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GAAL - 2013/1 - Lista de Exerc´ıcios - 1
Sistemas Lineares e Matriz Inversa
Resolva todos os exerc´ıcios nume´ricos das sec¸o˜es 1.2 e 2.1 da apostila do professor
Reginaldo. Ale´m disso, tambe´m resolva os exerc´ıcios desta lista.
Exerc´ıcio 1: Considere o seguinte sistema linear nas inco´gnitas x, y e z.


x − 2y + 5z = a
4x − 5y + 8z = b
−3x + 3y − 3z = c
Determine condic¸o˜es sobre a, b e c para que este sistema admita alguma soluc¸a˜o.
Neste caso este sistema possui uma u´nica soluc¸a˜o ou ele possui infinitas soluc¸o˜es?
Deˆ o conjunto soluc¸a˜o deste sistema linear.
Exerc´ıcio 2: Considere o seguinte sistema linear nas varia´veis x, y e z.


x + 2y + z = 1
x + 3y + z = 1
3x + 7y + (a2 − 1)z = a+ 1
(a) Encontre todos os valores de a para os quais o sistema na˜o tem soluc¸a˜o, tem
soluc¸a˜o u´nica e tem infinitas soluc¸o˜es.
(b) Para o caso em que o sistema possui infinitas soluc¸o˜es, encontre a soluc¸a˜o geral
do sistema.
Exerc´ıcio 3: Considere o seguinte sistema linear nas varia´veis x, y e z.


ax + 2y − z = b1
2x + y + z = b2
−x + y − 2z = b3
(a) Determine os valores do coeficiente a para que este sistema sempre possua uma
u´nica soluc¸a˜o.
(b) Determine condic¸o˜es sobre os nu´meros a, b1, b2 e b3 para que este sistema na˜o
tenha soluc¸a˜o.
(c) Determine condic¸o˜es sobre os nu´meros a, b1, b2 e b3 para que este sistema possua
infinitas soluc¸o˜es.
(d) Deˆ um exemplo de nu´meros a, b1, b2 e b3 para que este sistema possua infinitas
soluc¸o˜es. Ale´m disso, para estes valores nume´ricos, escreva a soluc¸a˜o geral do
sistema.
Questa˜o 4: Caso exista, calcule a inversa de
A =

 0 1 −12 −2 −1
−1 1 1

 .
Agora resolva o sistema linear

 0 1 −12 −2 −1
−1 1 1



 xy
z

 =

 3
−1
7

 .
Exerc´ıcio 5: Determine matrizes X e Y tais que AX = B e Y A = B, sendo
A =

 1 3 −24 −1 3
−2 1 −2

 e B =

 1 −1 0
−1 0 1
0 1 −1

 .
Exerc´ıcio 6: Determine a soluc¸a˜o geral do sistema linear


2x + y + 4z − 2w = 6
3x + 2y + z − 3w = −2
4x + 3y − 2z − 5w = 0
Exerc´ıcio 7: Determine uma matriz X tal que AXA−1 = B, sendo
A =
[
4 7
3 5
]
e B =
[
−2 1
5 3
]
.
Exerc´ıcio 8: Determine a soluc¸a˜o geral do sistema linear homogeˆneo


3x + 2y − z = 0
4x + 5y + 2z = 0
−2x + y + 4z = 0
- FIM -

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