ALGORÍTIMO RESOLUTIVO DA EQUAÇÃO QUADRÁTICA NO DECORRER DOS TEMPOS E UMA NOVA ABORDAGEM

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ARTIGO CIENTIFICO 
 
ALGORÍTIMO RESOLUTIVO DA EQUAÇÃO QUADRÁTICA NO DECORRER 
DOS TEMPOS E UMA NOVA ABORDAGEM. 
 
RESOLUTIVE ALGORITHM OF EQUATION QUADRATIC ON ELAPSE OF 
TIMES AND A NEW APPROACH 
 
Barcelo Milla Ferreira da Silva, 
Especialista em Educação Matemática, 
Universidade Nove de Julho, UNINOVE 
01156-050, São Paulo, SP, 
E-mail: barcelomf@outlook.com 
Claudineia Helena Recco, Mestre, 
 Universidade Nove de Julho, UNINOVE 
01156-050, São Paulo, SP, 
E-mail: clau_recco@yahoo.com.br 
 
RESUMO 
 
Neste artigo, abordamos a importância da história na investigação de veracidade de 
créditos a uma determinada descoberta de fórmula, revendo grandes matemáticos que 
muitos séculos antes de Cristo já trabalhavam em equações do 2º Grau e que 
posteriormente outros matemáticos foram aperfeiçoando a metodologia, criando 
ferramentas facilitadoras do cálculo até chegar à linguagem moderna do nosso tempo, 
onde podemos constatar uma riqueza de variedades de civilizações diferentes, gregos, 
hindus e franceses, mostrando com detalhes os algoritmos variados de resolução das 
equações quadráticas e como é apresentada a equação aos alunos de escolas 
públicas de São Paulo através do caderno do aluno e dos livros didáticos e para o 
mundo através de vídeos postados por professores no youtube. Durante a pesquisa 
deste artigo, abordamos uma surpreendente aplicação do desenvolvimento do binômio 
de Newton em relação à potência de um número de dois algarismos, observada na 
tentativa de achar alternativas de resolução de equação quadrática por causa do 
desenvolvimento trinômio quadrado perfeito ( ) . 
 
Palavra chave: Equação quadrática. História. Algoritmo. 
 
ABSTRACT 
 
In this article, we discuss the importance of history in research veracity of claims to a 
particular discovery formula, reviewing great mathematicians many centuries before 
Christ already working on equations of 2nd Degree and later other mathematicians 
2 
 
were perfecting the methodology, creating tools that facilitate the calculation until the 
modern language of our times, where we can find a wealth of varieties of different 
civilizations, Greeks, Hindus and French, showing in detail the algorithms of varying 
resolution of quadratic equations and how the equation is presented to students in 
public schools in São Paulo through the notebook and student textbooks and to the 
world through videos posted on youtube. During the research of this article, approach a 
surprising application of Newton's binomial development in relation to power a two-digit 
number, observed in an attempt to find other alternatives to solve quadratic equation 
because of the development trinomial perfect square ( ) . 
 
Key Word: Equation quadratic. History. Algorithm. 
 
 
1 INTRODUÇÃO 
 
Todos os alunos querem enxergar o sentido que há em relação aos 
objetos de estudo e o mundo real. Estes podem de certa forma iniciar pelo 
abstrato, mas de algum modo se conecte com a realidade, entre outras 
palavras, queremos ver o algoritmo somado com a aplicação, ou ao menos 
saber como se chegou a determinada fórmula, sua utilização e sua perfeita 
aplicação, nos fazendo refletir em quem cursava o 1º e 2º graus na década de 
80, da obrigatoriedade de se decorar fórmulas para a resolução de problemas 
matemáticos, químicos, dentre outros. 
Entre as fórmulas, as mais fáceis de lembrar são: o Teorema de 
Pitágoras e a famosa Fórmula de Bhaskara. A Matemática é fascinante pelo 
seu contexto histórico e em épocas atrás, a matemática sem recursos 
tecnológicos, calculadora, energia elétrica e até mesmo caneta ou livros, 
desenvolveram cálculos e algoritmos surpreendentes. Suas aplicações, 
fórmulas tão precisas que desafiam até hoje estudiosos no mundo inteiro. 
Partindo de revisões bibliográficas incluindo o caderno do aluno de escolas 
estaduais do estado de São Paulo, da Internet e vídeos postados no youtube, 
vamos discorrer brevemente desde a história da Matemática, especialmente na 
resolução de equações quadráticas até os livros didáticos, com a finalidade de 
verificar se houve progresso na forma de resolução das equações desde a 
Babilônia antiga até nossa era, século 21 e propor uma nova abordagem, pois 
não podemos aceitar apenas um caminho para a solução de um determinado 
3 
 
problema, devemos valorizar o raciocínio em benefício do desenvolvimento 
intelectual favorecendo o progresso. 
 
 
2 UM POUCO DE HISTÓRIA 
 
 Historicamente sabemos que tudo na Terra teve suas origens, um 
começo e somos gratos aos arqueólogos e historiadores pelas pesquisas e 
descobertas a qual nos apropriamos do conhecimento e passamos a 
compreender nossas raízes. 
Neste contexto Garbi (2007) aponta que pela prática da agricultura na 
Mesopotâmia em 9000 a.C, o homem foi obrigado a compreender os ciclos das 
estações do ano e a contar o tempo, o que levou-os à percepção do que 
chamamos de número e ainda mostra que os babilônios já resolviam equações 
do 2º grau por meio do complemento de quadrados nos tempos do rei 
Hamurabi (1800 a. C). 
Já na idade média, o matemático árabe Al – Khwarizmi enunciava regras 
de resolução de equações quadráticas combinando métodos algébricos e 
geométricos extraídos dos Elementos de Euclides e os coeficientes eram 
considerados positivos Roque (2012) e nem foi Al – Khwarizmi ou Bhaskara 
que inventou uma fórmula para a resolução de equações quadráticas, pois não 
havia na época um simbolismo para os coeficientes, sendo a fórmula criada 
após Viète ter introduzido um simbolismo para os coeficientes. 
Segundo Silva (2006), na década de 60 do século XX, no Brasil, alguns 
autores de livros didáticos começaram a chamar a fórmula resolutiva da 
equação do 2º Grau de fórmula de Bhaskara, fato que pode ser visto também 
no site da Unicamp, Matemática multimídia, assistindo o vídeo “Esse tal 
Baskara”, talvez, este fenômeno ocorreu devido a equação de Pell, 
 , antes proposta por Brahmagupta que Bhaskara resolveu e publicou em 
seu livro – Lilavati, este incrível matemático determinou soluções particulares 
para os cinco casos de valores de p (8; 11; 32; 61 e 67), e para p = 61, 
determinou os valores de e , BOYER (1989). 
Nabu – Shamash, da Babilônia, cujo sistema numeral era o de base 60, 
utilizava o método da descrição para resolver equações quadráticas, ou seja, 
os babilônios descreviam um procedimento específico Stewart (2012), um 
4 
 
numero de base 60 é interpretado diferente de um número de base 10, 
podemos observar também a escrita, os babilônios “escreviam metade como 
0;30, em que os estudiosos usam o ponto e vírgula para denotar a casa 
sexagional” (STEWART, 2012, p.29). Esta forma de escrever faz sentido, pois 
 
 
 , fazendo sentido metade de 1 na base 60 ser escrita como 
 
 
 . 
Nos dois casos houve deslocamento da vírgula em uma casa. Podemos 
observar também a transformação de um numero babilônico para a nossa 
notação decimal (Fossa 2009, 
p.121), onde podemos notar a mudança de base 60 para a base 10. No 
capítulo quatro veremos alguns algoritmos no passado e a obtenção da fórmula 
geral. 
 Um grande avanço na solução de equações foi quando Girolamo 
Cardano de Milão, tentando resolver uma equação do terceiro grau, 
 pelo seu método, chegou a um resultado que tinha que extrair a raiz de 
um número negativo, -121, o que era um absurdo na época, porém, em 1545, 
algumas décadas depois, Bombelli, depois que examinou os resultados de 
Cardano, propõe aceitar a ideia de números imaginários, mas foi em 1729,quando Karl Friedrich Gauss, com apenas 22 anos, provou o teorema 
fundamental da álgebra, onde afirma que toda equação algébrica de uma 
incógnita possui uma raiz na forma de número complexo e sistematizou o 
termo números complexos é que foi aceito e ampliando o sistema numérico 
Lathi (2007). 
 No século XVII René Descartes no livro I de La geométrie demonstrou a 
obtenção de uma equação quadrática do tipo: , conforme exposto 
na figura 1, em que ignorava o segmento PM, por resultar em raiz negativa, e 
semelhantemente também determina a raiz de equações do tipo: – 
e para , BOYER (1989). 
 
Figura 1: Demonstração da resolução de uma equação quadrática por Descartes. 
Fonte: (Boyer, 1989, p.248). 
5 
 
Nesta demonstração, Descartes determina a única raiz que acha ser 
verdadeira (positiva) no segmento OM e ignora a raiz PM (negativa). Para 
melhor compreensão, na figura 1, temos uma circunferência de centro N, raio 
LN e diâmetro OP e um triângulo retângulo, pois possui um ângulo reto em L. 
 
 
3 COMO ENSINAR? 
 
 Saindo um pouco da esfera equacional e generalizando para qualquer 
conteúdo, antigamente nos colégios, as aulas eram muito tradicionais, ainda 
estávamos segundo Paulo Freire, na educação bancária. “A narração de que o 
educador é o sujeito, conduz os educandos à memorização mecânica do 
conteúdo narrado” (Apud Patto, 1997 p. 62). Os professores depositavam 
conteúdos nos alunos para que eles repetissem e houvesse memorização, sem 
perceber o significado do saber. Hoje, ainda temos certa resistência de alguns 
docentes em relação às mudanças educacionais. 
 Atualmente é necessário que o professor considere as diferenças de 
quatro gerações, a qual Cerbasi (2009) especifica que são: 
a) os Baby Boomers, nascidos entre 1946 e 1964, depois da 2ª guerra mundial 
pós-bélica, voltados às normas e burocracia, 
b) a geração X, nascidas entre 1965 e 1980, conhecidas como geração MTV e 
introdução à Internet, 
c) geração Y, nascidas entre 1981 e 1999, geração tecnológica, ascensão do 
videogame e tendência multitarefa, 
d) geração Z, nascidos após o ano 2000, com acesso a banda larga, Google, 
jogos online, Xbox, etc. 
 E considere também as oito inteligências múltiplas citadas por Haward 
Gardner. 
 
 
Seriam elas a inteligência a linguística ou verbal, a lógica matemática, 
a espacial, a musical, a cinestésica corporal, a naturalista e as 
inteligências pessoais, isto é, a intrapessoal e a interpessoal. 
(Antunes, Celso Apud Gardner, 2008, p. 25) 
 
 
6 
 
 Então temos que observar a idade dos alunos distribuídos em séries do 
Ensino Regular e do EJA – Ensino de Jovens e Adultos, suas percepções e 
limitações, para elaborar aulas que satisfaça seus anseios. Não podemos 
apenas recorrer aos livros didáticos, caderno do aluno, Youtube, dentre outros. 
É necessário criar estratégias para introduzir um conteúdo, sermos dinâmicos, 
compreender as causas da indisciplina em sala de aula, o objetivo dos 
exercícios propostos, criar situações que facilitam o processo ensino-
aprendizagem. Nesta ótica podemos observar a evolução dos livros didáticos e 
do algoritmo da resolução de algumas questões os quais vamos analisar 
alguns deles limitado somente à equação do 2º Grau. 
 
 
4 ALGORITMO DA EQUAÇÃO QUADRÁTICA 
 
 No decorrer dos tempos, houve um grande avanço nos modos 
resolutivos da equação do 2º Grau, principalmente depois que Gauss no século 
XVIII introduziu o conjunto dos números complexos, pois foi “o primeiro 
matemático a ter uma ideia mais clara sobre os chamados números 
imaginários” (IEZZI et al., 2010, p. 123) , agora vamos ver algumas evoluções 
nas resoluções de equações do 2º grau. 
 
a) Nabu Shamash – Babilônia: há mais de 4000 mil atrás: “Encontre o lado de 
um quadrado cuja área menos o lado é 14,30” Observação: metade de 1 = 0;30 
(sistema sexagesimal). “O passo mais complicado é o quarto, que encontra um 
número ( 
 
 ), cujo quadrado é 
 
 “ (STEWART, 2012, p. 30). 
Resolução – Complemento dos quadrados. 
- Pegue metade de 1, que é 0;30 
 
 
 
- Multiplique 0;30 por 0;30, que é 0;15. 
 
 
 
- Some isso a 14;30 para obter 14,30;30. 
 
 
- Esse é o quadrado de 29;30. 
 
 ( 
 
 ) ( 
 
 ) 
- Agora some 0;30 a 29;30. ( 
 
 
 
 
 ) 
- O resultado é 30, o lado do quadrado. 30 
7 
 
b) Al –Khwarizmi – Arábia: Século IX “um Mal e dez Jidhr igualam 39 dinares”, 
que traduzindo significa . 
Resolução – Complemento de quadrados: 
- Tome a metade da quantidade de Jidhr. (5). 
- Multiplique essa quantidade por si mesma. (25) 
- Some o resultado a Adad (fazemos 39 + 25 = 64) 
- Extraia a raiz quadrada do resultado. (8) 
- Subtraia desse resultado a metade dos Jidhr. (8-5) 
- O resultado é 3, que é a solução. 
 
 Roque (2012) aponta que há suspeitas que os árabes chegaram neste 
algoritmo pensando em termos de geometria, figura 2, que representa a 
solução geométrica da questão b. 
 
 
Figura 2: Solução geométrica da questão 
Fonte: (Roque, 2012, p. 253) 
 
A figura obtida é um gnomon de área 39, completando essa figura 
com um quadrado de lado 5 (área 25). Obtemos um quadrado de 
área 64 (=39 + 25). O lado desse quadrado mede 8. Daí obtém-se 
que a raiz procurada 3 (=8-5) (Roque, Tatiana, 2012, p. 253) 
 
 
 É interessante que o modo de resolução geométrico apresentado por Al 
– Khwarizmi também pode ser encontrado no caderno do aluno 8ª série / 9º 
ano Vl 02 - 2012 do Governo do Estado de São Paulo, onde o aluno é 
estimulado a resolver equações pelo método de complemento de quadrados e 
pelo método de fatoração. 
 
c) René Descartes – França: Século XVII. Em , podemos aplicar a 
resolução para exemplificar na equação (traduzindo para o nosso 
entendimento temos: ). Resolução na figura 3. 
8 
 
Material utilizado: Régua e compasso. 
 
a) Traçar um segmento LM de comprimento b. 
 
b) Levantar um segmento em L, NL = a/2 e perpendicular a LM. 
 
c) Construir no centro N, um círculo de raio a/2. 
 
d) Traçar o segmento de reta M e N, que corta o círculo em O e P achando a 
raiz procurada que é igual a OM = z. 
 
 
Figura 3: Método de resolução conforme algoritmo de Descartes. 
Fonte própria. 
 
 
 Observe que a raiz negativa MP = -1,2 foi dispensada e o interessante é 
que podemos resolver algebricamente o algoritmo de Descartes através do 
teorema de Pitágoras aplicado no triângulo de vértices LMN, isto quando 
dispomos apenas do esboço, sem régua e compasso. Vejamos: 
 ( ) ( ) 
√ 
 
 Como estas questões são oriundas de problemas envolvendo áreas 
(Completar o quadrado) e comprimento de segmento de reta deixa clara a 
acomodação em relação aos números positivos, pois não existe uma figura 
geométrica sequer que tenha um dos seus lados, o valor de um número 
negativo, Kilhian (2012), em seu blog, fala sobre Descartes e seu método 
geométrico e aborda mais exemplos. 
 
d) Fórmula geral para a resolução de equações do 2º Grau - 
(Imenes & Lellis, 2005, p.111) 
9 
 
Resolver a equação 
- Seja a fórmula: 
 √ 
 
 
- Comparando com 
- Vemos que 
- Aplicando a fórmula, temos: 
 √ 
 
 
- Fazendo os cálculos, chegamos a 
 √ 
 
 = 
 √ 
 
 
- Escrevemos separadamente os dois números quesão soluções da equação 
 
 √ 
 
 
 
 
 
 
 
 ou 
 √ 
 
 
 
 
 
 
 
 
- As solução -1 e -3, são também denominadas raízes da equação. 
 
 Segundo Boyer (1996), François Viète introduz vogal para representar 
grandezas conhecidas ou desconhecidas e poderia ter escrito a equação 
quadrática na forma , sendo incógnita e e , 
parâmetros, mas não o fez. Porém isto possibilitou mais tarde a demonstração 
genérica de equação quadrática permitindo escrever a equação na forma 
 
 
 Viète introduziu uma convenção tão simples quanto fecunda. Usou 
uma vogal para representar, em álgebra, uma quantidade suposta 
desconhecida, ou indeterminada, e uma consoante para representar 
uma grandeza ou número supostos conhecidos ou dados (Boyer, 
1996, p. 223) 
 
 
 Apropriando-se dos conhecimentos antigos, matemáticos chegaram à 
fórmula geral da resolução de equações do 2º Grau. Giovanni (1990) mostra o 
algoritmo usado para que se chegasse à fórmula resolutiva, adicionando 
 
 
 
ambos os membros da equação, para torná-la um trinômio quadrado perfeito, 
mas sua demonstração se torna complexa e cansativa, todavia Imenes & Lellis 
(2005) demonstra de uma forma mais fácil, multiplicando os dois membros da 
equação por , conforme veremos adaptado no quadro 1. 
 
 
10 
 
1) Consideremos a equação ; com e e 
 . 
2) Multiplicamos tudo por , 
teremos: 
 
3) Soma nos dois membros 
e no 1º, teremos um trinômio 
quadrado perfeito. 
 
4) Após fatorar, temos: ( ) = 
5) Continuando a operação 
obtemos: 
 √ 
6) Pelo processo aditivo 
eliminamos o b do 1º membro 
( ) 
 
 √ 
7) Ao isolar , chega-se na 
fórmula. 
 
 
 √ 
 
 
Quadro 1: Demonstração da obtenção da fórmula resolutiva da equação quadrática. 
Fonte Imenes & Lellis (2005, p. 125) 
 
 
 O que foi realizado neste algoritmo foi o que Boulos (1999) denomina a 
arte de completar quadrados. Boulos também demonstra como chegar na 
fórmula resolutiva de equações do segundo grau, porém não menciona o 
contexto histórico da equação. Alguns livros didáticos podem trazer outras 
formas, mas todas recaem no trinômio quadrado perfeito que é a base de 
completar quadrados. Para isso alguns autores fazem a multiplicação de todos 
os membros da equação por , esta forma é mais fácil de demonstrar em sala 
de aula. 
 
 
5 BREVE ANÁLISE DAS EQUAÇÕES QUADRÁTICAS NOS LIVROS 
DIDÁTICOS 
 
5.1 NÍVEL FUNDAMENTAL II 
 
 A resolução de equação do 2º grau é ensinada inicialmente no nível 
fundamental II, especificamente na 8ª série, 9º ano. No quadro 2, veremos o 
que se ensina em quatro livros de nível fundamental lI e dois cadernos do aluno 
11 
 
em relação à equação quadrática no contexto histórico e atual e não há 
nenhuma forma diferente nas abordagens de resolução. 
 
 
Livro 
Demonstração 
Da Fórmula 
 
Resolução 
Atribuição da 
fórmula a 
Bhaskara 
 
SIM 
 
NÃO 
 
Fatoração 
Geométrica-
mente 
 
SIM 
 
NÃO 
01 X X X X 
02 X X X X 
03 X X X X 
04 X X X X 
05 X 
06 X X X X 
Quadro 2: O que é ensinado nos livros de Ensino Fundamental e no caderno do aluno. 
Fonte própria. 
 
Legenda dos livros utilizados no quadro 2. 
 01 Matemática para Todos. 04 Praticando Matemática. 
 02 Matemática e Realidade. 05 Cad. do aluno 7ª Série Vol. 2. 
03 Aprendizagem e Ed. Matemática. 06 Cad. do aluno 8ª Série Vol. 2. 
 
 Em relação ao caderno do aluno 7ª série, a equação não é apresentada 
como quadrática, mas sim como oriunda de fatorações de expressão algébrica 
em geral, alias, todos os livros analisados trazem essa forma de resolução e 
apesar de não mencionado no quadro 2, com exceção do caderno do aluno 7ª 
série, os demais também demonstram a resolução das equações através da 
soma e produto das raízes, mas os autores não mencionam a relação de 
Girard. 
 
 
5.2 NÍVEL MÉDIO: 
 
 A resolução de equação do 2º grau é ensinada no 1º ano, como revisão 
das equações para prosseguimento nos estudos das funções, em especial a 
quadrática. Neste caso, a determinação das raízes da função é dada pelos 
zeros da função ( ) , porém em alguns dos livros analisados, 
12 
 
a fórmula mais uma vez é apresentada com fórmula de Bhaskara, Iezzi et 
al.(2010) em outros como fórmula resolutiva. 
 A fórmula resolutiva é importante para a obtenção das coordenadas do 
vértice ( ) para o estudo do sinal das funções e esboços de gráficos e o 
foco maior é a construção de gráficos e resolução de questões cuja 
problemática traz trajetórias parabólicas, trajetórias de objetos lançados 
incluindo soluções de problemas envolvendo ganhos máximos e mínimos e 
áreas, Dante (2004), além destas situações reforça a resolução das equações 
revisando métodos resolutivos como soma e produto, fatoração e forma 
geométrica e algébrica de completar quadrados e há uma variedade de 
questões que enriquecem a aplicação das equações quadráticas em relação à 
biologia e física, Souza & Spinelli (1996) tornando a equação de uso 
multidisciplinar. 
 Já no terceiro ano, o aluno depara com a equação do tipo , 
sendo apresentada solução no conjunto de números complexos C, em que 
(unidade imaginária) é igual a √ , símbolo proposto por Euler em um artigo 
de 1777 Garbi (2009, p.103) e mais adiante o assunto é retomado novamente 
na equação polinomial do 2º grau, onde é explorada além das raízes negativas, 
a soma das raízes nas relações estabelecidas por Girard, Machado (1996). E 
ainda não é testada uma abordagem diferente na resolução das equações 
quadráticas, apesar da riqueza de aplicações que conhecemos. 
 
 
6 AS EQUAÇÕES QUADRÁTICAS E A INTERNET - NOVAS ABORDAGENS: 
 
 Estamos diante de uma poderosa ferramenta de pesquisa e 
entretenimento, a Internet, cuja importância é relevante para o conhecimento e 
para o trabalho. “Para a educação, a internet pode ser considerada a mais 
completa, abrangente e complexa ferramenta de aprendizado” (MERCADO, 
2006, p. 158). 
 Para contribuir mais com o artigo, foi pesquisado sobre equação do 2º 
Grau em vários sites e visto muitos vídeos no Youtube. A maioria não foge do 
algoritmo da fórmula resolutiva, muitos professores atribuem a fórmula a 
13 
 
Bhaskara e poucos se aventuram numa forma diferente de resolução, tais 
como os professores Marcio Barbosa (Equação do 2º Grau) e Guilherme 
Miguel Rosa (Mat. Básica 6), cujos vídeos estão disponíveis no Youtube. 
 Ao assistir o vídeo do professor Marcio, observa-se que na resolução da 
equação é utilizada uma técnica diferenciada das praticadas 
em sala de aula, nesta técnica é criado um atalho para resolver a equação, ou 
seja, a fórmula resolutiva da equação quadrática foi reduzida, mas não há a 
demonstração de como se chegou nesta redução. A equação é resolvida de 
maneira, vejamos: 
a) multiplica a por c 
 
b) divide b por 2 e troca o sinal {
 
 
 ( ) } 
 
c) Eleva 
 
 
 ao quadrado e subtrai , este é o algarismo da raiz. 
 
d) temos √ 
 
e) Divide pelo valor de a e temos as raízes da equação: { √ √ }. 
 Para melhor compreensão, vamos ilustrar o processo feito pelo 
professor Márcio na figura 4. 
 
 
Figura 4: Demonstração prática da resolução de . 
Fonte própria 
 
 Este procedimento teve origem na redução da fórmula resolutiva, que 
podemos denominar de método da redução, para isto dividiu-se o segundo 
membro da fórmula por dois,conforme demonstração no quadro 3. Este 
método serve para a resolução de qualquer equação quadrática. 
 
 
14 
 
1) Considerando a fórmula resolutiva. 
 
 √ 
 
 
2) Divide-se o segundo membro da equação por 
dois. 
 
 
 
√ 
 
 
 
 
3) Começa o processo de simplificação, o dois, 
dentro da raiz vale quatro e anulamos o 2 do 
denominador. 
 
 
 
 √
 
 
 
 
 
 
4) Desmembramos o radicando 
 
 
 
 
 
 √
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5) Simplifica mais uma vez e usa a propriedade 
da potenciação. 
 
 
 
 √ (
 
 
)
 
 
 
 
 
 
 
6) Chegando assim na fórmula resolutiva 
reduzida. 
 
 
 
 √ (
 
 
)
 
 
 
 
Quadro 3: Algoritmo para chegar na fórmula reduzida. 
Fonte própria. 
 
 
 Já o professor Guilherme, utiliza a técnica da soma e produto das raízes, 
de um modo convencional e outro diferente. Para isto, vamos abordar duas 
equações demonstradas em seu vídeo postado no youtube: 
a) , resolução conforme quadro 4. 
b) , resolução conforme quadro 5. 
 Lembrando que a “soma das raízes é 
 
 
 e o produto, 
 
 
 , 
Giovanni & Giovanni Jr (1990, p. 85). 
 
 
 
 
 
 
 
 
15 
 
a) Determinamos os valores de a, b e c da 
equação . 
 
b) Encontramos a soma e o produto das raízes. ( ) 
c) Pensamos em dois números que somado 
seja -7 e que multiplicado seja 6. 
 . 
d) Os únicos números que satisfaz a proposta 
são os números -1 e -6, pois 
( ) ( )
 ( ) ( ) 
e) Estão determinadas as raízes da equação. . 
Quadro 4: Resolução pelo método da soma e do produto das raízes. 
Fonte: Miguel Rosa – youtube. 
 
 
 Este método também é aplicado por Lezzi onde há a demonstração da 
soma e produto das raízes através de um trinômio do 2º grau genérico, 
formando uma equação de raízes m e n, ( ) ( ) , que após o 
desenvolvimento fica: ( ) , IEZZI et al. (2009). Neste 
desenvolvimento vemos claramente a expressão . Este 
processo facilita a obtenção da equação através das raízes. O exemplo ainda 
de acordo com Iezzi vai formar uma equação a partir das raízes 5 e 7 de dois 
modos. 
 
a) Partindo da equação produto b) Partindo da soma e do produto das 
raízes 
 
( ) ( ) 5 + 7 = 12 e 5 . 7 = 35 
 
 Equação: 
 
 Quando temos outro tipo de equação, como , o 
professor Guilherme utiliza um dispositivo prático baseando-se na soma sendo 
–b e no produto sendo ac, porém semelhante ao professor Marcio Barbosa, 
não fornece a demonstração da fórmula, vejamos a dedução da fórmula no 
quadro 5. 
 
 
 
 
16 
 
a) Determinamos os valores de a, b e c 
da equação 
 
a= 2 ; b= -9 ; c = 7 
b) Encontramos a soma e o produto das 
raízes. 
 
S = -(-9) = 9 e P = 2 x 7 = 14 
c) Pensamos em dois números que 
somado seja 9 e que multiplicado seja 
14. 
 
__ +__ = 9 e ___ . ___ = 14. 
d) Os únicos números que satisfaz a 
proposta são os números 7 e 2, pois 
 
7 + 2 = 9 e 7 . 2 = 14 
e) As raízes são determinadas dividindo-
se os valores encontrados por a. 
 = 
 
 
; = 
 
 
 = 1. 
Quadro 5: Resolução pelo método da soma e do produto das raízes, com a ≠ 0 e 1. 
Fonte: Miguel Rosa – Youtube. 
 
 
 Para chegar nesta fórmula resolutiva cujas raízes têm ao menos um 
número racional, a princípio teve que remover o coeficiente a do denominador 
para depois tornar a dividir por este coeficiente, para chegarmos às raízes da 
equação proposta e um dos caminhos possíveis é demonstrado no quadro 6. 
Como o objetivo é eliminar a divisão por a, então é só multiplicar as raízes 
genéricas por a e desenvolver o cálculo e podemos denominar essa forma de 
resolução pelo método especial da Soma e Produto. 
 Relembrando que a soma e o produto das raízes da equação quadrática 
é 
 
 
 e o produto, 
 
 
 respectivamente, do método especial da 
Soma e Produto das raízes da equação e podemos padronizar a resolução final 
das raízes, como há dois números que satisfazem a soma e o produto no 
método especial, podemos chamar o primeiro de , e o outro de . Para 
determinar as raízes, dividimos pelo valor de a, a fim de retornar à solução da 
equação original, ou seja, 
 
 
 e 
 
 
, que são as soluções da 
equação. No caso da equação do quadro 5, N1 =7 e N2 = 2. Não podemos 
negar também a eficácia da fórmula reduzida, quadro 3. 
 
 
17 
 
1) Sendo as raízes genéricas 
 
2) Multiplicamos por a e desenvolvemos o cálculo 
 
3) Calculamos a soma das novas raízes. 
 
 
4) Determinamos o produto das novas raízes 
 
Quadro 6: Demonstração do método especial da Soma e Produto. 
Fonte própria. 
 
 
 Para ilustrar, na prática segue a resolução de uma equação utilizando as 
duas técnicas (método especial da soma e produto e a fórmula reduzida), figura 
5. 
 
 
Figura 5: Demonstração da forma da nova raiz sem o a do denominador. 
Fonte própria. 
 
18 
 
7 CURIOSIDADE ACERCA DO TRIANGULO DE PASCAL 
 
 No contexto histórico, o triangulo aritmético ficou conhecido como 
triângulo de Pascal, no século XVIII, somente após a sua morte, quando Moivre 
publicou um trabalho em 1739, denominado Triangulum Arithmethicum 
Pascalianum para o triangulo aritmético, Dante (2003). Sabe-se ainda através 
da história que cerca de 600 antes de Blaise Pascal (1623-1662) estudiosos já 
conheciam o triângulo aritmético, figura 6, porém foi Pascal que descobriu 
algumas propriedades novas, Boyer (1989). 
 
 
Figura 6: Triângulo Aritmético representado pelos números binomiais e naturais. 
Fonte: Iezzi et al.(2010, p.280-281). 
 
 
 Nos livros de 2º ano do nível médio, onde o assunto é tratado, 
verificamos as propriedades e aplicações do triângulo, vamos ver de forma 
simples a simetria e a aplicação no desenvolvimento ( ) com 
figura 7. 
Figura 7 – Simetria perfeita no triângulo de Pascal em relação à potência de base 2 
e o binômio de Newton. Fonte: Iezzi et al. (2010, p.281-283) 
19 
 
 Podemos constatar no triângulo de Pascal, algumas relações, conforme 
a figura 7. 
 
a) Cada algarismo a partir da 1ª linha é a soma imediata do algarismo acima 
dele com o seu antecessor. 
b) A soma de todos os algarismos de cada linha gera uma potência de base 2. 
c) Toda linha começa e termina por 1. 
d) Em uma mesma linha, os coeficientes binomiais equidistantes dos extremos 
são iguais. 
e) A primeira linha do triângulo tem expoente igual a 0, a segunda linha 
expoente 2, então podemos concluir que a posição da linha que vamos 
trabalhar em relação ao expoente será sempre . 
 
 Como estamos tratando de equações quadráticas, temos no 
desenvolvimento ( ) , o resultado é , veja que de 
acordo com a relação do item c do triângulo de Pascal, sendo , temos 
três algarismos e foram destacados os algarismos (1, 2, 1), porque representa 
a terceira linha do desenvolvimento binomial e observando ainda esta linha, 
temos 2², que em outra percepção podemos escrever: ( ) 
 ( ) , que é exatamente o desenvolvimento binomial. Partindo 
deste raciocínio podemos criar através do binômio de Newton o algoritmo dos 
algarismos que compõe um número de qualquer potência de dois algarismos,( ) ( ) ( ) ( ) . 
 CRILLY (2011), fez uma observação importante em relação à potência 
de base 11 e o triângulo de Pascal até à quinta linha do triângulo, 
 , observe na figura 7, que 
introduzindo espaços entre os algarismos forma o começo do triângulo, mas 
não avançou para a sexta linha, porque estamos tratando de propriedade 
peculiar à adição. Partindo do desenvolvimento de ( ) e ( ) , 
demonstração na figura 8, podemos resolver a potência de um número de 2 
algarismos de qualquer expoente a partir do binômio de Newton. 
 
20 
 
Figura 8: Demonstração do algoritmo da potência de 2 algarismos. 
Fonte própria. 
 
 
 Para ilustrar esta demonstração, vamos desenvolver no 
quadro 7 para provar o teorema da figura 8, e um detalhe importante na 
fórmula genérica é o sinal de mais com elevação, serve para aplicar 
propriedade da soma. O valor do expoente n indica a linha do triângulo de 
Pascal que devemos utilizar, mas a facilidade prática está na resolução do 
quadrado de um número. 
 
 3 + 0 + 
 ) ( ) 
 84 6 4 
- terceira linha do desenvolvimento binomial. 
 0 + 0 + 0 + 0 + 
 ) ( ) ( ) ( ) 
 1 4 6 4 1 
- quinta linha do desenvolvimento binomial. 
 211 + 493 + 615 + 394 + 102 + 
 ) ( )( )( )( ) 
 454 3 5 4 2 4 
- sexta linha do desenvolvimento binomial. 
Quadro 7: Resolução de potenciação de números com dois algarismos. 
Fonte Própria. 
 
 
21 
 
8 CONCLUSÃO 
 
 Podemos observar que alguns autores ainda chamam a fórmula 
resolutiva da equação do 2º Grau de fórmula de Bhaskara e que a forma de 
resolução da equação quadrática não foi alterada, nos livros didáticos são 
apenas oferecidos algoritmos variados, como completar quadrados, algébrica e 
geometricamente, a fórmula resolutiva e a soma e produto das raízes, faltando 
ensinar aos alunos, a resolução pelo método desenvolvido por Descartes, e 
quanto aos métodos utilizados pelos professores Marcio Barbosa e Guilherme 
Miguel Rosa, cujos vídeos estão postados no youtube, por serem diferentes, 
estamos propondo que os professores adotem estes dois métodos de 
resolução para a equação do 2º grau e também o que foi utilizado por 
Descartes, pois como vimos, foram provados através de demonstrações e 
justificando o capítulo 7 deste artigo, a aplicação do desenvolvimento binomial 
na resolução de potências de dois algarismos, foi observada somente após 
tentativas de achar uma resolução alternativa de resolução da equação 
quadrática através do desenvolvimento do trinômio quadrado perfeito ( 
 ) , que nos faz refletir de como a pesquisa é importante 
para as descobertas e saliento que este artigo não esgota outras pesquisas 
pertinentes ao assunto, já que são muitas suas aplicações sendo necessário 
ainda investigar novos métodos para resolução de equações polinomiais em 
geral e não somente as de 2º grau sempre pensando em renovação para as 
gerações já estabelecidas e as que estão por vir. 
 
 
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