Segunda_prova_1S_2012___Gabarito

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Segunda Prova de Eletromagnetismo Básico (EMB) 
1) Questão Relacionada às atividades práticas
Em um ensaio de impedância elétrica foi usada a
para medir a condutividade e constante dielétrica do material in
eletrodos metálicos, onde S = 4x10
impedância medida foi Zsc 
aberto a impedância medida foi muito alta, portanto podemos considerar Z
medir a amostra em 1 MHz obteve
constante dielétrica do material da amostra em 
 
Resposta: A impedância da amostra, descontando a impedância série medida no 
ensaio de curto circuito e desprezando o efeito da impedância paralela, 
a m sc
Z = Z - Z = 12.7e - 1.3e = 11.3 - j2.22
A impedância da amostra é dada pela fórmula a seguir:
a
r o
d / AZ j= σ + ωε ε 
Separando as partes real e imaginária obtemos a condutividade e constante dielétrica:
( )
( )
a
r a
o
d / A Re(1 / Z ) 2x10 / 4x10 cos(0.194) / 11.5 0.426 
d / A
Im(1 / Z ) sen (0.194) / 11.5 1507
2 f 2 x10 x8.85x10
σ = = =
ε = = =
pi ε pi
 
Prova de Eletromagnetismo Básico (EMB) 
Questão Relacionada às atividades práticas: (2.0) 
Em um ensaio de impedância elétrica foi usada a estrutura mostrada na Figura abaixo 
para medir a condutividade e constante dielétrica do material in
eletrodos metálicos, onde S = 4x10-4 m2 e d = 2x10-3 m. No ensaio de curto circuito a 
 = 1.3 e j0.25 Ω na frequência de 1 MHz. No ensaio de circuito 
a impedância medida foi muito alta, portanto podemos considerar Z
MHz obteve-se Zm= 12.7 e-j0.15 Ω. Calcule a condutividade e 
constante dielétrica do material da amostra em 1 MHz. 
 
: A impedância da amostra, descontando a impedância série medida no 
e desprezando o efeito da impedância paralela, 
-j0.15 j0.25 -j0.194Z = Z - Z = 12.7e - 1.3e = 11.3 - j2.22 Ω = 11.5 e Ω
A impedância da amostra é dada pela fórmula a seguir: 
Separando as partes real e imaginária obtemos a condutividade e constante dielétrica:
( )
( )
3 4
3 4
6 12
d / A Re(1 / Z ) 2x10 / 4x10 cos(0.194) / 11.5 0.426 
2x10 / 4x10
Im(1 / Z ) sen (0.194) / 11.5 1507
2 f 2 x10 x8.85x10
− −
− −
−
σ = = =
ε = = =
pi ε pi
 28/05/2012 
estrutura mostrada na Figura abaixo 
para medir a condutividade e constante dielétrica do material inserido entre os 
No ensaio de curto circuito a 
. No ensaio de circuito 
a impedância medida foi muito alta, portanto podemos considerar Zoc=∞. Ao 
. Calcule a condutividade e 
: A impedância da amostra, descontando a impedância série medida no 
e desprezando o efeito da impedância paralela, é dada por: 
-j0.15 j0.25 -j0.194Ω = 11.5 e Ω
 
Separando as partes real e imaginária obtemos a condutividade e constante dielétrica: 
d / A Re(1 / Z ) 2x10 / 4x10 cos(0.194) / 11.5 0.426 S / m
Im(1 / Z ) sen (0.194) / 11.5 1507
σ = = =
ε = = = 
2) Questão conceitual. Marque as alternativas corretas em cada item a seguir. Cada 
item vale 0.4 pontos divididos da seguinte forma: um acerto = 10%, dois acertos = 20 %, 
três acertos = 40%, quatro acertos = 100%. 
OBS: Não era necessário justificar. Inclui as justificativas para maior clareza sobre as 
respostas. 
 
2.1) Segundo a lei de Biot-Savart, o campo magnético produzido por uma elemento 
linear de corrente “i dL” tem as seguintes características: 
[ X] A intensidade do campo varia com o inverso do quadrado da distância até o 
elemento de corrente; 
[ ] O campo está orientado na direção do vetor de posição do ponto no espaço em 
relação ao elemento de corrente. Obs: A força está orientada perpendicularmente ao 
vetor de posição. 
[ X ] Para uma distância fixa no espaço, se o vetor de posição é perpendicular ao 
elemento de corrente o campo magnético é máximo; 
[ ] Quando o vetor de posição é paralelo ao elemento de corrente o campo magnético 
é mínimo, mas não necessariamente nulo. Obs: Para orientação paralela o campo é 
nulo. 
 
2.2) Em relação ao campo gerado por uma espira circular plana transportando 
corrente (em coordenadas cilíndricas: campo radial = direção ρρρρ, campo azimutal = 
direção φφφφ, campo axial = direção z): 
[ X ] O campo azimutal é nulo em todo o espaço; 
[ ] No eixo da espira a única componente de campo não nula é a radial; Obs: Eρρρρ=0 e 
Ez≠≠≠≠0 
[ ] O campo axial no plano da espira é máximo no centro; Obs: É máximo sobre o fio. 
[ X ] No plano da espira o campo radial é nulo e o campo axial muda de sentido de 
dentro para fora da espira. 
 
2.3) Em relação à lei de Ampere para magnetostática, podemos afirmar: 
 [ X ] É estritamente válida apenas para correntes que não variam no tempo; 
 [ X ] A corrente elétrica total que atravessa uma área finita é numericamente igual a 
circulação do campo magnético ao longo do perímetro desta área; 
 [ X ] O sentido do campo gerado é dado pela regra da mão direita; 
[ ] Quando aplicada em um caminho interno de uma bobina toroidal o campo 
obtido torna-se independente do raio do percurso de circulação. Obs: O campo dentro 
do toróide depende do raio de circulação. 
 
2.4) Quando a lei de Ampere é aplicada em condutores retilíneos verificamos que: 
 [ X ] O condutor deve ter grande comprimento e o cálculo é adequado apenas próximo 
de seu centro geométrico; 
[ X ] Em um fio cilíndrico maciço isolado transportando corrente elétrica o campo 
magnético interno aumenta linearmente do centro para a superfície do fio. 
[ X ] Para um fio muito comprido, o campo gerado próximo de seu centro não depende 
de seu comprimento. 
[ ] Em um cabo coaxial, existe campo magnético apenas no espaço entre os 
condutores; Obs: existe campo magnético também dentro dos condutores. 
 
2.5) Em relação à lei de Gauss, podemos afirmar que: 
[ X ] A indução magnética normal é sempre contínua em qualquer interface; 
[ X ] O fluxo magnético total através de uma superfície fechada é nulo; 
[ ] O fluxo magnético através de uma superfície fechada é não nulo se o meio não for 
homogêneo ou isotrópico; Obs: Uma vez que o divergente da indução magnética é 
nulo em qualquer meio, o fluxo total através de uma superfície fechada é 
independente das propriedades magnéticas do meio. 
[ X ] Em qualquer meio o divergente da indução magnética é sempre nulo . Já o 
divergente do campo magnético depende da variação espacial da permeabilidade 
magnética. 
 
2.6) Baseando-se no conceito de potencial vetor magnético podemos deduzir que: 
[ ] A sua integral de linha ao longo de um percurso qualquer fornece o trabalho 
realizado pelo campo magnético sobre as cargas elétricas nesse percurso; Obs: A 
circulação do potencial magnético é igual ao fluxo magnético e não ao trabalho 
realizado sobre cargas elétricas. 
[ ] O seu divergente é numericamente igual ao campo magnético no espaço; Obs: É o 
rotacional do potencial magnético que determina a indução magnética. 
[ X ] O seu rotacional fornece a indução magnética na espaço; 
[ X ] A sua circulação é numericamente igual ao fluxo magnético através de qualquer 
área limitada pelo percurso de integração. 
 
2.7) Sobre a força magnética entre dois condutores retilíneos transportando corrente 
elétrica podemos afirmar o seguinte: 
[ X ] Para uma mesma distância entre os fios, a força magnética é máxima se os fios são 
paralelos e nula se são perpendiculares; 
[ ] Se os fios são paralelos e as correntes estão no mesmo sentido a força é de 
repulsão; Obs: A força nesse caso é de atração. 
[ X ] Se um dos fios é muito maior que o outro a força diminui com o inverso da 
distância entre os fios; 
[ ] A força magnética não depende do meio no qual os condutores estão contidos. 
Obs: A força depende da permeabilidade magnética do meio onde os condutores 
estão localizados. 
 
2.8) Em relação à magnetização damatéria podemos afirmar o seguinte: 
[ ] O torque de alinhamento dos dipolos magnéticos de um material por um campo 
externo depende do produto escalar entre o campo aplicado e o momento de dipolo 
magnético; Obs: o torque é dado pelo produto vetorial entre o momento de dipolo 
magnético e o campo aplicado. 
[ X ] Se o material apresenta momento de dipolo magnético molecular nulo ele é 
diamagnético, caso contrário é paramagnético ou ferromagnético; 
[ X ] Nos materiais ferromagnéticos a permeabilidade relativa depende do campo 
magnético aplicado; 
[ X ] Acima da temperatura Curie, uma material ferromagnético torna-se 
paramagnético. 
 
2.9) Sobre os circuitos acoplados magneticamente, sabemos que: 
[ ] Podemos calcular o fluxo magnético total através de um circuito como o produto 
da indutância própria com a corrente elétrica neste circuito; Obs: o fluxo total tem uma 
parcela adicional devido ao acoplamento magnético com outro circuito dada pelo 
produto da indutância mútua com a corrente no outro circuito. 
[ ] A indutância mútua entre dois circuitos não depende da permeabilidade 
magnética do caminho de conexão entre esses circuitos; Obs: a indutância mútua 
depende da relutância do caminho magnético e portanto da permeabilidade 
magnética do meio. 
[ ] A energia magnética total do sistema acoplado depende unicamente dos 
quadrados das amplitudes das correntes envolvidas e das indutância próprias dos 
circuitos; Obs: a energia armazenada depende também do produto da indutância 
mútua com as correntes elétricas nos dois circuitos. 
[ X ] A energia magnética armazenada no sistema depende do sentido das correntes 
nos circuitos acoplados; 
 
2.10) Um circuito magnético constituído de material ferromagnético tem as seguintes 
características: 
[ X ] Quanto menor a relutância de um percurso maior é o fluxo magnético neste 
percurso; 
[ ] A força magnetomotriz de um enrolamento depende da corrente e da área das 
espiras desse enrolamento; Obs: a força magnetomotriz é dada pelo produto da 
corrente com o número de espiras do enrolamento. 
[ X ] A soma dos fluxos magnéticos que entram (fluxo negativo) e saem (fluxo positivo) 
de uma conexão entre dois ou mais braços de um circuito magnético é zero; 
[ X ] As fontes de força magnetomotriz são enrolamentos transportando corrente ou 
imãs permanentes no circuito. 
 
 3) Considere um cabo coaxial com 2 metros de comprimento, condutor interno maciço 
com diâmetro de 3 mm, condutor externo com diâmetro de 8 mm e espessura 
desprezível, percorrido por uma corrente elétrica estática de 1 Ampere. A) Calcule o 
campo magnético máximo no cabo; B) Calcule a energia magnética total armazenada 
no cabo. (2.0) 
Resposta: O campo magnético no interior do cabo coaxial é obtido através da lei de 
Ampere: 
C
i( )d i
2 φ
ρ
⋅ = → =
piρ∫�
H L H a 
p/ ρ ≤ a 
2 2
2 2 2
Ii( ) I I
a a 2 a φ
piρ ρ ρρ = = → =
pi pi
H a 
p/ ρ ≥ a 
Ii( ) I
2 φ
ρ = → =
piρ
H a 
O campo máximo ocorre na superfície do condutor interno ρ = a: 
A) max
I 106.1 A / m
2 a φ φ
= =
pi
H a a 
A energia magnética é obtida como uma integral de volume da densidade de energia 
no interior do cabo: 
22a b
2
o o 2
V 0 a
a b2 2
3
o 4
0 a
1 1 I IW H dV 2 d L 2 d L
2 2 2 a 2
1 I I dL d
2 2 a 2
  ρ 
= µ = µ piρ ρ + piρ ρ   
pi piρ    
 ρ
= µ ρ ρ + 
pi pi ρ 
∫ ∫ ∫
∫ ∫
 
Resolvendo as integrais e substituindo os valores numéricos, obtemos: 
B) ( )
2
-7oI L 1W ln b / a 2.46x10 J
4 4
µ  
= + = pi  
 
 
4) O circuito magnético abaixo é constituído por um núcleo magnético com 
permeabilidade relativa de 1000, percurso médio interno com 12 cm, área da seção 
transversal de 1 cm2 e enrolamento com 100 espiras percorridas por corrente de 1 A. A) 
Calcule o fluxo magnético no circuito; B) Se o braço inferior do circuito é deslocado de 
1 mm para baixo, calcule o aumento necessário na corrente da bobina para manter o 
fluxo inalterado; C) Calcule a força magnética sobre a peça móvel. (2.0) 
�
��������	�
	���������
�����	��
������	����
��������	
�
�����
�������
��
2
5 1
7 4 2
r o
L ( 12x10 m )R 9.55x10 H
S ( 1000 ).( 4 x10 H / m ).( 10 m )
F N I 100Ae
−
−
− −
= = =
µ µ pi
= =
�
������
������
��
���
�
��
��
�
�
���
��	�
	�	�
�	���	����
A) 
-4
5 1
F 100 Ae 1.05x10 Wb
R 9.55x10 H −
ψ = = =
 
Quando o braço inferior é deslocado, a relutância do circuito aumenta pelo valor 
correspondente aos dois entreferros em série: 
7 1
ar
o
2eR 1.59x10 H
S
−
= =
µ
 
O aumento necessário na força magnetomotriz para manter o fluxo é então obtido pelo 
produto do fluxo com o aumento da relutância: 
7 1 -4
arF R (1.59x10 H ).(1.05x10 Wb ) 1666.7 Ae−∆ = ψ = =
 
Isso implica no aumento da corrente pela quantidade: 
B) 
FI 16.67 A
N
∆∆ = =
 
A força sobre a peça móvel é a soma das forças nos entreferros. Assumimos a direção 
vertical para cima como sendo indicada pelo eixo x. Para um deslocamento ∆x da peça 
móvel, considerando que o fluxo magnético não muda, podemos calcular a força da 
seguinte forma: 
2 2
x x x
o ox e
dW d 1 B B S2 (x = e) 2 ( xS )
dx dx 2
=
  
= = ∆ =  µ µ   
F a a a
 
A indução magnética é calculada como segue: 
-4
4 2
1.05x10 WbB 1.05 T
S 10 m−
ψ
= = =
 
Substituindo na equação anterior, obtemos: 
C) 
( )2 4 22
x x x7
o
1.05 T ( 10 m )B S 87.27 N( 4 x10 H / m )
−
−
= = =
µ pi
F a a a