01_Exercícios do Estudo de Funções_Resolvidos
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01_Exercícios do Estudo de Funções_Resolvidos


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Temos que
'( ) ln 1f x x\uf03d \uf02b
. Se 
'( ) 0,f x \uf03d
 
então 
1{ }x e\uf02d\uf0ce
. Questão: 
Teremos em 
1x e\uf02d\uf03d
 
ponto máximo local, mínimo local ou inflexão horizontal de f ? 
 Os sinais da derivada segunda ordem nos dão informações sobre a 
concavidade do gráfico de f e, utilizando este fato, escolheremos uma das 
alternativas acima. 
 Temos que 
''( ) 1/f x x\uf03d
. 
 Estudo do sinal de 
''f
: 
 1º) P/
''( ) 0 1/ 0 S { }f x x\uf03d \uf0de \uf03d \uf0de \uf03d 
 2º) Sinal de 
''f
 + 
\uf0de + 
 
0
 
0
 
1e\uf02d
 
 Conclusão: 
 \uf0b7
 A concavidade de f é voltada p/cima em 
1x e\uf02d\uf03d
. Logo, 
1 1 1 1
( ) ln( )f e e e e\uf02d \uf02d \uf02d \uf02d\uf03d \uf03d \uf02d
 e m(
1
e
\uf02d
, 
1
e
\uf02d
\uf02d
) é ponto mínimo local de f 
 
f) 2
( ) , 1
1
x
f x x
x
\uf03d \uf0b9
\uf02d
 
 Temos que 2
2
'( )
2
( 1)
f x
x x
x
\uf03d
\uf02d
\uf02d
. Se 
'( ) 0,f x \uf03d
 
então 
{0,2}x\uf0ce
. Questão: 
Devemos decidir sobre a possibilidade de termos em f ponto de máximo local, mínimo 
local ou inflexão horizontal em cada um destes valores de x. 
 
9 
 
 Os sinais da derivada segunda ordem nos dão informações sobre a concavidade 
do gráfico de f e, utilizando este fato, escolheremos as alternativas correspondentes 
para cada x . 
 Temos que 
3''( ) 2 / ( 1)f x x\uf03d \uf02d
. 
 Estudo do sinal de 
''f
: 
 1º) P/
3''( ) 0 2/( 1) 0 S { }f x x\uf03d \uf0de \uf02d \uf03d \uf0de \uf03d 
 2º) Sinal de 
''f
 
\uf02d
 + 
\uf0de \uf02d + 
 1 0 1 2 
 Conclusão: 
 
0x\uf0b7 \uf03d
 é valor menor que 
1
 e a concavidade de f é voltada p/baixo. Logo, 
2
(0) 0 / (0 1) 0f \uf03d \uf02d \uf03d
 e M(
0
, 0) é ponto máximo local de f. 
 2x\uf0b7 \uf03d
 é valor maior que 
1
 e a concavidade de f é voltada p/cima. Logo, 
2
(2) 2 4/(2 1)f \uf03d \uf03d\uf02d
 e m(
2
, 4) é ponto mínimo local de f. 
 
5) Determinar, se houver, os pontos de inflexão das funções 
 
a)
 4 2( ) 6 12 1f x x x x\uf03d \uf02d \uf02b \uf02b
 
 Temos que
3
'( ) 4 12 12f x x x\uf03d \uf02d \uf02b
 e 
2
''( ) 12 12f x x\uf03d \uf02d
. 
 Estudo do sinal de 
''f
: 
 1º) P/
2''( ) 0 1,112 12 0 S { }f x x\uf03d \uf0de \uf02d\uf02d \uf03d \uf0de \uf03d 
 2º) Sinal de 
''f
 + 
\uf02d
 + 
\uf0de + \uf02d + 
 
1\uf02d
 
1
 
1\uf02d
 
1
 
 Conclusão: 
 
\uf0b7
 A 
''f é zero em 1x \uf03d \uf02d e \u201ctroca de sinal\u201d na vizinhança de \uf02d 1. Logo, 
4 2
1 1 1( 1) ( ) 6( ) 12( ) 1 16f \uf02d \uf02d \uf02d\uf02d \uf03d \uf02d \uf02b \uf02b \uf03d \uf02d
 e 
1I ( 1, 16)\uf02d \uf02d
 é ponto de inflexão de f . 
 
\uf0b7
 A 
''f é zero em 1x \uf03d e \u201ctroca de sinal\u201d na vizinhança de 1. Logo, 
4 2
1 1 1(1) ( ) 6( ) 12( ) 1 8f \uf03d \uf02d \uf02b \uf02b \uf03d
 e 
2I (1,8)
 é ponto de inflexão de f . 
 
 b) 
4 3( ) 2f x x x\uf03d \uf02d
 
 Temos que
3 2
'( ) 4 6f x x x\uf03d \uf02d
 e 
2
''( ) 12 12f x x x\uf03d \uf02d
. 
 Estudo do sinal de 
''f
: 
 1º) P/
2''( ) 0 0,112 12 0 S { }f x x x\uf03d \uf0de \uf02d \uf03d \uf0de \uf03d 
 2º) Sinal de 
''f
 + 
\uf02d
 + 
\uf0de + \uf02d + 
 
0
 
1
 
0
 
1
 
 Conclusão: 
 
\uf0b7
 A 
''f é zero em 0x \uf03d e \u201ctroca de sinal\u201d na vizinhança de 0. Logo, 
4 3(0) (0) 2(0) 0f \uf03d \uf02d \uf03d
 e 
1I (0,0)
 é ponto de inflexão de f . 
 
\uf0b7
 A 
''f é zero em 1x \uf03d e \u201ctroca de sinal\u201d na vizinhança de 1. Logo, 
4 3
1 1(1) ( ) 2( ) 1f \uf03d \uf02d \uf03d \uf02d
 e 
2I (1, 1)\uf02d
 é ponto de inflexão de f . 
 
 
10 
 
c) 
2
( ) xf x e\uf02d\uf03d
 
 Temos que
2
'( ) 2
x
f x x e
\uf02d
\uf03d \uf02d
 e 
2 2
''( ) 2 (1 2 )xf x e x\uf02d\uf03d \uf02d \uf02d
. 
 Estudo do sinal de 
''f
: 
 1º) P/
2 2
2''( ) 0 (1 2 ) 2 / 2 2 / 2,0 S { }xef x x\uf02d\uf02d\uf03d \uf0de \uf02d \uf03d \uf0de \uf03d \uf02d 
 2º) Sinal de 
''f
 + 
\uf02d
 + 
\uf0de + \uf02d + 
 
2 / 2\uf02d
 
2 / 2
 
2 / 2\uf02d
 
2 / 2
 
 Conclusão: 
 
\uf0b7
 A 
''f é zero em 2 / 2x \uf03d \uf02d e \u201ctroca de sinal\u201d na vizinhança de 2 / 2\uf02d . 
Logo, 
2( 2 / 2) 1/ 2( 2 / 2)f e e\uf02d \uf02d \uf02d\uf03d \uf03d\uf02d
 e 
1/ 2
1 2 / 2I ( , )e
\uf02d
\uf02d
 é ponto de inflexão de f 
 
\uf0b7
 A 
''f é zero em 2 / 2x \uf03d e \u201ctroca de sinal\u201d na vizinhança de 2 / 2 . 
Logo, 
2( 2 / 2) 1/ 2( 2 / 2)f e e\uf02d \uf02d\uf03d \uf03d
 e 
1/ 2
1 2 / 2I ( , )e
\uf02d
 é ponto de inflexão de f . 
 
d) 
3( ) 1f x x\uf03d \uf02b
 
 Temos que
2
'( ) 3f x x\uf03d
 e 
''( ) 6f x x\uf03d
. 
 Estudo do sinal de 
''f
: 
 1º) P/
''( ) 0 6 S {0}0f x x\uf03d \uf0de \uf03d\uf03d \uf0de 
 2º) Sinal de 
''f
 
\uf02d
 + 
\uf0de \uf02d + 
 0 0 
 Conclusão: 
 
\uf0b7 Note que '(0) ''(0) 0, mas '''(0) 6 ( 0)f f f \uf0b9\uf03d \uf03d \uf03d
e 
''f \u201ctroca de sinal\u201d 
na vizinhança de 
0x \uf03d
, assim teremos ponto de inflexão horizontal em x = 0. 
Logo, 
3(0) (0) 1 1f \uf03d \uf02b \uf03d e I(0, 1) é ponto de inflexão horizontal de f. 
 Observe, neste exemplo, que a 
'f
 não troca se sinal na vizinhança de 0, 
logo não poderia ter ponto de máximo ou mínimo em x = 0. 
 
6) Obter, se houver, as assíntotas das funções: 
 
a) 
( ) , 1
1
x
f x x
x
\uf03d \uf0b9
\uf02d
 
 1º) Assíntota horizontal: 
 Temos que 
finitolim lim 1 ( )
1x x
x x
x x\uf0ae\uf0b1\uf0a5 \uf0ae\uf0b1\uf0a5
\uf03d \uf03d
\uf02d
. Logo, r: 
1y \uf03d
 é assíntota 
horizontal. 
 2º) Assíntota vertical 
 
 Vemos que x = 1 não pertence ao domínio de f, mas é ponto de acumula-
ção do domínio de f e, também, que 
 
1 1
1
lim ( ) lim
1 0x x
x
f x
x\uf0ae \uf02d \uf0ae \uf02d \uf02d
\uf0e9 \uf0f9
\uf03d \uf03d \uf03d \uf02d\uf0a5\uf0ea \uf0fa
\uf02d \uf0eb \uf0fb
 e 
1 1
1
lim ( ) lim
1 0x x
x
f x
x\uf0ae \uf02b \uf0ae \uf02b \uf02b
\uf0e9 \uf0f9
\uf03d \uf03d \uf03d \uf02b\uf0a5\uf0ea \uf0fa
\uf02d \uf0eb \uf0fb
. 
 O fato de haver limite tendendo ao infinito teremos r: 
1x \uf03d como 
assíntota vertical. 
 
11 
 
 
 3º) Assíntota inclinada: 
y a x b\uf03d \uf02b
 
 (Deverá ocorrer 
( )
lim
x
f x
a
x\uf0ae\uf0b1\uf0a5
\uf03d
 e 
\uf05b \uf05dlim ( )
x
b f