MAPA-Cálculo Diferencial e Integral I

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MAPA – Material de Avaliação Prática da Aprendizagem
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	Disciplina: Cálculo Diferencial e Integral I 
Instruções para realização e entrega da atividade
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1. O trabalho pode ter quantas páginas você precisar para respondê-lo, desde que siga a sua estrutura. Preferencialmente, utilizar a formatação: fonte Arial 12, espaçamento entre linhas 1,5 linhas e texto justificado.
1. Ao utilizar quaisquer materiais de pesquisa apresente as referências no final do trabalho em ordem alfabética e conforme as normas da ABNT NBR 6023:2018. Você pode utilizar este site para orientação: https://usp.br/sddarquivos/aulasmetodologia/abnt6023.pdf
1. Após inteiramente respondido, coloque um nome simples no seu arquivo para não haver confusão no momento do envio. Se o nome tiver caracteres estranhos, principalmente pontos ou for muito grande, é possível que a equipe de correção não consiga abrir o seu trabalho e ele seja zerado;
1. Você irá entregar apenas UM ARQUIVO com suas respostas, o trabalho deve ser enviado para correção pelo seu Studeo em formato de arquivo doc/docx ou PDF, na forma de anexo no campo de resposta da atividade MAPA. Caso você utilize OPEN OFFICE ou MAC, transforme o arquivo em PDF para evitar incompatibilidade.
1. Ao final do enunciado desta atividade, aqui, no Studeo, há uma caixa de envio de arquivo. Basta clicar e selecionar sua atividade ou arrastar o arquivo até ela.
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Em caso de dúvidas, entre em contato com seu Professor Mediador. 
Desejamos a você um excelente trabalho!
A seguir estão as instruções para atividade. Leia-as integralmente e com atenção!
​O cálculo matemático é uma ferramenta essencial para engenheiros em todas as áreas, pois permite modelar, analisar e prever o comportamento de sistemas reais que enfrentam no dia a dia. Contudo, mais do que apenas realizar operações, é fundamental interpretar os resultados obtidos para tomar decisões eficazes e garantir a segurança, eficiência e sustentabilidade dos projetos.
Neste contexto, você, como engenheiro responsável pelo controle térmico de um equipamento industrial, deve aplicar os conceitos aprendidos em Cálculo para analisar o comportamento da temperatura durante o processo. Entender o que esses resultados significam na prática é tão importante quanto o cálculo em si, pois eles orientam ações que podem impactar diretamente no consumo de energia, na qualidade do produto e na vida útil do equipamento.
Fonte: Elaborado pelo professor, 2025.
Em um processo industrial automatizado, o controle preciso da temperatura de equipamentos é fundamental para garantir a qualidade do produto final e a segurança operacional. Durante o funcionamento de um equipamento específico, a temperatura inicial é ambiente, mas, após o início do processo, ela começa a subir devido à reação química controlada que ocorre internamente. A temperatura T(t), medida em graus Celsius, varia ao longo do tempo t (em minutos) segundo a função: 
Esse modelo indica que a temperatura aumenta rapidamente nos primeiros minutos, aproximando-se de um limite estável conforme o tempo avança. Compreender o comportamento dessa função é essencial para otimizar o consumo de energia e evitar danos por superaquecimento.
De acordo com as informações descritas no enunciado, responda as questões abaixo:
a) Determine a temperatura do equipamento quando t = 0 e interprete o resultado no contexto do processo.
Insira sua resposta aqui. 
a) Determine a temperatura do equipamento quando t = 0 e interprete o resultado no contexto do processo.
Para determinar a temperatura inicial do equipamento, substituímos 
t=0 na função de temperatura T(t)=50+30(1−e−0,05t).
Cálculo: T(0)=50+30(1−e−0,05×0) T(0)=50+30(1−e0) T(0)=50+30(1−1) T(0)=50+30(0) T(0)=50
Resultado: A temperatura do equipamento quando t = 0 é 50 °C.
Interpretação: Este valor representa a temperatura inicial do equipamento no instante em que o processo industrial é iniciado. Conforme descrito no enunciado, essa é a temperatura ambiente antes que a reação química interna comece a elevar a temperatura do sistema.
b) Calcule o limite da temperatura T(t) quando  e explique o significado físico desse valor para a operação do equipamento.
Insira sua resposta aqui.
b) Calcule o limite da temperatura T(t) quando t → ∞ e explique o significado físico desse valor para a operação do equipamento.
Para encontrar a temperatura que o equipamento se aproxima ao longo de um grande período, calculamos o limite de T(t) quando t tende ao infinito.
Cálculo: 
$$\lim_{t \to \infty} T(t) = \lim_{t \to \infty} \left[50 + 30(1 - e^{-0,05t})\right]$$À medida que $t \to \infty$, o termo $-0,05t \to -\infty$. Consequentemente, $e^{-0,05t} \to 0$.$$\lim_{t \to \infty} T(t) = 50 + 30(1 - 0) \\ \lim_{t \to \infty} T(t) = 50 + 30 \\ \lim_{t \to \infty} T(t) = 80$$
Resultado: O limite da temperatura é 80 °C.
Significado Físico: Este valor representa a 
temperatura de estabilização ou a temperatura máxima que o equipamento atingirá se o processo continuar indefinidamente. Fisicamente, é a temperatura de estado estacionário na qual o equipamento irá operar, onde o calor gerado pela reação se equilibra com a perda de calor para o ambiente, evitando o superaquecimento.
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c) Calcule a taxa de variação da temperatura T′(t) nos instantes t = 0, t = 10 e t = 40 minutos. Considerando que a temperatura pode ser considerada estabilizada quando a taxa de variação for menor que 0,05 ºC/min, estime o tempo aproximado necessário para que o equipamento atinja essa condição de estabilização térmica. Justifique seu raciocínio.
Insira sua resposta aqui.
Calcule a taxa de variação da temperatura T′(t) nos instantes t = 0, t = 10 e t = 40 minutos. 
Estime o tempo aproximado para que o equipamento atinja a estabilização térmica
Primeiro, encontramos a derivada da função de temperatura, T′(t), que representa a taxa de variação da temperatura.
Cálculo da Derivada: Dado T(t)=50+30−30e−0,05t=80−30e−0,05t. Usando a regra da cadeia para derivação: T′(t)=dtd​(80−30e−0,05t) T′(t)=0−30⋅e−0,05t⋅(−0,05) T′(t)=1,5e−0,05t
Taxa de Variação em Instantes Específicos:
· Em t = 0 minutos: T′(0)=1,5e−0,05×0=1,5×e0=1,5 °C/min
· Em t = 10 minutos: T′(10)=1,5e−0,05×10=1,5e−0,5≈1,5×0,6065≈0,91 °C/min
· Em t = 40 minutos: T′(40)=1,5e−0,05×40=1,5e−2≈1,5×0,1353≈0,20 °C/min
Estimativa do Tempo de Estabilização: A temperatura é considerada estabilizada quando a taxa de variação for menor que 0,05 °C/min. Precisamos encontrar o tempo 
t para o qual T′(t)ln(30) t>0,05ln(30)​ Como ln(30)≈3,4012: t>0,053,4012​ t>68,024
Resultado e Justificativa: O tempo estimado para o equipamento atingir a estabilização térmica é de aproximadamente 
68 minutos. Após este período, a taxa de aumento da temperatura torna-se inferior a 0,05 °C/min, o que é lento o suficiente para ser considerado estável para fins operacionais práticos.
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d) Calcule a temperatura T(t) no tempo estimado para estabilização encontrado na letra c. Compare esse valor com o resultado obtido na letra b e explique o significado dessa comparação para a operação do equipamento.
Insira sua resposta aqui.
d) Calcule a temperatura T(t) no tempo estimado para estabilização e compare com o resultado do item b.Calculamos a temperatura T(t) no tempo estimado de estabilização, t≈68 minutos.
Cálculo: T(68)=50+30(1−e−0,05×68) T(68)=50+30(1−e−3,4) T(68)≈50+30(1−0,03337) T(68)≈50+30(0,96663) T(68)≈50+29 T(68)≈79
Resultado: A temperatura no tempo estimado de estabilização é de aproximadamente 79 °C.
Comparação e Significado: A temperatura calculada na estabilização (79 °C) é muito próxima do limite de 80 °C encontrado no item b. Essa comparação é importante porque demonstra que, embora a temperatura máxima teórica só seja alcançada em um tempo infinito, para todos os fins práticos, a temperatura do equipamento se aproxima muito de seu limite operacional em um período finito e calculável (cerca de 68 minutos). Isso permite aos engenheiros otimizar a eficiência do processo e garantir a segurança, sabendo quando o equipamento está pronto para a próxima fase ou quando os sistemas de controle podem ser ajustados.
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e) Considerando que o consumo total de energia do equipamento (em J) é calculado pela área abaixo da curva do gráfico abaixo, determine o consumo total de energia até 20 minutos.
Insira sua resposta aqui.
e) Determine o consumo total de energia até 20 minutos.
Assumindo que o "gráfico abaixo" mencionado na questão se refere ao gráfico da função de temperatura 
T(t), o consumo total de energia é calculado pela área sob a curva, ou seja, a integral definida da função de t=0 a t=20.
Cálculo: A energia total E é a área sob a curva de T(t) de 0 a 20. 
E=∫020​T(t)dt=∫020​[50+30(1−e−0,05t)]dt
E=∫020​(80−30e−0,05t)dt
Primeiro, encontramos a primitiva (antiderivada):$$\int (80 - 30e^{-0,05t}) ,dt = 80t - 30\frac{e^{-0,05t}}{-0,05} = 80t + 600e^{-0,05t}$$Em seguida, avaliamos a integral definida:
E=[80t+600e−0,05t]020​E=(80×20+600e−0,05×20)−(80×0+600e−0,05×0)E=(1600+600e−1)−(0+600e0)E=(1600+600/e)−600E=1000+600/e
Usando e≈2,718: E≈1000+2,718600​≈1000+220,75 E≈1220,75
Resultado: O consumo total de energia até 20 minutos é de aproximadamente 1220,75 J.
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