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Value in “n” DISCOUNT ( - ) CAPITALIZATION ( + ) PV FV - Interest +Interest n – p n n + p Sumário INTRODUÇÃO 4 REVISÃO GERAL DE MATEMÁTICA 8 Número Racional 8 Número Irracional 11 Potenciação 11 Radiciação 13 Logaritmos 15 Utilização da Calculadora Financeira HP 12C 19 Ligar e Desligar a calculadora 19 Visor 20 Limpeza dos Registradores 21 A lógica RPN 21 Separadores de dígitos (milhares e decimal) 22 Alterar o número de casas decimais exibidas na calculadora 22 Notação científica 23 Tecla de comutação, troca ou “swap” 23 [PREFIX] 24 [RND] 24 [FRAC] 24 [INTG] 24 Troca de Sinal [CHS] – Change Sign 24 Inverso de um número [1/x] 25 Raiz Quadrada de um número - [] 25 Potenciação - [yx] 25 Cálculo de raízes - [1/x] [yx] 25 Logaritmo Natural de um número - [LN] 26 Logaritmos em geral - [LN] [LN] 26 Antilogaritimo de um logaritmo natural - [ex] 26 Variação Percentual 26 Conversão de Unidades de Tempo 28 EXERCÍCIOS PROPOSTOS 32 Respostas dos Exercícios Propostos 44 MATEMÁTICA FINANCEIRA 53 Introdução 55 Conceitos Fundamentais 59 Taxa de Juros 60 Representação das Variáveis 62 Calculadoras Financeiras e Cálculos Financeiros 62 As teclas de Função Financeira 63 Taxas de Juros 64 VALOR DO DINHEIRO NO TEMPO 70 CAPITALIZAÇÃO SIMPLES 72 CAPITALIZAÇÃO COMPOSTA 78 UTILIZAÇÃO DE CALCULADORAS FINANCEIRAS 83 TAXA NOMINAL 91 TAXA EFETIVA 92 EXERCÍCIOS 93 CAPITALIZAÇÃO SIMPLES 93 CAPITALIZAÇÃO COMPOSTA 98 INTRODUÇÃO A Matemática Financeira compreende, fundamentalmente, o estudo do Valor do Dinheiro no Tempo. Este estudo é realizado utilizando-se os inúmeros recursos existentes nesta fantástica ciência que é a Matemática. Matemática, em grego, significa “saber pensar” Desta forma, o estudo da Matemática Financeira não é um estudo focado na matemática propriamente dita. A matemática, neste caso, é uma valiosa ferramenta para a solução dos problemas financeiros do dia a dia. Portanto, a Matemática Financeira está focada na análise das variáveis envolvidas e na interpretação das respostas obtidas. Este fato pode ser observado pela utilização das Calculadoras Financeiras, que através de funções financeiras específicas realizam automaticamente os inúmeros cálculos envolvidos em problemas de ordem financeira. De fato, uma calculadora financeira simplifica muito os cálculos financeiros, entretanto a correta solução dos problemas financeiros depende da correta análise e interpretação das informações de um problema financeiro. A calculadora somente irá realizar os cálculos corretamente se as informações fornecidas estiverem corretas. Para tanto, é necessário o conhecimento de alguns procedimentos matemáticos simples, para a correta solução dos problemas que irão surgir no estudo da Matemática Financeira. Para a correta solução dos problemas financeiros e das expressões algébricas associadas é necessário o domínio das operações matemáticas básicas assim como a sequência de resolução das mesmas em uma expressão: Logaritmos ou Potenciação ou Radiciação; Divisão ou Multiplicação; Adição ou Subtração: Também existem os sinais de associação – Parênteses ( ), Colchetes [ ] e Chaves { }, que definem as prioridades das operações a serem realizadas em uma expressão. Por convenção devem ser executadas as operações matemáticas na seguinte sequência: - Primeiro PARÊNTESES – ( ); - Segundo COLCHETES – [ ]; - Terceiro CHAVES { }. Nas páginas seguintes serão propostos diversos exercícios com os seguintes objetivos: Recordar alguns conceitos matemáticos; Conhecer e praticar a solução de expressões matemáticas com uso de calculadoras; Demonstrar que o raciocínio e compreensão matemática não é algo impossível de ser alcançado. O aprendizado de matemática é muito mais uma questão de esforço pessoal; Mostrar que a Matemática Financeira é mais fácil do que falaram para você !!!! Assim, desejo a você um ótimo estudo e conte comigo sempre que precisar. Você sabia que pode fazer uma declaração de amor matemática? A matemática também é engraçada!!! O Kalvin é ótimo sempre! REVISÃO GERAL DE MATEMÁTICA Número Racional Qualquer número que é a razão de dois números inteiros é chamado de racional. Um número racional é expresso através de uma razão ou fração => . Nesta fração o número a é chamado de numerador e o número b é chamado de denominador. Por exemplo: , , , ... Para os números racionais adotam-se as seguintes definições: 1ª. Igualdade (equivalência): = ad = bc. Também dizemos que são proporcionais. 2ª. Adição: + = 3ª. Multiplicação: . = Representação Decimal: Todo número racional pode ser representado por um número decimal. Para tanto basta dividir o número inteiro a pelo número inteiro b. Ao realizar este cálculo podem ocorrer duas situações: 1ª) O número decimal apresenta uma quantidade finita de algarismos diferentes de zero. Neste caso é uma decimal exata. Por exemplo: = 4 = 2 = 40 = 0,65 2ª) O número decimal possui uma quantidade infinita de algarismos que ocorrem periodicamente. Neste caso possui uma dízima periódica. = 0,66666... = 0,6 - dízima periódica com período 6 = 1,571428571428571428... = 1,571428 - dízima periódica com período 0,571428 = 1,83333... = 1,83 - dízima periódica com período 3 Deve-se ao matemático John Napier a notação decimal para frações e pela criação de um dispositivo conhecido como "bastões de Néper", que realizava operações aritméticas de maneira prática e foi o precursor das réguas de cálculo surgidas logo em seguida. Foi nestes “bastões” que Napier utilizou o ponto e a vírgula como separatriz decimal. Ele Nasceu em uma família importante de Edimburgo, Escócia, em 1550. Há várias ortografias diferentes para seu sobrenome, Napeir, Naper, Néper, etc, além da forma usada atualmente. Faleceu em 4 de abril de 1617. Em algumas situações é mais fácil trabalhar com os números em forma decimal ao invés da forma fracionária. Por exemplo: 0,25 + 1,6 = 1,85 Observe que realizar a adição de dois números decimais é mais simples que efetuar a soma das frações. Ao realizar cálculos com números decimais, é necessário um cuidado adicional com relação à quantidade de casas decimais que serão utilizadas para a realização do cálculo, pois diversas vezes poderá não ocorrer um decimal exato como visto acima. Por exemplo: 1/5 = 0,2 (decimal exato) 7/4 = 1,75 (decimal exato) 1/3 = 0,33333333333333333...............ou seja uma dízima periódica de período 3. Neste caso, qual será a resposta, ou o número a ser utilizado: 0,3, 0,33, 0,333, 0,3333 ??? Para evitar este tipo de problema, devemos utilizar em nossos cálculos uma calculadora e além disto, deveremos efetuar os cálculos de forma direta, sem apagar os resultados intermediários para digitá-los novamente. Para diminuirmos os erros de arredondamento em nossos cálculos, estes deverão ser realizados com no mínimo 4 (quatro) casas decimais (ou mais se forem necessárias para uma maior precisão). Ao executar um cálculo, poderão ocorrer arredondamentos dos valores envolvidos, e estes arredondamentos poderão ser ou não significativos. Para determinar a relevância do arredondamento é necessário estabelecer um relativo, ou seja, a diferença do arredondamento em relação ao valor a ser arredondado. Será que uma diferença de R$ 0,10 (dez centavos) em um cálculo será relevante? Com base apenas no valor absoluto da diferença não teremos condições de estabelecer sua relevância, cabendo sempre a colocação “depende”. Supondo que a diferença de preço de um determinado produto seja de R$ 0,10 entre duas lojas – Preço A – Preço B = R$ 0,10, esta diferença será significativa em função dos preços A e B. Por exemplo, seja a Preço A = R$ 1,20 e o Preço B R$ 1,10, temos que a diferença entre estespreços é de R$ 0,10 - R$ 1,20 – R$ 1,10 = R$ 0,10. Ao estabelecer uma razão entre A e B teremos: Desta forma a diferença de R$ 0,10 representa uma variação de preços de 9,09% o que é bastante significativo. Entretanto, em outra situação podemos ter Preço A = R$ 25.623,64 e o Preço B R$ 25.623,54, temos que a diferença entre estes preços é de R$ 0,10 - R$ 25.623,64 – R$ 25.623,54 = R$ 0,10. Ao estabelecer uma razão entre A e B teremos: Desta forma a diferença de R$ 0,10 representa uma variação de preços de 0,00039% ou seja, uma diferença pouco significativa. Ao realizar cálculos com quatro decimais, embora ocorram diferenças, estas serão pouco significativas em nossos cálculos. Por exemplo, quanto seria 1/3 de R$ 1.000.000,00? Com o cálculo exato temos que este valor é de R$ 333.333,33, entretanto, ao efetuar arredondamentos teremos: Decimais 1 / 3 X R$ 1.000.000,00 Variação Absoluta Variação % 1 0,3 R$ 300.000,00 R$ 33.333,33 11,1111% 2 0,33 R$ 330.000,00 R$ 3.333,33 1,0101% 3 0,333 R$ 333.000,00 R$ 333,33 0,1001% 4 0,3333 R$ 333.300,00 R$ 33,33 0,0100% 5 0,33333 R$ 333.330,00 R$ 3,33 0,0009% 6 0,333333 R$ 333.333,00 R$ 0,33 0,00009% 7 0,3333333 R$ 333.333,30 R$ 0,03 0,000009% 8 0,33333333 R$ 333.333,33 R$ 0,00 0,00% Com 4 decimais temos uma diferença de 0,01% na resposta exata, o que não invalida a mesma. É importante destacar que estas considerações sobre arredondamentos são pertinentes apenas aos cálculos que serão desenvolvidos ao longo do nosso estudo da Matemática Financeira, devendo haver uma análise crítica para outras situações, como por exemplo, nos cálculos do mercado cambial (troca de moedas), cálculos científicos, custos e outros. Número Irracional Diferentemente dos números racionais, existem números em que a representação decimal com infinitas casas decimais não é periódica, sendo estes números ditos irracionais. São exemplos de números irracionais: ... = 3,1415926... e = 2,718281828459 ... número de ouro = Outros números irracionais podem ser obtidos através da expressão sendo x um número primo (todo número divisível somente por ele mesmo e por 1 é chamado de primo). São irracionais , entre outros. Potenciação Quantos grãos de areia existem no Universo? Pode parecer uma pergunta estranha, entretanto, no século III viveu um sábio grego, o matemático Arquimedes, que se preocupava com esta questão. Na sua concepção, o universo era uma esfera limitada pelas estrelas fixas. Para encontrar o volume desta esfera, Arquimedes procurou a resposta para a questão acima. Muito mais importante do que o resultado que ele obteve foi o método que utilizou para chegar à resposta. Como precisava trabalhar com números muito grandes, ele desenvolveu uma forma bastante simples de representá-los, as potências. Aliás, a resposta de Arquimedes para a questão acima é que caberiam 1051 grãos de areia no Universo, um número astronomicamente grande. Potência é um produto indicado de fatores iguais an = a . a . a . a . a . a .........a ^.........n vezes ...........^ NOMENCLATURA: an = z a = base n = expoente z = potência CASOS NOTÁVEIS: a1 = a a0 = 1 (você saberia demonstrar esta igualdade?) a-n = 1 / an , que corresponde ao inverso do número a, com a =/= 0 PROPRIEDADES: . am . an = a m + n . am / an = a m - n com a =/= 0 . an . bn = (a . b)n . an / bn = (a / b)n com b =/= 0 . (am)n = a m . n As calculadoras realizam os cálculos de potenciação através da tecla <yx> ou <xy> Para pensar. Transformando em potência temos: 5 x 5 x 5 x 5 = 54 1,5 x 1,5 x 1,5 = 1,53 e como será: a) –3 x –3 x –3 x –3 ? Em potenciação mantemos a base –3 e somamos os expoentes 1+1+1+1 = 4. Portanto (-3)4 = 81 (positivo) b) –3 x –3 x –3 Em potenciação mantemos a base –3 e somamos os expoentes 1+1+1 = 3 portanto temos (- 3)3 = -27 (negativo) c) – 3 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3 Em potenciação mantemos a base 3 e somamos os expoentes 1+1+1+1+1+1 = 6 portanto teremos -(3)6 = -729 (negativo) Por exemplo: 1,556 = 13,8672 Na HP 12C teremos: 1,55 <enter> 6 <yx> resultado 13,8672. Em outras máquinas devemos executar: 72 < ^ > 5 <=> resultando em 13,8672. Observe que foi utilizado o sinal “^”, que é utilizado como operador de potenciação em diversas calculadoras. Por vezes a potenciação também é representada pela tecla <yx>. Radiciação A Radiciação é um caso especial de Potenciação. Neste caso a potência possui um expoente fracionário, ou seja, am/n: NOMENCLATURA: a m / n = = y onde: = símbolo radical a = radicando n = índice m = expoente y = raiz As calculadoras financeiras em sua maioria, NÃO POSSUEM uma tecla (ou função) (esta função é comum nas calculadoras científicas), possuindo, no máximo, a tecla , que efetua o cálculo da RAIZ QUADRADA do número x (). Para a execução do cálculo de radiciação em uma calculadora devemos utilizar, COMBINADAMENTE, as teclas <1/x > (de inverso) e <yx> (de potenciação). Por exemplo: = 721/5 (observe que 721 = 72). Na HP 12C teremos: 72 <enter> 5 <1/x> <yx> resultado 2,352158. Em outras máquinas devemos executar: 72 <yx> 5 <1/x> <=> resultando em 2,352158. PROPRIEDADES: . . = . = , com b =/= 0 . ()m = .= . = Para pensar . Temos que: 24 = 2 x 2 x 2 x 2 = 16 33 = 3 x 3 x 3 = 27 e como será 43,5 ? 43,5 = 41 x 41 x 41 x 40,5 = 41 x 41 x 41 x 41/2 = 41 x 41 x 41 x = 41 x 41 x 41 x 2 = 128 E como seria 163,75? 163,75 = 161 x 161 x 161 x 160,75 = 161 x 161 x 161 x 163/4 = 161 x 161 x 161 x = 161 x 161 x 161 x = 161 x 161 x 161 x = 161 x 161 x 161 x 212/4 = 161 x 161 x 161 x 23 = 161 x 161 x 161 x 8 = 32.768 Logaritmos Como resolver a seguinte equação 7x = 5? O Dicionário Houaiss define logarítmo como “expoente a que se deve elevar um número tomado como base para se obter outro número logaritmo decimal decimal mat logaritmo na base dez; logaritmo neperiano . natural mat m.q. logaritmo neperiano . neperiano mat logaritmo que tem por base o número e (e = 2,718281...); logaritmo hiperbólico, logaritmo natural [símb.: ln] ? etim lat.cien. logarithmus, voc. criado em 1614 por John Napier (1550-1617, escocês), a partir do gr. lógos 'razão, cálculo', + gr. arithmós 'número' Assim, um Logarítmo é definido como sendo um número “x” tal que: ax = b loga b= x sendo b > 0 (ou seja, b deverá ser um número positivo) e a > 0 e diferente de 1. logaritmandoNOMENCLATURA: base logaritmologab = x b = logaritmando a = base x = logaritmo A operação é chamada de logaritmação. Desta forma a solução da equação 7x = 5 implica na determinação de Log75 = x Desta forma temos: 1) log10100 = 2 onde 102 = 100 2) log28 = 3 onde 23 = 8 PROPRIEDADES: . loga (m/n) = loga m x loga n . loga (nm) = m . logan . loga = 1/m . logan . logan = => logbn = logan . logba O logaritmo mais utilizado é o de base 10, ou: log10a => log a Quando a base não é determinada (log a) a mesma é 10. Existe também um sistema de logaritmos chamado neperiano (em homenagem a John Napier - matemático escocês do século XVI, inventor dos logaritmos), cuja base é o número irracional e = 2,7183... e indicamos este logaritmo pelo símbolo ln. Assim loge M = ln M. Este sistema de logaritmos, também conhecido como sistema de logaritmos naturais, tem grande aplicação no estudo de diversos fenômenos da natureza. O número “e” é obtido através do seguinte cálculo: = + + + + ... + + ... = e e = 2,7182818284590453... É interessante observar que este número não forma uma dízima periódica! Os cientistas utilizaram potentes computadores e não conseguiram definir um períodopara obter uma dízima periódica. Este logarítmo na base “e” (logea) também é chamado de LOGARÍTMO NATURAL (Ln). As calculadoras normalmente efetuam somente o cálculo do Ln. Desta forma, para a obtenção de outros logarítmos, que não na base “e”, é necessário um cálculo de mudança de base: logab = = Assim: log5 9 = = = 1,365212 ou 51,365212 = 9 Na HP 12C teremos: 9<g><Ln>5<g><Ln><> Nas outras máquinas: 9<Ln><>5<Ln><=> Aliás, para a equação apresentada inicialmente, 7x = 5 a resposta é x = 0,827087475. Por que o número "e" ? A notação de logaritmo quase sempre nos é apresentada, pela primeira vez, do seguinte modo: "o logaritmo de um número y na base a é o expoente x tal que ax = y". Fazemos a observação: "os números que mais frequentemente se usam como base de um certo sistema de logaritmos são o 10, que é base do sistema decimal (logaritmos de base dez são conhecidos como logaritmos decimais ou vulgares) e o número e = 2,71828182... (logaritmos de base e são chamados logaritmos neperianos)." O número e não é uma dízima periódica, e sim irracional transcendente (não podemos escrevê-lo sob forma de fração). Conforme vimos: e = 2,718281828459... Então temos aqui uma questão: Por que motivo escolher-se um número tão "estranho" como uma base de logaritmos? Simplesmente porque ele é inevitável, ou seja, surge inevitavelmente em muitas situações. Uma das razões pelas quais a Matemática é útil está no Cálculo, que estuda variações de grandezas. Um um tipo de variação das mais simples e comumente encontradas é aquela em que o crescimento (ou o decrescimento) da grandeza em cada instante é proporcional ao valor naquele instante. Este tipo de variação ocorre, por exemplo, em questões de juros, crescimento populacional (de pessoas ou de bactérias), desintegração radioativa, entre outros. Em todos estes fenômenos nos deparamos com o número e. Vejamos a seguir um exemplo simples: Supondo que eu empreste a alguém a quantia de $ 1,00 a juro de 100% ao ano. No final do ano, essa pessoa ao me pagar traria $ 2,00: $1,00 que havia tomado emprestado e $1,00 de juros. Seria isto justo? Não, o justo seria que me pagasse “e” reais! Vejamos por que. Há um entendimento tácito nessas transações de que os juros são proporcionais ao capital emprestado e ao tempo decorrido entre o empréstimo e o pagamento. Assim, se meu cliente viesse me pagar seis meses depois do empréstimo, eu receberia apenas $1+$1/2. Mas isto quer dizer que, naquela ocasião, ele estava com $1+$1/2 meus e ficou com o dinheiro mais seis meses, à taxa de 100% ao ano, logo, deveria pagar-me: $1+$1/2 + $1/2.($1+$1/2) = ($1+$1/2).($1+$1/2) = ($1+$1/2)2 . No fim do ano isto me daria $2,25, mas, mesmo assim, eu não acharia justo. Eu poderia dividir o ano em um número arbitrário n de partes iguais. Transcorrido 1/n ano, meu capital estaria valendo $1 + $1/n. No fim do segundo período de 1/n ano, eu estaria com ($1 + $1/n)2 e assim por diante. No fim do ano eu deveria receber ($1 + $1/n)n . Mas, como eu posso fazer este raciocínio para todo n, segue-se que o justo e exato valor que eu deveria receber pelo meu $1 emprestado seria, em $: Logo, o valor a ser pago ao final seria de $ 2,71828182... Utilização da Calculadora Financeira HP 12C Esta seção destina-se a explicar alguns recursos básicos da Calculadora Financeira HP 12C para a correta e eficiente solução das expressões matemáticas associadas aos problemas financeiros. Estes recursos são válidos para os modelos “Classic ou Gold” (dourada), “Platinum” e “Prestige”. Ligar e Desligar a calculadora Para Ligar e Desligar a calculadora utilizamos a tecla [ON]. [ON] – Liga a calculadora, caso ela esteja desligada. [ON] – Desliga a calculadora, caso ela esteja ligada. Caso a calculadora permaneça sem utilização durante um intervalo de tempo entre 8 e 17 minutos ela será desligada automaticamente sem perda das informações armazenadas na máquina. A memória da calculadora é contínua, desta forma as informações existentes nos diferentes armazenadores de dados não serão perdidos quando a mesma é desligada manualmente ou automaticamente. Visor O visor da calculadora possui apenas uma linha e nele serão apresentados os dados digitados nas teclas, as respostas das operações realizadas e os estados (ou ajustes) realizados pelo usuário. Indicadores de Estado Existem seis indicadores na parte inferior do visor que exibem o ajuste da calculadora para certas operações e funções. [ f g BEGIN D.MY C PRGN ] Cada um destes estados possui uma ação específica e estão descritos nesta apostila conforme a necessidade da operação. Obs. Ao executar o auto-teste, outros anunciadores [USER] e [GRAD] aparecem no visor. Eles são utilizados em outras calculadoras que compartilham um visor de LCD comum. A HP 12C não possui esses recursos. Teclado O teclado da calculadora é utilizado para a entrada de informações na máquina. As teclas podem apresentar uma, duas ou três funções diferentes. A função estampada na cor branca nas teclas é a primeira função das mesmas e são acionadas simplesmente pressionando as teclas. Em azul (na parte chanfrada da tecla) e em laranja (estampado no painel acima da tecla) estão as demais funções da tecla. Para especificar a função alternativa impressa em laranja acima da tecla, pressione a tecla laranja [f] seguida da tecla com a função desejada. Por exemplo, se desejar utilizar a função [IRR] (em laranja acima da tecla [FV]) primeiro deverá ser pressionada a tecla de prefixo [f] (o estado [f] aparece no mostrador da calculadora) e em seguida a tecla [FV]. Para especificar a função alternativa impressa em azul abaixo da tecla, pressione a tecla azul [g] seguida da tecla com a função desejada. Por exemplo, se desejar utilizar a função [Nj] (em azul abaixo da tecla [FV]) primeiro deverá ser pressionada a tecla de prefixo [g] (o estado [g] aparece no mostrador da calculadora) e em seguida a tecla [FV]. Caso as teclas de prefixo [f] e [g] sejam pressionadas por engano, elas poderão ser canceladas pressionando-se [f] [PREFIX] (em laranja acima da tecla [ENTER]. Limpeza dos Registradores Limpar um registro do visor substitui o número dele por zero. A limpeza da memória de programa substitui as instruções existentes por "g GTO 00". Há várias operações de limpeza na HP 12c, como mostrado na tabela abaixo. Tecla(s) Limpa Pressione CLx (Clear) Mostrador e registro de X Pressione f e CLEAR Σ (somatório) Registros estatísticos (R1 a R6), registros de pilhas e mostrador. Pressione f e CLEAR PRGM Memória de programa (somente quando pressionado no modo Programa) Pressione f e CLEAR FIN Registros financeiros n, i, PV, PMT, FV Pressione f e CLEAR REG Registros de armazenamento de dados, financeiros, de pilha e LAST X e mostrador. A lógica RPN A calculadora HP 12C “Gold” não possui uma das principais teclas das calculadoras em geral, a tecla de igualdade [=]. Isto é decorrente do fato da calculadora operar com uma lógica matemática diferente, chamada de RPN. Esta lógica foi criada com base nos trabalhos do matemático polonês Jan Lukasiewics nos anos 20. É um sistema lógico formal que permite a especificação de expressões matemáticas sem o uso dos parênteses, através da colocação dos operadores antes ou depois dos operandos. Esta notação recebeu o nome de Notação Polonesa em homenagem ao seu criador. A Hewlett-Packard (HP) ajustou esta notação para as calculadoras, mediante a criação das Pilhas de Registradores e denominou a lógica criada de RPN (Reverse Polish Notation ou Notação Polonesa Reversa). Desta forma, nas calculadoras algébricas, a operação 2+3 é realizada fazendo-se [2] [+] [3] [=] [5]. Na lógica RPN da calculadora HP 12C é necessário entrar primeiro com os números e depois com os operadores. Desta forma teremos: [2] [Enter] [3] [+] e o mostrador exibirá a resposta [5]. A função da tecla [Enter] é introduzir os números na calculadora. Paraos modelos Platinum e Prestige é possível ajustar para o módulo de cálculo Algébrico. Separadores de dígitos (milhares e decimal) À medida que um número é digitado, cada grupo de três dígitos à esquerda do indicador decimal é automaticamente separado no visor. Quando a calculadora é ligada pela primeira vez após vir da fábrica - ou após a memória contínua ser reiniciada - o indicador decimal nos números exibidos é um ponto e o separador entre cada grupo de três dígitos é uma vírgula. A calculadora pode ser definida para exibir uma vírgula para o indicador decimal e um ponto para o separador de três dígitos. Para isso, execute os seguintes passos. Desligue a calculadora. Pressione e mantenha pressionada a tecla [.] (separador decimal). Enquanto a mantiver pressionada, pressione e solte a tecla [ON], ou seja, ligue a calculadora. Em seguida, solte a tecla [.] Alterar o número de casas decimais exibidas na calculadora Pressione a tecla laranja [f] e, em seguida, o número de casas desejado (1 a 9) após o indicador decimal. No exemplo a seguir, observe como o número exibido na calculadora - 14.87456320, por exemplo - é arredondado para o número de dígitos especificado. Teclas Visor Observação Pressione f e 4 14,8746 São exibidas 4 casas decimais Pressione f e 1 14,9 É exibida uma casa decimal Pressione f e 0 15, Não são exibidas casas decimais Pressione f e 9 14,87456320 Embora tenham sido especificadas nove casas decimais após f, apenas oito foram exibidas, uma vez que o visor pode exibir apenas um total de 10 dígitos. O formato de exibição padrão mais o número especificado de casas decimais permanecem em vigor até que sejam alterados; eles não são redefinidos cada vez que a calculadora é ligada. No entanto, se a memória contínua for reiniciada, na próxima vez em que a calculadora for ligada, os números serão exibidos no formato de exibição padrão, com duas casas decimais. Se uma resposta calculada for muito pequena ou muito grande para ser exibida no formato de exibição padrão, ele será alternado automaticamente para a notação científica. O visor volta para o formato de exibição padrão para todos os números que podem ser nesse formato. Notação científica (enter exponente) A notação científica é utilizada para representar números muito grandes ou muito pequenos. Por exemplo, se o número [10.000.000] [Enter] 10.000.000 [x] for digitado, o resultado apresentado no visor será [1,000000 14], o que significa "um vezes dez elevado à décima-quarta potência" ou "1,00 com o indicador decimal movido catorze casas para a direita (o expoente é um número positivo)". Digite este número pressionando [1] [EEX] [14] [Enter]. A tecla [EEX] significa "expoente de dez". Os expoentes também podem ser números negativos para números muito pequenos. O número 0,000000000004 é exibido como [4,000000 -12] o que significa "quatro vezes dez elevado à décima-segunda potência negativa" ou "4,0 com o indicador decimal movido 12 casas para a esquerda". Digite este número pressionando [4] [EEX] [12] [CHS] [Enter]. Tecla de comutação, troca ou “swap” (Exchange key) Esta tecla permite a troca de posição dos números inseridos nos registradores da calculadora. Por exemplo, tecle 2 [Enter] 3. A pilha operacional possui o número 2 no registrador interno e o número 3 no registrador x que é o visor da máquina. Caso seja pressionada a tecla [] o cálculos realizado será 2 dividido por 3 e a resposta será 0,6666.... Caso o cálculo desejado fosse 3 dividido por 2 bastaria pressionar [xy] para trocar a posição dos números na memória da máquina e posteriormente pressionar a tecla [] para realizar a operação. A resposta apresentada seria 1,50. Funções de Arredondamento de um número: [PREFIX] Ao pressionar as teclas [f] e [prefix] o mostrador da calculadora irá exibir os 10 dígitos existentes na mantissa (decimal) de um número por alguns instantes. [RND] (Round) Esta tecla arredonda um número na calculadora conforme o número de casas decimais apresentado no visor da calculadora. Por exemplo, a operação 1/3 resulta em 1,333333.... Após ajustar a quantidade de casas decimais desejada e pressionar a função [RND] o número será arredondado para a quantidade de casas decimais ajustada. Por exemplo, ao ajustar a máquina para 3 casas decimais - [f] [3] – e pressionar [f] [RND] o número será arredondado para 1,333 na memória da calculadora. Assim, o número 1,3333....... passou para 1,3330000000... [FRAC] (Fractional) Esta função exclui a parte inteira de um número. Desta forma o número 236,56 após a execução desta função será transformado em 0,56 sendo a parte inteira 256 eliminada do número. Pressione 236,56 [Enter] [g] [FRAC] o número no mostrador será 0,56. Para recuperar o número original basta pressionar [g] [Lst x] [INTG] (Integer) Esta função exclui a parte fracionária de um número. Desta forma o número 236,56 após a execução desta função será transformado em 236 sendo a parte fracionária 0,56 eliminada do número. Pressione 236,56 [Enter] [g] [FRAC] o número no mostrador será 236. Para recuperar o número original basta pressionar [g] [Lst x] Troca de Sinal [CHS] (Change Sign) Esta tecla é utilizada para a introdução de números negativos na calculadora ou para a troca de sinais de respostas obtidas na realização de cálculos. Basta pressionar a tecla [CHS] e o visor irá apresentar o número com sinal positivo (+) ou negativo (-). Inverso de um número [1/x] Esta função calcula o inverso de um número exibido no mostrador da calculadora. Raiz Quadrada de um número - [] A calculadora HP 12C realiza o cálculo direto da raiz quadrada de um número apresentado no mostrador da calculadora. Desta forma basta digitar um número e solicitar a raiz quadrada teclando [g][] Potenciação - [yx] Esta tecla efetua o cálculo de potencias devendo ser informado inicialmente a base da potência e posteriormente o expoente. Para determinar 43 deve ser digitado: 4 [Enter] 3 [yx] o mostrador irá exibir a resposta 64. Cálculo de raízes - [1/x] [yx] Conforme exposto acima a calculadora HP 12C efetua de forma direta apenas o cálculo de uma raiz quadrada, ou seja, índice 2. Entretanto, em alguns cálculos será necessária a determinação de raízes com outros índices. Para o cálculo destas raízes serão utilizadas combinadamente as teclas [1/x] e [yx]. Para o cálculo da devemos observar que o cálculo a ser resolvido 631/5. Assim, deverá ser teclado 63 [Enter] 5 [1/x] [yx] e o mostrador irá exibir a resposta 2,2902 (mostrador ajustado para 4 casas decimais) Logaritmo Natural de um número - [LN] A tecla [Ln] exibe o logarítmo natural de um número existente no mostrador da calculadora. Corresponde ao cálculo de logaritmo na base “e”. Desta forma Ln = Loge. Para determinar um Ln de 8 deverá ser efetuado: 8 [g] [Ln] e será exibido a resposta 2,0794 (mostrador ajustado para 4 casas decimais) Logaritmos em geral - [LN] [LN] Para o cálculo de logaritmos em uma base diferente de “e” basta efetuar a troca da base para logaritmos através da seguinte equação: Assim o Log35 será calculado digitando: 5 [g] [Ln] 3 [g] [Ln] [] e a resposta 1,4650 (mostrador ajustado para 4 casas decimais) Antilogaritmo de um logaritmo natural - [ex] Conhecido o logaritmo natural (Ln) de um número, podemos determinar através desta função o número ou logaritmando. Dado um Ln = 1,791759469 qual foi o logaritmando, ou seja Ln x = 1,791759469. Para determinar o valor de x bastar digitar 1,791759469 [g] [ex] a resposta será 6. Variação Percentual Uma variação de R$ 0,10 (dez centavos) é significativa? Para a correta resposta desta indagação devemos analisar a variação relativa e não a variação absoluta. A variação absoluta é a diferença entre os valores, por exemplo: R$ 56.350,60 – R$ 56.350,50 = R$ 0,10 R$ 0,20 – R$ 0,10 = R$ 0,10 Podemos observar que as variações absolutas em ambos os casos são iguais, entretanto possuemsignificados totalmente diferentes. Para a correta compreensão destas variações devemos verificar as variações relativas. No primeiro exemplo, R$ 56.350,60 – R$ 56.350,50 = R$ 0,10 esta diferença representa uma variação de valores de -0,0002% (dois décimos de milésimos porcento), o que não representa, neste caso, uma variação significativa. Entretanto, no segundo exemplo, R$ 0,20 – R$ 0,10 = R$ 0,10 esta diferença representa uma variação de valores de -50% (cinqüenta porcento) e representa, neste caso, uma variação extremamente significativa. Como seria a análise do aumento da taxa de desemprego, por exemplo. Imagine que ela saísse de 8% e fosse para 9%. Em termos absolutos a variação foi de 1%, e o governo iria anunciar que o crescimento do desemprego foi baixo. Entretanto a variação percentual foi de 12,50%, um crescimento bastante significativo. Conversão de Unidades de Tempo Na matemática financeira é muito comum a realização de cálculos para a mudança de unidades de medida de tempo, sem alterar o espaço temporal previsto contratualmente. Por exemplo, o espaço de tempo de 1 ano equivale a 12 meses, 6 bimestres, 4 trimestres, 3 quadrimestres e 2 semestres ou seja, o mesmo espaço de tempo pode ser mensurado em diferentes unidades. As unidades de tempo comumente utilizadas nos cálculos financeiros são: Dia Mês Bimestre Trimestre Quadrimestre Semestre Ano Para CONVERSÕES de prazo e taxas utilizamos o Calendário Comercial (mês com 30 dias e ano com 360 dias). Por exemplo, 60 dias equivalem a 2 meses, ou seja, 60/30 = 2 meses, não importando os meses a que nos referimos. Para CONTAGEM de prazos utilizamos o Calendário Civil (mês com 28, 29, 30 ou 31 dias e o ano com 365 ou 366 dias) Por exemplo, entre os dias 01 de Julho de 2012 e 31 de Setembro de 2012 temos 62 dias, ou seja, devem ser contados os dias reais entre as datas, importando os meses com 28, 29, 30 ou 31 dias. Entretanto, convertendo 62 dias em meses teremos: 62/30 = 2,0667 meses. As relações básicas para conversão são: Referência: 1 Ano 1 Semestre 1 Quadrimestre 1 Trimestre Dias 360 180 120 90 Meses 12 6 4 3 Bimestres 6 3 2 1,5 6 Trimestres 4 2 1,3333 3 1 Quadrimestres 3 1,5 1 1 0,75 7 Semestres 2 1 0,6667 4 0,5 8 Anos 1 0,5 2 0,3333 5 0,25 9 Observações: Para a realização das conversões é necessária a solução de um cálculo de Regra de Três Simples. 1) 1 quadrimestre 4 meses X quadrimestre 6 meses (1 semestre) 6 1 = X 4 X = = 1,5 quadrimestres 2) 1 ano 2 semestres X ano 1 semestre 1 1 = X 2 X = = 0,5 anos 3) 1 trimestre 3 meses X trimestre 4 meses (1 quadrimestre) 1 4 = X 3 X = = 1,3333 trimestres 4) 1 semestre 6 meses X semestre 4 meses (1 quadrimestre) 1 4 = X 6 X = = 0,6667 semestres 5) 1 ano 12 meses X ano 4 meses (1 quadrimestre) 1 4 = X 12 X = = 0,3333 ano 6) 1 bimestre 2 meses X bimestres 3 meses (1 trimestre) 1 3 = X 2 X = = 1,5 bimestres 7) 1 quadrimestre 4 meses X quadrimestre 3 meses (1 trimestre) 1 3 = X 4 X = = 0,75 quadrimestres 8) 1 semestre 2 trimestres X semestre 1 trimestre 1 1 = X 2 X = = 0,5 semestres 9) 1 ano 4 trimestres X ano 1 trimestre 1 1 = X 4 X = = 0,25 anos Referência: 1 Bimestre 1 Mês 1 Dia Dias 60 30 1 Meses 2 1 0,0333 10 Bimestres 1 0,5 5 0,0167 11 Trimestres 0,6667 1 0,3333 6 0,0111 12 Quadrimestres 0,5 2 0,25 7 0,0083 13 Semestres 0,3333 3 0,16667 8 0,0056 14 Anos 0,1667 4 0,0833 9 0,0028 15 Observações: 1) 1 trimestre 1,5 bimestres X trimestre 1 bimestre 1 1 = X 1,5 X = = 0,6667 trimestres 2) 1 quadrimestre 2 bimestres X quadrimestre 1 bimestre 1 1 = X 2 X = = 0,5 quadrimestres 3) 1 semestre 3 bimestres X semestre 1 bimestre 1 1 = X 3 X = = 0,3333 semestres 4) 1 ano 6 bimestres X ano 1 bimestre 1 1 = X 6 X = = 0,1667 anos 5) 1 bimestre 2 meses X bimestres 1 mês 1 1 = X 2 X = = 0,5 bimestre 6) 1 trimestre 3 meses X trimestres 1 mês 1 1 = X 3 X = = 0,3333 trimestres 7) 1 quadrimestre 4 meses X quadrimestre 1 mês 1 1 = X 4 X = = 0,25 quadrimestres 8) 1 semestre 6 meses X semestre 1 mês 1 1 = X 6 X = = 0,1667 semestres 9) 1 ano 12 meses X ano 1 mês 1 1 = X 12 X = = 0,0833 anos 10) 1 mês 30 dias X mês 1 dia 1 1 = X 30 X = = 0,0333 meses 11) 1 bimestre 60 dias X bimestres 1 dia 1 1 = X 60 X = = 0,0167 bimestre 12) 1 trimestre 90 dias X trimestres 1 dia 1 1 = X 90 X = = 0,0111 trimestres 13) 1 quadrimestre 120 dias X quadrimestre 1 dia 1 1 = X 120 X = = 0,0083 quadrimestres 14) 1 semestre 180 dias X semestre 1 dia 1 1 = X 180 X = = 0,0056 semestres 15) 1 ano 360 dias X ano 1 dia 1 1 = X 360 X = = 0,0028 anos Vamos praticar!!!! EXERCÍCIOS PROPOSTOS 01) Para praticar com sua calculadora (de preferência financeira), realize os cálculos abaixo. Lembre-se: Primeiro: Potências ou raízes ou logaritmos; Segundo: Multiplicações ou divisões; Terceiro e Final: Adições ou subtrações. Além disto, você deverá resolver antes as operações entre parênteses ( ), colchetes [ ] e chave { } nesta ordem. Uma dica para a correta resolução dos exercícios abaixo é reescrevê-lo, obedecendo a correta colocação matemática. Por exemplo, a equação (4x5+1/(8+6/3)x3)+9 corresponde a: Agora é com você! 1) 147 + 220 - 440 + 1020 - 200 2) 277 - 2 + 458 - 7598 + 7 3) (5 x 10 x 40 / 20) / (30 x 2) 4) ((75 x 12 / 4 x 5) x 7) / 4 5) 32 +7 / 5 - 3 + 4 / (5 x 3) 6) 72 x 7 x 8 / 4 - 1 + 3 / 8 7) (47 - 8) / 7 x (5 + 4) - 8 / (2 x 3) 8) [2 x (73 - 4 x 2) + 5] / [34 - (78 x 4 - 1) / 3] 9) [5 / {12 + (54 - 3 x 5)} x 7] - 2 10) [20 + 4 x (3 - 2 + 5 / 3)] x [28 / (4 - 7)] 02) Calcular as seguintes potências: Potenciação - [yx] 23 34 64 53 56 102 105 109 1010 112 918 0,54 0,332 1,53 1,754 1,0312 1,096 1,8024 1,0752 1,0003360 1,0011365 21 22 23 24 25 26 27 28 29 210 –24 –(2)4 (-2)4 20,75 70,90 300,09 100,5 1000,5 40,5 40,2 1,330,75 1,701,25 1,090,35 20,1 60,009 15-3 21-9 98-0,98 50-9 03) Calcular as seguintes raízes: Cálculo de raízes - [1/x] [yx] X3=9 X5=25 X3=27 X4=256 X2=1,5 X3=1,5 X4=1,5 X6=1,5 X12=1,5 X360=1,5 X2=1,95 X3=1,95 X4=1,95 X6=1,95 X12=1,95 X360=1,95 X2=1,035 X3=1,035 X4=1,035 X6=1,035 X12=1,035 X360=1,035 X-2=7 X1/2=7 X-9=88 X1/9=88 X1/3=9 X1/2=8 X1/5=25 X1/9=81 04) Calcular os seguintes logaritmos: Logaritmo Natural de um número - [LN] 2x=8 3 x =27 29 x =1 56 x =1 35 x =35 78 x =78 12,9 x =12,9 3 x =0 9 x =0 –5 x =0 –77 x =0 33 x =4 91 x =6,7 12,3 x =6 65,09 x =12 120 x =240 1,33 x =2 1,009x =1,9 1,0005 x =3 6 x =7 log2,718281 4 log2,718281 56 log2,718281 7 log2,718281 10 log2,718281 35,6 log2,7182 12,9 loge 4 loge 56 loge 7 loge 10 loge 35,6 loge 21 loge 96 loge 1,98 loge –57 loge -5 Ln 4 Ln 56 Ln 7 Ln 10 Ln 35,6 Ln 21 Ln –57 Ln –5 Ln 1,33 Ln 2 Ln 1,009 Ln 1,98 Ln 2,1 Ln 1 05) Agora que você já está “craque” no uso dos recursos de sua calculadora, vamos resolver algumas expressões algébricas. Para tanto, foi definida uma equação padrão e, em uma tabela, serão fornecidos os valores das variáveis desta equação. Caberá a vocêcompletar o quadro através da resolução da equação padrão. Equação padrão 1: A = B ( 1 + C ) Exemplo: Supondo que B = 120 e C = 0,50. Substituindo na equação acima teremos: A = 120 ( 1 + 0,50 ) A = 120 x 1,50 0 que resulta em A= 180 Agora, você deve resolver conforme a tabela de variáveis: Item A B C 1 ? 500 2 2 ? 890 9 3 ? 1.200 1 4 ? 5.600 0,90 5 ? 700 -0,50 6 ? 50.000 1,30 7 ? 1.980 -0,33 8 ? 560,20 0,045 9 ? 1.098,77 -0,09 10 ? 700,90 0,77 11 100 200 ? 12 1 100 ? 13 2.000.000 2 ? 14 450 520 ? 15 600 400 ? 16 1.250 890 ? 17 908,90 1.234,09 ? 18 452 904 ? 19 0,00 500 ? 20 560 0,00 ? 21 700 ? 0,20 22 908,71 ? 0,42 23 390 ? 0,50 24 5.600 ? 1,00 25 -871 ? -0,58 26 5.678,09 ? 5 27 1.090.800 ? 1,00054 28 567,45 ? 1,3345 29 -900 ? 1,0568 30 870,90 ? 1,0323 Equação padrão 2: A = B ( 1 + C.D ) Obs. C.D significa C vezes D (a multiplicação é representada através de um ponto .) Exemplo 1) Supondo B = 500, C = 0,20 e D = 3, tem-se a seguinte equação: A = 500 ( 1 + 0,20.3 ) Como você já sabe, primeiro os parênteses, e dentro destes primeiro a multiplicação/divisão e posteriormente a adição/subtração. Assim temos: A = 500 ( 1 + 0,60 ) A = 500.1,60 A = 800,00 Exemplo 2) Supondo A = 500, C = 0,20 e D = 3, tem-se a seguinte expressão: 500 = B ( 1 + 0,20.3 ) 500 = B ( 1 + 0,60 ) 500 = B 1,60 B = 312,50 Exemplo 3) Supondo A = 500, B = 200 e D = 3, tem-se a seguinte expressão: 500 = 200 ( 1 + C.3 ) 2,50 = 1 + 3C 2,50 – 1 = 3C 1,50 = 3C C = 0,50 Item A B C D 1 ? 100 2 5 2 ? 2.000 2,5 10 3 ? 5.600 0,33 12 4 ? 13.000 0,50 6 5 ? 19.890 0,90 4 6 ? 1.289,89 0,0005 360 7 ? 8.905,80 0,0065 180 8 ? 589,50 0,075 0,6667 9 ? -131,90 0,012 0,75 10 ? 1.000.000 0,00001 360 11 200 100 ? 6 12 5.000 4.300 ? 3 13 10.000 8.900 ? 1,75 14 980 789,32 ? 1,33 15 325 200,30 ? 0,25 16 123,23 23,23 ? 0,75 17 890,56 1.600 ? 3 18 1.235,78 2.470 ? 4 19 1,10 1,05 ? 2 20 0,90 0,30 ? 1 21 300 ? 1 12 22 120 ? 2 1 23 3.000 ? 0,75 0,75 24 960 ? 1,35 3 25 546,30 ? 1,99 0,45 26 -233,20 ? 0,21 0,6667 27 900 ? 0,95 0,21 28 560,91 ? -0,35 0,35 29 12,10 ? -1,20 0,0045 30 1,05 ? 0,005 360 31 500 500 2 ? 32 890 3.000 0,00035 ? 33 1.200 1.200 0,45 ? 34 5.600 11.200 0,50 ? 35 700 500 0,02 ? 36 50.000 10.000 0,045 ? 37 1.980 980 0,025 ? 38 560,20 435,32 0,0001 ? 39 1.098,77 903,09 1 ? 40 700,90 560,20 0,23 ? Equação padrão 3: A = B ( 1 + C ) D Exemplo 1) Supondo B = 500, C = 0,10 e D = 3, tem-se a seguinte expressão: A = 500 ( 1 + 0,10 )3 A = 500.1,103 A = 500.1,331000 A = 665,50 Exemplo 2) Supondo A = 500, C = 0,10 e D = 3, tem-se a seguinte expressão: 500 = B ( 1 + 0,10 )3 500 = B . 1,103 500 = B .1,331000 B = 375,6574 Exemplo 3) Supondo A = 1.000, B = 500 e D = 3, tem-se a seguinte expressão: 1.000 = 500 ( 1 + C )3 2 = ( 1 + C )3 Para a solução desta expressão basta extrair a raíz 3 (cúbica) de ambos os membros da igualdade. Assim: 1,2259 = 1 + C 1,2259 – 1 = C C = 0,2259 Exemplo 4) Supondo A = 800, B = 250 e C = 0,10 , tem-se a seguinte expressão: 800 = 250 ( 1 + 0,10 )D 800 = 250 ( 1,10 )D 3,20 = 1,10D A solução desta expressão implica no cálculo de um logaritmo, desta forma: Log1,103,20 = D Para a determinação do logaritmo em uma calculadora deveremos utilizar a função de Logaritmo Natural [Ln]. Portanto: D = 12,2038 Item A B C D 1 ? 100 2 5 2 ? 2.000 2,5 10 3 ? 5.600 0,33 12 4 ? 13.000 0,50 6 5 ? 19.890 0,90 4 6 ? 1.289,89 0,0005 360 7 ? 8.905,80 0,0065 180 8 ? 589,50 0,075 0,6667 9 ? -131,90 0,012 0,75 10 ? 1.000.000 0,00001 360 11 200 100 ? 6 12 5.000 4.300 ? 3 13 10.000 8.900 ? 1,75 14 980 789,32 ? 1,33 15 325 200,30 ? 0,25 16 123,23 23,23 ? 0,75 17 890,56 1.600 ? 3 18 1.235,78 2.470 ? 4 19 1,10 1,05 ? 2 20 0,90 0,30 ? 1 21 300 ? 1 12 22 120 ? 2 1 23 3.000 ? 0,75 0,75 24 960 ? 1,35 3 25 546,30 ? 1,99 0,45 26 -233,20 ? 0,21 0,6667 27 900 ? 0,95 0,21 28 560,91 ? -0,35 0,35 29 12,10 ? -1,20 0,0045 30 1,05 ? 0,005 360 31 500 500 2 ? 32 890 3.000 0,00035 ? 33 1.200 1.200 0,45 ? 34 5.600 11.200 0,50 ? 35 700 500 0,02 ? 36 50.000 10.000 0,045 ? 37 1.980 980 0,025 ? 38 560,20 435,32 0,0001 ? 39 1.098,77 903,09 1 ? 40 700,90 560,20 0,23 ? 06) Completar o quadro abaixo realizando as devidas conversões. Para tanto considerar: - Para conversões de prazo e taxas utilizamos o Calendário Comercial (mês com 30 dias e ano com 360 dias) - Para contagem de prazos utilizamos o Calendário Civil (mês com 28, 29, 30 ou 31 dias e o ano com 365 ou 366 dias) Base Dias Meses Bimes-tres Trimes- tres Quadri- mestres Semes- tres Anos 1 dia 1 mês 1 bimestre 1 trimestre 1 quadrimestre 1 semestre 1 ano 15 dias 99 dias 17 meses 3,75 meses 2,3 bimestres 9 bimestres 3 trimestres 2,22 trimestres 10 quadrim. 0,75 quadrim. 6 semestres 7,8 sem. 07) Ajuste os prazos abaixo para ___Anos ___Meses ___Dias. Lembre que a fração de DIA deve ser arredondada para o próximo inteiro. Exemplos: 2,5 anos = 2 anos e 6 meses. (Cuidado! Está errado responder 2 anos e 5 meses. Lembre que 0,5 ano – meio ano – equivale a 6 meses). 6,3824 quadrimestres Passo a passo teremos: Para facilitar vamos ajustar para meses > 6,3824 x 4 = 25,5296 meses. Agora vamos ajustar para ano: 25,5296 / 12 = 2,1275 anos. Assim temos 2 anos inteiros. Resta 0,1275 ano, que será ajustado para meses > 0,1275 x 12 = 1,5296 meses. Assim temos 1 mês inteiro. Finalmente vamos ajustar 0,5296 mês para dia > 0,5296 x 30 = 15,8880. Como resultou em fração de dia vamos arredondar para o próximo inteiro, ou seja, 16 dias. Resposta: 6,3824 quadrimestres = 2 anos 1 mês e 16 dias. Observe os outros exemplos 3,75 semestres Para facilitar vamos ajustar para meses > 3,75 x 6 = 22,50 meses. Agora vamos ajustar para ano: 22,50 / 12 = 1,8750 anos. Assim temos 1 ano inteiro. Resta 0,8750 ano, que será ajustado para meses > 0,8750 x 12 = 10,50 meses. Assim temos 10 meses inteiros. Finalmente vamos ajustar 0,50 mês para dia > 0,50 x 30 = 15 dias. Resposta: 3,75 semestres = 1 ano 10 meses e 15 dias 8,3747 quadrimestres Para facilitar vamos ajustar para meses > 8,3747 x 4 = 33,4988 meses. Agora vamos ajustar para ano: 33,4988 / 12 = 2,7916 anos. Assim temos 2 anos inteiros. Resta 0,7916 ano, que será ajustado para meses > 0,7916 x 12 = 9,4988meses. Assim temos 9 meses inteiros. Finalmente vamos ajustar 0,4988 mês para dia > 0,4988 x 30 = 14,9640 dias. Como resultou em fração de dia vamos arredondar para o próximo inteiro, ou seja, 15 dias. Resposta: 8,3747 quadrimestres = 2 anos 9 meses e 15 dias. 18,2132 bimestres Para facilitar vamos ajustar para meses > 18,2132 x 2 = 36,4264 meses. Agora vamos ajustar para ano: 36,4264 / 12 = 3,0355 anos. Assim temos 3 anos inteiros. Resta 0,0355 ano, que será ajustado para meses > 0,0355 x 12 = 0,4264 mês. Agora temos 0 – zero – meses inteiros. Portanto vamos ajustar para dia. Finalmente vamos ajustar 0,4264 mês para dia > 0,4264 x 30 = 12,7920 dias. Como resultou em fração de dia vamos arredondar para o próximo inteiro, ou seja, 13 dias. Resposta: 18,2132 bimestres = 36,4264 meses = 3 anos e 13 dias. Expresse os prazos abaixo em xx anos xx meses e xx dias, conforme os exemplos acima: 0,75 anos; 3,18 semestres; 1480 dias; 0,6754 quadrimestres; 18,3322 trimestres; 8,65 meses; 2,0759 anos. Respostas dos Exercícios Propostos Exercício 01: 1 747,0000 6 1.007,3750 2 -6.858,0000 7 48,8095 3 1,6667 8 -1,9378 4 1.968,7500 9 -1,3137 5 30,6667 10 -286,2222 Exercício 02: 1 8,0000 26 32,0000 2 81,0000 27 64,0000 3 1.296,0000 28 128,0000 4 125,0000 29 256,0000 5 15.625,0000 30 512,0000 6 100,0000 31 1.024,0000 7 100.000,0000 32 -16,0000 8 1.000.000.000,0000 33 -16,0000 9 10.000.000.000,0000 34 16,0000 10 121,0000 35 1,6818 11 150.094.635.296.999.000,0000 Ou 1,5009 17 = 1,5009x10^17 (notação científica) 36 5,7622 12 0,0625 37 1,3581 13 0,1089 38 3,1623 14 3,3750 39 10,0000 15 9,3789 40 2,0000 16 1,4258 41 1,3195 17 1,6771 42 1,2385 18 1.338.258,8451 43 1,9412 19 1,1556 44 1,0306 20 1,1140 45 1,0718 21 1,4937 46 1,0163 22 2,0000 47 0,0003 23 4,0000 48 0,0000000000012590017894878900 Ou 1,2590 -12 = 1,2590x10^ -12 (notação científica) 24 8,0000 49 0,0112 25 16,0000 50 0,0000000000000005120000000000 Ou 5,1200 -16 = 5,1200x10^ -16 (notação científica) Exercício 03: 1 2,0801 26 316.478.381.828.866.000,0000 Ou 3,1648 17 = 3,1648x10^17 (notação científica) 2 1,9037 27 729,0000 3 3,0000 28 64,0000 4 4,0000 29 9.765.625,0000 5 1,2247 30 150.094.635.296.999.000,0000 Ou 1,5009 17 = 1,5009x10^17 (notação científica) 6 1,1447 31 5,0000 7 1,1067 32 2,2361 8 1,0699 33 1,5838 9 1,0344 34 0,5000 10 1,0011 35 0,7579 11 1,3964 36 1,6479 12 1,2493 37 1,4142 13 1,1817 38 1,2599 14 1,1177 39 1,1892 15 1,0572 40 1,1225 16 1,0019 41 1,0595 17 1,0173 42 1,0019 18 1,0115 43 1,3229 19 1,0086 44 1,2051 20 1,0058 45 1,1502 21 1,0029 46 1,0978 22 1,0001 47 1,0477 23 0,3780 48 1,0016 24 49,0000 49 Não Existe Resposta para este cálculo em Números Reais! 25 0,6081 50 1,2055 Exercício 04: 1 3,0000 26 2,5572 2 3,0000 27 1,3863 3 0,0000 28 4,0254 4 0,0000 29 1,9459 5 1,0000 30 2,3026 6 1,0000 31 3,5723 7 1,0000 32 3,0445 8 Não existe o logaritmo do número Zero! 33 4,5643 9 Não existe o logaritmo do número Zero! 34 0,6831 10 Não existe o logaritmo do número Zero! 35 Não existe resposta. A base do logaritmo é positiva e o logaritmando é negativo. 11 Não existe o logaritmo do número Zero! 36 Não existe resposta. A base do logaritmo é positiva e o logaritmando é negativo. 12 0,3965 37 1,3863 13 0,4217 38 4,0254 14 0,7140 39 1,9459 15 0,5951 40 2,3026 16 1,1448 41 3,5723 17 2,4306 42 3,0445 18 71,6375 43 Não existe resposta. A base do logaritmo é positiva e o logaritmando é negativo. 19 2.197,7738 44 Não existe resposta. A base do logaritmo é positiva e o logaritmando é negativo. 20 1,0860 45 0,2852 21 1,3863 46 0,6931 22 4,0254 47 0,0090 23 1,9459 48 0,6831 24 2,3026 49 0,7419 25 3,5723 50 0,0000 Exercício 05: Equação Padrão 1: A = B ( 1 + C ) Item A B C 1 1.500,00 500,00 2,00000 2 8.900,00 890,00 9,00000 3 2.400,00 1.200,00 1,00000 4 10.640,00 5.600,00 0,90000 5 350,00 700,00 -0,50000 6 115.000,00 50.000,00 1,30000 7 1.326,60 1.980,00 -0,33000 8 585,41 560,20 0,04500 9 999,88 1.098,77 -0,09000 10 1.240,59 700,90 0,77000 11 100,00 200,00 -0,50000 12 1,00 100,00 -0,99000 13 2.000.000,00 2,00 999.999,00000 14 450,00 520,00 -0,13462 15 600,00 400,00 0,50000 16 1.250,00 890,00 0,40449 17 908,90 1.234,09 -0,26351 18 452,00 904,00 -0,50000 19 0,00 500,00 -1,00000 20 560,00 0,00 Não existe resp. 21 700,00 583,33 0,20000 22 908,71 639,94 0,42000 23 390,00 260,00 0,50000 24 5.600,00 2.800,00 1,00000 25 -871,00 -2.073,81 -0,58000 26 5.678,09 946,35 5,00000 27 1.090.800,00 545.252,78 1,00054 28 567,45 243,07 1,33450 29 -900,00 -437,57 1,05680 30 870,90 428,53 1,03230 Equação Padrão 2: A = B ( 1 + C.D ) Item A B C D 1 1.100,00 100,00 2,00000 5,00000 2 52.000,00 2.000,00 2,50000 10,00000 3 27.776,00 5.600,00 0,33000 12,00000 4 52.000,00 13.000,00 0,50000 6,00000 5 91.494,00 19.890,00 0,90000 4,00000 6 1.522,07 1.289,89 0,00050 360,00000 7 19.325,59 8.905,80 0,00650 180,00000 8 618,98 589,50 0,07500 0,66670 9 -133,09 -131,90 0,01200 0,75000 10 1.003.600,00 1.000.000,00 0,00001 360,00000 11 200,00 100,00 0,16667 6,00000 12 5.000,00 4.300,00 0,05426 3,00000 13 10.000,00 8.900,00 0,07063 1,75000 14 980,00 789,32 0,18164 1,33000 15 325,00 200,30 2,49026 0,25000 16 123,23 23,23 5,73970 0,75000 17 890,56 1.600,00 -0,14780 3,00000 18 1.235,78 2.470,00 -0,12492 4,00000 19 1,10 1,05 0,02381 2,00000 20 0,90 0,30 2,00000 1,00000 21 300,00 23,08 1,00000 12,00000 22 120,00 40,00 2,00000 1,00000 23 3.000,00 1.920,00 0,75000 0,75000 24 960,00 190,10 1,35000 3,00000 25 546,30 288,21 1,99000 0,45000 26 -233,20 -204,56 0,21000 0,66670 27 900,00 750,31 0,95000 0,21000 28 560,91 639,21 -0,35000 0,35000 29 12,10 12,17 -1,20000 0,00450 30 1,05 0,38 0,00500 360,00000 31 500,00 500,00 2,00000 0,00000 32 890,00 3.000,00 0,00035 -2.009,52381 33 1.200,00 1.200,00 0,45000 0,00000 34 5.600,00 11.200,00 0,50000 -1,00000 35 700,00 500,00 0,02000 20,00000 36 50.000,00 10.000,00 0,04500 88,88889 37 1.980,00 980,00 0,02500 40,81633 38 560,20 435,32 0,00010 2.868,69429 39 1.098,77 903,09 1,00000 0,21668 40 700,90 560,20 0,23000 1,09200 Equação Padrão 3: A = B ( 1 + C )D Item A B C D 1 24.300,00 100,00 2,00000 5,00000 2 551.709.470,7 2.000,00 2,50000 10,00000 3 171.556,71 5.600,00 0,33000 12,00000 4 148.078,13 13.000,00 0,50000 6,00000 5 259.208,47 19.890,00 0,900004,00000 6 1.544,21 1.289,89 0,00050 360,00000 7 28.585,99 8.905,80 0,00650 180,00000 8 618,62 589,50 0,07500 0,66670 9 -133,09 -131,90 0,01200 0,75000 10 1.003.606,47 1.000.000,00 0,00001 360,00000 11 200,00 100,00 0,12246 6,00000 12 5.000,00 4.300,00 0,05156 3,00000 13 10.000,00 8.900,00 0,06886 1,75000 14 980,00 789,32 0,17667 1,33000 15 325,00 200,30 5,93122 0,25000 16 123,23 23,23 8,25173 0,75000 17 890,56 1.600,00 -0,17741 3,00000 18 1.235,78 2.470,00 -0,15897 4,00000 19 1,10 1,05 0,02353 2,00000 20 0,90 0,30 2,00000 1,00000 21 300,00 0,07 1,00000 12,00000 22 120,00 40,00 2,00000 1,00000 23 3.000,00 1.971,71 0,75000 0,75000 24 960,00 73,97 1,35000 3,00000 25 546,30 333,72 1,99000 0,45000 26 -233,20 -205,37 0,21000 0,66670 27 900,00 782,23 0,95000 0,21000 28 560,91 652,19 -0,35000 0,35000 29 12,10 Não há resp. -1,20000 0,00450 30 1,05 0,17 0,00500 360,00000 31 500,00 500,00 2,00000 0,00000 32 890,00 3.000,00 0,00035 -3.472,45355 33 1.200,00 1.200,00 0,45000 0,00000 34 5.600,00 11.200,00 0,50000 -1,70951 35 700,00 500,00 0,02000 16,99129 36 50.000,00 10.000,00 0,04500 36,56410 37 1.980,00 980,00 0,02500 28,48218 38 560,20 435,32 0,00010 2.522,25080 39 1.098,77 903,09 1,00000 0,28295 40 700,90 560,20 0,23000 1,08240 Matemática Financeira – Prof. João Roberto Rezende Página 111 Exercício 06 Para estes cálculos devemos utilizar o Calendário Comercial: Mês com 30 dias e o Ano com 360 dias. Base Dias Meses Bimestres Trimestres Quadrimestres Semestres Anos 1 dia 1,0000 0,0333 0,0167 0,0111 0,0083 0,0056 0,0028 1 mês 30,0000 1,0000 0,5000 0,3333 0,2500 0,1667 0,0833 1 bimestre 60,0000 2,0000 1,0000 0,6667 0,5000 0,3333 0,1667 1 trimestre 90,0000 3,0000 1,5000 1,0000 0,7500 0,5000 0,2500 1 quadrimestre 120,0000 4,0000 2,0000 1,3333 1,0000 0,6667 0,3333 1 semestre 180,0000 6,0000 3,0000 2,0000 1,5000 1,0000 0,5000 1 ano 360,0000 12,0000 6,0000 4,0000 3,0000 2,0000 1,0000 15 dias 15,0000 0,5000 0,2500 0,1667 0,1250 0,0833 0,0417 99 dias 99,0000 3,3000 1,6500 1,1000 0,8250 0,5500 0,2750 17 meses 510,0000 17,0000 8,5000 5,6667 4,2500 2,8333 1,4167 3,75 meses 112,5000 3,7500 1,8750 1,2500 0,9375 0,6250 0,3125 2,3 bimestres 138,0000 4,6000 2,3000 1,5333 1,1500 0,7667 0,3833 9 bimestres 540,0000 18,0000 9,0000 6,0000 4,5000 3,0000 1,5000 3 trimestres 270,0000 9,0000 4,5000 3,0000 2,2500 1,5000 0,7500 2,22 trimestres 199,8000 6,6600 3,3300 2,2200 1,6650 1,1100 0,5550 10 quadrimest. 1.200 40,0000 20,0000 13,3333 10,0000 6,6667 3,3333 0,75 quadrim. 90,0000 3,0000 1,5000 1,0000 0,7500 0,5000 0,2500 6 semestres 1.080 36,0000 18,0000 12,0000 9,0000 6,0000 3,0000 7,8 semestres 1.404 46,8000 23,4000 15,6000 11,7000 7,8000 3,9000 Exercício 07: 9 meses; 1 ano 7 meses 3 dias (arredondando os dias); 4 anos 1 mês 10 dias; 2 meses 22 dias (arredondando os dias); 4 anos 6 meses 30 dias (arredondando os dias), ou seja, 4 anos e 7 meses; 8 meses 20 dias; 2 anos 28 dias (arredondando os dias). MATEMÁTICA FINANCEIRA “... - O que o senhor deseja? – perguntou a velha em tom severo, entrando no quarto e como antes postando-se bem diante dele para fitá-lo de frente no rosto. - Trouxe isso para penhorar, veja! – E tirou do bolso um velho relógio de algibeira, chato e de prata. Tinha um globo gravado no fundo. E a corrente de aço. - Mas acontece que o empréstimo anterior já venceu. Faz três dias que venceu. - Eu vou lhe pagar os juros par mais um mês: espere um pouco. - Ora, meu caro, depende da minha boa vontade de esperar ou ir logo vendendo o seu objeto. - A senhora me dá um bom dinheiro pelo relógio, Aliena Ivánovna? - O senhor me traz uma coisa imprestável, meu caro, não vou dar nada, convenha que não vale a pena. Da última vez eu lhe dei duas notinhas pelo seu anel, e dava para comprá-lo novinho no joalheiro por um rublo e meio. - Dê-me uns quatro rublos, eu vou resgatá-lo, foi do meu pai. Brevemente vou receber dinheiro. - Um rublo e meio, e descontando os juros, se quiser. - Um rublo e meio! – exclamou o jovem. - Se quiser. - E a velha lhe devolveu o relógio. O jovem o recebeu e ficou tão zangado que fez menção de sair; mas pensou melhor, lembrando-se que não tinha mais aonde ir e que estava ali por outro motivo. A velha meteu a mão no bolso a fim de tirar as chaves e foi para o outro quarto atrás da cortina. Sozinho no centro do quarto, o jovem ficou de ouvido atento, tomado de curiosidade e refletindo. Dava para ouvi-la abrindo a cômoda. “Pelo visto é a gaveta de cima – refletiu ele. – Quer dizer que é no bolso direito que ela guarda as chaves... Todas num molho só, com argola de aço... E tem uma maior que as outras, três vezes maior, com palhetão dentado que essa não é da cômoda... Logo, existe mais algum porta-jóias, ou um bauzinho. Isso que é curioso. Os bauzinhos sempre têm esses tipo de chave... Pensando bem, como tudo isso é vil...” A velha voltou. - Ai esta meu caro: já que os juros são de dez copeques por rublo ao mês, por um rublo e meio cabe-lhe o desconto de quinze copeques por um mês adiantado. E por aqueles dois rublos atrasados ainda tenho de lhe descontar vinte copeques de acordo com o mesmo cálculo. Isso significa que ao todo são trinta e cinco copeques. Agora lhe cabe receber o total de um rublo e quinze copeques pelo relógio. Aqui está, receba. - Como? Então agora é um rublo e quinze copeques? - Exatamente. O jovem não discutiu e recebeu o dinheiro. Ficou olhando para a velha, sem pressa de sair, como se ainda quisesse dizer ou fazer alguma coisa, mas era como se ele mesmo não soubesse precisamente o quê... - Aliena Ivánovna, é possível que por esses dias eu ainda lhe traga um objeto... de prata, coisa boa... uma cigarreira... que um amigo vai me devolver... – Perturbou-se e calou. - Na ocasião falaremos disso, meu caro. ...” “CRIME E CASTIGO” Fiódor Dostoievski Em 1866 Introdução A função fundamental da Matemática Financeira é regular os contratos em que as transações não são liquidadas à vista. Assim, o campo de aplicação da Matemática Financeira é extremamente amplo, e encontra aplicações desde o orçamento familiar até a análise de grandes projetos industriais, como, por exemplo, a construção de uma fábrica ou mesmo de uma missão espacial! Os cálculos financeiros são decorrentes do reconhecimento que o valor dinheiro não é constante no tempo. Desta forma, o valor do dinheiro sofre variações – para cima e para baixo – no decorrer do tempo. Vários são os fatores que atuam para esta depreciação ou apreciação. O fenômeno da inflação como um agente depreciador do valor do dinheiro é familiar a muitas economias, sendo que o Brasil ainda trava uma grande batalha contra o “dragão da inflação”. Contrário ao processo de inflação a deflação causa uma apreciação ou valorização do dinheiro, na medida em que aumenta o seu poder de compra. Não somente estes processos causam a variação do dinheiro no tempo. Podemos entender o dinheiro como uma mercadoria, que esta sujeita a inúmeras variações em função das condições do mercado financeiro, influenciado por ações políticas nacionais e internacionais, oferta e procura (como nas operações de câmbio), guerras e conflitos, entre outros inúmeros fatores. Destaforma, o cálculo financeiro surge quando o produto transacionado é a moeda, produto este negociado nos mercados financeiros ou simplesmente entre duas pessoas em algum lugar. Portanto, o prazo ou intervalo de tempo de uma transação financeira é que irá determinar a realização ou não de um cálculo financeiro. Para as operações realizadas a vista (e não a perder de vista!), ou seja, com o imediato pagamento dos produtos ou serviços transacionados temos que o intervalo de tempo é igual a zero, uma vez que a troca mercadoria x moeda é realizada no mesmo momento. É importante destacar que pagamento A VISTA significa que a moeda é colocada a disposição no mesmo momento em que são entregues os produtos ou serviços. Desta forma, não caracteriza uma transação a vista o pagamento antecipado, como a assinatura de jornais e revistas para recebimento em data futura, assim como às condições pagamento a vista com 7 dias tão comuns nas negociações comerciais. Absurdas também são as ofertas das grandes redes supermercadistas e de móveis, que anunciam preço à vista para pagamento em até 24 parcelas mensais sem acréscimo no valor à vista! Para a satisfação das suas inúmeras necessidades, e desejos, as pessoas realizam a aquisição de alimentos, vestuários, medicamentos, livros, móveis, serviços e inúmeras outras coisas, como automóveis, jóias, viagens, etc... No passado, estas aquisições eram realizadas através do escambo, ou troca de mercadorias e serviços. No mundo inteiro, artigos que vão do sal ao tabaco, de arroz a peixe seco e de madeira a tecido foram utilizados como dinheiro em diferentes momentos da história. Com a evolução das sociedades estas trocas tornaram-se mais complexas e foram sendo substituídas pelo uso da moeda como padrão de valor em função das suas inúmeras características positivas. Como escreveu Aphra Behn, uma dramaturga do século XVIII que cresceu no Suriname, em sua peça The Rover , em 1677: “ O dinheiro fala com significado em um idioma compreendido por todas as nações.” Para a realização destas necessidades e desejos, as pessoas acumulam (ou pelo menos deveriam!) dinheiro, ou seja, formam um capital. Do Novo Dicionário Aurélio: capital . [Do lat. capitale.] Adj. 2 g. 1. P. us. Relativo à cabeça. 2. Principal, essencial, fundamental, primário: "depois da catequese das tribos, através de esforços que lembram os primeiros séculos da Igreja, animou-os [aos jesuítas] a preocupação capital de salvá-las da escravidão." (Euclides da Cunha, Contrastes e Confrontos, p. 51) 3. Tip. V. maiúsculo (1). ~ V. crédito -, letra -, navio -, obra -, pecado - e pena -. • S. f. 4. Cidade que aloja a alta administração de um país ou de um estado, província, departamento, etc. 5. Tip. Letra capital (q. v.). 6. Tip. V. letra capitular. 7. Tip. V. letra de caixa-alta (1). • S. m. 8. Riqueza ou valores disponíveis. 9. Econ. Conjunto de bens produzidos pelo homem que participam da produção de outros bens (basicamente, máquinas e equipamentos). 10. Econ. Recursos monetários investidos ou disponíveis para investimento. 11. Econ. Fundo de dinheiro ou patrimônio de uma empresa; cabedal... (destaque do autor). Uma vez formado o capital necessário, as pessoas trocam este por produtos ou serviços que desejam, realizando, desta forma, operações à vista. Entretanto, parte da sociedade não forma um capital, decorrente, em sua maior parte, de uma falta de cultura para a poupança. Outro motivo para não haver a formação de capital suficiente, está relacionado com a magnitude do projeto a ser desenvolvido, como por exemplo, a construção de uma usina hidrelétrica. A história do desenvolvimento industrial do Brasil mostra a forte influência do Estado na implantação dos grandes projetos industriais, em função da escassez de poupança privada. Para a realização de grandes projetos ou a satisfação de anseios pessoais cujos recursos financeiros não estão imediatamente disponíveis as pessoas, empresas e governos recorrem aos empréstimos. Do Novo Dicionário Aurélio: empréstimo . [Do port. arc. empréstido (< em-2 + port. arc. préstido < lat. praestitu), com infl. de préstimo.] S. m. 1. Ato de emprestar. 2. A coisa emprestada. 3... emprestar . [De em-2 + prestar.] V. t. d. 1. Confiar a alguém (certa soma de dinheiro, ou certa coisa), gratuitamente ou não, para que faça uso delas durante certo tempo, restituindo-as depois ao dono; ceder: Empresta o que é seu com boa vontade. 2. Dar a juros (dinheiro). 3. Dar, prestar: "Desfranze essas sobrancelhas / e empresta agora atenção" (Stella Leonardos, Romanceiro do Bequimão, p. 152) T. d. e i. 4. Emprestar (1): "João Vasconcelos / emprestava aos pobres / o dinheiro dos ricos." (H. Dobal, A Serra das Confusões, "O Candidato".) 5. Dar, conferir, prestar: Aquele amor emprestou sentido à sua vida; "Madrugada - a cerração empresta à Travessa das Acácias um mistério de cidade submersa." (Érico Veríssimo, Caminhos Cruzados, p. 5) T. i. e c. 6. Bras. S. C.O. Tomar emprestado: Emprestou do sogro dois milhões. P. 7. Auxiliar-se reciprocamente. O ato de emprestar pode gerar ou não uma remuneração. Do Novo Dicionário Aurélio: remuneração . [Do lat. remuneratione.] S. f. 1. Ato ou efeito de remunerar. 2. Recompensa, prêmio. 3. Gratificação em pagamento de serviço prestado. 4. Salário; honorários, soldada, soldo, ordenado. remunerar . [Do lat. remunerare.] V. t. d. 1. Dar remuneração ou prêmio a; premiar, recompensar, galardoar, gratificar: O júri remunerou os melhores trabalhos. 2. Pagar salários, honorários, rendas, etc., a; satisfazer, gratificar: A firma faliu e não remunerou os empregados. [Pret. imperf. ind.: remunerava, .... remuneráveis, remuneravam. Cf. remuneráveis, pl. de remunerável.] Basicamente, os ativos pessoais passíveis de serem emprestados e remunerados pelo seu uso, em um determinado espaço de tempo, destacando que o empréstimo pressupõe a concessão do direito de uso e não de posse, são: Capacidade física e mental: o empréstimo da capacidade física ou mental, quando realizado de forma remunerada, gera como remuneração o SALÁRIO, caso contrário será um trabalho voluntário; Bens móveis e imóveis: o empréstimo deste patrimônio, como por exemplo uma casa, um carro e até mesmo uma caneta, gera como remuneração um ALUGUEL. Capital: o empréstimo de um capital, qualquer que seja o seu valor, irá gerar para o seu detentor o recebimento de JUROS, que é a remuneração de um capital. Do Novo Dicionário Aurélio: juros . [Do lat. jure.] S. m. 1. Econ. Importância cobrada, por unidade de tempo, pelo empréstimo de dinheiro, ger. expressa como porcentagem da soma emprestada: juro de 12% ao ano. 2. Ant. Econ. Rendimento de capital investido; interesse. [M. us. no pl.] 3. Fam. Recompensa (2). Juro composto. Econ. 1. O que se adiciona em cada período à importância do empréstimo, para cálculo do juro devido no período subseqüente. Juro de mora. Econ. 1. O que é cobrado em acréscimo ao juro normal, como multa pelo atraso de pagamento. Juro simples. Econ. 1. O que não se adiciona em cada período à importância do empréstimo, para cálculo do juro devido no período subseqüente. Pagar com juros. Bras. Pop. 1. Pagar caro Outro conceito de juro seria a recompensa pela renúncia da liquidez por um determinado período de tempo. Temos delineado agora o campo para o emprego da Matemática Financeira. Dado que as pessoas, empresas e governos querem satisfazer suas necessidades sem a formação de poupança própria, estas irão emprestar de outras pessoas, empresas e governos que possuam capital formado. Este capital será emprestado por um determinado período de tempo, ao final do deverá ser restituído ao seu dono acrescido de juros, que representam a remuneração deste capital, sem o qual, os capitalistas, ou detentores do capital, não disponibilizariam suas poupanças para usufruto de outros que não eles próprios. . usufruto . [Do lat. jur. usus-fructus.] S. m. 1. Ato ou efeito de usufruir; fruição. 2. Aquilo que se usufrui. 3. Jur. Direito que se confere a alguém para, por certo tempo, retirar decoisa alheia todos os frutos e utilidades que lhe são próprios, desde que não lhe altere a substância ou o destino. Conceitos Fundamentais A matemática financeira é desenvolvida a partir dos seguintes elementos: Capital Inicial Prazo Juros Taxa de Juros Montante Parcelas Intermediárias Capital Inicial O Capital Inicial, também dito Principal, Valor Presente e em inglês “Present Value” representa o capital que deverá estar disponível no momento presente ou seja, representa as disponibilidades de recursos necessárias para a realização de uma operação a vista. Em projetos de investimento de longo prazo, o capital inicial poderá ser alocado no decorrer do tempo de execução do projeto. Desta forma, para a construção de uma usina hidrelétrica não é necessária a disponibilidade imediata dos recursos necessários para sua execução, sendo o capital alocado conforme as demandas do projeto. Vale destacar que as necessidades de capital para grandes investimentos serão determinadas para um determinado momento de tempo, sendo que tais valores deverão ser ajustados para o momento de sua ocorrência, em função da necessidade de alocação de recursos. Prazo O prazo ou número de períodos, em inglês “number of periods”, de um contrato representa o intervalo de tempo existente entre a data da tomada do empréstimo ou início da realização de um investimento – Momento Presente – e a data de pagamento ou resgate do investimento quando da ocorrência da única ou última parcela – Momento Futuro. Cabe destacar que o prazo pode ser medido em diferentes unidades de tempo, como: dia, mês, bimestre, trimestre, quadrimestre, semestre e ano. Portanto, é importante saber manipular as conversões destas diferentes unidades de medida de tempo. Juros Juros, em inglês “interest”, é a remuneração de um capital (valor monetário) após um determinado período de tempo. O pagamento dos juros pode ser realizado em diferentes momentos de tempo, devendo, portanto, ser acordado o momento de seu pagamento. O pagamento dos juros está relacionado à modalidade da taxa de juros negociada. O valor dos juros de uma operação financeira é a diferença entre o Valor Inicial (ou o capital total alocado em um contrato) e o Valor Final (ou o total das inversões contratuais realizadas). Os juros serão sempre expressos em unidades monetária - $. Taxa de Juros Em inglês “interest of rate”. A taxa de juros pode ser definida com sendo a remuneração para cada unidade de capital, por um determinado período de tempo, expressa de forma percentual. Também podemos afirmar que é o preço do prazo. Para uma maior compreensão, pode-se traçar um paralelo com o salário pago para um funcionário. Por exemplo, um salário de R$ 2.500,00 p. mês representa a remuneração que um funcionário irá receber em um intervalo de um mês e está expressa em forma de moeda corrente no Brasil. Assim, uma taxa de juros de 20% am (ao mês) representa que cada $ 1,00 (unidade de capital) será remunerado em $ 0,20 (20% / 100) para cada intervalo de tempo de um mês. Assim, o preço de 1 mês é de $ 0,20 para cada $ 1,00. Uma taxa de juros estará obrigatoriamente relacionada a um intervalo de tempo, sem o qual não será uma taxa de juros. Montante Montante ou Valor Futuro ou “Future Value” em inglês representa o valor total recebido de uma aplicação ou restituído para pagamento de um empréstimo, corresponde ao Capital Inicial acrescido de Juros. Uma operação de empréstimo significa que deverá haver a devolução do mesmo ao final de um prazo, acrescido de juros. Valor Futuro = Valor Presente + Juros Esta equação é fundamental para a correta aplicação da matemática financeira. Parcelas Intermediárias Também chamadas de pagamentos ou, em inglês, “Payments”. Todas as ocorrências de caixa, sejam entradas ou saídas, entre a primeira parcela – início – e a última parcela – final – serão chamadas de Parcelas Intermediárias. Estas parcelas poderão ser de entradas ou saídas, iguais ou diferentes, periódicas ou não periódicas. Fluxo de Caixa Um Fluxo de Caixa ou “Cash Flow” é uma representação gráfica das entradas e saídas de recursos no caixa no decorrer do tempo. É elaborado a partir de um eixo horizontal, fracionado em unidades de tempo, no qual são indicadas as ENTRADAS e SAÍDAS de recursos nos seus respectivos momentos de tempo. Por convenção, as movimentações de recursos serão representadas por setas, sendo que setas para CIMA representarão SAÍDAS de recursos e setas para BAIXO representarão ENTRADAS de recursos. Exemplo: Uma operação de INVESTIMENTO no valor de $ 1.000,00, com juros de 10% ao mês por um prazo de 1 mês. Juros = 10% de $ 1.000,00 = $100,00 Montante = 1.000,00 + Juros Montante = 1.000,00 + 100,00 Valor Inicial = 1.000,00 Montante = 1.100,00 0 1 mês Prazo Outros exemplos de Fluxos de Caixa podem ser: A B C D E F 0 1 2 3 4 5 O eixo poderá ser medido em dias, meses, bimestres, trimestres, quadrimestres, semestres ou anos. Representação das Variáveis Para facilitar o estudo e a solução das equações matemáticas decorrentes dos problemas financeiros, é adotada uma variável para cada elemento financeiro. Aqui a definição é realizada em conformidade com as funções das Calculadoras Financeiras, o que facilita a utilização e compreensão dos recursos das máquinas. Capital Inicial < PV > Present Value Prazo < n > number of periods Juros < J > esta variável não esta representada nas calculadoras financeiras. Taxa de Juros < i > interest of rate Montante < FV > Future Value Parcelas Intermediárias < PMT > PayMenTs Calculadoras Financeiras e Cálculos Financeiros O desenvolvimento da matemática financeira é realizado através da análise e resolução das equações relacionadas aos cálculos financeiros. Decorrente dos cálculos necessários para a solução dos problemas financeiros, a matemática financeira utilizava-se das Tabelas Financeiras, muito úteis em função da restrição da capacidade de cálculo das máquinas portáteis, em um passado não muito distante. Com o advento de novas tecnologias, desenvolvimento de softwares complexos e de hardwares cada vez mais compactos, as calculadoras atuais podem ser comparadas a pequenos computadores de bolso. Desta forma, foram desenvolvidas calculadoras para aplicações específicas, e no caso da Matemática Financeira foram desenvolvidas as Calculadoras Financeiras, que simplificaram enormemente a solução dos problemas financeiros. Atualmente existem inúmeros modelos e fabricantes, como Sharp, Texas Instuments, Cassio e HP. Uma calculadora financeira apresenta como característica principal a existência de uma série de teclas de função financeira As teclas de Função Financeira A principal característica das calculadoras financeiras é o fato de elas proporcionarem a solução dos cálculos financeiros sem a necessidade da realização de inúmeros contas, uma vez que as equações financeiras estão programadas na memória da calculadora. Para a solução destas equações basta digitar o valor das variáveis. Para a correta utilização das funções financeiras é necessário o entendimento da estrutura de um Fluxo de Caixa. Como visto acima, um Fluxo de Caixa é representado por um eixo horizontal (representando o tempo) com a demonstração das entradas e saídas de caixa no decorrer do tempo. A B C D E F 0 1 2 3 4 5 O eixo poderá ser medido em dias, meses, bimestres, trimestres, quadrimestres, semestres ou anos. Como convencionado, as Entradas de Caixa serão representadas por uma seta para baixo e as Saídas de Caixa serão representadas por uma seta para cima . A calculadora financeira não possui teclas com setas sendo a representação das Entradas e Saídas efetuada através de sinais Positivo (+) e Negativo (-). Para padronização, é definido que as entradas serão números POSITIVOS e as saídas serão números NEGATIVOS. Desta forma, substituindo as setas, o fluxo acima
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