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CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL IV NÚMEROS COMPLEXOS FORMA ALGÉBRICA E TRIGONOMÉTRICA – LISTA 02 Profº Georges Cherry Rodrigues LISTA DE EXERCÍCIOS - GABARITO 1) Represente os seguintes números no plano: a) P1 = 2+3i b) P2 = 4-i c) P3 = -3-4i d) P4 = -1+2i e) P5 = -2i Solução. Representando cada número complexo como pontos no plano Argand-Gauss, temos: 2) Determine o módulo e o argumento dos seguintes complexos: a) 4+3i b) 2-2i c) 3+i d) 3 e)2i f) a+bi Solução. Aplicando a fórmula do módulo e identificando os valores de cosseno e seno, temos: a) 525916)3()4(34 22 i ; º8,36 5 3 5 4 cos :)( sen zArg b) 22844)2()2(22 22 i ; º315 2 2 22 2 2 2 22 2 cos :)( sen zArg c) 1019)1()3(3 22 i ; º4,18 10 1 10 3 cos :)( sen zArg d) 39)3(3 2 ; º0 0 3 0 1 3 3 cos :)( sen zArg e) 24)2(2 2 i ; º90 1 2 2 0 2 0 cos :)( sen zArg e) 2222 )()( bababia ; a b arctg ba b sen ba a zArg 22 22 cos :)( 3) Obtenha o produto w = z z z1 2 3. . onde: a) z i z i z i 1 2 3 16 160 160 5 325 325 308 308 (cos sen ) (cos sen ) cos sen b) )43sen43(cos6 )31sen31(cos4 )14sen14(cos3 3 2 1 iz iz iz Solução. Aplicando a fórmula do produto entre complexos na forma trigonométrica e encontrando a primeira determinação positiva, se necessário, temos: a) )7373.(cos80)793793.(cos80.. )]308º325º160()308º325º160)[cos(1)(5).(16(.. 321 321 isenisenzzz isenzzz b) )8888.(cos72.. )]43º31º14()43º31º14)[cos(6)(4).(3(.. 321 321 isenzzz isenzzz 4) Sendo z= 2 4 4 (cos sen ) i , determine z 2 , z 3 e z 4 . Solução. Aplicando a fórmula da potência na forma trigonométrica dos complexos, temos: i) ) 22 (cos2) 4 .2 4 .2.(cos2) 44 (cos2 2 2 2 isenisenisenz ii) ) 4 3 4 3 (cos22) 4 .3 4 .3.(cos2) 44 (cos2 3 3 3 isenisenisenz iii) )(cos4) 4 .4 4 .4.(cos2) 44 (cos2 4 4 4 isenisenisenz OBS: Repare que ) 44 (cos2 isenz representado na forma algébrica seria iz 1 . O cálculo de z 2 , z 3 e z 4 poderia ser feito nesta forma. No caso deste exercício, representando os resultados na forma algébrica teríamos: i) iiisenz 2)0.(2) 22 (cos22 ii) iiisenz 22) 2 2 2 2 (22) 4 3 4 3 (cos223 . iii) 4)01(4)(cos44 isenz 5) Determine o módulo e o argumento do número z 4 para os complexos: a) z = 3(cos125+isen125) b) z = 2(cos300º + isen300º) Solução. Aplicando a fórmula da potência na forma trigonométrica dos complexos e encontrando a primeira determinação positiva, se necessário, temos: a) º140 81 )º140º140(cos81 )º500º500(cos81)]º125).(4()º125).(4.[cos(3)º125º125(cos3 4 444 isenz isenisenisenz b) º120 16 )º120º120(cos16 )º1200º1200(cos16)]º300).(4()º300).(4.[cos(2)º300º300(cos2 4 444 isenz isenisenisenz 6) Calcule as potências, dando a resposta na forma algébrica ou trigonométrica. a) ( )1 3 8 i b) ( )3 6 i Solução. Escreve-se os números entre parênteses na forma trigonométrica e calculam-se as potências. a) Calculando módulo e argumento: - 2431)3()1(31 22 i ; º300 2 3 2 1 cos :)( sen zArg - ébricaAiii ou ricaTrigonométiseni isenisenisen lg3128128 2 3 2 1 .25631 º240º240(cos25631 )º2400º2400(cos256)]º300).(8()º300).(8.[cos(2)º300º300(cos2 8 8 88 b) Calculando módulo e argumento: - 2413)1()3(3 22 i ; º30 2 1 2 3 cos :)( sen zArg - ébricaAii ou ricaTrigonométiseni isenisenisen lg640.1.643 )º180º180(cos643 )º180º180(cos64)]º30).(6()º30).(6.[cos(2)º30º30(cos2 6 6 66 OBS: A opção de representar o número na forma trigonométrica antes de calcular a potência agilizou os cálculos. A escolha em todo caso é de cada um. Experimente calcular somente na forma algébrica e verifique se houve mais ou menos dificuldade. 7) Dado o número complexo z = cos 45 + isen 45º calcule: w = z + z2 + z3 + z4 + z5 + z6 Solução. Observe que o valor de “w” representa uma soma de seis termos da progressão geométrica de razão “z”. Temos: i) )1.( 2 2 º45º45cos iisenz ii) iiiiiz )121.( 4 2 )21.( 4 2 )1.( 2 2 22 2 2 iii) )1( 2 2 )).(1( 2 2 . 23 iiizzz iv) 1)).((. 2224 iiizzz v) )1( 2 2 )1).(1( 2 2 . 45 iizzz vi) iizz 3326 Logo, 2 2 2 2 1 )( 2 2 2 2 )1( 2 2 2 2 )( 2 2 2 2 iw iiiiiw 8) Escreva as expressões abaixo na forma bia : a) iiii )36()4( b) 2 2 3 2 i i c) i i 54 3 a) iiiiiiiiii 67634364)36()4( 2 b) 2100 255025 10 55 . 3 326 . 3 3 . 3 2 3 2 2 22 22 22 2 2 iiii i iii i i i i i i c) 41 197 2516 197 54 541512 54 54 . 54 3 22 2 ii i iii i i i i 09) Escrevendo o complexo 31 1 i i z , calcule os valores do módulo e do argumento. Solução. Escrevendo o numerador e o denominador na forma complexa e dividindo, temos: i) 4 7 2 1 2 1 cos 211)1()1(1 22 sen i ii) 3 2 3 2 1 cos 2431)3()1(31 22 sen i Logo, 12 17 )( 2 2 12 17 12 17 cos. 2 2 34 7 34 7 cos. 2 2 33 cos.2 4 7 4 7 cos.2 31 1 zArg z isenz isen isen isen i i z . 10) Qual é a forma algébrica do número complexo z representado na figura . Solução. Observe que a figura representa um círculo de raio 32 e centro na origem. O complexo marcado está 30º acima de 180º. Logo no sentido anti- horário ele está no ângulo de 150º. O número é )º150º150.(cos32 isenz ou 6 5 º 6 5 cos.32 isenz e sua representação algébrica é iiz 33 2 3 2 3 .32 11) A figura abaixo representa um octógono regular inscrito numa circunferência. Sabendo-se que 8BF , determine as formas algébrica e trigonométrica dos números complexos cujos afixos são os pontos B e D . Solução. Se 8BF então a circunferência possui raio 4. Os ângulos centrais do octógono medem 360º ÷ 8 = 45º. Observando as posições dos afixos, temos que B está em 45º e D em 135º. Logo: i) Ponto B: ébricaaiiz ricatrigonométisenz lg2222 2 2 2 2 .4 )º45º45.(cos4 ii) Ponto D: ébricaaiiz ricatrigonométisenz lg2222 2 2 2 2 .4 )º135º135.(cos4
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