CONJUNTOS DOS NÚMEROS-TEORIA-PROFESSOR-OSVALDO

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CONJUNTOS NÚMERICOS
PROFESSOR:OSVALDO
CONJUNTOS DOS NÚMEROS NATURAIS:
Observação – A diferença e a divisão en​tre dois números naturais nem sempre resul​tam em um número natural.
Dados dois números naturais a e b: 
 - se a ≥ b, então a diferença a – b é um número natural.
- se a < b, então a diferença a – b não é • um número natural.
CONJUNTOS DOS NÚMEROS INTEIROS: 
Propriedades
P1. Todo número natural é inteiro, isto é, 
.
P2. A soma de dois números inteiros quais​quer é um número inteiro.
P3. A diferença entre dois números intei​ros quaisquer é um número inteiro.
P4. O produto de dois números inteiros quaisquer é um número inteiro.
Observações:
Dados dois números inteiros a e b: 
 - Se a é múltiplo de b, então a divisão 
 é um número inteiro.
- Se a não é múltiplo de b, então a divisão 
 não é um número inteiro.
 
CONJUNTOS DOS NÚMEROS RACIONAIS: Q
Q = {x é racional se x = 
 / a,b ∈ Z e b ≠ 0}
Observações
I) Todos os números inteiros podem ser escritos na forma a/1, logo todo número inteiro é um número racional, isto é, 
Q.
II) Da definição de números racionais, pode-se concluir que os números decimais finitos, e as dízimas periódicas também são números racionais, pois podem ser escritos na forma a/b | a,b 
 e b ≠ 0.
Exemplos:
–3 = −31; 0,02 = 2100; 0,777... = 79
Propriedades
P1. Como todo número natural é inteiro x na forma x/1 então, todo número inteiro é ra​cional então temos, 
.
P2. A soma de dois racionais quaisquer é um número racional.
P3. A diferença entre dois números natu​rais quaisquer é um número racional.
P4. O produto de dois números racionais quaisquer é um número racional.
P5. O quociente de dois números racionais quaisquer, sendo o divisor diferente de zero, é um número racional.
CONJUNTOS DOS NÚMEROS IRRACIONAIS – I 
De forma simplificada, dizemos que:
Número irracional é todo número com infinitas casas decimais e não-periódico.
Exemplos:
I. 
 = 1,4142135623730950488016887242097...
II. -
 = -1,7320508075688772935274463415059...
III. 
+ 2 = 4,2360679774997896964091736687313...
IV. 0,10100100010000... (observe que não é uma dízima períodica). 
V. 
 = 3,1415926535897932384626...
Propriedades
P1. Se o número
 , com n 
�� EMBED Equation.3 * e a 
 , não é inteiro, então esse número é irracional.
P2. A soma de um número racional com um número irracional é um número irracional.
P3. A diferença entre um racional com um nú​mero irracional é um número irracional.
P4. O produto entre um racional, diferente de zero, com um número irracional é um número irracional.
P5. O quociente entre um racional com um nú​mero irracional é um número irracional.
Observação – A soma, a diferença, o produ​to e o quociente, entre dois números irracionais não necessariamente é um número irracional.
CONJUNTOS DOS NÚMEROS REAIS – R
R = {x é real / x é número racional ou irracional}
 R = Q U I
 I = R - Q
Propriedades
P1. A soma de dois números reais quaisquer é um número real.
P2. A diferença entre dois números reais quaisquer é um número real.
P3. O produto de dois números reais quaisquer é um número real.
P4. O quociente entre dois números reais quaisquer, sendo o divisor diferente de zero, é um número real.
P5. Se n é natural ímpar e a 
 , então 
�� EMBED Equation.3 .
P6. Se n é natural par, diferente de zero, tem-se que: a ≥ 0 
�� EMBED Equation.3 
R .
Comentário: Se n é natural par, 
 se a < 0, então, se faz necessário criar um novo conjunto numérico, que estudaremos poste​riormente, chamado conjunto dos números complexos, que se iniciou com o estudo da raiz quadrada de números negativos.
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