Estrutura Cristalina de Sólidos

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ENGA47 – TECNOLOGIA DOS MATERIAIS… 
Estrutura de Sólidos Cristalinos 
Prof. Dr. Vitaly F. Rodríguez-Esquerre 
 
O que será estudado... 
• Como os átomos se arranjam em estruturas sólidas? 
• Como a densidade do material depende da sua 
 estrutura? 
Estrutura cristalina dos sólidos 
 
 
Os materiais sólidos podem ser classificados de acordo com 
a regularidade com a qual átomos e íons se arranjam em 
relação uns aos outros. 
 
Um material cristalino é aquele nos quais os átomos se 
repetem num arranjo periódico em largas distâncias 
atômicas. Todos os metais, muitos materiais cerâmicos e 
certos polímeros formam estruturas cristalinas sob 
condições normais de solidificação. 
 
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As propriedades dos materials estão diretamente 
relacionadas às suas estruturas cristalinas. 
 
Por exemplo, cerâmicos e polímeros não cristalinos são em 
geral opticamente transparentes, ou seja permitem a 
passagem da luz, esses mesmos materiais na forma 
cristalina tendem a ser opacos, ou no melhor dos casos, 
translúcidos 
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Os materiais que não possuem esta ordenação atômica a largas 
distâncias são chamados amorfos. Os vidros, por exemplo, não 
são cristalinos. A figura da esquerda apresenta um dos vidros 
mais simples (B2O3), no qual cada pequeno átomo de boro se 
aloja entre três átomos maiores de oxigênio. 
 
 
 
 
 
 
 
Como o boro é trivalente e o oxigênio bivalente, o balanceamento 
elétrico é mantido se cada átomo de oxigênio estiver entre dois 
átomos de boro. Como resultado, desenvolve-se uma 
estrutura contínua de átomos fortemente ligados. 
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• Não denso, empacotamento aleatório 
• Denso, empacotamento ordenado 
Estruturas densas e com empacotamento ordenado tem 
Menores energias 
Energia e Empacotamento 
Energy 
r 
typical neighbor 
 bond length 
typical neighbor 
 bond energy 
Energy 
r 
typical neighbor 
 bond length 
typical neighbor 
 bond energy 
• átomos empacotados em arranjos 3D 
 periódicos 
Materiais Cristalinos... 
-metais 
-muitos cerâmicos 
-alguns polímeros 
• átomos não estão empacotados e 
não tem arranjo periodico 
Noncrystalline materials... 
- Estruturas complexas 
- Esfriamento rápido 
SiO2 cristalino 
SiO2 não cristalino 
"Amorfo" = Não Cristalino 
Materiais e Empacotamento 
Si Oxygen 
• típico de: 
• acontece: 
Sistemas Cristalinos 
 7 sistemas cristalinos 
 
14 arranjos de cristais 
Célula unitária: menor volume repetitivo que 
contem o padrão completo do arranjo de um 
cristal. 
a, b, e c são as constantes periódicas 
A maioria dos materiais de interesse para o engenheiro 
tem arranjos atômicos que se repetem nas três 
dimensões de uma unidade básica. Tais estruturas são 
denominadas cristais. 
 
Existem 7 tipos principais de cristais: cúbico, tetragonal, 
ortorrômbico, monoclínico, triclínico, hexagonal e 
romboédrico. 
Existem 14 redes de Bravais 
(c) 2003 Brooks/Cole Publishing / Thomson Learning™ 
14 Redes de Bravais 
14 redes de 
Bravais agrupadas 
em 7 sistemas 
cristalinos 
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ENGA47 – TECNOLOGIA DOS MATERIAIS… 
 Estruturas Metálicas Cristalinas 
• Como pode-se arranjar átomos metálicos 
para minimizar o espaço vazío? 
 2-dimensões 
vs. 
Agora arranje estas camadas 2-D para fazer estruturas 
cristalinas 3-D 
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• São densamente empacotadas. 
• Razões: 
- Tipicamente, apenas um elemento está presente, todos os 
 raios são iguais. 
- Ligações metálicas não são direcionais. 
- Distância dos vizinhos é pequena de forma a diminuir as 
 energias de ligação. 
- Nuvem de eletrons blinda os núcleos dos outros. 
• Tem as estruturas cristalinas mais simples. 
A seguir estudaremos essas estruturas 
Estruturas Cristalinas Metálicas 
Estruturas Cristalinas Metálicas 
• Muito rara devido à baixa densidade de empacotamento 
apenas o Po apresenta esta estrutura. 
• Coordenação # = 6 
 (# vizinhos próximos) 
Estrutura Cúbica Simples (CS) 
• APF para uma estrutura cúbica simples = 0.52 
APF = 
a 3 
4 
3 
p (0.5a) 3 1 
átomos 
Célula unit 
átomo 
volume 
Célula unit 
volume 
Fator de Empacotamento Atômico (APF) 
APF = 
Volume dos átomos na célula unitária 
Volume da cel unit 
*considerando esferas sólidas 
. 
close-packed directions 
a 
R=0.5a 
contem 8 x 1/8 = 
 1 atom/cél unitl 
Fator de Empacotamento Atômico : CCC 
a 
APF = 
4 
3 
p ( 3 a/4 ) 3 2 
átomos 
Cel. unit átomo 
volume 
a 3 
Cel unit 
volume 
compr = 4R = 
Close-packed directions: 
3 a 
• FEA para cúbica de corpo centrado = 0.68 
a 
R 
a 2 
a 3 
• Coordenação # = 8 
Adapted from Fig. 3.2, 
 Callister 7e. 
• Átomos tem contato ao longo da diagonal 
--Todos os átomos são idênticos o átomo central está com cor dferente so para 
Efeitos de visualização 
Estrutura Cúbica de Corpo Centrado (CCC) 
ex: Cr, W, Fe (), Molibdênio 
2 átomos/cel unit: 1 centro + 8 quinas x 1/8 
• Coordenação # = 12 
• Átomos tem contato ao longo da diagonal da face 
-- Todos os átomos são idênticos o átomo central está com cor dferente so para 
Efeitos de visualização. 
Estrutura Cúbica de Face Centrada (CFC) 
ex: Al, Cu, Au, Pb, Ni, Pt, Ag 
4 átomso/ cel unit: 6 face x 1/2 + 8 quinas x 1/8 
• APF para CFC = 0.74 
Fator de Empacotamento Atômico: CFC 
maximum achievable APF 
APF = 
4 
3 
p ( 2 a/4 ) 3 4 
átomos 
Cel unit átomo 
volume 
a 3 
Cel unit 
volume 
Close-packed directions: 
length = 4R = 2 a 
Cel unit contem 
 6 x 1/2 + 8 x 1/8 
 = 4 átomos/ cel unit 
a 
2 a 
Densidade Teórica, r 
onde n = número de átomos/ cel unit 
 A = peso atômico 
 VC = Volume da cel unit = a
3 para cúbico 
 NA = número de Avogadro 
 = 6.023 x 1023 átomos/mol 
Densidade = r = 
VC NA 
n A 
r = 
Volume total da cel. Unit. 
Masa dos átomos na cel. Unit. 
 
• Ex: Cr (CCC) 
 A = 52.00 g/mol 
 R = 0.125 nm 
 n = 2 
rteórica
 
a = 4R/ 3 = 0.2887 nm 
ractual 
a 
R 
r = 
a 3 
52.00 2 
átomos 
Cel unit 
mol 
g 
Cel unit 
volume átomos 
mol 
6.023 x 1023 
Densidade Teórica, r 
= 7.18 g/cm3 
= 7.19 g/cm3 
ALOTROPIA 
É a característica de um elemento poder existir em mais 
de uma estrutura cristalina dependendo da temperatura e 
da pressão. 
911oC, Fe é CCC 913oC, Fe é CFC 
Ferro 
To study how iron behaves at elevated temperatures, we 
would like to design an instrument that can detect (with a 
1% accuracy) the change in volume of a 1-cm3 iron cube 
when the iron is heated through its polymorphic 
transformation temperature. At 911oC, iron is BCC, with a 
lattice parameter of 0.2863 nm. At 913oC, iron is FCC, with a 
lattice parameter of 0.3591 nm. Determine the accuracy 
required of the measuring instrument. 
Example 3.6 SOLUTION 
The volume of a unit cell of BCC iron before transforming is: 
VBCC = = (0.2863 nm)
3 = 0.023467nm3 
3
0a
Example 3.6 SOLUTION (Continued) 
 
The volume of the unit cell in FCC iron is: 
VFCC = = (0.3591 nm)
3 = 0.046307 nm3 
 
 But this is the volume occupied by four iron 
atoms, as there are four atoms per FCC unit cell. 
Therefore, we must compare two BCC cells (with a 
volume of 2(0.023467) = 0.046934 nm3) with each FCC 
cell. The percent volume change during transformation 
is: 
 
3
0a
%34.1100
0.046934
0.046934) - (0.046307
 change Volume 
 The 1-cm3 cube of iron contracts to 1 - 0.0134 = 
0.9866 cm3 after transforming; therefore, to assure 1% 
accuracy, the instrument must detect a change of: 
ΔV = (0.01)(0.0134) = 0.000134 cm3 
Índices de Miller 
Miller indices – Notação curta para descrever algumas 
direções e planos nos cristais. 
São escritos entre [ ] e os números negativos são 
representados por uma barra sobre eles. 
Coordenadas de alguns pontos na 
célula unitária, o número refere-se a 
distância desde a origem em função 
dos parâmetros do arranjo 
Determine os índices de Miller das direções A, B, e C. 
Determinando os índices de Miller para 
Direções 
(c) 2003 Brooks/Cole Publishing / 
Thomson Learning™ 
Solução 
Direção A 
1. Dois pontos são 1, 0, 0, and 0, 0, 0 
2. 1, 0, 0, -0, 0, 0 = 1, 0, 0 
3. [100] 
Direção B 
1. Dois pontos são 1, 1, 1 and 0, 0, 0 
2. 1, 1, 1, -0, 0, 0 = 1, 1, 1 
3. [111] 
Direção C 
1. Dois pontos são 0, 0, 1 and 1/2, 1, 0 
2. 0, 0, 1 -1/2, 1, 0 = -1/2, -1, 1 
Reduzindo as frações 
3. 2(-1/2, -1, 1) = -1, -2, 2 
2]21[ .4
(c) 2003 Brooks/Cole 
Publishing / Thomson 
Learning™ 
Determine os índices de Miller dos planos A, B, e C 
Determinando Índices de Miller de Planos 
Example 3.8 SOLUTION 
Plano A 
1. x = 1, y = 1, z = 1 
2.1/x = 1, 1/y = 1,1 /z = 1 
3. Sem frações 
4. (111) 
Plane B 
1. O plano nunca cruza o eixo z, x = 1, y = 2, e 
z = 
2.1/x = 1, 1/y =1/2, 1/z = 0 
3. Fraçoes: 
1/x = 2, 1/y = 1, 1/z = 0 
4. (210) 
Plane C 
1. We must move the origin, since the plane passes through 
0, 0, 0. Let’s move the origin one lattice parameter in the y-
direction. Then, x = , y = -1, and z = 
2.1/x = 0, 1/y = 1, 1/z = 0 
3. Sem frações. 
)010( .4


Desenhando direções e planos 
Draw (a) the direction and (b) the plane in a 
cubic unit cell. 
1]2[1 10]2[
 Densidade Linear e Densidade Planar 
Calculate the planar density and planar packing fraction 
for the (010) and (020) planes in simple cubic polonium, 
which has a lattice parameter of 0.334 nm. 
Calculating the Planar Density and Packing 
Fraction 
(c) 2003 Brooks/Cole Publishing / 
Thomson Learning™ 
Figure 3.23 The 
planer densities of 
the (010) and 
(020) planes in SC 
unit cells are not 
identical (for 
Example 3.9). 
Example 3.9 SOLUTION 
 
The total atoms on each face is one. The planar density 
is: 
 
2142
2
atoms/cm 1096.8atoms/nm 96.8
)334.0(
faceper atom 1
face of area
faceper atom
 (010)density Planar 


The planar packing fraction is given by: 
79.0
)2(
)(
)( atom) 1(
face of area
faceper atoms of area
 (010)fraction Packing
2
2
2
0
2


r
r
r
a
p
p
However, no atoms are centered on the (020) planes. 
Therefore, the planar density and the planar packing 
fraction are both zero. The (010) and (020) planes are 
not equivalent! 
We wish to produce a radiation-absorbing wall composed 
of 10,000 lead balls, each 3 cm in diameter, in a face-
centered cubic arrangement. We decide that improved 
absorption will occur if we fill interstitial sites between the 
3-cm balls with smaller balls. Design the size of the 
smaller lead balls and determine how many are needed. 
Design of a Radiation-Absorbing Wall 
(c) 2003 Brooks/Cole Publishing / 
Thomson Learning™ 
Figure 3.30 Calculation of 
an octahedral interstitial 
site (for Example 3.13). 
Example 3.13 SOLUTION 
 
First, we can calculate the diameter of the octahedral 
sites located between the 3-cm diameter balls. Figure 
3.30 shows the arrangement of the balls on a plane 
containing an octahedral site. 
 
Length AB = 2R + 2r = 2R 
r = R – R = ( - 1)R 
r/R = 0.414 
 
This is consistent with Table 3-6. Since r = R = 0.414, the 
radius of the small lead balls is 
 
r = 0.414 * R = (0.414)(3 cm/2) = 0.621 cm. 
 
From Example 3-12, we find that there are four 
octahedral sites in the FCC arrangement, which also has 
four lattice points. Therefore, we need the same number 
of small lead balls as large lead balls, or 10,000 small 
balls. 
2
2 2
Determining the Density of BCC Iron 
Determine the density of BCC iron, which has a lattice 
parameter of 0.2866 nm. 
Example 3.4 SOLUTION 
Atoms/cell = 2, a0 = 0.2866 nm = 2.866  10
-8 cm 
Atomic mass = 55.847 g/mol 
Volume of unit cell = = (2.866  10-8 cm)3 = 23.54  10-24 
cm3/cell 
Avogadro’s number NA = 6.02  10
23 atoms/mol 
3
0a
3
2324
/882.7
)1002.6)(1054.23(
)847.55)(2(
number) sadro'cell)(Avogunit of (volume
iron) of mass )(atomicatoms/cell of(number 
Density 
cmg




r
r
Determine the packing factor for diamond cubic 
silicon. 
Example 3.17 
Determining the Packing Factor for 
Diamond Cubic Silicon 
(c) 2
0
0
3
 B
ro
o
k
s/C
o
le P
u
b
lish
in
g
 / 
T
h
o
m
so
n
 L
earn
in
g
 
Figure 3.39 
Determining the 
relationship between 
lattice parameter and 
atomic radius in a 
diamond cubic cell (for 
Example 3.17). 
Example 3.17 SOLUTION 
 
We find that atoms touch along the body diagonal of 
the cell (Figure 3.39). Although atoms are not present 
at all locations along the body diagonal, there are voids 
that have the same diameter as atoms. Consequently: 
34.0
)3/8(
)
3
4
)(8(
)
3
4
)(atoms/cell (8
 factor Packing
83
3
3
3
0
3
0




r
r
a
r
ra
p
p
Compared to close packed structures this is a relatively open 
structure. 
Example 3.18 
Calculating the Radius, Density, and 
Atomic Mass of Silicon 
The lattice constant of Si is 5.43 Å . What will be the 
radius of a silicon atom? Calculate the theoretical 
density of silicon. The atomic mass of Si is 28.1 
gm/mol. 
Example 3.18 SOLUTION 
For the diamond cubic structure, 
Therefore, substituting a = 5.43 Å, 
the radius of silicon atom = 1.176 Å . 
 
There are eight Si atoms per unit cell. 
ra 83 0 
3
38
23
/33.2
cm) 1043.5(
10023.6/)1.28(8
volume
mass
 densitycmg




(c) 2
0
0
3
 B
ro
o
k
s/C
o
le P
u
b
lish
in
g
 / T
h
o
m
so
n
 L
earn
in
g
 
Figure 3.48 Directions in a cubic unit cell for Problem 3.51 
(c) 2
0
0
3
 B
ro
o
k
s/C
o
le P
u
b
lish
in
g
 / T
h
o
m
so
n
 L
earn
in
g
 Figure 3.49 
Directions in a cubic 
unit cell for Problem 
3.52. 
(c) 2
0
0
3
 B
ro
o
k
s/C
o
le P
u
b
lish
in
g
 / T
h
o
m
so
n
 L
earn
in
g
 
Figure 3.50 Planes in a cubic unit cell for Problem 3.53. 
(c) 2
0
0
3
 B
ro
o
k
s/C
o
le P
u
b
lish
in
g
 / T
h
o
m
so
n
 L
earn
in
g
 
Figure 3.51 Planes in a cubic unit cell for Problem 3.54. 
Exemplo: 
Figure 3.52 
Directions in a 
hexagonal lattice for 
Problem 3.55. 
Estrutura Hexagonal com a sua respetiva célula unitária 
Planos e Direções Cristalográficas 
Miller–Bravais 
Planos e Direções Cristalográficas 
Determine the Miller-Bravais indices for planes A and B 
and directions C and D in Figure 3.25. 
Determining the Miller-Bravais Indices for 
Planes and Directions 
(c) 2003 Brooks/Cole Publishing / 
Thomson Learning™ 
Example 3.11 SOLUTION 
 
Plane A 
1. a1 = a2 = a3 = , c = 1 
2. 1/a1 = 1/a2 = 1/a3 = 0, 1/c = 1 
3. No fractions to clear 
4. (0001) 
 
Plane B 
1. a1 = 1, a2 = 1, a3 = -1/2, c = 1 
2. 1/a1 = 1, 1/a2 = 1, 1/a3 = -2, 1/c = 1 
3. No fractions to clear 
4. 
 
Direction C 
1. Two points are 0, 0, 1 and 1, 0, 0. 
2. 0, 0, 1, -1, 0, 0 = 1, 0, 1 
3. No fractions to clear or integers to reduce. 
4. 

)1211(
113]2[or ]011[
Example 3.11 SOLUTION (Continued) 
 
Direction D 
1. Two points are 0, 1, 0 and 1, 0, 0. 
2. 0, 1, 0, -1, 0, 0 = -1, 1, 0 
3. No fractions to clear or integers to reduce. 
4. 
100]1[or ]101[
(c) 2
0
0
3
 B
ro
o
k
s/C
o
le P
u
b
lish
in
g
 / T
h
o
m
so
n
 L
earn
in
g
 
(c) 2
0
0
3
 B
ro
o
k
s/C
o
le P
u
b
lish
in
g
 / T
h
o
m
so
n
 L
earn
in
g
 
(c) 2
0
0
3
 B
ro
o
k
s/C
o
le P
u
b
lish
in
g
 / T
h
o
m
so
n
 L
earn
in
g
 
(c) 2
0
0
3
 B
ro
o
k
s/C
o
le P
u
b
lish
in
g
 / T
h
o
m
so
n
 L
earn
in
g
 
Figure 3.55 Planes in a 
hexagonal lattice for 
Problem 3.58.