01_Exercícios do Estudo de Funções_Resolvidos
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01_Exercícios do Estudo de Funções_Resolvidos


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0 
1
 
1\uf02d 
 0 
1
 
 3º)Conclusão: f é estritamente decrescente em 
] , 1]\uf02d\uf0a5 \uf02d
 e 
[0, 1]
 e 
estritamente crescente em 
[ 1, 0]\uf02d
 e 
[1, [\uf02b\uf0a5
. 
 Temos que 
4 2
1 1 1( ) 4( ) 2( ) 1f \uf02d \uf02d \uf02d\uf03d \uf02d \uf03d \uf02d
, 
4 2
0 0 0( ) 4( ) 2( ) 0f \uf03d \uf02d \uf03d
 e 
4 2
1 1 1( ) ( ) 2( ) 1f \uf03d \uf02d \uf03d \uf02d
. 
 4º) Pontos de mínimo local: m1(
\uf02d
1 , 
\uf02d
1) e m2(1, 
\uf02d
1) 
 Pontos de máximo local: M(0 , 0). 
 
 c) 
3( ) 5 6f x x x\uf03d \uf02d
 
 Temos que 
2'( ) 15 6f x x\uf03d \uf02d
. Estudo do sinal de 
'f
: 
 1º) P/
2'( ) 0 15 6 0 S { 10 /5, 10 /5}f x x\uf03d \uf0de \uf02d \uf03d \uf0de \uf03d \uf02d 
 2º) Sinal de 
'f
 + 
\uf02d
 + 
\uf0de
 + 
\uf02d
 + 
 
10 / 5\uf02d 
 
10 / 5
 
10 / 5\uf02d 
 
10 / 5
 
 3º)Conclusão: f é estritamente decrescente em 
10 10[ / 5, / 5]\uf02d
 e 
estritamente crescente em 
10] , / 5]\uf02d\uf0a5 \uf02d
 e 
10[ / 5, [\uf02b\uf0a5
. 
 Temos que 
10
10
4
( / 5)
5
f \uf02d \uf03d
 e 
10
10
4
( / 5)
5
f
\uf02d
\uf03d
 . 
 4º) Pontos de mínimo local: 
10
10
4
m( / 5, )
5
\uf02d 
 Pontos de máximo local: 
10
10
4
M( / 5, )
5
\uf02d
. 
Observação: 
2 6 2 2 1015 6 0
15 5 55
x x\uf02d \uf03d \uf0de \uf03d \uf0b1 \uf03d \uf0b1 \uf03d \uf0b1 \uf03d \uf0b1
 
 
 
4 
 
 d) 
2( ) 6 8f x x x\uf03d \uf02d \uf02b
 
 Temos que 
'( ) 2 6f x x\uf03d \uf02d
. Estudo do sinal de 
'f
: 
 1º) P/
'( ) 0 2 6 0 3f x x x\uf03d \uf0de \uf02d \uf03d \uf0de \uf03d 
 2º) Sinal de 
'f
: 
\uf02d
 + 
\uf0de
 
\uf02d
 + 
 3 3 
 3º)Conclusão: f é estritamente decrescente em 
] , 3]\uf02d\uf0a5
 e estritamente 
crescente em 
[3, [\uf02b\uf0a5
. 
 Temos que 
2
3 3 3( ) ( ) 6( ) 8 1f \uf03d \uf02d \uf02b \uf03d \uf02d
 
 4º) Ponto mínimo local: m(3, 
\uf02d
1). 
 
 e) 
0( ) ln ,f x x x x \uf03e\uf03d
 
 Temos que 
'( ) ln 1f x x\uf03d \uf02b
. Estudo do sinal de 
'f
: 
 1º) P/
1'( ) 0 ln 1 0f x x x e\uf02d\uf03d \uf0de \uf02b \uf03d \uf0de \uf03d 
 2º) Sinal de 
'f
: 
\uf02d
 + 
\uf0de
 
\uf02d
 + 
 0 
1e\uf02d
 0 
1e\uf02d
 
 3º)Conclusão: f é estritamente decrescente em 
1]0, ]e\uf02d
 e estritamente 
crescente em 
1[ , [e\uf02d \uf02b\uf0a5
. 
 Temos que 
1 1 1( ) 1.f e e e\uf02d \uf02d \uf02d\uf03d \uf02d \uf03d \uf02d
 
 4º) Ponto mínimo local: 
1 1m( , )e e\uf02d \uf02d\uf02d
. 
 
f) 
2
( ) xf x e\uf03d
 
 Temos que 
2
'( ) 2 xf x xe\uf03d
. Estudo do sinal de 
'f
: 
 1º) P/
2
'( ) 0 2 0 0xf x xe x\uf03d \uf0de \uf03d \uf0de \uf03d 
 2º) Sinal de 
'f
: 
\uf02d
 + 
\uf0de
 
\uf02d
 + 
 0 0 
 3º)Conclusão: f é estritamente decrescente em 
] , 0]\uf02d\uf0a5
 e estritamente 
crescente em 
[0, [\uf02b\uf0a5
. 
 Temos que 
20(0) 1f e\uf03d \uf03d
 
 4º) Ponto mínimo local: 
m(0, 1)
. 
 
 g)
 2( ) xf x e\uf02d\uf03d
 
 Temos que 
2
'( ) 2 xf x xe\uf02d\uf03d \uf02d
. Estudo do sinal de 
'f
: 
 1º) P/
2
'( ) 0 2 0 0xf x xe x\uf02d\uf03d \uf0de \uf02d \uf03d \uf0de \uf03d 
 2º) Sinal de 
'f
: + 
\uf02d
 
\uf0de
 + 
\uf02d
 
 0 0 
 3º)Conclusão: f é estritamente decrescente em 
[0, [\uf02b\uf0a5
 e estritamente 
crescente em 
] , 0]\uf02d\uf0a5
. 
 Temos que 
20(0) 1f e\uf02d\uf03d \uf03d
 
 4º) Ponto máximo local: 
M(0, 1)
. 
 
5 
 
 
 
 h) 
2( ) 2 /( 1)f x x x\uf03d \uf02b
 
 Temos que 
2 2 2'( ) 2( 1) /( 1)f x x x\uf03d \uf02d \uf02d \uf02b
. Estudo do sinal de 
'f
: 
 1º) P/
2'( ) 0 2( 1) 0 S { 1, 1}f x x\uf03d \uf0de \uf02d \uf02d \uf03d \uf0de \uf03d \uf02d 
 2º) Sinal de 
\uf02d
 + 
\uf02d \uf0de \uf02d + \uf02d 
 
1\uf02d 
 
1
 
1\uf02d 
 
1
 
 3º)Conclusão: f é estritamente decrescente em 
] , 1]\uf02d\uf0a5 \uf02d
 e 
[1, [\uf02b\uf0a5
estritamente crescente em 
[ 1, 1]\uf02d
. 
 Temos que 
2
2( 1)
1
( 1) 1
( ) 1f
\uf02d
\uf02d
\uf02d \uf02b
\uf03d \uf03d \uf02d
, 
2
2(1)
1
(1) 1
( ) 1f
\uf02b
\uf03d \uf03d
 . 
 4º) Pontos de mínimo local: m(
\uf02d
1 , 
\uf02d
1) 
 Pontos de máximo local: M(1, 1). 
 
3) Estudar a concavidade das funções 
a)
 3 2( ) 4 3f x x x x\uf03d \uf02d \uf02b
 
 Temos que 
2'( ) 3 8 3f x x x\uf03d \uf02d \uf02b
 e 
''( ) 6 8f x x\uf03d \uf02d
. 
 Estudo do sinal de 
''f
: 
 1º) P/
''( ) 0 6 8 0 S {4/3}f x x\uf03d \uf0de \uf02d \uf03d \uf0de \uf03d 
 2º) Sinal de 
''f
 
\uf02d
 + 
\uf0de
 
\uf02d
 + 
 
 
 
4 / 3
 4 / 3 
 3º)Conclusão: f tem concavidade p/baixo em 
] , 4 /3[\uf02d\uf0a5
 e concavidade 
p/ cima em e 
]4 /3, [\uf02b\uf0a5
. 
 
b)
 4 3( ) 2f x x x\uf03d \uf02d
 
 Temos que 
3 2'( ) 4 6f x x x\uf03d \uf02d
 e 
2''( ) 12 12f x x x\uf03d \uf02d
. 
 Estudo do sinal de 
''f
: 
 1º) P/
2''( ) 0 12 12 0 S {0,1}f x x x\uf03d \uf0de \uf02d \uf03d \uf0de \uf03d 
 2º) Sinal de 
''f
 + 
\uf02d
 + 
\uf0de + \uf02d + 
 
 
 0 
1
 0 1 
 3º)Conclusão: f tem concavidade p/baixo em 
]0, 1[
 e concavidade p/ 
cima em 
] , 0[\uf02d\uf0a5 
e 
]1, [\uf02b\uf0a5
. 
 
 c)
 ( ) .ln , 0f x x x x\uf03d \uf03e
 
 Temos que 
'( ) ln 1f x x\uf03d \uf02b
 e 
1
''( )f x
x
\uf03d
. 
 Estudo do sinal de 
''f
: 
 1º) P/
''( ) 0 1/ 0 S {}f x x\uf03d \uf0de \uf03d \uf0de \uf03d 
 2º) Sinal de 
''f
 + 
\uf0de
 + 
 
 
0 0 
 
6 
 
 3º)Conclusão: f tem concavidade p/cima em 
]0, [\uf02b\uf0a5
 . 
 
d)
 2( ) ln , 0f x x x\uf03d \uf0b9
 
 Temos que 
'( ) 2 /f x x\uf03d
 e 
2
2
''( )f x
x
\uf02d