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Sistemas de Equac¸o˜es e Sistemas Lineares Fa´bio S. Bemfica EC&T - UFRN 23 de agosto de 2012 Fa´bio Sperotto Bemfica Sistemas de Equac¸o˜es e Sistemas Lineares Sistemas Lineares e Invertibilidade Theorem (Teorema 1.6.1) Todo sistema de equac¸o˜es lineares tem ou nenhuma soluc¸a˜o, ou exatamente uma soluc¸a˜o, ou infinitas soluc¸o˜es. Proof. No quadro. Fa´bio Sperotto Bemfica Sistemas de Equac¸o˜es e Sistemas Lineares Sistemas Lineares e Invertibilidade Theorem (Teorema 1.6.2) Se A e´ uma matriz invert´ıvel n × n, enta˜o para cada matriz coluna ~b de tamanho n × 1, o sistema de equac¸o˜es A~x = ~b tem exatamente uma soluc¸a˜o, a saber, ~x = A−1~b. Proof. Basta multiplicar a equac¸a˜o linear A~x = ~b pela inversa A−1. Fa´bio Sperotto Bemfica Sistemas de Equac¸o˜es e Sistemas Lineares Sistemas Lineares e Invertibilidade Exemplo 1 Fa´bio Sperotto Bemfica Sistemas de Equac¸o˜es e Sistemas Lineares Sistemas Lineares com uma Matriz de Coeficientes Comum Frequ¨entemente precisamos resolver uma sequ¨eˆncia de sistemas A~x = ~b1 , A~x = ~b2 , A~x = ~b3 , · · · A~x = ~bk cada um dos quais teˆm a mesma matriz de coeficientes A. Se A e´ invert´ıvel, enta˜o as soluc¸o˜es sa˜o ~x1 = A −1~b1 , ~x2 = A−1~b2 , ~x3 = A−1~b3 , · · · ~xk = A−1~bk . No lugar de obter separadamente cada uma das soluc¸o˜es acima, e´ conveniente definirmos a matriz aumentada [A|~b1|~b2| · · · |~bk ] e resolver, simultaneamente, as k equac¸o˜es por eliminac¸a˜o de Gauss-Jordan. Fa´bio Sperotto Bemfica Sistemas de Equac¸o˜es e Sistemas Lineares Sistemas Lineares com uma Matriz de Coeficientes Comum Exemplo 2 Fa´bio Sperotto Bemfica Sistemas de Equac¸o˜es e Sistemas Lineares Sistemas Lineares e Invertibilidade Um Problema Fundamental Seja A uma matriz m × n fixada. Encontre todas as matrizes ~b de tamanho m × 1 tais que o sistema A~x = ~b e´ consistente. Exemplo: Quais condic¸o˜es devem satisfazer b1, b2 e b3 para garantir que o sistema de equac¸o˜es x1 + x2 + 2x3 = b1 x1 + x3 = b2 2x2 + x2 + 3x3 = b3 seja consistente? Fa´bio Sperotto Bemfica Sistemas de Equac¸o˜es e Sistemas Lineares Inversa e Poteˆncias de Matrizes Diagonais A inversa de uma matriz diagonal D qualquer n × n D = d1 0 · · · 0 0 d2 · · · 0 ... ... ... 0 0 · · · dn para di 6= 0 e´ D−1 = 1 d1 0 · · · 0 0 1dn · · · 0 ... ... ... 0 0 · · · 1dn . Fa´bio Sperotto Bemfica Sistemas de Equac¸o˜es e Sistemas Lineares Inversa e Poteˆncias de Matrizes Diagonais Ja´ a k−e´sima poteˆncia de D e´ Dk = dk1 0 · · · 0 0 dk2 · · · 0 ... ... ... 0 0 · · · dkn . Fa´bio Sperotto Bemfica Sistemas de Equac¸o˜es e Sistemas Lineares Inversa e Poteˆncias de Matrizes Diagonais Exemplo Fa´bio Sperotto Bemfica Sistemas de Equac¸o˜es e Sistemas Lineares A Inversa de uma Matriz Sime´trica Theorem (Teorema 1.7.3) Se A e´ uma matriz sime´trica invert´ıvel, enta˜o A−1 tambe´m e´ sime´trica: Proof. Na sec¸a˜o 1.4 foi provado que (AT )−1 = (A−1)T . Sendo assim, como A = AT , enta˜o (AT )−1 = A−1. Fa´bio Sperotto Bemfica Sistemas de Equac¸o˜es e Sistemas Lineares A Inversa de uma Matriz Sime´trica Produtos AAT e ATA Seja A uma matriz m × n qualquer. O produto AAT e´ uma matriz m ×m enquanto ATA e´ uma matriz n × n e esta˜o, portanto, definidos. Ale´m do mais, esses produtos resultam em matrizes sime´tricas pois (AAT )T = (AT )TAT = AAT , e (ATA)T = AT (AT )T = ATA . Fa´bio Sperotto Bemfica Sistemas de Equac¸o˜es e Sistemas Lineares A Inversa de uma Matriz Sime´trica Exemplo Fa´bio Sperotto Bemfica Sistemas de Equac¸o˜es e Sistemas Lineares Exerc´ıcios Referentes a` Sec¸a˜o 1.6 do livro texto Fa´bio Sperotto Bemfica Sistemas de Equac¸o˜es e Sistemas Lineares Exerc´ıcios Referentes a` Sec¸a˜o 1.6 do livro texto Fa´bio Sperotto Bemfica Sistemas de Equac¸o˜es e Sistemas Lineares Exerc´ıcios Referentes a` Sec¸a˜o 1.7 do livro texto Fa´bio Sperotto Bemfica Sistemas de Equac¸o˜es e Sistemas Lineares Respostas Fa´bio Sperotto Bemfica Sistemas de Equac¸o˜es e Sistemas Lineares
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