1 - Exercícios de Álgebra I São Miguel - Matrizes 1

Prévia do material em texto

UNIVERSIDADE DO ESTADO DO PARÁ 1 
Professor Manoel Gustavo Nogueira Vidal Gustavob612@hotmail.com 
Exercícios de Matrizes 
 
01) Escreva a matriz A (aij)3,2 tal que: aij =
i j se i j
i j se i j
+ >
− ≤



,
,
 
02) Considere 5 cidades de uma região e que serão 
numeradas de 1 a 5. Na matriz A a seguir: 
 A = 
0 18 24 16 42
18 0 35 17 22
24 35 0 14 56
16 17 14 0 28
42 22 56 28 0
















 
o elemento aij é a distância(em km) entre as cidades i e j. 
Responda, justificando a sua resposta: 
(a) Qual a distância entre as cidades 2 e 4 ? 
(b) Uma viagem da cidade 3 até a cidade 1, passando pela 
cidade 4, a uma velocidade média de 80 km/h, teria uma 
duração de quanto tempo ? 
(c) Qual a cidade mais próxima da cidade 4 ? 
(d) Porque os elementos da diagonal principal são nulos ? 
(e) Porque os elemento simétricos em relação à diagonal 
principal (aij e aji) são iguais ? 
 
03) Dadas as matrizes: 
A =
−
−










=
−









4 1 3
0 7 1
1 1 2
3 1 4 6
1 2 1 5
0 7 3 4
B
 
determine o elemento x32 da matriz AB. 
 
04) Sejam: A
x
B
y
=





 =






1
1 0
1 2
1 então, a 
igualdade AB-BA = I com I = 1 0
0 1





 : 
 
(a) é verdadeira para todo x, y ∈ R 
(b) é verdadeira somente para x = 0 e y = 1 
(c) é verdadeira somente para x = 1 e y = 0 
(d) é verdadeira somente para | x | + | y | = 1 
(e) é sempre falsa. 
 
05) Supondo a ≠ 0, determine x tal que A2 = 0, onde A é a 
matriz 
 





=
xx
aa
A
 
 
06) Seja X = (xij) uma matriz quadrada de ordem 2, onde 





<
>−
=+
=
jise1
jisej1
jiseji
Xij A soma dos seus elementos é igual a: 
(a) -1 (b) 1 (c) 6 (d) 7 (e) 8 
 
07) O produto de uma matriz m x n por outra p x q: 
(a) é sempre possível. 
(b) só é possível se m = q 
(c) é uma matriz m x q, no caso em que n = p 
(d) será sempre uma matriz m x p. 
08) O produto A .B das matrizes: 
A B=
−
−










=
−









2 1 3
4 2 1
3 0 1
1 0
2 1
3 2
 
 
(a) não pode ser efetuado. 
(b) é a matriz nula de ordem 3. 
(c) é igual a B.A 
(d) é a matriz identidade. 
(e) é a matriz 
5 5
5 0
0 2
−










 
 
09) Se M e N= 




 =






1 2
0 1
2 0
1 1
, então MN-NM é: 
 
( ) ( ) ( ) ( ) ( )a b c d e2 20 2
0 0
0 0
1 0
0 1
4 2
1 1
1 2
1 0
−
−
























−
−






 
10) Considere as matrizes A e B=





 =






2 1
5 3
2
3 . 
Assim, a matriz X, solução da equação matricial A.X = B 
é: 
( ) ( ) ( ) ( ) ( )a b c d e3
4
1
2
3
2
5
1
2
3−






−












−












 
11) A matriz A é do tipo 5x7 e a matriz B, do tipo 7x5. 
Assinale a alternativa correta: 
(a) a matriz AB tem 49 elementos. 
(b) a matriz BA tem 25 elementos. 
(c) a matriz (AB)2 tem 625 elementos. 
(d) a matriz (BA)2 tem 49 elementos. 
(e) a matriz (AB) admite inversa. 
 
12) Há 5 senadores designados para uma Comissão 
Parlamentar de Inquérito. Eles devem escolher entre si um 
presidente para a comissão, sendo que cada senador pode 
votar em até 3 nomes. Realizada a votação onde cada um 
deles recebeu um número de 1 a 5, os votos foram 
tabulados na matriz A = (aij), abaixo indicada. Na matriz 
A, cada elemento aij é igual a 1(um), se i votou em j; e é 
igual a 0(zero), caso contrário. 
A =
















1 0 1 0 1
0 0 1 1 0
0 1 0 1 1
0 0 0 0 1
1 0 0 0 1
 Responda, justificando: 
(a) Qual o candidato mais votado ? 
(b) Quantos candidatos votaram em si mesmos ? 
 
13) Em uma cidade, há três revistas de noticiário semanal: 
1, 2, 3. Na matriz A=aij abaixo, o elemento aij representa a 
probabilidade de um assinante trocar a assinatura da 
revista i para a revista j, na época da renovação. 
 UNIVERSIDADE DO ESTADO DO PARÁ 2 
Professor Manoel Gustavo Nogueira Vidal Gustavob612@hotmail.com 
A =










0 6 0 1 0 3
0 1 0 7 0 2
0 4 0 2 0 4
, , ,
, , ,
, , ,
 
(a) Qual a probabilidade de os assinantes da revista 2 
trocarem de revista quando forem renovar a assinatura ? 
(b) Quais os leitores menos satisfeitos com a revista que 
estão assinando ? 
14) Seja 





=
42
21
A
 
(a) Determine o valor do número K tal que A2 = kA. 
(b) Sendo n um número positivo, calcule An. 
 
15) (AFA-87) Uma figura geométrica tem quatro vértices: 
A1 , A2 , A3 e A4 . Forma-se uma matriz (aij) , onde aij = 
distância (Ai , Aj) , com 1 < i , j < 4 obtendo-se: 
 
0 1 1 1
1 0 1 1
1 1 0 1
1 1 1 0












 
Podemos afirmar, então, que tal figura é um: 
a) quadrado b) losango 
c) trapézio d) tetraedro 
 
16) (FATEC-87) Sabe-se que as ordens das matrizes A, B 
e C são respectivamente , 3 x r , 3 x s e 2 x t . Se a matriz 
(A - B).C é de ordem 3 x 4 , então r + s + t é igual a: 
a) 6 b) 8 c) 10 d) 12 e) 14 
 
17) (COVEST-89) Assinale a proposição verdadeira: 
O produto da matriz 





1 0
2 1
 pela matriz 





1 0
yx 
 é comutativo 
se: 
a) x = 1 e y = 0 
b) x = 2 e y = 0 
c) x = 1 e para todo y ∈ R 
d) x = 5 e para todo y ∈ R 
e) x = 10 e y = 0 
 
18) (ITA-80) Sejam A, B e C matrizes reais quadradas de 
ordem n e On a matriz nula, também de ordem n 
.Considere as seguintes informações : 
1- AB = BA 
2- Se AB = AC então B = C 
3- Se A2 = On , então A = On 
4- (AB)C = A(BC) 
5- (A - B)2 = A2 - 2AB + B2 
A respeito destas afirmações, qual das alternativas abaixo 
é verdadeira ? 
a) apenas a 1 é falsa 
b) apenas a afirmação 4 é verdadeira 
c) apenas a afirmação 5 é verdadeira 
d) as afirmações 2 e 3 são verdadeiras 
e) as afirmações 3 e 4 são verdadeiras 
Observação: Nesta questão, justifique apenas se a 
afirmativa C está certa ou errada. 
 
19) (C.BOMBEIROS-88) Seja a matriz 
M = |mij |nxn , i e j ∈ {1, 2, 3,..., n}, n ∈N*, tal que 
 mij = 1, se i = j
0, se i j≠



 
A soma dos elementos da sua diagonal principal e a soma 
dos elementos da sua diagonal secundária valem, 
respectivamente: 
a) 1 e 0 b) 1 e 1 c) n e 1 d) n e n e) 1 e n 
20) (C.BOMBEIROS-86) Sejam as matrizes A = (aij)2x2 tal 
que aij = ii-j + j2 , B é igual à transposta de A e C = B - A 
.Se X + C = A .B, então: 
a) 





=
80 15
9 2 
x b) 





=
34 18
18 10
x c) 





=
34- 29-
33- -29
x 
d) 





=
34 29
33 29
x e) 





=
34- 18-
18- -10
x 
 
21) (EN-87) Considere as matrizes : 
A= 










0 1- 1-
1 1 1-
2 0 1 
 , B= 










0,5 1 0,50,5- 0,5- 1 
0,5- 0,5 0,5-
 e C= 










−
3
9
1
 
 
A matriz X tal que (A2 + 2B)X = C é: 
a) 










3
2
1
 b) 










3-
2 
1-
 c) 










3 
2-
1-
 d) 










2
0
1
 e) 










1
1
0
 
 
22) (EN-84) Dada a matriz A = 
1 2 1
1 3 3
1 3 4










 , então, 
 (A.A-1 + At)t é: 
a) 
1 1 2
3 4 2
1 3 1










 b) 
1 2 5
1 3 7
1 4 1










 c) 
2 2 1
1 4 3
1 3 5










 
d) 2 3 61 4 7
1 5 8










 e) 
2 1 1
2 4 3
1 3 5










 
 
23) (C.BOMBEIROS-90) Sejam as matrizes: 
A = 










1 5 3 1-
0 1- 2 5 
4 3 1- 2 
 , B = 














3- 4 1- 3
0 1- 2 4
3 7 1 2
5 4 3- 1
 e C = A .B . 
O elemento c23 é igual a: 
a) 35 b) 32 c) 21 d) 19 e) 17 
 
24) (AFA-86) Considere as matrizes: 
I- A = (aij) , 4 x 7 , definida por aij = i - j 
II- B = (bij) , 7 x 9 , definida por bij = i 
III- C = (cij) , C = AB 
O elemento c63 : 
a) é -112 b) é -18 
c) é -9 d) não existe 
 
25) (EN-83) Se cada θ real define a matriz: 
Tθ = 





θθ
θθ
cos sen
sen- cos
 então, o produto Tα . Tβ é igual a: 
 UNIVERSIDADE DO ESTADO DO PARÁ 3 
Professor Manoel Gustavo Nogueira Vidal Gustavob612@hotmail.com 
a) 
2
T βα +
 b) Tα+β c) T2(α-β) 
d) 
2
Tα2β
 e) Tα-β 
26) (AFA-88) Se A = 








°°
°
15 cos 15sen 
15sen - 15 cos o
 , então 2 A .A é a 
matriz: 
a) 








3- 1
1 3
 b) 








−
1 3-
3 1 
 
c) 








3 1-
1 3 d) 








3 1
1- 3
 
 
27) (ITA-87) Considere P a matriz inversa da matriz M, 
onde: 
 M = 












1 
7
1
0 
3
1
 
A soma dos elementos da diagonal principal da matriz P é: 
a) 9/4 b) 4/9 c) 4 d) 5/9 e) 91− 
 
28) (ITA-84) Seja a matriz A = 





d c
b a
 onde: 
5)log(1 22a += ; 8log22b = ; 81logc 3= e d = log 3 27 . Uma 
matriz real quadrada B, de ordem 2, tal que AB é a matriz 
identidade de ordem 2 é: 
a) 








81log 2 
2 27log
3
3
 b) 










−
5- 3 
2 
2
3
 
c) 












−
2
5
- 2 
2 
2
3
 d) 












− 5log 
2
3
 
2
3
 2 
2
 
e) 








81log
32
22- 5 
813log 5log
 
 
29) (AMAN-86) Sabendo-se que A .X = B.C , 
A = 





1- 7
5 4
 , B = 





11
16
 , C = [ ]3 2 , então o valor de x21 
é: 
a) 120 b) 136/19 c) 41/11 d) 319 e) NRA 
 
30) (C.BOMBEIROS-91) Seja A = 





1/2 5
1- 0
 e 
B = 





0,5- 0,5
3 2
. O valor de x da equação 2.X + B = A é: 
a) 





0,5 9/4
2- 1- 
 b) 





1 1- 
0 9/4
 c) 





1 4,5
4- -2
 
d) 





2 9 
8- -4
 e) NRA 
 
31) (EN-90) Sendo A = 





4 1
3 2
 e X = 





2221
1211
 xx
 xx
 , o 
valor de x22 , de modo que A .X = I2 é: 
a) 2/5 b) 1/3 c) 2 d) 1 e) 0 
 
32) Definem-se elementos internos de uma matriz os 
elementos que não pertencem à primeira ou à última linha 
ou coluna. Seja A uma matriz quadrada de ordem n . 
Sabendo-se que o número de elementos internos é 
superado em 11 unidades pelo número de elementos não 
pertencentes à diagonal principal, então o número n é: 
a) par b) divisível por 3 
c) múltiplo de 7 d) primo 
e) indeterminável, pois não há valor de n inteiro que 
satisfaça as condições do problema. 
 
33) Suponha-se que A é uma matriz quadrada, de ordem n 
simétrica. O número máximo de elementos distintos de A 
é dado por: 
a) n (n - 1) b) 
2
1)n(n +
 c) 
2
1)-n(n
 
d) (n - 2)2 e) n(n + 1) 
 
34) Demonstrar que a única matriz quadrada de ordem n 
que é ao mesmo tempo simétrica e anti-simétrica é a 
matriz nula. 
 
35) Se A é uma matriz quadrada, mostrar que a matriz A + 
At é simétrica e A - At é anti-simétrica. 
 
36) Demonstrar que toda matriz quadrada pode ser escrita 
como a soma de uma matriz simétrica com uma matriz 
anti-simétrica. 
 
37) Sejam A e B matrizes inversíveis n x n . Mostrar que: 
a) (A .B)t = Bt.At 
b) (A-1)-1 = A 
c) (A .B)-1 = B-1.A-1 
d) A .B = B.A = A .C = C.A = I ⇒ (unicidade da inversa) 
e) (At)-1 = (A-1)t 
 
38) (ITA-91) Sejam M e B matrizes quadradas de ordem n 
tais que M-M-1 = B. Sabendo que Mt = M-1 podemos 
afirmar que: 
a) B2 é a matriz nula b) B2 = -21 
c) B é simétrica d) B é anti-simétrica 
e) nda 
 
39) (ITA-93) Dadas as matrizes reais: 
A = 










1 3 1
2 8y 
0 x 2
 e B = 










2- x3x 
2 8 0
y 3 2
 , analise as afirmações: 
I- A = B ↔ x = 3 e y = 0 
II- A + B = 










1 6 3
4 16 1
1 5 4
 ↔ x = 2 e y = 1 
III- A










0
1
0
 = 










3
3
1
 ↔ x = 1 
 UNIVERSIDADE DO ESTADO DO PARÁ 4 
Professor Manoel Gustavo Nogueira Vidal Gustavob612@hotmail.com 
e conclua : 
a) apenas a afirmação II é verdadeira 
b) apenas a afirmação I é verdadeira 
c) as afirmações I e II são verdadeiras 
d) todas as afirmações são falsas 
e) apenas a firmação I é falsa 
 
40) (ITA-94) Seja A uma matriz real quadrada de ordem n 
e B = I - A , onde I denota a matriz identidade de ordem n. 
Supondo que A é inversível e idempotente (isto é , A2 = A) 
considere as afirmações: 
1- B é idempotente 
2- AB = BA 
3- B é inversível 
4- A2 + B2 = I 
5- AB é simétrica 
Com respeito a estas afirmações temos: 
a) todas são verdadeiras 
b) apenas uma é verdadeira 
c) apenas duas são verdadeiras 
d) apenas três são verdadeiras 
e) apenas quatro são verdadeiras 
 
41) (ITA-86) Dizemos que um número real λ é autovalor 
de uma matriz real T n x n quando existir uma matriz 
coluna X n x 1 não nula , tal que TX = λX . Considere uma 
matriz real P n x n satisfazendo PP = P . Denote por λ1 um 
autovalor de P e por λ2 um autovalor de PP . Podemos 
afirmar que, necessariamente: 
a) λ1 < λ2 < 0 
b) λ1 > λ2 > 1 
c) λ1 e λ2 pertencem ao conjunto {0 , 1}; 
d) λ1 e λ2 pertencem ao conjunto {t ∈ R tal que t < 0ou 
t > 1} ; 
e) λ1 e λ2 pertencem ao intervalo aberto (0 , 1). 
 
42) (IME-88) Sejam A , B e C matrizes 5 x 5 , com 
lementos reais. Denotando-se por At a matriz transposta de 
A, 
a) Mostre que se AAt = 0, então A = 0 
b) Mostre que se BAAt = CAAt então BA = CA 
 
43) Seja A uma matriz nilpotente de índice K. Prove que: 
(I - A)-1 = I + A + ... + Ak-1 .