Desenho Geométrico

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DDEESSEENNHHOO 
GGEEOOMMÉÉTTRRIICCOO 
UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO 
ESCOLA POLITÉCNICA 
DEPTO. DE ENG. DE CONSTRUÇÃO CIVIL (PCC) 
 
 2016 
TEORIA 
 
REVISÃO: 
BRENDA CHAVES COELHO LEITE 
CHENG LIANG YEE 
EDUARDO TOLEDO SANTOS 
FABIANO ROGERIO CORRÊA 
FERNANDO AKIRA KUROKAWA 
JOÃO ROBERTO DIEGO PETRECHE 
SÉRGIO LEAL FERREIRA (ED.) 
 
Desenho Geométrico 
 2
Índice 
 
1 DESENHO GEOMÉTRICO ................................................................................................. 3 
1.1 Objetivos .......................................................................................................................... 3 
1.2 Introdução ........................................................................................................................ 3 
1.3 Lugar geométrico .............................................................................................................. 5 
1.3.1 Método dos Lugares Geométricos ..................................................................................... 6 
1.4 Alguns Lugares Geométricos ............................................................................................. 7 
1.4.1 A circunferência ................................................................................................................. 7 
1.4.2 A mediatriz ......................................................................................................................... 9 
1.4.3 O arco capaz .................................................................................................................... 10 
1.4.4 Par de retas paralelas ...................................................................................................... 12 
1.4.5 Par de bissetrizes ............................................................................................................. 13 
1.4.6 Eixo radical ....................................................................................................................... 14 
 
 
 
 
1 DESENHO GEOMÉTRICO
1.1 OBJETIVOS 
� Entender o conceito de lugar geométrico (LG),
alguns dos principais lugares geométricos usados no desenho geométrico.
� Aprender o Método dos Lugares Geométricos
� Adquirir habilidades na resolução dos problemas geométricos bidimensionais 
(geometria plana). 
1.2 INTRODUÇÃO 
Nesta parte do curso nos preocuparemos co
bidimensionais, e o objetivo será o aprendizado da construção de alguns deles, enfatizando 
problemas de tangência. O conceito de tangência é intuitivo e dois casos típicos são 
mostrados na Figura 1.1. 
Figura 1.1: Tangência entre reta e circunferência e tangência entre circunferências
Os problemas de tangência
concordância, que pode ser entendi
Você pode questionar: “Há tangência sem suavidade?” Para responder essa pergunta, 
pense em dois arcos tangentes. Mostraremos agora duas possibilidades na 
deve haver dúvida quanto à tangência. Em ambos os casos mostrados, os arcos são 
tangentes, mas os arcos da direita não são concordantes! 
3
DESENHO GEOMÉTRICO 
Entender o conceito de lugar geométrico (LG), e ser capaz de identificar e construir 
s dos principais lugares geométricos usados no desenho geométrico.
Método dos Lugares Geométricos. 
Adquirir habilidades na resolução dos problemas geométricos bidimensionais 
 
Nesta parte do curso nos preocuparemos com os elementos geométricos 
bidimensionais, e o objetivo será o aprendizado da construção de alguns deles, enfatizando 
problemas de tangência. O conceito de tangência é intuitivo e dois casos típicos são 
: Tangência entre reta e circunferência e tangência entre circunferências
tangência estão intimamente relacionados com problemas de 
, que pode ser entendida como “tangência mais suavidade”
Você pode questionar: “Há tangência sem suavidade?” Para responder essa pergunta, 
pense em dois arcos tangentes. Mostraremos agora duas possibilidades na 
r dúvida quanto à tangência. Em ambos os casos mostrados, os arcos são 
tangentes, mas os arcos da direita não são concordantes! 
Figura 1.2: Tangência e Suavidade. 
Desenho Geométrico 
e ser capaz de identificar e construir 
s dos principais lugares geométricos usados no desenho geométrico. 
Adquirir habilidades na resolução dos problemas geométricos bidimensionais 
m os elementos geométricos 
bidimensionais, e o objetivo será o aprendizado da construção de alguns deles, enfatizando 
problemas de tangência. O conceito de tangência é intuitivo e dois casos típicos são 
: Tangência entre reta e circunferência e tangência entre circunferências. 
estão intimamente relacionados com problemas de 
“tangência mais suavidade”. 
Você pode questionar: “Há tangência sem suavidade?” Para responder essa pergunta, 
pense em dois arcos tangentes. Mostraremos agora duas possibilidades na Figura 1.2. Não 
r dúvida quanto à tangência. Em ambos os casos mostrados, os arcos são 
 
Desenho Geométrico 
 
Iniciaremos nosso estudo assumindo algum 
prévio. Certamente você sabe o que é um ponto, uma reta e um ângulo. Assumiremos que 
também já são do seu conhecimento os seguintes tópicos:
• o que é semelhança
triângulos semelhantes têm os 
não necessariamente iguais (lembre dos casos de 
triângulos).
• o que são ângulos central (
• o traçado de 
Figura 1.3: Exemplos de ângulos central (
Para se ter uma ideia dos tipos de problemas que trataremos, apre
dois exemplos: 
Exemplo 1: Dados uma circunferência de raio r, uma reta t e uma distância s, 
traçar as circunferências de raio s que são tangentes externamente à circunferência dada e à 
reta t (Figura 1.4). 
 
1
 Veja um exemplo em http://www.mathsisfun.com/geometry/construct
4
Iniciaremos nosso estudo assumindo algum tipo de conhecimento 
prévio. Certamente você sabe o que é um ponto, uma reta e um ângulo. Assumiremos que 
também já são do seu conhecimento os seguintes tópicos: 
semelhança de triângulos e as relações métricas envolvidas
s semelhantes têm os ângulos iguais e os lados
não necessariamente iguais (lembre dos casos de 
triângulos). 
o que são ângulos central (α), inscrito (β) e secante (γ) (Figura 
açado de retas paralelas e perpendiculares com um par de esquadros
: Exemplos de ângulos central (αααα), inscrito (ββββ) e secante (
dos tipos de problemas que trataremos, apresentam
Dados uma circunferência de raio r, uma reta t e uma distância s, 
traçar as circunferências de raio s que são tangentes externamente à circunferência dada e à 
Figura 1.4: Exemplo 1 
 
http://www.mathsisfun.com/geometry/construct-ruler-
 
 
tipo de conhecimento e habilidades 
prévio. Certamente você sabe o que é um ponto, uma reta e um ângulo. Assumiremos que 
de triângulos e as relações métricas envolvidas. Os 
lados proporcionais, 
não necessariamente iguais (lembre dos casos de congruência de 
Figura 1.3); 
par de esquadros1. 
) e secante (γγγγ) 
sentam-se a seguir 
Dados uma circunferência de raio r, uma reta t e uma distância s, 
traçar as circunferências de raio s que são tangentes externamente à circunferência dada e à 
-triangle.html 
 
 
Exemplo 2: Dadas tr
circunferência tangente a elas
 
Ambos são problemas que têm aplicações práticas interessantes. Basta pensar em 
um sistema de engrenagens ou polias, por exemplo. 
de resolvê-los. De fato, são problemas complexos, que são muito difíceis de serem 
resolvidos sem o auxílio de um 
de diversos problemas planos semelhantes a est
inclusive para resolução de problemas espaciais
extramente abstratos. No entanto, são ferramentas poderosas pa
graficamente muitos problemas pr
exemplo, podem ser encontrados 
pena você dar uma olhada em sua volta e 
1.3 LUGAR GEOMÉTRICO
O método aser usado neste curso será baseado no reconhecimento e 
lugares geométricos. 
Lugar Geométrico: é um
comum, e que somente eles a têm.
Antes de tratarmos da definição e da construção dos principais 
é conveniente discutirmos como estes LGs são usados na solução dos problemas de 
Desenho Geométrico. 
O método apresentado a seguir baseia
do Prof. Carlos Marmo2. 
 
2
 Este livro pode ser encontrado nas 
/744 - M345c - v.2 ou EPEC /744 
5
Dadas três circunferências de raios diferentes, 
a elas (Figura 1.5). 
Figura 1.5: Exemplo 2 
Ambos são problemas que têm aplicações práticas interessantes. Basta pensar em 
um sistema de engrenagens ou polias, por exemplo. Pare e pense um pouco se você é capaz 
los. De fato, são problemas complexos, que são muito difíceis de serem 
resolvidos sem o auxílio de um método. A seguir apresentaremos um método para solução 
blemas planos semelhantes a estes, e cujo raciocínio pode ser usado 
inclusive para resolução de problemas espaciais. Os conteúdos deste tópico parecem ser 
extramente abstratos. No entanto, são ferramentas poderosas para modelar e resolver 
muitos problemas práticos e importantes. Problemas de concord
ser encontrados em inúmeras situações ou lugares. P
ê dar uma olhada em sua volta e procurar lista uns 10 deles... 
UGAR GEOMÉTRICO 
O método a ser usado neste curso será baseado no reconhecimento e 
um conjunto de pontos que possuem uma propriedade em 
comum, e que somente eles a têm. 
Antes de tratarmos da definição e da construção dos principais lugares geométricos
eniente discutirmos como estes LGs são usados na solução dos problemas de 
apresentado a seguir baseia-se no LIVRO 2 do CURSO DE DESENHO 
 
pode ser encontrado nas bibliotecas central da Poli e da eng. Civil (
v.2 ou EPEC /744 - M345c - v.2) 
 
Desenho Geométrico 
circunferências de raios diferentes, traçar uma 
Ambos são problemas que têm aplicações práticas interessantes. Basta pensar em 
Pare e pense um pouco se você é capaz 
los. De fato, são problemas complexos, que são muito difíceis de serem 
A seguir apresentaremos um método para solução 
es, e cujo raciocínio pode ser usado 
Os conteúdos deste tópico parecem ser 
ra modelar e resolver 
Problemas de concordância, por 
Para começar, vale a 
O método a ser usado neste curso será baseado no reconhecimento e na aplicação de 
que possuem uma propriedade em 
lugares geométricos, 
eniente discutirmos como estes LGs são usados na solução dos problemas de 
2 do CURSO DE DESENHO 
central da Poli e da eng. Civil (localização: EPBC 
Desenho Geométrico 
 6
 
1.3.1 Método dos Lugares Geométricos 
O Método dos Lugares Geométricos baseia-se na obtenção de pontos. 
A maioria dos problemas pode ser resolvida obtendo-se apenas um único ponto! 
I - Como obter Pontos: 
a) A posição (no plano do desenho) de um ponto fica determinada quando 
se conhece duas propriedades geométricas do ponto. 
b) Quando a incógnita é uma figura qualquer, descobre-se qual ponto deve 
ser obtido procurando um ponto do qual são conhecidas duas 
propriedades geométricas, sendo estas dadas ou então podendo ser 
obtidas antes da obtenção da figura. 
c) Caso nenhum ponto da solução (reta, curva ou figura plana) procurada 
possa ser obtido diretamente, deve-se encontrar um ponto auxiliar que, 
uma vez obtido, permita resolver o problema. 
Após ler cuidadosamente o enunciado do problema, você deve-se reformulá-lo como: 
Obter um ponto, tal que: 
O ponto pertence ao LG1 (possui uma 1a propriedade); 
O ponto pertence ao LG2 (possui uma 2a propriedade). 
Os pontos que satisfazem simultaneamente a estas duas propriedades ficam 
determinados no plano (e o problema terá tantas soluções quanto forem os pontos). Você 
deve inicialmente procurar obter apenas um destes pontos, e é obvio que o ponto 
procurado, devendo ter simultaneamente as duas propriedades, deve pertencer aos dois LGs 
acima simultaneamente, sendo, pois, a sua interseção. 
Em Desenho Geométrico, as duas únicas linhas que podem ser traçadas (traço 
contínuo) são: os segmentos de reta (com a régua ou os esquadros) e os arcos de 
circunferência (com o compasso), sendo possível obter pontos graficamente somente 
quando as duas propriedades determinam LGs que são retas ou circunferências. Nesta 
primeira parte do curso, não serão considerados problemas onde os lugares geométricos são 
curvas cônicas (elipse, hipérbole ou parábola). 
 
II - Como obter as Propriedades (LGs) do ponto: 
Após compreender bem o enunciado do problema, siga os seguintes passos: 
1. Em uma folha de rascunho, desenhe um esboço (“à mão livre”) com todos os 
dados; 
2. Imagine uma (só uma, mesmo que haja mais do que uma) resposta para o problema 
e esboce-a no papel (só a resposta, não as construções para chegar nela); 
3. Pesquise qual ponto deve ser obtido para resolver o problema, identificando os LGs 
a que ele pertence (lembre dos itens a, b e c do quadro I acima sobre como obter 
pontos); 
 
 
4. Verifique se os LGs identificados podem ser desenhados a pa
problema na folha original do enunciado. Caso contrário, volte ao passo 3.
Agora, que você já viu o 
dos principais lugares geométricos. 
Leve o estudo com seriedade! Entenda bem tanto suas 
1.4 ALGUNS LUGARES 
1.4.1 A circunferência
Circunferência: dados um ponto (o centro) e uma distância (o raio), o LG 
circunferência é o conjunto de pontos que distam o rai
O primeiro Lugar 
circunferência de raio r e centro C é o 
denotaremos por (C, r). Quando não houver perigo de confusão, a circunferência (C
referida simplesmente por C. Esse 
formas, como você perceberá nos seguintes exercícios.
Mais adiante nos aprofundaremos em vários casos de tangência. Nesse momento 
bom ressaltar que a propriedade mais importante (ou a mais usada na resolução de 
problemas geométricos) é que uma reta tangente a uma circunferência é perpendicular ao 
raio no ponto de tangência, conforme ilustrado na 
Figura 1.6: a reta s é 
O Lugar Geométrico dos pontos que “enxergam” uma circunferência sob um ângulo 
dado também é uma circunferência. Acompanhemos a construção:
Dada a circunferência 
reta t1 que sai de T1 e é perpendicular a 
s e obtém-se T2 (ponto da circunferência
que, por isso, será tangente à circunferência. As retas 
um dos infinitos pontos que “enxergam” a circunferência segundo o ângulo 
Geométrico procurado é uma 
7
Verifique se os LGs identificados podem ser desenhados a pa
problema na folha original do enunciado. Caso contrário, volte ao passo 3.
Agora, que você já viu o Método dos Lugares Geométricos, vamos começar a tratar 
dos principais lugares geométricos. Não se iluda com a aparente simplicidade deles
Leve o estudo com seriedade! Entenda bem tanto suas definições como as 
UGARES GEOMÉTRICOS 
A circunferência 
Circunferência: dados um ponto (o centro) e uma distância (o raio), o LG 
circunferência é o conjunto de pontos que distam o raio do centro. 
ugar Geométrico que iremos estudar é a circunferência. Uma 
circunferência de raio r e centro C é o Lugar Geométrico dos pontos que distam r de C, e a 
denotaremos por (C, r). Quando não houver perigo de confusão, a circunferência (C
referida simplesmente por C. Esse Lugar Geométrico pode aparecer disfarçado de várias 
formas, como você perceberá nos seguintes exercícios. 
Mais adiante nos aprofundaremos em vários casos de tangência. Nesse momento 
bom ressaltar que a propriedade mais importante (ou a mais usada na resolução de 
problemas geométricos) é que uma reta tangente a uma circunferência é perpendicular ao 
raio no ponto de tangência, conforme ilustrado na Figura 1.6. 
: a reta s é tangente à circunferência C e o raio r é perpendicular a ela no 
ponto de tangência T 
eométricodos pontos que “enxergam” uma circunferência sob um ângulo 
ircunferência. Acompanhemos a construção: 
Dada a circunferência de centro C e o ângulo α, traça-se uma reta 
e é perpendicular a s. Traça-se uma reta a partir de 
(ponto da circunferência). A partir de T2 traça-se uma reta 
que, por isso, será tangente à circunferência. As retas t1 e t2 se cruzarão no ponto 
um dos infinitos pontos que “enxergam” a circunferência segundo o ângulo 
procurado é uma circunferência de centro C e raio CA (Figura 
 
Desenho Geométrico 
Verifique se os LGs identificados podem ser desenhados a partir dos dados do 
problema na folha original do enunciado. Caso contrário, volte ao passo 3. 
os, vamos começar a tratar 
Não se iluda com a aparente simplicidade deles. 
como as construções. 
Circunferência: dados um ponto (o centro) e uma distância (o raio), o LG 
 
eométrico que iremos estudar é a circunferência. Uma 
dos pontos que distam r de C, e a 
denotaremos por (C, r). Quando não houver perigo de confusão, a circunferência (C, r) será 
pode aparecer disfarçado de várias 
Mais adiante nos aprofundaremos em vários casos de tangência. Nesse momento é 
bom ressaltar que a propriedade mais importante (ou a mais usada na resolução de 
problemas geométricos) é que uma reta tangente a uma circunferência é perpendicular ao 
o raio r é perpendicular a ela no 
eométrico dos pontos que “enxergam” uma circunferência sob um ângulo 
se uma reta s de T1 a C e a 
se uma reta a partir de C formando α com 
se uma reta t2 perpendicular 
se cruzarão no ponto A que é 
um dos infinitos pontos que “enxergam” a circunferência segundo o ângulo α O Lugar 
Figura 1.7). 
Desenho Geométrico 
 
Figura 1.7: Construção dos pontos que “enxergam” a circunferência C sob 
Tangências entre circunferências são determin
exemplo, para determinar uma circunferênc
(B, rB), de modo que todas as c
centro da circunferência pedida dista (r
centro C na interseção de dois arcos das circunferências
Figura 
Este exercício resolvido pode nos servir também como um exemplo de como usar o 
Método dos Lugares Geométricos
problema, as circunferências 
circunferência (C, rC) (3) Obtemos as propriedades geométricas de dois LGs de um único 
ponto, o centro C (4) Desenhamos na folha original do enunciado os dois LGs, as 
circunferências (A , rC + rA) e
por C); (5) Encontramos nas suas interseções todos os pontos que (somente eles) são os 
centros das circunferências solução do problema.
Encontre agora na figura 
releia com atenção o quadro II 
8
: Construção dos pontos que “enxergam” a circunferência C sob 
ias entre circunferências são determinadas com base nos seus centros.
, para determinar uma circunferência (C, rC) tangente às circunferências (A, r
todas as circunferências sejam externas umas às outras,
tro da circunferência pedida dista (rC + rA) de A e (rC + rB) de B (Figura 
de dois arcos das circunferências (A, rC + rA) e (B, rC
Figura 1.8: Circunferência tangente a outras duas. 
Este exercício resolvido pode nos servir também como um exemplo de como usar o 
eométricos: (1) Esboçamos (à mão livre) num rascunho os dados do 
ircunferências (A, rA) e (B, rB) (2) Esboçamos apenas uma solução,
Obtemos as propriedades geométricas de dois LGs de um único 
Desenhamos na folha original do enunciado os dois LGs, as 
e (B , rC + rB) completas (e não apenas dois arcos passando 
Encontramos nas suas interseções todos os pontos que (somente eles) são os 
centros das circunferências solução do problema. 
Encontre agora na figura 1.9 o centro da outra circunferência solução, e depois 
II – Como obter as Propriedades (LGs) do ponto
 
 
: Construção dos pontos que “enxergam” a circunferência C sob o ângulo α. 
adas com base nos seus centros. Por 
tangente às circunferências (A, rA) e 
s sejam externas umas às outras, temos que o 
Figura 1.8). Acha-se o 
C + rB). 
Este exercício resolvido pode nos servir também como um exemplo de como usar o 
Esboçamos (à mão livre) num rascunho os dados do 
Esboçamos apenas uma solução, a 
Obtemos as propriedades geométricas de dois LGs de um único 
Desenhamos na folha original do enunciado os dois LGs, as 
completas (e não apenas dois arcos passando 
Encontramos nas suas interseções todos os pontos que (somente eles) são os 
o centro da outra circunferência solução, e depois 
Como obter as Propriedades (LGs) do ponto. 
 
 
1.4.2 A mediatriz 
Mediatriz: dados dois pontos, o LG mediatriz é o conjunto de pontos que equidi
dos dois pontos dados. (Figura 
Como os dois pontos fixos dados definem um segmento, diz
dois pontos A e B é a mediatriz do segmento AB
cruza com o segmento AB no seu ponto médio.
Para construí-la com compasso obtemos dois de seus pontos 
P2 na Figura 1.11 abaixo).
qualquer ligeiramente maior que a metade do segmento AB, com a ponta seca no ponto A 
risca-se um arco. Depois, com a mesma abertura de compasso e ponta seca no ponto B 
risca-se outro arco cruzando co
coisa com a mesma ou outra abertura, de preferência para o outro lado do segmento AB.
Para se obter P1 (ou 
geométricos: o ponto P1 dista igualmente de A e de B. Seja esta distância comum igual à d
9
Mediatriz: dados dois pontos, o LG mediatriz é o conjunto de pontos que equidi
Figura 1.10) 
Figura 1.10: Mediatriz do segmento AB 
Como os dois pontos fixos dados definem um segmento, diz-se que a mediatriz de 
ediatriz do segmento AB. Como conseqüência óbvia a mediatriz 
cruza com o segmento AB no seu ponto médio. 
la com compasso obtemos dois de seus pontos e os ligamos
). Para obter o ponto P1 abre-se o compasso com uma abertura 
qualquer ligeiramente maior que a metade do segmento AB, com a ponta seca no ponto A 
se um arco. Depois, com a mesma abertura de compasso e ponta seca no ponto B 
se outro arco cruzando com o primeiro. Para encontrar o ponto P
coisa com a mesma ou outra abertura, de preferência para o outro lado do segmento AB.
Figura 1.11: A construção da mediatriz 
(ou P2, já que o processo é o mesmo), pense em termos de lugares 
dista igualmente de A e de B. Seja esta distância comum igual à d
 
 
Desenho Geométrico 
Mediatriz: dados dois pontos, o LG mediatriz é o conjunto de pontos que equidistam 
se que a mediatriz de 
. Como conseqüência óbvia a mediatriz 
e os ligamos (ver P1 e 
se o compasso com uma abertura 
qualquer ligeiramente maior que a metade do segmento AB, com a ponta seca no ponto A 
se um arco. Depois, com a mesma abertura de compasso e ponta seca no ponto B 
m o primeiro. Para encontrar o ponto P2 faz-se a mesma 
coisa com a mesma ou outra abertura, de preferência para o outro lado do segmento AB. 
á que o processo é o mesmo), pense em termos de lugares 
dista igualmente de A e de B. Seja esta distância comum igual à d1, 
Desenho Geométrico 
 
então o ponto P1 dista d1 de A. Qual o 
(você já deve saber que é uma circunferência). O ponto P
Lugar Geométrico associado? O ponto P
obtidos. O mesmo processo é usado para se achar o ponto 
Podemos agora provar que a reta obtida é de fa
equidistantes de A e B. Por construção (
congruentes (P1P3 comum, P1A 
P1. Daí, os triângulos P1AM e 
reto, o que significa que AB e 
em P1P3, por congruência de triângulos (
sai que os segmentos P2A e 
pertencente à reta P1P3 dista igualmente de A e B.
1.4.3 O arco capaz 
Arco Capaz: dados um segmento de reta e um ângulo, o LG arco capaz é o conjunto 
de pontos que formam o ângul
O conjunto de todos os pontos que 
ângulo α são dois arcos de circunferência, denominados arcos capazes de 
AB. Isso pode ser entendido olhando
um ângulo inscrito que mede a metade do ângulo 
Figura 1.13: à esquerda a relação entre os ângulos inscritos e central da 
circunferência e à direita o
A construção de um arco capaz é feita imaginando uma situação limiteem que um 
dos lados do ângulo inscrito é tangente à circunferência, como ilustrado na 
10 
de A. Qual o Lugar Geométrico dos pontos que distam d
ue é uma circunferência). O ponto P1 também dista d
associado? O ponto P1 fica definido pela interseção dos dois arcos 
obtidos. O mesmo processo é usado para se achar o ponto P2. 
Podemos agora provar que a reta obtida é de fato o Lugar Geométrico
idistantes de A e B. Por construção (Figura 1.10), os triângulos P1A
A ≡ P1B, P3A ≡ P3B). Assim, a reta P1P3 é bissetriz do ângulo 
AM e P1BM são congruentes e AM ≡ MB. Logo, o ângulo em M é 
reto, o que significa que AB e P1P3 são perpendiculares. Tomando-se um ponto qualquer 
, por congruência de triângulos (∆P2MA ≡∆P2MB, P2M comum, AM 
A e P2B têm o mesmo comprimento. Logo, qualquer ponto 
dista igualmente de A e B. 
Arco Capaz: dados um segmento de reta e um ângulo, o LG arco capaz é o conjunto 
de pontos que formam o ângulo dado quando ligados às extremidades do segmento.
O conjunto de todos os pontos que “enxergam” um segmento AB dado sob um 
 são dois arcos de circunferência, denominados arcos capazes de 
AB. Isso pode ser entendido olhando-se a Figura1.12, e percebendo que o ângulo APB é 
inscrito que mede a metade do ângulo central ACB. 
: à esquerda a relação entre os ângulos inscritos e central da 
circunferência e à direita o LG arco capaz de α do segmento AB 
arco capaz é feita imaginando uma situação limite em que um 
dos lados do ângulo inscrito é tangente à circunferência, como ilustrado na 
dos pontos que distam d1 de A? 
também dista d1 de B. Qual o 
fica definido pela interseção dos dois arcos 
Lugar Geométrico dos pontos 
AP3 e P1BP3 são 
é bissetriz do ângulo 
o ângulo em M é 
se um ponto qualquer P2 
M comum, AM ≡ MB, M reto) 
B têm o mesmo comprimento. Logo, qualquer ponto 
Arco Capaz: dados um segmento de reta e um ângulo, o LG arco capaz é o conjunto 
quando ligados às extremidades do segmento. 
um segmento AB dado sob um 
 são dois arcos de circunferência, denominados arcos capazes de α do segmento 
, e percebendo que o ângulo APB é 
: à esquerda a relação entre os ângulos inscritos e central da 
 
arco capaz é feita imaginando uma situação limite em que um 
dos lados do ângulo inscrito é tangente à circunferência, como ilustrado na Figura 1.14. 
 
 
Para se construir o LG 
achar os seus centros C e C´
capaz dista igualmente de A e de 
se também que a tangente t é perpendicular ao raio CA. Assim, o centro C deve estar sobre 
uma reta s perpendicular 
interseção. O centro C´ é simétrico ao centro C em relação ao segmento AB.
Figura 1.
Usando o LG mediatriz
média aritmética entre dois segmentos. Vamos 
média geométrica c entre dois números 
duas maneiras de se fazer isso com o auxílio do desenho. A primeira é fazendo a construção 
indicada na Figura 1.16. Notando que o triângul
de proproção, temos que c/a = b/c, ou seja, c
relações de semelhança de triângulos
11 
Figura 1.14: Elementos do arco capaz 
Para se construir o LG arco capaz (acompanhe a Figura 1.15) deve
e C´. Isso se faz da seguinte forma: sabe-se que o centro 
igualmente de A e de B, isto é, está sobre a mediatriz r do segmento AB. Sabe
se também que a tangente t é perpendicular ao raio CA. Assim, o centro C deve estar sobre 
perpendicular a t e que passa por A. Tendo-se r e s, pode
simétrico ao centro C em relação ao segmento AB.
.15: Construção do arco capaz de α do segmento AB
o LG mediatriz, podemos como construir (determinar graficamente) 
entre dois segmentos. Vamos agora determinar a média geométrica
tre dois números a e b é dada por bac ×= . Existem pelo menos 
duas maneiras de se fazer isso com o auxílio do desenho. A primeira é fazendo a construção 
. Notando que o triângulo é retângulo, e usando as relações métricas 
de proproção, temos que c/a = b/c, ou seja, c2 = a × b. Outra maneira, ainda usando as 
semelhança de triângulos, é indicada na Figura 1.17. Novamente, c
Desenho Geométrico 
) deve-se, naturalmente, 
se que o centro C do arco 
do segmento AB. Sabe-
se também que a tangente t é perpendicular ao raio CA. Assim, o centro C deve estar sobre 
, pode-se achar C na 
simétrico ao centro C em relação ao segmento AB. 
AB 
(determinar graficamente) a 
média geométrica. A 
. Existem pelo menos 
duas maneiras de se fazer isso com o auxílio do desenho. A primeira é fazendo a construção 
o é retângulo, e usando as relações métricas 
= a × b. Outra maneira, ainda usando as 
. Novamente, c2 = a × b. 
Desenho Geométrico 
 
Figura 
 
Figura 
1.4.4 Par de retas paralelas
Par de paralelas: dadas uma reta e uma distância, o LG par de paralelas é o conjunto 
de pontos que estão à distância dada da reta.
Sua construção pode ser feita por meio de esquadros (
A partir de um ponto P qualquer da ret
esquadros ou régua e compasso) e sobre ela marque os pontos P´ e P´´ à uma distância d da 
reta. Pelos pontos P´ e P´´ trace o par de paralelas com os esquadros.
12 
Figura 1.16: Média geométrica de a e b - método 1 
Figura 1.17: Média geométrica de a e b - método 2 
Par de retas paralelas 
e paralelas: dadas uma reta e uma distância, o LG par de paralelas é o conjunto 
de pontos que estão à distância dada da reta. 
Sua construção pode ser feita por meio de esquadros (Figura 1.18). 
A partir de um ponto P qualquer da reta dada trace uma perpendicular (com 
esquadros ou régua e compasso) e sobre ela marque os pontos P´ e P´´ à uma distância d da 
reta. Pelos pontos P´ e P´´ trace o par de paralelas com os esquadros. 
e paralelas: dadas uma reta e uma distância, o LG par de paralelas é o conjunto 
 
a dada trace uma perpendicular (com 
esquadros ou régua e compasso) e sobre ela marque os pontos P´ e P´´ à uma distância d da 
 
 
 
 
1.4.5 Par de bissetrizes
Par de bissetrizes: dadas duas retas concorrentes, o LG par de bissetrizes é o conjunto 
de pontos que equidistam das duas retas (
Dadas duas retas concorrentes r e s (
Geométrico se faz assim: 
• com a ponta seca do compasso na 
usando uma abertura conveniente
arco que intercepte r e s nos pontos A e B;
• por A e B trace arcos de raios iguais. A interseção dos arcos define 
um ponto P; 
• uma bissetriz do par é a reta PQ. A outra é perp
e pode ser obtida usando o mesmo processo.
13 
Figura 1.18: Par de paralelas 
Par de bissetrizes 
Par de bissetrizes: dadas duas retas concorrentes, o LG par de bissetrizes é o conjunto 
de pontos que equidistam das duas retas (Figura 1.19). 
Figura 1.19: Par de bissetrizes 
Dadas duas retas concorrentes r e s (Figura 1.20), a construção deste 
com a ponta seca do compasso na interseção r ∩ 
usando uma abertura conveniente (“quanto maior melhor”)
arco que intercepte r e s nos pontos A e B; 
por A e B trace arcos de raios iguais. A interseção dos arcos define 
uma bissetriz do par é a reta PQ. A outra é perpendicular à PQ 
e pode ser obtida usando o mesmo processo. 
Desenho Geométrico 
Par de bissetrizes: dadas duas retas concorrentes, o LG par de bissetrizes é o conjunto 
), a construção deste Lugar 
 s (ponto Q), e 
(“quanto maior melhor”), trace um 
por A e B trace arcos de raios iguais. A interseção dos arcos define 
endicular à PQ em Q, 
Desenho Geométrico 
 
Figura 
1.4.6 Eixo radical 
Antes de definirmos o 
propriedades geométricas associadas a ele. S
uma perpendicular p qualquer 
pertencentes à p. Seja um ponto qualquer P
P a B. Observando ainda a Figura 
e PBN , vemos que x2 − m2 = y
e n= cte =BN, qualquer que seja 
perpendicular qualquer a um segmento AB têm a propriedade de que a diferença dos 
quadrados das distâncias ao ponto
Considere agora a circunferência da 
esquerda). A reta t intercepta a circunferência nos pon
potência de ponto, tem-se que PA
posição da reta secantet obtemos novas interseções com a circunferência, mas PA
continua tendo o mesmo valor. Tal valor é chamado de pot
circunferência C dada, e é designada por Pot
14 
Figura 1.20: Construção do par de bissetrizes 
Antes de definirmos o LG conhecido como eixo radical, vamos ver algumas 
propriedades geométricas associadas a ele. Seja o segmento AB mostrado na 
qualquer à AB. Analisemos qual é a propriedade dos pontos 
nto qualquer P∈p. Seja x a distância de P a A e y a distância de 
Figura 1.21, usando o teorema de Pitágoras nos triângulos PAN 
= y2 − n2 (= PN2), ou seja, x2 − y2 = m2 − n2 = c
=BN, qualquer que seja P∈p). Concluímos então que todos os pontos de uma 
a um segmento AB têm a propriedade de que a diferença dos 
o ponto A e ao ponto B é constante. 
Figura 1.21: Reta Perpendicular 
Considere agora a circunferência da Figura 1.22 (tanto faz a da direita ou a da 
esquerda). A reta t intercepta a circunferência nos pontos A e B. Recordando o conceito de 
se que PA×PB = PA’×PB’. Como PA’×PB’ = c
t obtemos novas interseções com a circunferência, mas PA
continua tendo o mesmo valor. Tal valor é chamado de potência do ponto P com relação à 
circunferência C dada, e é designada por Pot(P,C). 
 
vamos ver algumas 
eja o segmento AB mostrado na Figura 1.21 e 
à AB. Analisemos qual é a propriedade dos pontos 
p. Seja x a distância de P a A e y a distância de 
, usando o teorema de Pitágoras nos triângulos PAN 
= cte (m= cte =AN 
mos então que todos os pontos de uma 
a um segmento AB têm a propriedade de que a diferença dos 
a da direita ou a da 
tos A e B. Recordando o conceito de 
PB’ = cte, mudando-se a 
t obtemos novas interseções com a circunferência, mas PA×PB 
ência do ponto P com relação à 
 
 
Em particular, considere
circunferência (Figura 1.23
geométrica de PA’ e PB’. 
Figura 
Agora estamos em condições de apresentar o 
equipotentes a duas circunferências dadas. Sejam 
conforme mostradas na Figura 
centros. 
15 
Figura 1.22: Potência de ponto 
considere o caso limite onde a reta secante 
23). Neste caso, BPAPPA ′×′= , ou seja, PA é 
 
Figura 1.23: Potência de ponto no caso da reta tangente 
Agora estamos em condições de apresentar o Lugar Geométrico
ipotentes a duas circunferências dadas. Sejam dadas duas circunferências (A, a) e (B, b), 
Figura 1.24. Inicialmente, traçamos a reta AB ligando os seus 
Desenho Geométrico 
limite onde a reta secante t fica tangente à 
, ou seja, PA é a média 
 
Lugar Geométrico dos pontos 
circunferências (A, a) e (B, b), 
Inicialmente, traçamos a reta AB ligando os seus 
 
Desenho Geométrico 
 
Seja um ponto P em uma posição tal que Pot(P, 
AB tal que Pot(N, A) = Pot(N, B)
Figura 1.24: Eixo radical: pontos 
Observando a Figura 1
Pot(P, A) = x2 − a2 Pot(P, B) = y
x
2
 − a2 = y2 − b2
x
2
 − y2 = a2 − b2
x
2
 − 
Assim, o conjunto de todos os pontos eq
perpendicular ao segmento AB, conforme vimos no início desta seç
Geométrico é chamado de eixo radical
Eixo radical: dadas duas circunferências, o LG eixo radical é o conjunto de pontos de 
mesma potência com relação às duas circunferências.
Sejam dados dois pontos A e B e uma circunferência (C, r)
1.25. O problema é achar as circunferências que passam por A e B e são tangentes 
ou externamente) à circunferência (C, r).
Figura 1.25: Problema da circunferência tangente usando o LG eixo radical
16 
P em uma posição tal que Pot(P, A) = Pot(P, B) e um ponto N sobre 
AB tal que Pot(N, A) = Pot(N, B). 
Eixo radical: pontos equipotentes a duas circunferências dadas
1.24, temos: 
Pot(P, B) = y2 − b2 Pot(N, A) = m2 − a2 Pot(N, B) = n
2
 m2 − a2 = n2 − b
2
 m
2
 − n
2
 = a2 − b
− y2 = m2 − n2 (como na Figura 1.21) 
Assim, o conjunto de todos os pontos equipotentes as circunferências A e 
perpendicular ao segmento AB, conforme vimos no início desta seç
eixo radical. 
Eixo radical: dadas duas circunferências, o LG eixo radical é o conjunto de pontos de 
mesma potência com relação às duas circunferências. 
Sejam dados dois pontos A e B e uma circunferência (C, r), conforme ilustrado na 
. O problema é achar as circunferências que passam por A e B e são tangentes 
à circunferência (C, r). 
: Problema da circunferência tangente usando o LG eixo radical
 
e um ponto N sobre 
a duas circunferências dadas 
Pot(N, B) = n2 − b2 
− b2 
− b2 
A e a B é uma reta 
perpendicular ao segmento AB, conforme vimos no início desta seção. Tal Lugar 
Eixo radical: dadas duas circunferências, o LG eixo radical é o conjunto de pontos de 
e ilustrado na Figura 
. O problema é achar as circunferências que passam por A e B e são tangentes (interna 
: Problema da circunferência tangente usando o LG eixo radical 
 
 
 
Para entender como 
circunferência D qualquer que passe por A e B, e que seja secante à (C, r)
circunferência deve estar sobre a mediatriz do segmento AB
Desenhe outra circunferência E, diferente da primeira, 
Trace os eixos radicais de C e D e de C e E. El
O ponto P tem a mesma potência em relação à circunferência C e em relação a todas as 
circunferências do feixe de circunferências que passam por A e B (qual é o eixo radical ds 
circunferências deste feixe?).
Figura 
Vemos então que todas as circunferências que passam por A e B e são secantes 
circunferência C definem eixos rad
denominado centro radical
circunferência ser tangente à C. Pense então neste caso limite, quando a circunferência 
secante passa a ser tangente à C, e desenhe o eixo radical correspondente. 
Você deve perceber que, a
tangentes, deverá achar os seus 
auxiliar, o centro radical P, desenhando dois LGs (dois eixos radicais). Então, a partir de P, 
achamos os pontos de tangên
outros LGs dos centros, além do LG mediatriz de AB (lembrando: o 
entre duas circunferências está na reta que une os seus 
Na apostila de exercícios, além dos 30 
resolver usando o método dos 
complementares. Alguns fáceis, alguns verdadeiros desafios para que você exercite as 
ideias. Você deve prestar atenção no “uso de simetrias” e “na contração e dilatação de 
circunferências” usados na resolução de alguns destes problemas
 
3
 Como bibliografia complementar, sugerimos o livro 
Carvalho disponível na biblioteca da Civil (
17 
entender como resolver esse problema usando o LG eixo radical
circunferência D qualquer que passe por A e B, e que seja secante à (C, r)
tar sobre a mediatriz do segmento AB (acompanhe na 
Desenhe outra circunferência E, diferente da primeira, e que também passe por A e B
Trace os eixos radicais de C e D e de C e E. Eles se interceptam no ponto P sobre a reta AB. 
O ponto P tem a mesma potência em relação à circunferência C e em relação a todas as 
circunferências do feixe de circunferências que passam por A e B (qual é o eixo radical ds 
circunferências deste feixe?). 
Figura 1.26: Resolução do problema de tangência 
Vemos então que todas as circunferências que passam por A e B e são secantes 
C definem eixos radicais que passam por um ponto P. Este ponto é 
dical. Veja que essa propriedade vale também para o caso limite da 
ircunferência ser tangente à C. Pense então neste caso limite, quando a circunferência 
secante passa a ser tangente à C, e desenhe o eixo radical correspondente. 
Você deve perceber que, antes de encontrar os centros das circunferências 
tangentes, deverá achar os seus pontos de tangência com C. Para isto usamos um 
P, desenhando dois LGs (dois eixos radicais). Então, a partir de P, 
achamos os pontos de tangência e os unimos ao centro de C. Teremos assim retas que são 
, além do LG mediatriz de AB (lembrando: o ponto de tangência
entre duas circunferências está na reta que une os seus centros). 
exercícios, além dos 30 exercícios propostos, quevocê deve procurar 
étodo dos lugares geométricos, apresentamos mais alguns 
. Alguns fáceis, alguns verdadeiros desafios para que você exercite as 
ve prestar atenção no “uso de simetrias” e “na contração e dilatação de 
circunferências” usados na resolução de alguns destes problemas3. 
 
Como bibliografia complementar, sugerimos o livro Desenho Geométrico 
disponível na biblioteca da Civil (localização: EPEC /744 - C253d3) 
Desenho Geométrico 
usando o LG eixo radical, desenhe uma 
circunferência D qualquer que passe por A e B, e que seja secante à (C, r). O centro desta 
(acompanhe na Figura 1.26). 
e que também passe por A e B. 
no ponto P sobre a reta AB. 
O ponto P tem a mesma potência em relação à circunferência C e em relação a todas as 
circunferências do feixe de circunferências que passam por A e B (qual é o eixo radical ds 
Vemos então que todas as circunferências que passam por A e B e são secantes à 
icais que passam por um ponto P. Este ponto é 
. Veja que essa propriedade vale também para o caso limite da 
ircunferência ser tangente à C. Pense então neste caso limite, quando a circunferência 
secante passa a ser tangente à C, e desenhe o eixo radical correspondente. 
das circunferências 
com C. Para isto usamos um ponto 
P, desenhando dois LGs (dois eixos radicais). Então, a partir de P, 
cia e os unimos ao centro de C. Teremos assim retas que são 
ponto de tangência 
, que você deve procurar 
, apresentamos mais alguns exercícios 
. Alguns fáceis, alguns verdadeiros desafios para que você exercite as 
ve prestar atenção no “uso de simetrias” e “na contração e dilatação de 
Desenho Geométrico de Benjamin de A.