Testesparasries_2008.2

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Testes para séries - Profa. Rosely Pestana
1
TEOREMA. Se a série é convergente, entãon
n 1
a
∞
=
∑
→+∞
=n
 n
lim a 0.
ATENÇÃO: A recíproca deste teorema é falsa, 
isto é, se , então não podemos afirmar 
que a série é convergente.
→+∞
=n
 n
lim a 0
n
n 1
a
∞
=
∑
Por exemplo, para a série harmônica temos 
que , mas vimos que esta série é
divergente.
∞
∑
n=1
1
 
n
→+∞
=n
 n
lim a 0
1. TESTE PARA DIVERGÊNCIA
Se , então a série é divergente.n
n 1
a
∞
=
∑
→+∞
≠n
 n
lim a 0
Exemplo: A série é divergente.
∞
+
∑
2
2
n=1
n
5n 4
RESUMINDO: Se , nada poderemos
afirmar sobre a convergência ou divergência da 
série . Por outro lado, se , então a 
série é divergente.
→+∞
=n
 n
lim a 0
n
n 1
a
∞
=
∑
→+∞
≠n
 n
lim a 0
2. TESTE DA INTEGRAL 
Seja f uma função contínua, positiva e decrescente 
em [1,+∞[, tal que f(n) = an. Então:
( )
+
n1
n 1
i) Se f x dx é convergente, então a série a 
é convergente.
 
∞∞
=
∑∫
( )
+
n1
n 1
ii) Se f x dx é divergente, então a série a 
é divergente.
 
∞∞
=
∑∫
Exemplos:
2
n=1
1
a) 
n 1
∞
+
∑ CONVERGENTE
p
n=1
1
b) 
n
∞
∑ p-série
p
n 1
1
A p-série converge se p 1 e diverge se p 1. 
n
∞
=
> ≤∑
( )
n=1
ln n
c) 
n
∞
∑ DIVERGENTE
3. TESTE DA COMPARAÇÃO
Sejam as séries e de termos positivos, 
tais que an ≤ bn.
∑ na
i) Se converge, então converge.
ii) Se diverge, então diverge.
Esse teste aplica-se somente para séries de termos 
positivos. Se tivermos uma série cujos termos são 
menores do que aqueles de uma série que sabemos 
ser convergente, então nossa série também será
convergente. Por outro lado, se temos uma série cujos 
termos são maiores do que aqueles de uma série que 
sabemos ser divergente, então ela também será
divergente.
∑ nb
∑ nb
∑ nb
∑ na
∑ na
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Exemplos:
∞
∑ 2
n=1
sen(n)
a) 
n
∞
∑
n=1
1
b) 
n+ n
CONVERGENTE
DIVERGENTE
∞
∑ 2
n=1
5
c) 
2n +4n+3
∞
∑
n=1
ln(n)
d) 
n
CONVERGENTE
DIVERGENTE
4. TESTE DA COMPARAÇÃO POR LIMITE
Sejam as séries e de termos positivos. ∑ na
i) Se , com k ≠ 0, então as séries têm
o mesmo comportamento
ii) Se e converge, então
converge.
iii) Se e diverge, então
diverge.
∑ nb
∑ na
→+∞
=n
 n n
a
lim k
b
→+∞
=n
 n n
a
lim 0
b
∑ nb ∑ na
→+∞
= ∞n
 n n
a
lim
b
∑ nb
Exemplos:
∞
= +
∑ 2
n 1
3n
a) 
n 1
n
n=1
1
b) 
5 cosn
∞
−
∑
DIVERGENTE
CONVERGENTE
2
n=1
1
c) 
n ln(n)
∞
∑
n
n=1
1
d) 
2 1
∞
−
∑
CONVERGENTE
CONVERGENTE
DEFINIÇÃO 3. Uma série alternada é aquela cujos 
termos são alternadamente positivos e negativos.
( )n 1 n 1 2 3 4
n 1
1 a a a a a ... 
∞
+
=
− = − + − +∑
( )n n 1 2 3 4
n 1
1 a a a a a ... 
∞
=
− = − + − + −∑
Exemplos:
( ) ( )n 1 n 1
n 1
1 1 1 1 1
a) 1 1 ... 1 ...
n 2 3 4 n
∞
+ +
=
− = − + − + + − +∑
( ) ( )n n
n=1
1 1 1 1 1
b) 1 1 ... 1 ...
n! 2! 3! 4! n!
∞
− = − + − + − + − +∑
O teste que veremos, agora, diz que, se os termos de 
uma série alternada, em valor absoluto, decrescem em 
direção a 0, então a série é convergente.
5. TESTE DE LEIBNIZ
Seja a série alternada , com an > 0. 
Se an+1 ≤ an, para todo n e , então a 
série alternada é convergente.
( ) +−∑ n 1 n1 a
→+∞
=n
 n
lim a 0
Exemplos:
( )n 1
n 1
1
a) 1
n
∞
+
=
−∑
( )n
n 1
1 3n
b) 
4n 1
∞
=
−
−∑
CONVERGENTE
DIVERGENTE
( ) ( )
n
n 1
n 2
c) 1
n n 1
∞
=
+
−
+∑ CONVERGENTE
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DEFINIÇÃO 4. Uma série é absolutamente 
convergente se a série de valores absolutos é
é convergente.
∑ na
∑ na
Exemplos:
( )n 1 2 2 2 2
n 1
1 1 1 1
a) 1 1 ...
n 2 3 4
∞
−
=
− = − + − +∑
( )n 1
n 1
1 1 1 1
b) 1 1 ...
n 2 3 4
∞
−
=
− = − + − +∑
ABSOLUTAMENTE CONVERGENTE
NÃO É ABSOLUTAMENTE CONVERGENTE
DEFINIÇÃO 5. Uma série é condicionalmente 
convergente se ela for convergente, mas não 
absolutamente convergente.
∑ na
Exemplo:
( )n 1
n 1
1 1 1 1
 1 1 ...
n 2 3 4
∞
−
=
− = − + − +∑
Então, é possível que uma série seja convergente, mas 
não absolutamente convergente. Entretanto, se uma 
série é absolutamente convergente, então ela é
convergente.
6. TESTE DA RAZÃO
Seja a série . ∑ na
→+∞
= <n+1
 n n
a
i) Se lim k 1, então a série é 
a
absolutamente convergente.
→+∞ →+∞
= > = ∞n+1 n+1
 n nn n
a a
ii) Se lim k 1 ou lim ,
a a
então a série é divergente.
→+∞
= =n+1
 n n
a
iii) Se lim k 1, então nada podemos
a
afirmar sobre a série.
Exemplos:
2
n
n 1
n
a) 
e
∞
=
∑
n
n=1
2
b) 
n!
∞
∑
CONVERGENTE
CONVERGENTE
n
n=1
n
c) 
n!
∞
∑ DIVERGENTE
( )
3
n
n
n 1
n
d) 1
3
∞
=
−∑ CONVERGENTE
( )
n
n=1
1 3 5 ... 2n-1
e) 
n!2
∞ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
∑
( ) ( )
n
n 1
n 2
f ) 1
n n 1
∞
=
+
−
+∑
CONDICIONALMENTE CONVERGENTE
Vimos que essa série é convergente. A pergunta, 
agora, é a seguinte: essa série é absolutamente 
convergente ou condicionalmente convergente?
7. TESTE DA RAIZ
Seja a série . ∑ na
→+∞
= <n n
 n
i) Se lim a k 1, então a série é 
absolutamente convergente.
→+∞ →+∞
= > = ∞n nn n
 n n
ii) Se lim a k 1 ou lim a ,
então a série é divergente.
→+∞
= =n n
 n
iii) Se lim a k 1, então nada podemos
afirmar sobre a série.
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OBS.: O teste da razão é mais fácil de ser aplicado do 
que o teste da raiz. Se os termos da série contiverem 
fatoriais, então utilize o teste da razão. Por outro lado, 
se os termos da série contiverem potências de n, então 
poderá ser mais vantajoso usar o teste da raiz.
Exemplos:
n
n 1
1
a) 
n
∞
=
∑ CONVERGENTE
n
n=1
1
b) 1
n
∞
 
+ 
 
∑ DIVERGENTE
QUAL TESTE DEVO USAR PARA TESTAR AS 
SÉRIES?
1. Se a série for da forma ∑1/np, então é uma p-série, 
que sabemos ser convergente se p > 1 e divergente se 
p ≤ 1.
2. Se a série tiver a forma ∑arn-1 ou ∑arn, então ela é
uma série geométrica, que converge para a/(1 - r), se 
|r| < 1 e diverge, se |r| ≥1.
3. Se , então a série ∑an diverge. Por outro
lado, se ,então nada podemos afirmar sobre
a série.
→+∞
≠n
 n
lim a 0
→+∞
=n
 n
lim a 0
4. Se a série tiver uma forma similar a uma p-série ou a 
uma série geométrica, então use um dos testes da 
comparação. Os Testes da Comparação só podem ser 
aplicados para séries de termos positivos.
5. Se a série é alternada, isto é, da forma ∑(-1)n+1an ou
∑(-1)nan , então use o Teste de Leibniz.
6. Para séries que envolvem fatoriais ou outros
produtos (incluindo uma constante elevada à n-ésima
potência), o Teste da Razão é usado com freqüência. 
7. Se série ∑an apresenta potências de n, então o Teste
da Raiz pode ser útil.
8. Se an = f(n), onde é facilmente calculada, 
então o Teste da Integral é eficaz (satisfeitas as 
hipóteses para este teste).
()
+
1
f x dx
∞
∫