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Exercícos Mat 1

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Exercı´cios de IC251
Prof Sergio
14 de setembro de 2013
Lista 1: Func¸o˜es
Exercı´cio 1.1. � [HB10] Nos problemas a seguir, determine se o domı´nio da func¸a˜o dada e´ o conjunto dos nu´meros
reais.
(a) gpxq �
x
1� x2
, (b) f ptq �
?
1� t, (c) f pxq �
x� 1
x2 � 1
, (d) hptq �
?
t2 � 1.
Exercı´cio 1.2. � [HB10] Nos problemas a seguir, determine o domı´nio da func¸a˜o dada.
(a) gpxq �
x2 � 5
x� 2
, (b) f ptq �
t� 1
t2 � t� 2
, (c) f pxq � x3 � 3x2 � 2x� 5, (d) f ptq �
t� 2
?
9� t2
.
Exercı´cio 1.3. � [HB10] Nos problemas a seguir, determine a func¸a˜o composta f pgptqq.
(a) f puq � 3u2 � 2u� 6, gpxq � x� 2, (b) f puq �
1
u
, gpxq � x2 � x� 2,
(c) f puq � pu� 1q3 � 2u2, gpxq � x� 1, (d) f puq �
?
u� 1, gpxq � x2 � 1.
Exercı´cio 1.4. � [HB10]Nosproblemas a seguir, determineoquociente diferenc¸a de f , ou seja, o valor de
f px� hq � f pxq
h
.
(a) f pxq � 4� 5x, (b) f pxq �
x
x� 1
, (c) f pxq � 4x� x2, (d) f pxq �
1
x
.
Exercı´cio 1.5. � [HB10] Nos problemas a seguir, determine as func¸o˜es compostas f pgpxqq e gp f pxqq e os valores de x (se
existirem) para os quais f pgpxqq � gp f pxqq.
(a) f pxq �
?
x, gpxq � 1� 3x, (b) f pxq �
2x� 3
x� 1
, gpxq �
x� 3
x� 2
,
(c) f pxq � x2 � 1, gpxq � 1� x, (d) f pxq �
1
x
, gpxq �
4� x
2� x
.
Exercı´cio 1.6. � [HB10] Nos problemas a seguir, determine a func¸a˜o composta indicada.
(a) f px� 2q, onde f pxq � 2x2 � 3x� 1, (b) f px� 1q, onde f pxq � x2 � 5,
(c) f
�
1
x
, onde f pxq � 3x�
2
x
, (d) f px� 1q, onde f pxq �
x� 1
x
.
Exercı´cio 1.7. � [HB10] Nos problemas a seguir, determine func¸o˜es hpxq e gpuq tais que f pxq � gphpxqq.
(a) f pxq � px� 1q2 � 2px� 1q � 3, (b) f pxq �
3
?
2� x�
4
2� x
, (c) f pxq �
1
x2 � 1
, (d) f pxq �
?
x� 4�
1
px� 4q3
.
1
Lista 2: Gra´ficos de func¸o˜es
Exercı´cio 2.1. � [HB10] Nos problemas a seguir, determine a distaˆncia entre P eQ
(a) Pp3,�1q eQp7, 1q, (b) Pp4, 5q eQp�2,�1q, (c) Pp7,�3q eQp5, 3q.
Exercı´cio 2.2. � [HB10] Nos problemas a seguir, fac¸a o gra´fico da func¸a˜o dada, mostrando todas as intersec¸o˜es com os
eixos x e y.
(a) f pxq � x, (b) f pxq � x2, (c) f pxq �
?
x,
(d) f pxq � 2� 3x, (e) f pxq � px� 1qpx� 2q, (f) f pxq � x2 � 2x� 8,
(g) f pxq �
?
1� x, (h) f pxq � 2x� 1, (i) f pxq �
#
x� 1, se x 6 0,
x� 1, se x ¡ 0,
(j) f pxq �
#
2x� 1, se x   2,
3, se x > 2,
(k) f pxq �
#
x2 � x� 3, se x   1,
1� 2x, se x > 1,
(l) f pxq �
#
9� x, se x 6 2,
x2 � x� 2, se x ¡ 2,
Exercı´cio 2.3. � [HB10] Nos problemas a seguir, determine os pontos de intersec¸a˜o (se existirem) entre as curvas dadas
e desenhe os gra´ficos correspondente.
(a) y � 3x� 5 e y � �x� 3 (b) y � x2 e y � 3x� 2, (c) 3y� 2x � 5 e y� 3x � 9.
Lista 3: Func¸o˜es lineares
Exercı´cio 3.1. � [HB10] Nos problemas a seguir, determine a inclinac¸a˜o (se possı´vel) da reta que passa pelos pontos
dados.
(a) p2,�3q e p0, 4q, (b) p2, 0q e p0, 2q, (c) p2, 6q e p2,�4q, (d)
�
2
3
,�
1
5
e
�
�
1
7
,
1
8
.
Exercı´cio 3.2. � [HB10] Nos problemas a seguir, determine a inclinac¸a˜o e as intersec¸o˜es com os eixos x e y da reta dada
e escreva a equac¸a˜o da reta.
①
②
(a)
①
②
(b)
①
②
(c)
2
Exercı´cio 3.3. � [HB10] Nos problemas a seguir, determine a inclinac¸a˜o e as intersec¸o˜es com os eixos x e y da reta cuja
equac¸a˜o e´ dada e desenhe o gra´fico associado.
(a) x � 3, (b) y � 5, (c) y � 3x, (d) y � 3x� 6, (e) 5y� 3x � 4, (f)
x� 3
5
�
y� 1
2
� 1.
Exercı´cio 3.4. � [HB10] Nos problemas a seguir, escreva uma equac¸a˜o para a reta que apresenta as propriedades indi-
cadas.
(a) Passa pelo ponto p2, 0q com inclinac¸a˜o 1, (b) Passa pelo ponto p0, 0q com inclinac¸a˜o 5,
(c) Passa pelo ponto p2, 5q e e´ paralela ao eixo x, (d) Passa pelos pontos p2, 5q e p1,�2q,
(e) Passa pelos pontos p1, 5q e p3, 5q, (f) Passa pelo ponto p4, 1q e e´ paralela a` reta 2x� y � 3,
(g) Passa pelo ponto p�1{2, 1q e e´ paralela a` reta 2x� 5y � 3.
Lista 4:Modelos funcionais
Exercı´cio 4.1. � [HB10] RECEITA DE VENDAS. Quando x unidades de um certo produto de luxo sa˜o fabricadas, podem
ser todas vendidas a um prec¸o unita´rio de pmilhares de reais, onde p � �6x� 100.
(a) Expresse a receita Rpxq em func¸a˜o de x.
(b) Qual e´ a receita quando 15 unidades sa˜o fabriacadas e vendidas ?
Exercı´cio 4.2. � [HB10] LUCRO DE UMA FABRICANTE. Um fabricante estima que o custo de fabricac¸a˜o de um certo
produto e´ R$ 14,00 a unidade; o produto e´ vendido por R$ 23,00 a unidade. Existe um custo fixo de R$ 1200,00. Expresse
o custo Cpxq e a receita Rpxq em func¸a˜o do nu´mero x de unidades produzidas e vendidas.
Exercı´cio 4.3. � [HB10] PAISAGISMO. Um paisagista deseja criar um jardim de forma retangular com um comprimento
duas vezesmaior que a largura. Expresse a a´rea do jardim em func¸a˜o da largura.
Exercı´cio 4.4. � [HB10] CERCANDO UM PARQUE. O departamento de parques e jardins de uma prefeitura pretende
construir um parque retangular com uma a´rea de 3600metros quadrados. Expresse o comprimento da cerca em func¸a˜o
do comprimento de uma dos lados do parque, desenhe o gra´fico associado e estime as dimenso˜es do parque para que o
comprimento da cerca seja o menor possı´vel.
Exercı´cio 4.5. � [HB10] EMBALAGENS. Umacaixa fechada, cuja base e´ quadrada, deve terumvolumede1500 cent´ımetros
cu´bicos. Expresse a a´rea da superf´ıcie da caixa em func¸a˜o do lado da base.
Exercı´cio 4.6. � [HB10] EMBALAGENS. Uma lata de refrigerantes, de forma cil´ındrica, tem uma capacidade de 300mL.
Expresse a a´rea superficial da lata em func¸a˜o do raio da tampa.
Exercı´cio 4.7. � [HB10] EMBALAGENS. Uma lata cil´ındrica sem tampa foi feita com27pi cent´ımetros quadrados demetal.
Expresse o volume da lata em func¸a˜o do raio.
3
Exercı´cio 4.8. � [HB10] CUSTO DE TRANSPORTE. Uma empresa de oˆnibus adotou a seguinte pol´ıtica de prec¸os para
grupos que desejem fretar um oˆnibus: grupos de 40 pessoas ou menos pagam uma quantia fixa de R$ 2400,00 (40 vezes
R$ 60,00). Nos grupos de 41 a 80 pessoas o prec¸o e´ R$ 60,00 por pessoamenos 50 centavos para cada pessoa que exceder
40. Para grupos de mais de 80 pessoas, o prec¸o e´ de R$ 40,00 por pessoa. Expresse a receita da empresa de oˆnibus em
func¸a˜o do tamanho do grupo e desenhe o gra´fico associado.
Exercı´cio 4.9. � [HB10] CUSTO DE FABRICAC¸A˜O. Uma caixa sem tampa e´ feita a partir de um pedac¸o quadrado de
cartolina, de 18cm por 18cm, removendo um pequeno quadrado de cada canto e dobrando as abas resultantes para
formar os lados. Expresse o volumeda caixa em func¸a˜o do lado x dos quadrados removidos. Desenho o gra´fico associado
e estime o valor de x para o qual o volume da caixa e´ ma´ximo.
18
①
Lista 5: Limites
Exercı´cio 5.1. � [HB10] Nos problemas a seguir, determine lim
xÑa
f pxq, caso o limite exista.
①
②
❛
❜
(a)
①
②
❛
❜
(b)
①
②
❛
❜
❝
(c)
①
②
❛
❜
❝
(d)
4
Exercı´cio 5.2. � [HB10] Nos problemas a seguir, complete a tabela calculando f pxq para os valores especificados de x.
Em seguida, use a tabela para estimar o limite indicado oumostrar que o limite na˜o existe.
f pxq � x2 � x; lim
xÑ2
f pxq
x 1,9 1,99 1,999 2 2,001 2,01 2,1
f pxq X
(a)
f pxq �
x3 � 1
x� 1
; lim
xÑ1
f pxq
x 0,9 0,99 0,999 1 1,001 1,01 1,1
f pxq X
(b)
Exercı´cio 5.3. � [HB10] Nos problemas a seguir, determine o limite indicado, caso exista.
(a) lim
xÑ2
�
3x2 � 5x� 2
�
, (b) lim
xÑ0
�
x5 � 6x4 � 7
�
, (c) lim
xÑ3
px� 1q2px� 1q, (d) lim
xÑ1{3
x� 1
x� 2
,
(e) lim
xÑ1
x2 � 1
x� 1
, (f) lim
xÑ3
9� x2
x� 3, (g) lim
xÑ3
x2 � x� 6
x� 2
.
Lista 6: A derivada
Exercı´cio 6.1. � [HB10] Nos problemas a seguir, determine a derivada da func¸a˜o dada e determine a inclinac¸a˜o da reta
tangente a` curva da func¸a˜o no ponto dado.
(a) f pxq � 4 e x � 4, (b) f pxq � 5x� 3 e x � 2, (c) f pxq � 2x2 � 3x� 5 e x � 0, (d) f pxq � x2 � 1 e x � �1.
Exercı´cio 6.2. � [HB10] Nos problemas a seguir, determine a derivada da func¸a˜o dada e determine a inclinac¸a˜o da reta
tangente a` curva da func¸a˜o no ponto dado.
(a) f pxq � 7� 2x e c � �4, (b) f pxq � x2 e c � 1, (c) f pxq �
�2
x
e c � 1, (d) f pxq � 2
?
x e c � 4.
Exercı´cio 6.3. � [HB10] Nos problemas a seguir, determine taxa de variac¸a˜o
dy
dx
no ponto x0 dado.
(a) f pxq � 3x e x0 � 2, (b) f pxq � 3x� 5 e x0 � �1, (c) f pxq � xp1� xq e x0 � �1, (d) f pxq � x
2
� 2x e x0 � 1.
Exercı´cio 6.4. � [HB10] Seja f pxq � x2.
(a) Calcule a inclinac¸a˜o da reta secante que liga os pontos da curva de f cujas coordenadas x sa˜o x � �2 e x � 1, 9.
(b) Use os me´todos do ca´lculo para determinar a inclinac¸a˜o da reta tangente a` curva de f no ponto x � �2.
Exercı´cio 6.5. � [HB10] Seja f pxq � 2x� x2.
(a) Calcule a inclinac¸a˜o da reta secante que liga os pontos da curva de f cujas coordenadas x sa˜o x � 0 e x � 1{2.
(b) Use os me´todos do ca´lculo para determinar a inclinac¸a˜o da reta tangente a` curva de f no ponto x � 0.
Exercı´cio 6.6. � [HB10] Seja f pxq � 3x2 � x.
(a) Calcule a taxa me´dia de variac¸a˜o de f pxq com relac¸a˜o a x quando x varia de x � 0 e x � 1{16.
5
(b) Use os me´todos do ca´lculo para determinar a taxa de variac¸a˜o de f no ponto x � 0.
Exercı´cio 6.7. � [HB10] Seja f pxq � xp1� 2xq.
(a) Calcule a taxa me´dia de variac¸a˜o de f pxq com relac¸a˜o a x quando x varia de x � 0 e x � 1{2.
(b) Use os me´todos do ca´lculo para determinar a taxa de variac¸a˜o de f no ponto x � 0.
Lista 7: Te´cnicas de derivac¸a˜o
Exercı´cio 7.1. � [HB10] Nos problemas a seguir, determine a derivada da func¸a˜o dada. Simplifique as respostas.
(a) f pxq � �2x� 7, (b) f pxq � x�4, (c) f pxq � x7{3, (d) f pxq � 4� x�1{2,
(e) y � pir2, (f) y �
?
2x, (g) y � x2 � 2x� 3, (h) f pxq � �0, 02x3 � 0, 3x,
(i) f pxq � 4� x�1{2, (j) y �
1
t
�
1
t2
�
1
?
t
, (k) f pxq �
?
x3 �
1
?
x3
.
Exercı´cio 7.2. � [HB10] Nos problemas a seguir, determine a equac¸a˜o de uma reta que seja tangente a` curva da func¸a˜o
dada no ponto especificado.
(a) f pxq � �x3 � 5x2 � 3x� 1, p�1,�8q (b) y �
1
x
�
2
?
x
,
�
4,
4
7
,
(c) y �
?
x3 � x2 �
16
x2
, p4,�7q, (d) y � 2x4 �
?
x�
3
x
, p1, 4q.
Exercı´cio 7.3. � [HB10] Nos problemas a seguir, determine a equac¸a˜o de uma reta que seja tangente a` curva da func¸a˜o
dada no ponto correspondente ao valor de x especificado.
(a) f pxq � �2x3 �
1
x2
, x � �1 (b) f pxq � x4 � 3x3 � 2x2 � 6, x � 2,
(c) f pxq � x3 �
?
x, x � 4, (d) y � x p
?
x� 1q, x � 4.
Exercı´cio 7.4. � [HB10] Nos problemas a seguir, determine taxa de variac¸a˜o com x da func¸a˜o f pxq no ponto correpon-
dente ao valor de x especificado.
(a) f pxq � 2x4 � 3x� 1, x � �1, (b) f pxq � x�
?
x�
1
x2
, x � 1,
(c) f pxq �
?
x� 5x, x � 4, (d) f pxq �
2
x
� x
?
x, x � 1.
Lista 8: Regras do produto e do quociente; derivadas de ordem superior
Exercı´cio 8.1. � [HB10] Nos problemas a seguir, determine a derivada da func¸a˜o dada.
6
(a) f pxq � p2x� 1qp3x� 2q, (b) y � 10p3u� 1qp1� 5uq, (c) f pxq �
1
3
�
x5 � 2x3 � 1
�
�
x�
1
x
,
(d) y �
x� 1
x� 2
, (e) f ptq �
t
t2 � 2
, (f) y �
3
x� 5
,
(g) f pxq �
x2 � 3x� 2
2x2 � 5x� 1
, (h) f pxq �
p2x� 1qpx� 3q
x� 1
, (i) y �
3
x� 5
,
(j) f pxq � p2� 5xq2, (k) gptq �
t2 �
?
t
2t� 5
.
Exercı´cio 8.2. � [HB10] Nos problemas a seguir, determine a equac¸a˜o da reta tangente a` curva dada no ponto em que
x � x0.
(a) y � p5x� 1qp4� 3xq, x0 � 0, (b) y �
x
2x� 3
, x0 � �1, (c) y � p3
?
x� xq
�
2� x2
�
, x0 � 1.
Exercı´cio 8.3. � [HB10] Nos problemas a seguir, determine todos os pontos da curva da func¸a˜o nos quais a tangente e´
horizontal.
(a) f pxq � px� 1q
�
x2 � x� 2
�
, (b) f pxq �
x� 1
x2 � x� 1
, (c) f pxq � x3px� 5q2.
Exercı´cio 8.4. � [HB10] Nos problemas a seguir, determine da taxa de variac¸a˜o dy{dx para o valor especificado de x0.
(a) y �
�
x2 � 2
�
px�
?
xq, x0 � 4, (b) y �
2x� 1
3x� 5
, x0 � 1.
Exercı´cio 8.5. � [HB10] A reta normal a` curva y � f pxq no ponto Ppx0, f px0qq e´ a reta perpendicular a` tangente do ponto
P. Nos problemas a seguir, determine a equac¸a˜o da reta normal a` curva dada no ponto especificado.
(a) y � x2 � 3x� 5, p0,�5q, (b) y �
2
x
�
?
x, p1, 1q.
Exercı´cio 8.6. � [HB10] Nos problemas a seguir, determine a derivada segunda da func¸a˜o dada. Em todos os casos,
use a notac¸a˜o apropriada para a derivada segunda e simplifique a resposta. (Na˜o se esquec¸a de simplificar aoma´ximo a
derivada primeira antes de calcular a derivada segunda).
(a) f pxq � 5x10 � 6x5 � 27x� 4, (b) y � 5
?
x�
3
x2
�
1
3
?
x
�
1
2
, (c) y �
�
x2 � x
�
�
2x�
1
x
.
Lista 9: Regra da cadeia
Exercı´cio 9.1. � [HB10] Nos problemas a seguir, use a regra da cadeia para calcular a derivada dy{dx da func¸a˜o dada e
simplifique a resposta.
(a) y � u2 � 1, u � 3x� 2, (b) y �
?
u, u � x2 � 2x� 3, (c) y �
1
u2
, u � x2 � 1,
(d) y �
1
u� 1
, u � x2, (e) y � u2 � 2u� 3, u �
?
x, (f) y � u2 � u� 2, u �
1
x
.
7
Exercı´cio 9.2. � [HB10] Nos problemas a seguir, calcule a derivada da func¸a˜o dada e simplifique a resposta.
(a) f pxq � p2x� 3q1,4, (b) f pxq � p2x� 1q4, (c) f pxq �
�
x5 � 4x3 � 7
�8
,
(d) f ptq �
1
5t2 � 6t� 2
, (e) gpxq �
1
?
4x2 � 1
, (f) f pxq �
3
p1� x2q
4
,
(g) hpsq �
�
1�
?
3s
�5
, (h) f pxq � px� 2q3p2x� 1q5, (i) Gpxq �
3x� 1
2x� 1
,
(j) f pxq �
px� 1q5
p1� xq4
, (k) f pyq �
3y� 1
a
1� 4y
, (l) f pxq �
1
?
5� 3x
.
Exercı´cio 9.3. � [HB10] Nos problemas a seguir, determine a equac¸a˜o de uma reta que seja tangente a` curva da func¸a˜o
dada no ponto especificado pelo valor de x.
(a) f pxq �
?
3x� 4, x � 0 (b) f pxq �
�
3x2 � 1
�2
, x � �1,
(c) f pxq �
1
p2x� 1q6
, x � 1 (d) f pxq � 3
x
x� 2
, x � �1.
Exercı´cio 9.4. � [HB10] Nos problemas a seguir, determine todos os valores de x � c para os quais a reta tangente a`
curva de f pxq no ponto pc, f pcqq e´ horizontal.
(a) f pxq �
�
x2 � x
�2
, (b) f pxq �
x
p3x� 2q2
, (c) f pxq �
?
x2 � 4x� 5.
Exercı´cio 9.5. � [HB10] Nos problemas a seguir, determine a derivada segunda da func¸a˜o dada.
(a) f pxq � p3x� 1q5, (b) f ptq �
2
5t� 1
, (c) hptq �
�
t2 � 5
�8
.
Lista 10: Func¸o˜es crescentes e decrescentes; extremos locais
Exercı´cio 10.1. � [HB10] Nos problemas a seguir, determine os intervalos em que a func¸a˜o dada esta´ aumentando e
diminuindo.
(a) f pxq � x2 � 4x� 5, (b) f pxq � x3 � 3x� 4, (c) gptq � t5 � 5t4 � 100,
(d) f ptq �
1
4� t2
, (e) f pxq � x3 � 3x� 4, (f) hpuq �
?
9� u2,
(g) Fpxq � x�
9
x
, (h) f pxq �
?
x�
1
?
x
.
Exercı´cio 10.2. � [HB10] Nos problemas a seguir, determine os pontos cr´ıticos da func¸a˜o dada e classifique cada ponto
cr´ıtico comoma´ximo local, mı´nimo local ou ponto ordina´rio.
(a) f pxq � 3x4 � 8x3 � 6x2 � 2, (b) f ptq � 2t3 � 6t2 � 6t� 5, (c) gpxq � px� 1q5,
(d) f ptq �
t
t2 � 3
, (e) hptq �
t2
t2 � t� 2
, (f) Sptq �
�
t2 � 1
�4
.
8
Exercı´cio 10.3. � [HB10] Nos problemas a seguir, a derivada de uma func¸a˜o e´ dada. Em cada caso, determine os pontos
cr´ıticos de f pxqe classifique cada ponto comoma´ximo local, mı´nimo local ou ponto ordina´rio.
(a) f 1pxq � x2
�
4� x2
�
, (b) f 1pxq �
xp2� xq
x2 � x� 1
.
Lista 11: A integral indefinida
Exercı´cio 11.1. � [HB10] Nos problemas a seguir, calcule a integral dada. Verifique se o ca´lculo esta´ correto derivando
o resultado.
(a)
»
�3 dx, (b)
»
x5 dx, (c)
»
1
x2
dx,
(d)
»
2
?
t
dt, (e)
»
u�2{5 du, (f)
»
�
3t2 �
?
5t� 2
	
dt,
(g)
»
�
3
?
y� 2y�3
�
dy, (h)
»
�
ex
2
� x
?
x
dx, (i)
»
u1,1
�
1
3u
� 1
du,
(j)
»
�
x2 � 2x� 1
x2
dx, (k)
»
�
x3 � 2x2
�
�
1
x
� 5
dx, (l)
»
?
t
�
t2 � 1
�
dt,
(m)
»
�
et � 1
�2
dt, (n)
»
�
1
3y
�
5
?
y
� e�y{2
dy, (o)
»
1
x
px� 1q2 dx.
Exercı´cio 11.2. � [HB10] Nos problemas a seguir, e´ dada a inclinac¸a˜o f 1pxq em cada ponto px, yq de uma curva y � f pxq,
juntamente com um ponto particular pa, bq da curva. Use essas informac¸o˜es para determinar f pxq.
(a) f 1pxq � 4x� 1 e p1, 2q, (b) f 1pxq � �xpx� 1q e p�1, 5q,
(c) f 1pxq � x3 �
2
x2
� 2 e p1, 3q, (d) f 1pxq � e�x � x2 e p0, 4q.
Lista 12: Integrac¸a˜o por substituic¸a˜o
Exercı´cio 12.1. � [HB10] Nos problemas a seguir, determine a integral indicada e verifique se os ca´lculos esta˜o corretos
derivando o resultado.
(a)
»
p3x� 6q5 dx, (b)
»
a
4x� 1 dx, (c)
»
e1�x dx,
(d)
»
xex
2
dx, (e)
»
2xex
2
�1 dx, (f)
»
t
�
t2 � 1
�5
dx,
(g)
»
x2
�
x3 � 1
�3{4
dx, (h)
»
2y4
y5 � 1
dy, (i)
»
px� 1q
�
x2 � 2x� 5
�12
dx,
(j)
»
3x4 � 12x3 � 6
x5 � 5x4 � 10x� 12
dx, (k)
»
3u� 3
pu2 � 2u� 6q
2
du, (l)
»
ln 5x
x
dx,
(m)
»
1
xpln xq2
dx, (n)
»
2x ln
�
x2 � 1
�
x2 � 1
dx, (o)
»
ex � e�x
ex � e�x
dx,
(p)
»
x
2x� 1
dx, (q)
»
x
a
2x� 1 dx, (r)
»
1
?
x p
?
x� 1q
dx,
9
Exercı´cio 12.2. � [HB10] Nos problemas a seguir, a inclinac¸a˜o f 1pxq em cada ponto px, yq de uma curva y � f pxq e´ dada,
juntamente com um ponto pa, bq sobre a curva. Use essas informac¸o˜es para determinar f pxq.
(a) f 1pxq � p1� 2xq3{2 e p0, 0q, (b) f 1pxq � xe4�x
2
e p�2, 1q.
Lista 13: Integrac¸a˜o por partes
Exercı´cio 13.1. � [HB10] Nos problemas a seguir, use o me´todo da integrac¸a˜o por partes para determinar a integral
dada.
(a)
»
xe�x dx, (b)
»
p1� xqex dx, (c)
»
t ln 2t dt, (d)
»
ve�v{5 dv,
(e)
»
x
?
x� 6 dx, (f)
»
xpx� 1q8 dx, (g)
»
x
?
x� 2
dx, (h)
»
x
?
x� 5
dx,
(i)
»
x
e2x
dx, (j)
»
x ln 3
?
x dx, (k)
»
ln x
x2
dx, (l)
»
px� 1qpx� 2q6 dx.
Exercı´cio 13.2. � [HB10] No problema a seguir, use ome´todo da integrac¸a˜o por partes para determinar a integral dada.
»
x3ex
2
dx
SUGESTA˜O: Use f 1pxq � xex
2
.
Refereˆncias
[HB10] Hoffman and Bradley. Ca´lculo, Um Curso Moderno e Suas Aplicac¸o˜es. LTC, 2010.
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