Cálculo de Determinantes por Redução por Linhas

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Determinantes
Definic¸a˜o e Ca´lculo Atrave´s da Reduc¸a˜o por Linhas
Fa´bio S. Bemfica
EC&T - UFRN
28 de agosto de 2012
Fa´bio Sperotto Bemfica Determinantes Definic¸a˜o e Ca´lculo Atrave´s da Reduc¸a˜o por Linhas
A Func¸a˜o Determinante
Permutac¸a˜o
Permutac¸a˜o
Uma permutac¸a˜o do conjunto {1, 2, · · · , n} e´ um rearranjo destes inteiros
em alguma ordem sem omisso˜es ou repetic¸o˜es.
Exemplo
Existem seis permutac¸o˜es do conjunto dos inteiros {1, 2, 3}:
a) (1, 2, 3) (3, 1, 2) (2, 3, 1)
b) (1, 3, 2) (3, 2, 1) (2, 1, 3)
das quais a) sa˜o permutac¸o˜es pares e b) sa˜o permutac¸o˜es ı´mpares dos
inteiros.
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A Func¸a˜o Determinante
Determinante
Definic¸a˜o de um determinante
Se A e´ uma matriz de tamanho n × n, dizemos que um produto de n
entradas de A, tais que na˜o ha´ duas de mesma linha ou mesma coluna de
A, e´ um produto elementar da matriz A.
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A Func¸a˜o Determinante
Determinante
Permutac¸a˜o com sinal
Um produto elementar a1j1a2j2 · · · anjn multiplicado por +1 ou −1 e´
chamado de um produto elementar com sinal de A. Usamos +1 se
(j1, j2, · · · , n) e´ uma permutac¸a˜o par dos inteiros (1, 2, · · · , n) e −1 se
corresponder a uma permutac¸a˜o ı´mpar dos mesmos.
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A Func¸a˜o Determinante
Exemplo
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A Func¸a˜o Determinante
Definic¸a˜o
Seja A uma matriz quadrada. A func¸a˜o determinante det(A) e´ definida
como a soma de todos os produtos elementares com sinal de A. O nu´mero
det(A) e´ chamado determinante de A.
Exemplo
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A Func¸a˜o Determinante
Notac¸a˜o e Terminologia
Podemos escrever tanto det(A) como |A| para o determinante de A.
Simbolicamente o determinante pode ser escrito como
det(A) =
n∑
j1,j2··· ,jn
ji 6=jk∀i ,k=1,··· ,n
(−1)Ja1j1a2j2 · · · anjn ,
sendo J = 0 para permutac¸o˜es pares do conjunto (j1, j2, · · · , jn) e J = 1
para permutac¸o˜es ı´mpares. Note que a expressa˜o
det(A) =
n∑
j1,j2··· ,jn
ji 6=jk∀i ,k=1,··· ,n
(−1)Jaj11aj22 · · · ajnn
e´ equivalente!
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Ca´lculo de Determinantes por Reduc¸a˜o por Linhas
Theorem (Teorema 2.2.1)
Seja A uma matriz quadrada.
(a) Se A tem uma linha ou coluna de zeros, enta˜o det(A) = 0.
(b) det(A) = det(AT ).
Demonstrac¸a˜o.
(a) Se A tem uma linha ou coluna de zeros, enta˜o enta˜o todo
produto elementar possuira´, pelo menos, um elemento nulo,
resultando em zero o determinante.
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Demonstrac¸a˜o.
(b) Simbolicamente podemos escrever o determinante de A como
sendo
det(A) =
n∑
j1,j2··· ,jn
ji 6=jk∀i,k=1,··· ,n
(−1)Ja1j1a2j2 · · · anjn .
Ja´ o determinante de AT e´ obtido atrave´s da troca de linhas por
colunas da seguinte forma:
det(AT ) =
n∑
j1,j2··· ,jn
ji 6=jk∀i,k=1,··· ,n
(−1)Jaj11aj22 · · · ajnn.
No entanto, ambas as formas de escrever o produto elementar sa˜o
equivalentes, o que implica em det(A) = det(AT ).
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Consequ¨eˆncias do teorema 2.2.1b
Cada teorema sobre determinantes que implica em alguma propriedade
sobre linhas tambe´m implicara´ na mesma propriedade sobre colunas!
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Matrizes triangulares
Theorem (Teorema 2.2.2)
Se A e´ uma matriz triangular (superior, inferior ou diagonal) de tamanho
n × n, enta˜o det(A) e´ o produto das entradas na diagonal principal da
matriz; ou seja, det(A) = a11a22 · · · ann
Demonstrac¸a˜o.
No quadro.
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Theorem (Teorema 2.2.3)
Seja A uma matriz n × n.
(a) Se B e´ a matriz que resulta quando uma u´nica linha ou
u´nica coluna de A e´ multiplicada por um escalar k, enta˜o
det(B) = k det(A).
(b) Se B e´ a matriz que resulta quando duas linhas ou colunas
de A sa˜o permutadas, enta˜o det(B) = − det(A).
(c) Se B e´ a matriz que resulta quando um mu´ltiplo de uma
linha/coluna de A e´ somado a uma linha/coluna de A, enta˜o
det(B) = det(A).
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Exemplo
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Demonstrac¸a˜o.
(a) Se B resulta da multiplicac¸a˜o da linha l por k 6= 0, enta˜o
cada elemento desta linha sera´ multiplicada por k , ou seja,
aljl→kaljl . Sendo assim
det(B) =
∑n
j1,j2··· ,jn
ji 6=jk∀i ,k=1,··· ,n
(−1)Ja1j1a2j2 · · · kaljl · · · anjn =
k
∑n
j1,j2··· ,jn
ji 6=jk∀i ,k=1,··· ,n
(−1)Ja1j1a2j2 · · · anjn = k det(A). Como
det(B) = det(BT ), a prova vale para colunas tambe´m.
(b) A permutac¸a˜o entre duas linhas quaisquer resulta, em um
dado produto elementar, na troca
a1j1 · · · aljl · · · akjk · · · anjn → a1j1 · · · akjl · · · aljk · · · anjn =
a1j1 · · · aljk · · · akjl · · · anjn , ou seja,
(j1, · · · , jl , · · · , jk , · · · , jn)→ (j1, · · · , jk , · · · , jl , · · · , jn), que
corresponde a uma permutac¸a˜o ı´mpar em todos os produtos
elementares. O mesmo ocorre na permutac¸a˜o de duas
colunas.
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Demonstrac¸a˜o.
(c) Seja det(B) =
∑
(−1)Ja1j1 · · · (akjk + saljl ) · · · aljl · · · anjn ,
onde adicionamos s vezes a linha l na linha k . O resultado e´
det(B) =
∑
(−1)Ja1j1 · · · akjk · · · aljl · · · anjn
+
∑
(−1)Jsa1j1 · · · aljl · · · aljl · · · anjn
=
∑
(−1)Ja1j1 · · · akjk · · · aljl · · · anjn
pois uma permutac¸a˜o jl com jl e´ ı´mpar mas o produto
elementar, em mo´dulo, e´ o mesmo, cancelando-se
mutuamente. Tomando o transposto da matriz B a prova
torna-se para o caso de colunas.
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Theorem
Se A e´ uma matriz quadrada com duas linhas ou duas colunas
proporcionais, enta˜o det(A) = 0.
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Demonstrac¸a˜o.
Se duas linhas sa˜o proporcionais, ou seja, se a linha k e´ s vezes a linha l
(akjk = saljl ), enta˜o, pelo teorema 2.2.3 temos que∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
a11 a12 · · · a1n
...
...
ak1 ak2 · · · akn
...
...
al1 al2 · · · aln
...
...
an1 an2 · · · ann
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
= k
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
a11 a12 · · · a1n
...
...
al1 al2 · · · aln
...
...
al1 al2 · · · aln
...
...
an1 an2 · · · ann
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
= k
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
a11 a12 · · · a1n
...
...
0 0 · · · 0
...
...
al1 al2 · · · aln
...
...
an1 an2 · · · ann
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
= 0 .
A prova e´ equivalente para o caso de colunas, basta tomar a transposta de A.
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Os resultados obtidos nos permitem calcular um determinante por
eliminac¸a˜o de Gauss.
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Exemplo
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Exerc´ıcios Referentes a` Sec¸a˜o 2.1 do livro texto
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Exerc´ıcios Referentes a` Sec¸a˜o 2.2 do livro texto
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Respostas Referentes a`s Sec¸o˜es 2.1 e 2.2 do livro texto
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