Notas_Aula_de_Mecanica_Quantica_I_Full_Prof.Salviano
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NOTAS DE AULAS
MECÂNICA QUÂNTICA
Prof.: Dr. Salviano A. Leão
Goiânia 20 de outubro de 2014
Sumário
1 Equação de Schrödinger e as ideias básicas da mecânica quântica 1
1.1 Ondas eletromagnéticas e os fótons: revisão histórica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2 Natureza corpuscular dos fótons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.3 Dualidade onda-partícula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.4 O princípio da decomposição espectral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.5 Partículas materiais e as ondas de matéria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.6 Exemplo: elétron livre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.7 Função de Onda - Equação de Schrödinger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.8 O princípio da decomposição espectral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.8.1 Comentários . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.8.2 Estados clássicos versus quânticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.9 Descrição quântica de uma partícula: Pacotes de Onda . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.10 Princípio da superposição . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.10.1 Condições iniciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.10.2 Condição inicial: posição bem definida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.10.3 Condição inicial: momento bem definido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.11 A forma do pacote de onda em um dado instante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.12 Relação entre as larguras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.13 Relação de Incerteza de Heisenberg . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.14 Teorema do espectral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.15 Incerteza de Heisenberg . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.15.1 Comentário . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.15.2 Heisenberg e o significado do princípio da incerteza . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.15.3 Exemplo: Microscópio de Heisenberg . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.15.4 Incertezas da posição e momento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.15.5 Exemplo: Reflexão da luz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.15.6 Relação de incerteza para o tempo e a energia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1.15.7 Exemplo: Tempo de vida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1.16 Evolução temporal de um pacote de onda livre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
1.16.1 Caso das ondas eletromagnéticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
i
Sumário
1.16.2 Propagação em um meio dispersivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
1.16.3 Superposição de três ondas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
1.17 Evolução temporal de um pacote de onda livre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
1.17.1 Comentários . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
1.18 Evolução temporal de uma gaussiana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
1.18.1 Propriedades da Gaussiana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
1.18.2 Cálculo do relação de incerteza da gaussiana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
1.18.3 Comentário . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
1.19 Evolução temporal do pacote de ondas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
1.19.1 Nota Matemática . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
1.19.2 Densidade de Probabilidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
1.19.3 Velocidade do pacote de ondas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
1.20 Evolução do pacote . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2 Potenciais escalares unidimensionais independentes do tempo 34
2.1 Operador Hamiltoniana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.1.1 Superposição de Estados Estacionários . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.1.2 Corrente ou Fluxo de Probabilidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
2.2 Regiões de potencial constante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
2.2.1 O comportamento de \u3c8(x) na descontinuidade do potencial . . . . . . . . . . . . 37
2.2.2 Procedimento para obter as funções de onda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
2.3 Solução de alguns casos simples: Poços Quânticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
2.3.1 Poço quântico de potencial infinito assimétrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2.3.2 Ortonormalização . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
2.3.3 Base Completa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
2.3.4 Poço quântico de potencial infinito simétrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
2.3.5 Poços quântico finitos: modelo físico real . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
2.3.6 Poço quântico finito simétrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
2.3.7 O potencial degrau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
2.3.8 Coeficiente de Transmissão e Reflexão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
2.4 Tunelamento através de uma barreira . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
2.4.1 Condições Iniciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
2.5 Dupla Barreira . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
2.6 Poço fixo, barreira variável . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
3 Ferramentas Matemáticas da Mecânica Quântica 69
3.1 Espaço Vetorial Linear: Uma Revisão Breve . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
3.1.1 A Estrutura do Espaço Vetorial Linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
3.1.2 Axiomas Para Adição . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
3.1.3 Axiomas Para a Multiplicação por um Escalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
Prof. Salviano A. Leão ii
Sumário
3.2 Espaços Com Produto Interno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
3.2.1 Vetores e o Produto Escalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
3.2.2 Generalização do Produto Interno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
3.2.3 Anti-linearidade do produto interno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
3.2.4 Produto Interno em Termos das Componentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
3.2.5 Teorema de Gram-Schmidt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
3.2.6 Processo de Gram-Schmidt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
3.3 Exemplo: Polarização de fótons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
3.3.1 Polarização Linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
3.4 Notação de Dirac: Caso Geral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
3.5 Função de Onda de Uma Partícula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
3.5.1 Espaço F . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
3.6 Estrutura do Espaço F das Funções de Onda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
3.6.1