Calculo Diferencial e Integral 1

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Disciplina: Cálculo Diferencial e Integral I 
Prof. Dr. Frederico de Oliveira Matias 
Curso de Licenciatura em Matemática – UFPBVIRTUAL 
fred@mat.ufpb.br 
Curso de Matemática – UFPBVIRTUAL 
Ambiente Virtual de Aprendizagem: Moodle www.ead.ufpb.br 
Site da UFPBVIRTUAL www.virtual.ufpb.br 
Site do curso www.mat.ufpb.br/ead 
Telefone UFPBVIRTUAL (83) 3216 7257 
 
Carga horária: 60 horas Créditos: 04 
Ementa 
Limites, Continuidade e Derivadas. 
Descrição 
Esta disciplina consiste em uma apresentação seqüencial de conceitos, propriedades, resultados derivados 
e aplicações, integrantes de um estudo que envolve os conteúdos de Limites, Continuidade e Derivadas. Para que 
os aprendentes passem a dominar estes assuntos, partiremos de princípio que os mesmos tenham cursado a 
disciplina Matemática para o Ensino Básico II onde foram apresentados aos conteúdos das funções: polinomiais, 
exponenciais, logarítmicas e racionais. O estudante deve desenvolver sua capacidade de leitura, escrita e 
discussão dentro de um ambiente interativo, trabalhando em grupo e utilizando como ferramenta a plataforma 
Moodle. 
Objetivos 
Ao final do curso, espera-se que o aluno esteja habilitado para: 
	 Compreender, aplicar o conceito de limites e dominar suas principais propriedades; 
	 Compreender, aplicar o conceito de continuidade e dominar suas principais propriedades; 
	 Compreender, aplicar o conceito de derivada de uma função real e dominar suas principais 
propriedades; 
	 Construir modelos para resolver problemas envolvendo funções de uma variável real e suas 
derivadas; 
	 Ler, interpretar e comunicar idéias matemáticas. 
 
 
 
 
 
 
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Unidades Temáticas Integradas 
Unidade I Limites 
• Noção Intuitiva 
• Definição 
• Propriedades dos Limites 
• Limites Laterais 
• Cálculo de Limites 
• Limites no Infinito 
• Limites Infinitos 
• Propriedades dos Limites Infinitos 
• Limites Fundamentais 
Unidade II Continuidade 
• Continuidade em um ponto 
• Teste de Continuidade 
• Propriedades de Funções Contínuas 
• Composta de Funções Contínuas 
• Teorema do Valor Intermediário: 
Unidade III Derivada 
• A Derivada de uma Função num Ponto 
• A Reta Tangente 
• Continuidade de Funções Deriváveis 
• Derivadas Laterais 
• Regras de Derivação 
• Derivada das Funções Elementares do Cálculo 
• Regras de L’Hospital 
• Derivação de Função Composta 
• Derivada da Função Inversa 
• A Derivada de uma Função na Forma Implícita 
 
 
 
 
 
 
 
 129
Unidade I Limites 
1. Situando a Temática 
 O conceito de Limite de uma função realiza um papel muito importante em toda teoria matemática 
envolvida com o Cálculo Diferencial e Integral. Há uma cadeia ordenada muito bem estabelecida no Cálculo: 
Conjuntos, Funções, Limites, Continuidade, Derivadas e Integrais 
 Para entender os três últimos conceitos da lista acima, a Teoria de Limites é fundamental. Além disso, para 
compreender esta teoria será preciso que você tenha domínio sobre o conteúdo de Funções que são regras bem 
definidas que associam a cada elemento de um conjunto de partida, denominado Domínio, um único elemento 
em um conjunto de chegada, denominado Contra-Domínio. Mais precisamente, 
:f A B→ é função x , ! ( )A y f x B⇔ ∀ ∈ ∃ = ∈ . 
 Os conjuntos e A B representam respectivamente o Domínio e o Contra-Domínio da função f . O 
elemento ( )f x denomina-se a imagem do elemento x pela função f . 
 Na disciplina Matemática para o Ensino Básico II você foi apresentado aos conteúdos das funções: 
polinomiais, exponenciais, logarítmicas e racionais, as quais serão úteis para o estudo do conteúdo de limites. 
 O objetivo desta unidade é dar uma definição de LIMITE de uma maneira intuitiva e também de uma 
maneira convencional. Vamos apresentar propriedades e teoremas referentes a limites de funções. Tais 
resultados (propriedades e teoremas) serão apresentados, na sua maioria, sem demonstrações, através de alguns 
exemplos ou exercícios ilustrativos mas, se você tiver interesse em estudá-los poderá encontrá-los nas 
referências bibliográficas. Uma justificativa para a omissão das demonstrações é tornar o texto conciso. 
 Este texto complementa-se na plataforma MOODLE, onde estão as listas de exercícios e atividades 
relacionadas com o texto. Os exercícios são parte fundamental da disciplina, uma vez que vamos adotar uma 
metodologia apoiada na resolução de exercícios. 
2. Problematizando a Temática 
Limite na vida prática 
 
Observamos algumas situações, nas quais estão presentes as idéias intuitivas de limite: 
 
1. Se o câmbio do dólar americano tende a estabilizar em torno de R$ 1,73, então o valor pago por 100 
dólares estabiliza em torno de R$ 173,00. Logo, podemos falar que o limite (valor pago por 100 dólares) 
é igual a R$ 173,00, quando o valor pago por 1 dólar tende a R$ 1,73 . Podemos representar tal situação 
por: 
1,73 173lim
100
x
x
=
→
 
2. Imagine uma placa metálica quadrada que se expande uniformemente por estar sendo aquecida. Se x 
representa o comprimento do lado, a área da placa é dada por 2( )A x x= . Evidentemente, quando x se 
aproxima de 3 , a área da placa A se aproxima de 9 . Expressamos essa situação simbolicamente por 
2 9lim
3
x
x
=
→
 
3. Suponhamos agora que você esteja dirigindo um automóvel. Se o acelerador for calcado para baixo em 
torno de 2 cm, então a velocidade se manterá próximo aos 60 Km/h. Logo, podemos dizer que o limite 
 130
(velocidade instantânea do automóvel) é igual a 60 Km/h, quando o acelerador tender a 2 cm para baixo. 
Matematicamente escrevemos tal situação por 
( ) 60lim
2
v x
x
=
→
, 
 onde ( )v x é a velocidade instantânea do automóvel e x é a medida em centímetros do deslocamento do 
pedal do acelerador. 
 4. Outra aplicação interessante do limite de uma função é o cálculo da velocidade instantânea de um corpo 
em queda livre sob a ação da gravidade. 
O conteúdo desta unidade está distribuído nos tópicos seguintes: 
• Noção Intuitiva 
• Definição 
• Propriedades dos Limites 
• Limites Laterais 
• Cálculo de Limites 
• Limites no Infinito 
• Limites Infinitos 
• Propriedades dos Limites Infinitos 
• Limites Fundamentais 
3. Conhecendo a Temática 
3.1 Limites 
3.1.1 Noção Intuitiva 
 Estudaremos o comportamento de uma função f nas proximidades de um ponto. Para fixar idéias, 
consideremos a função :f ℝ \ {1}→ℝ definida por: 
2 1 ( 1)( 1)( ) 1
1 1
x x xf x x
x x
− − += = = +− − 
 Ao analisar o comportamento desta função nas vizinhanças do ponto 1x = , ponto este que não pertence ao 
domínio de f , constatamos que esta função se aproxima rapidamente do valor 2L = , quando os valores de x 
se aproximam de 1x = , tanto por valores de 1x < (à esquerda de 1) como por valores 1x > (à direita de 1). 
Do ponto de vista numérico, a tabela abaixo mostra o comportamento da função f , para valores x à esquerda e 
à direita de 1x = . 
TABELA 
Pela esquerda de 1x = Pela direita de 1x = 
x 0 0,5
 
 0,9
 
0,99 0,999 1 x 2 1,5 1,2
 
1,1 1,01 1,001
 
1 
)(xf
 
1 1,5
 
1,8
 
1,9
 
1,99 1,999 2 ( )f x
 
3 2,5 2,2
 
2,1
 
2,01 2,001
 
2 
Neste caso, dizemos 2L = é o limite da função f quando x se aproxima de 1, o que denotaremos por: 
 131
1
( ) 2lim
x
f x
→
= 
3.1.2 Definição Informal de Limite 
 
Seja ( )f x definida em um intervalo aberto em torno de x0 exceto talvez em x0. Se ( )f x fica 
arbitrariamente próximo de L , para todos os valores de x suficientemente próximos dex0, dizemos que f tem 
limite L quando x tende a x0 e escrevemos 
0
( )lim
x x
f x L
→
= 
Essa definição é “informal” porque as expressões “arbitrariamente próximo” e “suficientemente próximos” são 
imprecisas; seu significado depende do contexto. Para um metalúrgico que fabrica um pistão, próximo pode 
significar alguns milésimos de centímetro. Para um astrônomo que estuda galáxias distantes, próximo pode 
significar alguns milhares de anos-luz. Entretanto, a definição é suficientemente clara para permitir o 
reconhecimento e a avaliação dos limites de várias funções específicas. 
 
Exemplo 1: O Valor do Limite Não Depende do Modo como a Função é Definida em 0x 
 
Com efeito, consideremos as seguintes funções: 
a) 
2 1( ) , 1
1
xf x x
x
−= ≠− 
b) 
2 1 , 1
g(x) 1
 1, 1
x x
x
x
⎧ − ≠⎪= −⎨⎪ =⎩
 
c) ( ) 1h x x= + 
Note que ( ) ( ) ( ) 2
1 1 1
lim lim limf x g x h x
x x x
= = =
→ → →
 sem que exista (1)f , com (1) 1 2g = ≠ e (1) 2h = (Veja 
Figura 1). 
 
 
Figura 1: Funções do Exemplo 1. 
 
Exemplo 2: Os Limites Podem Não Existir 
 
De fato: discutamos o comportamento quando 0x → das seguintes funções: 
(a) A função de salto unitário definida por 
0, 0
( ) 
1, 0
x
U x
x
<⎧= ⎨ ≥⎩
 
(b) A função 
1 , 0
( )
0, 0
x
g x x
x
⎧ ≠⎪= ⎨⎪ =⎩
 
 132
(c) A função 
0, 0
( ) 1 , 0
x
f x
sen x
x
≤⎧⎪= ⎨ ⎛ ⎞ >⎜ ⎟⎪ ⎝ ⎠⎩
 
Soluções: 
(a) A função de salto unitário ( )U x não tem limite quando 0x → porque seus valores “saltam” em 
0x = . Para valores negativos de x arbitrariamente próximos de zero, ( ) 0U x = . Para valores positivos de 
x , arbitrariamente próximos de zero, ( ) 1U x = . Não há um único valor de L do qual ( )U x se aproxime 
quando 0x → (Figura 2 (a)). 
(b) A função cresce demais para ter um limite: ( )g x não tem um valor limite quando 0x → porque 
g cresce arbitrariamente em valor absoluto quando 0x → e não se mantém próximo de nenhum valor real 
(Figura 2 (b)). 
(c) A função oscila demais para ter um limite: ( )f x não tem limite quando 0x → porque os valores da 
função oscilam entre 1 e 1− em cada intervalo aberto que contém 0 . Os valores não se mantêm próximos 
de nenhum número quando 0x → 
(Figura 2 (c)). 
 
 
Figura 2: Funções do Exemplo 2. 
 
3.1.3 Definição Formal de Limite 
 
Definição: Seja ( )f x uma definida em um intervalo aberto em torno de 0x , 
exceto possivelmente em 0x . Dizemos que ( )f x tem limite L quando 
0x x→ e escrevemos 
0
( )lim f x L
x x
=
→
, 
se, para cada número 0ε > , existir um número correspondente 0δ > tal 
que para todos os valores de x, 
00 ( )x x f x Lδ ε< − < ⇒ − < . 
 
 Graficamente temos: 
Exemplo: Testando a Definição 
Mostre que ( 1) 2lim
1
x
x
+ =
→
 
Solução: sejam 0 1x = , ( ) 1f x x= + e 2L = na definição de limite. Para qualquer 0ε > , precisamos 
encontrar um 0δ > adequado ( ( )δ δ ε= , isto é, o número real δ depende do número real ε fornecido), tal que 
se 1x ≠ e x está a uma distância menor do que δ de 0 1x = , ou seja, se 0 1x δ< − < , então ( )f x está a 
uma distância menor do que ε de 2L = , isto é, ( ) 2f x ε− < . 
Encontraremos δ ao resolvermos a inequação: 
 133
1 2 1x x ε+ − = + < .Daí, basta escolher δ ε= e verifica-se que ( 1) 2
1
lim x
x
+ =
→
. 
3.1.4 Propriedades dos Limites 
Muitas funções do Cálculo podem ser obtidas como somas, diferenças, produtos, quocientes e potências 
de funções simples. Introduziremos propriedades que podem ser usadas para simplificar as funções mais 
elaboradas. 
Teorema 3.1: Unicidade do Limite: O limite de uma função, quando existe, é único, isto é, 
Se 
0
( )lim f x L
x x
=
→
 e 
0
( )lim f x M
x x
=
→
 , então L M= 
 
Teorema 3.2: Se 0, ,L M x e k são números reais e 
0
( )lim f x L
x x
=
→
 e 
0
( )lim g x M
x x
=
→
 
então: 
 1. Regra da Soma: O limite da soma de duas funções é a soma de seus limites, isto é, 
( )
0
( ) ( )lim f x g x L M
x x
+ = +
→
 
 2. Regra da Diferença: O limite da diferença de duas funções é a diferença de seus limites, isto é, 
( )
0
( ) ( )lim f x g x L M
x x
− = −
→
 
 3. Regra do Produto: O limite do produto de duas funções é o produto de seus limites, isto é, 
( )
0
( ) ( )lim f x g x L M
x x
⋅ = ⋅
→
 
 4. Regra da Multiplicação por Constante: O limite de uma constante multiplicada pela função é a 
constante multiplicada pelo limite da função, isto é, 
 
( )
0
( )lim k f x k L
x x
⋅ = ⋅
→
 
Em particular, 
0
lim k k
x x
=
→
 
 5. Regra do Quociente: O limite do quociente de duas funções é o quociente de seus limites, desde que o 
limite do denominador seja diferente de zero, isto é, 
0
( ) . , M 0
( )lim
f x L
g x Mx x
= ≠
→
 
 6. Regra da Potenciação: O limite de uma potência racional de uma função é a potência do limite da 
função, desde que a última seja um número real, isto é, 
Se r e s são números inteiros e 0s ≠ , então ( )
0
( )lim r s r sf x L
x x
=
→
 desde que r sL seja um número real. 
Exemplo: Usando as Regras do Limite, calcule 
2
2 3 3
5
2 1
31
lim
x x
xx
⎛ ⎞+ +⎜ ⎟+⎝ ⎠→
 
 
 134
Solução: 
2
2 3 3
5
2 1
 
31
lim
x x
xx
+ +
+→
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠ = 
( )
( )
2 2
2 3 2 32 3 3
32 3
5 55
2 1 2 1
2 1 1 1 1 1
3 331
1 11
lim lim lim lim
lim lim limlim
x x x x
x x x x x x
x xxx
x xx
+ + + +
+ + → → → →= = =+ ++→ → →→
⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠
 
2
2 3 3
2 2
22 3 3 3
3
5 5
2 1
1 2 1 1 41 1 1 1
1 3 4
3
1
lim lim
lim
x x
x x
x
x
+ +
+ ⋅ +→ → = = = =+
+
→
⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎜ ⎟ ⎟⎝ ⎝ ⎠ ⎠
 
 
 
 
 
Teorema 3.3 (Teorema do Sanduíche): Se valem as desigualdades ( ) ( ) ( )f x g x h x≤ ≤ para todo x em um 
intervalo aberto contendo x0, exceto talvez em x = x0 e se 
0 0
( ) ( )lim limf x L h x
x x x x
= =
→ →
 , então 
0
( )lim g x L
x x
=
→
 
Definição: Dizemos que uma função f é limitada quando existe uma constante C > 0 tal que ( )f x C≤ , para 
todo x D∈ , onde D representa o Domínio da função f . 
 
Corolário 3.3: Se f é uma função limitada e g é uma função tal que 
0
( ) 0lim g x
x x
=
→
, então 
0
( ) ( ) 0lim f x g x
x x
⋅ =
→
, mesmo que não exista 
0
( )lim f x
x x→
. 
Exemplo: Mostre que 
1 0
0
lim xsen xx
⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎝ ⎠→
 
Solução: Como 
1 1, 0sen x
x
⎛ ⎞ ≤ ∀ ≠⎜ ⎟⎝ ⎠ e 00lim
x
x
=
→
, conclui-se, pelo Corolário 3.3, que 
1 0
0
lim xsen xx
⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎝ ⎠→
 
3.1.5 Limites Laterais 
Definição. Seja f uma função definida em um intervalo aberto ( )0 ,x b , onde 0x b< . 
Dizemos que um número L é o limite à direita da função f quando x tende para x0, e escrevemos 
Observação: A Regra da Soma que vale para 
duas funções, também vale para um número 
finito de funções. Além disso, se somente uma 
das parcelas não possui limite, então o limite da 
soma de todas as parcelas não existirá. Verifique 
esta afirmação. 
Observação: O Teorema 3.2 só é válido se 
ambas as funções f e g possuírem 
limites. Verifique esta afirmação. 
 135
0
( )lim f x L
x x+
=
→
 
se, para todo 0ε > , existe um 0δ > tal que ( )f x L ε− < sempre que 0 0x x x δ< < + . 
 
Definição. Seja f uma função definida em um intervalo aberto ( )0,c x , onde 0c x< . Dizemos que um número 
L é o limite à esquerda da função f quandox tende para 0x , e escrevemos 
0
( )lim f x L
x x−
=
→
 
se, para todo 0ε > , existe um 0δ > tal que ( )f x L ε− < sempre que 0 0x x xδ− < < . 
 
 
 
Exemplo: Seja , 0( ) 
 3, 0
x
xf x x
x
⎧− ≠⎪= ⎨⎪ =⎩
 
Como 
1, 0
1, 0
xx
xx
− >⎧− = ⎨+ <⎩
 conclui-se que ( ) 1lim
0
f x
x +
= −
→
 e ( )lim
0
f x
x −→
 = 1 
Teorema 3.4. Se f é uma função definida em um intervalo aberto contendo x0, exceto possivelmente no ponto 
x0, então 
0
( )lim f x L
x x
=
→
 se, e somente se, 
0
( )lim f x L
x x+
=
→
 e
0
( )lim f x L
x x−
=
→
. 
Exemplo: Utilizando o Teorema 3.4 
Como ( ) 1
0
lim f x
x +
= −
→
 e ( ) 1
0
lim f x
x −
=
→
, conclui-se, do exemplo anterior, que não existe ( )
0
lim f x
x→
. 
3.1.6 Cálculo de Limites 
Antes de apresentar exemplos de cálculos de limites, vamos falar um pouco sobre expressões indeterminadas. 
Costuma-se dizer que as expressões: 
 
 
São indeterminadas. O que significa isto? 
Notação: 
00 xxxx →⇒→ − com 
0xx < 
∞∞∞⋅∞∞∞
∞ 1 , ,0 ,0 ,- , ,
0
0 00
Notação: 00 xxxx →⇒→ + com 0xx > 
Observação: Os Teoremas 3.1, 3.2 e 3.3 
continuam válidos quando substituímos 
0xx → por +→ 0xx ou −→ 0xx . 
 136
Exemplo: Verificando a indeterminação 
0
0
. 
(a) Sejam 3( )f x x= e 2( )g x x= . 
Temos que ( ) ( ) 0
0 0
lim limf x g x
x x
= =
→ →
 e 
3
2
( ) 0
( )0 0 0
lim lim limf x x xg x xx x x
= = =
→ → →
 
(b) Sejam 2( )f x x= e 2( ) 2g x x= . 
Temos que ( ) ( ) 0
0 0
lim limf x g x
x x
= =
→ →
 e, neste caso, 
2
2
( ) 1 1 
( ) 2 2 20 0 0
lim lim lim f x xg x xx x x
= = =
→ → →
 
Analisaremos, agora, alguns exemplos de cálculo de limites onde os artifícios algébricos são necessários: são 
casos de funções racionais em que o limite do denominador é zero num determinado ponto e o limite do 
numerador também é zero neste mesmo ponto. 
Simbolicamente estaremos diante da indeterminação do tipo 
0
0
. 
Exemplo: Calcule 
3
2
3 2
42
lim x xxx
− +
−→−
 
Solução: 
3 2
2
3 2 ( 2 1)( 2)
4 ( 2)( 2)2 2
lim limx x x x xx x xx x
− + − + += =− + −→− →−
 
2
2
2 1
2 1 2 9
42 22
2
lim
lim lim
x x
x x x
x xx
x
− +− + →−= = = −− −→− →−
 
Exemplo: Calcule 
2 2 
0
lim x xx
+ −
→
 
Solução: Para este exemplo usaremos o artifício da racionalização do numerador da função. Segue então, 
( ) ( )
( )
2 2 2 22 2
2 20 0
lim lim
x xx
x x xx x
+ − ⋅ + ++ − = ⋅ + +→ →
= 
 137
( ) ( )
( ) ( ) ( )
2 2
2 2 2 2 1 1 
2 22 2 2 2 2 20 0 0
lim lim lim
x x
x x x x xx x x
+ − + −= = =⋅ + + ⋅ + + + +→ → →
 
3.1.7 Limites no Infinito 
 
O símbolo ∞ não representa nenhum número real. Usamos ∞ para 
descrever o comportamento de uma função quando os valores em seu 
domínio ou imagem ultrapassam todos os limites finitos. Por exemplo, a 
função 
1( )f x
x
= é definida para qualquer valor de 0x ≠ (Figura 3). 
Quando x vai se tornando cada vez maior, 1
x
 se torna “próximo de 
zero”. Podemos sintetizar esse fato dizendo 
1( )f x
x
= tem limite 
0 quando x →±∞ . 
 
 
Figura 3: Gráfico de 
1y
x
= 
 
 
Definição. Seja f uma função definida em um intervalo aberto ( ),a +∞ . Escrevemos, 
( ) 0, 0; ( ) .lim f x L M x M f x L
x
ε ε= ⇔ ∀ > ∃ > > ⇒ − <
→+∞
 
Analogamente, 
Definição. Seja f uma função definida em um intervalo aberto ( ),b−∞ . Escrevemos, 
( ) 0, 0; ( ) .lim f x L N x N f x L
x
ε ε= ⇔ ∀ > ∃ < < ⇒ − <
→−∞
 
 
Definição. A reta y b= é uma assíntota horizontal do gráfico da função ( )y f x= 
Se ( )lim f x b
x
=
→+∞
 ou ( )lim f x b
x
=
→−∞
 
 
Teorema 3.5. Se n é um número inteiro positivo, então 
(a) 
1 0lim nxx
=
→+∞
 
(b) 
1 0lim nxx
=
→−∞
 
 (c) lim K K
x
=
→±∞
,onde K é uma constante 
 
 
 
 
Observação: Os Teoremas 3.1, 3.2 e 3.3 continuam válidos quando 
substituímos 0xx → por +∞→x ou −∞→x . 
 138
Exemplo: Usando as propriedades de limites, calcule
2
2
1 
2 3 4lim
x x
x xx
+ +
− +→+∞
 
Solução: 
2
22 2
2
2
2 2
1 11 1 11
1
 
3 4 3 42 3 4 2 2
lim
lim lim
lim
x x xx x x x x
x xx x x
x x x xx
+ ++ ++ + →+∞= = =− +→+∞ →+∞ − + − +
→+∞
⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠
⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
 
2
2
1 1
1 
1 0 0 1
1 1 2 0 0 22 3 4 
lim lim lim
lim lim lim
x xx x x
x xx x x
+ +
+ +→+∞ →+∞ →+∞= = =− +− +
→+∞ →+∞ →+∞
 
3.1.8 Limites Infinitos 
Definição: Seja f uma função definida num intervalo aberto contendo x0, exceto, possivelmente, em x = x0. 
Dizemos que 
0
( )lim f x
x x
= +∞
→
 0, 0M δ⇔∀ > ∃ > ; 00 ( )x x f x Mδ< − < ⇒ > 
 
Definição: Seja f uma função definida num intervalo aberto contendo x0, exceto, possivelmente, em x = x0. 
Dizemos que 
0
( )lim f x
x x
= −∞
→
 0, 0N δ⇔∀ > ∃ > ; 00 ( )x x f x Nδ< − < ⇒ < − 
Definição. A reta 0x x= é uma assíntota vertical do gráfico da função ( )y f x= se 
0
( )lim f x
x x+
= ±∞
→
 ou 
0
( )lim f x
x x−
= ±∞
→
 . 
Exemplo: Encontre as assíntotas do gráfico da função 2
8( )
4
f x
x
= − − 
Solução: Estamos interessados no comportamento do gráfico quando 
x →±∞ e quando 2x →± , onde o denominador é zero. Observe que 
f é uma função par de x , isto é, ( ) ( )f x f x− = , para todo 2x ≠ ± . 
Neste caso, o gráfico de f é simétrico em relação ao eixo y . 
O comportamento quando x →±∞ . Como ( ) 0lim f x
x
=
→ ±∞
, tem-se 
que a reta 0y = é uma assíntota horizontal. 
O comportamento quando 2x →± . Uma vez que ( )
2
lim f x
x +
= −∞
→
 e 
( )
2
lim f x
x −
= +∞
→
, a reta 2x = é uma assíntota vertical. Analogamente, 
por simetria, 2x = − , também é uma assíntota vertical. 
 
Figura 4: Gráfico de 2
8
4
y
x
−= − 
 139
 
 
 
 
 lim ( )f x lim ( )g x ( )h x = lim ( )h x simbolicamente 
01 ±∞ ±∞ ( ) ( )f x g x+ ±∞ ±∞ =∞± ∞± 
02 +∞ ( ) ( )f x g x− ? ( ) ( )+∞ − +∞ é indeterminação 
03 +∞ k ( ) ( )f x g x± +∞ ( ) k+∞ ± = +∞ 
04 −∞ k ( ) ( )f x g x± −∞ ( ) k−∞ ± = −∞ 
05 +∞ +∞ ( ) ( )f x g x⋅ +∞ ( ) ( )+∞ ⋅ +∞ = +∞ 
06 +∞ −∞ ( ) ( )f x g x⋅ −∞ ( ) ( ) −∞=∞−⋅∞+ 
07 +∞ 0k > ( ) ( )f x g x⋅ +∞ ( ) k+∞ ⋅ = +∞ , 0k > 
08 +∞ 0k < ( ) ( )f x g x⋅ −∞ ( ) k+∞ ⋅ = −∞ , 0k < 
09 ∞± 0 ( ) ( )f x g x⋅ ? ( )±∞ 0⋅ é indeterminação 
10 k ∞± ( ) ( )f x g x 0 0k ±∞ = 
11 ∞± ∞± ( ) ( )f x g x ? ∞±∞± é indeterminação 
12 0k > 0+ ( ) ( )f x g x +∞ 0k + = +∞ , 0k > 
13 +∞ 0+ ( ) ( )f x g x +∞ 0++∞ = +∞ 
14 0k > 0− ( ) ( )f x g x −∞ 0k − = −∞ , 0k > 
15 +∞ 0− ( ) ( )f x g x −∞ −∞=∞+ −0 
16 0 0 ( ) ( )f x g x ? 0 0 é indeterminação 
Exemplo: Determinar 5 3(3 4 1)lim x x
x
− +
→+∞
 
Solução: Neste caso, temos uma indeterminação ∞−∞ . Para determinar o limite usamos o seguinte artifício de 
cálculo. Escrevemos, 
5 3(3 4 1)lim x x
x
− +
→+∞
 = 5 2 54 13lim x x xx
⎛ ⎞− +⎜ ⎟⎝ ⎠→+∞
 = +∞ ( )3 0 0− + = +∞ 
3.1.9 Limites Fundamentais 
 
Teorema 3.6. 
 (a) 1
0
lim senxxx
=
→
 
 (b) ( )11
0
lim xx e
x
+ =
→
, onde e é o número irracional neperiano cujo valor é 2,718281828459... , 
Observação: 
A tabela abaixo nos dá um resumo dos fatos principais válidos para 
os limites infinitos, onde podemos ter 0xx → , +→ 0xx , 
−→ 0xx , +∞→x ou −∞→x . 
 140
 (c) 
1 ln
0
lim
xa a
xx
− =
→
 ( 0a > , 1a ≠ ) 
 
Exemplo: Calcule 
2 
30
limsen xsen xx →
 
Solução: 
2 
30
lim sen xsen xx→
 = 2 2 3 
2 3 30
lim sen x x xx x sen xx
⎛ ⎞⋅ ⋅⎜ ⎟⎝ ⎠→
 = 2 2 3 
2 3 30 0 0
lim lim limsen x x xx x sen xx x x
⋅ ⋅
→ → →
 = 
2 2 1 32 30 0
30
lim lim
lim
sen x x
sen xx xx x
xx
⋅ ⋅
→ →
→
 = 2 11
3 1
⋅ ⋅ = 2
3
. 
Neste exemplo, 
2
20
lim sen xxx→
 = 
0
lim senuuu→
 = 1 , onde 2u x= e 0u → quando 0x → . 
Analogamente, 
 
3
30
lim sen xxx→
 = 1 e 2 2 
3 30
lim xxx
=
→
 
4. Avaliando o que foi construído 
 
 Nesta unidade você travou o primeiro contato com o estudo de limites de funções, foi apresentado ao 
conteúdo programático, bem como aprendeu a calcular, através dos exemplos, usando as propriedades, alguns 
limites de funções. Porém, fique certo, ainda há muito que aprender dentro de tema. 
 
 No Moodle... 
 
 
 
 
 
5. Referências 
 
1. Flemming, Diva M., Gonçalves, Mirian B., CÁLCULO A – FUNÇÕES, LIMITE, DERIVAÇÃO E 
INTEGRAÇÃO. Editora da UFSC, 5a Edição, 1987. 
 
2. Ávila, G.,CÁLCULO I: FUNÇÕES DE UMA VARIÁVEL, Editora LTC, 6a Edição 1994. 
 
3. Thomas, George B., CÁLCULO, Vol. 1, Editora Pearson Education do Brasil, 10a 
Edição, 2002. 
 
 
 
 
Pois é. Você precisa visitar o espaço reservado à disciplina Cálculo Diferencial I na 
plataforma MOODLE, onde terá a oportunidade de revisar, testar e enriquecer 
seus conhecimentos. Lembre-se de que somos parceiros nos estudos e, portanto, eu 
não pretendo seguir adiante sem que você me acompanhe. Aguardo você no 
MOODLE! 
 141
Unidade II Continuidade 
1. Situando a Temática 
Quando colocamos em um sistema de coordenadas alguns pontos 
do gráfico de uma função cujos valores foram gerados em laboratórios ou 
coletados no campo, geralmente unimos esses pontos por uma curva não 
interrompida para mostrar quais seriam os valores prováveis da função em 
todos os instantes em que não medimos (Figura 5). Fazendo isso, supomos 
que estamos trabalhando com uma função contínua, uma função cujos 
valores variam continuamente e não saltam de um valor para outro sem 
assumir todos os valores entre eles. 
 Qualquer função cujo gráfico possa ser esboçado sobre o domínio 
em um único movimento contínuo, sem levantar o lápis, é um exemplo de 
função contínua. Mas uma função pode ser contínua e seu gráfico se 
compor de dois “pedaços” distintos. Verifique esta afirmação. 
Estudaremos, nesta unidade, a idéia de continuidade. 
 
 
O conteúdo desta unidade está distribuído nos tópicos seguintes: 
• Continuidade em um ponto 
• Teste de Continuidade 
• Propriedades de Funções Contínuas 
• Composta de Funções Contínuas 
• Teorema do Valor Intermediário 
2. Problematizando a Temática 
 As funções contínuas são usadas para achar o ponto em que um planeta mais se aproxima do Sol ou o 
pico de concentração de anticorpos no plasma sangüíneo. Elas também são as funções que usamos para 
descrever como um corpo se move através do espaço ou como a velocidade de uma reação química varia com o 
tempo. Na verdade, tantos processos físicos ocorrem 
de modo contínuo que nos séculos XVIII e XIX 
raramente se pensou em pesquisar qualquer outro tipo 
de comportamento. Foi uma surpresa quando os físicos 
descobriram, em 1920, que a luz vem em partículas e 
que os átomos aquecidos emitem luz em freqüências 
distintas (Figura 6). Como conseqüência dessas e de 
outras descobertas e em função do grande uso de 
funções descontínuas na ciência da computação, na 
estatística e em modelos matemáticos, o tema da 
continuidade se tornou importante tanto prática quanto 
teoricamente. 
3. Conhecendo a Temática 
3.1. Continuidade em um Ponto 
 
 Definição. Seja I ⊆ ℝ um intervalo. Uma função :f I → ℝ é contínua em um ponto a I∈ quando 
( ) ( )lim f x f a
x a
=
→
 
Figura 5: Mostra como os 
batimentos cardíacos retornam ao 
normal depois de uma corrida. 
 
Figura 6 
 142
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Exemplo: Uma função com Descontinuidade de Salto 
 A função Salto Unitário definida por 
0, 0
( )
1, 0
x
U x
x
<⎧= ⎨ ≥⎩ é contínua à direita em 0x = , mas não é contínua à 
esquerda nem contínua aí (Veja Figura 2(a)). Ela apresenta descontinuidade de salto em 0x = 
 
3.2 Continuidade 
 
Definição. Seja I ⊆ ℝ um intervalo. Uma função :f I → ℝ é contínua quando f é contínua em todo ponto 
a I∈ 
 
Exemplo: Identificando Funções Contínuas 
 
A função 
1( )f x
x
= ( Figura 3) é contínua em todo 0x ≠ . 
3.3 Propriedades de Funções Contínuas. 
Teorema 3.3: Se f e g são funções contínuas em x a= , então as seguintes combinações são contínuas em 
x a= . 
 1. Soma: f g+ 
 2. Diferença: f g− 
 3. Produto: f g⋅ 
 4. Constantes Múltiplas: k f⋅ , para qualquer número k 
 5. Quociente: f g , desde que ( ) 0g a ≠ 
 
3.4. Composta de Funções Contínuas. 
 
Teorema 3.4. Se f é contínua em a e g em ( )b f a= , então a composta g fD é contínua em a , isto é, 
( ( )) ( ( )) ( ( ))lim limg f x g f x g f a
x a x a
= =
→ →
 
 
Exemplo: Usando as propriedades de funções contínuas, conclua que a função 
 
2
1( )
1
xh x
x
+= + é contínua em 1x = 
Considerações sobre a Definição 
(a) Quando f não é contínua em um ponto a , dizemos que f é descontínua em a e que a é um 
ponto de descontinuidade de f ; 
 (b) f contínua à esquerda no ponto ax = quando )()(lim afxf
ax
=
→ −
; 
 (c) f contínua à direita no ponto ax = quando )()(lim afxf
ax
=
→ +
. 
 143
Solução: Sejam 2
1( )
1
xf x
x
+= + e ( )g x x= . Daí, ( ) ( )( ) ( ( ))h x g f x g f x= =D . Sendo 2
1 1(1) 1
1 1
f += =+ e 
( (1)) (1) 1 1g f g= = = , tem-se que 
 2 2
1 1 1( ( )) ( ) 1 ( (1))lim lim lim 1 1 11 1 1
xg f x h x g f
xx x x
+ += = = = =+ +→ → →
 
 
3.5. Teorema do Valor Intermediário 
 
Teorema 3.5. .Seja [ ]: ,f a b → ℝ uma função contínua em um intervalo 
fechado [ ],a b tal que 0( ) ( )f a y f b≤ ≤ , então 0 ( )y f c= para algum c 
em [ ],a b . 
 
 
 
 
 
 
Exemplo: Aplicando o Teorema 3.5 
 
Existe algum número real que somado a 1 seja exatamente igual ao seu 
cubo? 
Solução: A resposta para esta pergunta está no Teorema do Valor 
Intermediário. 
Com efeito, seja x este tal número que deve satisfazer a equação 31x x+ = 
ou, equivalentemente, 3 1 0x x− − = . Portanto, estamos procurando um zero da 
função contínua 3( ) 1f x x x= − − (Veja Figura 7 abaixo). Esta função muda 
de sinal no intervalo [ ]1, 2 , pois 1 (1) 0 (2) 5f f− = < < = , logo deve existir 
um ponto c entre 1 e 2 tal que ( ) 0f c = 
 
 
Ampliando o seu Conhecimento 
 
 
 
 
 
 
 
 
4. Avaliando o que foi construído 
 
No Moodle... 
Dialogando e Construindo Conhecimento 
 
 
 
 
 
Você sabia que, geometricamente, o Teorema do Valor Intermediário diz que 
qualquer reta horizontal y d= cruzando o eixo y entre os números ( )f a e ( )f b 
cruzará a curva ( )y f x= pelo menos uma vez no intervalo [ ],a b , desde que f 
seja contínua em [ ],a b . 
Vá à plataforma MOODLE e dedique-se à resolução das tarefas relacionadas ao 
assunto desta unidade. 
Saiba que o aprendizado em Matemática deve ser continuado e o sucesso no estudo 
das funções contínuas vai depender de você visitar constantemente a plataforma e 
procurar resolver os exercícios nela proposta.
 
Figura 7
 144
Dialogando e Construindo Conhecimento 
 
5. Referências 
 
1. Flemming, Diva M., Gonçalves, Mirian B., CÁLCULO A – FUNÇÕES, LIMITE, DERIVAÇÃO E 
INTEGRAÇÃO.Editora da UFSC, 5a Edição, 1987 
2. Ávila, G., CÁLCULO I: FUNÇÕES DE UMA VARIÁVEL, Editora LTC, 6a Edição 1994. 
3. Thomas, George B., CÁLCULO. Vol. 1, Editora Pearson Education do Brasil, 10a Edição, 2002. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Reúna-se com os colegas para discutir os temas abordados. Procure os Tutores para esclarecer 
as dúvidas sobre algum tema que não tenha sido bem assimilado. Comunique-se! Nós estamos 
sempre dispostos a orientá-lo e ajudá-lo em caso de dificuldade no estudo da disciplina. 
Acredite em seu potencial e conte conosco.
 145
Unidade III Derivadas 
1. Situando a Temática 
 No século XVII, Leibniz algebriza o Cálculo Infinitesimal, introduzindo os conceitos de variável, constante 
e parâmetro, bem como a notação de dx e dy para designar os infinitésimos em x e em y . Desta notação 
surge o nome do ramo da Matemática conhecido hoje como “Cálculo Diferencial”. A partir daí, com a 
introdução do conceito de derivada, com Leibniz e Newton, o Cálculo Diferencial torna-se um instrumento 
poderosíssimo e cada vez mais indispensável pela sua aplicabilidade nos mais diversos campos da Ciência. Por 
exemplo, as derivadas são muito usadas em Engenharia, Física, Economia, Medicina e Ciência da Computação. 
Para calcular a velocidade e a aceleração instantânea de uma partícula em movimento cuja trajetória é descrita 
pela equação de movimento ( )s s t= , onde t representa o tempo, para explicar o funcionamento de máquinas, 
para estimar a diminuição do nível da água quando ela é bombeada para fora de um tanque e para prever as 
conseqüências de erros cometidos durante as medições. 
 
 A partir de agora, vamos entrar no passeio divertido do “mundo” das derivadas. 
 
 Nesta unidade, abordaremos os seguintes tópicos: 
• A Derivada de uma Função num Ponto 
• A Reta Tangente 
• Continuidade de Funções Deriváveis 
• Derivadas Laterais 
• Regras de Derivação 
• Derivada das Funções Elementares do Cálculo 
• Regras de L’Hospital 
• Derivação de Função Composta 
• Derivada da Função Inversa 
• A Derivada de uma Função na Forma Implícita 
2. Problematizando a Temática 
 
 
 
 
 
Para solucionarmos este problema precisamos definir o conceito de derivada de uma função num ponto. 
A partir de agora vamos desenvolver toda a teoria necessária para solucionarmos este e outros problemas que 
envolvem derivadas. 
3. Conhecendo a Temática 
3.1 A Derivada de uma Função 
Definição. A derivada de uma função ( )y f x= em relação à variável x é a função f ′ cujo valor em x é 
( ) ( )( ) lim
0
f x h f xf x
hh
+ −′ =
→
, 
desde que este limite exista. 
Problema: Encontrar a equação da reta tangente a uma curva ( )y f x= no ponto 
0 0( , )P x y , onde 0 0( )y f x= 
 146
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Exemplo: Aplicando a Definição 
 
 Encontre a derivada de y x= para 0x > . 
 
Solução: 
 
Passo 1: ( )f x x= e ( )f x h x h+ = + 
 
Passo 2 : 
( ) ( )f x h f x
h
+ −
 = 
x h x
h
+ −
 
 
= 
( ) ( )
( )
x h x x h x
h x h x
+ − + +⋅ + + = ( )x h xh x h x+ −⋅ + + = ( )1x h x+ + 
 
Passo 3 : ( ) lim
0
f x
h
′ =
→ ( )1x h x+ + = 12 x (Veja Figura 8 (a) e 8(b) ) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Considerações sobre a Definição: 
(a) O domínio de f ′ é o conjunto de pontos no domínio de f para o qual o limite existe. Ele 
pode ser o mesmo domínio de f ou menor; 
(b) Se f ′ existe para um determinado valor de x , dizemos que f é derivável em x ; 
Calculando )(xf ′ a partir da Definição de Derivada 
 
Passo 1. Escreva expressões para 
)(xf e )( hxf + 
Passo 2. Desenvolva e simplifique o quociente 
 
h
xfhxf )()( −+
 
Passo 3. Usando o quociente simplificado, encontre )(xf ′ calculando o limite 
h
xfhxf
h
xf )()(
0
)( lim
−+
→
=′ 
Figura 8 
 147
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3.2. A Reta Tangente 
Definição. Dada uma curva de equação ( )y f x= , seja 0 0( , )P x y um ponto sobre ela, ou seja , 
0 0( )y f x= . A Reta Tangente a esta curva no ponto P é a reta que passa por P cujo coeficiente angular 
Tm é dado pela expressão 
0 0
0
( ) ( )
limT
h
f x h f xm
h→
+ −= , 
quando este limite existe. Assim, 
0( )Tm f x′= . 
Exemplo: Determine a equação da reta tangente à curva y x= em 4x = 
 
 Solução: Do Exemplo 3.1, vimos que 
1( )
2
f x
x
′ = 
 Logo, o coeficiente angular da reta tangente a esta curva em 4x = é dado por 
1 1(4)
42 4T
m f ′= = = . 
 
 A reta tangente passa pelo ponto (4, 2)P e tem como equação 
12 ( 4)
4
y x− = ⋅ − ⇔ 1 1
4
y x= + 
 
 
 
 
 
3.3 Continuidade de Funções Deriváveis 
Teorema 3.3. Se f é derivável em 0x x= , então f é contínua 0x x= . 
 
 
Notação: Há várias maneiras de representar a derivada de uma função )(xfy = . Além de 
)(xf ′ , as notações mais comuns são: 
 
(i) y′ ( lê-se y linha). Esta notação foi dada por Newton 
 
(ii) 
dx
dy
 ( lê-se dydx ). Esta notação foi dada por Leibniz 
Figura 9 
 148
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Corolário 3.3. Se f não é contínua em 0x , então f não é derivável em 0x 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3.4 Derivadas Laterais 
Definição: Se a função ( )y f x= está definida em 0x ,então a derivada à direita de f em 0x , denotada por 
0( )f x+′ , é definida por 
0 0
0
( ) ( )( ) lim
0
f x h f xf x
hh
+ +
+ −′ =
→
 
 0
00
( ) ( )
lim
f x f x
x xx x+
−= −→
 , 
 caso este limite exista. Analogamente, a derivada à esquerda de f em 0x , denotada por 0( )f x−′ , é definida por 
0 0
0
( ) ( )( ) lim
0
f x h f xf x
hh
− −
+ −′ =
→
 
 0
00
( ) ( )
lim
f x f x
x xx x−
−= −→
, 
desde que este limite exista. 
 
 
 
 
Observação: Nem toda função contínua é derivável. Vejamos a seguir 
 
Exemplo: A função xxf =)( , 0≥x é contínua em 0=x mas não é derivável aí, pois 
x
xf
2
1)( =′ x > 0 e 
hhh
h
hh
hf
hh
fhf
x
f 1
00
)(
0
)0()(
0
)0( limlimlimlim →
=
→
=
→
=−
→
=′ que 
não existe e, portanto, f não é derivável neste ponto. 
Prova: Como )( 0xf ′ existe, devemos mostrar que )()( 0
0
lim xfxf
xx
=
→
 ou , equivalentemente, que 
)()(
0
00lim xfhxf
h
=+
→
. 
Com efeito, se 0≠h , então 
h
h
xfhxfxfhxf ⋅−++=+ )()()()( 0000 
Assim, 
h
hh
xfhxf
h
xf
h
hxf
h
limlimlimlim
0
)()(
0
)(
0
)(
0
00
00
→
⋅−+
→
+
→
=+
→
 
 
)(0)()( 000 xfxfxf =⋅′+= 
 149
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo: A função ( )f x x= não é derivável em 0x = , embora seja contínua aí 
 
Solução: À direita da origem ( 0x > ) 
( ) ( ) 1d dx xdx dx= = 
 
e 
 
 
(0 ) (0)(0) 1lim lim
0 0
f h f hf
h hh h
+ + +
+ −′ = = =
→ →
 
À esquerda da origem ( 0)x < , 
 
( ) ( ) 1d dx xdx dx= − = − 
 
e 
 
 
(0 ) (0)(0) 1lim lim
0 0
f h f hf
h hh h
− − −
+ − −′ = = = −
→ →
 
 
Como (0) (0)f f+ −′ ′≠ , tem-se que f não é derivável 0x = . 
3.5 Regras de Derivação 
Teorema 3.5. Se f e g são funções deriváveis em x , então as seguintes combinações são deriváveis em x 
1. Soma: f g+ e ( ) ( ) ( ) ( )f g x f x g x′ ′ ′+ = + ; 
2. Diferença: f g− e ( ) ( ) ( ) ( )f g x f x g x′ ′ ′− = − ; 
3. Produto: ( )f g⋅ e ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )f g x f x g x f x g x′ ′ ′⋅ = + ; 
Considerações sobre a Definição: 
 
(a) Uma função é derivável em um ponto, quando as derivadas lateraisà direita e à esquerda nesse 
ponto existem e são iguais; 
 
(b) Quando as derivadas laterais à direita e à esquerda existem e são diferentes em um ponto 0x , 
dizemos que este é um ponto anguloso do gráfico da função )(xfy = . Neste caso, f não é 
derivável em 0x ; 
 
(c) Se uma das derivadas laterais não existe em um ponto 0x , então f não será derivável em 0x . 
Figura 10 
 150
4. Quociente 
f
g
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
 e [ ]2
( ) ( ) ( ) ( )( )
( )
f g x f x f x g xx
g g x
′ ′ ′⎛ ⎞ −=⎜ ⎟⎝ ⎠
 , desde que ( ) 0g x ≠ ; 
5. Constantes Múltiplas: k f⋅ e ( ) ( ) ( )k f x k f x′ ′⋅ = ⋅ , para todo número real k . 
No Moodle... 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo: Aplicando as regras de derivação 
 
Determine as derivadas das seguintes funções: 
 
(a) 2 3( ) ( 2 )( 1)f x x x x= + + 
 
(b) 
5
3
2( )
1
xg x
x
= + 
 
(c) 4 3( ) 2h x x x x= + + 
 
(d) y x x= 
 
Solução: (a) 2 3 2 3( ) ( 2 ) ( 1) ( 2 )( 1)f x x x x x x x′ ′ ′= + ⋅ + + + + = 
2 3 2 3[( ) (2 ) ] ( 1) ( 2 ) [( ) (1) ]x x x x x x′ ′ ′ ′= + ⋅ + + + ⋅ + = 
 3 2 2(2 2) ( 1) ( 2 ) (3 0)x x x x x= + + + + + ⋅ + = 
3 2 2(2 2) ( 1) ( 2 ) (3 )x x x x x= + + + + + ⋅ 
 
 (b) 
5 3 5 3
3 2
(2 ) ( 1) (2 ) ( 1)( )
( 1)
x x x xg x
x
′ ′⋅ + − ⋅ +′ = + = 
4 3 5 2
3 2
10 ( 1) (2 ) (3 0)
( 1)
x x x x
x
⋅ + − ⋅ += + = 
4 3 5 2
3 2
10 ( 1) (2 ) (3 )
( 1)
x x x x
x
⋅ + − ⋅= + 
 
 (c) 4 3( ) ( ) ( ) (2 )h x x x x′ ′ ′ ′= + + 3 24 3 2x x= + + 
 
Olá pessoal, visite a plataforma MOODLE e resolva os seguintes exercícios: 
 
 (i) Prove o Teorema 3.5 (Regras de Derivação) 
 
 (ii) Mostre que 1)( −= nn nxx
dx
d
 , onde n é um número real 
(Derivada da Potência) 
 (iii) Mostre que ( ) 0=C
dx
d
, onde C é uma constante. 
 
 151
 (d) ( )y x x′ ′= ( ) ( )x x x x′ ′= ⋅ + ⋅ 1 21 [( ) ]x x x ′= ⋅ + ⋅
11
21
2
x x x
⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠= + ⋅ ⋅ = 
 
2
xx
x
= +
2
x xx
x x
= + ⋅ ( )22
x xx
x
= + 
2
x xx
x
= +
2
xx= + 
3.6. Derivada das Funções Elementares do Cálculo 
Nesta seção apresentaremos as derivadas das funções elementares: exponencial, logarítmica e trigonométricas. 
 
 
 
Exemplo: Determinar a derivada de cada uma das seguintes funções: 
 
(a) 2y x senx= + 
 
(b) 2 xy tgx e= + 
 
(c) lny x x= 
 
(d) sec cosy x x x= + 
 
Solução: (a) 2( )y x senx′ ′= + 2 cosx x= + 
 (b) ( 2 )xy tgx e′ ′= + ( ) (2 )xtgx e′ ′= + 2sec 2 xx e= + 
 (c) ( ln ) ( ) ln (ln )y x x x x x x′ ′ ′ ′= = + 1ln 1 lnx x x
x
= + ⋅ = + 
 (d) (sec ) ( cos )y x x x′ ′ ′= + sec 1 cos ( )x tgx x x senx= ⋅ + ⋅ + ⋅ − sec cosx tgx x x senx= ⋅ + − ⋅ 
 
3.7. Regras de L’Hospital 
Nesta seção apresentaremos um método para levantar indeterminações do tipo 
0 ou 
0
∞
∞ . Esse método é 
dado pelas Regras de L’Hospital dadas a seguir. 
Teorema 3.7.(Regras de L’hospital): Sejam e gf funções deriváveis num intervalo aberto I , exceto, 
possivelmente, em um ponto a I∈ . Suponhamos que ( ) 0, x a em Ig x′ ≠ ∀ ≠ . 
 Função Derivada 
 ( )f x ( )f x′ 
01 xe xe 
02 lnx 1/x 
03 senx cos x 
04 cos x senx− 
05 tgx 2sec x 
06 cot gx 2cossec x− 
07 sec x sec x tgx⋅ 
08 cossec x cossec cotx gx− ⋅ 
 152
(i) Se 
( ) ( ) ( )( ) ( ) 0 e , então lim lim lim lim( ) ( ) ( )x a x a x a
lim f x f x f xf x g x L Lg x g x g xx ax a
′ ′= = = = =′ ′→ → → →→
 
(ii) Se 
( ) ( ) ( )( ) ( ) e , então lim lim lim lim lim( ) ( ) ( )x a x a x a
f x f x f xf x g x L L
g x g x g xx a x a
′ ′= = ∞ = = =′ ′→ → → → →
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo: Determine os seguintes limites: 
 
(a) 
2
2
6 lim 3 22
x x
x xx
+ −
− +→
 
 
(b) lim 20
x x
x senx
e ex
−
− +
+ −→
 
 
(c) 3
1 lim 4
xe
x xx
−
+→∞
 
 
Solução: Aplicando as Regras de L’hospital, temos 
 
(a) 
2
2
6 2 1 2 2 1 5 5lim lim3 2 2 3 2 2 3 12 2
x x x
x x xx x
+ − + ⋅ += = = =− + − ⋅ −→ →
 
 (b) 
1 cos 0lim lim lim20 0 0
x x x x x x
x senx x senx
e e e e e ex x x
− − −
− + − + −= = =+ − − +→ → →
 
 
 (c) 3 2
1 lim lim lim lim4 3 4 6 6
x x x xe e e e
x x x xx x x x
− = = = = +∞+ +→+∞ →+∞ →+∞ →+∞
 
 
 
 
 
 
3.8. Derivação de Função Composta 
 
Consideremos duas funções f e g onde ( )u g x= . Para todo x tal que ( )g x está no domínio de f , 
podemos escrever ( ) ( ( ))y f u f g x= = , isto é, podemos considerar a função composta ( )( ) ( ( ))f g x f g x=D . 
Observação: As Regras de L’hospital são válidas 
para limites laterais e limites no infinito.
Considerações sobre o Teorema 3.7: 
(i) Se L
(x)g
(x)f 
ax
xg
ax
xf
ax
=′′
′′
→
=′
→
=′
→ limlimlim
 e 0)()( , então L
xg
xf =′
′
→ )(
)(
ax
lim 
e assim sucessivamente... 
(ii) Se L
(x)g
(x)f 
ax
xg
ax
xf
ax
=′′
′′
→
∞=′
→
=′
→ limlimlim
 e )()( , então 
L
xg
xf =′
′
→ )(
)(
ax
lim e assim sucessivamente... 
 153
Por exemplo, uma função tal como 2 7( 5 2)y x x= + + 
pode ser vista como a composta das funções 
7 ( )y u f u= = e 2 5 2 ( )u x x g x= + + = . 
 
 
 
 
 
Teorema 3.8. A Regra da Cadeia 
Se ( )f u é derivável no ponto ( )u g x= e ( )g x é derivável em x , então a função composta 
( )( ) ( ( ))f g x f g x=D è derivável em x e 
( ) ( ) ( ( )) ( ) ( )f g x f g x g x f u u′ ′ ′ ′ ′= ⋅ = ⋅D 
Na notação de Leibniz, se ( )y f u= e ( )u g x= , então 
dy dy du
dx du dx
= ⋅ , 
onde 
dy
du
 é calculado em ( )u g x= . 
Exemplo: Dada a função 2 7( 5 2)y x x= + + , determinar dy
dx
. 
Solução: Vimos anteriormente que podemos escrever 
 
7 ( )y u f u= = , onde 2 5 2 ( )u x x g x= + + = 
Assim, pela Regra da Cadeia, 
 
dy dy du
dx du dx
= ⋅ 67 (2 5)u x= ⋅ + 2 67( 5 2) (2 5)x x x= + + ⋅ + . 
 
Exemplo: Dada a função 
3 2(2 ) cosxy e sen x x= + + , determinar dy
dx
 
Solução: Sejam 2 , 2u x v x= = e cosw x= . Assim, podemos escrever 
 
2uy e senv w= + + 
Assim, pela Regra da Cadeia, 
3 2 2( (2 ) cos ) ( )x uy e sen x x e senv w′ ′ ′= + + = + + 
 2( ) ( ) ( ) (cos ) (2 )u ue senv w e u v v w w′ ′ ′ ′ ′ ′= + + = + ⋅ + ⋅ 
3 23 (cos(2 )) 2 (2cos ) ( )xe x x x senx= ⋅ + ⋅ + ⋅ − 
 
323 2cos(2 ) 2 cosxx e x senx x= ⋅ + − ⋅ 
3.9. Derivada da Função Inversa 
 
Teorema 3.9. Derivada da Função Inversa 
Seja y = f (x) uma função definida em um intervalo aberto (a,b). Suponhamos que f (x) Admita uma 
função inversa x = g (y) contínua. Se f'’(x) existe e é diferente de zero para qualquer ponto x ∈ (a,b), 
então g = f -1 é derivável e vale 1 1'( )
'( ) '( ( ))
g y
f x f g y
= = ou 1'( ( ))
'( )
g f x
f x
= 
 
 
 
Figura 11 
 154
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 3.9: Seja 2( ) 1y f x x= = − , 0x > . Determine (3)g′ , onde 1g f −= . 
Solução 1: 1/2( ) 1 ( 1)x g y y y= = + = + (Verifique!). Daí, 
1 11/2( ) ( 1)
2 2 1
g y y
y
−′ = + = + . 
Em particular, 
1 1(3) 
42 3 1
g′ = =+ 
Solução 2: Pelo Teorema 3.8 , 
1 1( ) ( ( )) 
( ) 2
g y g f x
f x x
′ ′= = =′ 
Em particular, 
 
2 3x y= ⇔ = 
Assim, 
1 1 1(3) 
(2) 2 2 4
g
f
′ = = =′ ⋅ . 
3.10. Derivada da Função Implícita3.10.1. Função na Forma Implícita 
 
Dizemos que a função ( )y f x= é definida implicitamente pela equação ( , ) 0F x y = se ao substituirmos y 
por ( )f x nesta equação obtemos uma identidade, isto é, ( , ( )) 0F x f x = . 
Exemplo: A equação 
12 1 0
2
x y+ − = define implicitamente a função 22 (1 )y x= ⋅ − . De fato, substituindo 
22 (1 )y x= ⋅ − na equação 12 1 0
2
x y+ − = , obtemos a identidade 2 21 2(1 ) 1 0
2
x x+ ⋅ − − = . 
 
3.10.2. A Derivada de uma Função na Forma Implícita 
Suponhamos que a equação ( , ) 0F x y = define implicitamente uma função derivável ( )y f x= . Usaremos a 
Regra da Cadeia para determinar y′ sem explicitar y . 
 
Exemplo: Sabendo que ( )y f x= é definida implicitamente pela equação 2 32 2xy y x y+ = + , determinar y’. 
 
Solução: Derivando ambos os membros desta equação em relação à x e supondo que ( )y f x= é derivável, 
obtém-se: 
2 3( 2 ) ( 2 )xy y x y′ ′+ = + 
8 
2 3( ) (2 ) ( ) (2 )xy y x y′ ′ ′ ′+ = + 
Prova: Sendo 1−= fg , tem-se que xxfg =))(( , para todo ),( bax∈ e usando a Regra da 
Cadeia, conclui-se 
)(
1))((1)())((
xf
xfgxfxfg ′=′⇔=′⋅′ 
 155
8 
2 22 6 1 2y x y y y y y′ ′ ′+ ⋅ ⋅ + ⋅ = + 
 
Isolando y′ na última igualdade, temos 
2
2
1
2 6 2
yy
xy y
−′ = + − 
 
Em particular, o ponto (1,1)P está na curva ( )y f x= e aí, 
 
(1,1) 0y′ = 
 
E a equação da reta tangente à esta curva neste ponto é dada por 
 
1 0 ( 1) 1y x y− = ⋅ − ⇔ = 
 Se 
 
 
Cocime 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ampliando o seu Conhecimento Ampliando 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Você sabia que só no século XVII, quando Descartes e Pierre Fermat introduziram 
as coordenadas cartesianas, se tornou possível transformar problemas geométricos em 
problemas algébricos e estudar analiticamente funções? A Matemática recebeu assim 
um grande impulso, notadamente na sua aplicabilidade a outras ciências. Os cientistas 
passam, a partir de observações ou experiências realizadas, a procurar determinar a 
fórmula ou função que relaciona as variáveis em estudo. A partir daí, todo o estudo se 
desenvolve em torno das propriedades de tais funções. Por ouro lado, a introdução de 
coordenadas, além de facilitar o estudo de curvas já conhecidas permitiu a “criação” de 
novas curvas, imagens geométricas de funções definidas por relações entre variáveis. 
Foi enquanto se dedicava ao estudo de algumas destas funções que Fermat deu 
conta das limitações do conceito clássico de reta tangente a uma curva como sendo 
aquela que encontrava a curva num único ponto. Tornou-se assim importante 
reformular tal conceito e encontrar um processo de traçar uma tangente a um gráfico 
num dado ponto. Esta dificuldade ficou conhecida na História da Matemática como o 
“Problema da Tangente”. 
 Fermat notou que, para certas funções nos pontos onde a curva assumia valores 
extremos, a tangente ao gráfico devia ser uma reta horizontal, já que ao comparar o valor 
assumido num desses pontos ( , ( ))P x f x com valor assumido no outro ponto 
( , ( ))Q x h f x h+ + próximo de P , a diferença entre ( )f x h+ e ( )f x era muito pequena, 
quase nula, quando comparada com o valor de h , diferença das abcissas de Q e P . Assim, o 
problema de determinar extremos e de determinar tangentes a curvas passam a estar intimamente 
relacionados. 
 
 Estas idéias constituíram o embrião do conceito de DERIVADA e levou Laplace a 
considerar Fermat “o verdadeiro inventor do Cálculo Diferencial”. Contudo, Fermat não 
dispunha de notação apropriada e o conceito de limite não estava ainda claramente definido. 
 
 No século XVII, Leibniz algebriza o Cálculo Diferencial, introduzindo os conceitos de 
variável, constante e parâmetro, bem como a notação de dx e dy, para designar os infinitésimos 
em x e em y. Desta notação surge o nome do ramo da Matemática conhecido hoje como 
“Cálculo Infinitesimal” 
 
 156
4. Avaliando o que foi construído 
No Moodle... 
 
 
 
 
 
 
Dialogando e Construindo Conhecimento 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5.Referências 
 
1. Flemming, Diva M., Gonçalves, Mirian B., CÁLCULO A – FUNÇÕES, LIMITE, DERIVAÇÃO E 
INTEGRAÇÃO. Editora da UFSC, 5a Edição, 1987. 
2. Ávila, G.,CÁLCULO I: FUNÇÕES DE UMA VARIÁVEL, Editora LTC, 6a Edição 1994. 
3. Thomas, George B., CÁLCULO, Vol. 1, Editora Pearson Education do Brasil, 10a Edição, 2002. 
 
 
 
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