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Sistemas de Equações Lineares

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Sistemas de Equac¸o˜es e Sistemas Lineares
Fa´bio S. Bemfica
EC&T - UFRN
23 de agosto de 2012
Fa´bio Sperotto Bemfica Sistemas de Equac¸o˜es e Sistemas Lineares
Sistemas Lineares e Invertibilidade
Theorem (Teorema 1.6.1)
Todo sistema de equac¸o˜es lineares tem ou nenhuma soluc¸a˜o, ou
exatamente uma soluc¸a˜o, ou infinitas soluc¸o˜es.
Proof.
No quadro.
Fa´bio Sperotto Bemfica Sistemas de Equac¸o˜es e Sistemas Lineares
Sistemas Lineares e Invertibilidade
Theorem (Teorema 1.6.2)
Se A e´ uma matriz invert´ıvel n × n, enta˜o para cada matriz coluna ~b de
tamanho n × 1, o sistema de equac¸o˜es A~x = ~b tem exatamente uma
soluc¸a˜o, a saber, ~x = A−1~b.
Proof.
Basta multiplicar a equac¸a˜o linear A~x = ~b pela inversa A−1.
Fa´bio Sperotto Bemfica Sistemas de Equac¸o˜es e Sistemas Lineares
Sistemas Lineares e Invertibilidade
Exemplo 1
Fa´bio Sperotto Bemfica Sistemas de Equac¸o˜es e Sistemas Lineares
Sistemas Lineares com uma Matriz de Coeficientes Comum
Frequ¨entemente precisamos resolver uma sequ¨eˆncia de sistemas
A~x = ~b1 , A~x = ~b2 , A~x = ~b3 , · · · A~x = ~bk
cada um dos quais teˆm a mesma matriz de coeficientes A. Se A e´
invert´ıvel, enta˜o as soluc¸o˜es sa˜o
~x1 = A
−1~b1 , ~x2 = A−1~b2 , ~x3 = A−1~b3 , · · · ~xk = A−1~bk .
No lugar de obter separadamente cada uma das soluc¸o˜es acima, e´
conveniente definirmos a matriz aumentada
[A|~b1|~b2| · · · |~bk ]
e resolver, simultaneamente, as k equac¸o˜es por eliminac¸a˜o de
Gauss-Jordan.
Fa´bio Sperotto Bemfica Sistemas de Equac¸o˜es e Sistemas Lineares
Sistemas Lineares com uma Matriz de Coeficientes Comum
Exemplo 2
Fa´bio Sperotto Bemfica Sistemas de Equac¸o˜es e Sistemas Lineares
Sistemas Lineares e Invertibilidade
Um Problema Fundamental
Seja A uma matriz m × n fixada. Encontre todas as matrizes ~b de
tamanho m × 1 tais que o sistema A~x = ~b e´ consistente.
Exemplo: Quais condic¸o˜es devem satisfazer b1, b2 e b3 para garantir que o
sistema de equac¸o˜es
x1 + x2 + 2x3 = b1
x1 + x3 = b2
2x2 + x2 + 3x3 = b3
seja consistente?
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Inversa e Poteˆncias de Matrizes Diagonais
A inversa de uma matriz diagonal D qualquer n × n
D =

d1 0 · · · 0
0 d2 · · · 0
...
...
...
0 0 · · · dn

para di 6= 0 e´
D−1 =

1
d1
0 · · · 0
0 1dn · · · 0
...
...
...
0 0 · · · 1dn
 .
Fa´bio Sperotto Bemfica Sistemas de Equac¸o˜es e Sistemas Lineares
Inversa e Poteˆncias de Matrizes Diagonais
Ja´ a k−e´sima poteˆncia de D e´
Dk =

dk1 0 · · · 0
0 dk2 · · · 0
...
...
...
0 0 · · · dkn
 .
Fa´bio Sperotto Bemfica Sistemas de Equac¸o˜es e Sistemas Lineares
Inversa e Poteˆncias de Matrizes Diagonais
Exemplo
Fa´bio Sperotto Bemfica Sistemas de Equac¸o˜es e Sistemas Lineares
A Inversa de uma Matriz Sime´trica
Theorem (Teorema 1.7.3)
Se A e´ uma matriz sime´trica invert´ıvel, enta˜o A−1 tambe´m e´ sime´trica:
Proof.
Na sec¸a˜o 1.4 foi provado que (AT )−1 = (A−1)T . Sendo assim, como
A = AT , enta˜o (AT )−1 = A−1.
Fa´bio Sperotto Bemfica Sistemas de Equac¸o˜es e Sistemas Lineares
A Inversa de uma Matriz Sime´trica
Produtos AAT e ATA
Seja A uma matriz m × n qualquer. O produto AAT e´ uma matriz m ×m
enquanto ATA e´ uma matriz n × n e esta˜o, portanto, definidos. Ale´m do
mais, esses produtos resultam em matrizes sime´tricas pois
(AAT )T = (AT )TAT = AAT , e (ATA)T = AT (AT )T = ATA .
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A Inversa de uma Matriz Sime´trica
Exemplo
Fa´bio Sperotto Bemfica Sistemas de Equac¸o˜es e Sistemas Lineares
Exerc´ıcios Referentes a` Sec¸a˜o 1.6 do livro texto
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Exerc´ıcios Referentes a` Sec¸a˜o 1.6 do livro texto
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Exerc´ıcios Referentes a` Sec¸a˜o 1.7 do livro texto
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Respostas
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