seqncias_2008.2

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Equações Diferenciais - Profa. Rosely Pestana
1
Qual é o próximo número?
a) 0, 2, 4, 6, 8, ?
b) 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, ?
c) 2, 10, 12, 16, 17, 18, 19, ?
d) U, D, T, Q, C, S, S, O, N, D, ?
e) 3, 7, 2, 7, 12, 8, 11, 17, 14, ?, ?, ?
g)
1
11 
21
1211
111221
312211
13112221
?
Em 1202, Leonardo de Pisa, também 
conhecido por Fibonacci, formulou o 
seguinte problema: 
A partir de um casal de coelhos recém-nascidos, 
quantos casais de coelhos existirão após 12 
meses, supondo-se que: nenhum coelho morre, 
todo casal de coelhos tem um primeiro casal de 
filhotes com dois meses de idade e, após ter o 
primeiro casal de filhotes, gera um novo casal 
todo mês. 
Não é difícil constatar que o número de 
casais de coelhos a cada mês é dado pela 
seqüência 
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 
144, 233, ... 
SEQÜÊNCIAS
DEFINIÇÃO 1. Uma seqüência numérica é uma 
função definida no conjunto dos números naturais 
não-nulos e que toma valores no conjunto dos 
números reais. Em símbolos, uma seqüência 
numérica é uma função f: N* → R
Se f é uma seqüência, então denotamos por a 
imagem de n pela função f, isto é, f(n) = an. Ele é
chamado o termo de ordem n ou n-ésimo termo da 
seqüência. O índice n denota a posição do 
elemento ou termo an na seqüência.
Escrevemos {a1, a2, a3, ...} ou {an} para indicar a 
seqüência f.
Como as seqüências podem ser construídas?
�Termo geral: cada termo é expresso em função 
de sua posição.
�Fórmula de recorrência: são dadas duas regras: 
uma para identificar o primeiro termo e outra para 
calcular cada termo a partir do anterior.
�Propriedades dos termos: é dada uma 
propriedade que caracteriza os termos das 
seqüência.
Equações Diferenciais - Profa. Rosely Pestana
2
Exemplos:






n
 a
1
)
n
b) 
n 1
 
 
+ 
( )n1
c) 
n
 − 
 
  
n2
d) 
n!
  
 
  
1 1 1 1
 1, , , , ,...
2 3 4 5
→
1 2 3 4 5
 , , , , ...
2 3 4 5 6
→
1 1 1 1
 1, , , , ,...
2 3 4 5
→ − − −
4 2 4
 2,2, , , ...
3 3 15
→
DEFINIÇÃO 2. Dizemos que uma seqüência {an} 
converge (ou é convergente) se existe o limite 
, isto é, se = A, com A < ∞. 
Caso contrário, se não existe ou = ∞, 
dizemos que a seqüência diverge (ou é
divergente). 
n
n 
alim
+∞→
n
n 
alim
+∞→
n
n 
alim
+∞→
n
n 
alim
+∞→
Vejamos alguns exemplos!
Uma característica que pode ser observada nas 
seqüências é o agrupamento ou não de seus 
elementos em torno de um número real.
Exemplos:






n
 a
1
)
1 1 1 1
 1, , , , ,...
2 3 4 5
→
 n
1
lim 0
n→+∞
=
n
b) 
n 1
 
 
+ 
1 2 3 4 5
 , , , , ,...
2 3 4 5 6
→
 n
n
lim 1
n 1→+∞
=
+
CONVERGENTE
CONVERGENTE
Exemplos:
{ }c) n 1,2,3,4,5,...→
 n
lim n
→+∞
= +∞
ne
d) 
n
  
 
  
2 3 4 5e e e e
 e, , , , ,...
2 3 4 5
→
n
 n
e
lim
n→+∞
= +∞
DIVERGENTE
DIVERGENTE
Exemplos:
( ){ }ne) 1− 1,1, 1,1, 1,...→ − − −
( )n
 n
não existe lim 1
→+∞
−
ln(n)
f) 
n
 
 
 
 n
ln(n)
lim 0
n→+∞
=
DIVERGENTE
CONVERGENTE
DEFINIÇÃO 3. Dizemos que uma seqüência {an} é
crescente se an < an+1, qualquer que seja n, isto é, 
a1 < a2 < a3 < ... e decrescente se an > an+1, para 
todo n, isto é, a1 > a2 > a3 > ...
Uma seqüência é dita monótona se for crescente ou
decrescente.
OBSERVAÇÃO:
11 >+
n
n
a
a
n 1
n
a
1
a
+ < DECRESCENTE
CRESCENTE
Equações Diferenciais - Profa. Rosely Pestana
3
Exemplos:






n
 a
1
)
2 4 6 ... 2n
b) 
n!
⋅ ⋅ ⋅ ⋅ 
 
 
DECRESCENTE
CRESCENTE
n
c) 
n 1
 
 
+ 
CRESCENTE
2
n
d) 
n 1
 
 
+  DECRESCENTE
DEFINIÇÃO 4. Uma seqüência {an} é limitada 
superiormente se existe um número M, tal que 
M ≥ an para todo n e chamamos M de cota 
superior. E é limitada inferiormente se existe um 
número m, tal que m ≤ an para todo n e chamamos 
m de cota inferior.
Se uma seqüência {an} é limitada inferiormente e 
superiormente, dizemos que {an} é uma seqüência
limitada.
Exemplo: é uma seqüência limitada.
1
n
 
 
 
TEOREMA. Toda seqüência monótona e limitada é
convergente.
Pelo teorema anterior, a seqüência é
convergente.
1
n
 
 
 