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AULA 1 _Análise do comportamento de barras de seção circular sujeitas a torção pura

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Análise do comportamento de barras de 
seção circular sujeitas à torção pura
APRESENTAÇÃO
Quando estudamos o efeito da aplicação de cargas sobre um elemento estrutural, analisamos 
como se comportam esses mesmos elementos com base no tipo de material que compõe esta 
peça, suas dimensões, como está apoiada, ou seja, como determinado elemento estrutural está 
conectado ao meio e também as condições de carregamento. A esta análise damos o nome de 
condições de contorno. A mudança das condições de contorno para o mesmo elemento estrutural 
pode mudar completamente seu comportamento. 
Nesta Unidade de Aprendizagem, você vai estudar o comportamento de um elemento estrutural, 
que é a análise da distribuição de tensões e esforços solicitantes provocados pelo carregamento 
aplicado. 
Bons estudos.
Ao final desta Unidade de Aprendizagem, você deve apresentar os seguintes aprendizados:
Analisar o comportamento de um elemento circular carregado à torção.•
Identificar a distribuição de tensão no interior do elemento.•
Determinar o ângulo de torção para materiais elásticos lineares e materiais não lineares.•
DESAFIO
A empresa Steel Usinagem recebeu um pedido para fornecimento de eixos de seção circular e 
você é projetista responsável pelo desenvolvimento desse novo eixo. Para que seja possível 
realizar o dimensionamento do eixo será necessário que você determine a tensão de 
cisalhamento desenvolvida nos pontos A e B localizados na seção transversal a-a.
A tensão de cisalhamento que o eixo deverá resistir e a tensão de cisalhamento acrescida de um 
Fator de Segurança F.S. de 40%, verifique se o projeto preliminar proposto pelo cliente atende a 
essa condição de resistência, caso contrário você deverá definir um novo diâmetro para o eixo 
de maneira que possa suportar este esforço. Considere o eixo apoiado em ambas as 
extremidades em mancais e sujeito a três torques.
Dados:
Diâmetro externo do eixo previsto no projeto preliminar: 127 mm
 
INFOGRÁFICO
O infográfico mostra como ocorre a distribuição de tensões na seção transversal de um eixo 
circular. A tensão de cisalhamento tem variação linear na direção radial da seção. Confira!
 
CONTEÚDO DO LIVRO
Para determinar o comportamento de uma barra de seção circular sujeita à torção, é preciso 
conhecer os conceitos para poder calcular as tensões e as deformações.
Para aprofundar ainda mais seu conhecimento, acompanhe o capítulo Torção - Barras de Seção 
Circular do livro Resistência dos Materiais Aplicada que norteia as discussões presentes nesta 
Unidade.
Boa leitura!
RESISTÊNCIA
DOS MATERIAIS
APLICADA
Douglas Andrini Edmundo
R429 Resistência dos materiais aplicada [recurso eletrônico] / 
Organizador, Douglas Andrini Edmundo. – Porto Alegre : 
SAGAH, 2016.
Editado como livro impresso em 2016. 
ISBN 978-85-69726-85-2
1. Engenharia. 2. Resistência de materiais. I. Edmundo, 
Douglas Andrini.
CDU 620.172.22
Catalogação na publicação: Poliana Sanchez de Araujo – CRB 10/2094
Torção – Barras de seção 
circular
Objetivos de aprendizagem
Ao final deste texto, você deve apresentar os seguintes aprendizados:
 � Analisar o comportamento de um elemento circular carregado à
torção.
 � Identificar a distribuição de tensão no interior do elemento.
 � Determinar o ângulo de torção para materiais elásticos lineares e
materiais inelásticos.
Introdução
Quando estudamos o efeito da aplicação de cargas sobre um ele-
mento estrutural, analisamos como se comportam esses mesmos 
elementos com base no tipo de material que compõem esta peça, 
suas dimensões, se o material é elástico linear ou não, como está 
apoiada, ou seja, como determinado elemento estrutural está conec-
tado ao meio e também as condições de carregamento, sejam cargas 
distribuídas, concentradas ou de Torque, esta análise chamamos de 
condições de contorno. Você deve saber que a mudança das con-
dições de contorno para o mesmo elemento estrutural pode mudar 
completamente seu comportamento. 
Neste capítulo, você vai estudar o comportamento de um elemento 
estrutural e a análise da distribuição de tensões e esforços solicitantes 
provocados pelo carregamento aplicado. Este estudo precede o passo 
final que é o dimensionamento de qualquer elemento estrutural.
Deformação
Você sabia que a análise do comportamento de um elemento estrutural é feita 
por meio do estudo dos esforços solicitantes e das deformações causadas pelo 
carregamento em uma determinada peça? Nos eixos de seção circular sob efeito 
de torção, você vai aprender a analisar as tensões e deformações ocorridas 
nesses elementos. As forças de torção atuam de forma conjugada e possuem a 
mesma intensidade T com sentidos opostos. Essas forças podem ser represen-
tadas como vetores de duas maneiras: com setas curvas, conforme demonstrado 
na Figura 1a, ou como vetores conjugados, conforme a Figura 1b.
Figura 1. Forças representadas com vetores. (a) Com setas curvas. (b) Vetores conjugados.
Nossa primeira análise será feita sobre as deformações no eixo de seção 
circular. Os eixos de seção circular possuem uma propriedade importante em 
relação à deformação. Então, quando você aplica um carregamento de Torção 
em um eixo circular, todas as seções transversais permanecem planas e inde-
formadas, mesmo com o fato de que todas as seções girem devido à Torção e 
em diferentes ângulos. E é essa propriedade que irá permitir você a analisar a 
distribuição de deformações provocadas na barra.
Você deve saber que a distribuição de deformações que aparecem em um 
eixo de seção circular é especificamente de cisalhamento, essa análise levará 
você a concluir que a deformação específica de cisalhamento varia linear-
mente conforme a distância ao centro do eixo.
Quando você estiver analisando o comportamento do eixo circular no re-
gime elástico, ou seja, dentro do limite de proporcionalidade de lei de Hooke, 
de tensão x deformação, você poderá analisar a distribuição de tensão de da 
torção cisalhamento.
Agora vamos analisar um eixo circular de comprimento AB submetido 
a um Torque com a mesma intensidade em ambas as extremidades, A e B, e 
com sentidos opostos. Se tomarmos uma seção qualquer entre A e B e cor-
tarmos o eixo nesse ponto, podemos analisar a distribuição de tensões de ci-
salhamento no interior da seção transversal (Fig. 2). Vamos chamar a seção de 
corte de ponto C. Entenda que quando cortamos um elemento estrutural para 
analisar seu comportamento, você deve considerar as forças internas para que 
o corpo se mantenha em equilíbrio. Neste caso, você deve considerar as forças 
de cisalhamento perpendiculares ao raio do eixo da seção transversal (Fig. 3).
Resistência dos materiais aplicada2
Figura 2. Distribuição de tensões de cisalhamento no interior da seção transversal.
Figura 3. Cisalhamento perpendiculares ao raio do eixo da seção transversal.
Para analisar a seção interna do elemento que cortamos do eixo, você 
deve separar o trecho AC e analisar a face C, depois montar o diagrama de 
corpo livre e indicar as forças que atuam neste elemento, incluindo também 
as forças na seção do corte. Na seção do corte, as forças de cisalhamento que 
surgem devido ao torque são perpendiculares ao raio do eixo da seção e para 
você garantir o equilíbrio desse elemento é necessário que o sistema de forças 
de cisalhamento possua a mesma intensidade do Torque no ponto B. Sendo 
assim, com a mesma intensidade do Torque no ponto A e com sentido oposto.
Vamos chamar de ρ a distância qualquer do centro da seção transversal 
até a linha central do eixo? assim você pode definir que a somatória dos mo-
mentos gerados pelas forças de cisalhamento dF em relação à linha de central 
do eixo, ou seja, ρdF, tem a mesma intensidade do torque T, ao integrar os 
momentos você terá,
Como , você pode admitir a força como sendo a tensão de cisalha-
mento multiplicada pela área de um elemento infinitesimal qualquer e terá 
novamente a somatória dos momentos,
3Torção – Barras de seção circular
Veja queessa relação demonstra uma importante condição das tensões de 
cisalhamento que precisam ser satisfeitas para que haja equilíbrio na seção, 
o que ainda pode ser obtido é a distribuição de tensões na seção. A estática 
não possui métodos capazes de determinar as distribuições de tensões provo-
cadas por determinado carregamento. Por outro lado, você pode supor que as 
tensões normais produzidas por uma força axial aplicada no centro podem ser 
consideradas uniformemente distribuídas, desde que estejam fora das regiões 
afetadas por cargas concentradas. A mesma análise para as tensões de cisa-
lhamento não pode ser aplicada, ainda que seja um eixo com material elástico. 
A análise das deformações provocadas pela tensão de cisalhamento pode nos 
dar elementos para entender a distribuição das tensões de cisalhamento no 
eixo circular.
Devido a deformações provocadas pela torção, as tensões de cisalhamento 
não ocorrem somente em um plano. Na Figura 4 você pode observar um eixo 
com uma malha na superfície. Você já viu que um Torque quando aplicado 
em um eixo provoca tensões de cisalhamento τ nas seções perpendiculares à 
linha de centro longitudinal do eixo. Você verá nas Figuras 5a e 5b as tensões 
de cisalhamento nos planos longitudinais do eixo e o sentido das tensões de 
cisalhamento conforme do sentido do torque, seja no sentido horário ou no 
sentido anti-horário e como ocorrem as tensões de cisalhamento em um ele-
mento típico do eixo.
Figura 4. Eixo com uma malha na superfície.
Resistência dos materiais aplicada4
Figura 5. A- Torção no sentido anti-horário. B - Torção no sentido horário.
Se você aplicar um torque T em uma extremidade de um eixo circular e 
na outra extremidade conectar o eixo em apoio fixo que impeça a rotação, o 
eixo sofrerá uma rotação e formará na extremidade livre um ângulo ϕ cha-
mado ângulo de torção (Fig. 6). O ângulo de torção ϕ será proporcional ao 
Torque dentro de um limite de intensidade da força e também é proporcional 
ao comprimento L do eixo. Você deve realizar a análise do comportamento do 
eixo de seção circular através da relação existente entre ϕ, T e L e também se 
estenderá para a determinação da distribuição de tensões de cisalhamento na 
seção transversal do eixo.
Figura 6.
5Torção – Barras de seção circular
Observe a Figura 7, para que você possa analisar as deformações provo-
cadas pela tensão de cisalhamento, você deve lembrar da propriedade que os 
eixos circulares possuem, de quando são submetidos a uma força de torção, toda 
seção transversal permanece plana e indeformada. Isso quer dizer que, mesmo 
as rotações ao longo do comprimento do eixo sejam diferentes e consequen-
temente os ângulos de rotação serão diferentes (Fig. 8), cada uma das seções 
transversais vai girar como se fossem rígidas o suficiente para impedir qualquer 
deformação. Lembre-se que essa propriedade dos eixos circulares vale tanto 
para os eixos maciços como para eixos tubulares e existe por causa da geome-
tria axissimétrica, isto significa que a seção circular do eixo possui simetria em 
relação a um eixo, e no caso dos eixos circulares, o eixo longitudinal.
Entretanto, essa propriedade não aplica a elementos estruturais cuja seção 
transversal seja quadrada, por exemplo. Você deve saber que no caso de um 
elemento estrutural de forma quadrada ser submetido a uma força de torção, 
as seções transversais sofrem empenamento e não permanecem planas, oca-
sionando deslocamentos longitudinais.
Figura 7.
Figura 8.
Resistência dos materiais aplicada6
Para você entender a distribuição de deformações de cisalhamento inter-
namente em um eixo circular, você deve considerar o comprimento do eixo 
como L, e o raio como c submetido a uma força de torque T, rotacionando o 
eixo em um ângulo ϕ. A seguir você deve destacar um elemento a uma dis-
tância qualquer ρ delimitado por duas seções transversais circulares paralelas 
e por dois planos paralelos ao eixo central da seção transversal, considerando 
o eixo ainda na posição de repouso, sem qualquer carregamento. Considere 
que o eixo está fixo em uma das extremidades e livre na outra. Ao aplicar a 
força de torção ao eixo, o elemento delimitado irá se deformar a assumir a 
forma de losango. 
O valor da deformação por cisalhamento é definido de acordo com a va-
riação dos ângulos formados pelos lados do elemento. Como as seções cir-
culares transversais que delimitam o elemento permanecem indeformadas, o 
ângulo formato entre as retas AB e A’B define a deformação de cisalhamento 
γ, que será igual ao ângulo em radianos.
Você pode definir o desenvolvimento do arco AA’ como ϕρ, e conside-
rando que a deformação de cisalhamento γ varia ao longo do comprimento, 
será proporcional ao comprimento do eixo, portanto AA’=Lγ. Igualando as 
duas equações, você tem Lγ=ρϕ,
γ e ϕ são expressos em radianos.
A equação define a tensão de cisalhamento γ a uma distância ρ qualquer 
do centro da seção transversa do eixo circular como proporcional à distância 
ρ e ao ângulo de torção ϕ, significa dizer que a tensão de cisalhamento γ varia 
linearmente com a distância ρ do centro da seção transversal.
Como a tensão de cisalhamento γ varia de acordo com a distância ρ do 
centro da seção transversal, você pode considerar que a tensão de cisalha-
mento máxima ocorre quando ρ for igual ao raio c, portanto,
Assumindo a variação linear da deformação de cisalhamento γ em função 
de uma distância ρ qualquer a partir do centro da seção transversal ao longo 
do raio c e considerando o ângulo de torção ϕ como sendo o mesmo na seção, 
a deformação de cisalhamento γ pode ser expressa como:
7Torção – Barras de seção circular
 � Para os eixos circulares, ao aplicar uma força de torque, a seção transversal do eixo 
permanece plana e indeformada, mesmo havendo rotação das linhas radiais. As 
rotações provocadas pela torção provocarão o surgimento de deformações de 
cisalhamento internamente nas seções transversais.
 � As deformações de cisalhamento variam ao longo do raio da seção transversal, 
indo de zero no centro da seção até o valor máximo na extremidade externa da 
seção transversal.
 � Os materiais elásticos lineares e homogêneos obedecem a Lei de Hooke, por-
tanto a tensão de cisalhamento na seção transversal varia linearmente ao longo 
do raio da seção, de zero no centro da seção até o valor máximo da tensão de 
cisalhamento na extremidade externa da seção transversal.
 � A Lei de Hooke se aplica apenas dentro do regime elástico do material dentro do 
limite de proporcionalidade. A partir desse ponto, as deformações ocorrem no 
regime plástico ocasionando uma deformação inelástica.
Organização Pan-Americana de Saúde (Opas) e Juan Cesar Garcia 
A Opas protagonizou a difusão do ensino da Medicina Preventiva na América Latina, 
patrocinando a realização dos seminários de Vina del Mar (Chile) e Tehuacan (México), 
na década de 1950 (OPS, 1976). Mais tarde, apoiou e promoveu o desenvolvimento da 
denominada Medicina Social Latino-Americana, com a brilhante atuação de Juan Cesar 
Garcia, médico e sociólogo argentino (Nunes, 1989). Garcia não apenas formulou as 
linhas gerais de um programa de estudos e ação, mas também desempenhou o papel 
de liderança política, mobilizando recursos institucionais para apoiar os programas 
emergentes de medicina preventiva e introduzir neles o ensino das ciências sociais 
em saúde de abordagem histórico-estrutural (Spinelli et al., 2012). A Opas contou com 
o financiamento da Fundação Milbank nessas atividades. Os programas visavam à for-
mação de lideranças, permitindo que intelectuais críticos imprimissem direção ao pro-
cesso, cujas iniciativas eram vistas como inovadoras (Garcia, 1985).
Resistência dos materiais aplicada8
Tensões
Veja nas Figuras 5a e 5b de que forma agem as tensões de cisalhamento em 
um eixo circular e com material elástico linear , cuja intensidade da tensão de 
cisalhamento é dada pelo produto do módulo de elasticidade ao cisalhamento 
e pela deformação de cisalhamento,Observe que para que a Lei de Hooke seja válida, as tensões e deformações 
devem permanecer dentro do limite de proporcionalidade, ou seja, no regime 
elástico e abaixo da tensão de escoamento do material, dentro desse limite as 
deformações não serão permanentes.
Ao multiplicar a equação da deformação de cisalhamento por G, módulo 
de elasticidade transversal, você tem,
Como,
Temos,
Perceba que essa análise mostra que a tensão de cisalhamento permanece 
dentro do limite de proporcionalidade, antes da tensão de escoamento, e as 
tensões e deformações variam linearmente. Veja na Figura 9 a distribuição 
de tensão em um eixo circular maciço e a distribuição de tensões em eixo 
circular de seção tubular. 
Figura 9. Distribuição de tensão em um eixo circular maciço e distribuição de tensões em 
eixo circular de seção tubular.
9Torção – Barras de seção circular
A tensão de cisalhamento em um eixo de seção circular tubular é dada 
pela equação:
Anteriormente, você viu que a somatória dos momentos provocados pelas 
forças de cisalhamento aplicadas na seção transversal do eixo deve ser igual a 
intensidade do Torque T aplicado no eixo de seção circular.
Substituindo τ pela equação , temos:
E como,
A equação novamente será,
A tensão de cisalhamento em um ponto ρ qualquer da seção é dada pela 
equação:
Da estática pode-se obter o momento de inércia polar de um círculo e de 
uma seção tubular:
Resistência dos materiais aplicada10
PROBLEMA RESOLVIDO 1
A Figura 10 apresenta dois eixos circulares com suas dimensões e carregamentos, 
determine: 
a) Para o eixo circular maciço determine a máxima tensão de cisalhamento e a de-
formação de cisalhamento máxima. Considere o ângulo de torção ϕ igual a 5º e o 
comprimento L do eixo igual a 500 mm.
b) Para o eixo circular tubular, determine o diâmetro interno para que a tensão máxima 
de cisalhamento seja idêntica à tensão de cisalhamento do eixo de seção maciça.
a. 
11Torção – Barras de seção circular
b. 
Ângulo de torção 
Vamos analisar um eixo circular submetido a momento torçor T de compri-
mento L, raio c constante ao longo do comprimento, você deve considerar 
o eixo engastado em uma extremidade e livre na outra extremidade, como 
demonstrado na Figura 11.
Resistência dos materiais aplicada12
Figura 11.
Conforme você viu antes, o ângulo de torção ϕ está relacionado com a 
deformação de cisalhamento máxima γmáx, como demonstrado na equação:
Uma vez que no regime elástico as tensões não ultrapassam a tensão de esco-
amento, você pode aplicar a Lei de Hooke conforme:
Igualando as equações da deformação máxima de cisalhamento γ máx te-
remos:
O ângulo de torção ϕ é expresso em radianos.
A equação do ângulo de torção ϕ demonstra a relação com o momento 
torçor T e o comprimento L do eixo e também possibilita determinar o mó-
dulo de elasticidade transversal G do material.
13Torção – Barras de seção circular
Torção inelástica
Até agora, as análises realizadas se referem somente aos elementos com-
postos por materiais elásticos lineares, dentro do regime elástico sem atingir 
o limite de proporcionalidade. Quando a intensidade dos carregamentos de 
torção T aplicados a um eixo circular são altos, a ponto de ultrapassar o limite 
da tensão de escoamento, o material não mais se comporta de maneira elás-
tica e passa a se comportar de maneira plástica. Dessa forma, a análise que 
faremos adiante para determinar a tensão de cisalhamento, o ângulo de torção 
será análise elástica.
Você deve entender que o aumento da intensidade do torque T provoca a 
redução do raio do núcleo elástico e inicia o escoamento do material, a partir 
desse ponto, o material do eixo se encontra no regime plástico, onde as defor-
mações serão permanentes e a distribuição de tensão de cisalhamento é cons-
tante. O torque plástico possui a maior intensidade de força que o material 
poderá resistir e que podemos determinar através da equação:
Considerando 
Resistência dos materiais aplicada14
1. Determine o Torque máximo que um 
eixo em aço, cuja tensão de cisalha-
mento é τ máx = 84 MPa. Considere 
o diâmetro do eixo igual a 50,1 mm:
a) 216 kN.cm.
b) 320 kN.cm.
c) 175 kN.cm.
d) 0,84 kN.m.
e) 197 kN.cm.
2. Determine a máxima tensão de cisa-
lhamento provocada por um torque 
T de 10 kN.m em um eixo maciço 
de aço, com diâmetro de 76,2 mm 
e para um eixo tubular em alumínio 
com diâmetro externo de 76,2 mm e 
diâmetro interno de 32 mm. O com-
primento do eixo de aço é de 1,53 m 
e o comprimento do eixo tubular é 
de 1,95 m.
a) 156,25 MPa e 32,56 MPa.
b) 55,11 MPa e 76,10 MPa.
c) 98,25 MPa e 132,40 MPa.
d) 115,11 MPa e 7,43 MPa.
e) 15,20 MPa e 215,35 MPa.
3. Qual o valor do momento torçor 
necessário para produzir um ângulo 
de torção igual a 3º em um eixo de 
aço maciço. Módulo de elasticidade 
do aço G = 80 Gpa. O diâmetro 
externo do eixo é de 80 mm e o 
comprimento do eixo é de 1,25 m. 
Determine também a deformação 
máxima de cisalhamento.
a) 34 kN.m e 1,67 x 10 - 3 m
b) 22 kN.m e 2,33 x 10 - 5 m.
c) 18 kN.m e 1,87 x 10 - 4 m.
d) 27 kN.m e 2,01 x 10 - 3 m.
e) 13,47 kN.m e 1,67 x 10 - 5 m.
4. Calcule o valor do ângulo de torção 
(em graus) para o eixo de seção 
tubular provocado por uma tensão 
de 54,7 MPa na face externa do eixo. 
Adotar o diâmetro externo de 82 
mm e o diâmetro interno de 60 mm, 
módulo de elasticidade G = 80 GPa e 
comprimento total do eixo de 2,10 m.
a) 4,12º
b) 3,74º
c) 3,59º
d) 2,98º
e) 3,22º
5. Calcule o diâmetro necessário para 
um eixo de seção circular em aço 
com comprimento total de 4,5 m, 
para resistir a uma tensão de cisa-
lhamento de 150 MPa e um ângulo 
de torção de 45º. Adotar módulo de 
elasticidade G = 80 GPa. Determine a 
deformação provocada pelo ângulo 
de torção.
a) 10,74 mm e 1,925 x 10 - 3 mm.
b) 21,57 mm e 1,857 x 10 - 3 mm.
c) 21,48 mm e 1,875 x 10 - 3 mm.
d) 10,74 mm e 1,875 x 10 - 3 mm.
e) 21,48 mm e 1,875 mm.
15Torção – Barras de seção circular
BEER, F. P.; JOHNSTON Jr., E. R.; DEWOLF, J. T.; MAZUREK, D. F. Mecânica dos materiais. 7. ed. 
Porto Alegre : AMGH, 2015.
Leituras recomendadas
HIBBELER, R. C. Resistência dos materiais. 7. ed. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2010.
TIMOSHENKO, S. P.; GERE, J. E. Mecânica dos sólidos. Rio de Janeiro: LTC, 1983. v. 1
Referência
Resistência dos materiais aplicada16
DICA DO PROFESSOR
O vídeo a seguir aborda as principais etapas para determinar a distribuição de tensões e as 
deformações em uma barra de seção circular. Assista!
Conteúdo interativo disponível na plataforma de ensino!
 
EXERCÍCIOS
1) Determinar o torque máximo de um eixo em aço, cuja tensão de cisalhamento é Tmáx 
= 84 MPa. Considere o diâmetro do eixo igual a 50,1 mm.
A) 207 kN.cm
B) 320 kN.cm
C) 175 kN.cm
D) 0,84 kN.m
E) 197 kN.cm
2) Determine a máxima tensão de cisalhamento provocada por um torque T de 10 kN.m 
em um eixo maciço de aço, com diâmetro de 76,2 mm e para um eixo tubular em 
alumínio com diâmetro externo de 76,2 mm e diâmetro interno de 32 mm. O 
comprimento do eixo de aço é de 1,53 m, e o comprimento do eixo tubular é de 1,95 
m. 
A) 156,25 MPa e 32,56 MPa.
B) 55,11 MPa e 76,10 MPa.
C) 98,25 MPa e 132,40 MPa.
D) 115,11 MPa e 118,80 MPa
E) 15,20 MPa e 215,35 MPa.
3) Determine o valor do momento torsor necessário para produzir um ângulo de torção 
igual a 3o em um eixo de aço maciço. 
Módulo de elasticidade do aço G = 80 Gpa. 
O diâmetro externo do eixo é de 80 mm, e o comprimento do eixo é de 1,25 m. 
Determine também a deformação máxima de cisalhamento. 
A) 34 kN.m e 1,67 x 10 -3 m.
B) 22 kN.m e 2,33 x 10 -5 m.
C) 18 kN.m e 1,87 x 10 -4 m.
D) 27 kN.m e 2,01 x 10 -3 m.
E) 13,47 kN.m e 1,67 x 10 -5 m.
4) Calcule o valor do ângulo de torção (em graus) para o eixo de seção tubular 
provocado por uma tensão de 54,7 MPa na face externa do eixo. 
Adotar o diâmetro externo de 82 mm e o diâmetro interno de 60 mm. Módulo de 
elasticidade G=80 GPa e comprimento total do eixo de 2,10 m. 
A) 4,12o
B) 2,01o
C) 3,59o
D) 2.98o
E) 3,22o5) Calcule o diâmetro necessário para um eixo de seção circular em aço com 
comprimento total de 4,5 m para resistir a uma tensão de cisalhamento de 150 MPa e 
um ângulo de torção de 45o. 
Adotar módulo de elasticidade G=80 GPa. 
Determine a deformação provocada pelo ângulo de torção.
A) 21,57mm e 1,925x10-3mm 
B) 10,74mm e 1,925x10-5mm
C) 10,74mm e 1,875x10-3mm.
D) 21,57mm e 1,875x10-3mm
E) 21,48mm e 1,925x10-5mm
NA PRÁTICA
A Vale Aço Ltda. contratou a empresa Steel Usinagem Ltda, para fornecimento de eixos para 
carros de transferência de sua unidade de lingotamento contínuo de perfis laminados. Com as 
informações fornecidas pela Vale Aço através do projeto do carro de transferência, a Steel 
Usinagem executou o projeto dos eixos das rodas do carro.
Tendo em vista o carregamento elevado do carro e do contêiner de transferência de metal 
líquido e também a utilização deste equipamento, foi projetado o eixo adequado para esta 
finalidade, definindo o material e as dimensões do eixo.
SAIBA MAIS
Para ampliar o seu conhecimento a respeito desse assunto, veja abaixo as sugestões do 
professor:
BEER, Ferdinand et. al. Estática e Mecânica dos Materiais. Porto Aelgre: AMGH, 2013
Experimento de Torção
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