01_Exercícios do Estudo de Funções_Resolvidos
16 pág.

01_Exercícios do Estudo de Funções_Resolvidos


DisciplinaCálculo I69.486 materiais1.305.063 seguidores
Pré-visualização6 páginas
\uf03d
. 
 Estudo do sinal de 
''f
: 
 1º) P/
2''( ) 0 2/ 0 S {}f x x\uf03d \uf0de \uf02d \uf03d \uf0de \uf03d 
 2º) Sinal de 
''f
 
\uf02d
 
\uf02d
 
\uf0de
 
\uf02d
 
\uf02d
 
 
 
0 0 
 3º)Conclusão: f tem concavidade p/baixo em 
{0}\uf02d
. 
 
e)
 ( ) . xf x x e\uf03d 
 
 Temos que 
'( ) (1 ). xf x x e\uf03d \uf02b
 e 
''( ) (2 ). xf x x e\uf03d \uf02b
. 
 Estudo do sinal de 
''f
: 
 1º) P/
''( ) 0 (2 ). 0 2 0 S { 2}xf x x e x\uf03d \uf0de \uf02b \uf03d \uf0de \uf02b \uf03d \uf0de \uf03d \uf02d 
 2º) Sinal de 
''f
 
\uf02d
 + 
\uf0de
 
\uf02d
 + 
 
 \uf02d
2 \uf02d 2 
 3º)Conclusão: f tem concavidade p/baixo em 
] , 2[\uf02d\uf0a5 \uf02d 
e concavidade p/ 
cima em 
] 2, [\uf02d \uf02b\uf0a5
. 
 
 f) 
2( ) . xf x x e\uf03d
 
 Temos que 
2'( ) (2 ). xf x x x e\uf03d \uf02b
 e 
2''( ) ( 4 2). xf x x x e\uf03d \uf02b \uf02b
. 
 Estudo do sinal de 
''f
: 
 1º) P/
2
2 2 2 2''( ) 0 ( 4 2). 0 S { , }xf x x x e \uf02d \uf02d \uf02d \uf02b\uf03d \uf0de \uf02b \uf02b \uf03d \uf0de \uf03d 
 2º) Sinal de 
''f
 + 
\uf02d
 + 
\uf0de + \uf02d + 
 
2 2\uf02d \uf02d
 
2 2\uf02d \uf02b
 
2 2\uf02d \uf02d
 
2 2\uf02d \uf02b
 
 3º)Conclusão: f tem concavidade p/baixo em 
2 2 2 2] , [\uf02d \uf02d \uf02d \uf02b
 e 
concavidade p/ cima em 
2 2] , [\uf02d \uf02d\uf02d\uf0a5 
e 
2 2] , [\uf02d \uf02b \uf02b\uf0a5
. 
 
4) Determinar pontos máximos ou mínimos de funções utilizando estudo concavidade 
a)
 2( ) 3 4f x x x\uf03d \uf02d
 
 Temos que
'( ) 6 4f x x\uf03d \uf02d
. Se 
'( ) 6 4 0,f x x\uf03d \uf02d \uf03d
 
então 
2 / 3x \uf03d
. Questão: 
Teremos em 
2 / 3x \uf03d
 
ponto máximo local, mínimo local ou inflexão horizontal de f? 
 Os sinais da derivada segunda ordem nos dão informações sobre a concavidade 
do gráfico de f e, utilizando este fato, escolheremos uma das alternativas acima. 
 Temos que 
''( ) 6f x \uf03d
. Logo, 
''f
 é positiva para todo x real e, sendo assim, 
a concavidade de f estará voltada para cima em 
2 / 3x \uf03d
. Fato que nos permite 
concluir que aí teremos um ponto de mínimo local de f. 
 
 
 Sinal de 
''f
 + 
\uf0de
 + 
 
7 
 
 
 
 2/3 
Conclusão: 
 Ponto mínimo local: 
2
2 / 3 2 / 3( ) 3( ) 4( ) 4 /3f x \uf03d \uf02d \uf03d \uf02d
. Logo, m(2/3, 
\uf02d
4/3). 
 
b)
 4 2( ) 2f x x x\uf03d \uf02d
 
 Temos que
3
'( ) 4 4f x x x\uf03d \uf02d
. Se 
3
'( ) 4 4 0,f x x x\uf03d \uf02d \uf03d
 
então 
{ 1,0,1}x\uf0ce \uf02d
. 
Devemos decidir sobre a possibilidade de termos em f ponto de máximo local, 
mínimo local ou inflexão horizontal para cada um destes valores de x. 
 Os sinais da derivada segunda ordem nos dão informações sobre a 
concavidade do gráfico de f e, com esta informação, resolveremos a questão. 
 Temos que 
2''( ) 12 4f x x\uf03d \uf02d
. 
 Estudo do sinal de 
''f
: 
 1º) P/
2
,''( ) 0 12 4 0 S { 3 /3 3 /3}f x x \uf02d\uf03d \uf0de \uf02d \uf03d \uf0de \uf03d 
 2º) Sinal de 
''f
 + 
\uf02d
 + 
\uf0de + \uf02d + 
 
3 / 3\uf02d
 
3 / 3
 
3 / 3\uf02d
 
3 / 3
 
 Conclusão: 
 
1x\uf0b7 \uf03d \uf02d
 é menor que 
3 / 3\uf02d e a concavidade de f é voltada p/cima. Logo, 
4 2( 1) ( 1) 2( 1) 1f \uf02d \uf03d \uf02d \uf02d \uf02d \uf03d \uf02d 
e 
m( 1, 1)\uf02d \uf02d
 é ponto mínimo local de f. 
 
0x\uf0b7 \uf03d
 é valor entre 
3 / 3\uf02d
 e 
3 / 3
 e a concavidade de f é voltada 
p/baixo. Logo, 
4 2
(0) 0 2(0) 0f \uf03d \uf02d \uf03d
 e M(0,0) é ponto máximo local de f. 
 
1x\uf0b7 \uf03d
 é maior que 
3 / 3 e a concavidade de f é voltada p/cima. Logo, 
4 2(1) (1) 2(1) 1f \uf03d \uf02d \uf03d \uf02d 
e 
m(1, 1)\uf02d
 é ponto mínimo local de f. 
 
c)
 2( ) xf x e\uf02d\uf03d
 
 Temos que
2
'( ) 2
x
f x xe
\uf02d
\uf03d \uf02d
. Se 
2
'( ) 2 0,xf x xe\uf02d\uf03d \uf02d \uf03d
 
então 
{0}x\uf0ce
. Questão: 
Teremos em 
0x \uf03d
 
ponto máximo local, mínimo local ou inflexão horizontal de f ? 
 Os sinais da derivada segunda ordem nos dão informações sobre a 
concavidade do gráfico de f e, utilizando este fato, escolheremos uma das 
alternativas acima. 
 Temos que 
2 2''( ) 2 (1 2 )xf x e x\uf02d\uf03d \uf02d \uf02d
. 
 Estudo do sinal de 
''f
: 
 1º) P/
2 2
,''( ) 0 2 (1 2 ) 0 S { 2 / 2 2 / 2}xf x e x\uf02d \uf02d\uf03d \uf0de \uf02d \uf02d \uf03d \uf0de \uf03d 
 2º) Sinal de 
''f
 + 
\uf02d
 + 
\uf0de + \uf02d + 
 
2 / 2\uf02d
 
2 / 2
 
2 / 2\uf02d
 
2 / 2
 
 Conclusão: 
 
0x\uf0b7 \uf03d
 é valor entre 
2 / 2\uf02d
 e 
2 / 2
 e a concavidade de f é voltada 
p/baixo. Logo, 
20
(0) 1f e
\uf02d
\uf03d \uf03d
 e M(0,1) é ponto máximo local de f. 
 
 
 
8 
 
 
d)
 3 2( ) 2 6 12 1f x x x x\uf03d \uf02b \uf02d \uf02b
 
 Temos que
2
'( ) 6 12 12f x x x\uf03d \uf02b \uf02d
. Se 
'( ) 0,f x \uf03d
 
então 
{ 2,1}x\uf0ce \uf02d
. Questão: 
Devemos decidir sobre a possibilidade de termos em f ponto de máximo local, mínimo 
local ou inflexão horizontal para cada um destes valores de x. 
 Os sinais da derivada segunda ordem nos dão informações sobre a concavidade 
do gráfico de f e, utilizando este fato, escolheremos as alternativas correspondentes 
para cada valor de x. 
 Temos que 
''( ) 12 6f x x\uf03d \uf02b
. 
 Estudo do sinal de 
''f
: 
 1º) P/
1 2''( ) 0 12 6 0 S { / }f x x \uf02d\uf03d \uf0de \uf02b \uf03d \uf0de \uf03d 
 2º) Sinal de 
''f
 
\uf02d
 + 
\uf0de \uf02d + 
 
1/ 2\uf02d
 
1/ 2\uf02d
 
 Conclusão: 
 
2x\uf0b7 \uf03d \uf02d
 é valor menor que 
1/ 2\uf02d
 e a concavidade de f é voltada p/baixo. 
Logo, 
3 2
2 2 2 2( ) 2( ) 336( ) 12( ) 1f \uf02d \uf02d \uf02d \uf02d\uf03d \uf03d\uf02b \uf02d \uf02b
 e M(
1/ 2\uf02d
,33) é ponto máximo 
local de f. 
 1x\uf0b7 \uf03d
 é valor maior que 
1/ 2\uf02d
 e a concavidade de f é voltada p/cima. 
Logo, 
3 2
(1) 2(1) 36(1) 12(1) 1f \uf03d \uf03d \uf02d\uf02b \uf02d \uf02b
 e m(
1/ 2\uf02d
,
\uf02d
3) é ponto mínimo local de f 
 
e) 
( ) ln , 0f x x x x\uf03d \uf03e