Aula 4_GA (1)

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Prof. Ana Matos 
a soma ou resultante de vetores é obtido colocando-se 
a origem de um na extremidade de outro, 
independendo da sequência ou ordem de colocação. 
Assim a resultante de [(OA) +( AB) + (CD)] é (OD); 
Regra do polígono 
 
OA 
AB 
CD 
OD – Vetor Resultante 
Obs.: todos os vetores são coplanares. 
A diferença entre os vetores [(AB) - (CD)] é o vetor (OP) 
tal que [(OP) + (CD)] = (AB). 
AB 
CD 
AB 
- CD 
OP 
Lei do Paralelogramo. 
 
A soma de dois vetores P e Q é obtida 
aplicando os dois vetores em um mesmo ponto A 
e construindo um paralelogramo que tem P e Q 
como lados. A diagonal que passa por A 
representa a soma dos vetores P e Q, indicada 
por P + Q = R. 
 
 
A soma de dois vetores 
é comutativa 
P + Q = Q + P 
Obs.: todos os vetores são coplanares. 
 Definição Algébrica 
 
 
Sejam u e v vetores não nulos. O produto 
escalar de u por v, indicado por u.v, é um 
número real : 
 Produto Escalar 
 
 
 Uma base é chamada de base 
ortogonal quando seus vetores são dois 
a dois ortogonais. 
OBS: Dois vetores são ortogonais se o 
produto interno for igual a zero. 
Exemplo: 
A base ortonormal (Definida como canônica) 
é uma base vetorial em que os vetores são 
mutualmente ortogonais e se seus módulos 
são iguais a 1 (vetor unitário). 
 
No o R2 a base é i, j. 
 
Características: 
 
A base ortogonal canônica (padrão) para o R3 
é i, j, k. 
 
Expressão cartesiana do produto escalar em 
função da própria base { i, j, k }, temos: 
EIXO DAS 
ABSCISSAS 
EIXO DAS 
COTAS 
EIXO DAS 
ORDENADAS 
i
j
k
P 
O 
OBS: Tratamos os coeficientes de i, j, k como se 
fossem componentes de um vetor. 
Exemplo: 
 
No nosso curso, trabalharemos com um sistema 
de coordenadas ortogonal. A base ortonormal 
desse sistema de coordenadas será indicada 
por { i , j , k }. 
Os cossenos destes ângulos são 
denominados cossenos diretores e podem 
ser escritos como: 
 
 𝒄𝒐𝒔 𝜶 = 
𝒙
|𝑽|
 𝒄𝒐𝒔 𝜷 = 
𝒚
|𝑽|
 𝒄𝒐𝒔 𝜸 = 
𝒛
|𝑽|
 
 
Vale a igualdade: 
Vale a igualdade: 
Exercícios: 
   
 
 
) (associativa)
) (distributiva)
) (distributiva)
) 1.
i v v
ii u v u v
iii v v v
iv v v
  
  
   

  
  

Dados dois vetores u e v , não nulos, e escolhido 
um ponto O qualquer, podemos escrever: 
Chamamos ângulo de u e v a medida do ângulo AOB 
 
determinado pelas semi-retas OA e OB. 
Indicamos AOB = (u ,v ) , onde 
 ),(0 vu
Exercício: 
1) 
 
 
x
y
z
segmento (0,0,0)-->(1,1,4)
segmento (0,0,0)-->(-1,2,2)
x
y
z
segmento (0,0,0)-->(2,-1,0)
segmento (0,0,0)-->(-1,2,3)
2) 
x
y
z
segmento (0,0,0)-->(2,1,0)
segmento (0,0,0)-->(-1,2,3)
Conclusão: O produto escalar de dois vetores 
não nulos é igual ao produto de seus módulos 
pelo cosseno do ângulo por eles formado. 
1. Considere o |u| =4, |v| = 3 e o ângulo 
formado por u e v = 600 
2. Determine x de modo que u e v sejam 
ortogonais. 
 
a) U = (x,0,3), V = (1,x,3) 
b) U = (x,x,4), V = (4,x,1) 
c) U = (x+1, 1, 2), V = (x-1, -1, -2) 
d) U = (x,-1,4), V = (x, -3, 1) 
3. Determine U ortogonal a (-3, 0, 1) tal que 
U. (1,4,5) = 24 e U. (-1,1,0) =1 
Sejam os vetores 𝑢 𝑒 𝑣 , com 𝑢 ≠ 0 𝑒 𝑣 ≠ 0 , 𝜃 o 
ângulo formado entre eles. Pretendemos calcular 
o vetor 𝑤 que representa a projeção de 𝑢 𝑠𝑜𝑏𝑟𝑒 𝑣 . 
Portanto, o vetor projeção de 𝑢 𝑠𝑜𝑏𝑟𝑒 𝑣 
(proj. 𝑣 𝑢 = 𝑤) é: 
 
proj. 𝑣 𝑢 =
𝑢. 𝑣 
𝑣 
 𝑣 
Sejam os pontos A = (-1, -1, 2), B=(2,1,1) e 
C=(m,-5,3). 
a) Para que valor de m o triângulo ABC é 
retângulo em A. 
b) Determine o ponto H, pé da altura relativa 
ao vértice A.