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GAAL - 2013/1 - Lista de Exerc´ıcios - 1 Sistemas Lineares e Matriz Inversa Resolva todos os exerc´ıcios nume´ricos das sec¸o˜es 1.2 e 2.1 da apostila do professor Reginaldo. Ale´m disso, tambe´m resolva os exerc´ıcios desta lista. Exerc´ıcio 1: Considere o seguinte sistema linear nas inco´gnitas x, y e z. x − 2y + 5z = a 4x − 5y + 8z = b −3x + 3y − 3z = c Determine condic¸o˜es sobre a, b e c para que este sistema admita alguma soluc¸a˜o. Neste caso este sistema possui uma u´nica soluc¸a˜o ou ele possui infinitas soluc¸o˜es? Deˆ o conjunto soluc¸a˜o deste sistema linear. Exerc´ıcio 2: Considere o seguinte sistema linear nas varia´veis x, y e z. x + 2y + z = 1 x + 3y + z = 1 3x + 7y + (a2 − 1)z = a+ 1 (a) Encontre todos os valores de a para os quais o sistema na˜o tem soluc¸a˜o, tem soluc¸a˜o u´nica e tem infinitas soluc¸o˜es. (b) Para o caso em que o sistema possui infinitas soluc¸o˜es, encontre a soluc¸a˜o geral do sistema. Exerc´ıcio 3: Considere o seguinte sistema linear nas varia´veis x, y e z. ax + 2y − z = b1 2x + y + z = b2 −x + y − 2z = b3 (a) Determine os valores do coeficiente a para que este sistema sempre possua uma u´nica soluc¸a˜o. (b) Determine condic¸o˜es sobre os nu´meros a, b1, b2 e b3 para que este sistema na˜o tenha soluc¸a˜o. (c) Determine condic¸o˜es sobre os nu´meros a, b1, b2 e b3 para que este sistema possua infinitas soluc¸o˜es. (d) Deˆ um exemplo de nu´meros a, b1, b2 e b3 para que este sistema possua infinitas soluc¸o˜es. Ale´m disso, para estes valores nume´ricos, escreva a soluc¸a˜o geral do sistema. Questa˜o 4: Caso exista, calcule a inversa de A = 0 1 −12 −2 −1 −1 1 1 . Agora resolva o sistema linear 0 1 −12 −2 −1 −1 1 1 xy z = 3 −1 7 . Exerc´ıcio 5: Determine matrizes X e Y tais que AX = B e Y A = B, sendo A = 1 3 −24 −1 3 −2 1 −2 e B = 1 −1 0 −1 0 1 0 1 −1 . Exerc´ıcio 6: Determine a soluc¸a˜o geral do sistema linear 2x + y + 4z − 2w = 6 3x + 2y + z − 3w = −2 4x + 3y − 2z − 5w = 0 Exerc´ıcio 7: Determine uma matriz X tal que AXA−1 = B, sendo A = [ 4 7 3 5 ] e B = [ −2 1 5 3 ] . Exerc´ıcio 8: Determine a soluc¸a˜o geral do sistema linear homogeˆneo 3x + 2y − z = 0 4x + 5y + 2z = 0 −2x + y + 4z = 0 - FIM -
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