ED'S Justificativas CGA

Prévia do material em texto

Estudos Disciplinares (Justificativas)
Misturando-se 100 Kg do fertilizante “Agricultura Atual” de composição 20-10-10, com 300 KG do fertilizante “Terra Nossa” de composição 10-10-20, obtêm-se 400 Kg de um novo adubo de composição 12,5-10-17,5. Chega-se a esta conclusão uma vez que, a quantidade de nitrogênio, óxido de fósforo e óxido de potássio presentes nos fertilizante Agricultura Atual é 20 Kg, 10 Kg e 10 Kg respectivamente; e no adubo Terra Nossa é de 10 Kg, 10Kg e 20 Kg. Somando-se essas quantidades obtemos a quantidade desses elementos presentes no novo adubo: 50 Kg, 40 Kg e 70 Kg, que representam 12,5%, 10% e 17,5% da massa total de 400 Kg obtida com a mistura.
A temperatura varia ao longo do tempo de acordo com a função: 
T(L)=-0,5L +35. a= Dt/DL= (5-35)/(60-0) = -0,5. Tomamos o ponto P1=(0,35) e o valor a= -0,5 como referencia e substituímos na equação: T = a.L + b. Com isto descobrimos o valor de b= 35. Portanto T(L)=-0,5L +35.
A alternativa correta é a alternativa D, pois substituindo h por zero na equação, percebemos que o objeto demora aproximadamente 3,2 s para atingir o solo. A alternativa A é errada, pois se substituindo t por zero na equação percebemos que a altura do prédio é de 49 m e não 98 m. A alternativa C e E estão erradas, pois a variação da altura com o tempo é dada pela derivada dh/dx = -9,8 t m/s.
O horário tmin é dado pela derivada de IB’(t)=0. Sendo IB’(t) =2t -24, igualando essa equação a zero obtemos o valor de tmin=12. Para encontrar-mos o valor de IBmin basta calcularmos IB(12) = 12 ao quadrado -24*12 +143 = -1. Portanto a alternativa correta é a E) tmin= 12 e IBmin= -1.
O seguimento orientado AB é definido pela operação -A + B.  Portando a alternativa correta é a E pois AB = -(-2,3) + (1,-4) = (3,-7).
A alternativa correta é a B, pois se u=6, v=9 e o ângulo entre estes vetores for 150°, o produto escalar u.v será u.v= 6*9* -((raiz de 3)/2) = -27.(raiz de 3). As demais alternativas estão erradas, pois as respostas corretas para A, C, D e E são respectivamente: 20(raiz de 2), 0, 60 e -30.
Todas as alternativas estão incorretas uma vez que: I – A adição entre os vetores u e v é possível e resulta em (1,5,-1). II – O produto escalar u.v é possível e resulta em 4. III – u.v é diferente de –v.u, uma vez que seus resultados são respectivamente 4 e -4.
O produto Escalar u.v é igual: u.v= (5i +2j -k)*(-4i +2j +k)= -20(i ao quadrado) +10ij +5ik -8ij +4(j ao quadrado) +2jk +4ik -2kj –(k ao quadrado) = 
-20(/i/ao quadrado) +4(/j/ao quadrado) -1(/k/ao quadrado) = -20+4-1 = -17. Portanto a alternativa correta é a letra C.
O volume de água no reservatório no tempo t=3h é: V(3) = 15* (3 ao quadrado) -750* 3 +9000= 15*9 – 2250 + 9000= 135 – 2250 + 9000 = 6885 l. Portanto a alternativa correta é a letra A.
A taxa de variação do volume de água no reservatório após 3 horas do escoamento é dada pela derivada da função V(t)=V’(t)= 30.t -750.
V’(3)= 30.3 -750= 90 -750 = -660 l/h. A alternativa correta portanto é a E.
 O instante no qual a velocidade do ponto material é máxima, é dado pela derivada da função V’(t)=0. V’(t) = -9.t +18. Igualando a derivada da função a zero obtemos o valor t= 2s. A velocidade máxima então é dada por V(2)max= - 4,5* 4 +18*2= -18 + 36 = 18 m/s. Portanto a alternativa correta é a D) t=2s e Vmáx=18 m/s.
 A afirmativa I é verdadeira, pois o módulo de u é raiz da soma dos quadrados de -3 e de 4, portanto raiz quadrada de 25 que é igual a 5. A afirmativa II é correta, pois o vetor é exatamente o versor do vetor u que é dado por (-3/5, 4/5,0/5). E a afirmativa III é correta pois -15 (-3/5, 4/5,0/5) = (9,-12,0).
Para que o vetor w seja uma combinação linear de u + v, temos que (-17,12) = alfa (-2,0) + beta (3,-4). Isto leva a igualdade (-17,12) = (-2alfa+ 3 beta, -4beta). Resolvendo o sistema  -2alfa+ 3 beta = -17 e -4beta = 12, temos que beta = -3 e alfa = 4.
PL + IH + AO + DE +FQ = 0 + AO + OD + DP = AP
AQ= AE + EG + GQ = AE + AC +2/3GH = AE + AC + 2/3AB
A afirmativa I está correta, pois 2*(1,-2) -4*(-4,0) = (2,-4) - (-16,0) = (18,-4). A afirmativa II está correta, pois (1,-2) + (-4,0) = (-3,-2) e o módulo deste é a raiz quadrada da soma dos quadrados de -3 e -2 que é igual a raiz quadrada de 13. A afirmativa III está errada, pois zero é diferente de 8.
. Se os vetores são paralelos então (x + 12) / 6 = 3 /9, então 9 (x+ 12) = 6*3, portando 9 x + 108 = 18; 9x= -108+18, x=-90/9 = -10. x é então -10.
A alternativa correta é a D, pois o módulo de S é a raiz quadrada da soma dos quadrados de 3 e -6 que é igual a raiz quadrada de 45 que é igual a 3 raiz quadrada de 5.
 A alternativa correta é a B pois o vetor AB = -(-1,3) + (0,4) = (1,-7)  se verificarmos o paralelismo com o vetor u = (-4, 28) temos que 1 / -4 = -7/28 e como 28 = 28 (multiplicação cruzada), portando isto é uma verdade.
 O vetor definido por AB = - (-1,0) + (-2,1) = (-1, 1). O verso deste vetor é dado pelo vetor AB divido por seu módulo que é raiz quadrada da soma dos quadrados de -1 e 1, portanto raiz quadrada de 2. O valor do versor é então (- raiz quadrada de dois / 2, raiz quadrada de dois / 2).
O volume de água no tanque no instante de 2 minutos é obtido por V(2)= 6.(2 ao cubo) + 1,5*2 = 6*8 +3 = 48+3= 51 litros. Alternativa correta é portanto a C.
A taxa de variação do volume de água no tanque no instante 2 minutos é dado pela derivada da função V(2)= V’(2)=18*(2 ao quadrado) +1,5 = 72+1,5 = 73,5 litros. Portanto a alternativa correta é a B.
A derivada da função y= (x +16). Senx é obtida através da regra do produto segundo a qual y’ = u’. v + u.v’. Portanto y’= 1. Senx +(x +16). Cosx Senx + (x +16). Cosx, alternativa B.
A inclinação da reta tangente ao gráfico de f(x) = x3 – 8 no ponto de abscissa igual a –2, é obtida pela derivada de f(x) no ponto 2. F’(x) = 3. (x ao quadrado), portanto F’(2) = 3. (2 ao quadrado) = 3.4= 12. Alternativa correta é a A.
Para obtermos a derivada de F(x) = e(elevado a x) . sen 2x é necessário aplicar os conceitos de regra da cadeia segundo a qual Dy/dx = Du/dx * dy/du. Aplicando os conceitos da regra da cadeia chegamos ao resultado dy/dx = e(elevado a x)* cos2x. Portanto f’(0) = 1. Alternativa correta é a B.
 I – Falsa pois o produto escalar gerará um número escalar e não um vetor.
 II- Verdadeira pois o produto escalar entre u e v será: 2.0 + (-3) . (-4) = 12.
III- a alternativa é falsa pois o produto entre os vetores u=(2,4,0) e v=(0,3,0), será igual a: 2.0 + 3.4 + 0.0 = 12 
 Considerando os vetores u = (2, -4) , v= (1, -2), o produto escalar de 2u e 5v é: (2.(2,-4)) . (5.(1,-2))= (4,-8).(5,-10)= 20 + 80 = 100. Portanto a alternativa correta é a C.
 A área do paralelogramo determinado pelos vetores u=(2, -4, 2) e v=(1, -4, 0) é igual ao módulo do vetor obtido através do produto vetorial u^v= 0i +2j -8k +4k +8i +0J= 8i +2j -4k = (8, 2, -4). A área do paralelogramo é igual à raiz da soma dos quadrados de x, y e z que é igual raiz de 84, que equivale a 2 vezes a raiz de 21. Portanto a alternativa correta é a A.
 E - A área do triângulo definido por U e V é igual a metade da área do paralelogramo definido pelos mesmos. Como a área do paralelogramo = módulo de U . módulo de V . sen teta, então o valor da área do triângulo é dada por 1/2 . 2 . 3 . 1/2 = 3/2 = 1,5
 B - O vetor W é paralelo ao vetor U.V pois 2/1 = (-4/-2) = 10/5 = 2. Então ele é ortogonal a U e V. O seu módulo é igual a raiz quadrada de (2 ao quadrado + (-4) ao quadrado + 10 ao quadrado) = 2 raiz 30
 O produto escalar entre u.v = 2.1 + (-2). 1 + (-1) .0= 2 -2 +0= 0. Portanto a alternativa correta é a A u.v=0.
 Se o módulo de u=3 e o de v=4 e ambos são ortogonais (sendo assim u.v=0), o resultado de (u + v) . (u + 2v) = u ao quadrado + 2.v.u +v.u + 2. V ao quadrado =9 +2.0 +0 + 32 = 41. Então a alternativa correta é a C.
 Sendo u e v ortogonais então o produto escalar entre ambos deverá ser igual a zero, então: u.v = 2 +x -32 = 0,x -30= 0, x=30. A alternativa correta é a B: x=30.
 O produto vetorial entre u e v é igual : u^v= 0i -2j +0k +6k +4i +0j= 4i -2j +6k. Portanto o vetor resultante é o exposto na alternativa A: (4, -2, 6).
 Aplicando a regra da cadeia em ambas as funções chegamos a conclusão de que todas estão corretas, portanto a alternativa certa é a D.
 A afirmação I está errada, pois a derivada da função f(x)= sen (2x +4 ) é f’(x)= 2. Cós( 2x +4). As afirmações II e III estão corretas, e podemos comprovar aplicando a regra da cadeia às mesmas para encontrar suas derivadas. 
 I- Realizando o cálculo da integral de 3.(x ao quadrado), temos que sua primitiva é igual (x ao cubo) + constante. Portanto a afirmativa está correta.
II- Realizando o cálculo da integral de 4.(x ao cubo), temos que sua primitiva é igual (x elevado a quatro) + constante. Portanto a afirmativa está correta.
III- Realizando o cálculo da integral de 5.(x elevado a quarta), temos que sua primitiva é igual (x elevado a cinco) + constante. Portanto a afirmativa está correta. Sendo assim a afirmativa correta é a D todas as afirmativas estão corretas.
 A alternativa correta é a B. Chegamos a esta conclusão realizando a integração da equação da velocidade 14t -2(t ao cubo), com isto obtemos a equação: S(t)= 7.(t ao quadrado) -2.(t ao cubo) + constante. Substituindo os dados inicialmente dados S(1)= 16 cm, na equação temos que S(t)= 7.(t ao quadrado) -2.(t ao cubo) + 11
 A alternativa correta é a A: x ao quadrado + senx + C
 Apenas as afirmativas I e II estão corretas, pois a integral da função de III será x.(e elevado a x) + C