Lista 4 - Cálculo C

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Universidade Federal da Bahia
Departamento de Matema´tica
Ca´lculo C
4a Lista de Exerc´ıcios
“Todos querem o perfume das flores, mas poucos sujam as suas ma˜os para cultiva´-las...”
Augusto Cury
Professora: Suzete M. S. Afonso
Lembrem-se dos avisos presentes nas outras listas!
Exerc´ıcio 0. Mostre que uma se´rie infinita de termos positivos sera´ convergente se, e somente se,
a sua sequeˆncia de somas parciais tiver um limitante superior. Use a se´rie
+∞∑
n=1
(−1)n+1 para mostrar
que este resultado na˜o se aplica a uma se´rie infinita de termos positivos e negativos; isto e´, mostre que
a sequeˆncia de somas parcias desta se´rie tem um limitante superior, mas a se´rie na˜o e´ convergente.
Exerc´ıcio 1. Enuncie e demonstre o teste de comparac¸a˜o de se´ries. Usando este resultado, mostre
que a se´rie
+∞∑
n=1
n
n2 + 2n + 1
e´ divergente.
Exerc´ıcio 2. Suponha que an =
1
n
bn, n ≥ 1. Suponha, ainda, que
lim
n→+∞
bn = L > 0, L ∈ R.
Prove que a se´rie
+∞∑
n=1
an e´ divergente.
Exerc´ıcio 3. Enuncie e demonstre o teste de comparac¸a˜o com limite de se´ries. Usando este
resultado, mostre que a se´rie
+∞∑
n=1
3n + 1
2n2 + 5
e´ divergente.
Exerc´ıcio 4. A se´rie
+∞∑
n=1
n sin
1
n
e´ convergente ou divergente? Justifique.
Exerc´ıcio 5. A se´rie
+∞∑
n=1
1
lnn
e´ convergente ou divergente? Justifique.
Exerc´ıcio 6. A se´rie
+∞∑
n=1
ne−n e´ convergente ou divergente? Justifique utilizando o teste da
integral.
Exerc´ıcio 7. Use o teste da integral para mostrar que a se´rie
+∞∑
n=1
1
np
converge se p > 1 e diverge
se p ≤ 1.
“Seja a mudanc¸a que voceˆ quer ver no mundo.” (Gandhi)
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