LISTA 4

Prévia do material em texto

UNIVERSIDADE DO ESTADO DO RIO DE JANEIRO 
ÁLGEBRA I – TURMA 02 
LISTA 4 
 
1. Determine ( )q x e ( )r x tais que: 
( ) ( ) ( ) ( )f x g x q x r x  , 
Onde ( ) 0r x  ou ( ) ( )r x g x   e ( ), ( ) [ ]f x g x x 
a) ( ) ³ 1; ( ) ² 1f x x x g x x     
b) ( ) ³ 1; ( ) 1f x x g x x    
c) 5( ) 1; ( ) 1f x x g x x    
d) 3( ) ³ 2; ( ) 2f x x g x x    
2. Seja K um corpo. Dizemos que K é algebricamente fechado se 
( ) [ ], f x K x K talque    ( ) 0f   . 
Dê exemplo de um corpo algebricamente fechado. 
3. Prove que se um corpo k é algebricamente fechado, então todo polinômio 
( ) [ ]f x K x de grau 1n  pode ser fatorado em K do seguinte modo: 
1 2( ) .( ) ( ) ( )nf x c x x x         , onde c K e 1 2, , , n K    são raízes de 
f(x). 
4. Fatore o polinômio 4 1x  sobre o corpo  como no exercício anterior. 
5. Calcule a soma e o produto dos polinômios 3 2( ) 2 4 3 3f x x x x    e 
4( ) 3 2 4g x x x   sobre os corpos 5 7 e   . 
6. Sejam K um corpo, ( ) [ ]f x K x e a K . Prove que o resto da divisão de ( )f x por 
( )g x x a  é ( )f a . 
7. Dados os polinômios 4 3 2( ) 4 3 1f x x x x x     e 3( ) 2 3g x x x   , determine 
 ( ), ( )mdc f x g x . 
8. Obtenha a fatoração única em 5 do polinômio 4 3( ) 2 2f x x x x    
9. Mostre que o polinômio ( ) ³ 2f x x  é irredutível sobre o corpo . 
10. Prove que 4( ) 4f x x  é polinômio redutível sobre o corpo  . 
11. Mostre que 4 2( ) 3 66 198 132f x x x x    é irredutível sobre [ ]x . 
12. Determine quais dos seguintes polinômios sobre os seguintes corpos K são 
irredutíveis: 
a) 7 22 ³ 11 ² 44 33x x x x    K =  
b) ³ 7 ² 3 3x x x   K =  
c) 4 5x  7K  