Notas_Aula_de_Mecanica_Quantica_I_Full_Prof.Salviano

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NOTAS DE AULAS
MECÂNICA QUÂNTICA
Prof.: Dr. Salviano A. Leão
Goiânia 20 de outubro de 2014
Sumário
1 Equação de Schrödinger e as ideias básicas da mecânica quântica 1
1.1 Ondas eletromagnéticas e os fótons: revisão histórica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2 Natureza corpuscular dos fótons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.3 Dualidade onda-partícula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.4 O princípio da decomposição espectral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.5 Partículas materiais e as ondas de matéria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.6 Exemplo: elétron livre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.7 Função de Onda - Equação de Schrödinger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.8 O princípio da decomposição espectral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.8.1 Comentários . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.8.2 Estados clássicos versus quânticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.9 Descrição quântica de uma partícula: Pacotes de Onda . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.10 Princípio da superposição . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.10.1 Condições iniciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.10.2 Condição inicial: posição bem definida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.10.3 Condição inicial: momento bem definido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.11 A forma do pacote de onda em um dado instante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.12 Relação entre as larguras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.13 Relação de Incerteza de Heisenberg . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.14 Teorema do espectral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.15 Incerteza de Heisenberg . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.15.1 Comentário . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.15.2 Heisenberg e o significado do princípio da incerteza . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.15.3 Exemplo: Microscópio de Heisenberg . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.15.4 Incertezas da posição e momento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.15.5 Exemplo: Reflexão da luz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.15.6 Relação de incerteza para o tempo e a energia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1.15.7 Exemplo: Tempo de vida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1.16 Evolução temporal de um pacote de onda livre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
1.16.1 Caso das ondas eletromagnéticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
i
Sumário
1.16.2 Propagação em um meio dispersivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
1.16.3 Superposição de três ondas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
1.17 Evolução temporal de um pacote de onda livre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
1.17.1 Comentários . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
1.18 Evolução temporal de uma gaussiana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
1.18.1 Propriedades da Gaussiana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
1.18.2 Cálculo do relação de incerteza da gaussiana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
1.18.3 Comentário . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
1.19 Evolução temporal do pacote de ondas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
1.19.1 Nota Matemática . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
1.19.2 Densidade de Probabilidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
1.19.3 Velocidade do pacote de ondas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
1.20 Evolução do pacote . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2 Potenciais escalares unidimensionais independentes do tempo 34
2.1 Operador Hamiltoniana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.1.1 Superposição de Estados Estacionários . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.1.2 Corrente ou Fluxo de Probabilidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
2.2 Regiões de potencial constante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
2.2.1 O comportamento de ψ(x) na descontinuidade do potencial . . . . . . . . . . . . 37
2.2.2 Procedimento para obter as funções de onda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
2.3 Solução de alguns casos simples: Poços Quânticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
2.3.1 Poço quântico de potencial infinito assimétrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2.3.2 Ortonormalização . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
2.3.3 Base Completa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
2.3.4 Poço quântico de potencial infinito simétrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
2.3.5 Poços quântico finitos: modelo físico real . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
2.3.6 Poço quântico finito simétrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
2.3.7 O potencial degrau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
2.3.8 Coeficiente de Transmissão e Reflexão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
2.4 Tunelamento através de uma barreira . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
2.4.1 Condições Iniciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
2.5 Dupla Barreira . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
2.6 Poço fixo, barreira variável . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
3 Ferramentas Matemáticas da Mecânica Quântica 69
3.1 Espaço Vetorial Linear: Uma Revisão Breve . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
3.1.1 A Estrutura do Espaço Vetorial Linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
3.1.2 Axiomas Para Adição . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
3.1.3 Axiomas Para a Multiplicação por um Escalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
Prof. Salviano A. Leão ii
Sumário
3.2 Espaços Com Produto Interno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
3.2.1 Vetores e o Produto Escalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
3.2.2 Generalização do Produto Interno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
3.2.3 Anti-linearidade do produto interno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
3.2.4 Produto Interno em Termos das Componentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
3.2.5 Teorema de Gram-Schmidt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
3.2.6 Processo de Gram-Schmidt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
3.3 Exemplo: Polarização de fótons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
3.3.1 Polarização Linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
3.4 Notação de Dirac: Caso Geral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
3.5 Função de Onda de Uma Partícula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
3.5.1 Espaço F . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
3.6 Estrutura do Espaço F das Funções de Onda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
3.6.1Produto Escalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
3.6.2 Propriedades do Produto Escalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
3.6.3 Norma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
3.6.4 Processo de Ortogonalização de Gram-Schmidt . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
3.6.5 Desigualdade de Schwarz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
3.6.6 Operadores Lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
3.6.7 Produto de Operadores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
3.7 Bases Ortonormais Discretas em F : {ui(r)} . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
3.7.1 Componentes de Uma Função de Onda na Base {ui(r)} . . . . . . . . . . . . . . 84
3.7.2 Produto Escalar em Termo das Componentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
3.7.3 Relação de Completeza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
3.7.4 Generalização do Processo de Ortogonalização de Gram-Schmidt . . . . . . . . 85
3.8 Introdução as “Bases” Não Pertencentes a F . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
3.8.1 Construção de uma base {vp(x)} . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
3.8.2 Generalização para o caso 3D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
3.8.3 Funções Delta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
3.8.4 Comentários . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
3.8.5 Generalização: Bases Contínuas Ortonormais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
3.8.6 Comentários . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
3.8.7 Componentes da Função de Onda ψ(r) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
3.8.8 Produto Escalar e Norma em Termos das Componentes . . . . . . . . . . . . . . 90
3.9 Espaço de Estado e a Notação de Dirac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
3.9.1 Analogia com o espaço euclideano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
3.9.2 Espaço de Estados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
3.9.3 Vetores “Ket” e “Bra” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
3.10 Elementos do Espaço Dual E∗ de E: os “Bras” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
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Sumário
3.10.1 A notação bra para os vetores de E∗ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
3.10.2 A correspondência entre os bras e os kets é anti-linear . . . . . . . . . . . . . . 94
3.11 Notação de Dirac para o produto escalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
3.12 Operadores Lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
3.13 Exemplo: um operador e um projetor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
3.13.1 O projetor Pψ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
3.13.2 Projetor num sub-espaço . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
3.13.3 Ação de um operador linear sobre um bra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
3.14 Conjugação Hermitiana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
3.14.1 Operador adjunto A† do operador linear A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
3.14.2 O funcional do operador adjunto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
3.14.3 Correspondência entre um operador e seu adjunto . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
3.14.4 Conjugação hermitiana na notação de Dirac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
3.14.5 Operadores Hermitianos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
3.15 Representação no espaço de estados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
3.15.1 Relações características de uma base ortonormal . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
3.15.2 Relações de completeza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
3.16 Representação de Kets e Bras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
3.16.1 Representação dos Kets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
3.16.2 Representação dos Bras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
3.17 Representação de operadores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
3.18 Mudança de representação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
3.18.1 Operador normal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
3.19 Autovalores e Autovetores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
3.19.1 Determinação dos autovetores e autovalores de um operador . . . . . . . . . . . 115
3.19.2 Autovalores degenerados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
3.19.3 Autovetores de operadores hermitianos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
3.19.4 Definição de um Observável . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
3.20 Conjunto de observáveis que comutam . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
3.21 Decomposição espectral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
3.22 Dois exemplos de representação e observáveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
3.22.1 As representações {|r〉} e {|p〉} . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
3.22.2 Relações de ortonormalização e completeza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
3.22.3 Componentes de um ket . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
3.22.4 Produto escalar de dois vetores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
3.22.5 Mudança da representação {|r〉} para {|p〉} . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
3.22.6 Os operadores R e P . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
3.22.7 Os operadores R e P são Hermitianos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
3.22.8 Autovetores de R e P . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
Prof. Salviano A. Leão iv
Sumário
3.23 Produto Tensorial do Espaço de Estado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
3.23.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
3.23.2 Propriedades do produto tensorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
3.23.3 Vetores de E . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
3.23.4 Produto escalar ou produto interno em E . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
3.23.5 Produto tensorial de operadores lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
3.23.6 Autovalores e autovetores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
3.23.7 Conjunto completo de observáveis que comutam em E (CCOC) . . . . . . . . . 140
3.24 Propriedades dos Operadores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
3.24.1 Traço . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
3.24.2 Comutadores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
3.24.3 Propriedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
3.24.4 Restrições de um operador a um subespaço . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
3.24.5 Funções de Operadores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
3.24.6 Diferenciação de um operador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
3.24.7 Operadores unitários . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
4 Postulados da Mecânica Quântica 156
4.1 Revisão: Mecânica Clássica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156
4.2 Postulados da Mecânica Quântica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
4.2.1 Descrição do Estado de um Sistema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
4.2.2 Descrição das Quantidades Físicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
4.2.3 Uma medida das quantidades físicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
4.2.4 Princípio da Decomposição Espectral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
4.2.5 Redução do pacote de ondas: colapso da função de onda . . . . . . . . . . . . . 163
4.2.6 Quinto Postulado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
4.2.7 Evolução temporal dos sistemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166
4.3 Regras de Quantização . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166
4.3.1 A regra da simetrização . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
4.4 O valor médio de um observável em um dado estado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
4.4.1 Comentários . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170
4.5 O desvio quadrático médio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
4.5.1 Relação de incerteza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172
4.6 Relação de Incerteza de Heisenberg . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
4.6.1 O pacote de onda com incerteza mínima . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175
4.7 Observáveis compatíveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176
4.8 Implicações físicas da equação de Schrödinger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176
4.8.1 Princípio da superposição . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176
4.8.2 Sistema conservativo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178
Prof. Salviano A. Leão v
Sumário
4.8.3 Conservação da probabilidade e densidade de probabilidade . . . . . . . . . . . 179
4.8.4 Quem é o operador J? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181
4.9 Evolução temporal do valor médio de um observável . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181
4.9.1 Comentários . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182
4.10 Observáveis R e P – Teorema de Ehrenfest . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182
4.10.1 Teorema de Ehrenfest: Limite clássico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183
4.10.2 Caso quase-clássico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184
4.11 Sistemas conservativos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184
4.11.1 Solução da equação de Schrödinger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184
4.11.2 Estados estacionários . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186
4.11.3 Comentários . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186
4.12 Constantes de movimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187
4.12.1 Propriedades das constantes de movimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187
4.13 Frequências de Bohr de um sistema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188
4.14 Relação de incerteza energia-tempo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189
4.15 Representações na mecânica quântica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190
4.15.1 Representação de Schrödinger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191
4.15.2 Representação de Heisenberg . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191
4.15.3 Representação de Interação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193
4.16 O princípio da superposição e as predições físicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195
4.16.1 Amplitudes de probabilidade e efeitos de interferência . . . . . . . . . . . . . . 195
5 O Spin do elétron 204
5.1 O que realmente é o Spin? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204
5.2 Desenvolvimento histórico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206
5.3 Cálculo clássico da deflexão do elétron . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209
5.4 Experimento de Stern-Gerlach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211
5.5 Os Operadores de Spin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215
5.6 Propriedades das matrizes de Pauli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219
5.6.1 Uma base conveniente para uma matriz espacial 2 × 2 . . . . . . . . . . . . . . 220
5.7 Propriedades do operador de spin S . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221
5.7.1 As componentes de S . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222
5.8 Ilustração dos postulados no caso de um spin 1/2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223
5.8.1 Preparação de vários estados de spin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223
5.8.2 Preparação do estado mais geral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225
5.9 Evolução temporal de uma partícula de spin s = 1/2 num campo magnético uniforme . . 226
5.9.1 O Hamiltoniano de interação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226
5.9.2 Precessão de Larmor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227
5.10 Estudo geral dos sistemas de dois níveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228
Prof. Salviano A. Leão vi
Sumário
5.10.1 Descrição do problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229
5.10.2 Consequências do acoplamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229
5.10.3 Aspectos estáticos: efeito do acoplamento sobre os estados estacionários do sistema230
5.10.4 Cálculo dos autovalores e autovetores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231
5.10.5 Autovalores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231
5.10.6 Autovetores Normalizados de H . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232
5.11 Efeitos do acoplamento sobre os estados estacionários do sistema . . . . . . . . . . . . . 233
5.11.1 Análise do acoplamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234
5.11.2 Efeito do acoplamento sobre a posição dos níveis de energia . . . . . . . . . . . 234
5.11.3 Efeito do acoplamento sobre os autoestados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236
5.12 O fenômeno da ressonância quântica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237
5.12.1 Aspecto dinâmico: a oscilação do sistema entre os dois estados não perturbados . 238
Referências . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242
6 Oscilador Harmônico 245
6.1 Introdução: Oscilador Harmônico Simples Clássico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245
6.2 Oscilador Harmônico Quântico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247
6.3 Determinação do Espectro de N e H . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250
6.4 O espectro do operador N . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252
6.4.1 Interpretação dos operadores a e a† . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254
6.5 Degenerescência dos autovalores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255
6.5.1 Estado fundamental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255
6.5.2 Todos os estados são não-degenerados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256
6.5.3 Autoestados do Hamiltoniano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257
6.6 Ortonormalizaçãoe relação de completeza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 259
6.7 Ação dos vários operadores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260
6.8 As funções de onda associadas aos estados estacionários . . . . . . . . . . . . . . . . . 262
6.9 Energia do ponto zero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263
6.9.1 Comentários . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 266
6.10 Evolução temporal dos valores médios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 268
6.11 Oscilador carregado num campo elétrico uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269
6.11.1 Equação de autovalores de H . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269
6.11.2 Susceptibilidade elétrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 270
6.11.3 Interpretação do deslocamento de energia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271
6.11.4 Operador translação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271
6.12 Estados coerentes “quase-clássicos” do oscilador harmônico . . . . . . . . . . . . . . . 274
6.13 Estados quase-clássicos do oscilador harmônico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275
6.13.1 Estado quase-clássicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275
6.13.2 Condição que defini um estado quase-clássico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277
Prof. Salviano A. Leão vii
Sumário
6.13.3 Os estados quase-clássicos são autovetores do operador a . . . . . . . . . . . . . 278
6.14 Propriedades do vetor de estado |α〉 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 278
6.14.1 Possíveis valores de energia do estado |α〉 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 279
6.15 Cálculo de 〈X〉α, 〈P〉α, ∆X e ∆P no estado |α〉 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281
6.16 Operador deslocamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282
6.16.1 Propriedades do operador deslocamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282
6.16.2 Ação do operador de deslocamento sobre um vetor de estado . . . . . . . . . . . 284
6.17 Evolução temporal de um estado quase-clássico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 289
6.17.1 Movimento do pacote de onda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 289
Referências . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 289
7 Momentum Angular 293
7.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293
7.1.1 O símbolo de Levi-Civita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294
7.2 Álgebra de operadores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294
7.2.1 Operadores de levantamento e abaixamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 297
7.3 Autoestados e autovalores do operador momento angular . . . . . . . . . . . . . . . . . 300
7.3.1 Autovalor equações para J2 e Jz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301
7.4 Autovalores de J2 e Jz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302
7.4.1 Primeiro Modo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302
7.4.2 Segundo Modo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 305
7.5 autoestados do operados momento angular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 307
7.5.1 Os estados da base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 307
7.5.2 Relações de recorrência dos vetores de estado em E( j,m) . . . . . . . . . . . . . 309
7.6 Elementos de matriz das componentes do operador momento angular nos autoestados de J2 e Jz310
7.7 O espaço E(k, j) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312
7.8 As matrizes representando o operador momentum angular . . . . . . . . . . . . . . . . 312
7.9 Momentum angular orbital . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312
7.9.1 Determinação de todos os valores (positivos ou zero) de l . . . . . . . . . . . . . 317
7.9.2 Paridade dos harmônicos esféricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 317
7.9.3 Harmônicos esféricos como elementos da matriz de rotação . . . . . . . . . . . 318
7.9.4 Estados estacionários de uma hamiltoniana esfericamente simétrica . . . . . . . 319
8 Momentum Angular e Rotações 320
8.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 320
8.2 Rotações Geométricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 321
8.2.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 321
8.2.2 Grupo de rotações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322
8.2.3 Rotações no espaço tridimensional: Matriz de rotação. . . . . . . . . . . . . . . 323
8.2.4 Rotações infinitesimais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 325
Prof. Salviano A. Leão viii
Sumário
8.2.5 Rotações na mecânica quântica: Operadores de rotação no espaço de estado. . . 327
8.3 Propriedades do operador de rotação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 328
8.3.1 O operador de rotação R é linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 328
8.3.2 O operador de rotação R é unitário . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 328
8.3.3 O conjunto dos operadores R constituem uma representação do grupo de rotações 330
8.4 Operadores de rotação em termos do momentum angular . . . . . . . . . . . . . . . . . 330
8.4.1 Operadores de rotação infinitesimais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 330
8.4.2 Interpretação das relações de comutação para as componentes do momentum angular L332
8.4.3 Operadores de rotação finita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332
8.5 Operadores de rotação no espaço de estados de um sistema arbitrário . . . . . . . . . . . 334
8.5.1 Sistema de várias partículas sem spin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 334
8.5.2 Um sistema arbitrário . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 335
8.6 Rotação de observáveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 337
8.6.1 Lei geral de transformação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 337
8.6.2 Observáveis escalares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 338
8.6.3 Observáveis vetores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 339
Referências . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 340
9 Invariância de Calibre e campo magnético 343
9.1 Equações de Maxwell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343
9.2 Constantes de movimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 344
9.3 Potenciais vetor e escalar – Invariância de calibre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 345
9.4 Transformações de Calibre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 347
9.5 Formulação Hamiltoniana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 349
9.5.1 A lagrangiana e hamiltoniana do campo eletromagnético . . . . . . . . . . . . . 349
9.5.2 As variáveis dinâmicas do sistema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 351
9.5.3 Quantidades físicas verdadeiras e quantidades não-físicas . . . . . . . . . . . . . 354
9.5.4 Relações características das grandeza física verdadeiras . . . . . . . . . . . . . . 354
9.5.5 Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 355
9.6 Invariância de calibre na mecânica quântica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 356
9.6.1 Regras de quantização. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 357
9.7 Transformações unitárias do vetor de estado: forma invariante da equação de Schrödinger 358
9.7.1 O operador unitário Tχ(t) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 358
9.7.2 Evolução temporal do vetor de estado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 360
9.8 Invariância das predições físicas sobre uma transformação de calibre . . . . . . . . . . . 361
9.8.1 Comportamento dos observáveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 361
9.8.2 Probabilidade dos vários possíveis resultados de uma medida comportarem-se como uma grandeza
9.8.3 Densidade de probabilidade e corrente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 364
9.9 Efeito Aharonov-Bohm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 365
Prof. Salviano A. Leão ix
Sumário
9.9.1 Motivação: Solenoide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 365
9.9.2 Efeitos quânticos: A dupla fenda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 366
9.10 Campo magnético . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 367
Referências . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 367
10 Potenciais Centrais 370
10.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 370
10.2 Revisão clássica: Sistema de duas partículas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 370
10.2.1 Força Central . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 371
10.3 Energia cinética e momentum angular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 373
10.4 Coordenadas cilíndricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 374
10.5 Coordenadas esféricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 375
10.6 Análise quântica do sistema de duas partículas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 377
10.6.1 Solução do centro de Massa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 378
10.6.2 Operador momentum radial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 379
10.6.3 Relação entre o momentum angular e o momentum radial . . . . . . . . . . . . 379
10.7 Operador Hamiltoniano e a equação radial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 384
10.7.1 Comportamento assintótico da equação radial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 386
10.7.2 Estados estacionários num potencial central . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 387
10.7.3 A degenerescência dos níveis de energia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 389
10.8 Poço de potencial infinito esférico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 390
10.9 Átomo de Hidrogênio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 393
10.9.1 Modelo de Bohr . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 393
10.9.2 Espectro do átomo de hidrogênio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 397
10.10Solução da equação de Schrödinger para o átomo de hidrogênio . . . . . . . . . . . . . 397
10.10.1 Quantização da energia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 402
10.10.2 As funções de onda radiais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 404
10.10.3 Relações entre algumas constantes físicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 405
10.10.4 Funções de onda radiais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 406
11 Átomo de Hidrogênio Num Campo Magnético Uniforme 412
11.1 Hamiltoniano do Problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 412
11.2 Relações entre algumas constantes físicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 415
11.3 Ordem de grandeza dos vários termos de H . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 416
11.3.1 Interpretação do termo paramagnético H1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 417
11.3.2 Relação quântica entre o momento angular e magnético . . . . . . . . . . . . . . 418
11.3.3 Notas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 418
11.3.4 Interpretação do termo diamagnético . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 419
11.3.5 Notas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 419
11.3.6 O efeito Zeeman . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 420
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Sumário
11.3.7 Níveis de energia do átomo com o campo aplicado . . . . . . . . . . . . . . . . 420
11.3.8 Efeito Zeeman . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 423
11.4 Oscilações do Dipolo Elétrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 423
11.4.1 Simetrias do elemento de matriz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 423
11.4.2 Elementos de matriz não nulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 424
11.4.3 Harmônicos esféricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 424
11.4.4 Elementos de matriz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 425
11.4.5 Cálculo do valor médio do dipolo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 425
11.4.6 Elementos de Matriz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 425
11.5 Frequência e polarização da radiação emitida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 426
11.5.1 Emissão de radiação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 426
11.5.2 Formulação do problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 427
11.5.3 Caso em que m = 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 427
11.5.4 Caso em que m = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 428
11.5.5 Caso em que m = −1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 428
11.6 Tabela de constantes físicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 429
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Capítulo 1
Equação de Schrödinger e as ideias básicas da
mecânica quântica
A mecânica quântica é uma teoria física criada no primeiro um quarto do século 20 para explicar
os fenômenos físicos em escala atômica e subatômica. A palavra “quântica” (do Latim, quantum) quer
dizer quantidade. Na mecânica quântica, esta palavra refere-se ao de que algumas grandezas físicas não
podem mais variar continuamente, porém agora elas só podem assumir alguns valores discretos bem
definidos.
Atualmente a mecânica quântica é uma das mais bem testadas teorias da física, e se faz presente em
diversas situações do dia a dia, pois boa parte da tecnologia que estamos usando, seja de forma direta ou
indireta faz uso da mecânica quântica. Por exemplo, a eletrônica dos computadores, celulares, ponteiras
lasers, tocadores de CD/DVD e blu-ray, controle remoto, etc. A eletrônica de quase todos os dispositivos
modernos, possuem um transistor, cujo princípio de funcionamento é baseada em um efeito quântico.
Basicamente em um circuito eletrônico, os transistores funcionam como amplificadores e interrup-
tores de uma corrente elétrica. Esse princípio de uma chave liga-desliga é que usado para transportar
e processar informações, fazendo com que, quando houver corrente, chave ligada, associa-se o número
1, e quando não há corrente, chave desligada, ao número 0. A chamada lógica binária é baseada nesse
princípio.
Os processadores dos computadores atuais, que fazem uso da lógica binária, possuem centenas de
milhões de transistores em um único processador que, ao serem combinados, produzem máquinas cada
vez mais rápidas e eficientes.
Atualmente a mecânica quântica consolidou-se como a base teórica e experimental de vários áreas
deatuação da Física e da Química, entre as quais pode-se citar a física da matéria condensada, a física do
estado sólido, a física atômica, a física molecular, a física de partículas, a física nuclear, a eletrodinâmica
quântica, a química computacional, a química quântica, etc. Os alicerces da mecânica quântica foram
estabelecidos durante a primeira metade do século XX por Max Planck, Albert Einstein, Niels Bohr,
Werner Heisenberg, Wolfgang Pauli, Louis de Broglie, Erwin Schrödinger, Paul Dirac, Max Born, John
von Neumann, Richard Feynman, John S. Bell e outros. As contribuições de iniciais de Albert Einstein
assim como suas severas críticas foram fundamentais para desenvolvimento da mecânica quântica.
1
1.1. Ondas eletromagnéticas e os fótons: revisão histórica
A mecânica quântica procura descrever o comportamento da matéria e da luz, em todos os seus
detalhes e, em particular, o que acontece na escala atômica.
Em uma escala muito pequena, as “coisas”, possuem um comportamento completamente diferente
de tudo aquilo que já vimos e que já tivemos algum tipo de experiência direta. Na escala atômica as
coisas não se comportam nem como: ondas, partículas, molas, nada que conheçamos até o momento.
1.1 Ondas eletromagnéticas e os fótons: revisão histórica
Por mais de dois séculos os cientistas discutiram a natureza da luz, ou seja, como ela se comportava.
Historicamente temos:
Sir Issac Newton (1642-1727): propõe que a luz possui um comportamento corpuscular;
Christiaan Huygens (1629-1695): propõe que a luz comporta-se como uma onda;
Thomas Young (1773-1829): Entre 1801 e 1803 realiza experimentos que demonstram a natureza on-
dulatória da luz;
James Clerck Maxwell (1831-1879): Publicou seu trabalho unificando a teoria eletromagnética com a
óptica;
Heinrich Rudolf Hertz (1857-1894): Em 1887 foi o primeiro a produzir e detectar experimentalmente
as ondas eletromagnéticas preditas por Maxwell;
Max Planck (1858-1947): Sugere em 1900 a hipótese da discretização da energia para explicar a radi-
ação do corpo negro;
E = hν com h = 6, 62618(4) × 10−34 J · s
~ =
h
2π
= 1, 05489(6) × 10−34 J · s
Albert Einstein (1879-1955): Em 1905 propõe que a luz é constituída por um feixe de fótons, em que
cada fóton tem uma energia E = hν;
Arthur Holly Compton (1892-1962): Em 1922 realizou experiência de espalhamento de raios-X, que
evidenciaram a natureza corpuscular da radiação. Recebeu o Nobel em 1927, por seu trabalho.
A interação de uma onda eletromagnética com a matéria ocorre por meio de processos ele-
mentares indivisíveis, nos quais a radiação aparece composta de partículas, os fótons.
Partículas =
 Energia EMomento p
Ondas =
 Frequencia ω = 2πνVetor de Onda k, |k| = k = 2π/λ
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1.2. Natureza corpuscular dos fótons
λ E
B
kk+q
-q
Figura 1.1: Representação dos campos E e B de uma onda eletromagnética.
1.2 Natureza corpuscular dos fótons
Ao colocar-se uma fonte de luz de baixa intensidade, em frente a uma fenda obtém-se o padrão da
figura 1.2a, o qual não é conclusivo, pois esse caso é equivalente ao caso em que consideramos o fóton
como uma partícula ou como uma onda.
Dá física clássica, sabe-se que uma onda incidindo sobre uma dupla fenda apresenta o fenômeno de
interferência. Então, surge a questão: o que ocorrer ao incidirmos um fóton por vez sobre uma dupla
fenda? O experimento foi realizado com uma fonte de luz de baixa intensidade e o resultado obtido é
mostrado na figura 1.2b.
(a) Experimento com uma fenda (b) Experimento com duas fendas.
Figura 1.2: (a) Temos um única fenda e a intensidade da luz é I. Em (b) temos um experimento com uma dupla
fenda, no qual I1 e I2 são respectivamente as intensidades da luz que chega ao anteparo quando somente a fenda
1 ou a fenda 2 está aberta. Ao abrirmos as duas fendas esperavamos obter o padrão mostrado na situação (a), no
qual I12 = I1 + I2 é a curva vermelha. Entretanto, o padrão que obtemos é o mostrado na situação (b) no qual I12 é
a intensidade da luz que chega ao anteparo quando as duas fendas estão abertas.
Para as ondas temos que, na notação complexa, os campos elétricos produzidos pelas fendas 1 e 2,
são
E(r, t) = E1(r, t) + E2(r, t) (1.1)
e como a intensidade da onda que chega ao anteparo é
I ∝ |E(r, t)|2 = |E1(r, t) + E2(r, t)|2
= |E1(r, t)|2 + |E2(r, t)|2 + 2E1(r, t) · E2(r, t)
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1.3. Dualidade onda-partícula
logo
I12 = I1 + I2 + 2
√
I1
√
I2 cos θ (1.2)
Ao repetir-se o experimento com luz de baixa intensidade, no qual foi enviado um fóton por vez,
após um grande número de fótons terem atingido o anteparo, obteve-se o mesmo padrão de interferência,
obtidos para ondas.
Figura 1.3: O padrão de interferência é obtido por um acúmulo de dados, ou seja, após um grande número de
fótons terem atingido o anteparo.
Portanto, pode-se concluir que:
(i) Os aspectos corpusculares e ondulatórios da luz são inseparáveis. A luz comporta-se simultanea-
mente como uma onda e como um fluxo de partículas. O caráter ondulatório possibilita calcular-se
a probabilidade do seu caráter corpuscular manifestar-se;
(ii) As predições sobre o comportamento de um fóton só podem ser probabilísticas;
(iii) A informação sobre um fóton no instante de tempo t é dada pela onda E(r, t), a qual é uma solução
das equações deMaxwell. Pode-se dizer que esta onda caracteriza o estado de um fóton no instante
t.
(iv) A onda E(r, t) é interpretada como a amplitude de probabilidade de um fóton surgir, no instante t
no ponto r. Isso significa que a correspondente probabilidade é proporcional a |E(r, t)|2.
1.3 Dualidade onda-partícula
Na escala atômica as partículas, assim como os elétrons, prótons, nêutrons, etc., comportam-se com
a luz.
Curiosidade: Joseph John Thomson (1856-1940) ganhou o prêmio Nobel de 1906 por suas
experiências que comprovaram o comportamento corpuscular do elétron, já seu filho George
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1.3. Dualidade onda-partícula
Paget Thomson (1892-1975) ganhou o Nobel 1937, por seu trabalho realizado no período
de 1922-1926, no qual ele verificou experimentalmente a difração de elétrons por cristais, o
que demonstrava o comportamento ondulatório dos elétrons.
A seguir esse comportamento será investigado, para compreensão melhor do fenômeno físico, e para
isso, alguns experimentos serão analisados. Inicialmente serão analisados alguns experimentos para os
fótons e seguidas os experimentos realizados para os elétrons e outras partículas.
Inicialmente faz-se incidir partículas sobre um dupla fenda, com as duas fendas inicialmente abertas
e seguida com a fenda dois fechada. Os resultados são obtidos após uma análise da distribuição de
probabilidade Pi dos fótons sobre a tela óptica.
No caso em que a fenda dois estava fechada e a fenda um aberta encontrou-se a distribuição de proba-
bilidade P1 e para o caso contrário em que a fenda um estava fechada e a fenda dois aberta encontrou-se
a distribuição de probabilidade P2. O resultados obtidos são mostrados na figura 1.4 a seguir.
tela 
óptica
tela óptica
(vista frontal)
tela com
duas fendas
partículas
P1
P12=P1+P2
P2
canhão
Figura 1.4: A probabilidade P1 foi obtida abrindo-se somente a fenda 1, enquanto a probabilidade P2 foi obtida
abrindo-se somente a fenda 2.
Portanto, a questão que surge é a seguinte: quando abrirmos as duas fendas o resultado obtido para
distribuição de probabilidade dos fótons P12 será dada pela soma individual, ou seja, P12 = P1 + P2?
Ao abir as duas fendas, o resultado obtido foi:
tela
óptica
tela óptica
(vista frontal)
tela com
duas fendas
elétrons
canhão
Figura 1.5: Experimento da fenda dupla para partículas.
Tanto no caso dos elétrons quanto no caso dos fótons,o resultado é análogo ao obtido para ondas.
A questão é: O que são esses “objetos”? Não sabemos. Sabemos somente como eles se comportam em
determinadas situações.
Surgiram ou O mesmo resultado é obtido para partículas massivas:
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1.4. O princípio da decomposição espectral
n=2
n=0
n=1
tela
óptica
tela óptica
(vista frontal)
tela com
duas fendas
onda plana
monocomática
(laser)
(a) Experimento da fenda dupla para ondas. (b) Experimento da fenda dupla para elétrons.
1.4 O princípio da decomposição espectral
Considere o experimento no qual direciona-se uma onda plana de luz monocromática polarizada so-
bre um analisador A, conforme ilustra a figura. O eixo Oz designa a direção de propagação dessa onda e
ep o vetor unitário que descreve sua polarização. O analisador A transmite luz polarizada paralela ao eixo
Ox e absorve luz polarizada paralela ao eixo Oy.
Figura 1.8: Um experimento simples de medida em relação
a polarização de uma onda plana de luz monocromática. Um
feixe de luz propaga ao longo da direção Oz e cruza sucessi-
vamente o polarizador P e o analisador A. θ é o ângulo entre
Ox e o campo elétrico da onda transmitida pelo polarizador P.
As vibrações transmitidas por A são paralelas ao eixo Ox.
A descrição clássica desse experimento (a
qual é válida para um feixe de luz o suficien-
temente intenso) é a seguinte: A onda plana
polarizada é caracterizada por um campo elé-
trico da forma:
E(r, t) = E0epei(kz−ωt), I ∝ |E0|2. (1.3)
em que E0 é uma constante e I é a intensidade
da luz. Após passar pelo analisador A a onda
plana está polarizada ao longo de Ox:
E′(r, t) = E′0exe
i(kz−ωt). (1.4)
e sua intensidade I′ é proporcional a |E′0|2, e é
dada pela lei de Malus
I′ = I cos2 θ. (1.5)
Ao enviarmos um fóton por vez temos:
A medida fornece =
 Passou = 1Não passou = 0. (1.6)
Ao enviar-se N fótons, um após o outro, o resultado obtido é equivalente ao resultado clássico:
N cos2 θ fótons serão detectados após passarem pelo polarizador. Portanto, pode-se concluir que:
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1.4. O princípio da decomposição espectral
Figura 1.6: Na figura de cima temos os resultados obtidos para nêutrons enquanto na figura de baixo temos os
resultado dos experimento realizados para a fenda dupla com o C60.
“Um dispositivo de medida estabelece estados próprios (autoestado ou eigenstates). Nesse
caso dois estados próprios.”
i) O dispositivo de medida fornece somente certos resultados privilegiados, os quais chamaremos de
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1.4. O princípio da decomposição espectral
Figura 1.7: A figura ilustra a projeção de um cilindro sobre uma parede. Para um ser bidimensional localizado
sobre um dos planos observar que o resultado da projeção é um retângulo enquanto no outro plano o resultado da
projeção é um círculo, entretanto, o ser bidimensional não consegue saber o que realmente é o objeto, por ser um
ser bidimensional, ele não consegue observar a terceira dimensão.
autoresultados.
ii) Para cada autoresultados há um correspondente autoestado.
Nesse sistema os autoestados são caracterizados por:
Resultado =
 Passou = 1Não passou = 0. =⇒ Estado =
 ep = exep = ey.
Se a partícula antes da medida está em um dos autoestados do sistema, o resultado da medida é certo: ela
só poderá estar associado ao autoresultado correspondente ao autoestado da partícula. Seja, usaremos
agora a seguinte notação:
Estado =
 ep = exep = ey. =⇒ Estado =
 |e〉p = |e〉x|e〉p = |e〉y. (1.7)
i) Quando o estado antes da medida é arbitrário, somente a probabilidade de obter os diferentes
autoestados pode ser predita. Para encontrar estas probabilidades, deve-se decompor o estado da
partícula numa combinação linear dos vários autoestados.
Nesse caso, a decomposição leva
|e〉p = cos θ|e〉x + sen θ|e〉y (1.8)
“A probabilidade de obter um dado autoresultado é proporcional ao quadrado do valor ab-
soluto do coeficiente do correspondente autoestado.”
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1.5. Partículas materiais e as ondas de matéria
O fator de proporcionalidade é determinado pela condição de que a soma de todas estas probabilida-
des seja 1.
Portanto,
P(ex) = P(|e〉x) = cos2θ e P(ey) = P(|e〉y) = sen2θ (1.9)
P(|e〉x) + P(|e〉y) = cos2θ + sen2θ = 1
Esta regra na mecânica quântica é chamada de princípio da decomposição espectral.
1.5 Partículas materiais e as ondas de matéria
Devido a Compton
Partículas =
 Energia E = ~ωMomento p = ~k
Para os fótons
 Frequência ω = ckEnergia E = ~ck = pc
Devido a de Broglie: Ondas de matéria
Para o elétron =

Momento p = ~k
Vetor de Onda k, |k| = k = 2π/λ
Comprimento de Onda λ = h/p ou p = h/λ
Para distâncias da ordem do comprimento de onda de de Broglie λ, a mecânica clássica não é mais
válida, porque para ondas nessas condições já começa a prevalecer o comportamento ondulatório, ou
seja, surge os padrões de interferência na difração.
1.6 Exemplo: elétron livre
Considere um elétron livre com uma energia de 1 eV. Como está livre toda sua energia é cinética,
assim
E =
p2
2m
E(e
−) = 1 eV =⇒ p2 = 2mE
p =
√
2 · 9, 11 × 10−31 · 1, 602 × 10−19
p ≈ 5, 40 × 10−25 kg ·m/s
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1.7. Função de Onda - Equação de Schrödinger
Por sua vez, o comprimento de onda de de Broglie associado a este elétron é
λ =
h
p
≈ 6, 626 × 10
−34
5, 40 × 10−25 ≈ 1, 23 × 10
−9 m
Portanto, o comprimento de onda de de Broglie associado a este elétron é
λ ≈ 1, 23 nm ou λ ≈ 12, 3 Å (1.10)
1.7 Função de Onda - Equação de Schrödinger
Viu-se que a medida estabelece (define) os estados próprios, ou seja, os autoestados do sistema.
Portanto,
i) Há um estado quântico de uma partícula que é caracterizado por uma função de onda ψ(r, t) a qual
contém todas as informações possíveis de se obter com relação a partícula em questão.
ii) A função de onda ψ(r, t) é interpretada como uma amplitude de probabilidade da partícula estar
presente. Como as possíveis posições da partícula formam um contínuo, a probabilidade dP(r, t)
da partícula vir a estar no instante t, no elemento de volume d3r = dx dy dz localizado no ponto
r deve ser proporcional a d3r e portanto infinitesimal. Portanto, |ψ(r, t)|2 é interpretada como a
correspondente densidade de probabilidade, com
dP(r, t) = C|ψ(r, t)|2d3r
sendo C uma constante de normalização.
1.8 O princípio da decomposição espectral
Ele aplica-se a medida de uma quantidade física arbitrária:
• O resultado pertence ao conjunto de autoresultados {a}, ou seja, o resultado é um autovalor;
• Como cada autovalor a está associado a um autoestado do sistema, isto é, a uma autofunção ψa(r),
com
ψ(r, t0) = ψa(r),
no qual t0 é o instante no qual a medida foi realizada.
• Para qualquer ψ(r, t), a probabilidade Pa de encontrar o autovalor a, em uma medida realizada no
instante t0 é encontrada decompondo ψ(r, t0) em termos das funções ψa(r) da seguinte forma:
ψ(r, t0) =
∑
a
Caψa(r),
com
Pa = |Ca|
2∑
a
|Ca|2 .
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1.8. O princípio da decomposição espectral
• Se uma medida produz um autoresultado a, a função de onda associada a partícula imediatamente
após a medida é
ψ′(r, t0) = ψa(r).
A equação que descreve a evolução temporal da função de onda, é
i~
∂ψ(r, t)
∂t
= − ~
2
2m
∇2ψ(r, t) + V(r, t)ψ(r, t). (1.11)
a qual é conhecida como equação de Schrödinger.
Ela ainda pode ser escrita numa forma mais compacta como,
i~
∂ψ(r, t)
∂t
= Hψ(r, t). (1.12)
na qual H é o operador hamiltoniana do sistema, o qual é dado por:
H = T + V(r, t) =
p2
2m
+ V(r, t) = − ~
2
2m
∇2 + V(r, t)
1.8.1 Comentários
• Para um sistema composto por uma partícula,a probabilidade de encontrar a partícula no instante
t, em um ponto qualquer do espaço é ∫
dP(r, t) = 1. (1.13)
Esta é a chamada condição de normalização. Como
dP(r, t) = C|ψ(r, t)|2d3r,
então dizemos que ψ(r, t) é uma função de quadrado integrável, pois∫
|ψ(r, t)|2d3r = Valor finito.
Disso, segue imediatamente que
1
C
=
∫
|ψ(r, t)|2d3r. (1.14)
1.8.2 Estados clássicos versus quânticos
• No instante t, o estado clássico é determinado por seis parâmetros
r = (x, y, z) e r˙ = (x˙, y˙, z˙).
• O estado quântico no instante t é caracterizado por um número infinito de parâmetros: os valores
da função de onda nos vários pontos do espaço.
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1.9. Descrição quântica de uma partícula: Pacotes de Onda
1.9 Descrição quântica de uma partícula: Pacotes de Onda
Considere uma partícula livre para a qual o seu potencial é dado por
V(r, t) = 0.
então a equação de Schrödinger que descreve sua evolução temporal é
i~
∂ψ(r, t)
∂t
= − ~
2
2m
∇2ψ(r, t). (1.15)
A solução dessa equação diferencial parcial, é obtida, fazendo-se a seguinte separação de variáveis:
ψ(r, t) = X(x) Y(y) Z(z) T (t), (1.16)
com isso, temos
i~XYZ
dT (t)
dt
= − ~
2
2m
(
YZ
d2X(x)
dx2
+ XZ
d2Y(y)
dy2
+ XY
d2Z(z)
dz2
)
T
Dividindo ambos os lados da equação anterior pelo produto X(x) Y(y) Z(z) T (t), obtemos que
i~
1
T
dT (t)
dt
= − ~
2
2m
(
1
X
d2X(x)
dx2
+
1
Y
d2Y(y)
dy2
+
1
Z
d2Z(z)
dz2
)
.
Note, que o termo do lado esquerdo da igualdade só depende do tempo e por sua vez, está sendo igualado
a termos que dependem somente da coordenada x, y e z. Portanto, cada um destes termos devem ser
constantes, assim
i~
1
T
dT (t)
dt
= E = cte. =⇒ T (t) = T0e−iEt/~
Para a coordenada x, faremos a escolha de uma constante negativa, pois somente ele irá fornecer uma fun-
ção de onda de quadrado integrável. Podemos, argumentar ainda que somente esta escolha irá fornecer
uma energia cinética positiva, caso contrário teríamos uma energia cinética negativa, o que é fisicamente
inaceitável. Diante disso, temos
1
X
d2X(x)
dx2
= −k2x = cte. =⇒ X(x) = X0eikx x
e de modo análogo temos
Y(y) = Y0eikyy e Z(z) = Z0eikzz.
Além disso, as constantes satisfazem a seguinte relação
E =
~
2
2m
(k2x + k
2
y + k
2
z ) =
~
2k2
2m
com k = kxeˆx + kyeˆy + kzeˆz. (1.17)
Portanto, a função de onda é dada por
ψk(r, t) = Aei(k·r−Et/~) (1.18)
Definindo
E = ~ω =
~
2k2
2m
com ω =
~k2
2m
(1.19)
podemos escrever
ψk(r, t) = Aei(k·r−ωt) (1.20)
a qual é uma onda plana.
Prof. Salviano A. Leão 12
1.10. Princípio da superposição
1.10 Princípio da superposição
O princípio da superposição linear nos diz que qualquer combinação linear de ondas planas também
será uma solução da equação de Schrödinger para a partícula livre. Portanto, a solução mais geral é a
soma de todas as ondas planas, e com isso, temos
ψ(r, t) =
1
(2π)3/2
∫
g(k)ei(k·r−ωt)d3k. (1.21)
na qual d3k representa um elemento de volume infinitesimal no espaço-k enquanto g(k) é uma função
complexa, suficientemente regular de modo que se possa permitir diferenciações dentro da integral.
Pode-se mostrar, que qualquer solução de quadrado integrável pode ser escrita na forma (1.40).
Uma função de onda que é dada pela superposição de ondas planas, como em (1.40) é chamada de
pacote de ondas.
Quem irá determinar os coeficientes g(k) são as condições iniciais e as condições de contorno do
problema. Especificamente para o caso de uma partícula livre, quem determina os g(k) são as condições
iniciais.
1.10.1 Condições iniciais
Considere que em t = 0, a função de onda seja conhecida, logo
ψ(r, t = 0) = ψ(r, 0) = conhecida,
portanto, temos
ψ(r, 0) =
1
(2π)3/2
∫
g(k)eik·rd3k. (1.22)
e fazendo a transformada de Fourier desta função, obtemos que:
g(k) =
1
(2π)3/2
∫
ψ(r, 0)e−ik·rd3r. (1.23)
Aqui usamos as seguintes relações
δ(x − x0) = 12π
+∞∫
−∞
dk eik(x−x0 ) (1.24)
δ(r − r0) = 1(2π)3
∫
d3k eik·(r−r0). (1.25)
1.10.2 Condição inicial: posição bem definida
Considere que medimos a posição de um elétron no instante t0, com ψ(r, t0) = δ(r−r0). Ao fazermos
uma nova medida em um instante de tempo posterior t1, veremos que ψ(r, t1) terá uma pequena largura.
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1.11. A forma do pacote de onda em um dado instante
tt0 t1
Figura 1.9: Evolução temporal de um pacote de ondas.
1.10.3 Condição inicial: momento bem definido
Considere que medimos o momento de um elétron no instante t0, e como resultado desta medida
obtivemos que p0 = ~k0, nesse
g(k) = δ(k − k0)
e a função de onda em t0 é dada por
ψ(r, 0) =
1
(2π)3/2
∫
g(k)eik·rd3k (1.26)
=
1
(2π)3/2
∫
δ(k − k0)eik·rd3k (1.27)
=
1
(2π)3/2
eik0·r (1.28)
Note que g(k) não muda com o tempo, pois dá mecânica clássica sabemos que se o potencial expe-
rimentado pela partícula é constante então a força resultante sobre a mesma é nula e o seu momento p é
uma constante do movimento.
1.11 A forma do pacote de onda em um dado instante
Figura 1.10: Forma do pacote de ondas, considerando
somente três ondas, sendo uma com vetores de onda em
k0 − ∆k/2, k0 e k0 + ∆k/2.
Considere por simplicidade o caso unidimen-
sional no qual
ψ(x, t) =
1√
2π
∫
dk g(k) ei(kx−ωt). (1.29)
com E = ~ω = ~
2k2
2m =
p2
2m e
ω =
~k2
2m
e p = ~k (1.30)
e
g(k) =
1√
2π
∫
dxψ(x, 0) e−ikx. (1.31)
Considere que |g(k)| tenha a forma ilustrada na
figura 1.10. Faremos uma superposição de somente três ondas planas para descrever ψ(x, 0), em vez de
infinitas ondas planas
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1.11. A forma do pacote de onda em um dado instante
ψ(x, 0) =
g(k0)√
2π
[
1
2
ei(k0−∆k/2)x + eik0x +
1
2
ei(k0+∆k/2)x
]
(1.32)
a qual pode ser escrita na forma mais compacta
ψ(x, 0) =
g(k0)√
2π
eik0x
[
1 + cos
(
∆k
2
x
)]
(1.33)
usando o fato de que 2cos2θ = 1 + cos 2θ, então a expressão anterior pode ser reescrita como:
ψ(x, 0) =
g(k0)√
2π
eik0x2cos2
(
1
4
∆k x
)
. (1.34)
Figura 1.11: A parte real das três ondas cuja a soma fornecem a função (1.34). Em x = 0, as três ondas estão em
fase e interferem construtivamente. Quando as ondas se afastam de x = 0, elas saem de fase e passam a interferir
destrutivamente em x = ±∆x/2. Na figura mais baixa mostramosℜ{ψ(x)}.
A interferência é completamente destrutiva quando quando a fase do cosseno for igual a
1
4
∆k x = ±1
2
π =⇒ ∆k x = ±2π
Nesse caso ψ(x, 0) = 0, e portanto
∆k
2
xr = +π;
∆k
2
xl = −π; e
definindo
∆x = xr − xl
obtemos que
∆k
2
∆x = 2π
logo
∆k∆x = 4π
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1.12. Relação entre as larguras
1.12 Relação entre as larguras
Relação entre as larguras de |g(k)| e ψ(x, 0). Considere que
g(k) = |g(k)|eiα(k),
na qual α(k) seja uma função suave no intervalo [k0 − ∆k/2, k0 + ∆k/2]. Então para ∆k pequeno temos:
α(k) = α(k0) + (k − k0) dα(k)dk
∣∣∣∣∣
k=k0
+ . . .
= α(k0) + (k − k0)α′(k0)
então
g(k) = |g(k)|eiα(k0) ei(k−k0)α′(k0). (1.35)
Portanto, podemos escrever
ψ(x, 0) =
1√
2π
+∞∫
−∞
dk |g(k)| eiα(k0) ei(k−k0 )α′(k0) ei(k−k0)xeik0x (1.36)
ψ(x, 0) =
ei[k0 x+α(k0)]√
2π
+∞∫
−∞
dk |g(k)| ei[k−k0][x+α′ (k0)] (1.37)
chamando
x0 = −α′(k0) = − dα(k)dk
∣∣∣∣∣
k=k0
podemos reescrever a expressão anterior como
ψ(x, 0) =
ei[k0x+α(k0 )]√
2π
+∞∫
−∞
dk |g(k)| ei(k−k0)(x−x0 ) (1.38)
esta integral só terá uma contribuição não-nula no intervalo [k0 −∆k/2, k0 +∆k/2], no qual (x− x0)≪ 1.
Para x ≃ x0 a função ψ(x, 0) é máxima.
Para (x− x0) ≫ 1, o argumento do integrando varia muito rapidamente e neste caso a integral é nula.
Figura 1.12: Pacote de ondas inicial em t = 0.De forma geral temos que:
|(x − x0)∆k| ≫ 1 =⇒ ψ(x, 0) ≃ 0
|(x − x0)∆k| ≪ 1 =⇒ ψ(x, 0) ≃ e
i[k0x+α(k0 )]
√
2π
g(k0)∆k
Note que o valor para o caso em que |(x − x0)∆k| ≪ 1, o
valor de ψ(x, 0) é máximo.
Quando x se afasta de x0 temos que ψ(x, 0) → 0 e esta
queda é mais acentuada quando k ultrapassa o domínio∆k,
em ei(k−k0)(x−x0 ).
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1.13. Relação de Incerteza de Heisenberg
∆k(x − x0) ≃ 1
logo
∆k∆x ≥ 1.
Aqui ∆x é a largura do pacote de ondas.
Figura 1.13: Condições limites do que ocorre com o pacote de ondas.
1.13 Relação de Incerteza de Heisenberg
Seja
ψ(x, t) = A ei(k0x−ω0 t)
então,
dP(x, t) = |ψ(x, t)|2dx = |A|2 = cte.
isso significa que ∆x = ∞ .
Por outro lado somente um k = k0 e ω = ω0 estão envolvidos, logo de Broglie nos diz que
E = ~ω0 e p = ~k0,
portanto E e p estão bem definidos, logo ∆k = 0 e
g(k) = δ(k − k0)
g(k) =
1√
2π
+∞∫
−∞
dx A ei(k−k0)x = Aδ(k − k0).
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1.14. Teorema do espectral
1.14 Teorema do espectral
De acordo com o teorema espectral temos
ψ(x, t) =
∑
α
Cα(t)ϕα(x)
na qual o ϕα(x) são os estados próprios ou autoestado do sistema.
Portanto, temos que
Pα = |Cα|
2∑
α
|Cα|2
mas como,
ψ(x, t) =
1√
2π
+∞∫
−∞
dk g(k) eikx e−iEt/~
Usando que p = ~k, temos que
dk =
1
~
dp
com isso
ψ(x, t) =
1√
2π~
+∞∫
−∞
dp
g(k)√
~
eipx/~ e−iEt/~
Agora definiremos
ψ¯(p) =
g(k)√
~
e vp(x) =
1√
2π~
eipx/~
Com essas definições obtemos
ψ(x, t) =
+∞∫
−∞
dp ψ¯(p)vp(x) e−iEt/~ (1.39)
ou ainda,
ψ(x, 0) =
1√
2π~
+∞∫
−∞
dp ψ¯(p)eipx/~ (1.40)
Do teorema espectral temos então que:
vp(x) =
1√
2π~
eipx/~ Estados próprios de p
Cp(t) = ψ¯(p) e−iEt/~
dP = |ψ¯(p)|
2dp
+∞∫
−∞
|ψ¯(p)|2dp
Mas da relação de Bessel-Parseval temos que:
+∞∫
−∞
|ψ¯(p)|2dp =
+∞∫
−∞
|ψ(x, 0)|2dx = 1
Portanto,
dP = |ψ¯(p)|2dp
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1.15. Incerteza de Heisenberg
1.15 Incerteza de Heisenberg
Como
∆x∆k ≃ 1 =⇒ ~∆x∆k ≃ ~
Portanto,
∆x∆p ≥ ~ (1.41)
que é a conhecida relação de incerteza de Heisenberg. Aqui ∆p é a largura da curva que representa |ψ¯(p)|.
Considere uma partícula cujo estado é definido pelo pacote de ondas (1.40). Sabemos que em t = 0, a
probabilidade de sua posição é apreciável somente numa região de largura ∆x em torno do ponto x0: sua
posição é conhecida a menos de uma incerteza ∆x. Se medirmos o o momento desta partícula no mesmo
instante, encontraremos um valor entre: p0 − ∆p/2 e p0 + ∆p/2. Desde que |ψ¯(p)| é praticamente zero
fora deste intervalo: a incerteza no momento é portanto ∆p. A relação (1.41) é interpretada da seguinte
forma:
“é impossível definir em um dado instante de tempo ambos, a posição e o momento de uma
partícula com uma precisão arbitrária”.
Esse é o princípio da incerteza (ou indeterminação) proposto por Werner Karl Heisenberg (1901-
1976) inicialmente em 1927.
Note que a impossibilidade de se medir simultaneamente a posição e a velocidade de uma partícula,
deve-se ao fato de que a determinação de uma afeta o resultado da outra. Esse problema não é uma mera
limitação experimental, mas um impedimento da natureza.
1.15.1 Comentário
• A desigualdade (1.41) não é princípio inerente à mecânica quântica.
• Ela expressa uma propriedade geral da transformada de Fourier, a qual aparece em numerosas
aplicações na física clássica.
• Por exemplo, é bem conhecido da teoria eletromagnética que não existe um trem de ondas eletro-
magnéticas para a qual se pode definir a posição e o comprimento de onda com precisão infinita,
ao mesmo tempo.
• A mecânica quântica entra quando associamos uma onda com uma partícula material e impomos
que o comprimento de onda e o momento devem satisfazer a relação de de Broglie.
1.15.2 Heisenberg e o significado do princípio da incerteza
O princípio de Heisenberg demanda definições operacionais de algumas quantidades físicas:
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1.15. Incerteza de Heisenberg
Se quisermos ser claros sobre o que entendemos sobre “a posição de um objeto”, por
exemplo de um elétron, então devemos especificar experimentos bem definidos pelos quais
“a posição de um elétron pode ser medida”; de outro modo este termo não tem significado
algum.
Quando ele formulou o princípio da incerteza, ele idealizou um experimento o qual ilustra a incer-
teza na medida da posição e do momento do elétron, o qual ficou conhecido como o microscópio de
Heisenberg
1.15.3 Exemplo: Microscópio de Heisenberg
Luz
Microscópio
D
f
x
y
Luz
Microscópio
D
f
x
y
rl
Figura 1.14: Microscópio de diâmetro D e distância focal f . Um elétron está localizado no foco do microscópio
e uma luz lateral incide sobre ele, ricocheteando nele, sendo espalha na direção da lente.
Quando o fóton é visto através da lente, a posição do elétron é conhecida, determinada. E agora surge
a questão quanto ao momento do elétron logo após a colisão?
A colisão do fóton com o elétron, fornece o momento do elétron?
Dá conservação do momento na direção x temos:
h
λ
+ 0 =
h
λ′r
sen θ + mev′x,r, com px,min = mev
′
x,r
h
λ
+ 0 = − h
λ′l
sen θ + mev′x,l com px,max = mev
′
x,r
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1.15. Incerteza de Heisenberg
Aqui θ é o ângulo máximo de espalhamento que o elétron é visto. Os momentos mev′x,r e mev
′
x,l são
respectivamente o mínimo e máximo valor do momento do elétron, pois, nesse caso o momento final do
elétron estará limitado ao seguinte intervalo:
h
λ
− h
λ′r
sen θ ≤ mev′x ≤
h
λ
+
h
λ′l
sen θ; ou px,min ≤ px ≤ px,max.
Entretanto a variação do momento do elétron está no intervalo:
− h
λ′r
sen θ ≤ me∆v′x ≤ +
h
λ′l
sen θ ou ∆px,min ≤ ∆px ≤ ∆px,max
Consideremos somente pequenos ângulos de espalhamento, os quais produzem pequenas mudanças no
momento, nesse regime temos
sen θ ≃ θ e λ ≃ λ′l ≃ λ′r (1.42)
com isso, a desigualdade anterior torna-se
−h
λ
θ ≤ me∆v′x ≤ +
h
λ
θ
Bom isso tem sentido, pois um fóton com um pequeno λ tem muita energia, e portanto, um momento
grande. Portanto, ele bate forte sobre o elétron.
Luz
D
f
rl
Figura 1.15: Num microscópio um elétron
localizado no foco do microscópio espalha a
luz lateral que incide sobre ele na direção da
lente por um ângulo máximo θ.
Portanto, para minimizarmos a incerteza na posição do
elétron devemos usar uma luz com λ grande. Mas que posi-
ção mediríamos?
O menor ângulo que o microscópio resolve é limitado
pela difração a
sen θc ≈ λD
o que para ângulos pequenos é equivalente a:
θc ≈ λD
Omicroscópio não pode localizar o elétron na direção xmais
precisamente que
− f tg θc ≤ xe ≤ + f tg θc
o que para pequenos ângulos tgθ ≈ θ, então
− f λ
D
≤ xe ≤ + f λD
Note ainda que
tg θc =
D/2
f
e
f
D
=
1
2 tg θc
≈ 1
2θc
(1.43)
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1.15. Incerteza de Heisenberg
1.15.4 Incertezas da posição e momento
A incerteza da posição é:
∆x = xr − xl = 2λ fD ≈
λ
θc
Já por sua vez a incerteza no momento é:
∆px = px,r − px,l = 2h
λ
θc
Portanto, temos que a relação de incerteza dos produtos:
∆x∆p ≈ λ
θc
· 2h
λ
θc = 2h
Note que valores mais precisos, só irão mudar o fator numérico que multiplica h.
Mas a ideia aqui é clara:
“ todo processo de medida de uma quantidade (a posição) altera a propriedade complementar
(o momento)”.
1.15.5 Exemplo: Reflexão da luz
Luz
x
y
i
r
Vidro
Figura 1.16: Reflexão da luz em um vidro.
Para o fóton de energia E = hν incidindo sobre uma ca-
mada de vidro temos:
Ei = pic Er = pr
c
n
como Ei = Er, então
pic = pr
c
n
=⇒ pr = n pi.
A conservação do momento na direção y, pi,y = pr,y for-
neceque:
pi sen θi = pr sen θr
entretanto, como pr = n pi, obtemos então que
pi sen θi = n pi sen θr
assim
sen θi = n sen θr
que é a lei de Snell.
Porque temos a reflexão? No vidro há uma região de tamanho ℓ ≈ 100 Å, na qual ocorre a mudança
do índice de refração, e esta região é bem menor que o comprimento de onda da luz incidente ℓ ≪ λ
(λ ≈ 5000 Å). Nessa região a mecânica clássica falha e surgem os efeitos quânticos.
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1.15. Incerteza de Heisenberg
1.15.6 Relação de incerteza para o tempo e a energia
Seja ψ(t) = ψ(r0, t) a função de onda em uma posição fixa r0, associada a uma única partícula. Consi-
derando que ψ(t) seja um pulso ou “pacote temporal", que é negligenciável, exceto no intervalo de tempo
∆t. Este pacote temporal, pode ser expresso por uma superposição de ondas planas monocromáticas de
frequência angular ω, como
ψ(t) =
1√
2π
+∞∫
−∞
G(ω)eiωtdω
na qual a função G(ω) é dada por
G(ω) =
1√
2π
+∞∫
−∞
ψ(t)e−iωtdt
Como ψ(t) tem valores significativos somente num intervalo de tempo ∆t, segue das propriedades da
transformada de Fourier que G(ω) terá valores significativos somente num intervalo ∆ω, que:
∆t · ∆ω ≥ 1.
Como E = ~ω, a largura da distribuição de energia para forma o pacote é ∆E = ~∆ω, logo segue
que:
∆E · ∆t ≥ ~
A interpretação desta relação, difere um pouco da relação para a posição–momento, porque o tempo
t é um parâmetro, e não uma variável dinâmica como x e p. Essa, relação implica que se um estado
dinâmico existe somente num intervalo de tempo da ordem de ∆t, então a energia do estado não pode ser
definida com uma precisão melhor que ~/∆t.
Se considerarmos um ensemble de sistemas preparados identicamente, cada um descrito por uma
função de onda ψ, então a medida da energia em cada membro do ensemble irá produzir um intervalo de
valores ∆E de extensão maior ou no mínimo da ordem de ~/∆t.
1.15.7 Exemplo: Tempo de vida
Considere a transição atômica de um estado excitado de energia Eb, no qual um fóton é emitido,
figura 1.17(a). O instante em que um fóton será emitido por um estado particular, não pode ser predito.
Entretanto, a mecânica quântica pode dizer com que probabilidade este estado irá emitir um fóton no
instante t, essa probabilidade também é chamada de taxa de emissão. Isso, determina uma duração
média (sobre um grande número de átomos) do estado excitado b emitir um fóton, a qual é chamada de
tempo de vida τb desse estado,
∆Eb ≈ ~
τb
.
Como o estado fundamental não tem para onde decair então τa = ∞ e por sua vez ∆Ea = 0. Portanto,
∆Eab = ~
(
1
τa
+
1
τb
)
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1.16. Evolução temporal de um pacote de onda livre
(a) (b)
Figura 1.17: Tansição atômica do estado excitado com energia Eb com emissão de um fóton
1.16 Evolução temporal de um pacote de onda livre
Considere uma partícula livre, descrita pelo pacote de onda unidimensional
ψ(x, t) =
1√
2π
+∞∫
−∞
dk g(k) ei[kx−ω(k)t] .
Uma dada onda plana qualquer ei(kx−ωt) que compõe, o pacote de onda, propaga ao longo do eixo Ox com
uma velocidade:
Vϕ(k) =
ω
k
desde que ela dependa de x e t somente através de uma relação da forma:
x − ω
k
t.
Nesse, caso Vϕ(k) é chamada de velocidade de fase da onda plana.
1.16.1 Caso das ondas eletromagnéticas
Para uma onda eletromagnética propagando no vácuo, Vϕ(k) é independente de k e igual à velocidade
da luz c. Todas as ondas que compõem um pacote de ondas movem-se com a mesma velocidade, de
modo que o pacote como um todo também se move com a mesma velocidade, sem alteração na forma.
Por outro lado, sabemos que isso não é verdade em ummeio dispersivo, onde a velocidade de fase é dada
por
Vϕ(k) =
c
n(k)
em que n(k) é o índice de refração do meio, o qual varia com o comprimento de onda.
1.16.2 Propagação em um meio dispersivo
Por analogia, as ondas eletromagnéticas, podemos considerar que para o caso que de um pacote de
ondas, temos um meio dispersivo, pois sua velocidade de fase é dada por:
Vϕ(k) =
ω
k
=
~k
2m
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1.17. Evolução temporal de um pacote de onda livre
Veremos que quando diferentes ondas compõem o pacote, o que significa que elas possuem velocidades
de fase diferentes, a velocidade do máximo xM do pacote de onda não é a velocidade de fase média
ω0
k0
=
~k0
2m
ao contrário do que se poderia esperar.
Como fizemos antes, vamos começar tentando compreender qualitativamente o que acontece, antes
de considerarmos um ponto de vista mais geral. Portanto, voltaremos ao caso da superposição de três
ondas consideradas anteriormente.
1.16.3 Superposição de três ondas
Para um instante de tempo t arbitrário, a função de onda ψ(x, t) é dada por
ψ(x, t) =
|g(k0)|√
2π
{
1
2
ei[(k0−
1
2∆k)x−(ω0− 12∆ω)t] + ei(k0 x−ω0t) +
1
2
ei[(k0+
1
2∆k)x−(ω0+ 12∆ω)t]
}
(1.44)
logo
ψ(x, t) =
|g(k0)|√
2π
ei(k0x−ω0t)
[
1 + cos
(
1
2
∆k x − 1
2
∆ω t
)]
=
|g(k0)|√
2π
ei(k0x−ω0t)2cos2
[
1
4
(∆k x − ∆ω t)
]
Esta função tem um máximo em
xM(t) =
∆ω
∆k
t
e não no ponto x = (ω0/k0)t
1.17 Evolução temporal de um pacote de onda livre
Considere o caso do pacote de ondas unidimensional, representando uma partícula livre, dado por
ψ(x, t) =
1√
2π
+∞∫
−∞
dk g˜(k) eikx
com
g˜(k) = g(k) e−iEt/~
Figura 1.18: Reflexão da luz em um vidro.
Portanto
|g˜(k)| = |g(k)|
e como E = ~ω(k) = ~2k2/2m, então
g˜(k) = |g(k)| ei(α(k)−ω(k)t)
chamando
α˜(k) = α(k) − ω(k)t
temos
g˜(k) = |g(k)| eiα˜(k).
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1.18. Evolução temporal de uma gaussiana
1.17.1 Comentários
Analogamente, temos que o centro do pacote de onda é
x˜0 = −dα˜dk
então
x˜0 = −
(
dα
dk
− 1
~
dE
dk
)
Como para uma partícula livre E = ~2k2/2m, então
x˜0 = x0 +
~k
m
t
• Note que agora os α˜(k) não variam mais tão suavemente porque o termo Et/~, varia muito com k,
pois E = ~2k2/2m.
• Então esta aproximação só será boa para intervalos de tempos muito pequenos, nos quais α˜(k) irá
variar suavemente com k.
• Vimos que a posição do CM (o x˜0) do pacote de ondas irá variar com o tempo, entretanto, k não
varia pois o momento é conservado.
1.18 Evolução temporal de uma gaussiana
Considere o pacote de ondas gaussiano no instante t = 0
ψ(x, 0) =
√
a
(2π)3/4
∫ +∞
−∞
dk e−a
2(k−k0)2/4eikx (1.45)
o qual é obtido pela superposição de ondas planas eikx com os coeficientes
1√
2π
g(k, 0) =
√
a
(2π)3/4
e−a
2(k−k0)2/4 (1.46)
o qual corresponde a uma gaussiana centrada em k = k0, normalizada.
Em particular aparecerão integrais do tipo:
I(α, β) =
+∞∫
−∞
e−α
2(r+β)2 dr =
√
π
α
I(1, 0) =
+∞∫
−∞
e−r
2
dr =
√
π.
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1.18. Evolução temporal de uma gaussiana
Para calcularmos a integral da eq. (1.45), devemos agrupar em um quadrado perfeito o argumento da
exponencial, assim
A(k) =
a2
4
(k − k0)2 − ikx
=
a2
4
(k − k0)2 − i(k − k0)x − ik0x
=
a2
4
[
(k − k0)2 − 2(k − k0)2xa2 i
]
− ik0x
=
a2
4
[
(k − k0) − 2xa2 i
]2
+
x2
a2
− ik0x
Portanto,
ψ(x, 0) =
√
a
(2π)3/4
eik0x e−x
2/a2
∫ +∞
−∞
dk e−a
2[(k−k0)−i2x/a2]2/4
logo,
ψ(x, 0) =
√
a
(2π)3/4
eik0xe−x
2/a2
∫ +∞
−∞
dk exp
−a24
(
(k − k0) − i2xa2
)2
=
√
a
(2π)3/4
eik0xe−x
2/a2 2
√
π
a
=
(
2
πa2
)1/4
eik0xe−x
2/a2
Portanto,
ψ(x, 0) =
(
2
πa2
)1/4
eik0x e−x
2/a2
O que mostra que a transformada de Fourier de uma gaussiana é uma outra gaussiana.
dP = |ψ(x, 0)|2dx =
√
2
πa2
e−2x
2/a2
1.18.1 Propriedades da Gaussiana
É conveniente definirmos a largura de uma gaussiana e−x
2/b2 , como sendo 1/
√
e do seu valor,