primeira_prova_1S_2013___Gabarito (1)

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Primeira Prova EMB – 05/04/2013 - Gabarito 
1) Questão referente às atividades práticas. A impedância elétrica de um dispositivo foi medida na faixa de 
frequências de 1 Hz a 1 MHz, conforme mostra o gráfico abaixo. Descreva o circuito equivalente deste 
dispositivo e calcule os elementos desse circuito. (2.0) 
 
R: Uma vez que a impedância alcança um valor mínimo na frequência de ressonância, trata-se de um 
circuito ressonante série, como mostra a figura abaixo. 
 
O valor da resistência é obtido na frequência de ressonância, uma vez que nesta frequência as reatâncias 
do indutor e do capacitor se cancelam mutuamente. Assim, temos: 
R 10 
 
A impedância na frequência mais baixa sofre influência desprezível da reatância indutiva (podemos 
verificar isso pelo ângulo polar da impedância em 1 Hz). Portanto, podemos escrever: 
1
Z R
j C
 

. Com 
isso, podemos calcular a capacitância: 
-6
2 4 2 22
1 1 1 1
C 2.5x10 F
2 (6.3662x10 ) 10Z R
  
  
 
A frequência de ressonância do circuito é dada por 
o
1
LC
 
. Com isso, usando o valor lido no gráfico 
para fo = 10 KHz (ângulo polar nulo) podemos calcular a indutância: 
10
0
10
1
10
2
10
3
10
4
10
5
10
6
10
1
10
2
10
3
10
4
10
5
f (Hz)
M
ód
ul
o 
(O
hm
s)
10
0
10
1
10
2
10
3
10
4
10
5
10
6
-100
-50
0
50
100
f (Hz)
An
gu
lo
 (g
ra
us
)
6.3662e4 
-89.9910 
89.0881 
628.3344 
4
2 4 2 6
o
1 1
L 1x10 H
C ( 2 x10 ) x2.5x10


  
 
 
 
2) Assinale as afirmações corretas. Naquelas que considerar incorretas reescreva o texto fazendo as 
alterações necessárias para que fiquem corretas. (4.0) 
 a) A força elétrica entre duas cargas puntiformes é proporcional à distância entre elas. Incorreta 
A força elétrica entre duas cargas puntiformes é inversamente proporcional ao quadrado da distância 
entre elas. 
b) A força elétrica entre cargas puntiformes está orientada na direção da reta que une as cargas e é 
repulsiva se as cargas são iguais. Correta 
c) Se a distância entre as cargas dobra, a força elétrica é reduzida pela metade de seu valor anterior. 
Incorreta 
Se a distância entre as cargas dobra, a força elétrica é reduzida para a quarta parte de seu valor anterior. 
d) Se um volume contém quantidades iguais de carga positiva e negativa, o fluxo elétrico através de uma 
superfície fechada que envolva este volume é zero independentemente da forma da superfície e da 
disposição das partículas carregadas no volume. Correta 
e) Se o fluxo elétrico através de uma superfície fechada é negativo, podemos concluir que cargas negativas 
estão saindo desse volume. Incorreta 
Se o fluxo elétrico através de uma superfície fechada é negativo, podemos concluir que existem mais 
cargas negativas que positivas no volume limitado por essa superfície. 
(f) A lei de Gauss pode ser descrita na forma diferencial usando o operador gradiente na seguinte forma: 
v  D
. Incorreta 
A lei de Gauss pode ser descrita na forma diferencial usando o operador divergente na seguinte forma: 
v  D
 
g) O potencial elétrico é a energia potencial que uma carga de 1 Coulomb adquire ao ser colocada em uma 
região do espaço que contém campo elétrico. Correta 
h) Conhecendo-se o potencial elétrico no espaço podemos calcular o campo elétrico através de uma 
integral de linha da seguinte forma: 
V d
b
a
( b ) ( a )   E E L
. Incorreta 
Conhecendo-se o campo elétrico no espaço podemos calcular o potencial elétrico através de uma 
integral de linha da seguinte forma: 
d
b
a
V(b ) V( a )   E L
. 
i) A energia armazenada em um sistema de cargas elétricas está distribuída apenas no volume ocupado 
pelas cargas. Incorreta 
A energia armazenada em um sistema de cargas elétricas está distribuída em todo o espaço onde o 
campo elétrico gerado por essas cargas é não nulo. 
j) A densidade volumétrica de energia elétrica pode ser calculada pela equação 
1
w
2
 D E
 apenas se o 
meio for linear, ou seja, se a indução elétrica e o campo elétrico são proporcionais entre si. Correta 
k) A condutividade de um material depende apenas da densidade de elétrons que ele possui. Incorreta 
A condutividade de um material depende da densidade de elétrons que ele possui e do tempo médio 
entre colisões no cristal. 
L) O campo elétrico paralelo na superfície de um condutor perfeito é nulo. Correta 
m) A polarização elétrica ocorre apenas nos materiais formados por moléculas polares. Incorreta 
A polarização elétrica não ocorre apenas nos materiais formados por moléculas polares porque a 
polarização eletrônica ocorre em qualquer material. 
n) A polarização de um objeto dielétrico resulta em densidades de carga livre no volume e na superfície 
desse objeto que são dadas por: 
ps P
e 
pv n   P a
. Incorreta 
A polarização de um objeto dielétrico resulta em densidades de carga de polarização no volume e na 
superfície desse objeto que são dadas por: 
pv  P
e 
ps n  P a
. 
o) A susceptibilidade elétrica é uma constante de proporcionalidade adimensional entre polarização e 
campo elétrico em um meio. Incorreta 
A susceptibilidade elétrica é uma constante de proporcionalidade adimensional entre polarização e o 
produto da permissividade do vácuo com o campo elétrico em um meio. 
p) Segundo a equação da continuidade, se o fluxo da densidade de corrente elétrica através de uma 
superfície fechada é positivo, então a carga elétrica dentro do volume diminui no tempo com taxa igual à 
corrente total que atravessa essa superfície. Correta 
 
3) Considere um cabo coaxial com raio interno “a”, raio externo “b” e comprimento L >> b. O condutor 
interno está ligado a um potencial Vo e o condutor externo está aterrado. O isolante do cabo tem constante 
dielétrica r. Partindo da lei de Gauss: (2.0) 
a) Deduza as expressões do campo elétrico e do potencial elétrico para 0     como função de Vo. 
R: Considerando uma superfície de integração na forma cilíndrica concêntrica com os condutores do cabo, 
sabendo que o campo gerado por um fio reto e longo é perpendicular ao fio, aplicando a lei de Gauss, 
obtemos o campo elétrico na seguinte forma geral: 
L
L
S
d 2 L E L
2


      

E S = = E a
 
No interior do cabo, entre os raios a e b, o campo assume então a seguinte forma: 
L
r o2



  
E a
 
O potencial elétrico no interior do cabo é obtido pela integração de linha na direção radial. 
L L
o o o
r o r oa a
d a
V( ) V d V V ln
2 2
 

   
          
      
 E a
 
Usando a condição de contorno 
 V b 0
, obtemos a densidade de carga no condutor interno como função 
do potencial Vo aplicado. 
L r o o
o L
r o
a 2 V
0 V ln
b2 b
ln
a
   
    
    
 
 
 
Então, com base nos resultados anteriores, substituindo L em função de Vo, podemos especificar o 
potencial e campo elétrico nas diversas regiões do espaço na seguinte forma: 
 < a é o interior do condutor interno, portanto o campo é nulo e o potencial é uniforme: 
o
0
V V


E a
 
a    b 
L r o o o
r o r o
2 V 1 V
b b2 2
ln ln
a a
  
  
  
        
   
   
E a a a
L r o o o
o o o o
r o r o
b
ln
a 2 V 1 a V a
V( ) V ln V ln V ln V
b b b2 2
ln ln ln
a a a
 
 
                     
                
     
     
 
Para  > b, uma vez que as cargas nos condutoressão iguais em módulo, mas tem sinais contrários, tanto o 
campo quanto o potencial elétrico fora do cabo são nulos. 
0
V 0


E a
 
b) Usando o conceito de densidade volumétrica de energia, calcule a energia eletrostática armazenada no 
cabo como função de Vo. 
R: A densidade volumétrica de energia é dada por: 
2
r o
1 1
w E
2 2
   D E =
. A única região com campo 
elétrico não nulo é aquela entre os condutores. Substituímos a equação do campo elétrico na região a    
b e realizamos a integração no volume do cabo nesse intervalo. O cálculo é mostrado a seguir: 
b b b2 2 2
2r o o r o o r o o
r o
2 2 2a a a
V LV d LV
W E 2 Ld L d
b b b2
ln ln ln
a a a
      
        
     
      
     
  
 
 
4) Uma placa isolante quadrada de aresta “a” e espessura “d”, sendo a>>d, é colocada em uma região de 
campo elétrico uniforme E = Eo az. Se a placa é colocada transversalmente ao campo, calcule o campo 
elétrico, a indução elétrica e a polarização elétrica no interior da placa como função de Eo. Não se esqueça 
da notação vetorial. (2.0) 
R: A placa se polariza na direção e sentido do campo pré-existente. Isso resulta em cargas de polarização 
nas faces perpendiculares ao campo. A densidade de cargas é dada por 
ps P  
na face esquerda e 
ps P 
na face direita. Com isso surge um campo elétrico gerado pelas cargas de polarização, contrário ao 
campo elétrico pré-existente. Usando a lei de Gauss, sabemos que cada face produz campo elétrico 
perpendicular de módulo igual a 
ps o/ 2 
. Então, no interior da placa, os campos das duas faces se 
somam, resultando no campo elétrico 
 p o zP /  E a
. O campo elétrico total dentro da placa é a soma do 
campo pré-existente com o campo gerado pela polarização: 
o p o z
o
P
+ E
 
  
 
E = E E a
 
A polarização da placa é proporcional ao campo total. Resolvendo a equação resultante, obtemos: 
e o o
e o e o o z e o o z e z
o e
P E
E E
1
   
             
   
P = E a a P P a
 
Substituindo na equação do campo total, obtemos o seguinte: 
o o
z z
e r
E E
1

  
E = a a
 
Ou seja, o campo elétrico diminui no interior da placa. A indução elétrica é obtida a partir do campo já 
calculado: 
r o o
r o z o o z
e
E
E
1
 
   
 
D = E = a a
 
Ou seja, a indução não se altera com a colocação da placa.