campo vetorial

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Campo Vetorial
Em matemática um campo vetorial é uma construção em cálculo vetorial que associa um vetor a todo ponto no espaço euclidiano.
Campos vetoriais são geralmente utilizados na física para indicar, por exemplo, a velocidade e a direção de um fluido se movendo pelo espaço, ou o comprimento e direção de alguma força, tal como a força magnética ou gravitacional, com seus valores de ponto em ponto.
Um campo vetorial é uma função que associa, a cada ponto do espaço, um vetor. O exemplo mais concreto e elementar é o campo de velocidades de um fluido1. Um fluido é um meio contínuo, e isto se reflete na variação contínua dos valores da velocidade, quando se percorre o fluido. 
Matematicamente, um campo vetorial é uma função 
que é contínua e diferenciável. O que isto significa, vamos explicar agora. 
Na expressão acima, o do lado direito é considerado como o espaço vetorial usual construído sobre o conjunto . Então, a cada ponto do espaço, dado por três coordenadas, associa-se uma outra terna de números, que são as componentes de um vetor numa base dada. Uma função como a descrita acima, denotada mais simplesmente por , pode ser escrita como uma terna de funções . Diz-se que é contínua e diferenciável quando cada uma das três componentes, , , for contínua e diferenciável. Como estas funções são funções de , suas continuidade e diferenciabilidade já foram definidas e descritas em ``Diferenciabilidade for the practical man''. 
Resumindo, um campo vetorial é uma função que associa a cada ponto um vetor, cujas componentes variam, de ponto para ponto, de maneira contínua e diferenciável. Isto significa que podemos calcular as derivadas parciais dessas componentes, obtendo novas funções contínuas. Um campo vetorial constante, ou seja, que associa a cada ponto do espaço o mesmo vetor, é chamado, entre os físicos, de campo uniforme. Entre os físicos prefere-se usar o termo campo constante para um campo cujos valores (ou seja, cujos vetores) independem do tempo. Portanto, quando se falar em campo constante, é necessário explicar-se. 
A descrição de um fluido utiliza também campos escalares. Estes são, simplesmente funções 
contínuas e diferenciáveis. Um exemplo é a densidade do fluido, que pode variar de ponto a ponto (como a densidade do ar, que depende da altitude). 
Seja um campo escalar. Podemos calcular o seu gradiente, , e temos 
	
	(1)
ou seja, o gradiente de um campo escalar é um campo vetorial. Campos vetoriais que são obtidos desta forma têm um papel muito importante na física.
Teoremas de Green
George Green (1793--1841) sobre os fundamentos matemáticos da gravitação, da eletricidade e do magnetismo foi publicado em 1828 em um pequeno livro intitulado An Essay on the Application of Mathematical Analysis to Electricity and Magnetism.
Estes teoremas reduzem o trabalho quando fazemos algumas integrais demoradas. 
O Teorema de Green, transforma uma integral dupla (no plano XoY, por exemplo) numa integral de linha (contorno da região de integração) ou vice-versa.
	
Consideremos uma região R regular limitada pelas curvas C1: y = f(x) e C2: y = g(x) , 
ambas definidas para x entre x = a e x = b .
Para cada função U( x , y ), temos que 
	
= 
 = 
 
Então, por trocas de sinais, conseguimos 
-
=
+
=
+
, 
ou seja: –
 = 
 , com C = C1 ( C2
De modo análogo, se R também for regular limitada pelas curvas 
C3: x = p(y) e C4: x = q(y) , ambas definidas para y entre y = c e y = d , para cada função V( x , y ), temos que 
=
= 
+
, 
ou seja: 
 = 
 . com C = C3 ( C4
Quando R não for regular nas duas direções (OX e OY), podemos dividí-la em regiões assim regulares. 
Teoremas de Stokes
Thomson, Stokes, Rayleigh, Maxwell e outros construíram a teoria atual do eletromagnetismo. Central a este desenvolvimento foi o cálculo de várias variáveis, resultado que agora chamamos de Teorema de Green. George Stokes (1819--1903) aplicou o cálculo de várias varáveis para estudar hidrodinâmica, elasticidade, luz, gravitação, som, calor, meteorologia e física solar. Ele não foi o primeiro a desenvolver o teorema integral que agora chamamos de Teorema de Stokes; ele o aprendeu de Thomson em 1850 e poucos anos depois incluiu entre questões de um exame. Desde então tornou-se conhecido como Teorema de 
Stokes.
O teorema de Stokes é uma extensão do teorema de Green. O teorema de Stokes relaciona a integral de linha de um campo vetorial ao longo de uma curva fechada C no com a integral sobre uma superfície S da qual C é o bordo. Para se usar o teorema de Stokes, temos que introduzir alguns conceitos: 
Um campo vetorial rotacional é definido por: Seja F=(f,g,h) um campo vetorial com derivadas parciais definidas em um subconjunto aberto de . o campo vetorial rotacional de F , denotado por rot(F) , é definido por: 
det 
ou 
O teorema de Stokes pode ser definido por: Sejam S uma superfície parametrizada por , (u,v) e D, onde D é uma região fechada do plano uv, limitada por uma curva por partes, e é uma função de classe em um subconjunto aberto de contendo D. Se F = (f,g,h) é um campo vetorial de classe definido em um subconjunto aberto de que contém S cujo bordo está orientado positvamente. Então: 
!! S ( rotF . n ) ds = " S F . dr 
Usando o teotrema de Stokes, podemos deduzir uma interpretação para o campo vetorial rot(F) que dá alguma informação a respeito do próprio F. Sejam um ponto de um conjunto aberto no qual F é de classe e uma bola fechada de raio r e centro em situada no plano perpendicular a . 
Aplicando o teorema de Stokes a F sobre e seu bordo , obtemos: 
" r F . dr = !! ( rotF . n ) ds 
O valor da integral de linha é denominado circulação de F ao longo de e mede a intensidade do campo tangencial a . Assim, para r pequeno, a circulação ao longo de mede a intensidade com que o campo F perto de gira em torno do eixo determinado por . Por outro lado, a integral de superfície é, para r suficientemente pequeno, aproximadamente igual ao produto escalar rot F( ). , multiplicado pela área de . Segue que a circulação ao longo de tenderá a ser maior se tiver o mesmo sentido de rotF( ). Portanto, podemos interpretar rotF ( ) como sendo o determinador do eixo em trono do qual a circulação de F é a maior possível perto de . 
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_1144225536.unknown
_1144225568.unknown
_1144225606.unknown
_1144225615.unknown
_1144225621.unknown
_1144225596.unknown
_1144225552.unknown
_1144221398.unknown
_1144224276.unknown
_1144224683.unknown
_1144221417.unknown
_1144221169.unknown
_1144221075.unknown