Exame_1S_2013___gabarito

Prévia do material em texto

Exame de Eletromagnetismo Básico (EMB) - Gabarito 05/07/2013 
1) Dois fios coplanares iguais, longos e paralelos, posicionados no ar, são 
carregados com cargas de sinal contrário com densidades L e -L. Os fios têm 
raio “a”, separação entre centros d >> a e comprimento L >> d. Deduza as 
expressões do campo elétrico no espaço e da diferença de potencial elétrico 
entre os fios. (3.0) 
R: O campo elétrico produzido pela carga em um fio longo está orientado na 
direção radial e seu módulo não varia com o ângulo azimutal. Podemos calcular 
o seu módulo aplicando a lei de Gauss para uma superfície de integração na 
forma cilíndrica concêntrica com o fio. 
L
o L
oC
d Q E 2 L L
2


         
 
E S E a
 
Somando o campo da carga positiva com o campo da carga negativa, obtemos o 
campo total como função das distâncias em relação aos fios: 
L
o
( , )
2
 
    
 
 
          
a a
E E E
 
O potencial elétrico produzido por um fio pode ser calculado a partir do campo 
elétrico da seguinte forma: 
o o
L L o
o
o
d
V( ) V( ) d ln
2 2
 

 
    
           
    
 E a
 
Onde V(o) é o potencial de referência. Somando o potencial dos dois fios, 
obtemos o potencial total em qualquer posição do espaço. 
L o L o L
o o o
o o o
V( , ) V ( ) V ( ) V( ) ln V( ) ln 2V( ) ln
2 2 2

     
  
         
                   
          
 
Uma vez que os fios têm cargas de mesmo módulo e sinal contrário, podemos 
assumir que o potencial elétrico em qualquer posição igualmente distanciada 
dos dois fios é nulo. Considerando que o refere-se a uma posição no plano 
médio entre os fios, teremos V(o)=0. Usando a equação anterior obtemos a 
diferença de potencial entre os fios da seguinte forma: 
L L L
o o o
d a a d a
V ln ln ln
2 a 2 d a a
         
        
        
 
 
2) Em relação à figura abaixo, deduza a expressão da indução magnética no 
eixo do solenóide e da indutância. Considere que a densidade linear de espiras 
é grande e que o núcleo tem permeabilidade relativa r e fator de 
desmagnetização nulo. Use para início dos cálculos a equação do campo 
magnético no vácuo a uma distância z do centro de uma espira circular de raio 
R: (3.0) 
2
z3 / 2
2 2
iR
( z )
2 R z

  
H a
 
 
 
 
R: Um solenóide com grande número de espiras pode ser considerado como 
uma distribuição contínua de corrente com densidade linear k=i(Ne/Ls) em 
torno do núcleo. Uma fração dz do comprimento do solenóide comporta-se 
então como uma espira de corrente, cuja indução magnética pode ser calculada 
usando a fórmula anterior. 
 
2e
s
esp z3 / 2
22
N
i R dz
L
d ( z z ) ( z z )
2 R z z
    
     
  
 
B = H a
 
Integrando no comprimento, obtemos a indução magnética no eixo do 
solenóide: 
 
Ls / 22
e
z3 / 2
22
s Ls / 2
iN R dz
( z )
2L R z z

  
 
B = a
 
Podemos usar a seguinte transformação de variáveis: 
2
z z Rtg
dz Rsec d
  
   
 
Com isso, a solução da integral indefinida é obtida na seguinte forma: 
 
 
 
2
3 / 2 3 / 2 2 2 2 22 2 2 2 22
z zdz Rsec d 1 1 1
cos d sen
R R RR R tg R z zR z z
  
          
          
  
 
Aplicando os limites de integração, obtemos: 
 
 
 
 
 
Ls / 22
e e
z z3 / 2 2 22 2 22
s sLs / 2
z Ls / 2 z Ls / 2iN R dz iN
( z )
2L 2L R z Ls / 2 R z Ls / 2R z z
 
     
          
B = a a
 
O fluxo magnético no solenóide é calculado com base no conceito de densidade 
de espiras. Em uma posição qualquer do eixo do solenóide o fluxo diferencial é 
dado por dm=B(z)R2(Ne/Ls)dz. Integrando e dividindo pela corrente no 
solenóide, obtemos a indutância:  
 
 
 
   
 
2Ls / 2 Ls / 22
2 e e
2 22 2
s sLs / 2 Ls / 2
2
Ls / 22
2 22 2e
Ls / 2s
2
2 2 2e
s
s
z Ls / 2 z Ls / 21 N R N
L B( z ) R dz dz
i L 2 L R z Ls / 2 R z Ls / 2
R N
R z Ls / 2 R z Ls / 2
2 L
N
L R R L R
L
 
 

 
        
       
             
 
    
 
 =
 
 
3) Considere o sistema abaixo no qual o fio reto e longo conduz corrente elétrica 
i(t)=Io cos(t) e a espira está se deslocando com velocidade radial ‘u’. Calcule a 
força eletromotriz induzida na espira. (2.0) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
R: Inicialmente calculamos o fluxo magnético através da espira. O campo 
magnético gerado pela corrente no fio reto está orientado na direção azimutal e 
pode ser calculado através da lei de Ampere usando como caminho de 
integração uma circunferência concêntrica com o fio. 
 
 o
C
I
d i( t ) cos t
2
    

H L H a
 
 
O fluxo magnético é então obtido por meio da integração da indução magnética 
na área da espira. Consideremos que a posição da espira é descrita pela 
expressão e(t)=o+ut, onde o é a posição inicial da espira. 
 
     
e
e
a
o o o o e o o o
m
e oS
I a d I a a I a a ut
d cos t cos t ln cos t ln
2 2 2 ut
 

           
           
         
 B S
 
 
A força eletromotriz induzida, segundo a lei de Faraday, é obtida através da 
derivada no tempo do fluxo magnético. Assim, temos: 
 
 
 m o o o ofem
o o
d cos td I a a ut d a ut
V ln cos t ln
dt 2 ut dt dt ut
            
         
         
 
 
Calculando as derivadas, obtemos o resultado na forma final: 
 
   
  
o o o
fem
o o o
I a a ut au
V sen t ln cos t
2 ut a ut ut
     
      
          
 
 
 
4) Uma onda eletromagnética de frequência 30 MHz se propaga em um meio 
não magnético com tangente de perdas 0.3 e sofre atenuação de 1 dB/m. A 
potência média na posição a 10 m da origem do sistema de coordenadas é 1 
W/m2. Calcule: (2.0) 
a) A profundidade de penetração e a velocidade de fase da onda. 
b) As amplitudes dos campos elétrico e magnético da onda na origem do 
sistema de coordenadas. 
 
R: As constantes de atenuação e fase da onda são dadas por: 
 
2
2
1
1 1
2
1
1 1
2
         
  
 
         
  
 
 
 
Onde a tangente de perdas do meio foi dada: tg=/. Dividindo as equações 
anteriores podemos obter a relação entre as duas constantes: 
 
2
2
1 tg 1
6.8134 6.8134
1 tg 1
  
 
   
 
 
A informação de atenuação no meio pode ser usada para se obter a constante 
alfa. Basta converter em Np/m. 
 
 
 
1 dB / m
0.1151 Np / m
8.686 dB / Np
  
 
 
Com isso, a constante de atenuação é obtida: 
 
6.8134x0.1151 rad / m 0.7842 rad / m  
 
 
a) A profundidade de penetração e a velocidade de fase são calculadas a partir 
das constantes obtidas anteriormente: 
 
 
1 1
m 8.6881 m
0.1151
   

 
6
82 x30 x10 rad / su 2.404 x10 m / s
0.7842 rad / m
 
  

 
 
b) As amplitudes dos campos são obtidas a partir da informação de potência 
média transportada pela onda: 
 
 
2
2 zo
z
E
z e cos
2
 
 

P u
 
 
Onde a impedância deve ser obtida a partir da constante de propagação já 
calculada anteriormente: 
 
  
 
   jarctgo j0.1457o o o
2 2 2 2
j jj j
e 298.85e
j j j
        
      
            
 
 
Assim, calculamos as amplitudes dos campos na origem: 
 
 
 o 2 z 2x0.1151x10
o
o
2 P z 2x298.85x1
E 77.70 V / m
e cos e cos 0.1457
E 77.70V / m
H 0.26 A / m
298.85
  


  

  
 