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Prof. Ana Matos a soma ou resultante de vetores é obtido colocando-se a origem de um na extremidade de outro, independendo da sequência ou ordem de colocação. Assim a resultante de [(OA) +( AB) + (CD)] é (OD); Regra do polígono OA AB CD OD – Vetor Resultante Obs.: todos os vetores são coplanares. A diferença entre os vetores [(AB) - (CD)] é o vetor (OP) tal que [(OP) + (CD)] = (AB). AB CD AB - CD OP Lei do Paralelogramo. A soma de dois vetores P e Q é obtida aplicando os dois vetores em um mesmo ponto A e construindo um paralelogramo que tem P e Q como lados. A diagonal que passa por A representa a soma dos vetores P e Q, indicada por P + Q = R. A soma de dois vetores é comutativa P + Q = Q + P Obs.: todos os vetores são coplanares. Definição Algébrica Sejam u e v vetores não nulos. O produto escalar de u por v, indicado por u.v, é um número real : Produto Escalar Uma base é chamada de base ortogonal quando seus vetores são dois a dois ortogonais. OBS: Dois vetores são ortogonais se o produto interno for igual a zero. Exemplo: A base ortonormal (Definida como canônica) é uma base vetorial em que os vetores são mutualmente ortogonais e se seus módulos são iguais a 1 (vetor unitário). No o R2 a base é i, j. Características: A base ortogonal canônica (padrão) para o R3 é i, j, k. Expressão cartesiana do produto escalar em função da própria base { i, j, k }, temos: EIXO DAS ABSCISSAS EIXO DAS COTAS EIXO DAS ORDENADAS i j k P O OBS: Tratamos os coeficientes de i, j, k como se fossem componentes de um vetor. Exemplo: No nosso curso, trabalharemos com um sistema de coordenadas ortogonal. A base ortonormal desse sistema de coordenadas será indicada por { i , j , k }. Os cossenos destes ângulos são denominados cossenos diretores e podem ser escritos como: 𝒄𝒐𝒔 𝜶 = 𝒙 |𝑽| 𝒄𝒐𝒔 𝜷 = 𝒚 |𝑽| 𝒄𝒐𝒔 𝜸 = 𝒛 |𝑽| Vale a igualdade: Vale a igualdade: Exercícios: ) (associativa) ) (distributiva) ) (distributiva) ) 1. i v v ii u v u v iii v v v iv v v Dados dois vetores u e v , não nulos, e escolhido um ponto O qualquer, podemos escrever: Chamamos ângulo de u e v a medida do ângulo AOB determinado pelas semi-retas OA e OB. Indicamos AOB = (u ,v ) , onde ),(0 vu Exercício: 1) x y z segmento (0,0,0)-->(1,1,4) segmento (0,0,0)-->(-1,2,2) x y z segmento (0,0,0)-->(2,-1,0) segmento (0,0,0)-->(-1,2,3) 2) x y z segmento (0,0,0)-->(2,1,0) segmento (0,0,0)-->(-1,2,3) Conclusão: O produto escalar de dois vetores não nulos é igual ao produto de seus módulos pelo cosseno do ângulo por eles formado. 1. Considere o |u| =4, |v| = 3 e o ângulo formado por u e v = 600 2. Determine x de modo que u e v sejam ortogonais. a) U = (x,0,3), V = (1,x,3) b) U = (x,x,4), V = (4,x,1) c) U = (x+1, 1, 2), V = (x-1, -1, -2) d) U = (x,-1,4), V = (x, -3, 1) 3. Determine U ortogonal a (-3, 0, 1) tal que U. (1,4,5) = 24 e U. (-1,1,0) =1 Sejam os vetores 𝑢 𝑒 𝑣 , com 𝑢 ≠ 0 𝑒 𝑣 ≠ 0 , 𝜃 o ângulo formado entre eles. Pretendemos calcular o vetor 𝑤 que representa a projeção de 𝑢 𝑠𝑜𝑏𝑟𝑒 𝑣 . Portanto, o vetor projeção de 𝑢 𝑠𝑜𝑏𝑟𝑒 𝑣 (proj. 𝑣 𝑢 = 𝑤) é: proj. 𝑣 𝑢 = 𝑢. 𝑣 𝑣 𝑣 Sejam os pontos A = (-1, -1, 2), B=(2,1,1) e C=(m,-5,3). a) Para que valor de m o triângulo ABC é retângulo em A. b) Determine o ponto H, pé da altura relativa ao vértice A.
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