre A e B teremos:
 
Desta forma a diferença de R$ 0,10 representa uma variação de preços de 0,00039% ou seja, uma diferença pouco significativa.
Ao realizar cálculos com quatro decimais, embora ocorram diferenças, estas serão pouco significativas em nossos cálculos.
Por exemplo, quanto seria 1/3 de R$ 1.000.000,00?
Com o cálculo exato temos que este valor é de R$ 333.333,33, entretanto, ao efetuar arredondamentos teremos:
	Decimais
	1 / 3
	X R$ 1.000.000,00
	Variação Absoluta
	Variação %
	1
	0,3
	R$ 300.000,00
	R$ 33.333,33
	11,1111%
	2
	0,33
	R$ 330.000,00
	R$ 3.333,33
	1,0101%
	3
	0,333
	R$ 333.000,00
	R$ 333,33
	0,1001%
	4
	0,3333
	R$ 333.300,00
	R$ 33,33
	0,0100%
	5
	0,33333
	R$ 333.330,00
	R$ 3,33
	0,0009%
	6
	0,333333
	R$ 333.333,00
	R$ 0,33
	0,00009%
	7
	0,3333333
	R$ 333.333,30
	R$ 0,03
	0,000009%
	8
	0,33333333
	R$ 333.333,33
	R$ 0,00
	0,00%
Com 4 decimais temos uma diferença de 0,01% na resposta exata, o que não invalida a mesma.
É importante destacar que estas considerações sobre arredondamentos são pertinentes apenas aos cálculos que serão desenvolvidos ao longo do nosso estudo da Matemática Financeira, devendo haver uma análise crítica para outras situações, como por exemplo, nos cálculos do mercado cambial (troca de moedas), cálculos científicos, custos e outros. 
Número Irracional
Diferentemente dos números racionais, existem números em que a representação decimal com infinitas casas decimais não é periódica, sendo estes números ditos irracionais.
São exemplos de números irracionais:
...
 = 3,1415926...
e = 2,718281828459 ...
número de ouro = 
Outros números irracionais podem ser obtidos através da expressão sendo x um número primo (todo número divisível somente por ele mesmo e por 1 é chamado de primo). São irracionais , entre outros.
Potenciação
Quantos grãos de areia existem no Universo?
Pode parecer uma pergunta estranha, entretanto, no século III viveu um sábio grego, o matemático Arquimedes, que se preocupava com esta questão. Na sua concepção, o universo era uma esfera limitada pelas estrelas fixas. Para encontrar o volume desta esfera, Arquimedes procurou a resposta para a questão acima. Muito mais importante do que o resultado que ele obteve foi o método que utilizou para chegar à resposta. Como precisava trabalhar com números muito grandes, ele desenvolveu uma forma bastante simples de representá-los, as potências.
Aliás, a resposta de Arquimedes para a questão acima é que caberiam 1051 grãos de areia no Universo, um número astronomicamente grande.
Potência é um produto indicado de fatores iguais
an = a . a . a . a . a . a .........a
 ^.........n vezes ...........^
NOMENCLATURA:
an = z 	a = base
n = expoente
z = potência
CASOS NOTÁVEIS:
a1 = a
a0 = 1 (você saberia demonstrar esta igualdade?)
a-n = 1 / an , que corresponde ao inverso do número a, com a =/= 0
PROPRIEDADES:
. am . an = a m + n
. am / an = a m - n com a =/= 0
. an . bn = (a . b)n
. an / bn = (a / b)n com b =/= 0
. (am)n = a m . n
As calculadoras realizam os cálculos de potenciação através da tecla <yx> ou <xy>
Para pensar.
Transformando em potência temos:
5 x 5 x 5 x 5 = 54
1,5 x 1,5 x 1,5 = 1,53
e como será:
a) –3 x –3 x –3 x –3 ?
Em potenciação mantemos a base –3 e somamos os expoentes 1+1+1+1 = 4. Portanto (-3)4 = 81 (positivo)
b) –3 x –3 x –3 
Em potenciação mantemos a base –3 e somamos os expoentes 1+1+1 = 3 portanto temos (- 3)3 = -27 (negativo)
c) – 3 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3
Em potenciação mantemos a base 3 e somamos os expoentes 1+1+1+1+1+1 = 6 portanto teremos -(3)6 = -729 (negativo)
Por exemplo:
1,556 = 13,8672
Na HP 12C teremos:
1,55 <enter> 6 <yx> resultado 13,8672.
Em outras máquinas devemos executar:
72 < ^ > 5 <=> resultando em 13,8672.
Observe que foi utilizado o sinal “^”, que é utilizado como operador de potenciação em diversas calculadoras. Por vezes a potenciação também é representada pela tecla <yx>.
Radiciação
A Radiciação é um caso especial de Potenciação. Neste caso a potência possui um expoente fracionário, ou seja, am/n:
NOMENCLATURA:
a m / n = = y onde: = símbolo radical
 a = radicando
 n = índice
 m = expoente
 y = raiz 
As calculadoras financeiras em sua maioria, NÃO POSSUEM uma tecla (ou função) (esta função é comum nas calculadoras científicas), possuindo, no máximo, a tecla , que efetua o cálculo da RAIZ QUADRADA do número x ().
Para a execução do cálculo de radiciação em uma calculadora devemos utilizar, COMBINADAMENTE, as teclas <1/x > (de inverso) e <yx> (de potenciação).
Por exemplo:
 = 721/5 (observe que 721 = 72).
Na HP 12C teremos:
72 <enter> 5 <1/x> <yx> resultado 2,352158.
Em outras máquinas devemos executar:
72 <yx> 5 <1/x> <=> resultando em 2,352158.
PROPRIEDADES:
. . = 
. = , com b =/= 0
. ()m = 
.= 
. = 
Para pensar .
Temos que:
24 = 2 x 2 x 2 x 2 = 16
33 = 3 x 3 x 3 = 27
e como será 43,5 ?
43,5 = 41 x 41 x 41 x 40,5 = 41 x 41 x 41 x 41/2 = 41 x 41 x 41 x = 41 x 41 x 41 x 2 = 128
E como seria 163,75?
163,75 = 161 x 161 x 161 x 160,75 = 161 x 161 x 161 x 163/4 = 161 x 161 x 161 x 
= 161 x 161 x 161 x = 161 x 161 x 161 x = 161 x 161 x 161 x 212/4 
= 161 x 161 x 161 x 23 = 161 x 161 x 161 x 8 = 32.768
Logaritmos
Como resolver a seguinte equação 7x = 5?
O Dicionário Houaiss define logarítmo como “expoente a que se deve elevar um número tomado como base para se obter outro número logaritmo decimal decimal mat logaritmo na base dez; logaritmo neperiano . natural mat m.q. logaritmo neperiano . neperiano mat logaritmo que tem por base o número e (e = 2,718281...); logaritmo hiperbólico, logaritmo natural [símb.: ln] ? etim lat.cien. logarithmus, voc. criado em 1614 por John Napier (1550-1617, escocês), a partir do gr. lógos 'razão, cálculo', + gr. arithmós 'número' 
Assim, um Logarítmo é definido como sendo um número “x” tal que:
ax = b loga b= x
sendo b > 0 (ou seja, b deverá ser um número positivo) e a > 0 e diferente de 1.
logaritmandoNOMENCLATURA:
base
logaritmologab = x
b = logaritmando			
a = base
x = logaritmo
A operação é chamada de logaritmação.
Desta forma a solução da equação 7x = 5 implica na determinação de Log75 = x
Desta forma temos:
1) log10100 = 2 onde 102 = 100
2) log28 = 3 onde 23 = 8
PROPRIEDADES:
. loga (m/n) = loga m x loga n
. loga (nm) = m . logan
. loga = 1/m . logan
. logan = => logbn = logan . logba
O logaritmo mais utilizado é o de base 10, ou:
log10a => log a
Quando a base não é determinada (log a) a mesma é 10.
Existe também um sistema de logaritmos chamado neperiano (em homenagem a John Napier - matemático escocês do século XVI, inventor dos logaritmos), cuja base é o número irracional
e = 2,7183... e indicamos este logaritmo pelo símbolo ln. Assim loge M = ln M. Este sistema de logaritmos, também conhecido como sistema de logaritmos naturais, tem grande aplicação no estudo de diversos fenômenos da natureza.
O número “e” é obtido através do seguinte cálculo: 
 = + + + + ... + + ... = e
e = 2,7182818284590453...
É interessante observar que este número não forma uma dízima periódica! Os cientistas utilizaram potentes computadores e não conseguiram definir um períodopara obter uma dízima periódica.
Este logarítmo na base “e” (logea) também é chamado de LOGARÍTMO NATURAL (Ln).
As calculadoras normalmente efetuam somente o cálculo do Ln. Desta forma, para a obtenção de outros logarítmos, que não na base “e”, é necessário um cálculo de mudança de base:
logab = = 
Assim:
log5 9 = = = 1,365212 ou 51,365212 = 9
Na HP 12C teremos:
9<g><Ln>5<g><Ln><>
Nas outras máquinas:
9<Ln><>5<Ln><=>
Aliás, para a equação apresentada inicialmente, 7x = 5 a resposta é x = 0,827087475. 
Por que o número "e" ?
A notação de logaritmo quase sempre nos é apresentada, pela primeira vez, do seguinte modo: "o logaritmo de um número y na base a é o expoente x tal que ax = y". Fazemos a observação: "os números que mais frequentemente se usam como base de um certo sistema de logaritmos são o 10, que é base do sistema decimal (logaritmos de base dez são conhecidos como logaritmos decimais ou vulgares) e o número e = 2,71828182... (logaritmos de base e são chamados logaritmos neperianos)." 
O número e não é uma dízima periódica, e sim irracional transcendente (não podemos escrevê-lo sob forma de fração). Conforme vimos: e = 2,718281828459... 
Então temos aqui uma questão: Por que motivo escolher-se um número tão "estranho" como uma base de logaritmos?
Simplesmente porque ele é inevitável, ou seja, surge inevitavelmente em muitas situações. Uma das razões pelas quais a Matemática é útil está no Cálculo, que estuda variações de grandezas. Um um tipo de variação das mais simples e comumente encontradas é aquela em que o crescimento (ou o decrescimento) da grandeza em cada instante é proporcional ao valor naquele instante. Este tipo de variação ocorre, por exemplo, em questões de juros, crescimento populacional (de pessoas ou de bactérias), desintegração radioativa, entre outros. Em todos estes fenômenos nos deparamos com o número e. 
Vejamos a seguir um exemplo simples: Supondo que eu empreste a alguém a quantia de $ 1,00 a juro de 100% ao ano. No final do ano, essa pessoa ao me pagar traria $ 2,00: $1,00 que havia tomado emprestado e $1,00 de juros. Seria isto justo? Não, o justo seria que me pagasse “e” reais! Vejamos por que. Há um entendimento tácito nessas transações de que os juros são proporcionais ao capital emprestado e ao tempo decorrido entre o empréstimo e o pagamento. Assim, se meu cliente viesse me pagar seis meses depois do empréstimo, eu receberia apenas $1+$1/2. Mas isto quer dizer que, naquela ocasião, ele estava com $1+$1/2 meus e ficou com o dinheiro mais seis meses, à taxa de 100% ao ano, logo, deveria pagar-me: $1+$1/2 + $1/2.($1+$1/2) = ($1+$1/2).($1+$1/2) = ($1+$1/2)2 .
No fim do ano isto me daria $2,25, mas, mesmo assim, eu não acharia justo. Eu poderia dividir o ano em um número arbitrário n de partes iguais. Transcorrido 1/n ano, meu capital estaria valendo $1 + $1/n. No fim do segundo período de 1/n ano, eu estaria com ($1 + $1/n)2 e assim por diante. No fim do ano eu deveria receber ($1 + $1/n)n . Mas, como eu posso fazer este raciocínio para todo n, segue-se que o justo e exato valor que eu deveria receber pelo meu $1 emprestado seria, em $: 
 
Logo, o valor a ser pago ao final seria de $ 2,71828182... 
Utilização da Calculadora Financeira HP 12C
Esta seção destina-se a explicar alguns recursos básicos da Calculadora Financeira HP 12C para a correta e eficiente solução das expressões matemáticas associadas aos problemas financeiros.
Estes recursos são válidos para os modelos “Classic ou Gold” (dourada), “Platinum” e “Prestige”.
Ligar e Desligar a calculadora
Para Ligar e Desligar a calculadora utilizamos a tecla [ON].
[ON] – Liga a calculadora, caso ela esteja desligada.
[ON] – Desliga a calculadora, caso ela esteja ligada.
Caso a calculadora permaneça sem utilização durante um intervalo de tempo entre 8 e 17 minutos ela será desligada automaticamente sem perda das informações armazenadas na máquina.
A memória da calculadora é contínua, desta forma as informações existentes nos diferentes armazenadores de dados não serão perdidos quando a mesma é desligada manualmente ou automaticamente.
Visor
O visor da calculadora possui apenas uma linha e nele serão apresentados os dados digitados nas teclas, as respostas das operações realizadas e os estados (ou ajustes) realizados pelo usuário.
Indicadores de Estado
Existem seis indicadores na parte inferior do visor que exibem o ajuste da calculadora para certas operações e funções.
[ f g BEGIN D.MY C PRGN ]
Cada um destes estados possui uma ação específica e estão descritos nesta apostila conforme a necessidade da operação.
Obs. Ao executar o auto-teste, outros anunciadores [USER] e [GRAD] aparecem no visor. Eles são utilizados em outras calculadoras que compartilham um visor de LCD comum. A HP 12C não possui esses recursos. 
Teclado
O teclado da calculadora é utilizado para a entrada de informações na máquina. As teclas podem apresentar uma, duas ou três funções diferentes. A função estampada na cor branca nas teclas é a primeira função das mesmas e são acionadas simplesmente pressionando as teclas. Em azul (na parte chanfrada da tecla) e em laranja (estampado no painel acima da tecla) estão as demais funções da tecla.
Para especificar a função alternativa impressa em laranja acima da tecla, pressione a tecla laranja [f] seguida da tecla com a função desejada. Por exemplo, se desejar utilizar a função [IRR] (em laranja acima da tecla [FV]) primeiro deverá ser pressionada a tecla de prefixo [f] (o estado [f] aparece no mostrador da calculadora) e em seguida a tecla [FV].
Para especificar a função alternativa impressa em azul abaixo da tecla, pressione a tecla azul [g] seguida da tecla com a função desejada. Por exemplo, se desejar utilizar a função [Nj] (em azul abaixo da tecla [FV]) primeiro deverá ser pressionada a tecla de prefixo [g] (o estado [g] aparece no mostrador da calculadora) e em seguida a tecla [FV].
Caso as teclas de prefixo [f] e [g] sejam pressionadas por engano, elas poderão ser canceladas pressionando-se [f] [PREFIX] (em laranja acima da tecla [ENTER].
Limpeza dos Registradores
Limpar um registro do visor substitui o número dele por zero. A limpeza da memória de programa substitui as instruções existentes por "g GTO 00".
Há várias operações de limpeza na HP 12c, como mostrado na tabela abaixo. 
	Tecla(s)
	Limpa
	Pressione CLx (Clear)
	Mostrador e registro de X
	Pressione f e CLEAR Σ (somatório)
	Registros estatísticos (R1 a R6), registros de pilhas e mostrador.
	Pressione f e CLEAR PRGM
	Memória de programa (somente quando pressionado no modo Programa)
	Pressione f e CLEAR FIN
	Registros financeiros n, i, PV, PMT, FV
	Pressione f e CLEAR REG
	Registros de armazenamento de dados, financeiros, de pilha e LAST X e mostrador.
A lógica RPN
A calculadora HP 12C “Gold” não possui uma das principais teclas das calculadoras em geral, a tecla de igualdade [=]. Isto é decorrente do fato da calculadora operar com uma lógica matemática diferente, chamada de RPN. Esta lógica foi criada com base nos trabalhos do matemático polonês Jan Lukasiewics nos anos 20. É um sistema lógico formal que permite a especificação de expressões matemáticas sem o uso dos parênteses, através da colocação dos operadores antes ou depois dos operandos. Esta notação recebeu o nome de Notação Polonesa em homenagem ao seu criador. A Hewlett-Packard (HP) ajustou esta notação para as calculadoras, mediante a criação das Pilhas de Registradores e denominou a lógica criada de RPN (Reverse Polish Notation ou Notação Polonesa Reversa).
Desta forma, nas calculadoras algébricas, a operação 2+3 é realizada fazendo-se [2] [+] [3] [=] [5]. Na lógica RPN da calculadora HP 12C é necessário entrar primeiro com os números e depois com os operadores. Desta forma teremos: [2] [Enter] [3] [+] e o mostrador exibirá a resposta [5]. A função da tecla [Enter] é introduzir os números na calculadora.
Paraos modelos Platinum e Prestige é possível ajustar para o módulo de cálculo Algébrico.
Separadores de dígitos (milhares e decimal)
À medida que um número é digitado, cada grupo de três dígitos à esquerda do indicador decimal é automaticamente separado no visor. Quando a calculadora é ligada pela primeira vez após vir da fábrica - ou após a memória contínua ser reiniciada - o indicador decimal nos números exibidos é um ponto e o separador entre cada grupo de três dígitos é uma vírgula. A calculadora pode ser definida para exibir uma vírgula para o indicador decimal e um ponto para o separador de três dígitos. Para isso, execute os seguintes passos. 
Desligue a calculadora.
Pressione e mantenha pressionada a tecla [.] (separador decimal). Enquanto a mantiver pressionada, pressione e solte a tecla [ON], ou seja, ligue a calculadora. 
Em seguida, solte a tecla [.] 
Alterar o número de casas decimais exibidas na calculadora
Pressione a tecla laranja [f] e, em seguida, o número de casas desejado (1 a 9) após o indicador decimal. No exemplo a seguir, observe como o número exibido na calculadora - 14.87456320, por exemplo - é arredondado para o número de dígitos especificado. 
	Teclas
	Visor
	Observação
	Pressione f e 4 
	14,8746
	 São exibidas 4 casas decimais
	Pressione f e 1 
	14,9
	 É exibida uma casa decimal
	Pressione f e 0 
	15,
	 Não são exibidas casas decimais
	Pressione f e 9 
	14,87456320
	Embora tenham sido especificadas nove casas decimais após f, apenas oito foram exibidas, uma vez que o visor pode exibir apenas um total de 10 dígitos. 
O formato de exibição padrão mais o número especificado de casas decimais permanecem em vigor até que sejam alterados; eles não são redefinidos cada vez que a calculadora é ligada. No entanto, se a memória contínua for reiniciada, na próxima vez em que a calculadora for ligada, os números serão exibidos no formato de exibição padrão, com duas casas decimais.
Se uma resposta calculada for muito pequena ou muito grande para ser exibida no formato de exibição padrão, ele será alternado automaticamente para a notação científica. O visor volta para o formato de exibição padrão para todos os números que podem ser nesse formato.
Notação científica (enter exponente)
A notação científica é utilizada para representar números muito grandes ou muito pequenos. Por exemplo, se o número [10.000.000] [Enter] 10.000.000 [x] for digitado, o resultado apresentado no visor será [1,000000 14], o que significa "um vezes dez elevado à décima-quarta potência" ou "1,00 com o indicador decimal movido catorze casas para a direita (o expoente é um número positivo)". Digite este número pressionando [1] [EEX] [14] [Enter]. A tecla [EEX] significa "expoente de dez". Os expoentes também podem ser números negativos para números muito pequenos. O número 0,000000000004 é exibido como [4,000000 -12] o que significa "quatro vezes dez elevado à décima-segunda potência negativa" ou "4,0 com o indicador decimal movido 12 casas para a esquerda". Digite este número pressionando [4] [EEX] [12] [CHS] [Enter]. 
Tecla de comutação, troca ou “swap” (Exchange key)
Esta tecla permite a troca de posição dos números inseridos nos registradores da calculadora. Por exemplo, tecle 2 [Enter] 3. A pilha operacional possui o número 2 no registrador interno e o número 3 no registrador x que é o visor da máquina. Caso seja pressionada a tecla [] o cálculos realizado será 2 dividido por 3 e a resposta será 0,6666.... Caso o cálculo desejado fosse 3 dividido por 2 bastaria pressionar [xy] para trocar a posição dos números na memória da máquina e posteriormente pressionar a tecla [] para realizar a operação. A resposta apresentada seria 1,50.
Funções de Arredondamento de um número:
[PREFIX]
 
Ao pressionar as teclas [f] e [prefix] o mostrador da calculadora irá exibir os 10 dígitos existentes na mantissa (decimal) de um número por alguns instantes. 
[RND] (Round)
 
Esta tecla arredonda um número na calculadora conforme o número de casas decimais apresentado no visor da calculadora. Por exemplo, a operação 1/3 resulta em 1,333333.... Após ajustar a quantidade de casas decimais desejada e pressionar a função [RND] o número será arredondado para a quantidade de casas decimais ajustada. Por exemplo, ao ajustar a máquina para 3 casas decimais - [f] [3] – e pressionar [f] [RND] o número será arredondado para 1,333 na memória da calculadora. Assim, o número 1,3333....... passou para 1,3330000000...
[FRAC] (Fractional)
 
Esta função exclui a parte inteira de um número. Desta forma o número 236,56 após a execução desta função será transformado em 0,56 sendo a parte inteira 256 eliminada do número. Pressione 236,56 [Enter] [g] [FRAC] o número no mostrador será 0,56.
Para recuperar o número original basta pressionar [g] [Lst x]
[INTG] (Integer)
 
Esta função exclui a parte fracionária de um número. Desta forma o número 236,56 após a execução desta função será transformado em 236 sendo a parte fracionária 0,56 eliminada do número. Pressione 236,56 [Enter] [g] [FRAC] o número no mostrador será 236.
Para recuperar o número original basta pressionar [g] [Lst x]
Troca de Sinal [CHS] (Change Sign)
Esta tecla é utilizada para a introdução de números negativos na calculadora ou para a troca de sinais de respostas obtidas na realização de cálculos. Basta pressionar a tecla [CHS] e o visor irá apresentar o número com sinal positivo (+) ou negativo (-).
Inverso de um número [1/x]
Esta função calcula o inverso de um número exibido no mostrador da calculadora.
Raiz Quadrada de um número - []
 
A calculadora HP 12C realiza o cálculo direto da raiz quadrada de um número apresentado no mostrador da calculadora. Desta forma basta digitar um número e solicitar a raiz quadrada teclando [g][]
Potenciação - [yx]
Esta tecla efetua o cálculo de potencias devendo ser informado inicialmente a base da potência e posteriormente o expoente.
Para determinar 43 deve ser digitado: 4 [Enter] 3 [yx] o mostrador irá exibir a resposta 64. 
Cálculo de raízes - [1/x] [yx]
Conforme exposto acima a calculadora HP 12C efetua de forma direta apenas o cálculo de uma raiz quadrada, ou seja, índice 2. Entretanto, em alguns cálculos será necessária a determinação de raízes com outros índices. Para o cálculo destas raízes serão utilizadas combinadamente as teclas [1/x] e [yx].
Para o cálculo da devemos observar que o cálculo a ser resolvido 631/5. Assim, deverá ser teclado 63 [Enter] 5 [1/x] [yx] e o mostrador irá exibir a resposta 2,2902 (mostrador ajustado para 4 casas decimais)
Logaritmo Natural de um número - [LN]
 
A tecla [Ln] exibe o logarítmo natural de um número existente no mostrador da calculadora. Corresponde ao cálculo de logaritmo na base “e”. Desta forma Ln = Loge.
Para determinar um Ln de 8 deverá ser efetuado: 8 [g] [Ln] e será exibido a resposta 2,0794 (mostrador ajustado para 4 casas decimais) 
Logaritmos em geral - [LN] [LN]
Para o cálculo de logaritmos em uma base diferente de “e” basta efetuar a troca da base para logaritmos através da seguinte equação:
Assim o Log35 será calculado digitando: 5 [g] [Ln] 3 [g] [Ln] [] e a resposta 1,4650 (mostrador ajustado para 4 casas decimais)
Antilogaritmo de um logaritmo natural - [ex]
 
Conhecido o logaritmo natural (Ln) de um número, podemos determinar através desta função o número ou logaritmando.
Dado um Ln = 1,791759469 qual foi o logaritmando, ou seja Ln x = 1,791759469.
Para determinar o valor de x bastar digitar 1,791759469 [g] [ex] a resposta será 6.
Variação Percentual
Uma variação de R$ 0,10 (dez centavos) é significativa?
Para a correta resposta desta indagação devemos analisar a variação relativa e não a variação absoluta.
A variação absoluta é a diferença entre os valores, por exemplo:
R$ 56.350,60 – R$ 56.350,50 = R$ 0,10
R$ 0,20 – R$ 0,10 = R$ 0,10
Podemos observar que as variações absolutas em ambos os casos são iguais, entretanto possuemsignificados totalmente diferentes.
Para a correta compreensão destas variações devemos verificar as variações relativas.
No primeiro exemplo, R$ 56.350,60 – R$ 56.350,50 = R$ 0,10 esta diferença representa uma variação de valores de -0,0002% (dois décimos de milésimos porcento), o que não representa, neste caso, uma variação significativa.
Entretanto, no segundo exemplo, R$ 0,20 – R$ 0,10 = R$ 0,10 esta diferença representa uma variação de valores de -50% (cinqüenta porcento) e representa, neste caso, uma variação extremamente significativa.
Como seria a análise do aumento da taxa de desemprego, por exemplo. Imagine que ela saísse de 8% e fosse para 9%. Em termos absolutos a variação foi de 1%, e o governo iria anunciar que o crescimento do desemprego foi baixo. Entretanto a variação percentual foi de 12,50%, um crescimento bastante significativo.
Conversão de Unidades de Tempo
Na matemática financeira é muito comum a realização de cálculos para a mudança de unidades de medida de tempo, sem alterar o espaço temporal previsto contratualmente. Por exemplo, o espaço de tempo de 1 ano equivale a 12 meses, 6 bimestres, 4 trimestres, 3 quadrimestres e 2 semestres ou seja, o mesmo espaço de tempo pode ser mensurado em diferentes unidades.
As unidades de tempo comumente utilizadas nos cálculos financeiros são:
Dia
Mês
Bimestre
Trimestre
Quadrimestre
Semestre
Ano
Para CONVERSÕES de prazo e taxas utilizamos o Calendário Comercial (mês com 30 dias e ano com 360 dias).
Por exemplo, 60 dias equivalem a 2 meses, ou seja, 60/30 = 2 meses, não importando os meses a que nos referimos.
Para CONTAGEM de prazos utilizamos o Calendário Civil (mês com 28, 29, 30 ou 31 dias e o ano com 365 ou 366 dias)
Por exemplo, entre os dias 01 de Julho de 2012 e 31 de Setembro de 2012 temos 62 dias, ou seja, devem ser contados os dias reais entre as datas, importando os meses com 28, 29, 30 ou 31 dias. Entretanto, convertendo 62 dias em meses teremos: 62/30 = 2,0667 meses.
As relações básicas para conversão são:
	Referência:
	1 Ano
	1 Semestre
	1 Quadrimestre
	1 Trimestre
	Dias
	360
	180
	120
	90
	Meses
	12
	6
	4
	3
	Bimestres
	6
	3
	2
	1,5 6
	Trimestres
	4
	2
	1,3333 3
	1
	Quadrimestres
	3
	1,5 1
	1
	0,75 7
	Semestres
	2
	1
	0,6667 4
	0,5 8
	Anos
	1
	0,5 2
	0,3333 5
	0,25 9
Observações:
Para a realização das conversões é necessária a solução de um cálculo de Regra de Três Simples.
1) 	1 quadrimestre	4 meses
	X quadrimestre	6 meses (1 semestre)
	6 1 = X 4 X = = 1,5 quadrimestres
2)	1 ano			2 semestres
	X ano			1 semestre
	1 1 = X 2 X = = 0,5 anos
3)	1 trimestre		3 meses
	X trimestre		4 meses (1 quadrimestre)
	1 4 = X 3 X = = 1,3333 trimestres
4) 	1 semestre		6 meses
	X semestre		4 meses (1 quadrimestre)
	1 4 = X 6 X = = 0,6667 semestres
5) 	1 ano			12 meses
	X ano			4 meses (1 quadrimestre)
	1 4 = X 12 X = = 0,3333 ano
6) 	1 bimestre		2 meses
	X bimestres		3 meses (1 trimestre)
	1 3 = X 2 X = = 1,5 bimestres
7) 	1 quadrimestre	4 meses
	X quadrimestre	3 meses (1 trimestre)
	1 3 = X 4 X = = 0,75 quadrimestres
8) 	1 semestre		2 trimestres
	X semestre		1 trimestre
	1 1 = X 2 X = = 0,5 semestres
9)	1 ano			4 trimestres
	X ano			1 trimestre
	1 1 = X 4 X = = 0,25 anos
	Referência:
	1 Bimestre
	1 Mês
	1 Dia
	Dias
	60
	30
	1
	Meses
	2
	1
	0,0333 10
	Bimestres
	1
	0,5 5
	0,0167 11
	Trimestres
	0,6667 1
	0,3333 6
	0,0111 12
	Quadrimestres
	0,5 2
	0,25 7
	0,0083 13
	Semestres
	0,3333 3
	0,16667 8
	0,0056 14
	Anos
	0,1667 4
	0,0833 9
	0,0028 15
Observações:
1)	1 trimestre		1,5 bimestres
	X trimestre		1 bimestre
	1 1 = X 1,5 X = = 0,6667 trimestres
2) 	1 quadrimestre	2 bimestres
	X quadrimestre	1 bimestre
	1 1 = X 2 X = = 0,5 quadrimestres
3) 	1 semestre		3 bimestres
	X semestre		1 bimestre
	1 1 = X 3 X = = 0,3333 semestres
4)	1 ano			6 bimestres
	X ano			1 bimestre
	1 1 = X 6 X = = 0,1667 anos
5) 	1 bimestre		2 meses
	X bimestres		1 mês
	1 1 = X 2 X = = 0,5 bimestre
6) 	1 trimestre		3 meses
	X trimestres		1 mês
	1 1 = X 3 X = = 0,3333 trimestres
7) 	1 quadrimestre	4 meses
	X quadrimestre	1 mês
	1 1 = X 4 X = = 0,25 quadrimestres
8) 	1 semestre		6 meses
	X semestre		1 mês
	1 1 = X 6 X = = 0,1667 semestres
9)	1 ano			12 meses
	X ano			1 mês
	1 1 = X 12 X = = 0,0833 anos
10)	1 mês			30 dias
	X mês			1 dia
	1 1 = X 30 X = = 0,0333 meses
11) 	1 bimestre		60 dias
	X bimestres		1 dia
	1 1 = X 60 X = = 0,0167 bimestre
12) 	1 trimestre		90 dias
	X trimestres		1 dia
	1 1 = X 90 X = = 0,0111 trimestres
13) 	1 quadrimestre	120 dias
	X quadrimestre	1 dia
	1 1 = X 120 X = = 0,0083 quadrimestres
14) 	1 semestre		180 dias
	X semestre		1 dia
	1 1 = X 180 X = = 0,0056 semestres
15)	1 ano			360 dias
	X ano			1 dia
	1 1 = X 360 X = = 0,0028 anos
Vamos praticar!!!!
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
01) Para praticar com sua calculadora (de preferência financeira), realize os cálculos abaixo. 
Lembre-se:
Primeiro: Potências ou raízes ou logaritmos;
Segundo: Multiplicações ou divisões;
Terceiro e Final: Adições ou subtrações.
Além disto, você deverá resolver antes as operações entre parênteses ( ), colchetes [ ] e chave { } nesta ordem. Uma dica para a correta resolução dos exercícios abaixo é reescrevê-lo, obedecendo a correta colocação matemática.
Por exemplo, a equação (4x5+1/(8+6/3)x3)+9 corresponde a:
 
Agora é com você!
1) 147 + 220 - 440 + 1020 - 200
2) 277 - 2 + 458 - 7598 + 7
3) (5 x 10 x 40 / 20) / (30 x 2)
4) ((75 x 12 / 4 x 5) x 7) / 4
5) 32 +7 / 5 - 3 + 4 / (5 x 3)
6) 72 x 7 x 8 / 4 - 1 + 3 / 8
7) (47 - 8) / 7 x (5 + 4) - 8 / (2 x 3)
8) [2 x (73 - 4 x 2) + 5] / [34 - (78 x 4 - 1) / 3]
9) [5 / {12 + (54 - 3 x 5)} x 7] - 2
10) [20 + 4 x (3 - 2 + 5 / 3)] x [28 / (4 - 7)]
02) Calcular as seguintes potências:
Potenciação - [yx] 
	23
	34
	64
	53
	56
	102
	105
	109
	1010
	112
	918
	0,54
	0,332
	1,53
	1,754
	1,0312
	1,096
	1,8024
	1,0752
	1,0003360
	1,0011365
	21
	22
	23
	24
	25
	26
	27
	28
	29
	210
	–24
	–(2)4
	(-2)4
	20,75
	70,90
	300,09
	100,5
	1000,5
	40,5
	40,2
	1,330,75
	1,701,25
	1,090,35
	20,1
	60,009
	15-3
	21-9
	98-0,98
	50-9
03) Calcular as seguintes raízes:
 Cálculo de raízes - [1/x] [yx] 
	X3=9
	X5=25
	X3=27
	X4=256
	X2=1,5
	X3=1,5
	X4=1,5
	X6=1,5
	X12=1,5
	X360=1,5
	X2=1,95
	X3=1,95
	X4=1,95
	X6=1,95
	X12=1,95
	X360=1,95
	X2=1,035
	X3=1,035
	X4=1,035
	X6=1,035
	X12=1,035
	X360=1,035
	X-2=7
	X1/2=7
	X-9=88
	X1/9=88
	X1/3=9
	X1/2=8
	X1/5=25
	X1/9=81
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
04) Calcular os seguintes logaritmos:
 Logaritmo Natural de um número - [LN] 
	2x=8
	3 x =27
	29 x =1
	56 x =1
	35 x =35
	78 x =78
	12,9 x =12,9
	3 x =0
	9 x =0
	–5 x =0
	–77 x =0
	33 x =4
	91 x =6,7
	12,3 x =6
	65,09 x =12
	120 x =240
	1,33 x =2
	1,009x =1,9
	1,0005 x =3
	6 x =7
	log2,718281 4
	log2,718281 56
	log2,718281 7
	log2,718281 10
	log2,718281 35,6
	log2,7182 12,9
	loge 4
	loge 56
	loge 7
	loge 10
	loge 35,6
	loge 21
	loge 96
	loge 1,98
	loge –57
	loge -5
	Ln 4
	Ln 56
	Ln 7
	Ln 10
	Ln 35,6
	Ln 21
	Ln –57
	Ln –5
	Ln 1,33
	Ln 2
	Ln 1,009
	Ln 1,98
	Ln 2,1
	Ln 1
05) Agora que você já está “craque” no uso dos recursos de sua calculadora, vamos resolver algumas expressões algébricas. Para tanto, foi definida uma equação padrão e, em uma tabela, serão fornecidos os valores das variáveis desta equação. Caberá a vocêcompletar o quadro através da resolução da equação padrão.
Equação padrão 1:
A = B ( 1 + C )
Exemplo:
Supondo que B = 120 e C = 0,50. Substituindo na equação acima teremos:
A = 120 ( 1 + 0,50 )
A = 120 x 1,50 
0 que resulta em A= 180
Agora, você deve resolver conforme a tabela de variáveis:
	Item
	A
	B
	C
	1
	?
	500
	2
	2
	?
	890
	9
	3
	?
	1.200
	1
	4
	?
	5.600
	0,90
	5
	?
	700
	-0,50
	6
	?
	50.000
	1,30
	7
	?
	1.980
	-0,33
	8
	?
	560,20
	0,045
	9
	?
	1.098,77
	-0,09
	10
	?
	700,90
	0,77
	11
	100
	200
	?
	12
	1
	100
	?
	13
	2.000.000
	2
	?
	14
	450
	520
	?
	15
	600
	400
	?
	16
	1.250
	890
	?
	17
	908,90
	1.234,09
	?
	18
	452
	904
	?
	19
	0,00
	500
	?
	20
	560
	0,00
	?
	21
	700
	?
	0,20
	22
	908,71
	?
	0,42
	23
	390
	?
	0,50
	24
	5.600
	?
	1,00
	25
	-871
	?
	-0,58
	26
	5.678,09
	?
	5
	27
	1.090.800
	?
	1,00054
	28
	567,45
	?
	1,3345
	29
	-900
	?
	1,0568
	30
	870,90
	?
	1,0323
Equação padrão 2:
A = B ( 1 + C.D ) 
Obs. C.D significa C vezes D (a multiplicação é representada através de um ponto .)
Exemplo 1)
Supondo B = 500, C = 0,20 e D = 3, tem-se a seguinte equação:
A = 500 ( 1 + 0,20.3 )
Como você já sabe, primeiro os parênteses, e dentro destes primeiro a multiplicação/divisão e posteriormente a adição/subtração. Assim temos:
A = 500 ( 1 + 0,60 )
A = 500.1,60
A = 800,00
Exemplo 2)
Supondo A = 500, C = 0,20 e D = 3, tem-se a seguinte expressão:
500 = B ( 1 + 0,20.3 )
500 = B ( 1 + 0,60 )
500 = B 1,60
 
B = 312,50
Exemplo 3)
Supondo A = 500, B = 200 e D = 3, tem-se a seguinte expressão:
500 = 200 ( 1 + C.3 )
 
2,50 = 1 + 3C
2,50 – 1 = 3C
1,50 = 3C
C = 0,50
	Item
	A
	B
	C
	D
	1
	?
	100
	2
	5
	2
	?
	2.000
	2,5
	10
	3
	?
	5.600
	0,33
	12
	4
	?
	13.000
	0,50
	6
	5
	?
	19.890
	0,90
	4
	6
	?
	1.289,89
	0,0005
	360
	7
	?
	8.905,80
	0,0065
	180
	8
	?
	589,50
	0,075
	0,6667
	9
	?
	-131,90
	0,012
	0,75
	10
	?
	1.000.000
	0,00001
	360
	11
	200
	100
	?
	6
	12
	5.000
	4.300
	?
	3
	13
	10.000
	8.900
	?
	1,75
	14
	980
	789,32
	?
	1,33
	15
	325
	200,30
	?
	0,25
	16
	123,23
	23,23
	?
	0,75
	17
	890,56
	1.600
	?
	3
	18
	1.235,78
	2.470
	?
	4
	19
	1,10
	1,05
	?
	2
	20
	0,90
	0,30
	?
	1
	21
	300
	?
	1
	12
	22
	120
	?
	2
	1
	23
	3.000
	?
	0,75
	0,75
	24
	960
	?
	1,35
	3
	25
	546,30
	?
	1,99
	0,45
	26
	-233,20
	?
	0,21
	0,6667
	27
	900
	?
	0,95
	0,21
	28
	560,91
	?
	-0,35
	0,35
	29
	12,10
	?
	-1,20
	0,0045
	30
	1,05
	?
	0,005
	360
	31
	500
	500
	2
	?
	32
	890
	3.000
	0,00035
	?
	33
	1.200
	1.200
	0,45
	?
	34
	5.600
	11.200
	0,50
	?
	35
	700
	500
	0,02
	?
	36
	50.000
	10.000
	0,045
	?
	37
	1.980
	980
	0,025
	?
	38
	560,20
	435,32
	0,0001
	?
	39
	1.098,77
	903,09
	1
	?
	40
	700,90
	560,20
	0,23
	?
Equação padrão 3:
A = B ( 1 + C ) D
Exemplo 1)
Supondo B = 500, C = 0,10 e D = 3, tem-se a seguinte expressão:
A = 500 ( 1 + 0,10 )3
A = 500.1,103
A = 500.1,331000
A = 665,50
Exemplo 2)
Supondo A = 500, C = 0,10 e D = 3, tem-se a seguinte expressão:
500 = B ( 1 + 0,10 )3
500 = B . 1,103
500 = B .1,331000
B = 375,6574
Exemplo 3)
Supondo A = 1.000, B = 500 e D = 3, tem-se a seguinte expressão:
1.000 = 500 ( 1 + C )3
 
2 = ( 1 + C )3
Para a solução desta expressão basta extrair a raíz 3 (cúbica) de ambos os membros da igualdade. Assim:
1,2259 = 1 + C
1,2259 – 1 = C
C = 0,2259
Exemplo 4)
Supondo A = 800, B = 250 e C = 0,10 , tem-se a seguinte expressão:
800 = 250 ( 1 + 0,10 )D
800 = 250 ( 1,10 )D
3,20 = 1,10D
A solução desta expressão implica no cálculo de um logaritmo, desta forma:
Log1,103,20 = D
Para a determinação do logaritmo em uma calculadora deveremos utilizar a função de Logaritmo Natural [Ln]. Portanto:
D = 12,2038
	Item
	A
	B
	C
	D
	1
	?
	100
	2
	5
	2
	?
	2.000
	2,5
	10
	3
	?
	5.600
	0,33
	12
	4
	?
	13.000
	0,50
	6
	5
	?
	19.890
	0,90
	4
	6
	?
	1.289,89
	0,0005
	360
	7
	?
	8.905,80
	0,0065
	180
	8
	?
	589,50
	0,075
	0,6667
	9
	?
	-131,90
	0,012
	0,75
	10
	?
	1.000.000
	0,00001
	360
	11
	200
	100
	?
	6
	12
	5.000
	4.300
	?
	3
	13
	10.000
	8.900
	?
	1,75
	14
	980
	789,32
	?
	1,33
	15
	325
	200,30
	?
	0,25
	16
	123,23
	23,23
	?
	0,75
	17
	890,56
	1.600
	?
	3
	18
	1.235,78
	2.470
	?
	4
	19
	1,10
	1,05
	?
	2
	20
	0,90
	0,30
	?
	1
	21
	300
	?
	1
	12
	22
	120
	?
	2
	1
	23
	3.000
	?
	0,75
	0,75
	24
	960
	?
	1,35
	3
	25
	546,30
	?
	1,99
	0,45
	26
	-233,20
	?
	0,21
	0,6667
	27
	900
	?
	0,95
	0,21
	28
	560,91
	?
	-0,35
	0,35
	29
	12,10
	?
	-1,20
	0,0045
	30
	1,05
	?
	0,005
	360
	31
	500
	500
	2
	?
	32
	890
	3.000
	0,00035
	?
	33
	1.200
	1.200
	0,45
	?
	34
	5.600
	11.200
	0,50
	?
	35
	700
	500
	0,02
	?
	36
	50.000
	10.000
	0,045
	?
	37
	1.980
	980
	0,025
	?
	38
	560,20
	435,32
	0,0001
	?
	39
	1.098,77
	903,09
	1
	?
	40
	700,90
	560,20
	0,23
	?
06) Completar o quadro abaixo realizando as devidas conversões. Para tanto considerar:
- Para conversões de prazo e taxas utilizamos o Calendário Comercial (mês com 30 dias e ano com 360 dias)
- Para contagem de prazos utilizamos o Calendário Civil (mês com 28, 29, 30 ou 31 dias e o ano com 365 ou 366 dias)
	Base
	Dias
	Meses
	Bimes-tres
	Trimes-
tres
	Quadri- mestres
	Semes-
tres
	Anos
	1 dia
	
	
	
	
	
	
	
	1 mês
	
	
	
	
	
	
	
	1 bimestre
	
	
	
	
	
	
	
	1 trimestre
	
	
	
	
	
	
	
	1 quadrimestre
	
	
	
	
	
	
	
	1 semestre
	
	
	
	
	
	
	
	1 ano
	
	
	
	
	
	
	
	15 dias
	
	
	
	
	
	
	
	99 dias
	
	
	
	
	
	
	
	17 meses
	
	
	
	
	
	
	
	3,75 meses
	
	
	
	
	
	
	
	2,3 bimestres
	
	
	
	
	
	
	
	9 bimestres
	
	
	
	
	
	
	
	3 trimestres
	
	
	
	
	
	
	
	2,22 trimestres
	
	
	
	
	
	
	
	10 quadrim.
	
	
	
	
	
	
	
	0,75 quadrim.
	
	
	
	
	
	
	
	6 semestres
	
	
	
	
	
	
	
	7,8 sem.
	
	
	
	
	
	
	
07) Ajuste os prazos abaixo para ___Anos ___Meses ___Dias.
Lembre que a fração de DIA deve ser arredondada para o próximo inteiro.
Exemplos:
2,5 anos = 2 anos e 6 meses. (Cuidado! Está errado responder 2 anos e 5 meses. Lembre que 0,5 ano – meio ano – equivale a 6 meses).
6,3824 quadrimestres
Passo a passo teremos:
Para facilitar vamos ajustar para meses > 6,3824 x 4 = 25,5296 meses.
Agora vamos ajustar para ano: 25,5296 / 12 = 2,1275 anos. Assim temos 2 anos inteiros.
Resta 0,1275 ano, que será ajustado para meses > 0,1275 x 12 = 1,5296 meses. Assim temos 1 mês inteiro.
Finalmente vamos ajustar 0,5296 mês para dia > 0,5296 x 30 = 15,8880. Como resultou em fração de dia vamos arredondar para o próximo inteiro, ou seja, 16 dias.
Resposta: 6,3824 quadrimestres = 2 anos 1 mês e 16 dias.
Observe os outros exemplos 
3,75 semestres
Para facilitar vamos ajustar para meses > 3,75 x 6 = 22,50 meses.
Agora vamos ajustar para ano: 22,50 / 12 = 1,8750 anos. Assim temos 1 ano inteiro.
Resta 0,8750 ano, que será ajustado para meses > 0,8750 x 12 = 10,50 meses. Assim temos 10 meses inteiros.
Finalmente vamos ajustar 0,50 mês para dia > 0,50 x 30 = 15 dias.
Resposta: 3,75 semestres = 1 ano 10 meses e 15 dias
8,3747 quadrimestres
Para facilitar vamos ajustar para meses > 8,3747 x 4 = 33,4988 meses.
Agora vamos ajustar para ano: 33,4988 / 12 = 2,7916 anos. Assim temos 2 anos inteiros.
Resta 0,7916 ano, que será ajustado para meses > 0,7916 x 12 = 9,4988meses. Assim temos 9 meses inteiros.
Finalmente vamos ajustar 0,4988 mês para dia > 0,4988 x 30 = 14,9640 dias. Como resultou em fração de dia vamos arredondar para o próximo inteiro, ou seja, 15 dias.
Resposta: 8,3747 quadrimestres = 2 anos 9 meses e 15 dias.
18,2132 bimestres
Para facilitar vamos ajustar para meses > 18,2132 x 2 = 36,4264 meses.
Agora vamos ajustar para ano: 36,4264 / 12 = 3,0355 anos. Assim temos 3 anos inteiros.
Resta 0,0355 ano, que será ajustado para meses > 0,0355 x 12 = 0,4264 mês. Agora temos 0 – zero – meses inteiros. Portanto vamos ajustar para dia.
Finalmente vamos ajustar 0,4264 mês para dia > 0,4264 x 30 = 12,7920 dias. Como resultou em fração de dia vamos arredondar para o próximo inteiro, ou seja, 13 dias.
Resposta: 18,2132 bimestres = 36,4264 meses = 3 anos e 13 dias.
Expresse os prazos abaixo em xx anos xx meses e xx dias, conforme os exemplos acima:
0,75 anos;
3,18 semestres;
1480 dias;
0,6754 quadrimestres;
18,3322 trimestres;
8,65 meses;
2,0759 anos.
Respostas dos Exercícios Propostos
Exercício 01:
	1
	747,0000
	6
	1.007,3750
	2
	-6.858,0000
	7
	48,8095
	3
	1,6667
	8
	-1,9378
	4
	1.968,7500
	9
	-1,3137
	5
	30,6667
	10
	-286,2222
Exercício 02:
	1
	8,0000
	26
	32,0000
	2
	81,0000
	27
	64,0000
	3
	1.296,0000
	28
	128,0000
	4
	125,0000
	29
	256,0000
	5
	15.625,0000
	30
	512,0000
	6
	100,0000
	31
	1.024,0000
	7
	100.000,0000
	32
	-16,0000
	8
	1.000.000.000,0000
	33
	-16,0000
	9
	10.000.000.000,0000
	34
	16,0000
	10
	121,0000
	35
	1,6818
	11
	150.094.635.296.999.000,0000 Ou 1,5009 17 = 1,5009x10^17 (notação científica)
	36
	5,7622
	12
	0,0625
	37
	1,3581
	13
	0,1089
	38
	3,1623
	14
	3,3750
	39
	10,0000
	15
	9,3789
	40
	2,0000
	16
	1,4258
	41
	1,3195
	17
	1,6771
	42
	1,2385
	18
	1.338.258,8451
	43
	1,9412
	19
	1,1556
	44
	1,0306
	20
	1,1140
	45
	1,0718
	21
	1,4937
	46
	1,0163
	22
	2,0000
	47
	0,0003
	23
	4,0000
	48
	0,0000000000012590017894878900 Ou 1,2590 -12 = 1,2590x10^ -12 (notação científica)
	24
	8,0000
	49
	0,0112
	25
	16,0000
	50
	0,0000000000000005120000000000 Ou 5,1200 -16 = 5,1200x10^ -16 (notação científica)
	
Exercício 03:
	1
	2,0801
	26
	316.478.381.828.866.000,0000 Ou 3,1648 17 = 3,1648x10^17 (notação científica)
	2
	1,9037
	27
	729,0000
	3
	3,0000
	28
	64,0000
	4
	4,0000
	29
	9.765.625,0000
	5
	1,2247
	30
	150.094.635.296.999.000,0000 Ou 1,5009 17 = 1,5009x10^17 (notação científica)
	6
	1,1447
	31
	5,0000
	7
	1,1067
	32
	2,2361
	8
	1,0699
	33
	1,5838
	9
	1,0344
	34
	0,5000
	10
	1,0011
	35
	0,7579
	11
	1,3964
	36
	1,6479
	12
	1,2493
	37
	1,4142
	13
	1,1817
	38
	1,2599
	14
	1,1177
	39
	1,1892
	15
	1,0572
	40
	1,1225
	16
	1,0019
	41
	1,0595
	17
	1,0173
	42
	1,0019
	18
	1,0115
	43
	1,3229
	19
	1,0086
	44
	1,2051
	20
	1,0058
	45
	1,1502
	21
	1,0029
	46
	1,0978
	22
	1,0001
	47
	1,0477
	23
	0,3780
	48
	1,0016
	24
	49,0000
	49
	Não Existe Resposta para este cálculo em Números Reais!
	25
	0,6081
	50
	1,2055
Exercício 04:
	1
	3,0000
	26
	2,5572
	2
	3,0000
	27
	1,3863
	3
	0,0000
	28
	4,0254
	4
	0,0000
	29
	1,9459
	5
	1,0000
	30
	2,3026
	6
	1,0000
	31
	3,5723
	7
	1,0000
	32
	3,0445
	8
	Não existe o logaritmo do número Zero!
	33
	4,5643
	
	9
	Não existe o logaritmo do número Zero!
	34
	0,6831
	
	10
	Não existe o logaritmo do número Zero!
	35
	Não existe resposta. A base do logaritmo é positiva e o logaritmando é negativo.
	
	11
	Não existe o logaritmo do número Zero!
	36
	Não existe resposta. A base do logaritmo é positiva e o logaritmando é negativo.
	
	12
	0,3965
	37
	1,3863
	
	13
	0,4217
	38
	4,0254
	
	14
	0,7140
	39
	1,9459
	
	15
	0,5951
	40
	2,3026
	
	16
	1,1448
	41
	3,5723
	
	17
	2,4306
	42
	3,0445
	
	18
	71,6375
	43
	Não existe resposta. A base do logaritmo é positiva e o logaritmando é negativo.
	
	19
	2.197,7738
	44
	Não existe resposta. A base do logaritmo é positiva e o logaritmando é negativo.
	
	20
	1,0860
	45
	0,2852
	
	21
	1,3863
	46
	0,6931
	
	22
	4,0254
	47
	0,0090
	
	23
	1,9459
	48
	0,6831
	
	24
	2,3026
	49
	0,7419
	
	25
	3,5723
	50
	0,0000
	
Exercício 05:
	Equação Padrão 1: A = B ( 1 + C )
	Item
	A
	B
	C
	1
	1.500,00
	500,00
	2,00000
	2
	8.900,00
	890,00
	9,00000
	3
	2.400,00
	1.200,00
	1,00000
	4
	10.640,00
	5.600,00
	0,90000
	5
	350,00
	700,00
	-0,50000
	6
	115.000,00
	50.000,00
	1,30000
	7
	1.326,60
	1.980,00
	-0,33000
	8
	585,41
	560,20
	0,04500
	9
	999,88
	1.098,77
	-0,09000
	10
	1.240,59
	700,90
	0,77000
	11
	100,00
	200,00
	-0,50000
	12
	1,00
	100,00
	-0,99000
	13
	2.000.000,00
	2,00
	999.999,00000
	14
	450,00
	520,00
	-0,13462
	15
	600,00
	400,00
	0,50000
	16
	1.250,00
	890,00
	0,40449
	17
	908,90
	1.234,09
	-0,26351
	18
	452,00
	904,00
	-0,50000
	19
	0,00
	500,00
	-1,00000
	20
	560,00
	0,00
	Não existe resp.
	21
	700,00
	583,33
	0,20000
	22
	908,71
	639,94
	0,42000
	23
	390,00
	260,00
	0,50000
	24
	5.600,00
	2.800,00
	1,00000
	25
	-871,00
	-2.073,81
	-0,58000
	26
	5.678,09
	946,35
	5,00000
	27
	1.090.800,00
	545.252,78
	1,00054
	28
	567,45
	243,07
	1,33450
	29
	-900,00
	-437,57
	1,05680
	30
	870,90
	428,53
	1,03230
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	Equação Padrão 2: A = B ( 1 + C.D )
	Item
	A
	B
	C
	D
	1
	1.100,00
	100,00
	2,00000
	5,00000
	2
	52.000,00
	2.000,00
	2,50000
	10,00000
	3
	27.776,00
	5.600,00
	0,33000
	12,00000
	4
	52.000,00
	13.000,00
	0,50000
	6,00000
	5
	91.494,00
	19.890,00
	0,90000
	4,00000
	6
	1.522,07
	1.289,89
	0,00050
	360,00000
	7
	19.325,59
	8.905,80
	0,00650
	180,00000
	8
	618,98
	589,50
	0,07500
	0,66670
	9
	-133,09
	-131,90
	0,01200
	0,75000
	10
	1.003.600,00
	1.000.000,00
	0,00001
	360,00000
	11
	200,00
	100,00
	0,16667
	6,00000
	12
	5.000,00
	4.300,00
	0,05426
	3,00000
	13
	10.000,00
	8.900,00
	0,07063
	1,75000
	14
	980,00
	789,32
	0,18164
	1,33000
	15
	325,00
	200,30
	2,49026
	0,25000
	16
	123,23
	23,23
	5,73970
	0,75000
	17
	890,56
	1.600,00
	-0,14780
	3,00000
	18
	1.235,78
	2.470,00
	-0,12492
	4,00000
	19
	1,10
	1,05
	0,02381
	2,00000
	20
	0,90
	0,30
	2,00000
	1,00000
	21
	300,00
	23,08
	1,00000
	12,00000
	22
	120,00
	40,00
	2,00000
	1,00000
	23
	3.000,00
	1.920,00
	0,75000
	0,75000
	24
	960,00
	190,10
	1,35000
	3,00000
	25
	546,30
	288,21
	1,99000
	0,45000
	26
	-233,20
	-204,56
	0,21000
	0,66670
	27
	900,00
	750,31
	0,95000
	0,21000
	28
	560,91
	639,21
	-0,35000
	0,35000
	29
	12,10
	12,17
	-1,20000
	0,00450
	30
	1,05
	0,38
	0,00500
	360,00000
	31
	500,00
	500,00
	2,00000
	0,00000
	32
	890,00
	3.000,00
	0,00035
	-2.009,52381
	33
	1.200,00
	1.200,00
	0,45000
	0,00000
	34
	5.600,00
	11.200,00
	0,50000
	-1,00000
	35
	700,00
	500,00
	0,02000
	20,00000
	36
	50.000,00
	10.000,00
	0,04500
	88,88889
	37
	1.980,00
	980,00
	0,02500
	40,81633
	38
	560,20
	435,32
	0,00010
	2.868,69429
	39
	1.098,77
	903,09
	1,00000
	0,21668
	40
	700,90
	560,20
	0,23000
	1,09200
	Equação Padrão 3: A = B ( 1 + C )D
	
	Item
	A
	B
	C
	D
	1
	24.300,00
	100,00
	2,00000
	5,00000
	2
	551.709.470,7
	2.000,00
	2,50000
	10,00000
	3
	171.556,71
	5.600,00
	0,33000
	12,00000
	4
	148.078,13
	13.000,00
	0,50000
	6,00000
	5
	259.208,47
	19.890,00
	0,900004,00000
	6
	1.544,21
	1.289,89
	0,00050
	360,00000
	7
	28.585,99
	8.905,80
	0,00650
	180,00000
	8
	618,62
	589,50
	0,07500
	0,66670
	9
	-133,09
	-131,90
	0,01200
	0,75000
	10
	1.003.606,47
	1.000.000,00
	0,00001
	360,00000
	11
	200,00
	100,00
	0,12246
	6,00000
	12
	5.000,00
	4.300,00
	0,05156
	3,00000
	13
	10.000,00
	8.900,00
	0,06886
	1,75000
	14
	980,00
	789,32
	0,17667
	1,33000
	15
	325,00
	200,30
	5,93122
	0,25000
	16
	123,23
	23,23
	8,25173
	0,75000
	17
	890,56
	1.600,00
	-0,17741
	3,00000
	18
	1.235,78
	2.470,00
	-0,15897
	4,00000
	19
	1,10
	1,05
	0,02353
	2,00000
	20
	0,90
	0,30
	2,00000
	1,00000
	21
	300,00
	0,07
	1,00000
	12,00000
	22
	120,00
	40,00
	2,00000
	1,00000
	23
	3.000,00
	1.971,71
	0,75000
	0,75000
	24
	960,00
	73,97
	1,35000
	3,00000
	25
	546,30
	333,72
	1,99000
	0,45000
	26
	-233,20
	-205,37
	0,21000
	0,66670
	27
	900,00
	782,23
	0,95000
	0,21000
	28
	560,91
	652,19
	-0,35000
	0,35000
	29
	12,10
	Não há resp.
	-1,20000
	0,00450
	30
	1,05
	0,17
	0,00500
	360,00000
	31
	500,00
	500,00
	2,00000
	0,00000
	32
	890,00
	3.000,00
	0,00035
	-3.472,45355
	33
	1.200,00
	1.200,00
	0,45000
	0,00000
	34
	5.600,00
	11.200,00
	0,50000
	-1,70951
	35
	700,00
	500,00
	0,02000
	16,99129
	36
	50.000,00
	10.000,00
	0,04500
	36,56410
	37
	1.980,00
	980,00
	0,02500
	28,48218
	38
	560,20
	435,32
	0,00010
	2.522,25080
	39
	1.098,77
	903,09
	1,00000
	0,28295
	40
	700,90
	560,20
	0,23000
	1,08240
Matemática Financeira – Prof. João Roberto Rezende
Página 111
	Exercício 06
	Para estes cálculos devemos utilizar o Calendário Comercial: Mês com 30 dias e o Ano com 360 dias.
	Base
	Dias
	Meses
	Bimestres
	Trimestres
	Quadrimestres
	Semestres
	Anos
	1 dia
	1,0000
	0,0333
	0,0167
	0,0111
	0,0083
	0,0056
	0,0028
	1 mês
	30,0000
	1,0000
	0,5000
	0,3333
	0,2500
	0,1667
	0,0833
	1 bimestre
	60,0000
	2,0000
	1,0000
	0,6667
	0,5000
	0,3333
	0,1667
	1 trimestre
	90,0000
	3,0000
	1,5000
	1,0000
	0,7500
	0,5000
	0,2500
	1 quadrimestre
	120,0000
	4,0000
	2,0000
	1,3333
	1,0000
	0,6667
	0,3333
	1 semestre
	180,0000
	6,0000
	3,0000
	2,0000
	1,5000
	1,0000
	0,5000
	1 ano
	360,0000
	12,0000
	6,0000
	4,0000
	3,0000
	2,0000
	1,0000
	15 dias
	15,0000
	0,5000
	0,2500
	0,1667
	0,1250
	0,0833
	0,0417
	99 dias
	99,0000
	3,3000
	1,6500
	1,1000
	0,8250
	0,5500
	0,2750
	17 meses
	510,0000
	17,0000
	8,5000
	5,6667
	4,2500
	2,8333
	1,4167
	3,75 meses
	112,5000
	3,7500
	1,8750
	1,2500
	0,9375
	0,6250
	0,3125
	2,3 bimestres
	138,0000
	4,6000
	2,3000
	1,5333
	1,1500
	0,7667
	0,3833
	9 bimestres
	540,0000
	18,0000
	9,0000
	6,0000
	4,5000
	3,0000
	1,5000
	3 trimestres
	270,0000
	9,0000
	4,5000
	3,0000
	2,2500
	1,5000
	0,7500
	2,22 trimestres
	199,8000
	6,6600
	3,3300
	2,2200
	1,6650
	1,1100
	0,5550
	10 quadrimest.
	1.200
	40,0000
	20,0000
	13,3333
	10,0000
	6,6667
	3,3333
	0,75 quadrim.
	90,0000
	3,0000
	1,5000
	1,0000
	0,7500
	0,5000
	0,2500
	6 semestres
	1.080
	36,0000
	18,0000
	12,0000
	9,0000
	6,0000
	3,0000
	7,8 semestres
	1.404
	46,8000
	23,4000
	15,6000
	11,7000
	7,8000
	3,9000
Exercício 07:
9 meses;
1 ano 7 meses 3 dias (arredondando os dias);
4 anos 1 mês 10 dias;
2 meses 22 dias (arredondando os dias);
4 anos 6 meses 30 dias (arredondando os dias), ou seja, 4 anos e 7 meses;
8 meses 20 dias;
2 anos 28 dias (arredondando os dias).
MATEMÁTICA FINANCEIRA
“...
- O que o senhor deseja? – perguntou a velha em tom severo, entrando no quarto e como antes postando-se bem diante dele para fitá-lo de frente no rosto.
- Trouxe isso para penhorar, veja! – E tirou do bolso um velho relógio de algibeira, chato e de prata. Tinha um globo gravado no fundo. E a corrente de aço.
- Mas acontece que o empréstimo anterior já venceu. Faz três dias que venceu.
- Eu vou lhe pagar os juros par mais um mês: espere um pouco.
- Ora, meu caro, depende da minha boa vontade de esperar ou ir logo vendendo o seu objeto.
- A senhora me dá um bom dinheiro pelo relógio, Aliena Ivánovna?
- O senhor me traz uma coisa imprestável, meu caro, não vou dar nada, convenha que não vale a pena. Da última vez eu lhe dei duas notinhas pelo seu anel, e dava para comprá-lo novinho no joalheiro por um rublo e meio.
- Dê-me uns quatro rublos, eu vou resgatá-lo, foi do meu pai. Brevemente vou receber dinheiro.
- Um rublo e meio, e descontando os juros, se quiser.
- Um rublo e meio! – exclamou o jovem.
- Se quiser. - E a velha lhe devolveu o relógio. O jovem o recebeu e ficou tão zangado que fez menção de sair; mas pensou melhor, lembrando-se que não tinha mais aonde ir e que estava ali por outro motivo.
A velha meteu a mão no bolso a fim de tirar as chaves e foi para o outro quarto atrás da cortina. Sozinho no centro do quarto, o jovem ficou de ouvido atento, tomado de curiosidade e refletindo. Dava para ouvi-la abrindo a cômoda. “Pelo visto é a gaveta de cima – refletiu ele. – Quer dizer que é no bolso direito que ela guarda as chaves... Todas num molho só, com argola de aço... E tem uma maior que as outras, três vezes maior, com palhetão dentado que essa não é da cômoda... Logo, existe mais algum porta-jóias, ou um bauzinho. Isso que é curioso. Os bauzinhos sempre têm esses tipo de chave... Pensando bem, como tudo isso é vil...” 
A velha voltou.
- Ai esta meu caro: já que os juros são de dez copeques por rublo ao mês, por um rublo e meio cabe-lhe o desconto de quinze copeques por um mês adiantado. E por aqueles dois rublos atrasados ainda tenho de lhe descontar vinte copeques de acordo com o mesmo cálculo. Isso significa que ao todo são trinta e cinco copeques. Agora lhe cabe receber o total de um rublo e quinze copeques pelo relógio. Aqui está, receba.
- Como? Então agora é um rublo e quinze copeques?
- Exatamente.
O jovem não discutiu e recebeu o dinheiro. Ficou olhando para a velha, sem pressa de sair, como se ainda quisesse dizer ou fazer alguma coisa, mas era como se ele mesmo não soubesse precisamente o quê...
- Aliena Ivánovna, é possível que por esses dias eu ainda lhe traga um objeto... de prata, coisa boa... uma cigarreira... que um amigo vai me devolver... – Perturbou-se e calou.
- Na ocasião falaremos disso, meu caro.
...”
“CRIME E CASTIGO”
 Fiódor Dostoievski
Em 1866
Introdução
A função fundamental da Matemática Financeira é regular os contratos em que as transações não são liquidadas à vista.
Assim, o campo de aplicação da Matemática Financeira é extremamente amplo, e encontra aplicações desde o orçamento familiar até a análise de grandes projetos industriais, como, por exemplo, a construção de uma fábrica ou mesmo de uma missão espacial! 
Os cálculos financeiros são decorrentes do reconhecimento que o valor dinheiro não é constante no tempo. Desta forma, o valor do dinheiro sofre variações – para cima e para baixo – no decorrer do tempo. Vários são os fatores que atuam para esta depreciação ou apreciação. O fenômeno da inflação como um agente depreciador do valor do dinheiro é familiar a muitas economias, sendo que o Brasil ainda trava uma grande batalha contra o “dragão da inflação”. Contrário ao processo de inflação a deflação causa uma apreciação ou valorização do dinheiro, na medida em que aumenta o seu poder de compra.
Não somente estes processos causam a variação do dinheiro no tempo. Podemos entender o dinheiro como uma mercadoria, que esta sujeita a inúmeras variações em função das condições do mercado financeiro, influenciado por ações políticas nacionais e internacionais, oferta e procura (como nas operações de câmbio), guerras e conflitos, entre outros inúmeros fatores.
Destaforma, o cálculo financeiro surge quando o produto transacionado é a moeda, produto este negociado nos mercados financeiros ou simplesmente entre duas pessoas em algum lugar.
Portanto, o prazo ou intervalo de tempo de uma transação financeira é que irá determinar a realização ou não de um cálculo financeiro.
Para as operações realizadas a vista (e não a perder de vista!), ou seja, com o imediato pagamento dos produtos ou serviços transacionados temos que o intervalo de tempo é igual a zero, uma vez que a troca mercadoria x moeda é realizada no mesmo momento.
É importante destacar que pagamento A VISTA significa que a moeda é colocada a disposição no mesmo momento em que são entregues os produtos ou serviços. Desta forma, não caracteriza uma transação a vista o pagamento antecipado, como a assinatura de jornais e revistas para recebimento em data futura, assim como às condições pagamento a vista com 7 dias tão comuns nas negociações comerciais. Absurdas também são as ofertas das grandes redes supermercadistas e de móveis, que anunciam preço à vista para pagamento em até 24 parcelas mensais sem acréscimo no valor à vista!
Para a satisfação das suas inúmeras necessidades, e desejos, as pessoas realizam a aquisição de alimentos, vestuários, medicamentos, livros, móveis, serviços e inúmeras outras coisas, como automóveis, jóias, viagens, etc... No passado, estas aquisições eram realizadas através do escambo, ou troca de mercadorias e serviços. No mundo inteiro, artigos que vão do sal ao tabaco, de arroz a peixe seco e de madeira a tecido foram utilizados como dinheiro em diferentes momentos da história. Com a evolução das sociedades estas trocas tornaram-se mais complexas e foram sendo substituídas pelo uso da moeda como padrão de valor em função das suas inúmeras características positivas.
Como escreveu Aphra Behn, uma dramaturga do século XVIII que cresceu no Suriname, em sua peça The Rover , em 1677:
“ O dinheiro fala com significado em um idioma compreendido por todas as nações.” 
Para a realização destas necessidades e desejos, as pessoas acumulam (ou pelo menos deveriam!) dinheiro, ou seja, formam um capital.
Do Novo Dicionário Aurélio:
capital . [Do lat. capitale.] Adj. 2 g. 1. P. us. Relativo à cabeça. 2. Principal, essencial, fundamental, primário: "depois da catequese das tribos, através de esforços que lembram os primeiros séculos da Igreja, animou-os [aos jesuítas] a preocupação capital de salvá-las da escravidão." (Euclides da Cunha, Contrastes e Confrontos, p. 51) 3. Tip. V. maiúsculo (1). ~ V. crédito -, letra -, navio -, obra -, pecado - e pena -. • S. f. 4. Cidade que aloja a alta administração de um país ou de um estado, província, departamento, etc. 5. Tip. Letra capital (q. v.). 6. Tip. V. letra capitular. 7. Tip. V. letra de caixa-alta (1). • S. m. 8. Riqueza ou valores disponíveis. 9. Econ. Conjunto de bens produzidos pelo homem que participam da produção de outros bens (basicamente, máquinas e equipamentos). 10. Econ. Recursos monetários investidos ou disponíveis para investimento. 11. Econ. Fundo de dinheiro ou patrimônio de uma empresa; cabedal... (destaque do autor).
Uma vez formado o capital necessário, as pessoas trocam este por produtos ou serviços que desejam, realizando, desta forma, operações à vista.
Entretanto, parte da sociedade não forma um capital, decorrente, em sua maior parte, de uma falta de cultura para a poupança. 
Outro motivo para não haver a formação de capital suficiente, está relacionado com a magnitude do projeto a ser desenvolvido, como por exemplo, a construção de uma usina hidrelétrica. A história do desenvolvimento industrial do Brasil mostra a forte influência do Estado na implantação dos grandes projetos industriais, em função da escassez de poupança privada.
Para a realização de grandes projetos ou a satisfação de anseios pessoais cujos recursos financeiros não estão imediatamente disponíveis as pessoas, empresas e governos recorrem aos empréstimos. 
Do Novo Dicionário Aurélio:
empréstimo . [Do port. arc. empréstido (< em-2 + port. arc. préstido < lat. praestitu), com infl. de préstimo.] S. m. 1. Ato de emprestar. 2. A coisa emprestada. 3...
emprestar . [De em-2 + prestar.] V. t. d. 1. Confiar a alguém (certa soma de dinheiro, ou certa coisa), gratuitamente ou não, para que faça uso delas durante certo tempo, restituindo-as depois ao dono; ceder: Empresta o que é seu com boa vontade. 2. Dar a juros (dinheiro). 3. Dar, prestar: "Desfranze essas sobrancelhas / e empresta agora atenção" (Stella Leonardos, Romanceiro do Bequimão, p. 152) T. d. e i. 4. Emprestar (1): "João Vasconcelos / emprestava aos pobres / o dinheiro dos ricos." (H. Dobal, A Serra das Confusões, "O Candidato".) 5. Dar, conferir, prestar: Aquele amor emprestou sentido à sua vida; "Madrugada - a cerração empresta à Travessa das Acácias um mistério de cidade submersa." (Érico Veríssimo, Caminhos Cruzados, p. 5) T. i. e c. 6. Bras. S. C.O. Tomar emprestado: Emprestou do sogro dois milhões. P. 7. Auxiliar-se reciprocamente.
O ato de emprestar pode gerar ou não uma remuneração.
Do Novo Dicionário Aurélio:
remuneração . [Do lat. remuneratione.] S. f. 1. Ato ou efeito de remunerar. 2. Recompensa, prêmio. 3. Gratificação em pagamento de serviço prestado. 4. Salário; honorários, soldada, soldo, ordenado.
remunerar . [Do lat. remunerare.] V. t. d. 1. Dar remuneração ou prêmio a; premiar, recompensar, galardoar, gratificar: O júri remunerou os melhores trabalhos. 2. Pagar salários, honorários, rendas, etc., a; satisfazer, gratificar: A firma faliu e não remunerou os empregados. [Pret. imperf. ind.: remunerava, .... remuneráveis, remuneravam. Cf. remuneráveis, pl. de remunerável.]
Basicamente, os ativos pessoais passíveis de serem emprestados e remunerados pelo seu uso, em um determinado espaço de tempo, destacando que o empréstimo pressupõe a concessão do direito de uso e não de posse, são:
Capacidade física e mental: o empréstimo da capacidade física ou mental, quando realizado de forma remunerada, gera como remuneração o SALÁRIO, caso contrário será um trabalho voluntário;
Bens móveis e imóveis: o empréstimo deste patrimônio, como por exemplo uma casa, um carro e até mesmo uma caneta, gera como remuneração um ALUGUEL. 
Capital: o empréstimo de um capital, qualquer que seja o seu valor, irá gerar para o seu detentor o recebimento de JUROS, que é a remuneração de um capital.
Do Novo Dicionário Aurélio:
juros . [Do lat. jure.] S. m. 1. Econ. Importância cobrada, por unidade de tempo, pelo empréstimo de dinheiro, ger. expressa como porcentagem da soma emprestada: juro de 12% ao ano. 2. Ant. Econ. Rendimento de capital investido; interesse. [M. us. no pl.] 3. Fam. Recompensa (2). Juro composto. Econ. 1. O que se adiciona em cada período à importância do empréstimo, para cálculo do juro devido no período subseqüente. Juro de mora. Econ. 1. O que é cobrado em acréscimo ao juro normal, como multa pelo atraso de pagamento. Juro simples. Econ. 1. O que não se adiciona em cada período à importância do empréstimo, para cálculo do juro devido no período subseqüente. Pagar com juros. Bras. Pop. 1. Pagar caro
Outro conceito de juro seria a recompensa pela renúncia da liquidez por um determinado período de tempo.
Temos delineado agora o campo para o emprego da Matemática Financeira.
Dado que as pessoas, empresas e governos querem satisfazer suas necessidades sem a formação de poupança própria, estas irão emprestar de outras pessoas, empresas e governos que possuam capital formado. Este capital será emprestado por um determinado período de tempo, ao final do deverá ser restituído ao seu dono acrescido de juros, que representam a remuneração deste capital, sem o qual, os capitalistas, ou detentores do capital, não disponibilizariam suas poupanças para usufruto de outros que não eles próprios.
. usufruto . [Do lat. jur. usus-fructus.] S. m. 1. Ato ou efeito de usufruir; fruição. 2. Aquilo que se usufrui. 3. Jur. Direito que se confere a alguém para, por certo tempo, retirar decoisa alheia todos os frutos e utilidades que lhe são próprios, desde que não lhe altere a substância ou o destino.
Conceitos Fundamentais
A matemática financeira é desenvolvida a partir dos seguintes elementos:
Capital Inicial
Prazo
Juros
Taxa de Juros
Montante
Parcelas Intermediárias
Capital Inicial
O Capital Inicial, também dito Principal, Valor Presente e em inglês “Present Value” representa o capital que deverá estar disponível no momento presente ou seja, representa as disponibilidades de recursos necessárias para a realização de uma operação a vista.
Em projetos de investimento de longo prazo, o capital inicial poderá ser alocado no decorrer do tempo de execução do projeto. Desta forma, para a construção de uma usina hidrelétrica não é necessária a disponibilidade imediata dos recursos necessários para sua execução, sendo o capital alocado conforme as demandas do projeto. Vale destacar que as necessidades de capital para grandes investimentos serão determinadas para um determinado momento de tempo, sendo que tais valores deverão ser ajustados para o momento de sua ocorrência, em função da necessidade de alocação de recursos. 
Prazo
O prazo ou número de períodos, em inglês “number of periods”, de um contrato representa o intervalo de tempo existente entre a data da tomada do empréstimo ou início da realização de um investimento – Momento Presente – e a data de pagamento ou resgate do investimento quando da ocorrência da única ou última parcela – Momento Futuro.
Cabe destacar que o prazo pode ser medido em diferentes unidades de tempo, como: dia, mês, bimestre, trimestre, quadrimestre, semestre e ano.
Portanto, é importante saber manipular as conversões destas diferentes unidades de medida de tempo.
Juros
Juros, em inglês “interest”, é a remuneração de um capital (valor monetário) após um determinado período de tempo. O pagamento dos juros pode ser realizado em diferentes momentos de tempo, devendo, portanto, ser acordado o momento de seu pagamento. O pagamento dos juros está relacionado à modalidade da taxa de juros negociada.
O valor dos juros de uma operação financeira é a diferença entre o Valor Inicial (ou o capital total alocado em um contrato) e o Valor Final (ou o total das inversões contratuais realizadas). Os juros serão sempre expressos em unidades monetária - $. 
Taxa de Juros
Em inglês “interest of rate”. A taxa de juros pode ser definida com sendo a remuneração para cada unidade de capital, por um determinado período de tempo, expressa de forma percentual.
Também podemos afirmar que é o preço do prazo.
Para uma maior compreensão, pode-se traçar um paralelo com o salário pago para um funcionário. Por exemplo, um salário de R$ 2.500,00 p. mês representa a remuneração que um funcionário irá receber em um intervalo de um mês e está expressa em forma de moeda corrente no Brasil.
Assim, uma taxa de juros de 20% am (ao mês) representa que cada $ 1,00 (unidade de capital) será remunerado em $ 0,20 (20% / 100) para cada intervalo de tempo de um mês. Assim, o preço de 1 mês é de $ 0,20 para cada $ 1,00.
Uma taxa de juros estará obrigatoriamente relacionada a um intervalo de tempo, sem o qual não será uma taxa de juros.
Montante
Montante ou Valor Futuro ou “Future Value” em inglês representa o valor total recebido de uma aplicação ou restituído para pagamento de um empréstimo, corresponde ao Capital Inicial acrescido de Juros. Uma operação de empréstimo significa que deverá haver a devolução do mesmo ao final de um prazo, acrescido de juros.
Valor Futuro = Valor Presente + Juros
Esta equação é fundamental para a correta aplicação da matemática financeira.
Parcelas Intermediárias
Também chamadas de pagamentos ou, em inglês, “Payments”.
Todas as ocorrências de caixa, sejam entradas ou saídas, entre a primeira parcela – início – e a última parcela – final – serão chamadas de Parcelas Intermediárias.
Estas parcelas poderão ser de entradas ou saídas, iguais ou diferentes, periódicas ou não periódicas.
Fluxo de Caixa
Um Fluxo de Caixa ou “Cash Flow” é uma representação gráfica das entradas e saídas de recursos no caixa no decorrer do tempo. É elaborado a partir de um eixo horizontal, fracionado em unidades de tempo, no qual são indicadas as ENTRADAS e SAÍDAS de recursos nos seus respectivos momentos de tempo. Por convenção, as movimentações de recursos serão representadas por setas, sendo que setas para CIMA representarão SAÍDAS de recursos e setas para BAIXO representarão ENTRADAS de recursos.
Exemplo:
Uma operação de INVESTIMENTO no valor de $ 1.000,00, com juros de 10% ao mês por um prazo de 1 mês.
Juros = 10% de $ 1.000,00 = $100,00
Montante = 1.000,00 + Juros
							Montante = 1.000,00 + 100,00
Valor Inicial = 1.000,00				Montante = 1.100,00	
 0							 1		mês
									 Prazo
Outros exemplos de Fluxos de Caixa podem ser:
	A		B		C		D		E		F
													
	0		1		2		3		4		5
O eixo poderá ser medido em dias, meses, bimestres, trimestres, quadrimestres, semestres ou anos.
Representação das Variáveis
Para facilitar o estudo e a solução das equações matemáticas decorrentes dos problemas financeiros, é adotada uma variável para cada elemento financeiro. Aqui a definição é realizada em conformidade com as funções das Calculadoras Financeiras, o que facilita a utilização e compreensão dos recursos das máquinas.
Capital Inicial < PV > Present Value
Prazo < n > number of periods
Juros < J > esta variável não esta representada nas calculadoras financeiras.
Taxa de Juros < i > interest of rate
Montante < FV > Future Value
Parcelas Intermediárias < PMT > PayMenTs
Calculadoras Financeiras e Cálculos Financeiros
O desenvolvimento da matemática financeira é realizado através da análise e resolução das equações relacionadas aos cálculos financeiros. Decorrente dos cálculos necessários para a solução dos problemas financeiros, a matemática financeira utilizava-se das Tabelas Financeiras, muito úteis em função da restrição da capacidade de cálculo das máquinas portáteis, em um passado não muito distante. Com o advento de novas tecnologias, desenvolvimento de softwares complexos e de hardwares cada vez mais compactos, as calculadoras atuais podem ser comparadas a pequenos computadores de bolso. Desta forma, foram desenvolvidas calculadoras para aplicações específicas, e no caso da Matemática Financeira foram desenvolvidas as Calculadoras Financeiras, que simplificaram enormemente a solução dos problemas financeiros. Atualmente existem inúmeros modelos e fabricantes, como Sharp, Texas Instuments, Cassio e HP.
Uma calculadora financeira apresenta como característica principal a existência de uma série de teclas de função financeira 
As teclas de Função Financeira
A principal característica das calculadoras financeiras é o fato de elas proporcionarem a solução dos cálculos financeiros sem a necessidade da realização de inúmeros contas, uma vez que as equações financeiras estão programadas na memória da calculadora. Para a solução destas equações basta digitar o valor das variáveis.
Para a correta utilização das funções financeiras é necessário o entendimento da estrutura de um Fluxo de Caixa. 
Como visto acima, um Fluxo de Caixa é representado por um eixo horizontal (representando o tempo) com a demonstração das entradas e saídas de caixa no decorrer do tempo.
	A		B		C		D		E		F
													
	0		1		2		3		4		5
O eixo poderá ser medido em dias, meses, bimestres, trimestres, quadrimestres, semestres ou anos.
Como convencionado, as Entradas de Caixa serão representadas por uma seta para baixo e as Saídas de Caixa serão representadas por uma seta para cima .
A calculadora financeira não possui teclas com setas sendo a representação das Entradas e Saídas efetuada através de sinais Positivo (+) e Negativo (-).
Para padronização, é definido que as entradas serão números POSITIVOS e as saídas serão números NEGATIVOS.
Desta forma, substituindo as setas, o fluxo acima