Aula 5_GA Equação da reta

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Estudo das equações da reta (R3) 
1
o Tipo: Equação vetorial da reta. 
 
 Seja a reta r e os pontos P1 e P2 
P1 
P2 
EQUAÇÕES DA RETA 
P=(x,y,z) um ponto da reta r. Qual a condição 
vetorial para que os 3 pontos sejam colineares? 
Estudo das equações da reta (R3) 
Podemos escrever que: 
 
r: P = P1 + t P1P2 ; t 𝝐 𝑹 
O vetor P1P2 dá a direção da reta r e é chamado 
vetor direção de r; 
Com isso podemos escrever a equação vetorial 
de uma reta r que passa por um ponto P1 e tem a 
direção do vetor vr. 
Notação: vr 
P = P1 + t vr ; com t  R 
 
Estudo das equações da reta (R3) 
Questão 1 da lista: Escreva uma equação da reta r 
nos casos a seguir: 
a) r passa pelo ponto P = (-2,-1,3) e tem a direção 
do vetor u = (2,1,1). 
b) r passa pelos pontos A = (1,3,-1) e B = (0,2,3). 
 
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2
o e 3
o
 Tipos: Equação paramétrica e simétrica 
da reta. 
Considere a forma anterior: 
 
(x, y, z) = (x1, y1, z1) + t (a,b,c) 
 
Paramétrica: Vamos tirar os valores de x, y e z. 
Partindo da paramétrica... 
 
Simétrica: Isolamos t. 
Estudo das equações da reta (R3) 
1. Seja r a reta determinada pelos pontos A = 
(1,0,1) e B = (3, -2, 3). 
 
a) Determine a equação de r nas formas vetorial, 
paramétrica e simétrica. 
b) Verifique se o ponto P = (-9, 10, -9) pertence a r. 
c) Obtenha dois vetores de r e dois pontos de r 
distintos de A e B. 
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2. de cada uma das equações abaixo, determine as 
coordenadas de um ponto e as coordenadas do 
vetor diretor. 
 
a) 𝑟1:
𝑥+7
2
=
𝑦−9
3
=
𝑧+5
4 
b) 𝑟2:
𝑥−6
3
=
3𝑦+6
3
=
−𝑧−5
4
 
c) 𝑟3:
2𝑥+5
3
=
4𝑦+1
5
=
2𝑧−6
2 
 
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3. Escreva as equações simétricas da reta s que 
passa pelo ponto B = (-4, 1, 3) e é paralela a reta t: 
x+3 = y = 4z. 
 
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4. Verifique se o ponto P = (-1, 0, 2) pertence às 
retas. 
 
a) r: (x,y,z) = (-7,-3, -7) + h(2,1,3); h  R 
 
a) 𝑟: 
𝑥 = −3 + ℎ 
𝑦 = −1 + ℎ; hR 
𝑧 = 2ℎ 
 
 
a) 𝑡:
𝑥+1
2
=
𝑦
3
=
𝑧−4
2
 
 
P  r se, somente se, 
existe h  R que 
satisfaça as igualda-
des. 
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𝑟:
𝑥 + 1
1
=
𝑦 − 3
3
=
𝑧 + 5
4 
 
A partir destas equações pode-se expressar duas 
variáveis em função da terceira. Isolando, 
primeiramente, as variáveis y e z e expressando-
as em função de x. 
4
o Tipo: Equação reduzida da reta. 
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Sejam r e s duas retas no espaço. Quanto a posição 
delas no espaço, podemos classificá-las em: 
 
I) Coplanares 
 
Paralelas distintas: r1 𝑟2 = ∅ 
 
 
Paralelas coincidentes r1 ≡ 𝑟2 
 
Posição relativa entre duas retas 
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Concorrentes: r1 𝑟2 = 𝑃 
 
 
Caso Particular: Perpendiculares 
 
Posição relativa entre duas retas 
v1 . v2 = 0 ou a1a2 + b1b2 + c1c2 = 0 
II) Não Coplanares - Reversas 
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Questão 4 da lista: Verifique se as retas a seguir são 
paralelas (coincidentes ou não) ou ortogonais. 
Posição relativa entre duas retas 
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Posição relativa entre duas retas 
 Questão 5 da lista: 
 
 
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Posição relativa entre duas retas