VA_Calculo_II_Aula_01_Tema_01

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Cálculo II
Conceitos de Derivada
Tema 1
Prof.ª Jeanne Dobgenski
Conceitos de Derivada
• O objetivo de um curso de cálculo é o estudo
de funções, e a derivada é um dos
instrumentos usados para estudar as
propriedades e os detalhes do comportamento
da função num ponto ou local.
• Ela permite verificar se a função está crescendo
ou decrescendo, se há um ponto de mínimo ou
de máximo, mesmo que local, se a função
muda de direção, entre outros.
Conceitos de Derivada
• Para uma compreensão plena sobre
derivadas, relembraremos conceitos que
estão interligados:
• Taxa de variação média.
• Taxa de variação instantânea.
• Limites.
• Tangentes.
• Derivadas.
Taxa de Variação Média
• A taxa de variação é a razão em que uma
quantidade varia em relação a outra.
• Na velocidade de um carro, se for
considerada a razão da distância percorrida
pelo intervalo de tempo gasto, o resultado é
a velocidade média para realizar o percurso.
Taxa de Variação Média
Fonte: Weir (2011, p. 155)
• Se m>0 a taxa de
variação é positiva e
a função é
crescente.
• Se m<0 a taxa de
variação é negativa
e a função é
decrescente.
AB
AB
xx
yy
Δx
Δy
xemvariação
yemvariação


m
Δx
Δy
xemvariação
yemvariaçãomédia variaçãode Taxa 
Figura 1 Velocidade média –
taxa de variação média de P 
a Q.
Taxa de Variação Média
Figura 2 – Uma unidade de
aumento em x produz
sempre m unidades de
variação em y.
Figura 3 - Uma unidade
de aumento em x
produz diferentes
magnitudes de valor de
m para a variação em y.
Fonte: Anton et al. (2007, p.172-3)
• Taxas instantâneas e retas tangentes estão
intimamente ligadas.
• A taxa de variação instantânea compreende um
valor de variação num instante específico.
• Sua definição depende de sermos convencidos
de que intervalos cada vez menores vão
fornecer velocidades médias que se tornam
arbitrariamente próximas desse valor de
variação. Esse processo é chamado de tomar o
limite.
Taxa de Variação Instantânea
Taxa de Variação Instantânea
Fonte: Thomas (2012, p. 132)
Figura 4 Diagrama para obter o coeficiente angular
da função y = x² no ponto P (2,4).
Para calcular a taxa de variação instantânea, neste
exemplo, é necessário diminuir o intervalo entre as
variáveis independentes dos pontos analisados até o
ponto x=2, então ∆x
deve diminuir até muito próximo de zero, certo?
Sim. Logo, pode-se dizer que à medida que ∆x→0 a
reta secante PQ “tende” para uma posição limite.
Essa posição é representada pela reta tangente à
curva no ponto P. Logo, se ∆x→0, então Q→P.
Taxa de Variação Instantânea
Conceitos de Derivada
Continuando
Taxa de Variação Instantânea
44)2(
Δx
Δy
 temosx considerar aoou 44)2(
Δx
Δy
2
2







x
x
xm
h h
h
hm
Taxa de Variação Instantânea e 
Tangente
A variação instantânea no ponto x = 2 é dada
pela inclinação da reta tangente nesse ponto,
ou pelo coeficiente angular da reta tangente.
Pelo processo de tomar o limite, fazendo a
distância do intervalo de Q a P diminuir até
zero, ∆x tenderá a zero (pela definição).
Taxa de Variação Instantânea e 
Tangente
Fonte: Murolo e Bonetto (2012, p. 166) 
Figura 5 Representação gráfica de Q→P quando h→0.
Taxa de Variação Instantânea e 
Limite
Como indicado na Figura 4, o coeficiente
angular da reta tangente em x = 2 será m = 4.
Em termos matemáticos:
msec = ∆x+4, Q→P então ∆x→0, logo mtang = 4.
Então, podemos escrever:
Δx
)f(x-Δx)f(xlim 00
0tan


xg
m
Taxa de Variação Instantânea, 
Tangente, Limite e Derivada
Esse cálculo pode ser efetuado ao verificar-se o
valor da taxa de variação média em intervalos
cada vez menores de forma a ∆x ser
suficientemente próximo de 0.
Esse processo (ou tipo de limite) foi identificado
como o cálculo da taxa de variação instantânea,
ou ainda como a determinação do coeficiente
angular (inclinação) da reta tangente que passa
no ponto limite, sendo esta a definição da
derivada num ponto.
Derivada num Ponto
A derivada de uma função num ponto é a taxa
de variação instantânea naquele ponto.
A derivada de f em a (“a” é o ponto em
análise), denotada por f'(a), é definida por:
Se existir o limite, então f é diferenciável em
a.
h
afhafafaf
h
)()(lim)(' em de variaçãode Taxa
0



Derivada num Ponto
Verifique que se x = a + h, então h = x – a e
h tende a 0 se e somente se x tende a “a”.
Consequentemente, uma maneira equivalente
de enunciar a definição da derivada é
ax
afxfaf
ax 



)()(lim)('
Conceitos de Derivada
Agora é a sua vez
Exercício 1
Encontre a derivada da função f(x) = x2 – 8x
+ 9 em um número “a”. (STEWART, 2010, p.
133)
Exercício 1 - Resolução
Usando a definição de derivada em que h→0,
deve-se aplicá-la a f(x) que se deseja derivar.
É importante lembrar que é necessário
subtrair a função f(x) quando estiver no ponto
x= a+h da f(x) quando x=a.
Veja a seguir a solução algébrica.
Exercício 1 - Resolução
Exercício 2
Determine o coeficiente angular da curva
y=1/x em x = a. Mostre onde o coeficiente
angular é -1/4 e o que ocorre com a tangente
à curva no ponto (a, 1/a) quando a varia.
(WEIR, 2009, p. 133)
Exercício 2 - Resolução
• Item 1: coeficiente angular de f(x) = 1/x
em (a, 1/a).
Exercício 2 - Resolução
• Item 2: mostrar onde o coeficiente angular
é -1/4.
Exercício 2 - Resolução
• Item 2: mostrar onde o coeficiente angular
é -1/4.
Exercício 2 - Resolução
• Item 3: o que acontece com a curva em (a,
1/a) quando a varia.
Exercício 2 - Resolução
• Item 3: o que acontece com a curva em (a,
1/a) quando a varia.
Conceitos de Derivada
Finalizando
Taxa de Variação Média
Figura 2 – Uma unidade de
aumento em x produz
sempre m unidades de
variação em y.
Figura 3 - Uma unidade
de aumento em x produz
diferentes magnitudes de
valor de m para a
variação em y.
Fonte: Anton et al. (2007, p.172-3)
• Taxas instantâneas e retas tangentes estão
intimamente ligadas.
• A taxa de variação instantânea compreende um
valor de variação num instante específico.
• Sua definição depende de sermos convencidos
de que intervalos cada vez menores vão
fornecer velocidades médias que se tornam
arbitrariamente próximas desse valor de
variação. Esse processo é chamado de tomar o
limite.
Taxa de Variação Instantânea
Taxa de Variação Instantânea e 
Tangente
Fonte: Murolo e Bonetto (2012, p. 166) 
Figura 5 – Representação gráfica de Q→P quando 
h→0.
Taxa de Variação Instantânea
44)2(
Δx
Δy
 temosx considerar aoou 44)2(
Δx
Δy
2
2







x
x
xm
h h
h
hm
Taxa de Variação Instantânea e 
Limite
Como indicado na Figura 4, o coeficiente
angular da reta tangente em x = 2 será m =
4. Em termos matemáticos:
msec = ∆x+4, Q→P então ∆x→0, logo mtang = 4.
Então, podemos escrever:
Δx
)f(x-Δx)f(xlim 00
0tan


xg
m
Derivada num Ponto
Como a derivada de uma função num ponto é
a taxa de variação instantânea naquele ponto,
a derivada de f em a (“a” é o ponto em
análise), denotada por f'(a), é definida por:
Assim, se existir o limite, então f é
diferenciável em a.
h
afhafafaf
h
)()(lim)(' em de variaçãode Taxa
0



Derivada num Ponto
Verifique que se x = a + h, então h = x – a e
h tende a 0 se e somente se x tende a “a”.
Consequentemente, uma maneira equivalente
de enunciar a definição da derivada é:
ax
afxfaf
ax 



)()(lim)('