Física Clássica Aula 12

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Impulso
Coliso˜es unidimensionais
F´ISICA CLA´SSICA
Rafael,
Suzana
Bras´ılia, 1o semestre de 2009
Universidade de Bras´ılia - Faculdade do Gama
Rafael,Suzana F´ISICA CLA´SSICA
Impulso
Coliso˜es unidimensionais
Introduc¸a˜o
Uma colisa˜o entre duas part´ıculas acontece quando uma e´ lanc¸ada
contra a outra ocorrendo troca de energia e quantidade de
movimento como consequeˆncia dessa interac¸a˜o
I Antes da colisa˜o existe uma configurac¸a˜o inicial onde a
interac¸a˜o e´ desprez´ıvel e as part´ıculas se movem em
movimento retil´ıneo uniforme
I O processo de colisa˜o ocorre numa etapa intermedia´ria
quando as part´ıculas entram em uma regia˜o de interac¸a˜o
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Impulso
Coliso˜es unidimensionais
Introduc¸a˜o
I As interac¸o˜es podem ser causadas por forc¸as de contato,
como tambe´m forc¸as gravitacionais ou ele´tricas
I Na configurac¸a˜o final, as part´ıculas se afastam dessa regia˜o de
interac¸a˜o movendo-se novamente como part´ıculas livres
I O problema fundamental das coliso˜es consiste em obter uma
configurac¸a˜o final a partir de uma configurac¸a˜o inicial,
levando-se em conta princ´ıpios de conservac¸a˜o de quantidade
de movimento e de energia, na maioria dos casos
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Impulso
Coliso˜es unidimensionais
Impulso
Coliso˜es unidimensionais
Rafael,Suzana F´ISICA CLA´SSICA
Impulso
Coliso˜es unidimensionais
Exemplo 1
Suponha que um corpo de massa m sofre a ac¸a˜o de uma forc¸a
muito intensa, em um per´ıodo de tempo muito curto, como por
exemplo na colisa˜o de uma bola com o cha˜o.
I Para analizar o movimento da bola durante a ac¸a˜o desta
forc¸a, podemos usar a 2a lei de Newton
I F = dPdt ⇒ dP = Fdt
I integrando esta u´ltima expressa˜o obtemos:
I ∆P =
∫ tf
ti
F (t)dt
I Que e´ a definic¸a˜o de impulso da forc¸a F . Note que a definic¸a˜o
na˜o depende do fato de F ser impulsiva (que tem per´ıodo de
ac¸a˜o muito curto).
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Impulso
Coliso˜es unidimensionais
Exemplo 1
Suponha que um corpo de massa m sofre a ac¸a˜o de uma forc¸a
muito intensa, em um per´ıodo de tempo muito curto, como por
exemplo na colisa˜o de uma bola com o cha˜o.
I Para analizar o movimento da bola durante a ac¸a˜o desta
forc¸a, podemos usar a 2a lei de Newton
I F = dPdt ⇒ dP = Fdt
I integrando esta u´ltima expressa˜o obtemos:
I ∆P =
∫ tf
ti
F (t)dt
I Que e´ a definic¸a˜o de impulso da forc¸a F . Note que a definic¸a˜o
na˜o depende do fato de F ser impulsiva (que tem per´ıodo de
ac¸a˜o muito curto).
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Impulso
Coliso˜es unidimensionais
Exemplo 1
Suponha que um corpo de massa m sofre a ac¸a˜o de uma forc¸a
muito intensa, em um per´ıodo de tempo muito curto, como por
exemplo na colisa˜o de uma bola com o cha˜o.
I Para analizar o movimento da bola durante a ac¸a˜o desta
forc¸a, podemos usar a 2a lei de Newton
I F = dPdt ⇒ dP = Fdt
I integrando esta u´ltima expressa˜o obtemos:
I ∆P =
∫ tf
ti
F (t)dt
I Que e´ a definic¸a˜o de impulso da forc¸a F . Note que a definic¸a˜o
na˜o depende do fato de F ser impulsiva (que tem per´ıodo de
ac¸a˜o muito curto).
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Impulso
Coliso˜es unidimensionais
Exerc´ıcios
1. Considere que a forc¸a F e´ constante durante um intervalo de
tempo ∆t e zero em qualquer outro tempo. Qual a variac¸a˜o
na quantidade de movimento do corpo de massa m? Se
F (t) = 1/a para t < a e zero para qualquer outro tempo, qual
a variac¸a˜o na quantidade de movimento do corpo de massa
m? Fac¸a o limite lima→0 no resultado obtido, ha´ alguma
diferenc¸a?
Nota: A func¸a˜o definida por δ(t) = lima→0 F (t) e´ conhecida como
func¸a˜o delta (na verdade e´ uma distribuic¸a˜o, mas isso e´ assunto
para outro curso...).
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Impulso
Coliso˜es unidimensionais
Impulso
Coliso˜es unidimensionais
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Impulso
Coliso˜es unidimensionais
Exemplo 2
Suponha agora que arremessamos uma bola contra uma mola, que
obedece a` lei de Hooke, e esta´ firmemente presa ao solo.
I Como na˜o ha´ a ac¸a˜o de forc¸as externas (desprezando a
gravidade...), a quantidade total de movimento e a energia
total sa˜o conservadas.
I Em t = ti , a energia total do sistema e´ devida somente a`
energia cine´tica da bola Etotal = Tb = mb
v2bi
2 .
I Ao colidir com a mola, a bola transfere energia para a mola,
que enta˜o armazena esta energia sob a forma de energia
potencial ela´stica.
I Podemos calcular qual a deflexa˜o ma´xima da mola
1
2kx
2
max =
1
2mbv
2
bi .
I Apo´s atingir a ma´xima deflexa˜o, a mola enta˜o empurra a bola
de volta no sentido contra´rio ate´ que a ma´xima velocidade e´
atingida.
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Coliso˜es unidimensionais
Exemplo 2
Suponha agora que arremessamos uma bola contra uma mola, que
obedece a` lei de Hooke, e esta´ firmemente presa ao solo.
I Como na˜o ha´ a ac¸a˜o de forc¸as externas (desprezando a
gravidade...), a quantidade total de movimento e a energia
total sa˜o conservadas.
I Em t = ti , a energia total do sistema e´ devida somente a`
energia cine´tica da bola Etotal = Tb = mb
v2bi
2 .
I Ao colidir com a mola, a bola transfere energia para a mola,
que enta˜o armazena esta energia sob a forma de energia
potencial ela´stica.
I Podemos calcular qual a deflexa˜o ma´xima da mola
1
2kx
2
max =
1
2mbv
2
bi .
I Apo´s atingir a ma´xima deflexa˜o, a mola enta˜o empurra a bola
de volta no sentido contra´rio ate´ que a ma´xima velocidade e´
atingida.
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Coliso˜es unidimensionais
Coliso˜es ela´sticas
I Exerc´ıcio: Imagine agora que a mola do exemplo anterior na˜o
esta´ mais presa no solo, mas sim sobre outra bola. O que
deve acontecer na colisa˜o entre as duas bolas (com a mola no
meio e´ claro!)? Dica: use a conservac¸a˜o da energia total e
quantidade de movimento na situac¸a˜o antes e depois da
colisa˜o.
I A este tipo de colisa˜o damos o nome de colisa˜o ela´stica, e
ocorre sempre que a deformac¸a˜o nos corpos que colidem e´
revers´ıvel(o que equivale a` mola do nosso exemplo...).
Observe que a energia cine´tica do sistema e´ conservada na
colisa˜o, ale´m da energia total.
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Coliso˜es unidimensionais
Coliso˜es ela´sticas
I Exerc´ıcio: Imagine agora que a mola do exemplo anterior na˜o
esta´ mais presa no solo, mas sim sobre outra bola. O que
deve acontecer na colisa˜o entre as duas bolas (com a mola no
meio e´ claro!)? Dica: use a conservac¸a˜o da energia total e
quantidade de movimento na situac¸a˜o antes e depois da
colisa˜o.
I A este tipo de colisa˜o damos o nome de colisa˜o ela´stica, e
ocorre sempre que a deformac¸a˜o nos corpos que colidem e´
revers´ıvel(o que equivale a` mola do nosso exemplo...).
Observe que a energia cine´tica do sistema e´ conservada na
colisa˜o, ale´m da energia total.
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Coliso˜es unidimensionais
Coliso˜es ela´sticas
Considere duas part´ıculas de massa m1 e m2 que se movem ao
longo de uma reta e colidem elasticamente. Sendo as velocidades
iniciais antes da colisa˜o v1i e v2i , para que ocorra a colisa˜o a
velocidade relativa deve satisfazer a condic¸a˜o v1i − v2i > 0
I Supo˜e-se que somente ajam as forc¸as internas de interac¸a˜o,
sendo assim a quantidade de movimento se conserva Pi = Pf
I Por hipo´tese como a colisa˜o e´ ela´stica a energia cine´tica total
tambe´m se conserva
I T = p
2
2m
I Ti = Tf
I p1i2
2m1
+ p2i
2
2m2
= p1f
2
2m1
+ p2f
2
2m2
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Coliso˜es ela´sticas
I Combinando-se as equac¸o˜es de conservac¸a˜o de quantidade de
movimento e de energia cine´ticaobtem-se as relac¸o˜es entre as
velocidades finais das part´ıculas a partir das velocidades
iniciais
I v1f = (m1−m2m1+m2 )v1i +
2m2
m1+m2
v2i
I v2f = 2m1m1+m2 v1i − (
m1−m2
m1+m2
)v2i
I
I Pense no que ocorre nestas situac¸o˜es:
I Colisa˜o ela´stica entre massas iguais
I Colisa˜o de uma massa com a outra em repouso com
m1 << m2 ou m1 >> m2
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Impulso
Coliso˜es unidimensionais
Exerc´ıcios
Uma bala de 100g disparada de um rifle a 340 m/s atinge um alvo
de 70 Kg que inicialmente esta´ imo´vel e ricocheteia.
1. Considerando a colisa˜o como ela´stica qual deve ser o impulso
da bala sobre o alvo?
2. Se o coeficiente de atrito esta´tico e´ µe = 0.3 e o dinaˆmico e´
µd = 0.2, qual a distaˆncia percorrida pelo alvo apo´s ser
atingido pela bala?
3. De que modo os coeficientes de atrito devem ser alterados de
modo a inverter o comportamento observado no item anterior?
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Refereˆncias
I Lista de exerc´ıcios: todos os exerc´ıcios do cap´ıtulo 8 e os
exerc´ıcios 1-10 do cap´ıtulo 9.
I Livro texto, cap´ıtulo 9 (p. 168 - 174).
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