prova-de-equac3a7c3b5es-diferenciais-_-unidade-2-_-2013-1

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Instituto Federal de Educac¸a˜o, Cieˆncia e Tecnologia
Professor: Allan de Sousa Soares
Disciplina: Equac¸o˜es Diferenciais
Aluno(a): Data: / /
Avaliac¸a˜o da Segunda Unidade 2013.1
Valor 10, 0 - Peso 9, 0
i) Na˜o e´ permitido qualquer tipo de comunicac¸a˜o entre os alunos;
ii) Justifique todos os ca´lculos e passagens;
iii) Na˜o e´ permitido a utilizac¸a˜o folhas de rascunho ou dispositivos eletroˆnicos sem a autorizac¸a˜o pre´via do professor;
iv) Desligue o celular;
v) Assine o nome em cada folha assim que receber a avaliac¸a˜o.
Questo˜es:
1) Encontre a soluc¸a˜o da equac¸a˜o diferencial
y′′ + 3y′ + 2y = sen(x)
sujeita a`s condic¸o˜es iniciais y(0) = 1 e y′(0) = 2.
2) Escreva a forma de uma soluc¸a˜o particular para a equac¸a˜o
y′′′ + 2y′′ + y′ = 5e−xsen(x) + 3 + 7xe−x.
3) Encontre a soluc¸a˜o geral da equac¸a˜o de Euler-Cauchy
x2y′′ + axy′ + by = 0,
onde (a− 1)2 > 4b.
Dica: Use o fato de que tal equac¸a˜o admite uma soluc¸a˜o da forma y = xm para x > 0 e determine m.
4) Sabendo que y1 = x
3 e´ uma soluc¸a˜o para x2y′′ − 6y = 0, encontre uma segunda soluc¸a˜o linearmente indepen-
dente no intervalo (0,∞).
5) Classifique cada uma das sentenc¸as a seguir em verdadeira (V) ou falsa (F). A simples marcac¸a˜o da questa˜o
sem os devidos ca´lculos sera´ desconsiderada, isto e´, justifique.
( ) As func¸o˜es y = x2 e y = 1 sa˜o soluc¸o˜es da equac¸a˜o diferencial y′′y − xy′ = 0, mas −x2 e x2 + 1 na˜o o que
contradiz o resultado: ”Se y1 e y2 sa˜o soluc¸o˜es de uma equac¸a˜o diferencial homogeˆnea, enta˜o tambe´m sa˜o soluc¸o˜es as
func¸o˜es y = c1y1, y = c2y2 e y = c1y1 + c2y2, onde c1 e c2 sa˜o constantes arbitra´rias.”
( ) O problema de valor inicial
x2y′′ − 2y = 0
sujeito as condic¸o˜es iniciais y(0) = 1 e y′(0) = 2 admite soluc¸a˜o u´nica, uma vez que isto e´ garantido pelo Teorema da
Existeˆncia e Unicidade.
Valor das Questo˜es
1) 2,0 2) 2,0 3) 2,0 4) 2,0 5) 2,0 (1,0 cada item)
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