4 - Centróides e baricentros

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Forças distribuídas:
Centróides e Baricentros
Ponto de Aplicação da Resultante “P” Para Corpos de Diferentes Formas
P = P1 + P2 + .... + Pn 	
∑M y: P = x1P1 + x2P2 + .... xnPn = ∑xiPi
∑M x: P = y1P1 + y2P2 + .... ynPn = ∑yiPi
Para elementos infinitesimais , temos: 
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Se o nosso elemento de área é, por exemplo, um arame:
∑M y: P = x1P1 + x2P2 + .... xnPn = ∑xiPi
∑M x: P = y1P1 + y2P2 + .... ynPn = ∑yiPi
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Centróides de áreas:
Considere uma placa homogênea de espessura constante 
P = tA			(1)
 = Peso específico,	t = espessura,	A = Elemento de área
Para a placa toda, temos:
P = tA.				(2)
Unidades:	P[N];	[N/m3];		t[m];	A[m2]
Como: 	 P = x1P1 + x2P2 + .... xnPn e
 	 P = y1P1 + y2P2 + .... ynPn = ∑yiPi
Substituindo as equações (1) e (2) nestas expressões, temos:
tA = x1tA1 + x2tA2 + .... + xntAn 
tA = y1tA1 + y2tA2 + .... + yntAn
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Logo:
A = x1A1 + x2A2 + .... + xnAn 
A = y1A1 + y2A2 + .... + ynAn
Para elementos de áreas infinitesimais, temos: 
Sendo e os baricentros da placa homogênea de espessura constante t.
Diferença entre centróide e baricentro:
Baricentro e centróide, placa homogênea
Baricentro e centróide placa não homogênea
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Momento de primeira ordem ou momento estático da área A em relação a x e a y
Utilizando-se o mesmo raciocínio anterior, pode-se escrever:
∑My: A = x1A1 + x2A2 + .... + xnAn = ∑xiAi
∑Mx A = y1A1 + y2A2 + .... + ynAn = ∑yiAi
Para elementos de áreas infinitesimais, temos:
Momento de primeira ordem ou momento estático da área A em relação a y 
Momento de primeira ordem ou momento estático da área A em relação a x 
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È evidente que os centróides serão expressos por:
Centróide e baricentro de um arame.
∑M y: P = x1P1 + x2P2 + .... xnPn = ∑xiPi	(3)
∑M x: P = y1P1 + y2P2 + .... ynPn = ∑yiPi	(4)
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Para o arame:
P = AL						(5)	 
Para o elemento do arame
P = LA					(6)
Substituindo (5) e (6) nas expressões (3) e (4), temos:
  AL = x1  L1 A + x2  L2 A + .... +x n  L n A 
 t A = y1  L1A + y2  L2 A + .... + y n  L n A, logo:
L = x1L1 + x2L2 + .... + xnLn 
L = y1L1 + y2L2 + .... + ynLn
Para elementos com comprimentos infinitesimais, temos:
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Área simétrica com relação a um eixo:
Se a todo ponto P corresponde um ponto P’ , onde PP’ é perpendicular a BB’ e BB’ divide PP’ em partes iguais. O centróide está situado em BB’.
LOCALIZAÇÃO DO CENTRÓIDE
Nas figura (a) e (b) os centróides C estão localizados na intercepção de dois eixos de simetria. Esta propriedade nos permite determinar imediatamente o centróide de áreas tais como círculos, elipses, quadrados, retângulos, triângulos eqüiláteros ou quaisquer outras figuras simétricas, como também centróides de linhas na forma de circunferências, perímetro de quadrado, perímetro de retângulo, etc. 
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Área simétrica em relação a um ponto O.
Se a todo ponto P corresponde um ponto P’ , onde PP’ é dividido em duas partes iguais pelo ponto O.
Todos os conceitos são também aplicados para uma linha L
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Tabela I - Centróides de formas comuns de áreas 
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Tabela II - Centróides de formas comuns de linhas
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PLACAS E ARAMES COMPOSTOS 
Se a placa é homogênea, uniforme com espessura desprezível, o baricentro coincide com o centróide.
Como P = At	 e	Pi = A it, temos:
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Momentos estáticos podem ser positivos ou negativos
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5.5 Beer 3ª edição)
Localize o centróide da área plana ilustrada.
Solução:
Obs. Figura simétrica em relação a um eixo paralelo ao eixo x,
Logo = 20/2 = 10cm
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Nomenclatura:
 , - Centróides de cada figura isoladamente
X, Y – Coordendas do centróide em relação a orígem. 
Área 1
A1 = 3,75.(20) = 75cm2,	1 = X1 = 3,75/2 = 1,875cm
Área 2
A2 = 17,5.(12,5) = 218,75cm2, 	2 = 17,5/2 = 8,75cm e
X2 = 3,75 + 8,75 = 12,5cm
Área 3
A3 = 15.(7,5) = 112,5cm2, 3 = 15/2 = 7,5cm e X3 = 3,75 + 7,5 = 11,25cm.
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Logo: X = (∑AiXi)/ ∑Ai = 1609,375/181,25 = 8,88cm = 88,8mm
Resposta:
X = 88,8mm 	e 	y = 100mm
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5.11(Beer 3ª edição)
Localize o centróide da área plana ilustrada. 
Solução:
Obs. Figura simétrica em relação ao eixo y,
Logo = 0
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Área 1
A1 =48.(32)/2 = 768cm2,	1 = (32)/3 = 10,67cm e 
y1 = -32 + 10,67 = -21,33cm
Área 2
A2 = 48.(18)/2 = 432cm2, 	 2 = 18.(2)/3 = 12cm,
Logo y2 = -50 + 12 = -38cm
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Área 3
Os dados abaixo foram retirados da tabela 1
Para o nosso caso
tgα = 24/18 = 4/3 → α = 53,13° = 0,927rad
Logo:
A3 = αr2 = 0,927.(302) = 834,93cm2
= (2.30.sen53,13)/(3.0,927) = 17,27cm 
Y3 = -50 + 17,27 = -32,73cm
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Logo: 
Y = (∑AiYi)/ ∑Ai = -5453,48/365,07 = -14,94cm = -149,4mm
Resposta:
X = 0 	e 	y = -149,4mm
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5.9 (Beer 3ª edição)
Localize o centróide da área plana ilustrada.
Solução:
Obs. Não há simetria em em relação a qualquer eixo. Devemos portanto, determinar as coordenadas do centróide, X e Y. 
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Área 1: Os dados abaixo foram retirados da tabela 1
Adequando o nosso problema para os dados da tabela, temos: 
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A1 = 2.(ah)/3 = 2.(30.20)/3 = 400cm2,	1 = 3a/8 = 3.30/8 = 11,25cm
X1 = 30 – 11,25 = 18,75cm	 1 = 3h/5 = 3.20/5 = 12cm 
Y1 = 20 – 12 = 8cm
Área 2
A2 = 30.20/2 = 300cm2, 	2 = (2b)/3 = 2.30/3 = 20cm
X2 = 2 = 20cm	2 = Y2 = 20.1/3 = 6,67cm,
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Logo: X = (∑AiXi)/ ∑Ai = 1500/100 = 15cm = 150mm 
Logo: Y = (∑AiYi)/ ∑Ai = 1199/100 = 11,99cm ~ 120mm
Resposta:
X = 150mm 	e 	y = 120mmmm
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5.16 (Beer 3ª edição) - Um arame fino e homogêneo é dobrado na forma indicado na figura abaixo. Localize o baricentro da figura de arame assim formada.
A figura pode ser dividia em 4 arames, conforme ilustração:
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Arame 1: L1 = 16cm, 1 = X1 = 0 ; 1 = Y1 = 8cm
Arame 2: L2 = 12cm, 2 = X2 = 6cm; 2 = Y2 = 0
Arame 3: L3 = 10cm, 3 = X3 = 12cm; 3 = Y3 = 5cm
Arame 4: L4 = √(144 + 36) = 13,42cm; 4 = X4 = 6cm; 4 = Y4 = 13cm 
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Logo: 	X = (∑XiLi)/ ∑Li = 272,5/51,42 = 5,3cm = 53mm 
	Y = (∑AiYi)/ ∑Ai = 352,5/51,42 = 6,86cm = 68,6mm
Resposta:
x = 53mm 	e 	y = 68,6mm
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5.22 (Beer 3ª edição) - Sabendo que a figura ilustrada é formada por um arame fino e homogêneo, determine o ângulo  para o qual o baricentro da figura está localizado na origem O.
Solução:
Obs. Figura simétrica em relação ao eixo y. Logo X = = 0
A figura pode ser composta por 3 arames, conforme ilustração:
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Arame 1: L1 = 2r , 1 = X1 = 0 e ; 1 = Y1 = 0
Arame 2: 
L2 = 2r , 2 = X2 = 0 e 2 = Y2 = (rcos)/2
Para a determinação das coordenada Y2, considere a figura a seguir
Nesta figura OB = r/2 e OC = coordenada do centróide desa figura.
É óbvio que: cos = OC/(r/2), 
logo OC = 2 = Y2 = (rcos)/2 
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Arame 3: Os dados abaixo foram retirados da tabela 2
Adequando o nosso problema para os dados da tabela, temos:
L3 = 2r e
 = (YL)/L, como = 0 
 (YL) = r2cos - 2r2sen = 0  
 cos = 2sen  tg = 1/2 
  = 26,6º
Resposta:  = 26,6º
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Cargas distribuídas sobre vigas
Carga p em N/m e carga P em N
dP = pdx →	 
Como dA = pdx →
Conclusão: 
Uma carga distribuída sobre uma viga pode ser substituída por uma carga concentrada. O módulo desta única carga se identifica numericamente com a área sob a curva de carga e sua linha de ação passa através do centróide desta área. 
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5.67(Beer 3ª edição) - Determine o módulo e a linha de ação da resultante do carregamento distribuído, conforme ilustração calcule tambémas reações em A e B.
Solução:
A carga distribuída equivale a carga concentrada abaixo com as respectivas reações:
O problema se resume em calcular a área da semiparábola, determinação do centróide da figura e finalmente o cálculo das reações.
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Os dados abaixo foram retirados da tabela 1
Adequando o nosso problema para os dados da tabela, temos:
A = (2ah)/3 = 2.(8).(6)/3 = 32, logo P = 32kN 
 = 3a/8 = 3(8)/8 = 3m
Cálculo das reações:
∑MA = 0 → - 32.(3) + 8By = 0 → By = 12kN
∑Fy = 0 → Ay+ By= P → Ay = P – By = 32 – 12 = 20kN
∑Fx = 0 → Bx = 0
Resposta:
P = 32kN, Ay = 20kN, By = 12kN e Bx = 0
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5.71(Beer 3ª edição) - Determine o módulo e a linha de ação da resultante do carregamento distribuído conforme ilustração, calcule também as reações em A e B.
Solução:
A carga distribuída equivale a carga concentrada abaixo com as respectivas reações:
O problema se resume em calcular a área e o centróide do triângulo ABD e finalmente o cálculo das reações.
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A = P= 6.(1500)/2 = 4500N
Para a determinação do centróide, devemos decompor o triângulo ABD em dois triângulos retângulos.
A2 = 4.(1500)/2 = 3000
 2 = 4/3 
 X2 = 2 + 4/3 = 10/3 
A1 = 2.(1500)/2 = 1500 
 1 = X1 = 2.(2)/3 = 4/3 
 
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Logo, = (∑XA)/A = 12000/4500 = 8/ 3= 2,67m
Cálculo das reações:
∑MA = 0 → -4500.(8)/3 + 6By = 0 → By = 12000/6 = 2000N
∑Fy = 0 → Ay+ By= P → Ay = P – By = 4500 – 2000 = 2500N
∑Fx = 0 → Ax = 0
Resposta:
P = 4500N, Ay = 2500N, By = 2000N, Bx = 0 e = X = 2,67m
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Centróides de volume.
Fy = 0  -Pj = (-Pj)
Como P = Pi, para um  infinitesimal, temos:
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Para corpos homogêneos P = V e dp = dP = dV, e como
, logo
 r = xi + yj + zk
Logo:
Para elementos finitos V estas integrais podem ser representadas por: 
Com ajuda dessas relações:
	V = x1V1 + x2V2 + .... + xnVn = ∑xiVi
	V = y 1V1 + y2V2 + .... + ynAn = ∑yiVi
	V = z1V1 + z2V2 + .... + znVn = ∑ziVi 
Pode-se em muitos casos dividir-se o volume em volumes mais simples, ver tabela 3 e determinar-se o centróide do volume.
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Tabela III - Centróides de formas comuns de Volume 
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Tabela III - Centróides de formas comuns de Volume 
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Volume simétrico em relação a um plano.
Se a todo ponto P do volume pudermos associar um ponto P’, onde PP’ é perpendicular ao plano e é dividido em duas partes iguais.
Para um plano de simetria o centróide do volume está contido neste plano.
Para dois planos de simetria o centróide do volume está contido na reta de intercessão dos dois planos.
Para três planos de simetria o centróide do volume está contido no ponto de intercessão dos três planos.
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5.93 (Beer 3ª edição) - Um cone e um cilindro de mesmo raio “a” e altura h, estão unidos como ilustrado.Determine a posição do centróide do corpo composto.
Obs. Como o volume é simétrico em relação aos planos XY e YZ, temos:
 = X = 0 e = Z = 0. Devemos somente determinar Y.
Volume 1:
Os dados a seguir foram retirados da tabela 3
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V1 = (a2h)/3, 1 = h/4 e y = h – h/4 = 3h/4 
Volume 2		
V2 = a2h, 2 = h/2 e y = h + h/2 = 3h/2 	
Volume 1
Adequando os dados da tabela III para o nosso problema, temos:
Resposta.
O centróide da figura tem as seguintes coordenadas:
X = 0,	y = 21h/16 e Z = 0 
 V = (YV)  = (YV)/( V), logo:
Determinação de 
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5.99 (Beer 3ª edição) - Localize o baricentro do elemento de máquina ilustrado.
Solução:
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Obs. Como o volume é simétrico em relação aos planos XY temos
Devemos somente determinar e
Volume 1: 
= 0
V1 = r2l = .(144)3 = 432cm2.
 
Como o volume é simétrico em 
relação aos planos XZ e YZ
 1 = X1 = 1 = Y1 = 0 
Volume 2
V2 = (r2)2h = .(9)3 = 27
 2 = h/2 = 3/2 = 1,5cm, 
X2 = 1,5 + 1,5 = 3cm
 2 = 0, Y2 = - 6cm
V3 = (r3)2l = (9)3 = 27
 3 = X3 = 0, 3 = 0, Y3 = 6cm
Volume 3
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Determinação do baricentro
 V = (XV)  = (XV)/( V), logo: 
 = (81)/(432) = 0,1875cm = 1,875mm
 V = (YV)  = (YV)/( V), logo:
 = (-324)/(432) = -0,75cm = -7,5mm
Resposta:
Coordenadas do baricentro:
X = 1,875mm,	Y = -7,5mm e z = 0