aula 1 (Heleno)

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Geometria anal´ıtica e a´lgebra linear
Francisco Dutenhefner
Departamento de Matematica – ICEx – UFMG
13/08/13
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Sistemas Lineares
{
3x + y = 3
6x + 5y = −3
Matricialmente:
[
3 1
6 5
] [
x
y
]
=
[
3
−3
]
AX = B
Matriz aumentada:
[
3 1 3
6 5 −3
]
[ A
... B ]
Soluc¸a˜o: x = 2 e y = −3
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Escalonamento
Operac¸o˜es elementares em linhas:
Trocar da posic¸a˜o de duas linhas. (Li ↔ Lj )
Multiplicar uma linha por um nu´mero 6= 0. (Li ← αLi )
Somar a uma linha um mu´ltiplo de outra linha. (Li ← Li + αLj )
Teorema
Operac¸o˜es elementares em linhas na˜o alteram o conjunto soluc¸a˜o do
sistema linear.
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Escalonamento
Exemplo 
x + y + z = 5
2x + y + 4z = 2
2x + 3y + z = −1
L2 ← L2 − 2L1
L3 ← L3 − 2L1 
x + y + z = 5
−y + 2z = −8
y − z = −11
L3 ← L3 + L2 
x + y + z = 5
−y + 2z = −8
z = −19
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Escalonamento: exemplo 1

x + y + z = 5
−y + 2z = −8
z = −19
Da´ı z = −19
Na segunda linha,
−y + 2z = −8 ⇒ −y − 38 = −8 ⇒ y = −38 + 8 = −30.
Na primeira linha,
x = 5− y − z ⇒ x = 5 + 30 + 19 = 54.
Soluc¸a˜o: x = 54, y = −30 e z = −19.
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Escalonamento
Dado um sistema linear, ate´ que momento devemos aplicar operac¸o˜es
elementares nas suas linhas?
Quando o sistema esta´ resolvido?
Observe que, durante o escalonamento, quando o sistema esta´ sendo
resolvido, a matriz A vira a matriz identidade, ou o mais pro´ximo disso.

x + y + z = 5
−y + 2z = −8
z = −19
 1 1 1 50 −1 2 −8
0 0 1 −19

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Matriz Escalonada Reduzida
Vamos escalonar ate´:
Linhas nulas ficarem na parte de baixo.
O primeiro nu´mero na˜o nulo em uma linha e´ o nu´mero 1. (pivoˆ)
Os pivoˆs esta˜o posicionados de cima para baixo e da esquerda para a
direita.
Se uma coluna conte´m um pivoˆ, no resto da coluna so´ existem zeros.
Exemplos:
A1 =
 1 5 0 20 0 1 3
0 0 0 0
 A2 =
 1 0 −1 0 −10 1 2 0 4
0 0 0 1 1

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Matriz Escalonada Reduzida: exemplo 1
Deˆ o conjunto soluc¸a˜o do sistema linear:
A1 =
 1 5 0 20 0 1 3
0 0 0 0


x + 5y = 2
z = 3
0 = 0
Soluc¸a˜o: z = 3 e x = 2− 5y para qualquer y .
y e´ varia´vel livre (pode assumir qualquer valor)
S = { (x , y , z) = (2− 5t, t, 3), para todo t }
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Matriz Escalonada Reduzida: exemplo 2
Deˆ o conjunto soluc¸a˜o do sistema linear:
A2 =
 1 0 −1 0 −10 1 2 0 4
0 0 0 1 1


x − z = −1
y + 2z = 4
w = 1
Soluc¸a˜o: w = 1, y = 4− 2z e x = −1 + z , para qualquer z .
z e´ varia´vel livre (na˜o existe restric¸a˜o sobre z)
S = { (x , y , z ,w) = (−1 + t, 4− 2t, t, 1), para todo t }
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Matriz escalonada reduzida: dica legal
A1 =
 1 5 0 20 0 1 3
0 0 0 0

Soluc¸a˜o: z = 3 e x = 2− 5y para qualquer y .
Nesta caso, y e´ varia´vel livre.
A2 =
 1 0 −1 0 −10 1 2 0 4
0 0 0 1 1

Soluc¸a˜o: w = 1, y = 4− 2z e x = −1 + z , para qualquer z .
Neste caso, z e´ varia´vel livre.
Observac¸a˜o: quando a matriz esta´ na forma escalonada reduzida, e
quando o sistema tem soluc¸a˜o, as varia´veis livres esta˜o nas colunas sem
pivoˆ.
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Escalonamento: passo a passo
Resolva o sistema linear
x + 2y − z = 1
3x + y + 4z = 2
−2x − 3y + z = 1
Soluc¸a˜o. Construa a matriz aumentada 1 2 −1 13 1 4 2
−2 −3 1 1

Identifique, ou obtenha o pivoˆ da primeira linha. 1 2 −1 13 1 4 2
−2 −3 1 1

Zere a coluna deste pivoˆ. 11 / 28
Escalonamento: passo a passo
 1 2 −1 13 1 4 2
−2 −3 1 1

Zere a coluna deste pivoˆ.
L2 ← L2 − 3L1
L3 ← L3 + 2L1
 1 2 −1 10 −5 7 −1
0 1 −1 3

Observe que a primeira coluna ficou pronta.
Vamos para a segunda.
Identifique ou obtenha o pivoˆ da segunda linha.
Seja esperto !!! Sempre que poss´ıvel, evite frac¸o˜es. L2 ↔ L3
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Escalonamento: passo a passo
 1 2 −1 10 −5 7 −1
0 1 −1 3
 L2 ↔ L3
 1 2 −1 10 1 −1 3
0 −5 7 −1

Pronto, apareceu o pivoˆ da segunda linha. 1 2 −1 10 1 −1 3
0 −5 7 −1

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Escalonamento: passo a passo
 1 2 −1 10 1 −1 3
0 −5 7 −1

Zere a coluna deste pivoˆ. Use a linha do pivoˆ
L1 ← L1 − 2L2
L3 ← L3 + 5L2
 1 0 1 −50 1 −1 3
0 0 2 14

Usando a linha do pivoˆ, a primeira coluna na˜o se altera.
Enta˜o na˜o estragamos o que ja´ estava pronto.
As duas primeiras colunas esta˜o prontas. Vamos para a terceira.
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Escalonamento: passo a passo
 1 0 1 −50 1 −1 3
0 0 2 14

Identifique ou obtenha o pivoˆ da terceira linha. L3 ← 1
2
L3 1 0 1 −50 1 −1 3
0 0 1 7

Importante. Sempre use a linha do pivoˆ para zerar a sua coluna.
A existeˆncia dos zeros a esquerda do pivoˆ, implica que, fazendo isso, na˜o
estragamos o que ja´ estava pronto.
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Escalonamento: passo a passo
 1 0 1 −50 1 −1 3
0 0 1 7

Usando a terceira linha, podemos zerar a coluna do pivoˆ desta terceira
linha.
L1 ← L1 − L3
L2 ← L2 + L3
 1 0 0 −120 1 0 10
0 0 1 7

Soluc¸a˜o: x = −12 , y = 10 e z = 7 .
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Exerc´ıcio
Resolva cada um dos sistemas lineares
x + y + 2z = 5
2x + 3y + 4z = −1
x − 2y + z = 3
x − 2y + z = 2
2x − 5y + z = −1
3x − 7y + 2z = 2
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Soluc¸a˜o, exerc´ıcio 1

x + y + 2z = 5
2x + 3y + 4z = −1
x − 2y + z = 3
 1 1 2 52 3 4 −1
1 −2 1 3

L2 ← L2 − 2L1 e L3 ← L3 − L1

x + y + 2z = 5
y = −11
− 3y − z = −2
 1 1 2 50 1 0 −11
0 −3 −1 −2

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Soluc¸a˜o, exerc´ıcio 1

x + y + 2z = 5
y = −11
− 3y − z = −2
 1 1 2 50 1 0 −11
0 −3 −1 −2

L1 ← L1 − L2 e L3 ← L3 + 3L2
x + 2z = 16
y = −11
−z = −35
 1 0 2 160 1 0 −11
0 0 −1 −35

L3 ← −L3
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Soluc¸a˜o, exerc´ıcio 1

x + 2z = 16
y = −11
z = 35
 1 0 2 160 1 0 −11
0 0 1 35

L1 ← L1 − 2L3
x = −54
y = −11
z = 35
 1 0 0 −540 1 0 −11
0 0 1 35

Soluc¸a˜o: x = −54, y = −11 e z = 35.
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Soluc¸a˜o, exerc´ıcio 2

x − 2y + z = 2
2x − 5y + z = −1
3x − 7y + 2z = 2
 1 −2 1 22 −5 1 −1
3 −7 2 2

L2 ← L2 − 2L1 e L3 ← L3 − 3L1
x − 2y + z = 2
−y − z = −5
−y − z = −4
 1 −2 1 20 −1 −1 −5
0 −1 −1 −4

L2 e L3 sa˜o incoerentes. Sistema imposs´ıvel. S = ∅
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Exerc´ıcio (Exerc´ıcio 1.2.10 (a))
Encontre condic¸o˜es sobre b1, b2 e b3 para que o sistema tenha soluc¸a˜o.
x − 2y + 5z = b1
4x − 5y + 8z = b2
−3x + 3y − 3z = b3
Soluc¸a˜o. Vamos escalonar 1 −2 5 b14 −5 8 b2
−3 3 −3 b3
 L2 ← L2 − 4L1 e L3 ← L3 + 3L1
 1 −2 5 b10 3 −12 b2 − 4b1
0 −3 12 b3 + 3b1

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 1 −2 5 b10 3 −12 b2 − 4b1
0 −3 12 b3 + 3b1

L3 ← L3 + L2  1 −2 5 b10 3 −12 b2 − 4b1
0 0 0 −b1 + b2 + b3

Para o sistema ter soluc¸a˜o −b1 + b2 + b3 = 0.
Neste caso, podemos considerar z como varia´vel livre e podemos expressar
as soluc¸o˜es em termos de b1, b2 e b3.
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Exerc´ıcio
Determine os valores de a para que o sistema tenha uma u´nica soluc¸a˜o,
infinitas soluc¸o˜es ou na˜o tenha soluc¸a˜o.
x + 2y − 3z = 4
3x − y + 5z = 2
4x + y + (a2 − 14)z = a + 2
Soluc¸a˜o. Na˜o tem segredo; escalone
 1 2 −3 43 −1 5 2
4 1 a2 − 14 a + 2
 L2 ← L2 − 3L1 e L3 ← L3 − 4L1
 1 2 −3 40 −7 14 −10
0 −7 a2 − 2 a− 14

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Exerc´ıcio 1.2.6 (a)
 1 2 −3 40 −7 14 −10
0 −7 a2 − 2 a− 14
 L3 ← L3 − L2
 1 2 −3 40 −7 14 −10
0 0 a2 − 16 a− 4

Em termos de equac¸o˜es:
x + 2y − 3z = 4
−7y + 14z = −10
(a2 − 16)z = a− 4
Chegamos em uma matriz triangular superior. Isto e´ suficiente.
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Exerc´ıcio 1.2.6 (a)

x + 2y − 3z = 4
−7y + 14z = −10
(a2 − 16)z = a− 4
Observe que das duas primeiras equac¸o˜es podemos calcular x e y em
termos de z . Assim, para que o sistema tenha soluc¸a˜o, deve ser poss´ıvelcalcular z na u´ltima equac¸a˜o.
(a2 − 16)z = a− 4
ATENC¸A˜O NESTA ANA´LISE....muita gente erra aqui.
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Exerc´ıcio 1.2.6 (a)
(a2 − 16)z = a− 4
Para isolar o z desta equac¸a˜o, morremos de vontade de passar o a2 − 16
dividindo.
Isto pode estar redondamente errado, pois e´ proibido dividir por zero!
Portanto, so´ podemos isolar o z quando a2 − 16 6= 0.
Isto e´, quanto a 6= 4 e a 6= −4.
Se este e´ o caso, enta˜o z =
a− 4
a2 − 16 =
1
a + 4
.
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Exerc´ıcio 1.2.6 (a)
Enta˜o quando a 6= −4 e a 6= 4 o sistema tem uma u´nica soluc¸a˜o pois
calculamos z de modo u´nico e este valor de z pode ser substituido nas
equac¸o˜es anteriores para o ca´lculo de x e y de modo u´nico.
So´ falta analisar o caso a = −4 e a = 4 na equac¸a˜o
(a2 − 16)z = a− 4.
Se a = −4 esta equac¸a˜o toma a forma 0z = −8, ou seja 0 = −8. Sistema
imposs´ıvel.
Se a = 4 a equac¸a˜o toma a forma 0z = 0. Obtemos o sistema
x + 2y − 3z = 4
−7y + 14z = −10
0 = 0
que possui infinitas soluc¸o˜es.
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