Aula 4_Projeo e produto Vetorial - Copia

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13/03/2013 
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Ana Cristina Silva Matos 
Projeção e Produto 
Vetorial 
Projeção de um Vetor 
Sejam os vetores 𝑢 𝑒 𝑣 , com 𝑢 ≠ 0 𝑒 𝑣 ≠ 0, 𝜃 o ângulo 
formado entre eles. Pretendemos calcular o vetor 
𝑤 que representa a projeção de 𝑢 𝑠𝑜𝑏𝑟𝑒 𝑣 . 
Portanto, o vetor projeção de 𝑢 𝑠𝑜𝑏𝑟𝑒 𝑣 
(proj. 𝑣 𝑢 = 𝑤) é: 
 
proj. 𝑣 𝑢 =
𝑢. 𝑣 
𝑣 
 𝑣 
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Essa operação apresenta características muito 
especiais, são muitas as aplicações à Geometria, 
em problemas relacionados com áreas, ângulos e 
perpendicularismo de retas e planos. 
Para definirmos o produto vetorial entre dois 
vetores vamos distinguir o que são bases 
positivas e bases negativas. 
 
 PRODUTO VETORIAL 
Definição: Sejam u e v vetores não 
colineares. O produto vetorial de u por v, 
indicado u x v é um vetor. 
 
Propriedades: 
 
a) u x v é ortogonal aos vetores u e v 
b) u x v = - v x u 
c) |u x v| = |u| |v| sen  
d) |u x v| = |v x u| 
 
 
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c)|u x v| representa a área do paralelogramo 
determinado pelos vetores u e v. 
 Interpretação Geométrica 
Sabemos que a área 
do triângulo é 
metade da área do 
paralelogramo, logo: 
S = |AB x AD| 
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Exercício: 
1. Sejam u e v vetores com representantes 
no plano , onde |u| = 2, |v| = 3 e (u,v) = 
30º temos: 
 
a)|uxv| 
b)|vxu| 
 
2. Consideremos o paralelogramo, onde 
A=(1,1,0), B=(0,1,2) e C=(4,1,0) são 
vértices. Determine a área. 
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 Definição Algébrica 
Visto o exemplo anterior... 
 
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 Exercícios: 
1) Calcule u x v e v x u nos casos: 
 
a) U = (6,-2,-4) e v = (-1,-2,1) 
b) U = (1,-1,1) e v = (1,1,4) 
 
2) Dados os vetores u=(1,1,-3) e v=(2,1,-2), 
determine um vetor w tal que: 
 
a) seja ortogonal a u e v. 
b) seja ortogonal a u e v e unitário. 
c) ortogonal a u e v e que tenha módulo igual 
a 4 
 
 
3) Dado um triângulo equilátero ABC de lado 
10, calcule |ABxAC|. 
4) Dados os vetores u=(1,-1, 1) e v=(2,-3,4), 
determine: 
a) a área do paralelogramo determinado por u 
e v 
b) a altura desse paralelogramo relativa à base 
definida pelo vetor u. 
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Exercício proposto. 
1. Determine o versor do vetor . 
2. Determine o valor de α para que os vetores 
 e sejam 
ortogonais. 
c) Determine o valor de y tal que o triângulo 
de vértices A = (1, 2), B = (3, 0) , C = (6, 
y) seja retângulo em B 
)2,2,1(v 
u
 =

i
 +2
j
 -4 k 
v
= 2
i
 +(3 - 2

)
j
 +3 k 
 


x
y
A=(1,2)
B=(3,0)
C=(6,y)
3. Dados os vetores a=(3,-1,2) e b=(2,3,0), 
determine v, tal que. 
 
𝑣 . 𝑎 = −2 
𝑣 𝑥 𝑏 = 3𝑖 − 2𝑗 − 3𝑘
 
4. Dados os vetores v1 = (-1,2,-3) e v2=(-4,0,-6) 
e v3=(4,-1,2), determine o vetor v perpendicular 
a v1 e v2 e tal que v x v3=8. 
 
5. Sejam os pontos A = (-1, -1, 2), B=(2,1,1) e 
C=(m,-5,3). 
a) Para que valor de m o triângulo ABC é retângulo 
em A. 
b) Determine o ponto H, pé da altura relativa ao 
vértice A.