Apostila de Resistênca dos Materiais - 2011

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UNIVERSIDADE FEDERAL DE MATO GROSSO 
FACULDADE DE ENGENHARIA FLORESTAL 
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA FLORESTAL 
 
 
 
 
 
 
ELEMENTOS DE RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS 
E DE ESTÁTICA DAS ESTRUTURAS 
 
 
 
 
 
NORMAN BARROS LOGSDON 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
CUIABÁ, MT. - 2011 
 ii
 
 
 
 
SUMÁRIO 
 
 
CONTEÚDO PÁGINA 
 
1. Resumo de alguns princípios da estática 1 
1.1. Sistema de unidades 1 
1.2. Cargas e carregamentos 3 
1.3. Decomposição de uma força 6 
1.4. Equilíbrio de um corpo rígido 8 
1.5. Exercícios propostos 15 
2. Apoios 16 
2.1. Apoio móvel 16 
2.2. Apoio fixo 17 
2.3. Engastamento móvel 18 
2.4. Engastamento fixo 18 
2.5. Estabilidade das estruturas 19 
2.6. Cálculo das reações de apoio (estruturas isostáticas) 21 
2.7. Exercícios propostos 26 
3. Esforços solicitantes 28 
3.1. Conceituação 28 
3.2. Barras, vigas e pilares 31 
3.3. Cálculo de esforços solicitantes 31 
3.4. Diagramas de esforços solicitantes 38 
3.5. Princípio da superposição de efeitos 44 
3.6. Relações diferenciais entre esforços solicitantes 52 
3.7. Teoremas auxiliares para o traçado de diagramas de esforços 
solicitantes 
 
53 
3.8. Exercícios propostos 64 
4. Estudo elementar da resistência 67 
4.1. Tração e compressão (efeito da força normal) 67 
4.2. Cisalhamento simples 69 
4.3. Flexão de barras com seção simétrica 70 
4.4. Deformação por flexão 74 
4.5. Flambagem 86 
4.6. Exercícios propostos 89 
 
 
 
 
 
 
 
 iii
 
 
 
 
 
 
 
CONTEÚDO PÁGINA 
 
5. Características geométricas de seções planas 92 
5.1. Generalidades 92 
5.2. Definições 93 
5.3. Tabelas de características geométricas de seções planas 94 
¾ Observações complementares 101 
5.4. Exercícios propostos 103 
6. Teoria das treliças 105 
6.1. Generalidades 105 
6.2. Tipos de treliças 106 
6.3. Nomenclatura utilizada 109 
6.4. Cálculo de esforços nas barras de treliças isostáticas 110 
6.5. Deslocamentos em estruturas lineares 130 
6.6. Exercícios propostos 135 
Diagramas e fórmulas para o cálculo de vigas 147 
Características geométricas de seções planas 153 
Roteiros 157 
Anexo 1 (Teoremas úteis para o traçado de diagramas de E. S.) 165 
Anexo 2 (Sobre a convenção de sinais) 165 
Anexo 3 (Condições de contorno) 166 
Anexo 4 (Teoremas da geometria e definições trigonométricas) 166 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Prof. Dr. Norman Barros Logsdon 
1.1. Sistema de unidades
¾ Quilograma (kg)Æ Múltiplos e submúltiplos Æ
Grama (g) Æ 1g=10-3kg
Tonelada (t ou ton.) Æ
1t=103kg=106g
¾ Metro (m)Æ Múltiplos e submúltiplos Æ Milímetro (mm) Æ 1mm=10
-3m
1mm=10-1cm
Quilômetro (km) Æ 1km=103m
Centímetro (cm) Æ 1cm=10-2ma) Unidades de comprimento
b) Unidades de massa
1. Resumo de alguns princípios da estática
¾ Sistema InternacionalÆ MKS ÆOficial no País
 
 
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¾ Demais unidades Æ Compostas pelas unidades básicas
Algumas vezes Æ Rebatizadas
¾ Segundo (s)Æ Múltiplos Æ Hora (h) Æ 1h=60min=3600s
Minuto (min) Æ 1min=60s
c) Unidades de tempo
d) Outras unidades
Unidades básicas Æ Sigla MKS Segundo
Quilograma
Metro
 
 2
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¾ Velocidade (V)Æ Relação entre o espaço pelo tempo gasto para percorrê-lo 
⇒=∆
∆=
dt
dxVou
t
xV [ ] [ ][ ] ⇒∆
∆=
t
xV [ ] smV =
¾ Aceleração (a)Æ Relação entre a variação da velocidade e o tempo 
⇒=∆
∆=
dt
dVaou
t
Va [ ] [ ][ ] ⇒∆
∆=
t
Va [ ] 2sma =[ ] ⇒= s
sma
¾ Força (F)Æ Causa de uma aceleração sobre uma determinada massa
⇒= a.mF [ ] [ ] ⇒= ]a.[mF [ ] 2sm.kgF =
Newton (N)Æ Múltiplos Æ
Quilonewton (kN) Æ 1kN=103N
Meganewton (MN)Æ 1MN=103kN=106N
Unidade batizada de Newton (N) Æ 2sm.kg1N1 =
 
 
 
 3
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1.2. Noções sobre forças
Tem direção vertical e sentido para baixo
Unidades Æ N, kN, MN etc. 
É a força mais conhecida em estruturas
a) Peso
¾ CarregamentoÆ cargas aplicadas simultaneamente sobre a estrutura 
1.2. Cargas e carregamentos
¾ CargaÆ aquilo que aplica um efeito sobre a estrutura 
Por exemploÆ uma força aplicada à estrutura é uma carga;
um conjunto de forças, aplicadas à estrutura, é um carregamento. 
“A causa da aceleração 
da gravidade sobre uma 
determinada massa”.
Æ
2s/m81,9g:onde,g.mP ==
Pode ser aplicada a estrutura 
em qualquer direção e sentido⇐
Estrutura
 
 
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b) Peso próprio
Termo utilizado para referir-se ao peso da estrutura, que além do 
carregamento aplicado, também deve suportar seu peso próprio.
c) Peso específico
Unidades Æ kN/m3 , N/cm3 , N/mm3 etc. 
“É o peso por unidade de 
volume”.
Æ V.PVP γ=⇒=γ
d) Pressão e tensão
Unidades Æ
“Força por 
unidade de área ”. Æ
A
Fp =Pressão Æ ← Força aplicada← Área de contato
A
F=σTensão2Æ ← Reação interna← Área da seção transversal
Pascal Æ 1Pa = 1N/m2
Megapascal Æ 1MPa = 106 Pa ⇒
1MPa = 106N/m2 ⇒ 1MPa = 1N/mm2
2 σ é e a letra grega Sigma
1
1 γ é e a letra grega Gama
 
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A
Fp =Pressão Æ ← Força aplicada← Área de contato
A
F=σTensão Æ ← Reação interna← Área da seção transversal
 
 
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e) Carga distribuída
Unidades Æ N/m , N/cm , N/mm etc. 
“É a força por unidade de 
comprimento”.
Æ L
Fp =
Utiliza-se quando uma das dimensões da área de contato é pequena
¾ Carga uniformemente distribuídaÆ corresponde à distribuição do peso de
um sólido homogêneo e de seção constante ao longo de seu contato 
L.pP
L
Pp =⇒=
 
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¾ Carga linearmente distribuídaÆ corresponde à distribuição do peso de um
sólido homogêneo, cuja altura varia linearmente ao longo de seu contato 
¾ Carga parabolicamente distribuídaÆ corresponde à distribuição do peso de
um sólido homogêneo , cuja altura varia parabolicamente ao longo do contato 
 
 
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f) Carga concentrada
Unidades Æ N , kN , MN etc. “É a força aplicada em um 
ponto (centro do contato)”.
Æ
Utiliza-se quando as duas dimensões da área de contato são pequenas
 
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¾ Forças em direções ortogonaisÆ trabalhos independentes
1.3. Decomposição de uma força
α= cos.FFx
β= cos.FFy ( )α−= oy 90cos.FF⇒ ⇒
α= sen.FFy
Ângulo entre a força F e
a componente procurada
O sentido das componentes é o mesmo da 
força. Se F entra (sai) Fx e Fy entram (saem).
F é a Resultante da 
soma vetorial de Fx e Fy
1 α é e a letra grega Alfa
1
2
2 β é e a letra grega Beta
 
 
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¾ Exemplo de aplicação 001Æ Decompor o carregamento da estrutura
representada na figura abaixo, em duas forças, uma axial e outra normal
ao eixo da estrutura. 
Estrutura
Apoio
No eixo
Perpendicular 
ao eixo
 
 7
 
 
 
 8
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¾ Corpo rígidoÆ todosólido capaz de receber forças sem se deformar 
1.4. Equilíbrio de um corpo rígido
¾ Sem deformar Æ ação de forças produz movimentos
¾ Espaço tridimensional Æ 6 movimentos independentes
Corpo rígido tridimensional 
em Repouso
1 - Translação no eixo x
 
 
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3 - Translação no eixo z2 - Translação no eixo y
 
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4 - Rotação em torno de 
eixo paralelo ao eixo x
5 - Rotação em torno de 
eixo paralelo ao eixo y
 
 
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6 - Rotação em torno de 
eixo paralelo ao eixo z Movimento qualquer Æ uma combinação 
dos 6 movimentos independentes
 
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¾ TranslaçõesÆ produzidas por forças (F=m.a)
¾ RotaçõesÆ produzidas por Momentos
¾ MomentoÆ
Momento é uma grandeza vetorial, definida como o produto 
da força (F) pela distância (z), do eixo considerado (x) à
linha de ação desta força ÆM=F.z
Braço de alavancaÆ distância (z)
Unidades Æ N.m, N.cm, N.mm etc. 
 
 
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Sem translaçõesÆ
Sem rotaçõesÆ
¾ EquilíbrioÆ
∑ = 0Fx
∑ = 0Fy
∑ = 0Fz
∑ = 0Mx
∑ = 0My
∑ = 0Mz
Indica a 
direção do eixo
Indica em torno 
do eixo
Equilíbrio de um corpo rígido tridimensional
Componente da força 
na direção indicada
z.FM =
 
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¾ Estruturas tridimensionaisÆ
¾ Estruturas planasÆ
Sistemas “6 x 6”
Só com uso de computadores
Historicamente Æ decompor em
estruturas planas
Espaço bidimensional Æ Um plano
Estrutura, cargas e deslocamentos Æ no plano
Movimentos independentes Æ apenas três 
Sistemas “3 x 3”
Corpo rígido bidimensional 
em Repouso 1 - Translação horizontal
 
 
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2 - Translação vertical 3 - Rotação
Equações 
fundamentais
da estática
∑ = 0Fh
∑ = 0Fv
∑ = 0Mo
Æ
Equilíbrio de um corpo rígido plano
z.FMO =
 
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¾ Exemplo de aplicação 002Æ Verificar o equilíbrio do corpo rígido plano
esquematizado na figura abaixo.
 
 
 
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¾ Exemplo de aplicação 003Æ Obter as forças F1, F2 e F3, que mantêm
o corpo rígido plano, esquematizado na figura abaixo, em equilíbrio. 
 
 
 
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1.5. Exercícios propostos
1.5.1. Quais são as unidades básicas do sistema internacional? 
1.5.2. Como é obtida a unidade de força no sistema internacional? Como
é denominada esta unidade? 
1.5.3. O que é peso? Quais suas características? Quais as unidades
utilizadas? 
1.5.4. O que é peso especifico? Quais as unidades utilizadas? 
1.5.5. O que é pressão? Quais as unidades utilizadas? 
1.5.6. O que é tensão? O que a diferencia de pressão? 
1.5.7. O que é carga uniformemente distribuída? Quais as unidades
utilizadas? 
1.5.8. O que é carga concentrada? Quais as unidades utilizadas? 
1.5.9. O que é resultante de um sistema de forças? 
 
 
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1.5.10. Como se obtém a componente de
uma força em determinada direção? 
1.5.11. Decompor as forças representadas
na figura ao lado, nas direções dos
eixos x e y. 
1.5.12. Obter um carregamento equivalente, ao representado na figura
abaixo, de tal forma a obter cargas axiais e normais ao eixo da
estrutura. 
 
 16
 
 
 
 17
 
 
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Representação esquemática
V V
É semelhante ao do apoio móvel, 
mas com furo justo na cantoneira 
para evitar translação horizontal.
Exemplo de montagem do apoio fixo
H
H
Cantoneiras com furo justo 
Travesseiro de madeira
(compressão normal)
O apoio pode ser 
simplificado conforme 
a ação. Por exemplo, 
se as ações verticais 
forem para baixo 
(reação para cima) e 
as ações horizontais 
desprezíveis.
 
 18
 
 
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← Bloco de concreto
Orifício prevendo instalação da estrutura
Estrutura (sem aderência ao concreto)
2.4. Engastamento fixo
Exemplo de montagem
do engastamento móvel
Reação
Horizontal
Reação
Vertical
Momento de
Engastamento
Impede
translação
horizontal
Impede
translação
vertical
Engastamento
fixo é um sistema
de apoio sem graus de 
liberdade, que fornece 
três reações: reação 
vertical; reação 
horizontal e momento 
de engastamento,
que impedem todos
os movimentos. Impede
a rotação
 
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Representação
esquemática
M
M
V
V
H
H
Pregos para melhorar 
a aderência da 
madeira ao concreto
Estrutura de madeira 
“chumbada” no concreto 
(com aderência).
Bloco de concreto Æ
(ainda fresco)
Exemplo de montagem
do engastamento fixo
 
 
 
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2 reações
instável
4 reações
instável
4 reações instável
3 reações
instável
2 reações
instável
 
 
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Tipos de estruturas (quanto a estabilidade dos apoios)
¾Estruturas hipostáticas Æ
Combinação de apoios instável
Regra Æmenos de 3 reações
Não devem ser usadas na construção civil
Radical grego: 
“menos que” Instável ocorre
Translação horizontal 
Instável ocorre
Translação horizontal 
Instável
ocorre
Rotação
(pêndulo) 
¾Estruturas isostáticas Æ
Combinação de apoios estável
Regra Æ 3 reações
Radical grego: 
“igual a”
Estaticamente
determinadasÆ
ReaçõesÆ obtidas com equações
fundamentais da estática
Estável
Estável Estável
 
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¾ Estruturas hipostáticas
como caso excepcional
Combinação de apoios instável
Regra Æ não segue as regras das hipostáticas
Não devem ser usadas na construção civil
Æ
4 reações
instável
4 reações instável
2.6. Cálculo das reações de apoio (estruturas isostáticas)
O cálculo das reações
de apoio de uma estrutura 
isostática é feito com o
auxilio das três equações
fundamentais da estática 
∑ = 0Fh
∑ = 0Fv
∑ = 0MO z.FMO =
 
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Substituir os apoios por suas 
reações (sentido arbitrário) 
Simplificar o carregamento (concentrar cargas distribuídas e/ou 
decompor cargas inclinadas) 
Aplicar as três equações 
fundamentais da estática, 
resolver o sistema e obter 
as reações
Fornecer a solução, em desenho, invertendo o sentido das reações negativas
Roteiro – Cálculo de reações de apoio
V
M
V
H
M
VV
H
∑ = 0Fh∑ = 0Fv∑ = 0MOz.FMO =
Apoio por 
onde passam 
mais reações
1
2
3
4
 
 
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¾ Exemplo de aplicação 004Æ Calcular as reações de apoio da estrutura
isostática esquematizada na figura abaixo. 
 
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¾ Exemplo de aplicação 005Æ Calcular as reações de apoio da estrutura
isostática esquematizada na figura abaixo. 
 
 
 
 25
 
 
 
 26
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2.7. Exercícios propostos
2.7.1. O que se entende por apoio? Quais os principais tipos de apoio? 
2.7.2. Descreva o apoio móvel. 
2.7.3. Descreva o apoio fixo. 
2.7.4. Descreva o engastamento móvel. 
2.7.5. Descreva o engastamento fixo. 
2.7.6. Represente, esquematicamente, com suas reações de apoio: o
apoio móvel, o apoio fixo, o engastamento móvel e o
engastamento fixo. 
2.7.7. O que se entende por condição de apoio estável? Represente,
esquematicamente, algumas estruturas com condição de apoio 
estável. 
2.7.8. O que são estruturas (externamente) hipostáticas? Represente,
esquematicamente, alguns exemplos. 
 
 
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2.7.10. O que são estruturas (externamente) hiperestáticas? Represente,
esquematicamente, alguns exemplos. 
2.7.9. O que são estruturas (externamente) isostáticas? Represente,
esquematicamente, alguns exemplos. 
2.7.11. Conforme a combinação de
apoio, fornecer o tipo das
estruturas representadas
nas figuras a seguir. 
a
b
 
 27
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c
d
e
 
 
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2.7.12. Calcular as reações de apoio, das estruturas isostáticas do
exercício anterior (2.7.11). 
f g
h i
 
 28
 
 
 
 29
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Convenção de sinais
A apresentação de forças (ou momentos) deve ser visual, por se tratar 
de grandeza vetorial (tem direção sentido e magnitude).
Esta prática não é conveniente para esforços solicitantes, pois eles se 
encontram no interior das estruturasÆ Convenção de sinais.
Força Normal (N)
Força Normal positiva
¾ Sai da seção de corte
¾ Barra tracionada
 
 
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Força Cortante (V)
Força Cortante positiva
¾ Provoca giro horário nos “apoios”
¾ Segue a Regra PolíticaÆ À esquerda desce e à direita sobe
¾ Sinal é convencionado Æ Não é associado ao fenômeno físico
 
 30
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Momento Fletor (M)
Momento Fletor positivo
¾ Provoca tração embaixo
¾ “Força torta” que “estica” embaixo
 
 
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Momento Torçor (T)
Momento Torçor positivo
¾ Segue a Regra do Saca-rolhasÆ Se o “saca-rolhas” (dedão da
mão direita) entra na seção de corte, o momento torçor é positivo
¾ Sinal é convencionado Æ Não é associado ao fenômeno físico
Estruturas planas Æ 3 esforços 
solicitantes Æ Força normal (N), força 
cortante (V) e momento fletor (M)
Estruturas Planas (Resumo)
N, V e M positivos
 
 31
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3.2. Barras, vigas e pilares
BarraÆElemento estrutural no qual as dimensões da seção são 
nitidamente menores que o comprimento do eixo da peça 
No sentido geral
Barra simples Æ BarraÆ Transmite só força normal, N
Barra geral Æ ChapaÆ Transmite força normal, N
forca cortante, V e momento fletor, M
VigaÆ Transmite N, V e M e é
usada na horizontal
PilarÆ Transmite N, V e M e é
usado vertical
Elemento fino 
e comprido
3.3. Cálculo de esforços solicitantes
Estruturas planas Æ 3 esforços solicitantes (N, V e M) Æ podem ser 
obtidos aplicando as 3 equações fundamentais da estática.
 
 
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Cálculo das reações de apoio
Aplicar as três equações 
fundamentais da estática, 
na parte escolhida, resolver 
o sistema e obter os E. S.
Escolher uma das partes da estrutura, para os cálculos, 
e se necessário, simplificar os carregamentos
Roteiro – Cálculo de E. S. em uma seção de estrutura plana
∑ = 0Fh∑ = 0Fv∑ = 0MO z.FMO =
Ponto de corte
1
2
3
4
Cortar a estrutura, na seção onde se desejam 
encontrar os esforços solicitantes, colocando-os 
(incógnitas) com seu sentido positivo 
Ver roteiro apropriado (página 15)
Ver mais detalhes
 
Ver Anexo 2
 32
 
 
 
 33
 
 
 
 34
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¾ Exemplo de aplicação 007Æ Calcular os esforços solicitantes na seção 
genérica “C”, do pilar representado na figura abaixo. 
1) Cálculo das reações de apoio 
ƒ Substituir os apoios
por suas reações 
 
 
301.1125-0 – Resistência dos Materiais e Estática das Estruturas 
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ƒ Simplificar o carregamento ƒ Aplicar as três equações fundamentais da
estática, obtendo reações
( ) ⇒=−−∴→= +∑ 0.pH0Fh l
( ) ⇒=−∴↑+=∑ 0PV0Fv
l.pH −=
PV =
∑ = 0MB ⇒−−∴ 2..pM ll
2
.pM
2l−=Apoio por onde
passam mais reações
0
0
0
-
-
 
 35
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ƒ Fornecer a solução, em
desenho, invertendo o
sentido das reações
negativas 
2) Cortar a estrutura, onde se desejam
os E. S. (seção “C”), colocando-os
com seu sentido positivo 
OBS.: Estruturas verticais
não têm “embaixo”,
ele precisa ser
adotado
Ver detalhes
Em
baixo (escolhido)
 
 
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3) Escolher uma das partes da
estrutura, para os cálculos,
e simplificar carregamentos 
Escolhendo-se a parte
superior 
Em
baixo (escolhido)
4) Aplicar, na parte escolhida, as três
equações fundamentais da estática e
obter os esforços solicitantes na seção ( ) ⇒=−−∴→= +∑ 0x.pV0Fh
x.pV −=
( ) ⇒=−−∴↑+=∑ 0PN0Fv
PN −=
∑ = 0MC ⇒=−−∴ 02x.x.pM
2
x.pM
2
−=Ponto
de corte
Convencional, sem
significado físico
Compressão
Tração em cima
(lado direito)
0 0
-
0
-
 
Ver Anexo 2
 36
301.1125-0 – Resistência dos Materiais e Estática das Estruturas 
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¾ Exemplo de aplicação 008Æ Calcular os esforços solicitantes na seção 
genérica “C”, da viga representada na figura abaixo. 
1) Cálculo das reações de apoio 
ƒ Substituir apoios por reações 
 
 
301.1125-0 – Resistência dos Materiais e Estática das Estruturas 
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ƒ Simplificar o carregamento 
ƒ Aplicar as três equações fundamentais
da estática, obtendo reações
( ) ⇒=−∴→= +∑ 0H0F Ah
0HA =
( ) ⇒=−+∴↑+=∑ 0.pVV0F BAv l
l.pVV BA =+Equação A
∑ = 0MA ⇒=−∴ 0.V2..p B lll
2
.pVB
l=Apoio por onde
passam mais reações
Voltando-se na Equação A:
⇒=+⇒==+ lll .p
2
.pV0.pVV ABA
2
.pVA
l=ƒ Fornecer a solução,
invertendo o sentido
das reações negativas 
0
0
+
-
 
 37
301.1125-0 – Resistênciados Materiais e Estática das Estruturas 
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2) Cortar a estrutura, onde se desejam os E. S. (seção “C”), colocando-os
com seu sentido positivo 
3) Escolher uma das partes da estrutura, para os cálculos, e simplificar
carregamentos 
Escolhendo-se a parte esquerda:
Simplificando o
carregamento
0
0
--
+
 
 
301.1125-0 – Resistência dos Materiais e Estática das Estruturas 
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4) Aplicar, na parte escolhida, as três equações fundamentais da estática e
obter os esforços solicitantes na seção 
( ) 0N0Fh =∴→= +∑ 0N =
( ) 0Vx.p
2
.p0Fv =−−∴↑+=∑ l x.p2.pV −= l
∑ = 0MC 0x.2.p2x.x.pM =+−−∴ l 2x.px.2.pM
2
−= l
 
 38
301.1125-0 – Resistência dos Materiais e Estática das Estruturas 
3.4. Diagramas de esforços solicitantes
Diagramas de esforços solicitantes são diagramas que representam a 
variação dos esforços solicitantes ao longo da estrutura 
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Regras de construção de diagramas de esforços solicitantes
1) O eixo das abscissas (não apresentado) coincide com o eixo da estrutura;
2) O eixo das ordenadas (não apresentado) apresentará os valores do esforço
solicitante considerado;
3) Para os diagramas de força normal (N) e força cortante (V) é obrigatório o
uso de sinais;
4) O diagrama de momento fletor (M) deve ser desenhado do lado tracionado
(M>0 Æ traciona embaixo ⇒ desenha-se embaixo);
5) Os diagramas de esforços solicitantes devem ter hachuras indicando a
direção de leitura;
6) Um diagrama (ou trecho) constante pode ter sua representação simplificada
colocando-se um sinal de igual sobre ele, seguido de seu valor (com sinal);
7) Os diagramas de esforços solicitantes serão apresentados associados (sob
ou ao lado) ao esquema estático (estrutura e carregamento), aproveitando
as cotas de posição.
 
 
301.1125-0 – Resistência dos Materiais e Estática das Estruturas 
¾ Exemplo de aplicação 009Æ Traçar os diagramas de esforços solicitantes
da viga do exemplo de aplicação 008, apresentada
na figura ao lado. 
No exemplo de aplicação 
008 foram obtidos em 
uma seção distante “x”
do apoio esquerdo.
0)x(N =
x.p
2
.p)x(V −= l
2
x.px.
2
.p)x(M
2
−= l
a) Diagrama de força normal (N)
A expressão de N(x) independe
de x Æ N=0 sempre
b) Diagrama de força cortante (V)
A expressão de V(x) é a de 
uma reta Æ são necessários 
2 pontos para defini-la.
x y = V(x)
2
.p0 l
2
.p ll −
c) Diagrama de momento fletor (M)
A expressão de M(x) é a de 
uma parábola Æ precisa-se 
de 3 pontos para defini-la.
x y = M(x)
00
8
.p
2
2ll
0lM>0 ⇒ tração embaixo ⇒ desenha-se embaixo
p.l
2
p.l
2
p.l2
8
 
 39
301.1125-0 – Resistência dos Materiais e Estática das Estruturas 
¾ Exemplo de aplicação 010Æ Traçar os diagramas de esforços solicitantes do
pilar do exemplo de aplicação 007, apresentado na figura abaixo. 
No exemplo de aplicação 
007 foram obtidos a “x”
do extremo livre.
x.p)x(V −=
P)x(N −=
2
x.p)x(M
2
−=
a) Força normal (N)
N(x) independe de “x” Æ
N=-P sempre
b) Força cortante (V)
V(x) é uma reta Æ são 
necessários 2 pontos 
para defini-la.
x y = V(x)
00
ll .p−
c) Momento fletor (M)
M(x) é uma parábola Æ são
precisos 3 pontos para traçar.
x y = M(x)
00
8
.p
2
2ll −
2
.p 2ll −
M<0⇒ tração
em cima ⇒
desenha-se 
em cima
(a direita)
p.l
p.l
-P
P
p.l2
8
p.l2
2
 
 
301.1125-0 – Resistência dos Materiais e Estática das Estruturas 
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Exemplos
apresentados
Æ
Diferentes lÆ Estruturas diferentes 
Diferentes p e P Æ Carregamentos diferentes 
Tabelar casos freqüentes Æ “Diagramas e fórmulas para o 
cálculo de vigas” (a partir da página 33)
Notas:
1) Equações obtidas por trechos de mesmo carregamento;
2) Foram incluídas as equações de deslocamento (flechas), que serão
estudadas adiante,
Ver “tabela” de Diagramas
de Esforços Solicitantes
 
 40
301.1125-0 – Resistência dos Materiais e Estática das Estruturas 
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Localizar o esquema estático 
correspondente nas “Tabelas”
Desenhar os diagramas como 
estão tabelados (rascunho) 
Identificar cotas que definem 
as curvas dos diagramas 
Calcular cotas com formulário 
à direita nas “Tabelas”
Roteiro – Uso de tabelas para traçar diagramas de E. S.
1
3
4
Fazer os ajustes e desenhar diagramas associados ao esquema estático 5
1) Cotas batizadas estão em valor absoluto;
2) Outras cotas Æ das equações Æ com sinal;
3) Exceção V3 (batizada) alínea fÆ sai de Vx
Polinômio Æ número de cotas = grau mais 1
1) Só problemas mais freqüentes tabelados;
2) Tabelas para vigas com carga vertical ⇒
reação H=0, N é nulo e
¾ Fazer inversão correspondente e
¾ Trocar sinal da força cortante
3) Problemas invertidos (girados de 180o):
N, V e M > 0 N e M > 0, mas V < 0
Girando
de 180o
2
 
 
 
 41
 
 
301.1125-0 – Resistência dos Materiais e Estática das Estruturas 
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Diagramas
“Tabelado” na
alínea “b”
Procurar usar “tabelas” automática e 
diretamente
Constante Constante
Reta Reta
⇒==
2
PVR ⇒
2
20000 N10000VR ==
10000 N 10000 N
10000 N
10000 N ( ) ⇒= 4.PcentronoMmáx l ⇒4 00,6.20000
m.N30000M máx =
30000 N.m
¾ Exemplo de aplicação 013 - Traçar os
diagramas de Momento Fletor (M), Força
Normal (N) e Força Cortante (V) para a
viga ao lado.
 
 42
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Diagramas
“Tabelado” na
alínea “k”
Procurar usar “tabelas”
automática e diretamente
¾ Exemplo de aplicação 014 - Traçar os diagramas de Momento Fletor (M),
Força Normal (N) e Força Cortante (V) para o pilar abaixo.
C
on
st
an
te
R
et
a
⇒== PVR ⇒N5000 N5000VR ==
5000 N
5000 N
( )⇒= fixoextremonoMM máx ⇒00,2.5000 m.N10000MM máx ==
10000 N.m 10000 N.m
 
 
301.1125-0 – Resistência dos Materiais e Estática das Estruturas 
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As “tabelas” também podem ser 
usadas para obter Esforços 
Solicitantes em posições particulares.
¾ Associar a posição à abscissa
“x” da “tabela”Æ obter “x”
¾ Aplicar a equação do Esforço
Solicitante para obtê-lo.
¾ Exemplo de aplicação 015 - Obter o momento
fletor no centro da viga do exemplo de
aplicação 011, cujos diagramas estão ao lado. 
Diagramas Define abscissa “x” e 
equações de Mx( )⇒esquerdoapoiodopartiravigadacentrox
⇒==⇒
2
00,6
2
x l m00,3x =
( ) ( )⇒−==>= x.Rm00,2am00,3xparaM 2x l
( )⇒−=⇒ 00,300,6.67,666M x m.N2000M x =3,00 m
2000 N.m
M>0 ⇒ tração embaixo ⇒ desenhar embaixo
 
 43
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¾ Exemplo de aplicação 016 - Obter a força cortante a 1,00 m do extremo livre do
pilar do exemplo de aplicação 012. Obter também, os momentos fletores a 0,50 m
do extremo livre e a 2,00 m do extremo fixo. Os diagramas são dados abaixo. 
Diagramas
Define abscissa “x”, “embaixo”, 
equações de Vx e de Mx
( )⇒livreextremodom00,1ax
⇒=⇒ m00,1x m00,1x =
x.pVx −= Invertido ⇒V troca sinalÆ Æ x.pVx +=
⇒=⇒ 00,1.1000Vx N1000Vx =
0,
50
1,
00
 m
1,
00
 m
10
00
 N
12
5 
N.
m
50
0 
N.
m
2,
00
 m
( )⇒livreextremodom50,0ax m50,0x =
⇒−=
2
x.pM
2
x ⇒− 2
50,0.1000 2 m.N125M x −=
M<0⇒ tração em cima ⇒
desenha-se em cima (esquerda)
⇒

 livreextremodopartiramas,fixoextremodom00,2ax ⇒−= 00,200,3x m00,1x =
⇒−=
2
x.pM
2
x ⇒− 2
00,1.1000 2 m.N500M x −=
 
 
301.1125-0 – Resistência dos Materiais e Estática das Estruturas 
¾ Exemplode aplicação 017 - Obter os
momentos fletores a 1,67 m do apoio esquerdo
e a 4,00 m do apoio direito da viga do exemplo
de aplicação 013, cujos diagramas estão ao lado 
Diagramas Define abscissa “x” e 
equações de Mx
1,67 m
4,00 m2,00 m
16700 N.m
20000 N.m
( )⇒esquerdoapoiodom67,1ax m67,1x =
⇒===<=
2
x.P)m00,3
2
00,6
2
m67,1xpara(Mx
l
⇒⇒
2
67,1.20000 m.N16700M x =
( )⇒esquerdoapoiodopartiramas,direitoapoiodom00,4ax
⇒−= 00,4x l ⇒− 00,400,6 m00,2x =
⇒===<=
2
x.P)m00,3
2
00,6
2
m00,2xpara(Mx
l
⇒⇒
2
00,2.20000 m.N20000M x =
M>0 ⇒ tração embaixo ⇒ desenhar embaixo
 
 44
301.1125-0 – Resistência dos Materiais e Estática das Estruturas 
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¾ Exemplo de aplicação 018 - Obter o momento fletor no centro do pilar do
exemplo de aplicação 014. Os diagramas são dados abaixo. 
Diagramas
Define abscissa “x”, “embaixo”, 
equações de Vx e de Mx2500 N.m1,
50
 m
( )⇒livreextremodopartirapilardocentrox ⇒=
2
00,3
2
l m50,1x =
( )⇒−−==>= ax.P)m00,1am50,1xpara(Mx ( )⇒−− 00,150,1.5000 m.N2500Mx −=
M<0⇒ tração em cima ⇒
desenha-se em cima (direita)
 
 
 
 45
301.1125-0 – Resistência dos Materiais e Estática das Estruturas 
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¾ As idéias do princípio da superposição de efeitos 
João Æ 70 kg Maria Æ 50 kg João e Maria Æ ?
12
0 k
g
E se subirem 2 
rapazes com o 
“peso” de João e 3 
moças com o “peso 
de Maria?
⇒+= MariaJoãoTotal P.3P.2P
⇒+= 50.370.2PTotal
kg290PTotal =
Combinação 
linear
Se o carregamento de uma
estrutura for uma combinação linear de
outros carregamentos, mais simples, os efeitos
produzidos por este carregamento, podem ser
obtidos pela combinação linear equivalente dos 
efeitos dos diversos carregamentos, mais 
simples, atuando isoladamente
na estrutura. 
Princípio da
Superposição de efeitos
 
 
301.1125-0 – Resistência dos Materiais e Estática das Estruturas 
Prof. Dr. Norman Barros Logsdon 
¾ O princípio da superposição de efeitos vale sempre? 
Não, existem duas exceções:
Estruturas que “viram” outra após 
o carregamento, como as pênseis.
Estruturas cujo material “vira”
outro após o carregamento, como 
plástico, solo etc.
Varal bem
esticado
Varal com “peso”
no centro
Plástico
Plástico esticado
(deformado)
Para as
estruturas de madeira usuais
(barras, vigas, pilares e treliças)
o princípio da superposição de 
efeitos é sempre válido.
Material cujas deformações 
são proporcionais as tensões
Valem as hipóteses de 
pequenos deslocamentos
Teoria 
linear de 
primeira 
ordem
 
 46
301.1125-0 – Resistência dos Materiais e Estática das Estruturas 
Decompor o carregamento dado, de modo a obter uma combinação linear de 
dois ou mais carregamentos simples e tabelados. 
Traçar os diagramas de N, V e M dos 
carregamentos mais simples e tabelados. 
Subdividir o problema em trechos onde as curvas tem o mesmo domínio e 
obter E. S., dos problemas tabelados, no início e fim de cada trecho.
Iniciar a superposição de efeitos, obtendo os esforços solicitantes no início/fim 
de cada trecho, aplicando a combinação linear (obtida em 1) aos E. S.
Roteiro – Princípio da superposição de efeitos
1
3
4
5
2 Usar roteiro especifico, dado 
anteriormente.
¾ Identificar, em cada problema tabelado, os pontos de mudança de curvas
¾ Estes pontos, que indicam início/fim de trecho, devem ser marcados em
todos os problemas (solicitado e tabelados)
¾ Voltar as “tabelas” e obter E. S. (nestes pontos dos problemas tabelados)
Completar diagramas aplicando a combinação (obtida 
em 1) à forma das curvas. Obter também os terceiros 
pontos de parábolas de maneira análoga ao passo 4 
A soma de dois 
polinômios resulta 
em outro de grau 
igual ao maior.
Voltar – Ex. 019
Ver roteiro
 
 
Rascunhos
301.1125-0 – Resistência dos Materiais e Estática das Estruturas 
¾ Exemplo de aplicação 019 - Traçar os diagramas de força normal (N), força
cortante (V) e momento fletor (M), da viga abaixo.
1
Alínea e Alínea b
2777,77 N.m
2666,68 N.m 30000 N.m
Reta Cte.
3333,33 N
3333,33 N 666,67 N
Cte. Cte.
10000 N
10000 N 10000 N
RetaPar.
1,67m
Reta Reta
10000 N
666,67 N
Trechos de
mesmo
domínio
Trechos:
1) De 0 a 2m
2) De 2 a 3m
3) De 3 a 6m
2000 N.m
20000 N.m
16700
N.m
1,67m
13333,33 N
9333,33 N
22666,68 N.m 32000 N.m
10666,67 N
13333,33 N 10666,67 N
19477,77
N.m
Próximo exemplo
2 3 4
Roteiro
 
 47
301.1125-0 – Resistência dos Materiais e Estática das Estruturas 
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¾ Rascunho (1) do Exemplo de aplicação 019
Problema 1
( )⇒−== 00,200,6.2.
00,6.2
00,2.2000VR 11 N33,3333VR 11 ==
⇒== l.2
a.pVR
2
22 ⇒== 00,6.2
00,2.2000VR
2
22 N67,666VR 22 ==
⇒=
p.2
RM
2
1
máx ⇒= 2000.2
33,3333M
2
máx m.N77,2777Mmáx =
( ) ⇒=
p
RMdeposiçãox 1máx ⇒= 2000
33,3333x m67,1x =
( )=Mobterdesejaseondeposiçãox m00,2x=
⇒−=≥ )x.(R)axpara(M 2x l ⇒−= )00,2600.(67,666Mx m.N68,2666Mx =
⇒= am00,2
( )⇒−== a.2.
.2
a.p)máximo(VR 11 ll
Voltar
Problema 2
⇒==
2
PVR ⇒==
2
20000VR N10000VR ==
( ) ⇒=
4
.PcentronoMmáx
l ⇒=
4
00,6.20000M xám m.N30000M máx =
 
 
301.1125-0 – Resistência dos Materiais e Estática das Estruturas 
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¾ Rascunho (2) do Exemplo de aplicação 019 (Continuação) Voltar
Problema 1 – Voltando para obter cota de início/fim de trecho
( )⇒?momentooquerseondex ⇒===
2
00,6
2
centronox l m00,3x =
( ) ( )⇒−==>= x.Rm00,2am00,3xparaM 2x l ( )⇒−= 00,300,6.67,666Mx m.N2000Mx =
M>0 ⇒ tração embaixo ⇒ desenhar embaixo
Problema 2 – Voltando para obter cota de início/fim de trecho
⇒= esquerdoapoiodom00,2ax m00,2x =
⇒===<=
2
x.P)m00,3
2
00,6
2
m00,2xpara(Mx
l ⇒=
2
00,2.20000Mx m.N20000Mx =
M>0 ⇒ tração embaixo ⇒ desenhar embaixo
( )⇒?momentooquerseondex
 
 48
301.1125-0 – Resistência dos Materiais e Estática das Estruturas 
Prof. Dr. Norman Barros Logsdon 
¾ Rascunho (3) do Exemplo de aplicação 019 (Continuação) Voltar
Tr
ec
ho
1
Superposição de efeitos – Início/fim de cada trecho
N=0+0=0N
V=3333,33+10000=13333,33N
M=0+0=0N.m
N=0+0=0N
V=-666,67+10000=9333,33N
M=2666,68+20000=22666,68N.m
Início Fim
Tr
ec
ho
2
N=0+0=0N
V=-666,67+10000=9333,33N
M=2666,68+20000=22666,68N.m
N=0+0=0N
V =-666,67+10000=9333,33N
M=2000+30000=32000N.m
Início Fim
Tr
ec
ho
3
N=0+0=0N
V=-666,67-10000=-10666,67N
M=2000+30000=32000N.m
N=0+0=0N
V =-666,67-10000=-10666,67N
M=0+0=0N.m
Início Fim
 
 
Prof. Dr. Norman Barros Logsdon 
301.1125-0 – Resistência dos Materiais e Estática das Estruturas 
¾ Rascunho (4) do Exemplo de aplicação 019 (Continuação)
Tr
ec
ho
1
Superposição de efeitos – Curvas nos trechos
N Æ Constante + Constante = Constante
V Æ Reta + Constante = Reta
M Æ Parábola + Reta = Parábola
Superposição das curvas
Tr
ec
ho
2
N Æ Constante + Constante = Constante
V Æ Constante + Constante = Constante
M Æ Reta + Reta = Reta
Superposição das curvas
Tr
ec
ho
3
NÆ Constante + Constante = Constante
V Æ Constante + Constante = Constante
M Æ Reta + Reta = Reta
Superposição das curvas
Terceiro ponto da parábola
No problema 1 já tem-se o 
momento em x=1,67m ⇒
pode-se aproveitar este valor 
e obter Mx em x=1,67m nos 
demais problemas.
Problema 2
m67,1x =
⇒=≤
2
x.P)
2
x(Mx
l
⇒=
2
67,1.20000Mx m.N16700Mx =
M>0 ⇒ tração 
embaixo ⇒
desenhar embaixo
Problema dado
x=1,67m
Mx=2777,77+16700=19477,77N.m
Resq.=3333,33+10000=13333,33N
Rdir.=666,67+10000=10666,67N
Voltar
 
 49
Rascunhos
¾ Exemplo de aplicação 020 – Traçar
os diagramasde força normal (N),
força cortante (V) e momento fletor
(M), do pilar ao lado.
Roteiro 1
Alínea i
Alínea k
Invertido em relação ao tabelado:
¾Fazer inversão correspondente;
¾Trocar sinal de V
Trechos de
mesmo domínio
(a partir do ext. livre)
Trechos: .
1) De 0 a 1m
2) De 1 a 2m
2 3
Próximo exemplo
 
 
301.1125-0 – Resistência dos Materiais e Estática das Estruturas 
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¾ Rascunho (1) do Exemplo de aplicação 020 Voltar
Problema 1
⇒== l.pVR ⇒00,3.1000 N3000VR ==
⇒==
2
.p)fixoextremono(MM
2
máx
l ⇒
2
00,3.1000 2 m.N4500MM máx ==
( )⇒Mobterdesejaseondeposiçãox ⇒m50,1 m50,1x =
⇒−=
2
x.pM
2
x ⇒− 2
50,1.1000 2 m.N1125M x −=
M<0⇒ tração em 
cima ⇒ desenha-se 
em cima (esquerda)
Problema 2
⇒== PVR ⇒N5000 N5000VR ==
( )⇒= fixoextremonoMM máx ⇒00,2.5000 m.N10000MM máx ==
Problema 1 – Voltando para obter cota de início/fim de trecho( )⇒livreextremodom00,1ax m00,1x =
x.pVx −= Invertido ⇒V troca sinalÆ Æ ⇒+= x.pVx ⇒= 00,1.1000Vx N1000Vx =
 
 50
301.1125-0 – Resistência dos Materiais e Estática das Estruturas 
¾ Rascunho (2) do Exemplo de aplicação 020 (Continuação) Voltar
Problema 1 – Voltando para obter cota de início/fim de trecho (Continuação)
⇒

 livreextremodom00,1ax m00,1x =
⇒−=
2
x.pM
2
x ⇒− 2
00,1.1000 2 m.N500M x −=
Tr
ec
ho
1
Superposição de efeitos – Início/fim de cada trecho
N=0+0=0N
V=0+0=0N
M=0+0=0N.m
N=0+0=0N
V=1000+0=1000N
M=500(esq.)+0=500N.m (esq.)
Início Fim
Tr
ec
ho
2
N=0+0=0N
V=+1000-5000=-4000N
M=500(esq.)+0=500N.m (esq.)
N=0+0=0N
V =+3000-5000=-2000N
M=4500(esq.)+10000(dir.)=5500N.m (dir.)
Início Fim
R = 3000 (p/ esq.) + 5000 (p/ dir.) = 2000 N (p/ dir.)
M =4500 (anti-horário) + 10000 (horário) = 5500 N.m (horário)
 
 
301.1125-0 – Resistência dos Materiais e Estática das Estruturas 
¾ Rascunho (3) do Exemplo de aplicação 020 (Continuação) Voltar
Tr
ec
ho
1
N Æ Constante + Constante = Constante
V Æ Reta + Constante = Reta
M Æ Parábola + Constante = Parábola
Superposição das curvas
Tr
ec
ho
2
N Æ Constante + Constante = Constante
V Æ Reta + Constante = Reta
M Æ Parábola + Reta = Parábola
Superposição das curvas
Superposição de efeitos – Curvas nos trechos Terceiro ponto (centro do trecho)
Problema 1( )⇒1trechodocentrox m50,0x =
⇒−=
2
x.pM
2
x ⇒− 2
50,0.1000 2
m.N125M x −=
M<0⇒ tração em cima ⇒
desenha-se em cima (esquerda)
Terceiro ponto (centro do pilar)
( )⇒pilardocentrox m50,1x =
( )⇒−−==>= ax.P)m00,1am50,1xpara(Mx ( )⇒−− 00,150,1.5000 m.N2500Mx −=
Problema 2 M<0⇒ tração em cima ⇒
desenha-se em cima (direita)
Mx=0,50m = 125 (à esq.) + 0 = 125 N.m (à esq.)
Mx=1,50m = 1125 (à esq.) + 2500 (à dir.) = 1375 N.m (à dir.)
No problema dado Æ
 
 51
301.1125-0 – Resistência dos Materiais e Estática das Estruturas 
¾ Exemplo de aplicação 021 – Escolher a melhor combinação de carregamentos,
para se traçar os diagramas de esforços solicitantes, utilizando o princípio da
superposição de efeitos, da viga abaixo .
Alínea e Alínea d Alínea e
(invertido)
Alínea f Alínea d
Alínea a Alínea d
Melhor 
combinação: são 
apenas dois 
carregamentos e de 
formulário mais 
simples.
Pode ser 
subtração!
 
 
 
 52
301.1125-0 – Resistência dos Materiais e Estática das Estruturas 
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3.6. Relações diferenciais entre esforços solicitantes
Estariam os esforços solicitantes relacionados entre si? E ao carregamento?
Para responder estas questões pode-se analisar um elemento de viga sob 
um carregamento vertical qualquer.
( )∴→= +∑ 0Fh ( ) ⇒=++− 0dNNN ⇒= 0dN 0dxdN =
( )∴↑+=∑ 0Fv ( ) ⇒=+−− 0dVVdx.pV ⇒=−− 0dVdx.p dxdVp −=
∑ = 0MA ( ) ( ) ⇒=+−+++∴ 0dMMdx.dVV2dx.dx.pM ⇒=−++ 0dMdx.dVdx.Vdx.2p 2} }
≅ 0 ≅ 0
Diferenciais de 
segunda ordem
⇒=− 0dMdx.V
dx
dMV =
+
0
0 +
+
0
-
 
 
301.1125-0 – Resistência dos Materiais e Estática das Estruturas 
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0
dx
dN =
dx
dVp −=
dx
dMV =
Derivando-se, uma vez em x, a equação
dx
dMV = obtém-se: 2
2
dx
Md
dx
dV =
Substituindo-se, neste resultado, a equação
dx
dVp −= obtém-se: 2
2
dx
Mdp −=
Comentários sobre estas equações
2
2
dx
Mdp −=e mostram que os E. S. estão associados ao carregamento
1) Os esforços solicitantes estão associados entre si
mostra que : 2) Se V=0 (corta o eixo das abscissas) então o diagrama
de momento apresentará um ponto de máximo
(mínimo ou inflexão)
mostra que carregamentos verticais não afetam a forca normal (não 
varia com o carregamento)
 
 53
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TEOREMA 1 - Mudanças no carregamento, 
ao longo da estrutura, podem alterar as 
equações dos esforços solicitantes e 
portanto podem provocar mudanças de 
curvas no diagrama. 
3.7. Teoremas auxiliares para o
traçado de diagramas de E. S.
301.1125-0 – Resistência dos Materiais e Estática das Estruturas 
TEOREMA 2 - Em trechos, de 
estruturas, sem carregamento vertical, 
o diagrama de força cortante, sob este 
trecho, apresentar-se-á constante, e o 
diagrama de momento fletor, linear. 
Sem carga vertical Mudou carga ⇒ muda curva
 
 
301.1125-0 – Resistência dos Materiais e Estática das Estruturas 
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TEOREMA 3 - Em trechos, de estruturas, 
sob carga vertical uniformemente distribuída 
o diagrama de força cortante, sob este 
trecho, apresentar-se-á linear, e o diagrama 
de momento fletor, parabólico, possuindo 
ainda, no ponto central do trecho, uma 
distância (d) entre a parábola e a linha de 
fecho dada por:
8
a.pd
2
=
d = distância entre a parábola e a
linha de fecho, no ponto central;
p = carga distribuída;
a = comprimento do trecho carregado
Linha de fecho
Com carga vertical
uniformemente distribuída
{
TEOREMA 4 - Em seções, de estruturas, sob 
carga vertical concentrada, o diagrama de força 
cortante, nesta seção, sofre um "salto" de valor 
idêntico à carga concentrada, apresentando 
valores diferentes para a força cortante à
esquerda e à direita da carga. 
Salto
Carga concentrada vertical
 
 54
301.1125-0 – Resistência dos Materiais e Estática das Estruturas 
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TEOREMA 5 - Em seções, de estruturas, 
onde ocorre um momento aplicado, o 
diagrama de momento fletor sofre um 
"salto" no valor do momento aplicado, 
apresentando valores diferentes para o 
momento fletor à esquerda e à direita do 
momento aplicado. 
Ponto de aplicação de Ma
}Salto
Com momento aplicado
TEOREMA 6 - Em trechos, de 
estruturas, sob carregamento 
axial uniformemente distribuído, 
o diagrama de força normal 
apresentar-se-á linear. 
Um exemplo:
peso próprio de pilares
Peso de um 
metro de pilar
Com carga axial
uniformemente distribuída
 
 
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TEOREMA 7 - Em trechos, de estruturas, 
sem carregamento axial, o diagrama de 
força normal apresentar-se-á constante.
Em particular estruturas 
sem carregamento axial 
apresentam diagramas 
de força normal nulo, 
bem como reações 
horizontais nulas. 
Sem carga axial
Sem cargas axiais
TEOREMA 8 - Em seções, de estruturas, 
sob carga axial concentrada, o diagrama de 
força normal sofre um "salto", nesta seção, 
no valor da carga, apresentando valores 
diferentes para a força normal à esquerda e 
à direita da seção considerada. Salto{
Carga concentrada axial
 
 55
301.1125-0 – Resistência dos Materiais e Estática das Estruturas 
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TEOREMA 9 - Estruturas simétricas com 
carregamentos simétricos, apresentarão: 
¾ Reaçõesde apoio simétricas;
¾ Diagrama de N simétrico;
¾ Diagrama de M simétrico;
¾ Flechas simétricas;
¾ Diagrama de V assimétrico
(troca de sinal) 
Flechas
simétricas
Reações
simétricas
Diagrama de N simétrico
Diagrama de M simétrico
Diagrama de V assimétrico
(troca sinal)
Simetria
Carregamento simétrico
Estes
teoremas permitem:
1) identificar onde as 
curvas se alteram e
2) associar as cargas
às formas das
curvas
Novo método para
traçar diagramas
de E. S.
 
 
301.1125-0 – Resistência dos Materiais e Estática das Estruturas 
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Calcular as reações de apoio. 
Determinar as seções onde 
devem ser obtidos os esforços 
solicitantes (Pontos Chaves) . 
Determinar os esforços solicitantes nos pontos chaves.
Iniciar o traçado dos diagramas, plotando os resultados. 
1
3
4
5
2
a) Cortar a estrutura, no “ponto chave” (de cabeça);
b) Escolher uma das partes para os cálculos (de cabeça);
c) Na parte escolhida, colocar os E. S. (incógnitas) com seu sentido
positivo e se necessário, simplificar os carregamentos;
d) Aplicar as três equações fundamentais da estática e obter os E. S.
Completar os diagramas utilizando os teoremas.
Roteiro – Traçado de diagramas de E. S. (sem tabelas)
Usar roteiro especifico Ver roteiro
¾ extremidades da estrutura
¾ à esq. e à dir. de cargas concentradas
¾ pontos de mudanças de carregamento
Ver detalhes
(Roteiro anterior)
R
ot
ei
ro
Pr
át
ic
o
Ver teoremas
Método dos 
“pontos chaves”
 
Ver teoremas (a seguir)
Ver detalhes 
(Anexo 2)
 56
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Teoremas úteis para o traçado de diagramas de E. S.
Voltar ao roteiro
O uso destas informações 
simplifica o problema e diminui 
o número de “Pontos Chaves”
 
 
 
 57
 
 
 
 58
 
 
 
 59
 
 
 
 60
 
 
 
 61
 
 
 
 62
 
 
 
 63
301.1125-0 – Resistência dos Materiais e Estática das Estruturas 
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Exemplo de aplicação 024 – O
carregamento da viga abaixo é o
carregamento simplificado da viga
do exemplo de aplicação 022.
Traçar os diagramas de Momento
Fletor (M), Força Normal (N) e
Força Cortante (V) e observar
como eles são diferentes dos
obtidos naquele exemplo.
D
ia
gr
am
as
 d
o 
ex
em
pl
o 
de
 a
pl
ic
aç
ão
 0
24
 
 
301.1125-0 – Resistência dos Materiais e Estática das Estruturas 
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Exemplo de aplicação 025 – Abaixo são apresentadas formas de diagramas de
momento fletor, para o carregamento indicado em cima da figura. Obtenha para
cada “pedaço de diagrama apresentado” o valor do momento fletor (M) no
centro do trecho. 
y = lado médio de figura geométrica
(triângulo ou trapézio)
8
a.pd
2
=
2
My 1=
8
a.p
2
MdyM
2
1 −=−=
2
My 1=
8
a.p
2
MdyM
2
1 +=+=
2
MMy 21 +=
8
a.p
2
MMdyM
2
21 −+=−=
2
MMy 21 +=
8
a.p
2
MMdyM
2
21 ++=+=
2
MMy 21 +=
yMdMM)Md(y 22 −+=⇒+−=
2
MMM
8
a.pM 212
2 +−+=
2
MM
8
a.pM 21
2 −−=
y = lado médio de figura geométrica
(triângulo ou trapézio)
8
a.pd
2
=
(triângulo auxiliar)
(triângulo)
(triângulo)
(trapézio)
(trapézio)
 
 64
301.1125-0 – Resistência dos Materiais e Estática das Estruturas 
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Exemplo de aplicação 026 – Abaixo são apresentadas formas de diagramas de
momento fletor, para o carregamento indicado em cima da figura. Obtenha para
cada “pedaço de diagrama apresentado” o valor do momento fletor (M) no
centro do trecho. 
y = lado médio de figura geométrica
(triângulo ou trapézio)
8
a.pd
2
=
y = lado médio de figura geométrica
(triângulo ou trapézio)
8
a.pd
2
=
2
My 1=
8
a.p
2
MdyM
2
1 +=+=
(triângulo)
2
My 1=
8
a.p
2
MdyM
2
1 −=−=
(triângulo)
2
MMy 21 +=
8
a.p
2
MMdyM
2
21 ++=+=
(trapézio)
2
MMy 21 +=
8
a.p
2
MMdyM
2
21 −+=−=
(trapézio)
2
MMy 21 +=
22 MdyMM)dM(y −+=⇒+−=
2
21
2
M
2
MM
8
a.pM −++=
2
MM
8
a.pM 21
2 −+=
(triângulo auxiliar)
 
 
301.1125-0 – Resistência dos Materiais e Estática das Estruturas 
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3.8. Exercícios propostos
3.8.1. O que se entende por esforços solicitantes? 
3.8.2. Quais são os esforços solicitantes? Conceitue-os sucintamente. 
3.8.3. Esquematize a convenção de sinais dos esforços solicitantes. 
3.8.4. O que se entende por barra? E por chapa? 
3.8.5. O que se entende por viga? E por pilar? 
3.8.6. Quais são os esforços solicitantes das estruturas planas? 
3.8.7. Calcule os esforços solicitantes na seção "C", das estruturas,
representadas nas figuras a seguir. 
a
 
 65
301.1125-0 – Resistência dos Materiais e Estática das Estruturas 
b
c d e
3.8.8. O que são diagramas de esforços solicitantes? 
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3.8.9. Como são construídos os diagramas de esforços solicitantes? 
 
 
301.1125-0 – Resistência dos Materiais e Estática das Estruturas 
a
b
3.8.10. Utilizando os diagramas e fórmulas para o cálculo de vigas, trace
os diagramas de momento fletor (M), força normal (N) e força
cortante (V), para as estruturas representadas nas figuras a
seguir. 
c d e
 
 66
301.1125-0 – Resistência dos Materiais e Estática das Estruturas 
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3.8.11. O que afirma o Principio da Superposição de Efeitos? 
a b
3.8.12. Em que condições pode ser aplicado o Principio da Superposição
de efeitos? 
3.8.13. Utilizando o Principio da Superposição de Efeitos, e os resultados
do exercício 3.8.10. trace os diagramas de M, N e V para as 
estruturas representadas nas figuras abaixo. 
c
d
 
 
301.1125-0 – Resistência dos Materiais e Estática das Estruturas 
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3.8.14. Faça um resumo dos teoremas auxiliares para o traçado de
diagramas de esforços solicitantes, apresentados no item 3.7. 
3.8.15. De que forma é possível se traçar diagramas de M, N e V , sem o 
auxilio de tabelas? 
3.8.17. Trace os diagramas de M, N e V, das estruturas representadas
nas figuras do exercício 3.8.7. e das figuras abaixo. 
c
a b
d
 
 67
 
 
301.1125-0 – Resistência dos Materiais e Estática das Estruturas 
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¾ Ensaios de compressão 
A carga “F”
é aplicada
gradativamente
até a ruptura.
Ex
te
ns
ôm
et
ro
(lê
 d
ef
or
m
aç
ão
)
Carga de
ruptura
Lê
∆l
Fcr
Fcr
C
ar
ga
 c
rit
ic
a 
de
 fl
am
ba
ge
m
Peças curtas
Peças longas
Mesmas 
observações 
dos ensaios de 
tração.
Será estudado adiante.
 
 68
301.1125-0 – Resistência dos Materiais e Estática das Estruturas 
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¾ Hipóteses de trabalho (exceto peças longas comprimidas)
Efeito da
Força 
Normal (N)
Tensões normais uniformemente distribuídas
A
N=σ Força normalÁrea da seção transversal
Tensão normal (“sigma”)
σ
Resultante
das tensões σ
N
N > 0 ⇒ σ > 0 ⇒ tensões positivas indicam tração
N < 0 ⇒ σ < 0 ⇒ tensões negativas indicam compressão
São perpendiculares à seção
¾ Segurança à ruptura materialmáxmáx fA
N ≤=σ Resistência do material(à tração ou compressão)
 
 
301.1125-0 – Resistência dos Materiais e Estática das Estruturas 
Registrando sistematicamente a carga aplicada e a deformação lida nos 
extensômetros pode-se traçar o gráfico de “tensões X deformações” abaixo:Deformação especifica (“epsilon”)
Tensão de
ruptura
(resistência)
Tensão no 
limite elástico
Para a madeira 
coincide com a 
tensão no limite de 
proporcionalidade
As tensões são proporcionais as 
deformações. Um corpo de prova 
submetido a um esforço normal N, cuja 
tensão é inferior a σe, quando retirado o 
esforço, assume um comportamento 
elástico voltando à sua forma inicial.
Um corpo de prova submetido 
a um esforço normal N, com 
tensão entre σe e fr, quando 
retirado o esforço, assume um 
comportamento inelástico
permanecendo deformado
Força aplicada Æ corresponde à força normal.
Área da seção transversal
Deformação lida (“Delta”)
Fixação dos extensômetros
Deformação
residual
Tensão (“sigma”)
εr
 
 69
301.1125-0 – Resistência dos Materiais e Estática das Estruturas 
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materialf
R
eg
iã
o 
de
 
tra
ba
lh
o 
na
s 
es
tru
tu
ra
s
A segurança à ruptura exige
Na situação de trabalho Æ as tensões são 
proporcionais às deformações, portanto:
ε=σ .E
E
σ=ε
⇒=∆
A.E
N
l
l
A.E
.N ll =∆
ou
Tensão Deformação especifica
Módulo de elasticidade 
(Módulo de Young) do 
material 
⇒σ=ε
E
θ (“Teta”)
E = tgθ
(numericamente)
Lei de
Hooke
Deformação da barra
Comprimento da barra
Módulo de elasticidade 
do material da barra 
Força normal
Área da seção 
transversal da barra
¾ Barras tracionadas (N>0) produzem alongamentos
¾ Barras comprimidas (N<0) produzem encurtamentos
Força normal, N
 
 
 
 70
301.1125-0 – Resistência dos Materiais e Estática das Estruturas 
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4.3. Flexão de barras com seção simétrica
Fibras esticam 
(tração)
Fibras encurtam 
(compressão)
Fibras inalteradas 
(tensões nulas)
Linha 
neutra
As fibras inferiores são esticadas (tração Æ alongamentos) e as superiores 
são comprimidas (compressão Æ encurtamentos). 
Não ocorrendo força normal, a linha que une os centros de gravidade das 
seções, em vigas de material homogêneo, não tem seu comprimento 
alterado, indicando que nesta linha as tensões serão nulas (linha neutra).
1
2
 
 
301.1125-0 – Resistência dos Materiais e Estática das Estruturas 
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¾ Hipóteses de trabalho
Efeito do
Momento 
Fletor (M)
Tensões normais linearmente distribuídas
Coeficiente angular da reta
Distância do ponto considerado ao CG
Tensão normal (“sigma”)
y.k=σ
⇒σ= y.dA.dMdA.dF σ= ⇒ ⇒= dA.y.y.kdM dA.y.kdM 2=
{
Seção Diagrama de 
Tensões (σ) Tensões Viga
⇒= y.dFdM {
⇒= ∫sdMM ⇒= ∫s 2 dA.y.kM ∫= s 2 dA.y.kM{
Em toda a seção
Esta integral só
depende da seção
 
 71
301.1125-0 – Resistência dos Materiais e Estática das Estruturas 
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∫= s 2 dA.y.kM ⇒ Definindo: ∫= s 2 dA.yI Momento de inércia Æ é uma característica geométrica da seção
Por analogia ao momento de
inércia (estudado na Física) ∫ dm.r2
I.kM =
I
Mk =⇒ ⇒ Da hipótese de trabalho: ⇒=σ y.k y.I
M=σ
¾ Segurança à ruptura
materialmáx
máx
máx fy.I
M ≤=σ
Momento máximo ao longo da estrutura
Distancia da borda 
(mais distante) à
linha neutra (CG)
Tensão normal máxima 
Momento de inércia da seção Resistência do material
Expressão 
de Navier
 
 
301.1125-0 – Resistência dos Materiais e Estática das Estruturas 
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De um elemento infinitesimal 
de viga, pode-se estudar o 
efeito da força cortante (V).
¾ Na seção em “x+dx”:
y.
I
M dxx
dxx
++ =σ ⇒σ=∫ ++ 1
y
y
dxxdxx dA.T ⇒=∫ ++ dA.y.IMT
1y
y
dxx
dxx
∫++ = 1
y
y
dxx
dxx dA.y.I
MT
{
y.
I
Mx
x =σ ⇒σ= ∫1
y
y
xx dA.T ⇒= ∫ dA.y.IMT
1y
y
x
x
{
∫= 1
y
y
x
x dA.y.I
MT
¾ Na seção em “x”:
Estas integrais só
dependem da seção
 
 72
∫= 1
y
y
dA.yS
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∫= 1
y
y
x
x dA.y.I
MT
∫++ = 1
y
y
dxx
dxx dA.y.I
MT
⇒ Definindo: Momento estático Æ é uma característica geométrica da seção
Por analogia ao momento M = F.z
S.
I
MT xx =
S.
I
MT dxxdxx ++ =
Elemento
não está em 
equilíbrio
O que
indica que a
“emenda” do
elemento com a
parte superior
também transmite 
tensões τh.
( )→= +∑ 0Fh ⇒−=τ + dx.b TT xdxxh( ) ⇒=τ−−∴ + 0dx.b.TT hxdxx ⇒


−


=τ
+
dx.b
S.
I
MS.
I
M xdxx
h
( ) ⇒−=τ + dx.b.I
S.MM xdxxh I.b
S.
dx
dM
h =τ I.b
S.V
h =τ
dM
Do equilíbrio horizontal obtém-se:
Lembrando que:
dx
dMV =
 
 
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Isolando-se um
cubo de dimensões 
infinitesimais dx.
xxdxx dσ+σ=σ +
Considerando ainda:
“τh.dx2” gira elemento ⇒ cortes fornecem forças para equilibrar.
Equilibrando momentos nos cantos A e B, obtém-se;
301.1125-0 – Resistência dos Materiais e Estática das Estruturas 
∑ = 0MA ( ) ⇒=σ+σ−+−σ∴ 02dx.dx.ddx.Fdx.F2dx.dx. 2xx232x
⇒=σ−+− 0
2
dx.dx.ddx.Fdx.F 2x23 32 FF =Desprezando infinitésimos de ordem superior
≅ 0∑ = 0MB ( ) ⇒=σ−+τ−σ+σ∴ 02dx.dx.dx.Fdx.dx.2dx.dx.d 2x12h2xx
⇒=+τ−σ 0dx.Fdx.dx.
2
dx.dx.d 1
2
h
2
x
2
h1 dx.F τ=
≅ 0
Do equilíbrio vertical:
( )↑+=∑ 0Fv ⇒=−∴ 0FF 21 21 FF =
 
 73
301.1125-0 – Resistência dos Materiais e Estática das Estruturas 
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2
h321 dx.FFF τ=== Imaginando:2
ii dx.F τ=
⇒τ=τ=τ=τ=τ h321 I.b
S.V=τ
Teorema de
Cauchy
Tensões cisalhantes em planos
perpendiculares são iguais 
Particularizando o problema para uma seção retangular 
pode-se obter a forma da distribuição de tensões e a 
posição de máximo. Como V, b e I são constantes, 
basta estudar estes parâmetros na distribuição de S.
dy.bdA =⇒=== ∫∫∫
111 y
y
y
y
y
y
dy.y.bdy.b.ydA.yS
{dA
⇒

 +=
1y
y
2
C
2
y.bS
⇒






 +−


 += C
2
yC
2
y
.bS
22
1 ⇒+−= 212 y.2
by.
2
bS Distribuição de S (ou τ) é parabólica
Metade da altura da seção (constante)
Posição do corte (variável)
 
 
301.1125-0 – Resistência dos Materiais e Estática das Estruturas 
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LEMBRETE
2
1
2 y.
2
by.
2
bS +−=Quando for máximo τ também será e para isto: e .0
dy
dS = 0
dy
Sd
2
2
<
⇒−= y.b
dy
dS ⇒=−⇒= 0y.b0
dy
dS 0y =
S (ou τ) é máximo no
Centro de Gravidade ⇒<−= 0b
dy
Sd
2
2
É ponto de máximo 
 
 74
301.1125-0 – Resistência dos Materiais e Estática das Estruturas 
As tensões tangenciais, ou de cisalhamento, 
“τ”, terão distribuição parabólica com valor 
máximo no C. G. da seção. Nas “bordas”
terão o valor nulo, pois devem equilibrar as 
tensões externas (não aplicadas).
Resultante
das tensões τ
Vτ
Generalizando:
I.b
S.V=τ
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301.1125-0 – Resistência dos Materiais e Estática das Estruturas 
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¾ Segurança à ruptura materialmáxmáxmáx fI.b
S.V ≤=τ
Cortante máxima ao longo da estrutura
Momento estático 
de meia seção 
(“corte” no CG)
Tensão de cisalhamento máxima 
Momento de inércia da seção
Resistência do material
(ao cisalhamento)
Largura da seção no CG.
4.4. Deformação por flexão
Em uma viga solicitada por momento fletor positivo as fibras inferiores 
recebem tensões de tração e se esticam, as superiores recebem tensões 
de compressão e se encurtam. A viga toma uma forma curva, e os 
pontos que formavam, antes da deformação, o eixo da viga, formarão, 
depois, uma curva denominada LINHA ELÁSTICA da viga, ou 
simplesmente ELÁSTICA. O deslocamento vertical de um dos pontos 
deste eixo é chamadoFLECHA.
 
 75
301.1125-0 – Resistência dos Materiais e Estática das Estruturas 
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Linha elásticaFlechaÆ v=v(x)
Elemento
infinitesimal
Efeito da Força 
Cortante (V) 
Tensões lineares ⇒
alongamentos com 
distribuição linear
Historicamente utilizou-se 
a hipótese de Bernoulli-
Navier Æ “Seções planas 
permanecem planas após 
a deformação por flexão”. 
O deslocamento (∆v) produzido pela 
força cortante é usualmente desprezado 
frente a magnitude do deslocamento (v) 
produzido pelo momento fletor. 
Efeito do
Momento
Fletor (M)
Voltar
 
 
301.1125-0 – Resistência dos Materiais e Estática das Estruturas 
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⇒σ=ε
E
⇒σ=∆
Edx
dx dx.
E
dx σ=∆Lei de Hooke
y.
I
M=σ
dx.y.
I.E
Mdx =∆
Tensões produzidas por M
r
dx
raio
arcod ==ϕ ⇒∆=
y
dx
r
dxSemelhança
de triângulosÆ Æ dx.I.E
M
y
dx
r
dxd =∆==ϕDa figura
⇒ϕ=
dx
dkCurvatura da elástica
I.E
M
r
1k == Rigidez contra flexão (E.I)
Da geometria analítica
2
3
2
2
2
dx
dv1
dx
vd
r
1k



 

+
±==
{Na pratica Æ v é pequeno, portanto: ≅ 0
2
2
dx
vd
r
1 ±=
Depende da 
convenção 
de sinais.
Ver figura
 
 76
301.1125-0 – Resistência dos Materiais e Estática das Estruturas 
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LEMBRETE
Para a parábola Æ cx.bx.ay 2 ++=
0a <
0a >
bx.a.2
dx
dy'y +==
a.2
dx
yd"y 2
2
==
Sinal de “a”
Convenção de 
sinais utilizada
2
2
dx
vd
r
1 −=Ajustando a convenção de sinais Æ
I.E
M
r
1k ==Curvatura da elástica (anteriormente) Æ
⇒=−
I.E
M
dx
vd
2
2
M
dx
vd.I.E 2
2
−=
Equação da 
linha elástica
¾ Segurança à deformação
Usar equação da elástica para obter a flecha 
máxima (vmáx) e verificar:
Fecha limite
(definida em normas)( ) itelimmáxmáx vxvv ≤=
 
 
301.1125-0 – Resistência dos Materiais e Estática das Estruturas 
Calcular as reações de apoio. 1
Roteiro – Cálculo e utilização da linha elástica
Usar roteiro especifico Ver roteiro
Definir “pontos chaves”. 2 ¾ extremidades da estrutura¾ à esq. e à dir. de cargas concentradas¾ pontos de mudanças de carregamento
Obter a equação 
de Mx em cada 
trecho (entre dois 
pontos chaves).
3 a) Cortar a estrutura, na posição “x” do trecho (de cabeça);b) Escolher uma das partes para os cálculos (de cabeça);
c) Na parte escolhida, colocar os E. S. (incógnitas) no sentido
positivo e se necessário, simplificar os carregamentos;
d) Aplicar a equação ΣMo = 0 (no ponto de corte) e obter Mx
Obter as equações de (função das
constantes), por integração sucessiva de .
4 v.I.Eedxdv.I.E;dxvd.I.E 2
2
x2
2
M
dx
vd.I.E −= ∫ ++= + Cx.1nadxx.a 1nn
LEMBRETE
Impor5 Condições de contorno função do esquema estático
Resolver sistema (obtido em 5) e obter as constantes de integração.6
Obter equações substituindo (em 4) as constantes (de 6).7 v.I.Eedxdv.I.E;dxvd.I.E 2
2
Aplicar os resultados (de 7) à solução do problema. 8
 
Função do esquema estático (Anexo 3)
 77
301.1125-0 – Resistência dos Materiais e Estática das Estruturas 
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Exemplo de aplicação 027 – Obter a linha elástica, a flecha no extremo livre
e a flecha de máximo valor absoluto no trecho 2,00 m ≤ x ≤ 6,00 m, da viga
esquematizada abaixo. 
 
 
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1 - Cálculo das reações de apoio
1.1 – Substituir apoios por reações (em vermelho na figura abaixo)
1.2 – Simplificar carregamentos (em azul na figura abaixo)
1.3 – Aplicar equações de equilíbrio, obtendo as reações de apoio
( )∑ ∴→= +0Fh 0H800 =−− ⇒ N800H −=
Voltar
 
 78
301.1125-0 – Resistência dos Materiais e Estática das Estruturas 
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( )∑ ∴+↑= 0FV 0V8000V600 21 =+−+− ⇒ 8600VV 21 =+ A
( )



=
=∑
z.FM
0M
0
0 ∴ 000,4.V00,2.800000,2.600 2 =−+− ⇒
00,4
160001200V2 −
−= ⇒ N3700V2 =
Apoio por onde passam mais reações Ver figura
Voltando em A:
( ) 86003700V1 =+ ⇒ N4900V1 =37008600V1 −= ⇒
1.4 – Apresentar solução, invertendo o sentido das reações negativas 
Apresentado, junto com o segundo passo, na figura a seguir
 
 
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2 - Definir os Pontos Chaves
¾ À esquerda e à direita de
cargas concentradas 
¾ Extremidades da estrutura 
¾ Pontos de mudança de
carregamento
R
eg
ra
s
X X
1
2
3 4
3 - Obter a equação de Momento Fletor (calculando em uma seção
genérica, definida pela abscissa “x”) de cada trecho (definidos pelos
pontos chaves) 
NOTA: O corte deve ser feito em um ponto determinado pela abscissa “x”
(incógnita), a fim de fornecer uma equação em função de “x”. 
Roteiro para cálculo da equação do Momento (em cada trecho)
¾ Corte (de cabeça) a estrutura em um ponto (do trecho) definido por “x”; 
¾ Escolha uma das partes para o cálculo e simplifique o carregamento; 
¾ Coloque os esforços solicitantes (incógnitas) no sentido positivo; 
¾ Aplique “ΣMo=0”, no ponto de corte, e obtenha a equação de Momento. 
 
 79
( )



=
=∑
z.FM
0M
0
0
301.1125-0 – Resistência dos Materiais e Estática das Estruturas 
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Os pontos chaves definem 
dois trechos, apresentados 
na figura ao lado.
¾ Trecho 1 Æ Escolhendo-se a parte esquerda
x
∴ 0Mx.600 =−−
x.600M1 −=
Ponto de corte
 
 
301.1125-0 – Resistência dos Materiais e Estática das Estruturas 
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x
¾ Trecho 2 Æ Escolhendo-se
a parte direita
( )∑ == z.FMe0M 00 ∴
( ) ( ) 0x00,6.3700
2
x00,6.x.200012000M =−−

 −−+
13800x.8300x.1000M 22 −+−=
Ponto de corte
0x.370022200x.1000x.6000x.600036000M 2 =+−+−−+
013800x.8300x.1000M 2 =+−+
⇒
⇒
 
 80
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4 - Determinar, em função dos coeficientes de integração, as equações
de , e de , por integração sucessiva da equação da
elástica .
2
2
dx
vd.I.E
dx
dv.I.E v.I.E
( )xM
dx
vd.I.E 2
2
−=
¾ Trecho 1 Æ
( )xM
dx
vd.I.E 2
2
−= ⇒ ( )xM
dx
vd.I.E 12
1
2
−=
( ) x.600xM1 −=
⇒ x.600
dx
vd.I.E 2
1
2
=
Integrando em x
x.600
dx
vd.I.E 2
1
2
= ⇒ 1
2
1 C
2
x.600
dx
dv.I.E += ⇒ 121 Cx.300dx
dv.I.E +=
∫ ++=
+
C
1n
x.adx.x.a
1n
n
Lembrete:
Integrando novamente em x
1
21 Cx.300
dx
dv.I.E += ⇒ 21
3
1 Cx.C3
x.300v.I.E ++= ⇒ 2131 Cx.Cx.100v.I.E ++=
 
 
301.1125-0 – Resistência dos Materiais e Estática das Estruturas 
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¾ Trecho 2 Æ
( )xM
dx
vd.I.E 2
2
−= ⇒ ( )xM
dx
vd.I.E 22
2
2
−=
( ) 13800x.8300x.1000xM 22 −+−=
⇒ 13800x.8300x.1000
dx
vd.I.E 22
2
2
+−=
Integrando em x
13800x.8300x.1000
dx
vd.I.E 22
2
2
+−= ⇒ 3
23
2 Cx.13800
2
x.8300
3
x.1000
dx
dv.I.E ++−=
⇒ 3232 Cx.13800x.4150x.33,333dx
dv.I.E ++−=
Integrando novamente em x
3
232 Cx.13800x.4150x.33,333
dx
dv.I.E ++−= ⇒ 43
234
2 Cx.C2
x.13800
3
x.4150
4
x.33,333v.I.E +++−=
⇒ 432342 Cx.Cx.6900x.33,1383x.33,83v.I.E +++−=
 
 81
301.1125-0 – Resistência dos Materiais e Estática das Estruturas 
5 - Impor as condições de
contorno para o problema,
conforme o esquema
estático da estrutura.
Para o problema em 
questão tem-se:
¾ Em x = 2,00 m:
Apoio para o trecho 1 ⇒
Apoio para o trecho2 ⇒
Emenda entre 
os trechos 1 e 2 ⇒
( ) 000,2v1 = ⇒ ( ) 000,2v.I.E 1 =
( ) 000,2v2 = ⇒ ( ) 000,2v.I.E 2 =
( ) ( )00,2v00,2v 21 = ⇒ ( ) ( )00,2v.I.E00,2v.I.E 21 = Redundante
00,2
2
00,2
1
dx
dv
dx
dv 

=

 ⇒
00,2
2
00,2
1
dx
dv.I.E
dx
dv.I.E 

=


¾ Em x = 6,00 m:
Apoio para o trecho 2 ⇒ ( ) 000,6v2 = ⇒ ( ) 000,6v.I.E 2 =
1
2
3
4
Lembrete
 
 
301.1125-0 – Resistência dos Materiais e Estática das Estruturas 
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21
3
1 Cx.Cx.100v.I.E ++=
¾ Aplicando a condição 1 Æ ( ) 000,2v.I.E 1 =
⇒ ( ) 2131 C00,2.C00,2.10000,2v.I.E ++=
( ) 000,2v.I.E 1 =Assim, ⇒ 800CC.2 21 −=+ I
43
234
2 Cx.Cx.6900x.33,1383x.33,83v.I.E +++−=
¾ Aplicando a condição 2 Æ ( ) 000,2v.I.E 2 =
⇒
( ) 432342 C00,2.C00,2.690000,2.33,138300,2.33,8300,2v.I.E +++−=
( ) 000,2v.I.E 2 =Assim, ⇒ 66,17866CC.2 43 −=+ II
¾ Aplicando a condição 3 Æ
00,2
2
00,2
1
dx
dv.I.E
dx
dv.I.E 

=


1
21 Cx.300
dx
dv.I.E += ⇒ 12
00,2
1 C00,2.300
dx
dv.I.E +=


 
Ver anexo 3 
 82
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3
232 Cx.13800x.4150x.33,333
dx
dv.I.E ++−= ⇒
3
23
00,2
2 C00,2.1380000,2.415000,2.33,333
dx
dv.I.E ++−=


Assim,
00,2
2
00,2
1
dx
dv.I.E
dx
dv.I.E 

=

 ⇒ 31 C64,13666C1200 +=+
⇒ 64,12466CC 31 =− III
¾ Aplicando a condição 4 Æ ( ) 000,6v.I.E 2 =
43
234
2 Cx.Cx.6900x.33,1383x.33,83v.I.E +++−= ⇒
( ) 432342 C00,6.C00,6.690000,6.33,138300,6.33,8300,6v.I.E +++−=
Assim, ( ) 000,6v.I.E 2 = ⇒ 40,57596CC.6 43 −=+ IV
 
 
301.1125-0 – Resistência dos Materiais e Estática das Estruturas 
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6 - Obter as constantes de integração, pela resolução do sistema de 
equações definidos no passo 5.
800CC.2 21 −=+ I
66,17866CC.2 43 −=+ II
64,12466CC 31 =− III
40,57596CC.6 43 −=+ IV
O sistema 4 x 4, aparentemente de difícil resolução, em geral não o é. Vale 
a pena fazer uma análise. No caso, as equações II e IV formam um 
sistema 2 x 2, em C3 e C4, de fácil solução. Obtido C3, a equação III 
fornece C1. Obtido C1, a equação I fornece C2.
66,17866CC.2 43 −=+
40,57596CC.6 43 −=+
Aplicando o método da soma, fazendo-se IV – II, obtém-se:
II
IV
76,39727C.4 3 −= ⇒ 44,9932C3 −=
 
 83
301.1125-0 – Resistência dos Materiais e Estática das Estruturas 
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Que aplicado na equação II, fornece:
66,17866CC.2 43 −=+ ⇒ ( ) 66,17866C44,9932.2 4 −=+− ⇒ 24,1998C4 =
Aplicando C3 na equação III, obtém-se:
64,12466CC 31 =− ⇒ ( ) 64,1246644,9932C1 =−− ⇒ 20,2534C1 =
Que aplicado na equação I, fornece:
800CC.2 21 −=+ ⇒ ( ) 800C20,2534.2 2 −=+ ⇒ 40,5668C2 −=
Em resumo:
20,2534C1 =
40,5668C2 −=
44,9932C3 −=
24,1998C4 =
Nota: As constantes de integração têm unidades, 
mas sem sentido prático (no caso, C1 e C3 estão 
em 1/N.m2, já C2 e C4 em 1/N.m). É comum 
considerá-las como parte do problema 
matemático, “esquecendo as unidades”.
 
 
301.1125-0 – Resistência dos Materiais e Estática das Estruturas 
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7 - Obter as equações de , e de , substituindo as
constantes de integração nas expressões obtidas no passo 4.
2
2
dx
vd.I.E
dx
dv.I.E v.I.E
¾ Trecho 1 Æ
x.600
dx
vd.I.E 2
1
2
=
20,2534x.300
dx
dv.I.E 21 +=
40,5868x.20,2534x.100v.I.E 31 −+=
¾ Trecho 2 Æ
13800x.8300x.1000
dx
vd.I.E 22
2
2
+−=
44,9932x.13800x.4150x.33,333
dx
dv.I.E 232 −+−=
24,1998x.44,9932x.6900x.33,1383x.33,83v.I.E 2342 +−+−=
 
 84
301.1125-0 – Resistência dos Materiais e Estática das Estruturas 
8 - Aplicar os resultados à solução do problema.
a) Linha elástica da viga
Para obter a linha elástica, equação de v(x), basta dividir as equações 
de E.I.v, obtidas no passo 7, por E.I = 600.000 N.m2, obtendo: 
¾ Trecho 1 Æ 33341 10.781,9x.10.224,4x.10.667,1)x(v −−− −+=
m m
¾ Trecho 2 Æ ( ) 3233442 10.330,3x.0166,0x.0115,0x.10.306,2x.10.389,1xv −−− +−+−=
mm
b) Flecha no extremo livre
A flecha em uma posição qualquer da viga é o valor de v(x) naquela 
posição. Para o extremo livre, do problema em questão, x = 0,00 m, e 
portanto:
( ) ( ) 33341 10.781,900,0.10.224,400,0.10.667,100,0v00,0v −−− −+== ⇒
( ) mm78,9m10.781,900,0v 31 −=−= −Flecha para cima
 
 
301.1125-0 – Resistência dos Materiais e Estática das Estruturas 
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c) Flecha de máximo valor absoluto no trecho 2,00 m ≤ x ≤ 6,00 m
Neste caso deve-se obter inicialmente a posição de máximo (ou 
mínimo) da função v(x), e portanto o valor de “x”, que acarreta
(condição de máximo, mínimo ou ponto de inflexão). Em seguida o valor 
de v(x) nessa posição. 
¾ Ponto de máximo (xmáx)
0
dx
dv =
0
dx
dv.I.E0
dx
dv =⇒= 0
dx
dv.I.E 2 =, no caso:
44,9932x.13800x.4150x.33,333
dx
dv.I.E 232 −+−= ⇒
044,9932x.13800x.4150x.33,333 23 =−+−
A solução desta equação conduz ao ponto de máximo (xmáx). A raiz 
desta equação é obtida por tentativas, lembrando que o valor de 
y=f(x) tem sinais diferentes imediatamente antes e depois da raiz.
y=f(x)
x
Raiz de y=f(x)
+
-
Resolução
 
 85
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A resolução consiste em variar x, para intervalo de 0,1 m, até obter 
valores seqüenciais com sinais diferentes para y (a raiz estará entre 
estes valores). Repete-se o processo com intervalo menor para a 
variação de x (0,01 m e depois 0,001 m) até obter xmáx com a precisão 
desejada (mm é mais que suficiente).
44,9932x.13800x.4150x.33,333y 23 −+−=)m(x
2,00 3734,2000Variando x com 
intervalo de
0,10 m
4,00 200,6800
4,10 -140,5031 Raiz entre 4,00 e 4,10 m0,01 m
4,00 200,6800
4,05 30,3386
4,06 -3,7977 Raiz entre 4,05 e 4,06 m
4,05 30,3386
4,058 3,0310
4,059 -0,3833
0,001 m
Raiz para precisão em mm
xmáx = 4,059 m
 
 
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¾ Flecha máxima (vmáx)
( ) ( )059,4vxvv 2max2xam ⇒=
É o valor de v(x) na posição de máximo. 
( ) 3233442 10.330,3x.0166,0x.0115,0x.10.306,2x.10.389,1xv −−− +−+−=
Portanto:
323344
max 10.330,3059,4.0166,0059,4.0115,0059,4.10.306,2059,4.10.389,1v
−−− +−+−=
⇒ mm91,8m10.91,8v 3max == −
⇒
Flecha para baixo
8,91 mm
9,
78
 m
m
4,059 m
Em resumo
 
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O estudo da flambagem se deve a Euler.
Barra bi-articulada
Para o caso da barra bi-articulada, tem-se:
No instante da flambagem, surgem deslocamentos v(x), 
que produzem momentos M(x). Com v(x) =v e M(x) = M:
v Æ Æ Elástica:v.FM = ⇒−= v.F
dx
vd.I.E 2
2
0v.
I.E
F
dx
vd
2
2
=+
( ) ( )x.kcos.Cx.ksen.Cv 21 +=
( ) ( )x.ksen.k.Cx.kcos.k.C
dx
dv
21 −=
( ) ( )x.kcos.k.Cx.ksen.k.C
dx
vd 2
2
2
12
2
−−=
Solução geral Æ
Æ
1. Em x=0 (apoio) Æ v=0
2. Em x=l (apoio) Æ v=0Condições de contorno
( ) ( ) ( )⇒+= 0.kcos.C0.ksen.C0v 21Aplicando 1 Æ 0C2 =Note que: 0v.k
dx
vd 2
2
2
=+
dx
dy.
dy
dz
dx
dz =
 
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( )x.ksen.Cv 1=
( )x.kcos.k.C
dx
dv
1=
( )⇒−= x.ksen.k.C
dx
vd 2
12
2
A solução reduz-se a Æ
v.k
dx
vd 2
2
2
−=
Aplicado na equação da elástica, , fornece:0v.
I.E
F
dx
vd
2
2
=+
⇒=+− 0v.
I.E
Fv.k2 ⇒=

 +− 0
I.E
Fk.v 2 I.E
Fk =
v≠0, pois existe elástica